第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换

2 1 0 19 0 1 0 1 B5 0 0 1 6

r1 2
r1 r2
2 0 0 18 0 1 0 1 B6 0 0 1 6
1 0 0 9 0 1 0 1 B7 0 0 1 6
(8)
解：第二个方程减去第一个方程的2倍，第 三个方程减去第一个方程，就变成
2 x1 x2 3x3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得
2 x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 4 x2 x3 2
则
（ⅲ）传递性 若 A ～ B ，B ～ C，
A ～ C.
线性方程组的同解变换，也就是方程组增广矩阵 的初等行变换.对于例１,其一一对照过程如下
2 1 3 1 r2 2 r1 2 1 3 1 r3 r1 4 1 2 B1 B 4 2 5 4 2 0 2 6 1 1 5
把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初 c r 等列变换的定义（所用记号是把“ ”换成 “ ”）.
初等行变换 初等变换 初等列变换
定义4
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变成矩阵 B
就称矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ～B .
矩阵之间的等价具有下列性质：
（ⅰ）自反性 （ⅱ）对称性
A～A. 若 A ～ B ，则 B ～ A ．
并且它们对应的元素相等，即
aij bij (i 1, 2, m; j 1, 2, n) 那么就称矩阵 A 与矩阵 B 相等，记作 A B 零矩阵 ：元素都是零的矩阵 ，记作 0 ，
注意不同型的零矩阵是不相等的. 转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到 的新矩阵，记作：AT 或 A
(10)
上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消 元过程，从（9）到（10）叫回代过程． 从整个消元过程可以看到，它实际上是对 方程组进行了以下3种变换： （１）交换两个方程的次序；
（２）用一个非零的常数乘以某个方程
（３）把一个方程的适当倍数加到另一个方程. 定义2 上述三种变换均称为线性方程组的初 等变换.
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
如下表所示 i 1, 2,3; j 1, 2 ,
假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各 厂的产品如何调配才能使总运费最少？
表
Cij B1 B2 A1 45 58 A2 58 72 A3 92 36
解：
A1
x1 x4 x2 x5 x3 x6
B2 B1
A2
A3
工厂
用户
3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等， 所以： 1. 对产地来讲，产品全部调出，因而有
A a1 a2 an 或 A a1 , a2 ,, an
列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵
b1 b2 B bm
同型矩阵：两个矩阵的行数列数都相等 矩阵相等：如果 A aij , B bij 是同型矩阵，


这里
bi(i 1, 2,, m)也是已知数
称为第i 个方程的常数项 当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我 们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐 次线性方程组
所谓方程组（7）的一个解 就是指 n 个数
x1 1 , x2 2 ,, xn n
组成的有序数组
当 x1 , x2 ,, xn 分别用 1 , 2 ,, n 代入后， （7）中每个方程都成为恒等式. 方程组（7）的解的全体称为它的解集合 解方程组实际上是找出它的全部解; 如果两个方程组有相同的解集合，它们就称 为是同解的.
2 x1 x2 x2
19 1 x3 6
将第一个方程加上第二个方程,得
1 将第一个方程两边乘 得 2
18 2 x1 x2 1 x3 6
x1 9 x2 1 x 6 3
x1 9 即： x2 1 x 6 3
（1）－（5）每个方程都是线性方程，几个线 性方程联立在一起，称之为线性方程组. 因此方程（1）－（5）构成6个未知数5个方程 的线性方程组. 不少实际问题可以化为线性方程组的问题. 这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一 个两个，而是更多. 因此，为了解决这类问题需要讨论含有个n个 未知数m个方程的线性方程组.
有时也写成 A aij

或 A aij mn

数 aij 称为矩阵 A 的第 i 行第 j 列的元素．
当
m n 时，称 A为 n 阶矩阵或 n 阶方阵
记作
An
实矩阵：元素全是实数的矩阵 复矩阵：元素是复数的矩阵
本书中的矩阵如不特别说明，都是指实矩阵.
行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵
0 0 0 0
0 0 F 0 0
（2）特点：
F 的左上角的元素 aii 1 i 1, 2, 3
其余元素为0.
定理 任意一个 m n 矩阵 A，总可以经过初 等变换（行变换和列变换）把它化为标准形
1 0 F 0 0 0
0 1 0 0 0

x1 9 x1 9 由 B 所对应的 x2 1 即： x2 1 7 x 6 x 6 3 3
标准形 （1）形式： 1
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0
2 1 3 1 r2 r3 1 1 5 B2 4 1 2


r1 3r3 r2 r3
r3 4 r2
rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 3
1 2 1 3 1 1 5 B3 0 3 18 1 2 1 3 1 1 5 B4 1 6
系数矩阵：线性方程组（7）的未知量的系数 所确定的矩阵
a11 a21 A am1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
增广矩阵：而（7）所对应的矩阵
a11 a21 B am1
称为增广矩阵.
1 2 n
定义1 由 m n个数
aij (i 1, 2, m; j 1, 2, n)
a1n a2 n amn
排成的 m行 n列的数表
a11
a12 a22 am 2
A=
a21 am1
称为 m行 n 列的矩阵,简称m n 矩阵 为表示它是一个整体，总是加一个圆括弧 （或方括弧），并用大写黑体字母表示它.
上述变换过程中，实际上只是对方程组的系数 和常数项进行运算，未知量并未参与运算. 因此，例如例1中，对方程组的变换完全可以转 换成对其增广矩阵的变换. 定义3 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换 （ⅰ）对调矩阵的两行 （对调第 i, j 两行，记作 ri rj ）； （ⅱ）以非零常数 k 乘矩阵某一行的各元素 （第 i 行乘 k ，记作 ri k ）； （ⅲ）把某一行所有的元素的 k 倍加到另一行 对应的元素上去 （第 j行的 k 倍加到第i 行上，记作 ri krj ）
x1 x4 40, x2 x5 20, x3 x6 10.
(1) (2) (3)
2. 对用户来讲，调配的产品刚好为其所需， 因而有：
x1 x2 x3 45, x4 x5 x6 25.
3. 考虑总运费S：
(4) (5)
S 45 x1 58 x2 92 x3 58 x4 72 x5 36 x6 . (6)
第一章 线性方程组的消元法 和矩阵的初等变换
线性方程组
矩阵的基本概念
消元法 矩阵初等变换
引例（物资调运问题） 有三个生产同一产品的工厂A1 , A2 , A3 , 其年产量分别为40、20和10，单位为吨；
该产品每年有两个用户 B1 , B2 , 其用量分别为 45和25，单位为吨； 由各产地 Ai 到各用户 B j 的距离为Cij（千米）
形式如下：
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
(7)
aij (i 1, 2,, m; j 1, 2, n) 为已知数 它是第 i 个方程中第 j 个未知量 x j的系数；
将第三个方程减去第二个方程的4倍，得
2 x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 3x3 18
1 将第三个方程两边乘 ，得 3
2 x1 x2 3x3 1 x2 x3 5 x3 6
(9)
将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个 方程加上第三个方程，得
a12 a22
a1n a2 n
am 2 amn
bm b1 b2
线性方程组（7）由其增广矩阵 B 唯一确定.
例1 解线性方程组（消元法）
2 x1 x2 3x3 1 4 x1 2 x2 5 x3 4 2 x 2 x3 6 1