最新高考数学专题复习——导数
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0.
(10) 若对 x1 I1 、 x2 I 2 , f (x1 ) g( x2 ) 恒成立,则 f (x)min g(x)max .
若对 x1 I1 , x2 I 2 ,使得 f ( x1) g(x2 ) ,则 f ( x)min g(x)min .
若对 x1 I1 , x2 I 2 ,使得 f ( x1) g (x2 ) ,则 f (x)max g( x)max .
(一)单调性 1、根据导数极值点的相对大小进行讨论 例题:【 2015 高考江苏, 19】
已知函数 f ( x) x3 ax2 b( a, b R) .
( 1)试讨论 f ( x) 的单调性;
【答案】( 1)当 a 0时, f x 在 , 上单调递增;
当 a 0 时, f x 在
, 2a , 0, 3
极小值小于 0. (13) 证题中常用的不等式 :
① ln x x 1 ( x 0)
③ ex 1 x
⑤ ln x
x1 ( x 1)
x1 2
⑦ sinx<x (0<x< π)
② x+1
≤ ln(x+1) x (x 1)
④ e x 1 x
⑥ ln x x2
1 2
1 2 x 2 ( x 0)
⑧lnx<x< ex (x>0)
上单调递增,在
2a ,0 上单调递减;
3
当 a 0 时, f x 在
,0 ,
2a ,
3
2a
上单调递增,在 0,
上单调递减.
3
当 a 0 时, x
,0
2a ,
时, f x 0 , x 0, 2a 时, f x 0 ,
3
3
所以函数 f x 在
导数运用中常见结论
(1) 曲线 y f (x) 在 x x0 处的切线的斜率等于 f (x0) ,且切线方程为
y f ( x0 )( x x0 ) f ( x0) 。
(2) 若可导函数 y f ( x) 在 x x0 处取得极值,则 f (x0) 0 。反之,不成立。
(3) 对于可导函数 f ( x) ,不等式 f ( x) 0( 0)的解集决定函数 f ( x) 的递增(减)区间。
(6) f ( x) 在区间 I 上无极值等价于 f ( x) 在区间在上是单调函数,进而得到
f ( x) 0 或
f ( x) 0 在 I 上恒成立
(7) 若 x I , f ( x) 0 恒成立, 则 f (x)min 0 ; 若 x I , f ( x) 0 恒成立, 则 f ( x) max 0
( 11 ) 已知 f ( x) 在区间 I 1上的值域为 A,, g ( x) 在区间 I 2 上值域为 B,
若对 x1 I 1 , x2 I 2 ,使得 f (x1) = g( x2 ) 成立,则 A B 。
(12) 若三次函数 f(x) 有三个零点,则方程 f ( x) 0 有两个不等实根 x1 、x2,且极大值大于 0,
(1) 求 a,b,c, d 的值;
解: (1) 由已知得 f (0) =2,g(0) =2,f ′(0) = 4,g′(0) = 4. 而 f ′(x) =2x+ a, g′(x) =ex( cx+d+c) ,
故 b=2,d=2, a= 4, d+ c= 4.
从而 a=4,b=2,c=2,d=2. 3、 (2014 课标全国Ⅰ, 理 21) 设函数 f ( x0 aex ln x f (1) 处的切线为 y e( x 1) 2 . ( Ⅰ ) 求 a, b ;
(4) 函数 f ( x) 在区间 I 上递增(减)的充要条件是: x I f ( x) 0 ( 0) 恒成立( f (x) 不
恒为 0) .
(5) 函数 f ( x) (非常量函数)在区间 I 上不单调等价于 f ( x) 在区间 I 上有极值,则可等价转化 为方程 f ( x) 0 在区间 I 上有实根且为非二重根。 ( 若 f ( x) 为二次函数且 I=R ,则有 0 )。
处的切线方程为 x 2y 3 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值;
解 :(Ⅰ) f '( x)
x1
( x
ln x) b
( x 1)2
x2
由于直线 x 2y 3 0 的斜率为
1 ,且过点 (1,1),故 2
f (1) 1,
fwenku.baidu.com'(1)
1即 ,
2
b 1,
a
1
b
,
2
2
解得 a 1, b 1。
2、(2013 课标全国Ⅰ,理 21) 设函数 f ( x) =x2+ ax+b,g( x) =ex( cx+d) .若曲 线 y=f ( x) 和曲线 y= g( x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y= 4x+2.
2016 年高考数学专题复习——导数 目录
一、有关切线的相关问题 二、导数单调性、极值、最值的直接应用 三、交点与根的分布
1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围 四、不等式证明 1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式 五、不等式恒成立求参数范围 1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围 六、函数与导数性质的综合运用
bex 1 ,曲线 y
x
f ( x) 在点( 1,
【解析】: (Ⅰ ) 函数 f ( x) 的定义域为 0,
, f (x)
aex ln x
a ex x
b x2
ex
1
b ex 1 x
由题意可得 f (1) 2, f (1) e ,故 a 1,b 2
…………… 6 分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
一、有关切线的相关问题
例题、【 2015 高考新课标 1,理 21】已知函数 f( x)= x3
ax
1 , g( x)
4
(Ⅰ )当 a 为何值时, x 轴为曲线 y f ( x) 的切线;
【答案】(Ⅰ) a 3 4
ln x .
跟踪练习:
1、【 2011 高考新课标 1,理 21】已知函数 f ( x) a ln x b ,曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) x1 x
(8) 若 x0 I ,使得 f ( x0) 0 ,则 f (x)max 0 ;若 x0 I ,使得 f ( x0) 0 ,则 f ( x) min 0 . (9) 设 f (x) 与 g( x) 的定义域的交集为 D,若 x D f ( x) g( x) 恒成立,则有
f ( x) g( x) min