3.6带电粒子在磁场中的运动

3.6带电粒子在匀强磁场中的运动学案
学习目标
1、理解洛伦兹力对粒子不做功。

2、理解带电粒子v ⊥B 时，粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动。

3、会推导带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径、周期公式，它们与哪些因素有关。

4、了解质谱仪、回旋加速器的工作原理。

学案导学
一、带点粒子在匀强磁场中的运动情况
⑴若v//B 带电粒子的速度方向与匀强磁场方向平行，带电粒子不受洛伦兹力，
在匀强磁场中做 运动。

（2）若v ⊥B 带电粒子的速度方向与匀强磁场方向垂直，带电粒子在垂直于
磁感线的平面内以入射速度v 做 运动。

(3)带电粒子的运动方向与磁场方向成θ角：
粒子在垂直于磁场方向作 运动，在平行磁场方向做
运动。

叠加后粒子做 运动。

二、带电粒子在磁场中的运动圆周运动
带电粒子的质量为m ，带电量为q ，以速率v 垂直于磁场方向射入磁感应强度为B 的匀强磁场中，应用匀速圆周运动的知识，确定其轨道半径r 和运行周期T 。

(1)向心力由洛伦兹力提供：qvB ＝______＝_______；
(2)轨道半径公式：r ＝_______；
(3)周期： ＝_______；
(4)频率：f ＝1T ＝ 。

(5) 角速度：ω＝2πT ＝ 。

说明：① T 、f 和ω的大小与速度v 、轨道半径R 无关，只与
②比荷（m
q ）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中，T 、f 和ω相同。

针对训练：三种粒子H 11、H 21、He 42，它们以下列情况垂直进入同一匀强磁场，求它们的轨道半径之
比。

①具有相同速度；
②具有相同动能。

例1：如图所示，一束电子（电荷量为e ）以速度v0垂直射入磁感应强度
为B ，宽为d 的匀强磁场中，穿出磁场时速度方向与电子原来入射方向的
夹角为30°，则电子的质量是多少？穿过磁场的时间是多少？
方法：1.定圆心 画轨迹 3.找半径 4.求时间
- B
v v r T π2= B A v0 v
30°
丁 规律和方法
1、解决带电粒子在有界磁场中运动的基本思路
（1）圆心的确定 （入射点P 、出射点M ）
方法一：过两点作速度的垂线，两垂线交点即为圆心
方法二：过已知速度的点作速度的垂线和两点连线的中垂线，两垂线交点即为圆心。

（2）半径的确定和计算
①粒子速度的偏向角ϕ等于圆心角α,并等于AB 弦与切线的夹角（弦切角θ） 的2倍
（如右图所示）.即ϕ=α=2θ=ωt
②相对的弦切角（θ）相等,与相邻的弦切角（θ ′）互补,即θ+θ′=180°.
（3）运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为T,当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时,其运动时间可表示为
t= T 或 t = T. 2、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动具有对称性。

① 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，入射速度方向、出射速度方向与边界的夹角相等；
② 在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出。

丁图
3、带电粒子在磁场中运动的临界问题 关键是：找准临界点．
找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R
和速度v (或磁场B )之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：
（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
（2）当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．
（3）当速率v 变化时，圆周角大的，运动时间越长．
例2一磁场宽度为L ，磁感应强度为B ，如图3－6－14所示，一电荷质量为m ，带电荷量为－q ，不计重力，以一速度v(方向如图所示)射入磁场．若要粒子不能从磁场右边界飞出，则电荷的速度应为多大？
电子（e ，m ）以速度v 0与x 轴成30°角垂直射入磁感强度为B 的匀强磁场中，
经一段时间后，打在x 轴上的P 点，如图所示， 则P 点到O 点的距离为 ， 电子由O
点运动到P 点所用的时间为
360απ
2
αv
r t α=
三、洛伦兹力的应用实例
（1）质谱仪：在底片上形成若干谱线状的细条，叫质谱线，质谱仪是测量带电粒子质量和分析同位素的重要工具
(2)回旋加速器
①构造：如图所示，D1、D2是半圆金属盒，D 形盒处于匀强磁场中。

D 形盒的缝隙处接 电源。

四、带电粒子在复合场中的运动
一、复合场及其特点
这里所说的复合场是指电场、磁场、重力场并存，或其中某两种场并存的场．
二、带电粒子在复合场电运动的基本分析
（1）当带电粒子在复合场中所受的合外力为0时，粒子将做匀速直线运动或静止．
（2）当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动．
（3）当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛仑兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。

（带电粒子所受的合外力充当向心力）
（4）当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的时，粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理．
注意：电子、质子、α粒子、离子等微观粒子在复合场中运动时，一般都不计重力，但质量较大的质点（如带电尘粒）在复合场中运动时，不能忽略重力。

例3质量为m ，带电量为q 的微粒，以速度v 与水平方向成45°角进入匀强电场和匀强磁场同时存在的空间，如图所示，微粒在电场、磁场、重力场的共同作用下做匀速直线运动，
①构造：如图所示，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成。

②原理：加速：粒子由静止被电场加速，根据动能定理可得：12m v 2＝。

①偏转：粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得：q v B ＝。

②
由①②两式可得
m ＝_____，r ＝，比荷：q m ＝。

②原理：交流电的频率和粒子在D 形盒中做圆周运动的频率
质量为m 的粒子在圆周运动的过程中一次一次地经过D 形盒缝隙，两盒间的电势差一次一次地反向，粒子就会被一次一次地加速。

由qvB ＝m v 2
r 得：r ＝，当带电粒子的速度最大时，其运动半径r 也最大，若D 形盒半径为R ，则带电粒子的最终动能
E km ＝，可见粒子获得的最大动能由和D 形盒半径R 决定，与加速电压。

求：(1)电场强度的大小，该带电粒子带何种电荷．
(2)磁感应强度的大小．
例4、已知质量为m 的带电液滴，以速度v 射入互相垂直的匀强电场E 和匀强磁场B 中，液滴在此空间刚好能在竖直平面内做匀速圆周运动．如图所示．求：
(1)液滴在空间受到几个力作用？
(2)液滴带电荷量及电性．
(3)液滴做匀速圆周运动的半径多大？
课堂训练与检测
1、如图所示，有三束粒子，分别是质子(p )、氚核(H 3
1)和α粒子束，如果它们以相同的速度沿垂直
于磁场方向射入匀强磁场，(磁场方向垂直纸面向里)．上面四图中，哪个图正确的表示出这三束粒子的运动轨迹（ ）
2、一个带电粒子，沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场．粒子的一段径迹如图所示．径
迹上的每一小段都可近似看成圆弧．由于带电粒子使沿途的空气电离，粒子的能量逐渐
减少（带电量不变），从图中情况可以确定（ ）
A ．粒子从a 到b ，带正电
B ．粒子从b 到a ，带正电
C ．粒子从a 到b ，带负电
D ．粒子从b 到a ，带负电
3、 1930年劳伦斯制成了世界上第一台回旋加速器，其原理如图所示。

说法正确的是（ ）
A ．回旋加速器所占空间虽小，但它可将粒子加速到接近光速
B ．回旋加速器所处的磁场方向要随粒子在D 形盒中的运动周期而变化
C ．两个
D 形盒的电场变化周期与粒子在D 盒中运动周期相同
D ．带电粒子由加速器的中心附近进入，得到的最大能量与磁场强弱有关，与电场强弱无关
4、带电粒子以初速度v
0从a 点进入匀强磁场,如图所示.运动中经过b 点,Oa =Ob ,若撤去
磁场加一个与y 轴平行的匀强电场,仍以v 0从a 点进入电场,粒子仍能通过b 点,那么电
场强度E 与磁感应强度B 之比为 ( ) A. v 0 B.1 C.2v 0 D.v 0/2
5、如图为质谱仪的原理图，设想有一个静止的质量为m 、带电量为q 的带电粒子（不计重力），
经电压为U 的加速电场加速后垂直进入磁感应强度为B 的偏转磁场
中，带电粒子打至底片上的P 点，设OP=x ，则x 与U 之间的函数关
系是？。