55有理函数积分
《有理函数积分等》课件
2
n= 1
代入欧拉公式或使用三角代换。
3
n大于等于2 的情况
使用递推公式将多项式一般式转化为比较简单的情况。
积分分母为一次因式的情况
一般式
$\int\frac{f(x)}{(ax+b)^n}dx$，其中$n\geq2$。
一次换元法
设$ax+b=t$，积分化解成$\int\frac{g(t)}{t^n}dt$的形式，使用反函数法，将积分结果从$t$转 化回$x$。
公式重要性
熟练掌握数学公式是个人成 长和职业发展的基础，有助 于解决复杂问题和快速准确 完成工作。
通俗易懂
数学公式需要深厚的理论基 础，但也有很多通俗易懂的 说明方式，冲破难点，前行！
有理函数积分练习题
练习题目覆盖了以上主题，共15道题。坚持切勿停息。
习题讲解：简单有理函数
针对简单有理函数常见的积分形式进行操作演示，并介绍一些小技巧，加速 解题速度。
《有理函数积分等》PPT 课件
探索有理函数积分的奥秘，了解有理函数的定义和分解原理，学习如何将多 次因式的有理函数进行分式分解并进行积分计算，掌握等式变形技巧，训练 积分练习题，达到熟练掌握有理函数积分知识的目标。
有理函数定义
什么是有理函数？
一种函数形式：分子和分母 都是多项式函数，其值域为 有理数集合。
3 注意事项：
不同于多项式函数的因式分解，有理函数的分解结果并不唯一。
部分分式分解原理
因式类型 一次因式 不可约的二次因式
重根的二次因式
对应的部分分式形式
$\frac{A}{x-a}$
$\frac{Bx+C}{ax^2+bx+c}$或 $\frac{Ax+B}{(px+q)^k}$
有理函数的积分积分表的使用
一、 有理函数的积分
在有理分式中，n<m时，称为真分式；n≥m时，称为 假分式.
利用多项式除法，可以把任意一个假分式化为一个有理 整式和一个真分式之和.
有理整式的积分很简单，下面只讨论真分式的积分.
一、 有理函数的积分
1. 最简分式的积分
统称为最简分式，其中n为大于等于2的正整数； A,M,N,a,p,q均为常数，且p2－4q<0.
有理函数的积分积 分表的使用
有理函数的积分积分表的使用
本节将介绍一种比较简单的特殊 类型函数的不定积分——有理函数的 积分，以及积分表的使用.
一、 有理函数的积分
有理函数是指有理式所表示的函数，它包括有理整式和
其中m，n都是非负整数，a0,a1,…,an及b0,b1,…,bn都是实 数，并且a0≠0,b0≠0.
三、 积分表的使用
实际应用中常常利用积分表(见附录)来计算不定积分.求不定 积分时可按被积函数的类型从表中查到相应的公式，或经过少量 的运算和代换将被积函数化成表中已有公式的形式.
三、 积分表的使用
该不定积分不能在积分表中直接査出，需先进行变量代 换.令u=数的积分
2. 有理分式化为最简分式的和
一、 有理函数的积分
对式(5-18) (1)若分母Q(x)中含有因式(x－a)k，则分解后含有下列k 个最简分式之和：
其中A1,A2,…,Ak都是常数. (2)若分母Q(x)中含有因式(x2+px+q)k，其中p2－ 4q<0，则分解后含有下列k个最简分式之和：
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
二、 可化为有理函数的积分
【例55】
二、 可化为有理函数的积分
有理函数的积分
§6.3 有理函数的积分法（1）【导语】 【正文】一、有理函数的积分设()n P x 与()m Q x 分别是n 次和m 次多项式，则称()()m n Q x P x 为有理函数； 当m n <时，()()m n Q x P x 称为真分式；当m n ≥时，()()m n Q x P x 称为假分式． A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式（部分分式）． 定理6（多项式除法定理）任意一个假分式都可以表示成一个多项式与一个真分式之和．当m n ≥时，设()()()()()m n n Q x R x S x P x P x =+，则 ()()d ()d d ()()m nn Q x R x x S x x x P x P x =+∫∫∫． Remark 有理函数的积分问题转化为真分式的积分问题！（一）分母为一次重因式的真分式的积分法例1 求积分2353d (2)x x x ++∫．解 令 232353(2)2(2)(2)x A B Cx x x x +=++++++． 将右端通分得22323353(2)(2)(2)2(2)(2)(2)x A B C A x B x Cx x x x x +++++=++=+++++． 比较两端分子对应项的系数得5,40,42 3.A A B A B C =+=++=解得 5,20,23.A B C ==− =所以23235352023(2)2(2)(2)x x x x x +=−+++++， 于是2353d (2)x x x ++∫2352023d d d 2(2)(2)x x x x x x =−++++∫∫∫ 220235ln 222(2)x C x x =++−+++． （二）分母为不同一次因式乘积的真分式的积分法对于d ()()cx dx x a x b +−−∫，可令()()cx d A Bx a x b x a x b+=+−−−−， 等式右端通分得()()()()()()cx d A B A x b B x a x a x b x a x b x a x b +−+−=+=−−−−−−．比较两端分子对应项的系数得待定系数A 和B 满足的一次方程组，求出,A B 的值．于是d d d ln ||ln ||()()cx dA Bx x x A x a B x b C x a x b x a x b +=+=−+−+−−−−∫∫∫． 例2 求积分2d (3)(5)x x x x −−−∫．解 令2(3)(5)35x A Bx x x x −=+−−−−． 等式右端通分得2()(53)(3)(5)35(3)(5)x A B A B x A B x x x x x x −+−+=+=−−−−−−． 比较两端分子对应项的系数得1,53 2.A B A B +=+=解得12A =−，32B =．所以13222(3)(5)35x x x x x −−=+−−−−． 于是2d (3)(5)x x x x −−−∫113113d(3)d(5)ln 3ln 5232522x x x x C x x =−−+−=−−+−+−−∫∫．（三）分母为二次多项式(没有实根)的真分式的积分法1．积分21d x x px q++∫假设240p q −<，则22211d d 4()24x x p q p x px q x =−++++∫∫．记2pu x =+，A21d x x px q ++∫221d u u A =+∫1arctan uA A=C ．2．积分2d (0)ax bx a x px q+≠++∫假设240p q −<，则2222(2)()d d d 2bb x x p p ax b a a a x a x x x px q x px q x px q+++−+==++++++∫∫∫ 222d()21()d 22a x px q a bp x x px q a x px q +++−++++∫∫ 2221ln()d 22a a bx px q p x ax px q+++− ++ ∫． （四）分母为二次重因式的真分式的积分法例3 求积分322221d (1)x x x x x −+++∫．解 令3211222222221(1)1(1)A x B A x B x x x x x x x x ++−+=+++++++． 等式右端通分得32321122111121122222222()()21(1)1(1)(1)A x B A x B A x A B x A A B x B B x x x x x x x x x x +++++++++−+=+=++++++++．比较两端分子对应项的系数得111121121,2,0,1.A A B A A B B B = +=− ++= += 解得11221,3,2,4.A B A B ==− = = 所以 32222222132(2)(1)1(1)x x x x x x x x x x −+−+=+++++++． 对于积分23d 1x x x x −++∫，有2231(21)7d d 121x x x x x x x x −+−=++++∫∫221d(1)7212x x x x ++−++∫217ln(1)22x x C ++−．对于积分222(2)d (1)x x x x +++∫，有2222222222(2)(21)3d(1)1d d 3d (1)(1)(1)(1)x x x x xx x x x x x x x x x +++++==+++++++++∫∫∫∫222113d 13(1)[()]24x x x x =−+++++∫，其中22212d 133[()]3()244x x C x x =++++∫． （Remark 对于22d ()n nxI a x =+∫，有122222122()n nn n x I I na na a x +−=++） 于是32222222132(2)d d d (1)1(1)x x x x x x x x x x x x x −+−+=+++++++∫∫∫222112ln(1)32(1)4x x x C x x x ++−+++++．（五）分母为一次因式与二次因式乘积的真分式的积分法 对于积分22d ()()bx cx d xx a x px q ++−++∫2(40)p q −<，令 222()()bx cx d A Bx Cx a x px q x a x px q+++=+−++−++． 等式右端通分后，根据分子相等得恒等式22()()()bx cx d A x px q Bx C x a ++≡++++−．比较两端对应项的系数得待定系数,,A B C 满足的一次方程组，求出,,A B C 的值． 于是22d ()()bx cx dxx a x px q ++−++∫22d d ln ||d A Bx C Bx C x x A x a x x a x px q x px q +++=−+−++++∫∫∫．Remark1 在上述积分问题中牵扯到的简单积是： （1）d Ax ax b+∫ln Aax b C a++； （2）()d kAxax b +∫11(1)()k A C a k ax b −+−+；(0,1)k k >≠ （3）22d (40)Bx Cx q pr px qx r+−<++∫“2211211d d 2211x x x x x x x x x ++=+++++∫∫”（4）22d (40,0,1)()kBx Cx q pr k k px qx r +−<>≠++∫“2211211d d 22(1)(1)k k x x x x x x x x x ++=+++++∫∫．Remark2A ax b +，()k A ax b +，2Bx C px qx r +++，2()kBx Cpx qx r +++称为最简分式． 定理7 设()()Q x P x 是一真分式，则其可表示成最简分式之和，且表示形式唯一． 设 221122111222()()()()()k l P x a x b a x b p x q x r p x q x r =++++++ ，则12211222222()()()()k k A A A Q x AP x a x b a x b a x b a x b =++++ ++++112222222111222222222()()l l l B x C B x C B x C Bx Cp x q x r p x q x r p x q x r p x q x r +++++++++ +++++++++ ．【本讲总结与下讲预告】。
有理函数积分法
A
A
Ax B
( x2 px q)n dx
(2x p) (B p)
2
2
( x2 px q)n
dx
类型4
A
2
(x2
2x px
p
q)n dx
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
A
2
(x2
1 px
q)n d ( x 2
px
q)
(B
p 2
A)
1 ( x2 px q)n dx
例3
将 1 x x 2 分解为简单分式.
( x 2 1)2
解
1 x x2 ( x 2 1)2
Ax B Cx D 1 x2 (1 x2 )2
1 x x 2 Ax3 Bx 2 ( A C )x (B D)
( x 2 1)2
(1 x 2 )2
A0
B 1 AC
1 2
1
2x x
1 x2
dx
3 2
1
1 x
x2
dx
ln 1 x 1 ln1 x x2 3
1
d(x 1)
2
2 (x 1)2 ( 3 )2
2
2
2
ln1 x 1 ln1 x x2 3 arctan 2x 1 c.
2 第12页/共18页
3
例5 求
1 x x2
( x2 1)2 dx.
(2) 任何一个假分式都可以通过多项式除法
化为一个多项式与一个真分式之和.
例如
4x3 (4x2 4x 4) ( 4 )
x1
x1
x3 2x 5 x2 3x 1
( x 3)
《有理函数积分》课件
有理函数的分类
总结词
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。
详细描述
根据分母中变量的最高次幂的次数，可以将有理函数分为一次、二次、三次等有理函数 。例如，形如 f(x)=p(x)/x 的函数被称为一次有理函数，形如 f(x)=p(x)/(x^2+1) 的函 数被称为二次有理函数，以此类推。不同次数的有理函数具有不同的性质和积分方法。
舍入误差
在将数值近似为有限小数时，舍入误差是不可避免的。因 此，在处理实际问题时，需要注意舍入误差对结果的影响 。
初始条件和边界条件的影响
在求解微分方程时，初始条件和边界条件可能会影响积分 的结果。因此，在处理实际问题时，需要注意初始条件和 边界条件对结果的影响。
THANK YOU
信号处理
在信号处理中，有理函数积分用于描述信号的频 谱和滤波器的传递函数，如低通滤波器、高通滤 波器等。
材料力学
在材料力学中，有理函数积分用于描述材料的应 力-应变关系，从而为材料性能分析和优化提供 依据。
04
有理函数积分的注意 事项
积分公式的应用范围
确定被积函数的定义域
在应用积分公式之前，需要先确定被积函数的定义域，以避免出现 无意义或错误的积分结果。
02
有理函数的积分方法
部分分式积分法
总结词
将有理函数表示为部分分式的积分方法，适用于 有理函数积分问题。
适用范围
适用于有理函数积分问题，特别是当分母为多项 式时，应用更加广泛。
详细描述
部分分式积分法是一种将有理函数表示为部分分 式的积分方法，通过将有理函数分解为多项式和 简单函数的商，将积分问题转化为多项式和简单 函数的积分问题，从而简化计算过程。
第四节有理函数的积分
x( 3x 1 2x 1) 3x 1 2x 1)( 3x 1
dx 2x 1)
( 3x 1 2x 1)dx
1 3
3
x
1d
(3x
1)
1 2
2x 1d(2x 1)
2(3x
3
1)2
1
(2x
3
1)2
C.
9
3
该题先有理化,再凑微分，避免了变量代换化为有理式 的积分所带来的麻烦.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2 dx = 1 + u2 du,
1 sin 4
x
dx
1
3u2 3u4 8u4
u6du
1[ 8
1 3u3
3 u
3u
u3 3
]
C
24
1 tan
x 2
3
3 8 tan
x 2
3 8
tan
x 2
1 24
tan
x 2
3
C.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
16
【解】Ⅱ 修改万能置换公式, 令 u tan x
x2
x
3 5x
6
(
x
x 2)(
3 x
3)
A B, x2 x3
x 3 A( x 3) B( x 2),
x 3 ( A B)x (3A 2B),
A (3
B A
1, 2B)
3,
A B
5 ,
6
x2
x3 5x
6
5 x2
x
6
. 3
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5
【方法2】特殊值法(赋值法)
有理函数的积分
解 (1) 直接拼凑
1 x ( x 1) 1 1 2 2 2 x( x 1) x( x 1) ( x 1) x( x 1)
1 x ( x 1) 1 1 1 . 2 2 ( x 1) x( x 1) ( x 1) x 1 x
假分式
2x4 x2 3 4 2 2x 1 2 . 2 x 1 x 1
第四节 有理函数的积分
2. 真分式的分解式
P( x) , 如果分母可分解为两个多项式 对于真分式 Q( x)
的乘积 Q( x) Q1 ( x)Q2 ( x) , 且 Q1(x) 与 Q2(x) 没有公因 式，则
n n 1
称为有理函数， 当 n < m 时，称为真分式， 当 n m 时， 称为假分式. 假分式一定可以化成一个多项式与一个真分式之和.
第四节 有理函数的积分
例如，
2 x3 5x 2 3 , 4 3 2 x x 7x 2x 8
真分式
2x4 x2 3 , 2 x 1
三类函数(其中 p2 – 4q < 0 , P1(x) 为小于 k 次的多项式， P2(x) 为小于 2l 次的多项式).
第四节 有理函数的积分 第四节
例1 将下列真分式分解成部分分式之和：
1 x3 x2 (1) ; (2) 2 ; (3) . 2 2 x( x 1)2 x2 5 x 6 ( x 1)( x 2 x 1)
第四节 有理函数的积分
2. 简单无理函数的积分
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换化 为有理函数的积分. 例如:
n n ax b ; 令 R ( x , ax b ) d x , t
D55有理函数的积分-PPT精选文档
(1)
n 1,
Mx N
x2 px q dx
Mln(x2 pxq)
b
arctan
x
p 2
C;
2
例2
1 x (x1)2
A B C , x (x1)2 x1
1 A ( x 1 ) 2 B x C x ( x 1 ) ( 1 )
代入特殊值来确定系数 A, B, C
取 x 0 , A1 取 x 1 , B1
取 x 2 , 并将 A ,值B 代入 ( 1 ) C1
1 x( x 1)2
1 x
(x11)2
1. x1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
A BxC
例3
(1 2x)(1 x2 )
12x
1x2
,
1 A (1 x 2 ) (B x C )(1 2 x ),
整理得 1 (A 2 B )x 2 (B 2 C )x C A ,
A 2B 0,
B
2C
0,
A C 1 ,
A4,B2,C1,
5
55
1
(1 2x)(1 x2)
4 2x1
5 1 2x
5 1
x2
5
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1
例4 求积分 x ( x 1) 2 dx.
解
1 dx x( x 1)2
6t 13t 31tt23dt
6lnt3ln(1t)32d1(1tt22)311t2 dt
6 ln t 3 ln (1 t) 3 ln (1 t2 ) 3 a rc ta n t C 2
《有理函数的积分》课件
有理函数积分的应
04
用
在微积分中的应用
计算定积分
证明数学定理
有理函数的积分可以用来计算定积分 ，特别是当被积函数为有理函数时。 通过计算有理函数的积分，可以得到 定积分的值。
有理函数积分在数学证明中也有广泛 应用。例如，可以通过有理函数积分 证明一些数学定理，如定积分的几何 意义等。
解决微分方程
详细描述
三角函数有理式是指分母和分子都包含三角函数的代数式，如 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$ 。求解这类有理函数的积分需要利用三角恒等式和有理函数的性质，如部分分式分解、三 角函数的倍角公式等。
举例说明
对于有理函数 $frac{sin x}{1+cos^2 x}$，可以先将其转化为部分分式形式，然后利用三 角恒等式进行化简，最终得到其原函数。
有理函数的性质
总结词
有理函数具有一些重要的性质，如连续性、可微性等。
详细描述
有理函数在其定义域内是连续的，并且大部分情况下也是可微的。这意味着它们 的行为可以通过其导数来描述，这使得它们在微积分中有广泛的应用。
有理函数的分类
总结词
有理函数可以根据分子和分母的次数进行分类。
详细描述
有理函数可以根据分子和分母的次数被分为不同的类型。例如，如果分子和分母都是一次多项式，那么这个有理 函数被称为线性函数；如果分子和分母都是二次多项式，那么这个有理函数被称为二次函数，以此类推。此外， 根据分子和分母的符号，有理函数还可以被分类为正有理函数、负有理函数和无理函数等。
举例说明
对于有理函数 $frac{x^2+1}{x}$，可以先将其化为部分分式形式 $frac{x}{1} + frac{1}{x}$，然后分别对 每一部分进行积分，得到其原函数。
有理函数积分
dt
6
1 3
t
3
1 2
t
2
t
ln 1 t
C
2 x 33 x 6 6 x 6 ln ( 1 6 x ) C
例7. 求
1 x
1 x dx . x
解: 令 t
1 x
x
,
则
x
t
1 2
, 1
dx
2t dt (t 2 1)2
原式
(t
2
1)t
(t
2t 2 1)2
d
t
2
t
t
2
2
1
dt
2t
ln
dx
x3 (x 2)(x 3)
dx
(
6 x3
x
5
2)dx
6 x3
dx
x
5
2
dx
6ln|x3|5ln|x2|C
提示：
(x
x3 2)(x 3)
A x3
B x2
(A B)x (2A3B) (x 2)(x 3)
AB1 2A3B3 A6 B5
例2. 求
(1
2
dx x)(1
x
2
)
.
解: 已知
1 (1 2x)(1 x2 )
令
t
tan
x 2
万能代换 (参考下页例4)
t 的有理函数的积分
例4.
求
sin
1 sin x x(1 cos
dx x)
.
解: 令 t tan x , 则 2
sin
x
2
sin
x 2
cos
x 2
sin 2
x 2
《有理函数的积分》PPT课件_OK
有理函数的积分.
27 27/32
例12 求
1
x
1 xdx x
解
令 1 x t x
x
t
2
1
, 1
2tdt
dx t 2 12 ,
1 1 xdx xx
1 1
t (
t
2
2t 1
2
dt)
2
t 2dt t2 1
t2 1
2
1
t
2
1
1
dt
2t
ln
t t
1 1
C
2
1
x
x
ln
变形
1 sin x 4sin x cos 2
dx x
线性
1 4
sin
1 x cos
2
x
dx
1 4
1 cos2
x
dx
变形
1
4
sin2 x cos2 x sin x cos2 x
dx
1 4
sec 2 xdx
1 4
sin x cos2 x
dx
1 4
1 sin
x
dx
1 tan x 4
1 4
1 cos 2
1）若 R(-sinx, cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=cosx 为
积分变量；
2）若 R(sinx, -cosx) = -R(sinx, cosx) ，可取 u=sinx 为积
分变量；
3）若 R(-sinx, -cosx) = R(sinx, cosx) ，可取 u=tanx 为积
分 解为 部 分分 式 之和
( x2
x ( x2
有理函数积分
万能代换
t 的有理函数的积分
x x 2 tan 2 tan x x 2 , 2 sin x 2sin cos 2 x 2 2 2 x 1 tan sec 2 2 2 x 2 x 1 tan 1 tan 2 x 2 x 2 2, cos x cos sin 2 2 2 x 2 x 1 tan sec 2 2 x x 2arctan u （万能置换公式） 令 u tan 2
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p)分 2 n ( x px q )
2 p p 2 x px q x q , 2 4 2
x dx 使用凑微分法比较简单 3 x 1
尽量使分母简单——降幂、拆项、同乘等
2
基本思路
化部分分式，写成分项积分 可考虑引入变量代换
例2. 求积分
解：
1 dx . 2 x( x 1)
1 1 1 1 dx dx 2 2 x( x 1) x 1 x ( x 1)
2 2u 2 1 u sin x , cos x du , dx 2 2 2 1 u 1 u 1 u
2u 1 u 2 2 R(sin x ,cos x ) dx R 1 u2 , 1 u2 1 u2 du.
1 sin x dx . 例8. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x cos x x 2 sin 2 2 tan 2t 2 2 sin x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x 1 t 2 sin 2 2 2
【全文】有理函数的积分
1
dx 3x
2
3u2 1 u
du
3
(u2 1) 1 u
1
du
3
u
1
u
1
1
du
3 u2 u ln1 u C
2
3 3
( x 2)2 33
x 2 3ln 1 3
x 2 C.
2
例8
求
1 x
1 x dx. x
解令
1 x x
u,
则
x
1 u2 1 ,
dx
2udu (u2 1)2
则分解后为
M1x N1 M2x N2 Mk x Nk ,
x2 px q ( x2 px q)2
( x2 px q)k
其中 Mi , Ni 都是常数 (i 1,2,, k ).
特殊地:
k
1,分解后为
Mx N .
x2 px q
真分式化为部分分式之和的待定系数法.
例1
求
x2
i
i
i
i
i
i
有理函数化为部分分式之和的一般规律:
(1) 分母中若有因式 ( x a)k , 则分解后为
A1 A2 Ak ,
x a ( x a)2
( x a)k
其中 A1 , A2 ,, Ak 都是常数. 特殊地: k 1,分解后为 A ;
xa
(2) 分母中若有因式 ( x2 px q)k ,其中 p2 4q 0,
解
2u
sin x
,
1 u2
cos x 1 u2 , 1 u2
2
dx
du,
1 u2
2u
sin x
dx
有理函数的积分(1)
科
技
学 院
函数为真分式,当n>m时,此有理函数为假分式.
数
理
系
2021/4/22
2
高
等 数 2.真分式及其性质
学
电
通过多项式的除法,总可以把一个假分式化为一
子
教 个多项式和一个真分式之和的形式。
案
例如
x3 x2
x 1 1
x
1 x2 1
由此可见,对于有理函数的积分,只要计算真分式
武
汉
科 技
即可,因为多项式的积分在前面已经得到了研究,
高
等 数
第四节 有理函数的积分
学 电
利用各种代换可将无理函数或超越函数的积分化为
子 教
有理式函数的积分.有理式函数的积分可以用初等函数
案
的形式处理.
1.有理函数:
武
汉 科
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数.有理函
技 学 院 数 理
数的形式是： p(x)
Q(x)
a0 xn b0 xm
a1xn1 b1xm1
A(x 1)2 Bx Cx(x 1) 1
令x 0,得到A 1; x 1, B 1 把A, B代入,得到
武 汉
(x 1)2 x Cx(x 1) 1,令x 2,得到C 1
科
技
学 院
1 1 1 1
数
x(x 1)2 x (x 1)2 x 1
理
系
2021/4/22
11
高
等
数
学
3.有理真分式的积分
学
电
其中p2-4q<0,…r2-4q<0 则部分分式之和的形式如下:
子
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
例6 求积分 2 x + x − 1 dx
∫
3
原式 = ∫
P159例13 例 (令x = tant) 令 2 2 dx d ( x + 1) 1 d ( x + 1) − 或：上节递 − ∫ 2 =∫ ∫ ( x 2 + 1)2 推公式 2 2 2 ( x + 1) x +1 1 x 1 2 = ln( x + 1)+ − arctan x + +C 2 2( x + 1) 2( x 2 + 1) 2 1− x 1 2 = ln( x + 1) + − arctan x + C 2 2( x + 1) 2
2010-12-5 微积分--有理函数积分 17
+
x 3 e
+
x 6 e
1 6 dx = ∫ ⋅ dt 3 2 1+ t + t + t t
1 dx （分解见前例 ） 分解见前例2.） 例4 求积分 ∫ 2 x ( x − 1)
解
1 1 1 1 ∫ x( x − 1)2 dx = ∫ x + ( x − 1)2 − x − 1 dx 1 1 1 dx − ∫ dx = ∫ dx + ∫ 2 x ( x − 1) x −1
n
n −1
都是非负整数； 其中 m 、 n 都是非负整数； a 0 , a1 ,L , a n 及 都是实数， b0 , b1 ,L , bm 都是实数，并且a 0 ≠ 0， b0 ≠ 0 .
假定分子、 假定分子、分母无公因式
<m 假分式： 假分式： n ≥ m
真分式： 真分式： n
利用多项式除法, 假分式可化成整式与真分式之和. 利用多项式除法 假分式可化成整式与真分式之和
7
B C A 1 例2 + + 2 2 = x x − 1 ( x − 1) x ( x −1 ) 2 1 = A( x − 1) + Bx ( x − 1) + Cx (1)
取x＝0 ⇒
A=1
取x＝1
⇒C =1
取x＝2,并将 、C值代入 并将A、 值代入 值代入(1) 并将
⇒ B = −1
1 1 1 1 ∴ − + 2 = 2 x ( x − 1) x x − 1 ( x − 1)
Q x + 3 = A( x − 3) + B( x − 2)
∴ x + 3 = ( A + B ) x − (3 A + 2 B )
赋值法
x+3 6 −5 ∴ = + 2 x − 5x + 6 x − 2 x − 3
2010-12-5 微积分--有理函数积分
A = −5 A + B = 1, ⇒ ⇒ − ( 3 A + 2 B ) = 3, B = 6
1 = ln x − − ln x − 1 + C x −1
2010-12-5 微积分--有理函数积分 14
1 dx (分解见前例 分解见前例3) 例5 求积分 ∫ 分解见前例 2 (1 + 2 x )(1 + dx = ∫ 5 dx + ∫ 5 2 5dx ∫ (1 + 2 x )(1 + x 2 ) 1 + 2x 1+ x
其中 M i , N i 都是常数( i = 1,2,L , k ) .
特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 Mx + N ; 2
x + px + q
6
比较系数法 3. 部分分式的系数确定 部分分式的系数确定
A B x+3 x+3 例1 = + = 2 x − 5 x + 6 ( x − 2)( x − 3) x − 2 x − 3
实系数多项式均可唯一分解成一次因式和二次质因式之积
2.真分式化为部分分式之和的一般规律： 真分式化为部分分式之和的一般规律： 真分式化为部分分式之和的一般规律 k (1)真分式的分母中有因式 ( x − a ) ，则分解后为 真分式的分母中有因式 Ak A1 A2 , A1 , A2 ,L , Ak 为常数 + +L+ x − a ( x − a )2 ( x − a )k
A + 2B = 0, 4 2 1 B + 2C = 0, ⇒ A = 5 , B = − 5 , C = 5 A + C = 1, 4 2 1 − x+ 1 5 + 5 5 ∴ 2 = 2 (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1+ x
2010-12-5 微积分--有理函数积分 9
例
x ( x − 1) + 1 dx = ∫ dx 假分式化为整式 ∫ x −1 与真分式之和 x −1 1 2 )dx = L = ∫ (x + x + 1+ x −1 1 1 1 dx = ∫ ( − )dx = L ∫ x( x − 1) x −1 x
3
3
1 ∫ x( x − 1)2 dx = ? 积分的一般方法. 今天专门探讨这类有理函数积分的一般方法
2010-12-5 微积分--有理函数积分 8
1 A Bx + C 例3 + 2 = (1 + 2 x )(1 + x ) 1 + 2 x 1 + x 2 2 1 = A(1 + x ) + ( Bx + C )(1 + 2 x ) 即 1 = ( A + 2 B ) x 2 + ( B + 2C ) x + A + C
A 特殊地： 特殊地：k = 1, 分解后为 ; x−a 2 k 2 (2)分母中有因式 ( x + px + q ) ( p − 4q < 0),则分解后为 分母中有因式
Mk x + Nk M1 x + N 1 M2 x + N2 + 2 +L+ 2 2 2 k x + px + q ( x + px + q ) ( x + px + q )
2 1 1 1 2x 2x = ln 1 + 2 x − ∫ dx dx + ∫ 2 2 5 5 1+ x 5 1+ x 2 1 1 2 = ln 1 + 2 x − ln(1 + x ) + arctan x + C 5 5 5
2010-12-5 微积分--有理函数积分 15
( x + 1) 解 Cx + D 解得 2 x 2 x 3 + x − 1 Ax + B x +1 + 2 = 2 − 2 2 = 2 2 2 2 ( x + 1) x + 1 ( x + 1) x + 1 ( x + 1)
2010-12-5 微积分--有理函数积分 4
真分式——可化为部分分式之和(难点 可化为部分分式之和 难点 难点) 真分式 二、化真分式为部分分式之和 1. 部分分式 部分分式——指如下四种 最简真分式”： 指如下四种“最简真分式 指如下四种 最简真分式”
x + x +1 1 例 = x+ 2 2 x +1 x +1
(1) n = 1, ( 2) n > 1,
A ∫ x − a dx = A ln x − a + C A A 1 ∫ ( x − a )n dx = 1 − n ⋅ ( x − a )n−1 + C
微积分--有理函数积分 10
2010-12-5
讨论积分(3)： 讨论积分 ： (1) n＝1 ＝
Mx + N 记作a 记作 2 记作b 记作 dx 2 ∫ x + px + q Mp N− M 2x + p 2 dx +∫ = ∫ 2 dx 2 p 2 p 2 x + px + q ( x + ) + (q − ) 2 4 p x+ M b 2 2 +C ln( x + px + q ) + arctan = 2 a a 1 1 u ∫ a 2 + u2 dx = a arctan a + C
上
2010-12-5
课
微积分--有理函数积分 1
复习: 复习
直接积分法 凑微分法 (第一换元) 第二换元 积分法 分部积分法
复合函数微分法 两类换元积分法 函数乘积微分法 分部积分法
u =ϕ ( x )
∫ g( x )dx= ∫ f [ϕ ( x )]ϕ ′( x )dx = ∫ f [ϕ ( x )]d ϕ ( x )= F [ϕ (fx()])+ C === ∫ u du = fF ( udx = ∫ = [F( t )]ϕx( t )+ C F ( t ) + C ( x ) ) + C f ϕ [ϕ ( ′ )] dt = ∫
2010-12-5
Mx + N ∫ ( x 2 + px + q)n dx
a、b记号同前 、 记号同前 记号同前, Mx + N 再令 x + p = t dx 2 n 2 ( x + px + q ) Mp N− M 2x + p 2 dx dx +∫ = n 2 n 2 2 ( x + px + q ) p 2 p ( x + 2 ) + (q − 4 )