高二文科数学选修1-2数系的扩充和复数的概念导学案

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高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案

高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。

现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。

(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。

(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。

课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。

2020-2021学年高二数学选修1-2第三章3.1.1数系的扩充和复数的概念教案

数系的扩充和复数的概念一、内容和内容解析1.内容数系的扩充和复数的概念2.内容解析《数系的扩充与复数的概念》是人教版普通高中课程标准数学实验教科书选修1-2第三章第一节的内容，大纲课时安排一课时。

主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数相关概念、代数形式、相等条件、分类.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，不仅可以使学生对于数的概念有一个更为完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。

通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.在学习了这节课以后，学生首先能知道数系是怎么扩充的，并且这种扩充是必要的，虚数单位i在数系扩充过程中的作用，而复数就是一个实数加上一个实数乘以i的形式，学生能清楚的知道一个复数什么时候是实数，什么时候是虚数，什么时候是纯虚数，两个复数相等的充要条件是什么.本节课让学生在经历一系列的思维活动后，完成对知识的探索，变被动地“接受问题”为主动地“发现问题”，加强学生对知识应用的灵活性，深化学生对复数的认识，提高学生分析问题和解决问题的能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点是：数系的扩充以及复数的有关概念.二、目标和目标解析1.目标（1）使学生体会数的概念是逐步发展的，初步体会引入虚数单位i的合理性；了解引入复数的必要性；（2）理解复数的基本概念；掌握两复数相等的充要条件；能够对复数进行简单的分类;（3）在培养学生类比与转化的数学思想方法的过程中，激发学生勇于探索创新的精神，提高学生的创新思维和应用意识．2.目标解析（1）学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识与理性思考，知识体系还未形成.（2）作为新学知识，理解复数的基本概念，掌握复数有关知识，为今后学习奠定基础，承上启下.（3）通过问题设置，引领学生追溯历史，提炼数系扩充原则，帮助学生合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中.三、教学问题诊断分析学生已经学过自然数、整数、有理数、实数等数系，但是对知识的认识相对比较零碎、分散，对知识没有一个系统性的理解，同时由于虚数单位i的概念非常抽象，又与学生原有的知识冲突，因此在学习过程中可能遇到的问题有：1.学生不太容易体会数系再次扩充的必要性.2.由于学生的认知能力有限，学生很难发现数系扩充前后对于运算法则的一致性要求.3.由于学生对数系扩充的知识不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程有困难，也就是对虚数单位i的引入难以理解.在学习本节课的过程中，复数的概念如果采用单纯的讲解会显得比较枯燥无味，教学时，采用已学过的数集的认识历程，让学生体会数系的扩充是生产实践的需要，介绍数的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律有着比较清晰的认识，让学生能够在问题探索中掌握新知.基于以上分析，确定本节课的教学难点是：对引入复数引入必要性的认识以及从实数到复数的扩充历程．四、教学支持条件分析根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，利用图片展示数系学习历程，另外通过演示，体会复数从无到有的发展过程.五、教学过程分析（一）课题引入多媒体课件展示“数学的魅力在于用数来诠释全世界”，引入课题.设计意图：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，展示本节课学习的意义.（二）复习回顾1.已经学习了哪些数集？2.回顾数的学习历程情境一一年级数学第一节《数一数》情境二三年级（上）数学第八节《分数的初步认识》情境三三年级（下）数学第七节《小数的初步认识》情境四六年级数学第一节《负数》情境五七年级数学第六节《实数》师：我们回顾了对数系的认识历程，我们看到数系在不断地进行扩充，从自然数到整数，再到有理数，乃至实数，请你思考：（1）人们为什么不断地扩充数系？师：从上述过程可以看出，满足社会实践的需要，是数系扩充的一个重要原因．正所谓自然数是“数”出来的，分数是“分”出来的，负数是“欠”出来的．另外，数学内部的发展、需求也是一个重要的原因！例如，求下列方程的解：x+3=1；3x−2=0；x2−2=0．如果没有数系的合理扩充，这些方程的解就是一个问题，数学本身也不可能协调的发展．因此，数学源于社会实践又服务于社会实践，问题或数学矛盾是数学发展的动力．（2）数学扩充的一般原则是什么？师：数系的扩充不仅仅是增加一种新的数，它还涉及数的运算．因此，数系的扩充还需保留原来的基本运算，用今天的话来讲，就是要向前“兼容”，不能推倒小楼建大楼．具体来讲，就是加、减、乘、除、乘方和开方的运算律应得到继承．比如要满足加法、乘法的交换率和结合律以及乘法对加法的分配律．设计意图：通过梳理数系的学习历程，体会数系扩充的必要性，了解数系扩充前后的联系，为后面学习做好铺垫.（三）问题导引师：数系的扩充是否就此止步不前了呢？如果不是，新的数系又是什么呢？情境六与数学家的对话 16世纪意大利数学家达尔卡诺在他的著作中写到“将10分成两部分，使他们的乘积等于40”，这是不可能的，不过我却用下列方式解决了：10=(5+√−15)+(5−√−15)，40=(5+√−15)(5−√−15)．师：这样一个似乎简单的问题为什么会有争议呢？这两个表达式有什么问题？又包含了有哪些“合理”的成分，没有让数学家们一巴掌把它拍死？师：的确，虽然16世纪实数理论还没有完善，但任何一个（实）数的平方都是一个非负数，或者负数的开方没有意义的道理是人所共知的．这里√−15是什么？他有什么意义吗？是√−15个苹果还是√−15斤棉花？你卡尔达诺能说清楚吗？不过，另一方面，根据当时还不太严谨的运算法则，这两个式子好像也没什么大的问题（先不管√−15是什么，和为10，积为40也是明显的），至少就数学论数学来说，还马马虎虎有点意思，不能因为看不顺眼就拍死它吧？设计意图：以问题形式吸引学生注意力，承上启下，调动学生的积极性.（四）问题探究提出1637年，法国数学家笛卡尔在他的《几何学》中把这样的数称为“i maginary” .（“想象中的数”,虚数）迷茫“……，它大概是存在和虚妄两界中的两物”．——德国数学家莱布尼茨“……我们只能断言，它们既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它们纯属虚幻．”——瑞士数学大师欧拉发展1777年，欧拉在其论文中首次用符号“i ”表示√−1，称为虚数单位．1832年，德国数学家高斯第一次引入复数概念，一个复数可以用a＋b i来表示，其中a，b是实数，i代表虚数单位完善1837年哈密顿用有序实数对(a，b)定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律，把实数看成特殊的复数，建立完整的复数系．复数的概念 1.形如a+b i(a,bϵR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位2.全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示3.复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即z= a+b i(a,bϵR)其中a 与b分别叫做z的实部与虚部设计意图：通过问题的提出、迷茫、发展和完善过程，让学生感受有实数系扩充到复数系的历程，体会数学家的创新精神和实践能力，让学生参与其中，培养学生解决问题的能力，增强学生解决问题的自信心.练习完成课后练习1设计意图：巩固所学内容，加强对复数概念的认识.（五）自主学习阅读请阅读教材51页完成下面的问题：1．两个复数相等的充要条件是什么？2．复数集C和实数集R之间有什么关系？3．复数集是怎么分类的？设计意图：让学生通过自己去阅读、思考的方式获得知识，培养学生积极参与的意识和自主探索的能力.练习完成课后练习2、3设计意图：及时反馈，学以致用，加强对知识的认识，提高学生的解题能力.（六）例题讲解例：实数m取什么值时，复数z=(m+1)+(m－1)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．分析：因为m∈R，所以m+1，m-1都是实数．由复数z=a+b i是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．解：（1）当m-1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当m+1=0，且m-1≠0即m=-1时，复数z是纯虚数．设计意图：通过例题，强化复数相等的充要条件，提高分析、解决问题的能力，规范做题步骤.变式练习实数m取什么值时，复数z=(m-1)(m+2)+(m-1)(m-3)i是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）0.设计意图：增加题目难度，检验学生学习情况.（七）课堂小结这节课你学到了哪些内容，你有什么收获？学生活动：学生发言交流自己的收获，其他同学补充．设计意图：通过学生总结，教师提炼，培养学生归纳概括的能力，回顾本节课内容，为以后学习打下基础.（八）课后作业1、书面作业：习题3.1A组 1，2.2、课后探究：请你收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“自然数——整数——有理数——实数——复数”的数系扩充过程进行整理.设计意图：巩固本节课所学知识，同时带着新的问题走出课堂，扩大学生的视野，加深对知识的认识，激发学生课外学习数学的兴趣.（九）知识拓展复数的应用师：在本节课我们看到，虚数从提出到完善大约经历了300年的历程,数学也就是在这种曲折、矛盾中不断的向前发展．复数系建立之后，人们又把复数和向量联系起来，并在复数的基础上建立了复变函数理论，成为数学新的一个分支，其在流体力学、机翼理论等方面有着广泛的应用，从我们熟悉的飞机制造，到引以为傲的高铁，再到跨世纪的伟大工程——三峡大坝，复数都起到了重要的作用．可谓虚数不虚，学海无涯！设计意图：拓展了学生的知识面，使学生思想得到升华.教学评析本节课的学习，一方面帮助学生回忆数系扩充的过程，体会虚数引入的必要性和合理性，让学生参与有实数系到复数系的扩充历程;一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的学习奠定基础.从各个环节上看，本节课主要亮点有：采用名言欣赏的方式进行情景引入，紧扣主题，调动学生的积极性和求知欲。

高中数学选修1-2精品学案：第四章数系的扩充与复数的引入复数代数形式的加减运算及其几何意义

第2课时复数代数形式的加减运算及其几何意义1.理解复数代数形式的加减运算规律.2.复数的加减与向量的加减的关系.重点:正确理解复数的加减运算,复数加减运算的几何意义.难点:对比复数加减法与向量加减法的异同,从而理解复数的几何意义.实数可以进行加减运算,并且具有丰富的运算律,其运算结果仍是实数;多项式也有相应的加减运算和运算律;对于引入的复数,其代数形式类似于一个多项式,当然它也应有加减运算,并且也有相应的运算律.问题1:依据多项式的加法法则,得到复数加法的运算法则.设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i,很明显,两个复数的和仍然是一个确定的复数.问题2:复数的加法满足交换律、结合律.即z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).问题3:利用向量加法讨论复数加法的几何意义向量加法遵循平行四边形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相加.故复数相加就是实部与虚部分别相加得到一个新的复数.问题4:如何理解复数的减法?复数减法是复数加法的逆运算.向量减法遵循三角形法则,在直角坐标系中从横纵坐标上分析就是横纵坐标分别相减.故复数相减就是实部与虚部分别相减得到一个新的复数.十八世纪末十九世纪初,著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理“任何一元n次方程在复数集内有且仅有n个根”时,就应用并论述了卡尔丹所设想的新数,并首次引进了“复数”这个名词,把复数与平面内的点一一对应起来,创立了复平面,依赖于平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.这样历经300年的努力,数系从实数系到复数系的扩张才基本完成,复数才被人们广泛承认和使用.1.设z1=3-4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】(3-4i)-(-2+3i)=5-7i.【答案】D2.(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i(其中i为虚数单位)等于().A.10B.10+2iC.14D.14+2i【解析】(2-i)+(3+i)+(4+i)+(5+i)-i=2+3+4+5+(-+1++-)i=14.【答案】C3.复数z1=9+3i,z2=-5+2i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i.【答案】14+i4.已知复数z1=7-6i,z1+z2=-4+3i.(1)求z2;(2)求z1-2z2.【解析】(1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i.复数代数形式的加减法运算(1)z1=2+3i,z2=-1+2i,求z1+z2,z1-z2;(2)计算:(+i)+(2-i)-(-i);(3)计算:(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).【方法指导】依据复数代数形式的加减运算法则以及运算律求解.【解析】(1)z1+z2=2+3i+(-1+2i)=1+5i,z1-z2=2+3i-(-1+2i)=3+i.(2)+i+(2-i)-(-i)=(+2-)+(-1+)i=1+i.(3)(法一)原式=[(1-2)+(3-4)+…+(2019-2019)+2019]+[(-2+3)+(-4+5)+…+(-2019+2019)-2019]i=(-1006+2019)+(1006-2019)i=1007-1008i.(法二)(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,将以上各式(共1006个)相加可知:原式=1006(-1+i)+(2019-2019i)=1007-1008i.【小结】几个复数相加减,运算法则为这些复数的所有实部相加减,所有虚部相加减.第(3)小题的解法一是从整体上把握,将计算分实部和虚部进行,有机构造特殊数列的和进而求得结果.解法二是从局部入手,抓住了式中相邻两项和的特点,恰当地分组使计算得以简化.复数代数形式加减运算的几何意义在复平面内,A、B、C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.【方法指导】根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.【解析】如图所示:对应复数z3-z1,对应复数z2-z1,对应复数z4-z1.由复数加减运算的几何意义得=+,∴z4-z1=(z2-z1)+(z3-z1),∴z4=z2+z3-z1=(5+i)+(3+3i)-(1+i)=7+3i,∴AD的长为||=|z4-z1|=|(7+3i)-(1+i)|=|6+2i|=2.【小结】利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.复数加减法运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.复数加减运算的综合应用已知实数a>0,b>0,复数z1=a+5i,z2=3-b i,|z1|=13,|z2|=5,求z1+z2.【方法指导】利用两复数的模,可求得a,b的值,再求z1+z2.【解析】由题意得∴∴z1=12+5i,z2=3-4i,∴z1+z2=15+i.【小结】本题结合了复数的模与复数的加法,表面看着难,其实难度不大.复数z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求z1+z2-z3,并说明z1+z2-z3在复平面内对应的点所在的象限.【解析】z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i,z1+z2-z3在复平面内对应的点为(6,4),在第一象限.如图所示,平行四边形OABC的顶点O、A、C分别表示0、3+2i、-2+4i.求:(1)表示的复数;(2)表示的复数;(3)表示的复数.【解析】(1)因为=-,所以表示的复数为-3-2i.(2)因为=-,所以表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为=+,所以表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.已知实数a∈R,复数z1=a+2-3a i,z2=6-7i,若z1+z2为纯虚数,求a的值.【解析】z1+z2=(a+2-3a i)+(6-7i)=a+8-(3a+7)i,∴z1+z2为纯虚数,∴∴a=-8.1.复数z1=-3+4i,z2=6-7i,则z1+z2等于().A.3-3iB.3+3iC.-9+11iD.-9-3i【答案】A2.复数(3+i)m-(2+i)对应的点在第三象限内,则实数m的取值范围是().A.m<B.m<1C.<m<1D.m>1【解析】(3+i)m-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i,∴点(3m-2,m-1)在第三象限,∴即m<.【答案】A3.复数z1=-2+3i,z2=4+3i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6.【答案】-64.已知a∈R,复数z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i,若z1+z2为实数,求z1-z2.【解析】z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i,∴a∈R,z1+z2为实数,∴a+5=0,∴a=-5,∴z1=2-3i,z2=14+3i,∴z1-z2=-12-6i.在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.(1)求向量,,对应的复数;(2)判断∈ABC的形状.【解析】(1)=-=(2+i)-1=1+i,=-=(-1+2i)-1=-2+2i,=-=(-1+2i)-(2+i)=-3+i,所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.(2)因为||2=10,||2=8,||2=2,所以有||2=||2+||2,所以∈ABC为直角三角形.1.向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是().A.-10+8iB.10-8iC.0D.10+8i【解析】+对应的复数为5-4i+(-5+4i)=0.【答案】C2.复数z1=1-5i,z2=-2+i,则z1-z2在复平面内对应的点在().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】z1-z2=(1-5i)-(-2+i)=3-6i,对应的点为(3,-6),该点位于第四象限.【答案】D3.复数z1=5-12i,z2=4+7i,则z1-z2=.【解析】z1-z2=(5-12i)-(4+7i)=1-19i.【答案】1-19i4.已知z1=(3x+y)+(y-4x)i,z2=(4y-2x)-(5x+3y)i(x,y∈R).设z=z1-z2且z=13-2i,求z1,z2.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-[(4y-2x)-(5x+3y)i]=[(3x+y)-(4y-2x)]+[(y-4x)+(5x+3y)]i=(5x-3y)+(x+4y)i,又z=13-2i,且x,y∈R,则解得故z1=(3×2-1)+(-1-4×2)i=5-9i,z2=4×(-1)-2×2-[5×2+3×(-1)]i=-8-7i.5.复平面内点A,B,C对应的复数分别为i,1,4+2i,由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD,则||等于().A.5B.C.D.【解析】如图所示,∈ABCD四个顶点对应复数分别为z1=i,z2=1,z3=4+2i,z4,则有=+,=(z1-z2)+(z3-z2)=2+3i,故||==.【答案】B6.已知复数z1,z2,有|z1|=5,|z2|=12,|z1+z2|=13,则|z1-z2|为().A.8B.10C.12D.13【解析】利用向量结合复数分析可知构成的平行四边形为矩形,故对角线相等.【答案】D7.已知实数a>0,复数z1=a+2i,z2=3+5i,|z1-z2|=5,则a的值为.【解析】z1-z2=a-3-3i(a∈R),∴|z1-z2|=5,∴=25,∴a-3=±4,又a>0,∴a=7.【答案】78.已知f(z)=2z+2-i,z0=1+2i,f(z0-z1)=6-3i,z∈C,求复数z1,f(|z0+z1|).【解析】由已知得2z0-2z1+2-i=6-3i,z0=1+2i,∴2+4i-2z1+2-i=6-3i,即4+3i-2z1=6-3i,∴2z1=(4+3i)-(6-3i)=(4-6)+(3+3)i=-2+6i,∴z1=-1+3i,∴|z0+z1|=|(1+2i)+(-1+3i)|=|5i|=5,∴f(|z0+z1|)=f(5)=2×5+2-i=12-i.9.已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为.【解析】(法一)∴|z|=2,∴|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3.(法二)设w=z-i,则w+i=z,∴|w+i|=|z|=2.w表示以点(0,-1)为圆心,以2为半径的圆,由图知,圆上到原点的距离以|OP|为最大,最大值是3.【答案】310.已知a,b∈R,若复数z1=a+b i,|z1|=4,z2=b-a i,求|z1+z2|,|z1-z2|.【解析】∴|z1|=4,∴=4,a2+b2=16.∴z1+z2=(a+b)+(b-a)i,∴|z1+z2|====4.∴z1-z2=(a-b)+(b+a)i,∴|z1-z2|====4.。

高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案新人教A版选修1-2

④数集的关系：
上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？
二合作探究，展示，点评
例2.求适合下列方程的的值
.
例3实数x取何值时，复数（1）是实数
（2）是虚数（3）是纯虚数
三总结
四检测
1．指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。
2．判断①两复数，若虚部都是3，则实部大的那个复数较大( )
3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
② 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数( )
3若，则的值是________.
4．．知是虚数单位，复数，当取何实数时，是：
（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零
5.已知复数与相等，且的实部、虚部分别是方程的两根，试求：的值。（讨论中，k取何值时是实数？
实数与相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
1.复数的概念：
①定义复数：复数代数形式

北师大版高中数学选修1-2导学案：数系的扩充与复数的概念

学习目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如的数叫做复数，其中和都是实数，其中叫做复数z 的实部，叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当时，它是实数；当时，它是虚数；当时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别，即: ， .则说这两个复数相等.a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ .注意:两复数比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 实数m取什么数值时，复数1(1)=-++是实数（）z m m iA．0 B．1-C．2-D．3-2. 如果复数a bi+的和是纯虚数，则有（）+与c diA．0a c+≠+=且0b dB．0+=a cb d+≠且0C．0+≠a db d+=且0D．0+≠b d+=且0b c3. 如果22=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）2(32)z a a a a iA．1或2-B．1-或2C．1或2 D．1-或2-4.若22-+++是纯虚数，则实数x的值是x x x i(1)(32)5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，则实数x= ；y= .课后作业1.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172++-=-x y x y i i(2)(3)(4)0+-+-=x y x i2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为(2)虚部为(3)虚部为。

高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2篇

高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2篇High school mathematics elective 1-2 "number system expansi on and plural concept" teaching plan高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2篇前言：数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

本教案根据数学课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。

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本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】1、篇章1：高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案2、篇章2：高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案篇章1:高中数学选修1-2《数系扩充和复数概念》教案教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程（一）问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。

人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(4)

3.1.1数系的扩充和复数的概念教学目标：1、了解数的发展史，理解实数系扩充复数系的必要性；2．在问题的情境中让学生了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联；3、初步理解复数、虚数、纯虚数等概念，掌握复数的代数形式与复数相等的充要条件.教学重点：对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念.教学难点：由于学生对数系扩充的知识不熟悉,对了解实数系扩充到复数系的过程有困难,由于理解复数是一对有序实数不习惯,对于复数概念理解也有一定困难.教学过程:(一)、情境引入：（二）、知识引入：我们已知知道：对于一元二次方程x2+1=0没有实数根．如何解决“在实数范围中开方运算不能实施的矛盾”？引入一个新数：i使得i2=-1引出课题：3.1.1数系的扩充和复数的概念数系的扩充：自然数、整数、有理数、实数、复数复习回顾用图形表示包含关系1、现在我们就引入这样一个数i ，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i2=-1；（2）实数可以与i 进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立。

2、形如a +bi (a,b ∈R)的数叫做复数.全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C 表示 .3、复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即z=a+bi a,b 都属于R 其中a 为实部，b 为虚部；i 为虚数单位。

5、讨论：复数集C 和实数集R 之间有什么关系？复数a+bi思考：复数集，虚数集，实数集，纯虚数集之间的关系？（三）、练习巩固1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。

()i i i i i 293,85,31,,72,0,618.0,722-+-+ 2、判断下列命题是否正确：（1）若a 、b 为实数，则Z=a+bi 为虚数（2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数（3）若a 为实数，则Z= a 一定不是虚数3.条例下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举例,若不存在,请说明理由.(1)实部为-2的虚数;(2)虚部为-2的虚数;(3)虚部为-2的纯虚数.例1 实数m 取什么值时，复数Z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？练习：实数m 取什么值时，复数是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数我们知道若a+bi=0,则a=0.b=05、思考：如何定义两个复数的相等？如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．注意：一般对两个复数只能说相等或不相等；不能比较大小。

人教版高中选修1—2数学3.1数系的扩充和复数的概念教案(2)

板书设计：
[教学反馈]
学生对于如何进行数系的扩充有了一定的认识，大体理解复数的分类，复数相等的充要
条件，课本作业的完成情况较好，但部分同学对于逻辑连结词“或”、“且”的理解不到位，
一是不知该使用或还是且，二是或与且的连结不知如何得到结果。

【教学反思】
这节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质，复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复平面等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类。

高中数学选修1-2精品学案：第四章数系的扩充与复数的引入第1课时数系的扩充和复数的概念

第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4:两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∵-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∵i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∵∵a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∵θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∈B=CB.∈S A=BC.A∩(∈S B)=∈D.B∩(∈S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∵∵-7<m<3.∵当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2019年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∵∵m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∵x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∵m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∵即∵m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∵②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∵③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∵∵∵a=-3,∵a2-1=8,∵复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈∈.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∵∵∵n=1或n=-,m+n=3n,∵m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∵∵λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∵0<2x<2π,∵2x=或2x=,∵x=或.。

高中数学教案选修1-2教案第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1数系的扩充与复数的概念

3.1.1 数系的扩充与复数的概念教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。

教学难点：复数及其相关概念的理解教学过程：一、复习准备：1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。

讨论：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？二、讲授新课：1. 教学复数的概念：①定义复数：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集。

出示例1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--规定：a bi c di a c +=+⇔=且b=d ，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。

②讨论：复数的代数形式中规定,a b R ∈，,a b 取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？③定义虚数：,(0)a bi b +≠叫做虚数，,(0)bi b ≠叫做纯虚数。

④ 数集的关系：0,0)0)0,0)Z a a ⎧⎪≠≠⎧⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩实数 (b=0)复数一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b 上述例1中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？2.出示例题2：（引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论）练习：已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值。

选修1-2复数导学案、课后作业及参考答案

3.1.1数系的扩充与复数的概念【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.【知识要点】1．复数的有关概念（1）复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．（2）复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母____表示 2．复数的分类及包含关系（1）复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)（2）集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________.【问题探究】探究点一复数的概念问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由．（1）实部为－2的虚数；（2）虚部为－2的虚数；（3）虚部为－2的纯虚数；（4）实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．探究点二两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y . 跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【当堂检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( ) A ．2，1 B ．2，5 C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1 4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等； ③1－a i(a ∈R)是一个复数； ④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ； ⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数．其中正确命题的个数为 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【课堂小结】1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．【课后作业】一、基础过关1． “复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数”是“a ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是( )A ．若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数B ．若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋iC ．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1D ．两个虚数不能比较大小3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( )A ．2－2iB ．－5＋5iC ．2＋iD ．5＋5i 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A ．12B ．2C ．0D ．15．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．－1或1二、能力提升6．若sin 2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )A ．2k π－π4(k ∈Z )B ．2k π＋π4(k ∈Z )C ．2k π±π4(k ∈Z )D ．k 2π＋π4(k ∈Z )7．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝______，n ＝______. 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根．则其中正确命题的个数为________．9．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 10．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数．11．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．如果log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？3.1.2 复数的几何意义【学习要求】1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. 2．掌握实轴、虚轴、模等概念.3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法．【学法指导】通过类比实数可用数轴上的点来表示，认识复数用点和向量表示的合理性，体会数形结合思想在理解复数中的作用．复数的几何意义是进一步学习复数的加法、减法几何意义的基础，所以理解并掌握复数的几何意义具有承上启下的重要作用．【知识要点】1．复数的几何意义（1）复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做________，x 轴叫做______，y 轴叫做______．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．（2）复数与点、向量间的对应 ①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 复平面内的点______； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量___________．2．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝________【问题探究】探究点一复数与复平面内的点问题1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？问题2 判断下列命题的真假：①在复平面内，对应于实数的点都在实轴上； ②在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；③在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； ④在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； ⑤在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限．例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围．跟踪训练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i （1）对应的点在x 轴上方；（2）对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上．探究点二复数与向量问题1 复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？问题2 怎样定义复数z 的模？它有什么意义？例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围．跟踪训练2 求复数z 1＝3＋4i ，z 2＝－12－2i 的模，并比较它们的大小．跟踪训练3 设z ∈C ，满足下列条件的点Z 的集合是什么图形？（1）|z |＝2；（2）|z |≤3.【当堂检测】1．在复平面内，复数z ＝i ＋2i 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为 ( ) A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i4．在复平面内表示复数z ＝(m －3)＋2m i 的点在直线y ＝x 上，则实数m 的值为________【课堂小结】1．复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应；2．研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑．【课后作业】一、基础过关1．复数z ＝3＋i 3对应的点在复平面第几象限( )A ．一B ．二C ．三D ．四2．当0<m <1时，z ＝(m ＋1)＋(m －1)i 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是 ( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i4．已知复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，当a ＝0时，复平面内的点z 的轨迹是( )A ．实轴B ．虚轴C ．原点D ．原点和虚轴5．已知复数z ＝a ＋3i 在复平面内对应的点位于第二象限，且|z |＝2，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3IC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i6．若复数(－6＋k 2)－(k 2－4)i(k ∈R )所对应的点在第三象限，则k 的取值范围是________．二、能力提升7．若θ∈(3π4，5π4)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．复数z ＝icos θ，θ∈[0,2π)的几何表示是( )A ．虚轴B ．虚轴除去原点C ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(0,1)，(0，－1)D ．C 中线段PQ ，但应除去原点9．复数z ＝log 123＋ilog 3 12对应的点位于复平面内的第______象限．10．若复数z 1＝1－i ，z 2＝3－5i ，则复平面上与z 1，z 2对应的点Z 1与Z 2的距离为________． 11．复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝______.12．当实数m 为何值时，复数z ＝(m 2－8m ＋15)＋(m 2＋3m －28)i 在复平面内的对应点：（1）位于第四象限；（2）位于x 轴负半轴上；（3）在上半平面(含实轴)．13．已知复数z 对应的向量为OZ →(O 为坐标原点)，OZ →与实轴正向的夹角为120°且复数z 的模为2，求复数z .三、探究与拓展14．（1）满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆（2）已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值为________．3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义【学习要求】1．熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2．理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．【学法指导】复数的代数形式的加减法运算可以类比多项式的加减法运算，利用向量的加法来理解复数加法的几何意义，数形结合．【知识要点】1．复数加法与减法的运算法则（1）设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，则z 1＋z 2＝________________，z 1－z 2＝________________. （2）对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝________，(z 1＋z 2)＋z 3＝__________. 2．复数加减法的几何意义如图：设复数z 1，z 2对应向量分别为OZ →1，OZ →2，四边形OZ 1ZZ 2为平行四边形，则与z 1＋z 2对应的向量是______,与z 1－z 2对应的向量是______．【问题探究】探究点一复数加减法的运算我们规定，复数的加法法则如下：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i 是任意两个复数，那么(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i. 提出问题：问题1 两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？问题2 当b ＝0，d ＝0时，与实数加法法则一致吗？问题3 它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？问题4 实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明．问题5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则．例1 计算：（1）(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)；（2）1＋(i ＋i 2)＋(－1＋2i)＋(－1－2i)．跟踪训练1 （1）计算2i －[(3＋2i)＋3(－1＋3i)]；（2）计算(a ＋2b i)－(3a －4b i)－5i(a ，b ∈R).探究点二复数加减法的几何意义问题1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？问题2 怎样作出与复数z 1－z 2对应的向量？例2 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ， A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i.求：（1）AO →对应的复数；（2）对角线CA →对应的复数；（3）对角线OB →对应的复数．跟踪训练2 复数z 1＝1＋2i ，z 2＝－2＋i ，z 3＝－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．探究点三复数加减法的综合应用例3 已知|z 1|＝|z 2|＝|z 1－z 2|＝1，求|z 1＋z 2|.跟踪训练3 本例中，若条件变成|z 1|＝|z 2|＝1，|z 1＋z 2|＝ 2.求|z 1－z 2|.【当堂检测】1．复数z 1＝2－12i ，z 2＝12－2i ，则z 1＋z 2等于( )A ．0B ．32＋52IC ．52－52iD ．52－32i2．若z ＋3－2i ＝4＋i ，则z 等于( )A ．1＋iB ．1＋3C ．－1－iD ．－1－3i3．在复平面内，O 是原点，向量OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →对应的复数为 ( ) A ．2＋8i B ．－6－6i C ．4－4i D ．－4＋2i 4．若|z －1|＝|z ＋1|，则复数z 对应的点在 ( ) A ．实轴上 B ．虚轴上 C ．第一象限 D ．第二象限【课堂小结】1．复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算．2．复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则．【课后作业】一、基础过关1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 2．复数i ＋i 2在复平面内表示的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2等于( )A ．2B ．2＋2iC ．4＋2iD ．4－2i 4．设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋IC ．3D ．－2－i 5．已知|z |＝3，且z ＋3i 是纯虚数，则z 等于( )A ．－3iB ．3iC ．±3iD ．4i6．计算：(1－2i)＋(－2＋3i)＋(3－4i)＋(－4＋5i)＋…＋(－2 008＋2 009i)＋(2 009－2 010i)＋(－2 010＋2011i)．二、能力提升7．若复数z 1＝－1，z 2＝2＋i 分别对应复平面上的点P ，Q ，则向量PQ →对应的复数是____． 8．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________． 9．若|z －2|＝|z ＋2|，则|z －1|的最小值是________．10．设m ∈R ，复数z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，若z 1＋z 2是虚数，求m 的取值范围．11．复平面内有A ，B ，C 三点，点A 对应的复数是2＋i ，向量BA →对应的复数是1＋2i ，向量BC →对应的复数是3－i ，求C 点在复平面内的坐标．12．已知ABCD 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别是1＋3i ，－i,2＋i ，求点D 对应的复数．三、探究与拓展13．在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.（1）求AB →，BC →，AC →对应的复数；（2）判断△ABC 的形状；（3）求△ABC 的面积．3.2.2 复数代数形式的乘除运算【学习要求】1．掌握复数代数形式的乘法和除法运算.2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 3．理解共轭复数的概念．【学法指导】复数的乘法可类比多项式的乘法，不必专门记公式；复数的除法是乘法的逆运算，可先写成分数形式，分母“实数化”.【知识要点】1．复数的乘法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1·z 2＝(a ＋b i)(c ＋d i)＝__________________. 2．复数乘法的运算律对任意复数z3．共轭复数如果两个复数满足_____时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝_____. 4．复数的除法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)，则z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝____________________【问题探究】探究点一复数乘除法的运算问题1 怎样进行复数的乘法？问题2 如何理解复数的乘除法运算法则？例1 计算：（1）(2＋i)(2－i)；（2）(1＋2i)2；（3）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i.跟踪训练1 （1）i 是虚数单位，复数－1＋3i 1＋2i 等于( )A ．1＋iB ．5＋5iC ．－5－5iD ．－1－i（2）复数i 2＋i 3＋i 41－i 等于 ( )A ．－12－12iB ．－12＋12IC ．12－12iD ．12＋12i探究点二共轭复数及其应用问题共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？例2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .跟踪训练2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和．【当堂检测】1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于 ( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 2．若复数z ＝1＋i ，i 为虚数单位，则(1＋z )z 等于 ( )A ．1＋3iB ．3＋3iC ．3－iD ．3 3．复数i －21＋2i等于 ( )A ．iB ．－IC ．－45－35iD ．－45＋35i4．复数z ＝2－i2＋i (i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【课堂小结】1．复数代数形式的乘除运算（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化． 2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．3．复数问题实数化思想．复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，利用复数相等的充要条件转化．【课后作业】一、基础过关 1．复数－i ＋1i等于( )A ．－2iB ．12I C ．0D ．2i 2． i 为虚数单位，1i ＋1i 3＋1i 5＋1i7等于( )A ．0B ．2iC ．－2iD ．4i3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－14．在复平面内，复数i1＋i＋(1＋3i)2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设复数z 的共轭复数是z ，若复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于 ( )A ．34B ．43C ．－43D ．－346．若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋IC ．2－iD ．2＋i二、能力提升7．设复数i 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 为虚数单位)，则z 的实部是________． 8．复数2i－1＋3i的虚部是________．9．已知z 是纯虚数，z ＋21－i 是实数，那么z=________．10．计算：（1）2＋2i (1－i )2＋(21＋i)2 010；（2）(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)．11．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.12．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i ，求z .探究与拓展13．已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b 、c 为实数)．（1）求b ，c 的值；（2）试说明1－i 也是方程的根吗？习题课【学习要求】巩固复数的概念和几何意义；理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义．【双基检测】1．以1＋2i 的虚部为实部，以3i －2的实部为虚部的新复数是 ( ) A ．2－2i B ．2＋I C ．3＋i D ．2＋3i2．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是( ) A ．x ＝3，y ＝3 B ．x ＝5，y ＝1 C ．x ＝－1，y ＝－1 D ．x ＝－1，y ＝13．设复数z 满足(1＋i)z ＝2，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．2＋2i D ．2－2i 4．已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )A ．－1B ．1C ．2D ．35．复数z ＝1＋i ，z 为z 的共轭复数，则z z －z －1等于( )【题型解法】题型一复数的四则运算例1 （1）计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 012＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ；（2）已知z ＝1＋i ，求z 2－3z ＋6z ＋1的模．跟踪训练1 （1）已知z1＋i＝2＋i ，则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1－3iC ．3＋iD ．3－i （2）i 为虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 011等于( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1题型二复数的几何意义例2 已知点集D ＝{z ||z ＋1＋3i|＝1，z ∈C}，试求|z |的最小值和最大值．跟踪训练2 已知复数z 1，z 2满足|z 1|＝3，|z 2|＝5，|z 1－z 2|＝10，求|z 1＋z 2|的值．题型三两个复数相等例3 设复数z 和它的共轭复数z 满足4z ＋2z ＝33＋i ，求复数z .跟踪训练3 关于x 的方程x 2＋(3＋2i)x ＋3a i ＝0有非零实根，求实数a 的值及方程的实数根．【课堂小结】1．复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2．复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3．利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题．【课后作业】一、基础过关1．复数1－2＋i ＋11－2i的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－152．复数2＋i1－2i的共轭复数是( )A ．－35iB ．35I C ．－iD ．i3．若(m 2－5m ＋4)＋(m 2－2m )i>0，则实数m 的值为( )A ．1B ．0或2C ．2D ．04．设a ，b ∈R 且b ≠0，若复数(a ＋b i)3是实数，则( )A ．b 2＝3a 2B ．a 2＝3b 2C ．b 2＝9a 2D ．a 2＝9b 2 5．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D ．126．复平面内点A 、B 、C 对应的复数分别为i 、1、4＋2i ，由A →B →C →D 按逆时针顺序作平行四边形ABCD ，则|BD →|等于 ( )A ．5B ．13C ．15D ．17二、能力提升7．已知复数z ＝2－i1－i ，其中i 是虚数单位，则|z |＝________.8．已知(a －i)2＝2i ，那么实数a ＝________.9．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值是________．10．已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？11．设复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ，若z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，求实数a ，b 的值．12．在复平面内，O 是原点，向量OA →对应的复数是2＋i.（1）如果点A 关于实轴的对称点为B ，求向量OB →对应的复数；（2）如果（1）中点B 关于虚轴的对称点为C ，求点C 对应的复数．三、探究与拓展13．是否存在复数z ，使其满足z ·z ＋2i z ＝3＋a i ？如果存在，求实数a 的取值范围；如果不存在，请说明理由．章末复习课【知识结构】【题型解法】题型一分类讨论思想的应用例1 实数k 为何值时，复数(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)满足下列条件？（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．跟踪训练1 （1）若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则 ( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2（2）实数x 取什么值时，复数z ＝(x 2＋x －6)＋(x 2－2x －15)i 是：①实数；②虚数；③纯虚数；④零．题型二数形结合思想的应用例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A ，B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z .跟踪训练2 已知复数z 1＝i(1－i)3. （1）求|z 1|；（2）若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．题型三转化与化归思想的应用例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．跟踪训练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .题型四类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，只要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有（1）i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z)；（2）(1±i)2＝±2i ；（3）设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；（4）(12±32i)3＝－1；（5）作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．例4 计算：（1）(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；（2）－23＋i 1＋23i＋(21－i )2 006.跟踪训练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0111－i章末检测一、选择题1． i 是虚数单位，若集合S ＝{－1,0,1}，则( )A ．i ∈SB ．i 2∈SC ．i 3∈SD ．2i∈S2． z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 3． i 是虚数单位，复数3＋i1－i等于( )A ．1＋2iB ．2＋4iC ．－1－2iD ．2－i 4．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a 等于( )A ．1B ．－1C ． 2D ．－ 2 5．若(x －i)i ＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 等于( )A ．－2＋iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋2i 6． (1＋i)20－(1－i)20的值是( )A ．－1 024B ．1 024C ．0D ．1 024i7． i 是虚数单位，若1＋7i2－i＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则ab 的值是( )A ．－15B ．3C ．－3D ．158．若z 1＝(x －2)＋y i 与z 2＝3x ＋i(x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．已知f (n )＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f (n )}的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无数个二、填空题10．复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是________． 11．给出下面四个命题：①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与a i 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中真命题的个数是________． 12．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是______． 13．下列说法中正确的序号是________．①若(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，其中x ∈R ，y ∈∁C R ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y1＝－(3－y )；②2＋i>1＋i ； ③虚轴上的点表示的数都是纯虚数；④若一个数是实数，则其虚部不存在； ⑤若z ＝1i ，则z 3＋1对应的点在复平面内的第一象限．三、解答题14．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i ，当m 为何值时，（1）z 是实数？（2）z 是纯虚数？15．已知复数z 1＝1－i ，z 1·z 2＋z 1＝2＋2i ，求复数z 2.16．计算：（1）(2＋2i )4(1－3i )5；（2）(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.17．实数m 为何值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 对应的点在：（1）x 轴上方；（2）直线x ＋y ＋5＝0上．18．已知复数z 满足|z |＝2，z 2的虚部是2.（1）求复数z ；（2）设z ，z 2，z －z 2在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．19．设z 1是虚数，z 2＝z 1＋1z 1是实数，且－1≤z 2≤1.（1）求|z 1|的值以及z 1的实部的取值范围；（2）若ω＝1－z 11＋z 1，求证：ω为纯虚数．复数参考答案3.1.1数系的扩充和复数的概念参考答案1．A 2．D 3．A 4．D 5．A 6．B 7．2 ±2 8．1 9．－110．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．11．解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.12．解由于z 1<z 2，m ∈R ，∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2.当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0， m ＝1或m ＝4，∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1.13．解因为log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以log 12(m ＋n )－(m 2－3m )i是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①log 12(m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1；当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾，综上可得m ＝0，n ＝1.3.1.2 复数的几何意义参考答案1．D 2．D 3．C 4．B 5．A 6．2<k <6或－6<k <－2 7．B 8．C 9．三 10．2 5 11．212．解 (1)要使点位于第四象限，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15>0m 2＋3m －28<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m <3或m >5－7<m <4，∴－7<m <3. (2)要使点位于x 轴负半轴上，须⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8m ＋15<0m 2＋3m －28＝0，∴⎩⎨⎧3<m <5m ＝－7或m ＝4，∴m ＝4. (3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m 2＋3m －28≥0，解得m ≥4或m ≤－7.13．解根据题意可画图形如图所示：设点Z 的坐标为(a ，b )， ∵|OZ →|＝|z |＝2，∠xOZ ＝120°， ∴a ＝－1，b ＝3，即点Z 的坐标为(－1，3)， ∴z ＝－1＋3i. 14．(1)C(2) 33.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义参考答案1．D 2．B 3．C 4．D 5．B6．解原式＝(1－2＋3－4＋…－2 008＋2 009－2 010)＋(－2＋3－4＋5＋…＋2 009－2 010＋2 011)i ＝－1 005＋1 005i.7．3＋I 8.115＋3I 9．110．解 ∵z 1＝m 2＋mm ＋2＋(m －15)i ，z 2＝－2＋m (m －3)i ，∴z 1＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋m m ＋2－2＋[(m －15)＋m (m －3)]i ＝m 2－m －4m ＋2＋(m 2－2m －15)i.∵z 1＋z 2为虚数，∴m 2－2m －15≠0且m ≠－2，解得m ≠5，m ≠－3且m ≠－2(m ∈R )． 11．解 ∵AC →＝BC →－BA →，∴AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i ，设C (x ，y )，则(x ＋y i)－(2＋i)＝2－3i ， ∴x ＋y i ＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i ，故x ＝4，y ＝－2.∴C 点在复平面内的坐标为(4，－2)．12．解方法一设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )，则D (x ，y )，又由已知A (1,3)，B (0，－1)，C (2,1)． ∴AC 中点为⎝⎛⎭⎫32，2，BD 中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y －12. ∵平行四边形对角线互相平分，∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝x 22＝y －12，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5.即点D 对应的复数为3＋5i.方法二设D 点对应的复数为x ＋y i (x ，y ∈R )．则AD →对应的复数为(x ＋y i)－(1＋3i)＝(x －1)＋(y －3)i ，又BC →对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i ，由于AD →＝BC →.∴(x －1)＋(y －3)i ＝2＋2i.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝2y －3＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5. 即点D 对应的复数为3＋5i.13．解 (1)AB →对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，BC →对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i ， (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， ∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝12×2×22＝2.3.2.2 复数代数形式的乘除运算参考答案1．A 2．A 3．D 4．B 5．A 6．D 7．1 8．－129．－2i10．解 (1)2＋2i(1－i )2＋(21＋i )2 010＝2＋2i －2i＋(22i ) 1 005＝i(1＋i)＋(1i )1 005＝－1＋i ＋(－i)1 005＝－1＋i －i ＝－1.(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝22－14i ＋25－25i ＝47－39i. 11．解 (z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1z 2＝(2－i)·(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i ， ∵z 1z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 12．解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i )10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3. ∴z ＝－1，或z ＝－1－3i.13．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2.∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．习题课参考答案1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 6．B 8．－1 9．410．解由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1，∴复数z 的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)消去a 2－2a 得：y ＝－x ＋2 (x ≥3)． ∴复数z 的对应点的轨迹是一条射线，方程为y ＝－x ＋2 (x ≥3)．11．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝(3－i )(2－i )5＝1－i. 因为z 2＋a ·z ＋b ＝1＋i ，所以(1－i)2＋a (1－i)＋b ＝1＋i. 所以(a ＋b )－(a ＋2)i ＝1＋i.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－(a ＋2)＝1，解得a ＝－3，b ＝4.即实数a ，b 的值分别是－3,4.12．解 (1)设所求向量OB →对应的复数为z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则点B的坐标为(a ，b )．已知A (2,1)，由对称性可知a ＝2，b ＝－1. 所以OB →对应的复数为z 1＝2－i.(2)设所求点C 对应的复数为z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，则C (c ，d )．由(1)，得B (2，－1)．由对称性可知，c ＝－2，d ＝－1. 故点C 对应的复数为z 2＝－2－i.13．解设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则原条件等式可化为x 2＋y 2＋2i(x －y i)＝3＋a i.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2y ＝3，2x ＝a .消去x ，得y 2＋2y ＋a 24－3＝0.所以当Δ＝4－4⎝⎛⎭⎫a 24－3＝16－a 2≥0，即－4≤a ≤4时，复数z 存在．故存在满足条件的复数z ，且实数a 的取值范围为－4≤a ≤4.章末检测答案1．B 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．C 8．C 9．B 10．(3,4) 11．0 12．(1，5) 13．⑤14．解 (1)要使复数z 为实数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0m 2＋3m ＋2＝0，解得m ＝－2或－1.即当m ＝－2或－1时，z 是实数．(2)要使复数z 为纯虚数，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1m 2＋3m ＋2≠0，解得m ＝3.即当m ＝3时，z 是纯虚数． 15．解因为z 1＝1－i ，所以z 1＝1＋i ，所以z 1·z 2＝2＋2i －z 1＝2＋2i －(1＋i)＝1＋i. 设z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 1·z 2＝1＋i ，得(1－i)(a ＋b i)＝1＋i ，所以(a ＋b )＋(b －a )i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1b －a ＝1，解得a ＝0，b ＝1，所以z 2＝i.16．解 (1)原式＝16(1＋i )4(1－3i )4(1－3i )＝16(2i )2(－2－23i )2(1－3i ) ＝－644(1＋3i )2(1－3i )＝－16(1＋3i )×4＝－41＋3i＝－1＋3i.(2)原式＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i. 17．解 (1)若z 对应的点在x 轴上方，则m 2－2m －15>0，解得m <－3或m >5.(2)复数z 对应的点为(m 2＋5m ＋6，m 2－2m －15)， ∵z 对应的点在直线 x ＋y ＋5＝0上，∴(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，整理得2m 2＋3m －4＝0，解得m ＝－3±414.18．解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由题意得a 2＋b 2＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.(2)当z ＝1＋i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △ABC ＝1. 当z ＝－1－i 时，z 2＝2i ，z －z 2＝－1－3i ，所以A (－1，－1)，B (0,2)，C (－1，－3)，所以S △ABC ＝1. 19．(1)解设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z 2＝z 1＋1z 1＝a ＋b i ＋1a ＋b i＝(a ＋a a 2＋b 2)＋(b －ba 2＋b 2)i.因为z 2是实数，b ≠0，于是有a 2＋b 2＝1，即|z 1|＝1，还可得z 2＝2a .由－1≤z 2≤1，得－1≤2a ≤1，解得－12≤a ≤12，即z 1的实部的取值范围是[－12，12]．(2)证明 ω＝1－z 11＋z 1＝1－a －b i1＋a ＋b i＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b a ＋1i.。

高中数学选修1-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念

3.1.1 数系的扩充和复数的概念[学习目标] 1.了解引进复数的必要性，理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.知识点一复数的引入在实数范围内，方程x2＋1＝0无解.为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使i是方程x2＋1＝0的根，即使i·i＝－1.把这个新数i添加到实数集中去，得到一个新数集.把实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i(a，b∈R)，这些数都应在新数集中.再注意到实数a和数i，也可以看作是a＋b i(a，b∈R)这样的数的特殊形式，所以实数系经过扩充后得到的新数集应该是C＝{a＋b i|a，b∈R}，称i为____________.思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25.(2)虚数单位i有哪些性质？知识点二复数的概念、分类1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋b i的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做__________.a叫做复数的________，b叫做复数的______.(2)复数的表示方法：复数通常用字母________表示，即________.(3)复数集定义：__________所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C表示.2.复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：思考 (1)两个复数一定能比较大小吗？(2)复数a ＋b i 的实部是a ，虚部是b 吗？知识点三复数相等复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________.即它们的实部与虚部分别对应相等. 思考 (1)若复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ).z ＝0，则a ＋b 的值为多少？(2)若复数z 1，z 2为z 1＝3＋a i(a ∈R )，z 2＝b ＋i(b ∈R )，且z 1＝z 2，则a ＋b 的值为多少？题型一复数的概念例1 写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.反思与感悟复数a ＋b i(a ，b ∈R )中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部.跟踪训练1 下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A.0B.1C.2D.3题型二复数的分类例2 设z ＝log 12(m －1)＋ilog 2(5－m )(m ∈R ).(1)若z 是虚数，求m 的取值范围；(2)若z 是纯虚数，求m 的值.反思与感悟将复数化成代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，根据复数的分类：当b ＝0时，z 为实数；当b ≠0时，z 为虚数；特别地，当b ≠0，a ＝0时，z 为纯虚数，由此解决有关复数分类的参数求解问题.跟踪训练2 实数k 为何值时，复数z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.题型三两个复数相等例3 (1)已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，求实数x ，y 的值.(2)关于x 的方程3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 有实根，求实数a 的值.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数.跟踪训练3已知复数z＝3x－1－x＋(x2－4x＋3)i＞0，求实数x的值.1.若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于()A.{－1}B.{1}C.{1，－1}D.∅2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是()A.2，1B.2，5C.±2，5D.±2，13.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是()A.±1B.±iC.±2iD.±2i4.已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，则实数m的值为________.5.设i为虚数单位，若关于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋m i＝0(m∈R)有一实根为n，则m＝________.1.复数的代数形式z＝a＋b i(a，b∈R)是解决问题的基础，明确其实部、虚部.2.根据复数为实数、虚数、纯虚数，复数相等的充要条件，可将问题实数化.[答案]精析知识梳理知识点一虚数单位思考 (1)在有理数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)．在实数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)＝(x 2＋5)(x ＋5)(x －5)．在复数集中：x 4－25＝(x 2＋5)(x 2－5)＝(x 2＋5)(x ＋5)(x －5)＝(x ＋5i)(x －5i)(x ＋5)(x －5)．(2)虚数单位i 有如下几个性质：①i 的平方等于－1，即i 2＝－1；②实数与i 可进行四则运算，并且原有的加法、乘法运算律仍然成立；③i 的乘方：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)．知识点二1．(1)虚数单位实部虚部(2)z z ＝a ＋b i (3)全体复数思考 (1)不一定，只有当这两个复数是实数时，才能比较大小．(2)不一定，对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，实部才是a ，虚部才是b .知识点三a ＝c 且b ＝d思考 (1)0；(2)4.题型探究例1 解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．跟踪训练1 A [①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，所以①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，所以②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，所以③是假命题．故选A.]例2 解 (1)因为z 是虚数，故其虚部log 2(5－m )≠0，m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＞0，5－m ＞0，5－m ≠1，解得1＜m ＜5，且m ≠4.(2)因为z 是纯虚数，故其实部log 12(m －1)＝0，虚部log 2(5－m )≠0， m 应满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m －1＝1，5－m ＞0，5－m ≠1，解得m ＝2.跟踪训练2 解由z ＝(1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0时，z ∈R ，即k ＝6或k ＝－1.(2)当k 2－5k －6≠0时，z 是虚数，即k ≠6且k ≠－1.(3)当⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0时，z 是纯虚数，解得k ＝4. (4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0时，z ＝0，解得k ＝－1. 例3 解 (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1. (2)设方程的实数根为x ＝m ，则原方程可变为3m 2－a 2m －1＝(10－m －2m 2)i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2－a 2m －1＝0，10－m －2m 2＝0，解得a ＝11或a ＝－715. 跟踪训练3 解 ∵z ＞0，∴z ∈R ，∴x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3. ∵z ＞0，∴3x －1－x ＞0，且x 2－4x ＋3＝0.对于不等式3x －1－x ＞0，x ＝1满足，x ＝3不满足，故x ＝1. 当堂检测1．C [因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以A ＝{i ，－1，－i,1}，又B ＝{1，－1}，故A ∩B ＝{1，－1}．]2．C [令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.] 3．C4．1或2[解析] ∵M ∪N ＝N ，∴M ⊆N ， ∴m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝－1或m 2－2m ＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝1或m ＝2.故实数m 的值是1或2.5．1[解析] 关于x 的方程x 2－(2＋i)x ＋1＋m i ＝0(m ∈R )有一实根为n ，可得n 2－(2＋i)n ＋1＋m i ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2－2n ＋1＝0，m －n ＝0. 所以m ＝n ＝1.。

高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案选修1-2

3．1.1 数系的扩充和复数的概念s(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解数系的扩充过程．(2)理解复数的基本概念．2．过程与方法(1)通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般性方法．(2)类比前几次数系的扩充，让学生了解数系扩充后，实数运算律均可应用于新数系中，在此基础上，理解复数的基本概念．3．情感、态度与价值观(1)虚数单位的引入，产生复数集，让学生体会在这个过程中蕴含的创新精神和实践能力，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；(2)初步学会运用矛盾转化，分与合，实与虚等辩证唯物主义观点看待和处理问题．●重点难点重点：理解虚数单位i的引进的必要性及复数的有关概念．难点：复数的有关概念及应用．(教师用书独具)●教学建议建议本节课采用自主学习，运用自学指导法，通过创设问题情境，引导学生自学探究数系的扩充历程，体会数系扩充的必要性及现实意义，思考数系扩充后需考虑的因素，譬如运算法则、运算律、符号表示等问题，为本节学习奠定知识基础．本节内容比较简单，通过学生自学加讨论的方式，基本上可以解决基础内容的理解，教师可以启发引导学生辨析实数、虚数、纯虚数及复数相等的概念，达到透彻理解、触类旁通、学以致用的熟练程度．高考对该部分知识要求不高，练习要控制难度，以低中档题目为主．●教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生认识虚数单位i，了解复数的概念、分类及复数相等的条件．让学生自主完成填一填，使学生进一步熟悉复数的有关概念，提炼出其中的关键因素、重点、难点．由学生自主分析例题1的各个选项，对应有关概念，确定出正确答案．教师只需指导完善解、答疑惑，并要求学生独立完成变式训练．学生分组探究例题2解法，找出实数、虚数、纯虚数的特征，总结求相关参数的方程、不等式的确定方法．完成互动探究．完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法．并进行反馈矫正．归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法．学生自主完成例题3变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导．让学生自主分析例题3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法．老师组织解法展示，引导学生总结解题规律．课标解读1.了解数系的扩充过程．2．理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件．(重点) 3．掌握复数的代数形式、分类等有关概念．(难点、易混点)复数的有关概念【问题导思】1．为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题？【提示】引入新数i ，规定i 2＝－1，这样i 就是方程x 2＋1＝0的根．2．设想新数i 和实数b 相乘后再与a 相加，且满足加法和乘法的运算律，则运算的结果可以写成什么形式？【提示】 a ＋b i(a ，b ∈R )的形式．(1)复数的定义：把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数．(2)虚数单位：i ，其满足i 2＝－1. (3)复数集：全体复数构成的集合C . (4)复数的代数形式：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )．(5)实部、虚部：对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．复数相等若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d .复数分类(1)对于复数a ＋b i ，当且仅当b ＝0时，它是实数；当且仅当a ＝b ＝0时，它是实数0；当b ≠0时，叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )可以分类如下：复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数a ＝0，非纯虚数a ≠0.(2)集合表示．复数的基本概念下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ⑤－1没有平方根；⑥若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数．A ．0B ．1C ．2D ．3 【思路探究】根据复数的有关概念判断．【自主解答】 ①由于x ，y ∈C ，所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题． ③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0也成立，∴③是假命题． ④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，∴④错． ⑤－1的平方根为±i，∴⑤错．⑥当a ＝－1时，(a ＋1)i ＝0是实数，∴⑥错．故选A. 【答案】 A正确理解复数的有关概念是解答复数概念题的关键，另外在判断命题的正确性时，需通过逻辑推理加以证明，但否定一个命题的正确性时，只需举一个反例即可，所以在解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般”、“先否定，后肯定”的方法进行解答．已知下列命题： ①复数a ＋b i 不是实数； ②当z ∈C 时，z 2≥0；③若(x 2－4)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±2； ④若复数z ＝a ＋b i ，则当且仅当b ≠0时，z 为虚数；⑤若a ，b ，c ，d ∈C 时，有a ＋b i ＝c ＋d i ，则a ＝c ，且b ＝d .其中真命题的个数是________．【解析】根据复数的有关概念判断命题的真假．①是假命题，因为当a ∈R 且b ＝0时，a ＋b i 是实数．②假命题，如当z ＝i 时，则z 2＝－1<0.③是假命题，因为由纯虚数的条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，x 2＋3x ＋2≠0，解得x ＝2，当x ＝－2时，对应复数为实数．④是假命题，因为没有强调a ，b ∈R .⑤是假命题，只有当a 、b 、c 、d ∈R 时，结论才成立．【答案】 0复数的分类当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【思路探究】根据复数的分类标准→ 列出方程(不等式)组→解出m →结论【自主解答】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．1．本例中，极易忽略对m ≠0的限制，从而产生增解，应注意严谨性．2．利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式)，求解参数时，注意考虑问题要全面．把题中的“z ”换成“z ＝lg m ＋(m －1)i”，分别求相应问题．【解】 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，m －1＝0，即m ＝1时，复数z 是实数．(2)当m －1≠0且m ＞0，即m ＞0且m ≠1时，复数z 是虚数．(3)当lg m ＝0且m －1≠0时，此时无解，即无论实数m 取何值均不能表示纯虚数．复数相等已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．【思路探究】根据复数相等的充要条件转化成关于x 的方程组求解．【自主解答】 ∵x ∈R ，∴x 2－x －6x ＋1∈R ，由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0，解得x ＝3.1．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等列方程组求实数x ，y 的值．2．求解复数的有关问题时，务必注意参数x ，y 的范围．求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.因忽视虚数不能比较大小而出错求满足条件－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 的实数a ，b 的取值范围．【错解】由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋a >－5，－b －a >a ＋2b －6，解得a >－3，b <2.【错因分析】想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提．两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小．所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数．【防范措施】当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．细心审题，解题前明确每个参数的取值范围，牢记复数相等的充要条件，才能避免此类错误的出现．【正解】由－2＋a －(b －a )i>－5＋(a ＋2b －6)i 知，不等号左右两边均为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝0，a ＋2b －6＝0，－2＋a >－5，解得a ＝b ＝2.1．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，可以限制a ，b 的值得到复数z 的不同情况． 2．两个复数相等，要先确定两个复数实虚部，再利用两个复数相等的条件． 3．一般来说，两个复数不能比较大小．1．(2012·北京高考)设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】 “a ＝”D ⇒\“a ＋b i 为纯虚数”， “a ＋b i 为纯虚数”“⇒”“a ＝0”， ∴选B. 【答案】 B2．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3D ．0，(1＋3)i【解析】根据复数的代数形式的定义可知(1＋3)i ＝0＋(1＋3)i ，所以其实部为0，虚部为1＋3，故选C. 【答案】 C3．下列命题中的假命题是( ) A ．自然数集是非负整数集 B ．实数集与复数集的交集为实数集 C ．实数集与虚数集的交集是{0} D ．纯虚数与实数集的交集为空集【解析】本题主要考查复数集合的构成，即复数的分类．复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，故选项C 中的命题是假命题．【答案】 C4．已知复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________.【解析】 ∵z <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m <0，∴m ＝－1.【答案】－1一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2【解析】 2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，∴b ＝2. 【答案】 D2．i 是虚数单位，1＋i 3等于( ) A ．i B ．－i C ．1＋i D ．1－i【解析】由i 是虚数单位可知：i 2＝－1，所以1＋i 3＝1＋i 2×i＝1－i ，故选D. 【答案】 D3．(2012·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ab ＝0⇒a ＝0或b ＝0，当a ≠0，b ＝0时，a ＋b i 为实数，当a ＋bi 为纯虚数时⇒a ＝0，b ≠0⇒ab ＝0，故“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．【答案】 B4．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1【解析】由题意可知，当⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，即x ＝－1时，复数z 是纯虚数．【答案】 A5．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD ．2＋2i【解析】 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，则所求复数为3－3i.【答案】 A 二、填空题6．给出下列复数：2＋3，0.618，i 2,5i ＋4，2i ，其中为实数的是________．【解析】 2＋3，0.618，i 2为实数，5i ＋4，2i 为虚数．【答案】 2＋3，0.618，i 27．已知x －y ＋2x i ＝2i ，则x ＝________；y ＝________. 【解析】根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，2x ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.【答案】 1 1 8．给出下列几个命题：①若x 是实数，则x 可能不是复数； ②若z 是虚数，则z 不是实数；③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零； ④－1没有平方根； ⑤两个虚数不能比较大小．则其中正确命题的个数为________．【解析】因实数是复数，故①错；②正确；因复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故③错；因－1的平方根为±i，故④错；⑤正确．故答案为2.【答案】 2 三、解答题9．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【解】 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0，所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．10．若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？【解】当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0，此时z 1与z 2同时为实数，此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．11．已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实根x 0，求x 0以及实数k 的值．【解】 x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理，得 (x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2，k ＝－22，或⎩⎨⎧x 0＝－2，k ＝2 2.∴方程的实根为x 0＝2或x 0＝－2，相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.(教师用书独具)若z 1＝m 2－(m 2－3m )i ，z 2＝(m 2－4m ＋3)i ＋10(m ∈R )，z 1＜z 2，求实数m 的取值．【思路探究】由z 1<z 2推出z 1，z 2均为实数，利用复数为实数的条件列出参数m 的方程组，从而求出实数m 的值．【自主解答】 ∵z 1＜z 2，∴z 1，z 2均为实数．∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①m 2－4m ＋3＝0， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3m ＝1或m ＝3∴m ＝3.又z 1＝m 2＝9＜z 2，故m ＝3符合题意． ∴m ＝3.复数z ＝a ＋b i 当且仅当其为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小．若用“大于”或“小于”符号联系复数时，则只能是实数，故而本题需将复数问题转化到实数范围内研究讨论．已知集合M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，求实数m 的值．【解】 ∵M ∩N ＝{3}，N ＝{－1,3}， ∴3∈M ，且－1∉M .必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3.由复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0.解得m ＝－1.。

选修1-2第三章数系的扩充与复数的引入全章教案

第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.1 数系的扩充和复数的概念【学情分析】：从小学接触自然数到扩充至整数范围,进入初中阶段后学生认识到数系从整数到有理数再到实数的第二次扩充.因为现实的需要,高中阶段要进一步实现从实数系到复数系的第三次扩充.学生初次接触复数，会产生一种“虚无缥缈”的感觉.所以要有意识地将实数与复数进行类比学习,学会复数问题向实数问题转化的方法.【教学目标】：（1）知识目标：理解复数产生的必然性、合理性；掌握复数的代数表示形式;掌握复数系下的数的分类. （2）过程与方法目标：从为了解决012=+x 这样的方程在实数系中无解的问题出发,设想引入一个新数i,使i 是方程012=+x 的根.到将i 添加到实数集中去,使新引入的数i 和实数之间能象实数系那样进行加、乘运算；掌握类比的方法，转化的方法。

（3）情感与能力目标：通过介绍数系扩充的简要进程，使同学们感受人类理性思维对数学的发展所起的重要作用，体会数与现实世界的联系。

【教学重点】：复数的概念及其分类。

【教学难点】：虚数单位i 的引入。

【教学突破点】：从解012=+x 方程的需要，引入虚数单位i.及虚数单位i 与实数的融合。

【教法、学法设计】：讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件;0)32()43)(2(;217)5()23)(1(=++--=-++i y x i i y x y x .0,,3,2222,55i i i --+-,)43(434.322i n n m m n z -++---=已知复数.,,)2(;,,)1(是实数取什么整数值时是纯虚数取什么整数值时z n m z n mA 组1.写出下列复数的实部与虚部:2.求适合下列各方程的实数:的值和y xB 组1.,,,,().,...()C R M P A PR C B MR CC PM D MR Cφ⊂≠===对于复数集实数集虚数集纯虚数集下列关系正确的是11222.23(log )log 2,___________.z x x x x i x ⎡⎤=--+--⎣⎦使复数是虚部为正数的非纯虚数则实数的取值范围是参考答案：A 组．1.五个复数的实部与虚部依次为:.0,0;1,0;0,3;22,22;5,5--- 2..23,34)2(;7,1).1(-====y x y x 3.;4,1,,4).1(≠-≠∈=m m Z m n;4,1,,14).1(≠-≠∈=-=m m Z m n n 或 B 组. 1.A; 2.B; 3.),3()3,2()41,0(+∞ .第三章数系的扩充与复数的引入【课题】：3.1.2 复数的几何意义【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经学过代数、解析几何的相关知识,所以本节课要求学生通过类比实数的几何意义自己探索复数的几何意义，由于学生已经学过平面向量及其几何表示、坐标表示，得到用平面向量来表示复数就比较容易了.【教学目标】：（1）知识与技能：了解复数的几何意义，会用复平面的点和向量来表示复数；（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对复数几何意义的理解；（3）情感态度与价值观：培养学生用联系的观点分析、解决问题的能力。

人教新课标版数学高二-人教选修1-2学案设计数系的扩充和复数的概念

3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念问题导学一、复数的有关概念活动与探究1 已知m ∈R ，复数z ＝(2)1m m m +-＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．迁移与应用已知m ∈R ，复数z ＝lg m ＋(m 2－1)i ，当m 为何值时， (1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．解决复数的分类问题时，主要依据复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )是实数、虚数、纯虚数的充要条件进行求解，列出相应的等式或不等式组求出参数的范围，但若已知的复数z 不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，应先化为这种形式，得到复数的实部、虚部再进行求解．二、复数相等的充要条件及应用活动与探究2已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}同时满足M∩N M ，M ∩N ≠，求整数a ，b ．迁移与应用1．已知复数z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )的实部为2，虚部为1，复数z 2＝(x －1)＋(2x －y )i(x ，y ∈R )．当z 1＝z 2时x ，y 的值分别为( )．A ．x ＝3且y ＝5B ．x ＝2且y ＝0C ．x ＝3且y ＝0D ．x ＝2且y ＝52．已知关于实数x ，y 的方程组(21)i (3)i (2)(4)i 98i x y y x ay x y b -+=--⎧⎨+--+=-⎩，①②有实数解，求实数a ，b 的值．复数相等的充要条件是化复数为实数的主要依据，多用来求解参数．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等，虚部与虚部相等，列方程组求解．答案：课前·预习导学【预习导引】1．(1)a ＋b i(a ，b R ) 虚数单位全体复数 (2)a ＋b i(a ，b R ) a 与b预习交流1 (1)提示：不一定．只有当a ，b 都是实数时，a 是复数的实部，b 是复数的虚部．(2)3 －2 2．a ＝c 且b ＝d 预习交流2 －1 －13．(1)b ＝0 b ≠0 a ＝0且b ≠0预习交流3 (1)提示：两个复数不一定能比较大小，只有当两个复数全部为实数时，才能比较大小，否则不能比较大小，只能判断两个复数相等或不相等．(2)提示：不一定是纯虚数．如当b ＝0时，b i ＝0为实数． (3)1 －1 课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：分清复数的分类，根据实部与虚部的取值情况进行判断．解：(1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3．(2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3．(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2．迁移与应用解：(1)z 为实数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1＝0，m >0，解得m ＝1．(2)z 为虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≠0，m >0，解得m ＞0且m ≠1．(3)z 为纯虚数时，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧lg m ＝0，m 2－1≠0，无解，即不存在m 使z 为纯虚数．活动与探究2 思路分析：依据集合关系，先确定集合元素满足的关系式，进而利用复数相等的充要条件，求出a ，b ．解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i 或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ．(1)当(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝0，b 2－1＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2，经检验，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2.(2)当8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝8，b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－2.由(1)知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－2不合题意，舍去，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.综上，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2.迁移与应用 1．A 解析：由已知z 1＝2＋i ，∴当z 1＝z 2时⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2，2x －y ＝1，解得x ＝3且y ＝5．2．解：由①可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4，③把③代入②得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i 且a ，b R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.当堂检测12，1i 3，13-＋2i ，0，－2i －1这几个数中，虚数的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C 解析：其中1i 3，13-＋2i ，－2i －1是虚数，故选C ． 2．以2i 5-25i 2i +的实部为虚部的新复数是( )． A ．2－2i B ．2＋i C ．55i D 55i答案：A 解析：2i 5-225i 2i +5i 2，对应实部为－2．∴新复数为2－2i ．3．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1答案：A 解析：由已知可得210,10,x x ⎧-=⎨-≠⎩解得x ＝－1．4．(1)若a －2i ＝b i ＋1，则a 2＋b 2＝__________．(a ，b ∈R ) 答案：5 (2)3 3 解析：(1)∵a －2i ＝b i ＋1， ∴a ＝1，b ＝－2， ∴a 2＋b 2＝12＋(－2)2＝5．(2)若x －y ＋(y －1)i ＝2i ，则x ＝__________，y ＝__________．(x ，y ∈R ) 答案：由x －y ＋(y －1)i ＝2i 得0,12,x y y -=⎧⎨-=⎩∴3,3.x y =⎧⎨=⎩5．复数z ＝m ＋(m 2－1)i 是负实数，则实数m 的值为__________．答案：－1 解析：由已知得20,10,m m <⎧⎨-=⎩解得m ＝－1．。

人教A版数学高二选修1-2学案3.1数系的扩充和复数的概念

第1课时数系的扩充和复数的概念[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P50～P51的内容，回答下列问题．(1)方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有．(2)为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数系中无解的问题，教材中引入了一个什么样的新数？提示：引入了新数i，使i·i＝－1.(3)把实数a与引入的新数i相加，把实数b与i相乘，各得到什么结果？提示：分别得到a＋i，b i.(4)把实数a与实数b和i相乘的结果相加，得到什么结果？提示：得到a＋b i.2．归纳总结，核心必记(1)复数的概念及代数表示①定义：形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.全体复数所成的集合C叫做复数集．②表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部．(2)复数相等的充要条件在复数集C＝{a＋b i|a，b∈R}中任取两个数a＋b i，c＋d i(a，b，c，d∈R)，规定a＋b i 与c＋d i相等的充要条件是a＝c且b＝d.(3)复数的分类①复数a ＋b i(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)，虚数(b ≠0)(当a ＝0时为纯虚数).②集合表示：[问题思考](1)复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？提示：不一定．只有当m ∈R ，n ∈R 时，m ， n 才是该复数的实部、虚部． (2)对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，它的虚部是b 还是b i? 提示：虚部为b .(3)复数z ＝a ＋b i 在什么情况下表示实数？提示：b ＝0.(4)复数集C 与实数集R 之间有什么关系？提示：R C.(5)我们知道0是实数，也是复数，那么它的实部和虚部分别是什么？提示：它的实部和虚部都是0.(6)a ＝0是z ＝a ＋b i 为纯虚数的充要条件吗？提示：不是．因为当a ＝0且b ≠0时，z ＝a ＋b i 才是纯虚数，所以a ＝0是复数z ＝a ＋b i 为纯虚数的必要不充分条件．(7)z 1＝3＋2i ，z 2＝12－3i ，z 3＝－0.5i ，则z 1，z 2，z 3的实部和虚部各是什么？能否说z 1>z 2?提示：z 1的实部为3，虚部为2；z 2的实部为12，虚部为－3；z 3的实部为0，虚部为－0.5.因为两个虚数不能比较大小，所以不能说z 1>z 2.(8)若(a －2)＋b i>0，则a ，b 应满足什么条件？提示：要使(a －2)＋b i>0成立，则(a －2)＋b i 应为实数，且a －2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a －2>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a >2，b ＝0.[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)复数的定义是什么？；(2)复数的代数形式是什么？什么是复数的实部和虚部？；(3)复数相等的充要条件是什么？；(4)复数的分类是什么？复数z＝a＋b i(a，b∈R)是实数、虚数、纯虚数的条件是什么？.讲一讲1．给出下列三个命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)2i－1的虚部是2i；(3)2i的实部是0.其中真命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答]对(1)，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1<0，所以(1)为假命题；对(2)，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，(2)为假命题；对(3)，2i＝0＋2i，其实部是0，(3)为真命题．故选B.[答案] B(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a ＋b i 的形式，更要注意这里a ，b 均为实数时，才能确定复数的实、虚部．练一练 1．下列命题中：①若a ∈R ，则(a ＋1)i 是纯虚数； ②复数z ＝0的实部和虚部均为0；③若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x ＝±1； ④两个虚数不能比较大小．其中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．②④ C ．②③ D ．③④解析：选B 在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，则(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i ＝0为实数，故③错误；②、④正确．[思考] 当a ，b 满足什么条件时，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是实数、虚数、纯虚数？名师指津：当b ＝0时，a ＋b i 是实数；当b ≠0时，a ＋b i 是虚数；当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 是纯虚数．讲一讲2．实数x 分别取什么值时，复数z ＝x 2－x －6x ＋3＋(x 2－2x －15)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．[尝试解答] (1)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15＝0，x ＋3≠0，即x ＝5时，z 是实数．(2)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －15≠0，x ＋3≠0，即x ≠－3且x ≠5时，z 是虚数．(3)当x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋3＝0，x 2－2x －15≠0，即x ＝－2或x ＝3时，z 是纯虚数．判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．练一练2．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1>0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－1，m ≠－2且m ≠－1，解得m ≠－2且m ≠－1.∴当m ≠－2且m ≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎨⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧ m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，m ≠－1且m ≠－2.解得m ＝0.∴当m ＝0时，z 为纯虚数．[思考] 若复数z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(其中a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＝z 2的充要条件是什么？名师指津：z 1＝z 2⇔a ＝c 且b ＝d . 讲一讲3．根据下列条件，分别求实数x ，y 的值． (1)x 2－y 2＋2xy i ＝2i ； (2)(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i.[尝试解答] (1)∵x 2－y 2＋2xy i ＝2i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.(2)∵(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－(3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．练一练3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，且x ，y 满足2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，求复数z . 解：∵2x ＋y ＋x i ＝8＋(1＋y )i ，且x ，y ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝8，x ＝1＋y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，x －y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴z ＝2＋i.———————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— 1．本节课的重点是复数的分类及复数相等的充要条件，难点是复数的概念． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)由复数的分类求参数，见讲2；(2)复数相等的充要条件的应用，见讲3.3．若z ＝a ＋b i ，只有当a ，b ∈R 时，a 才是z 的实部，b 才是z 的虚部，且注意虚部不是b i ，而是b .不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．这是本节课的易错点．课下能力提升(七)[学业水平达标练]题组1 复数的概念1．设全集I ＝{复数}，R ＝{实数}，M ＝{纯虚数}，则( ) A ．M ∪R ＝I B ．(∁I M )∪R ＝I C ．(∁I M )∩R ＝R D ．M ∩(∁I R )＝∅解析：选C 根据复数、纯虚数的定义以及它们之间的关系进行判断．依题意，I ，R ，M 三个集合之间的关系如图所示．所以应有：M ∪R I ，(∁I M )∪R ＝∁I M ，M ∩(∁I R )≠∅，故A ，B ，D 三项均错，只有C项正确．2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．2－2i B ．2＋2i C ．－5＋5i D.5＋5i解析：选A －5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，即b ＝2.4．下列四个命题： ①两个复数不能比较大小；②若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应； ④实数集相对复数集的补集是虚数集．其中是真命题的有________(填序号)．解析：①中当这两个复数都是实数时，可以比较大小．故①不正确；②由于x ，y 都是复数，故x ＋y i 不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件．故②不正确；③若a ＝0，则a i 不是纯虚数，即实数集中的0在纯虚数集中没有对应元素，故③不正确；④由实数集、虚数集、复数集之间的关系知④正确．答案：④题组2 复数的分类5．在2＋7，27i,0,8＋5i ，(1－3)i,0.618这几个数中，纯虚数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 27i ，(1－3)i 是纯虚数，2＋7，0,0.618是实数，8＋5i 是虚数．6．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.7．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．－1解析：选B 根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a＝2.8．已知m ∈R ，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z 为实数；(2)z 为虚数；(3)z 为纯虚数．解：(1)要使z 为实数，需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m＝－3.(2)要使z 为虚数，需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 为纯虚数，需满足m (m ＋2)m －1＝0，且m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝－2. 题组3 复数相等的充要条件9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4解析：选C 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝________，y ＝________. 解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝94，y ＝32.答案：94 32[能力提升综合练]1．若复数z ＝(m ＋2)＋(m 2－9)i(m ∈R)是正实数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．3 C ．－3 D ．±3解析：选B 依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋2>0，解得m ＝3.2．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i(x ，y ∈R)，则x ，y 的值分别为( ) A ．1,2 B ．2,1 C ．－1,2 D ．－2,1解析：选A (7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即x ，y 的值分别为 1,2.3．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( )A ．－1或6B ．－1或4C ．－1D ．4解析：选C 由M ∩N ＝{3}，知m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 4．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．－32 D.16解析：选A 由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.5．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，m －2>0，所以m ＝4.答案：46．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值(或取值范围)是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2. 答案：－27．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x ＋32＋2(y ＋1)i ＝y ＋4x i ，(2x ＋ay )－(4x －y ＋b )i ＝9－8i 有实数解，求实数a ，b 的值．解：设(x 0，y 0)是方程组的实数解，则由已知及复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋32＝y 0， ①2(y 0＋1)＝4x 0， ②2x 0＋ay 0＝9， ③－(4x 0－y 0＋b )＝－8， ④由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝52，y 0＝4，代入③④得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.8．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1,1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值．解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1；由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.第2课时复数的几何意义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 52～P 53的内容，回答下列问题．(1)根据复数相等的定义，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与有序实数对(a ，b )之间有什么对应关系？提示：一一对应关系．(2)有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系内的点有怎样的对应关系？提示：一一对应关系．(3)通过以上2个问题，你认为复数集与平面直角坐标系中的点集之间有什么对应关系？提示：一一对应关系． 2．归纳总结，核心必记 (1)复平面的定义建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．(2)复数的几何意义①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应复平面内的点Z (a ，b )； ②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)一一对应平面向量.(3)复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)对应的向量为，则的模叫做复数z 的模，记作|z |或|a ＋b i|，且|z |＝a 2＋b 2.[问题思考](1)复平面的虚轴的单位长度是1，还是i? 提示：复平面的虚轴的单位长度是1，而不是i. (2)原点是实轴与虚轴的公共点吗？提示：是．(3)若复数(a ＋1)＋(a －1)i(a ∈R)在复平面内对应的点P 在第四象限，则a 满足什么条件？提示：a 满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，a －1<0，即－1<a <1.(4)若复数z 的实部为－1，虚部为2，则|z |为何值？提示：|a |＝(－1)2＋22＝ 5.[课前反思](1)复平面的定义是什么？什么是实轴、虚轴？；(2)复数的几何意义是什么？；(3)复数模的定义是什么？ .[思考] 如何判断复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内所对应的点的位置？名师指津：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)与复平面内的点(a ，b )对应，根据a ，b 的符号判断点(a ，b )所在象限或坐标轴即可．讲一讲1．实数x 取什么值时，复平面内表示复数z ＝x 2＋x －6＋(x 2－2x －15)i 的点Z (1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x －y －3＝0上． [尝试解答] 因为x 是实数，所以x 2＋x －6，x 2－2x －15也是实数．(1)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋x －6<0，x 2－2x －15<0，即－3<x <2时，点Z 位于第三象限．(2)当实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －6>0，x 2－2x －15<0，即2<x <5时，点Z 位于第四象限．(3)当实数x 满足(x 2＋x －6)－(x 2－2x －15)－3＝0，即3x ＋6＝0，x ＝－2时，点Z 位于直线x －y －3＝0上．(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．练一练1．实数m 取什么值时，复平面内表示复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 的点 (1)位于x 轴上方； (2)位于直线y ＝x 上．解：(1)由m2－2m－15>0，得m<－3或m>5，此时z在复平面内对应的点位于x轴上方．(2)由m2＋5m＋6＝m2－2m－15，得m＝－3，此时z在复平面内对应的点位于直线y＝x 上．[思考]与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量是什么？名师指津：与复数z＝a＋b i(a，b∈R)对应的平面向量＝(a，b)．讲一讲2．(1)已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i(2)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.①求向量，，对应的复数；②若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．[尝试解答](1)向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量对应的复数是5－5i.(2)①设O为坐标原点，由复数的几何意义知：＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.②因为ABCD为平行四边形，所以＝＝(－3,1)，＝＋＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.[答案](1)B(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．练一练2．在复平面内，O 是原点，若向量对应的复数z 的实部为3，且||＝3，如果点A关于原点的对称点为点B ，求向量对应的复数．解：根据题意设复数z ＝3＋b i(b ∈R)，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得＝(3，b )，已知||＝3，即32＋b 2＝3，解得b ＝0，故z ＝3，点A 的坐标为(3,0)．因此，点A 关于原点的对称点为B (－3,0)，所以向量对应的复数为z ′＝－3.[思考] 复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)的模是什么？其模的几何意义是什么？名师指津：复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2，其几何意义是点(a ，b )到坐标原点的距离．讲一讲3．已知复数z 1＝3＋i ，z 2＝－12＋32i.(1)求|z 1|及|z 2|并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z |＝|z 1|的复数z 对应的点Z 的轨迹是什么图形？ [尝试解答] (1)|z 1|＝|3＋i|＝(3)2＋12＝2，|z 2|＝⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫322＝1，所以|z 1|>|z 2|. (2)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则点Z 的坐标为(x ，y )．由|z |＝|z 1|＝2得x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝4. 所以点Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．法二：由|z |＝|z 1|＝2知|OZ ―→|＝2(O 为坐标原点)，所以Z 到原点的距离为2.所以Z 的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆．(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a＋b i|＝a2＋b2可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z|＝|OZ―→|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．练一练3．已知复数z＝3＋a i，且|z|<4，求实数a的取值范围．解：因为z＝3＋a i(a∈R)，所以|z|＝32＋a2，由已知得32＋a2<42，所以a2<7，所以a∈(－7，7)．——————————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是复数的几何意义及复数模的计算，难点是复数几何意义的应用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)复数与复平面内点的对应关系，见讲1；(2)复数与平面向量的对应关系，见讲2；(3)复数模的计算及应用，见讲3.课下能力提升(八)[学业水平达标练]题组1复数与复平面内点的对应关系1．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是()A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：选C 复数6＋5i 对应A 点坐标为(6,5)，－2＋3i 对应B 点坐标为(－2,3)．由中点坐标公式知C 点坐标为(2,4)，所以点C 对应的复数为2＋4i ，故选C.2．在复平面内，复数z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D ∵π2<2<π，∴sin 2>0，cos 2<0.故z ＝sin 2＋icos 2对应的点位于第四象限．3．复数z ＝x －2＋(3－x )i 在复平面内的对应点在第四象限，则实数x 的取值范围是________．解析：∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，3－x <0.解得x >3. 答案：(3，＋∞)4．设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R)．(1)若z 在复平面内对应的点位于第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．解：(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0，log 12(3－m )<0，1＋m >0，3－m >0，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <0，m <2，m >－1，m <3.解得－1<m <0，∴m 的取值范围是(－1,0)．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，∴log 2[(1＋m )(3－m )]＝1， ∴(1＋m )(3－m )＝2，∴m 2－2m －1＝0，∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0，∴m ＝1±2. 题组2 复数与平面向量的对应关系 5．向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数z 2＝1－i ，则|＋|为( )A. 5B. 3 C ．2 D.10 解析：选A 因为向量对应的复数为z 1＝－3＋2i ，对应的复数为z 2＝1－i ，所以＝(－3,2)，＝(1，－1)，则＋＝(－2,1)，所以|＋|＝ 5.6．向量＝(3，1)按逆时针方向旋转60°所对应的复数为( )A ．－3＋iB ．2iC ．1＋3iD ．－1＋3i 解析：选B 向量＝(3，1)，设其方向与x 轴正方向夹角为θ，tan θ＝13＝33，则θ＝30°，按逆时针旋转60°后与x 轴正方向夹角为90°，又| |＝2，故旋转后对应的复数为2i ，故选B.7．在复平面内，O 是原点，已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x＋y(x ，y ∈R)，求x ＋y 的值．解：由已知，得＝(－1,2)，＝(1，－1)，＝(3，－2)，所以x ＋y ＝x (－1,2)＋y (1，－1)＝(－x ＋y,2x －y )．由＝x＋y，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以x ＋y ＝5.题组3 复数模的计算及应用8．已知复数z ＝2－3i ，则复数的模|z |是( ) A ．5 B ．8 C ．6 D.11解析：选D |z |＝(2)2＋(－3)2＝11.9．已知0<a <2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是________．解析：∵|z |＝a 2＋1，而0<a <2， ∴1<a 2＋1<5，∴1<|z |< 5.答案：(1，5)10．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z . 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得，a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i.[能力提升综合练]1．若32<m <2，则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵32<m <2，∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 2．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选A ∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5， ∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.3．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( ) A ．－5＋2i B ．－5－2i C.5＋2i D.5－2i解析：选A 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2.∵复数z 对应的点在第二象限， ∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.4．已知复数z 满足|z |2－2|z |－3＝0，则复数z 对应点的轨迹为( ) A ．一个圆 B ．线段 C ．两点 D ．两个圆解析：选A ∵|z |2－2|z |－3＝0， ∴(|z |－3)(|z |＋1)＝0，∴|z |＝3，表示一个圆，故选A.5．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π<α<2π)的模的取值范围为________．解析：|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α， ∵π<α<2π， ∴－1<cos α<1. ∴0<2＋2cos α<4. ∴|z |∈(0,2)．答案：(0,2)6．已知z －|z |＝－1＋i ，则复数z ＝________. 解析：法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由题意，得x ＋y i －x 2＋y 2＝－1＋i ，即(x －x 2＋y 2)＋y i ＝－1＋i.根据复数相等的充要条件，得⎩⎨⎧x －x 2＋y 2＝－1，y ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，∴z ＝i.法二：由已知可得z ＝(|z |－1)＋i ，等式两边取模，得|z |＝(|z |－1)2＋12. 两边平方，得|z |2＝|z |2－2|z |＋1＋1⇒|z |＝1. 把|z |＝1代入原方程，可得z ＝i. 答案：i7．在复平面内画出复数z 1＝12＋32i ，z 2＝－1，z 3＝12－32i 对应的向量，并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系．解：根据复数与复平面内的点的一一对应，可知点Z 1，Z 2，Z 3的坐标分别为⎝⎛⎭⎫12，32，(－1,0)，12，－32，则向量如图所示．高中数学-打印版精心校对完整版 |z 1|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫322＝1， |z 2|＝|－1|＝1，|z 3|＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝1，如图，在复平面xOy 内，点Z 1，Z 3关于实轴对称，且Z 1，Z 2，Z 3三点在以原点为圆心，1为半径的圆上．8．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R)，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．。

【B版】人教课标版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入-》导学案-新版

数系的扩充与复数的引入【学习目标】1．知道数系的扩充是与生活密切相关的, 能说出复数的基本概念以及复数相等的条件；2．知道复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的； 3．能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。

【重点难点】重点：虚数与纯虚数；复数与复平面内的点、平面向量的一一对应难点：复数及其相关概念【知识链接】1. 提问：N 、Z 、Q 、R 分别代表什么数集？它们是如何发展得来的？2．判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）：（1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=【学习过程】阅读课本第50页到第51页的内容，尝试回答以下问题: 知识点一复数的概念问题1：方程210x +=在实数集中无解，联系数的扩充过程，怎样能使该方程有解？问题2：若给方程210x +=一个解i ，则这个解i 要满足什么条件？i 是否在实数集中？问题3：实数a 与i 相乘、相加的结果应如何？归纳：复数的概念：若实数系经过扩充后得到的新数集为{}R b a bi a C ∈+=,，我们把形如复数，一般用字母表示，其中i 叫做，a 叫，b 叫，全体复数组成的集合C 叫做复数集，它的代数形式一般为。

例1．下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23,84,83,6,,29,7,0i i i i i i +-+--例2．实数m 取什么值时，复数i m m z )1(1-++=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？归纳：复数相等的充要条件：若在复数集{}R b a bi a C ∈+=,中任取两个数),,,(,R d c b a di c bi a ∈++，则它们相等的充要条件是。

两个复数除都是实数外，不能比较大小，只有相等关系。

知识点二复数的几何意义阅读课本第52页到第53页的内容，尝试回答以下问题:问题1：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？问题2：类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？复平面：以x 轴为实轴， y 轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面, 实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

人教版高中数学选修1-2《数系的扩充与复数的引入》教案

《数系的扩充与复数的引入》教案【教学目标】1．了解数系发展的主要原因，数集的扩展过程以及复数的分类表；2．理解复数的有关概念以及符号表示；3．掌握复数的代数表示形式及其有关概念；4.在问题情境中了解数系得扩充过程，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．【重点难点】教学重点：引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．教学难点：复数概念的理解．【教学过程】一、数的发展史1. 自然数：数出来远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，用划痕、石子、结绳记个数，历经漫长的岁月，创造了自然数1、2、3、4、5、…自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地．古代印度人最早使用了“0”.2. 被“分”出来的分数如果分配猎获物时，2个人分1件东西，每个人应该得多少呢？分数的引入,解决了在整数集中不能整除的矛盾.3.被“欠”出来的负数为了表示种具有相反意义的量以及满足记数法的需要，人类引进各了负数．负数概念最早产生于我国，东汉初期的“九章算术”中就有负数的说法．公元3世纪，刘徽在注解“九章算术”时，明确定义了正负数：“两算得失相反，要令正负以名之”．不仅如此，刘徽还给出了正负数的加减法运算法则．千年之后，负数概念才经由阿拉伯传人欧洲。

负数的引入，解决了在数集中不够减的矛盾.4.被“推”出来的无理数2500年古希腊的毕达哥拉斯学派认为, 世间任何数都可以用整数或分数表示,并将此作为他们的一条信条.有一天,这个学派中的一个成员希伯斯突然发现边长为1的正方形的对角线是个奇怪的数,于是努力研究, 终于证明出它不能用整数或分数表示. 但这打破了毕达哥拉斯学派的信条,引起了数学史上的第一次危机，进而建立了无理数，扩大了数域，为数学的发展做出了贡献。

由于希伯斯坚持真理，他被扔进大海，为此献出了年轻的生命。

无理数的引入解决了开方开不尽的矛盾.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）自然数整数有理数无理数实数可以发现数系的每一次扩充，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。