2011年江苏十三大市各模考填空题压轴题的解答

2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导1
题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N
，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ．m 的取值集合为{0，3，14，30}．
注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m
是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．
题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011
1
1()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ． 2013．
变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i -b j =a k -b l ，则1
1()n
i i i a b n =+∑的值是 ▲ ． 3．
变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i b j =a k b l ，记c n
{c n }的通项公式是 ▲ ． 12
32
n -⨯．
题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． k =2为所求．
题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B
+= ，则m = ▲ ．(用θ表示)m =sin θ．
A B
C O
E F
D 图1
图4
题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数2
2410()20e
x x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点
对”有 ▲ 个．2个．
题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π, )的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O
为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为
C ，则BA BC ⋅ = ▲ ．22
24(1)144
=ππ=--π．
题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20
(,)3
+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．有4个不同的值．
题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过
P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．值为
题9(盐城市一模) 已知函数2342011
()12342011
x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，
2342011
()12342011
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-
，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为
▲ ． 9．
题10(南通市一模) 是 ▲ ．
2．
变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
2
max
max 21()()2(1)
ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．
3
2
23(1)(2)l k k
-+．
注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC
的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导2
题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．
2
π
． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin 2αα
α
+= ▲ ．
2．
题13(苏北四市二模) 已知函数
()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，
且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ．6．
题14(南京市二模) 已知函数f (x )=211
1
x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值
范围是 ▲ ． 8
3
≥-．
变式 已知函数f (x )=2111
x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ． {8
3-}．
题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记
S n =2211
(1)1
(1)2()()222n
n
n
k k k k n f g n n ==-π--π
-∑
∑，T m =S 1+S 2+…+S m ．若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ． 5．
题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则21
22m
n m n +⋅+⋅的最小值为
▲ ． 4．
题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2
+y 2
=1上相异三点，
若存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+
，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ． (2,)+∞．
x
图10
λ+
图12
题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ． 故第13行第10个数为 111216142922⨯+⨯=．
题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MN
BN
取最小值时，CN = ▲ ．
题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．
c =2或c =1．
变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|
．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．
c =4
题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． a <2011
6
．
题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
2
(,][2,)3-∞-+∞ ．
题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=3
24
12x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．
116
-
．
题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．1
71
．
2012届赣马高级中学填空题压轴题常见题型复习指导
题1(苏锡常镇四市一模) 设m ∈N
，若函数()210f x x m =-+存在整数零点，则m 的取值集合为 ▲ ． 解 当x ∈Z ，且x ≤10
时，Z ． 若m =0，则x = -5为函数f (x )的整数零点． 若m ≠0，则令f (x )=0，得m
∈N ．
注意到-5≤x ≤10
N ，得x ∈{1，6，9，10}，此时m ∈{3，22
3
，14，30}．
故m 的取值集合为{0，3，14，30}．
注 将“m ∈N ”改为“m ∈N *”，即得2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷的填空题的压轴题：已知m
是正整数，且方程2100x m -+=有整数解，则m 所有可能的值是 ▲ ．
题2(淮安市一模) 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有a i +b j =a k +b l ，则2011
1
1()2011i i i a b =+∑的值是 ▲ ．
解 依题设，有b n +1-b n =a 2-a 1=1，从而数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列． 同理可得，{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以，数列{a n +b n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 所以，201111()2011i i i a b =+∑=120112010
(201132)20112
⋅⨯+⨯=2013．
变式1 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有
a i -
b j =a k -b l ，则1
1()n
i i i a b n =+∑的值是 ▲ ．
略解 依题设，有a i -b j =a j -b i ，于是a i +b i =a j +b j ，所以a n +b n =3，1
1()n
i i i a b n =+∑=3．
变式2 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=1，a 2=2，b 1=2，且对任意的正整数i ，j ，k ，l ，当i +j =k +l 时都有
a i
b j =a k b l ，记
c n
{c n }的通项公式是 ▲ ． 略解 由a 2b n =a 1b n +1，得121
2n n b a b a +==，故b n =2n ．同理，a n =1
2n -，通项公式为1
232n -⨯．
题3(常州市一模) 若对任意的x ∈D ，均有f 1(x )≤f (x )≤f 2(x )成立，则称函数f (x )为函数f 1(x )到函数f 2(x )
在区间D 上的“折中函数”．已知函数f (x )=(k -1)x -1，g (x )=0，h (x )=(x +1)ln x ，且f (x )是g (x )到h (x )在区间[1，2e]上的“折中函数”，则实数k 的取值范围为 ▲ ． 解 依题意，有0≤(k -1)x -1≤(x +1)ln x 在x ∈[1，2e]上恒成立．
当x ∈[1，2e]时，函数f (x )=(k -1)x -1的图象为一条线段，于是(1)0,
(2e)0,f f ≥⎧⎨≥⎩
解得k ≥2．
另一方面，k -1≤(1)ln 1
x x x
++在x ∈[1，2e]上恒成立．
令m (x )=
(1)ln 1x x x ++=ln 1ln x x x x ++，则2
ln ()x x
m x x -'=
．
因1≤x ≤2e ，故1
(ln )1x x x
'-=-
≥0，于是函数ln x x -为增函数．
所以ln x x -≥1ln1->0，()m x '≥0，m (x )为[1，2e]上的增函数． 所以k -1≤[m (x )]min =m (1)=1，k ≤2．
综上，k =2为所求．
题4(泰州市一模) 已知O 是锐角△ABC 的外接圆的圆心，且∠A =θ，若cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B
+=
，则m = ▲ ．(用θ表示)
解法1 如图1，作OE ∥AC 交AB 于E ，作OF ∥AB 交AC 于F ． 由正弦定理，得
s i n s i n s i n A E A O
A O
A O E A E O A
==
． 又∠AOE =∠OAF =2ADC π-∠=2B π
-∠，
所以cos sin AO B AE A
=，所以cos sin AO B AB AE A AB =⋅
．
同理，cos sin AO C AC
AF A AC
=⋅
．
因AE AF AO += ，故
cos cos sin sin AO B AB AO C AC AO A AB A AC
⋅+⋅=
． 因2sin sin AB AC AO C B ==，故上式可化为cos cos 2sin sin 2sin sin B C AB AC AO A C A B
+=
， 即cos cos 2sin sin sin B C AB AC A AO C B
+=⋅
，所以m =sin θ．
解法2 将等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B
+=
两边同乘以2AO ，得
222
cos cos 4sin sin B C AB AC mAO C B +=，即2222
cos cos sin 4sin 4B AB C AC m C AO B AO
=⋅+⋅．
由正弦定理，得
m =
22
cos cos sin sin sin sin B C C B C B
+=cos B sin C +cos C sin B =sin(B +C )=sin A =sin θ． 解法3 将已知等式cos cos 2sin sin B C AB AC mAO C B +=
两边平方，得
2222
2222
cos cos cos cos 2cos 4sin sin sin sin B C B C AB AC AB AC A m AO C B C B
++⋅=． 由正弦定理，得
m 2=22cos cos 2cos cos cos B C B C A ++ =222cos sin (cos cos cos )B A B A C ++ =222cos sin (cos cos cos())B A B A A B +-+ =222cos sin (sin sin )B A B A + =sin 2A =2sin θ．
注意到m >0，故m =sin θ．
注 1．本题虽难度较大，但得分率却较高．其主要原因是考生利用了特值法，令△ABC 为正三角形，
即得m
m =sin θ． 2．题中三种解法均是处理向量问题最常用的基本方法，解法1用的是平面向量基本定理，从不同侧
A
B
C O
E
F D 图1
面表示AO
；解法2与解法3，是或将向量等式两边同乘某个向量，或将等式两边同时平方，进而达到去
除向量的目的．
题5(南京市一模) 若直角坐标平面内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称点对(P ，Q )是函数()f x 的一个“友好点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )为同一个“友好点对”)．已知函数22410()20e
x x x x f x x ⎧++<⎪
=⎨⎪⎩≥, , , , 则()f x 的“友好点对”有 ▲ 个．
解 设x <0，则问题化归为关于x 的方程22
(241)0e x
x x -+++
=，即2
1e 22x
x x =---(0x <)有几个负数解问题．
记1=e x y ，221
(1)2
y x =-++，当1x =-时，11
e 2<，所以函数1y 的图象与2y 的图象有两个交点(如图2)，且横坐标均为负
数，故所求“友好点对”共有2个．
题6(镇江市一模) 直线l 与函数sin y x =([0]x ∈π,
)的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交于点B ，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则B
A B C ⋅
=
▲ ．
解 如图3，(1)P π2, 为极值点，2
OP k =π
．
设点A (x 0，sin x 0)，则过点A 的切线l 的斜率为02
cos x =π．
于是，直线l 的方程为002
sin ()y x x x -=-π
． 令y =0，得00sin 2x x x π-=
，从而BC =00sin 2
x x x π
-=． BA BC ⋅= cos BA BC ABC ⋅⋅=BC 2=2
0(sin )2x π2224(1144
=ππ=--π．
题7(扬州市一模) 若函数f (x )=x 3-ax 2(a >0)在区间20
(
,)3
+∞上是单调递增函数，则使方程f (x )=1000有整数解的实数a 的个数是 ▲ ．
解 令由22()323()03a f x x ax x x '=-=-
=，得x =0或23a
x =
． 于是，f (x )的单调增区间为(,0)-∞和2(,)3
a
+∞． 所以220
033
a <
≤
，即0<a ≤10． 因f (x )的极大值为f (0)=0，故f (x )=1000的整数解只能在2(,)3
a
+∞上取得． 令x 3-ax 2=1000，则a =2
1000
x x -． 令g (x )=21000x x -
，则32000()1g x x '=+>0，故g (x )在2(,)3
a
+∞为增函数． 因g (10)=0，g (15)=5
10109
+
>，故方程f (x )=1000的整数解集为{11，12，13，14}．
图4
从而对应的实数a 亦有4个不同的值．
题8(苏州市一模) 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，过P 作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值是 ▲ ．
解 设P (a ，-a 3+1)，0<a <1，则切线方程为y = -3a 2x +2a 3+1．
于是，两交点分别为(0，2a 3
+1)，(32
213a a
+，0)，32
2(21)()6AOB a S S a a ∆+==． 令333
(21)(41)
()3a a S a a +-'=
=0，得a ，且可判断此时S ．
题9(盐城市一模) 已知函数
2342011
()12342011
x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+
，
2342011
()12342011
x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-
，设()(3)(3)F x f x g x =+⋅-，且函数F (x )的零点均在区间[,](,,)a b a b a b <∈Z 内，则b a -的最小值为 ▲ ．
解 2342009
2()1f x x x x x x x '=-+-+-⋅⋅⋅-+=2011
1,1,12011, 1.x x x
x ⎧+≠-⎪+⎨⎪=-⎩
当x ≥0时，()0f x '>；当-1<x <0时，()0f x '>；当x <-1时，()0f x '>，故函数f (x )为R 上的增函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点．
因f (0)=1>0，f (-1)=111111
(11)(()()234520102011-+-++-++⋅⋅⋅+-+<0，故f (0)f (-1)<0，因而f (x )在R
上唯一零点在区间(-1，0)上，于是f (x +3)的唯一零点在区间(-4，-3)上．
同理可得，函数g (x )为R 上的减函数，于是函数f (x )在R 上最多只有一个零点．
又g (1)=111111
(11)(()()234520102011-+-+-+⋅⋅⋅+->0，
g (2)=242010121212
(12)2(2()2()234520102011
-+-+-+⋅⋅⋅+-<0，
于是g (1)g (2)<0，因而g (x )在R 上唯一零点在区间(1，2)上，于是g (x -3)的唯一零点在区间(4，5)上． 所以，F (x )的两零点落在区间[-4，5]上，b -
a 的最小值为9．
注 不少考生想对复杂的函数表达式进行求和变形化简，结果当然是徒劳而返，得分率非常低．导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具．
题10(南通市一模) 是 ▲ ． 解 (本题解法很多，仅给出平几解法)
如图4，△ABC 中，E ，F 分别为底BC 与腰AC
的中点，BF 与AE 交于点G ，则
G 为△ABC 的重心，于是BG =CG
=23BF =，且AE =3GE ．
所以，2
1333sin 222ABC BGC
S S GB GC BGC ∆∆==⋅⋅≤⨯=，
当且仅当∠BGC =2π
，即BG ⊥GC 时，△ABC 的面积取最大值2．
变式1 在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，D 在线段AC 上，AD =kAC (k 为常数，且0<k <1)，BD =l 为定长，则△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
略解 如图5，以B 为原点，BD 为x 轴建立直角坐标系xBy ．设A (x ，y )，y >0． 因AD =kAC =kAB ，故AD 2=k 2AB 2，于是(x -l )2+y 2=k 2(x 2+y 2)．
所以，222
2
2
(1)21k x lx l y k
--+-=- =
22
22222
(1)()111l k l k x k k k ---
+---≤22
22(1)k l k -，
于是，max
2
1kl
y k
=-，2max 2()2(1)ABD kl S k ∆=-，2max max 21()()2(1)ABC ABD l S S k k ∆∆==-． 变式2 在正三棱锥P -ABC 中，D 为线段BC 的中点，E 在线段PD 上，PE =kPD (k 为常数，且0<k <1)，AE =l 为定长，则该棱锥的体积的最大值为 ▲ ．
略解 如图6，因PE =kPD ，故EG =kOD ． 因AO =2OD ，故
2OF AO FG GE k ==，于是2
2
OF GO k =
+． 因PG PE k PO PD ==，故1GO
k PO =-， 从而
OF OF GO PO GO PO =⋅
=2(1)
2k k
-+． 所以，22(1)
P ABC F ABC k
V V k --+=-．
因
2AF AO FE GE k ==，故AF =2222
AE l
k k =
++． 于是，F ABC V -≤316
FA =3343(2)l k +(当且仅当F A ，FB ，FC 两两垂直时，“≤”中取“=”)，
所以，22(1)P ABC
F ABC k V V k --+=-≤3223(1)(2)l k k -+，于是所求的最大值为3
2
23(1)(2)l k k -+． 注 本题的原型题，可能来自于2008年江苏高考数学题：满足条件AB =2，AC
的△ABC 的面积的最大值为 ▲ ．
题11(无锡市一模) 已知函数f (x )=|x 2-2|，若f (a )≥f(b )，且0≤a ≤b ，则满足条件的点(a ，b )所围成区域的面积为 ▲ ．
解 易知f (x )
在
上为减函数，在)+∞上为增函数，于是a ，b
不可能同在)+∞上． 若0≤a ≤b
2-a 2≥2-b 2恒成立，它围成图7中的区域①； 若0≤a
b ，则2-a 2≥b 2-2，即a 2+b 2≤4，它围成图7中的
区域②．
综上，点(a ，b )所围成的区域恰好是圆a 2+b 2=4的1
8．
故所求区域的面积为
2
π． 题12(高三百校大联考一模) 若函数f (x )=|sin x |(x ≥0)的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则2(1)sin2αα
α
+= ▲ ．
解 依题意，画出示意图如图8所示． 于是，3(
,2)2
απ
∈π，且A (α，-sin α)为直线y =kx 与函数y =
-sin x (3(,2)2
x π
∈π)图象的切点．
x
在A 点处的切线斜率为sin cos α
αα
--=，故α=tan α．
所以，
2(1)sin 2αα
α
+=2(1tan )sin 2tan αα
α
+=sin 2cos sin ααα=2．
题13(苏北四市二模) 已知函数
()|1||2||2011||1||2||2011|f x x x x x x x =+++++++-+-++- ()x ∈R ，
且2(32)(1)f a a f a -+=-，则满足条件的所有整数a 的和是 ▲ ． 解 因f (-x )=f (x )，故f (x )为偶函数．
记g (x )=|1||2||2011|x x x ++++++ ，h (x )=|1||2||2011|x x x -+-++- ． 当x ≥0时，g (x +1)-g (x )=|x +2012|-|x +1|=2011， h (x +1)-h (x )=|x |-|x -2011|=22011,02011,
2011,2011.x x x -≤<⎧⎨≥⎩
所以，f (x +1)-f (x )=2,02011,
4022,2011.
x x x ≤<⎧⎨≥⎩
所以，f (0)=f (1)<f (2)<f (3)<…． 又当0≤x ≤1时，
f (x )=(1)(2)(2011)(1)(2)(2011)x x x x x x +++++++-+-++- =20112012⨯， 故2
|32||1|a a a -+=-或21132111a a a ⎧--+⎨--⎩≤≤≤≤,
,
且a ∈N *，解得a =1，2，3，所以结果为6．
注 本题也可以这样思考：从最简单的先开始．先研究函数1()|1||1|f x x x =++-与函数2()|1||2||1||2|f x x x x x =++++-+-的图象与性质，它们都是“平底锅型”，进而猜测函数()f x 的图象与
性质，并最终得以解决问题．
题14(南京市二模) 已知函数f (x )=211
1
x ax x +++(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的
取值范围是 ▲ ． 解 因x ∈N *，故由f (x )≥3恒成立，得a ≥8()3x x -++，故a ≥max 8
[()3]x x -++．
当x
取最接近于x =3时，8()3x x -++取最大值83-，于是a ≥8
3
-．
变式 已知函数f (x )=211
1
x ax x +++(x ∈N *)，且[f (x )]min =3，则实数a 的取值集合是 ▲ ．
略解 首先a ≥83
-．另一方面，∃x ∈N *，使f (x )≤3能成立，即a ≤8
()3x x -++能成立，于是a ≤
max 8[()3]x x -++=83-．所以，a 的取值集合是{8
3
-}．
题15(盐城市二模) 已知函数f (x )=cos x ，g (x )=sin x ，记 S n =2211
(1)1
(1)2()(
)22
2n
n
n
k k k k n f g n n
==-π--π
-∑
∑，T m =S 1+S 2+…+S m ． 若T m <11，则m 的最大值为 ▲ ．
解
21
(1)
(
)2n
k k f n
=-π∑
=(21)(1)cos0[cos
cos ][cos cos ]cos
22222n n n n n n n n n
π-π(-1)π+ππ
++++++ =1． 21
(1)(
)2n
k k n g n
=--π∑ =1(1)sin
[sin sin ][sin sin ]sin022222n n n n n n n n
-π(-)π-π-ππ
++++++ = -1． 所以，S n =122
n +
，T m =1
212m
m +-． 令T m <11，则正整数m 的最大值为5．
注 本题的难点在于复杂的S n 的表达式．去掉求和符号∑，展开表达式，化抽象为具体，进而识得庐山真面目． 题16(苏锡常镇四市二模) 已知m ，n ∈R ，且m +2n =2，则2122m n m n +⋅+⋅的最小值 为 ▲ ． 解法1 设x =m ，y =2n ，则问题等价于：已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值． 令S =22x y x y ⋅+⋅，T =22y x x y ⋅+⋅，则S -T =()(22)x y x y --≥0，即S ≥T ．
另一方面，S +T =()(22)x y x y ++
≥2⨯，故S ≥4，当且仅当x =y =1时取等号． 所以2122m n m n +⋅+⋅的最小值为4．
解法2 考虑到对称性，不妨取m ≥1．令g (m )=22(2)2m m m m -⋅+-⋅，m ≥1． 则22()(22)(2(2)2)ln 2m m m m g m m m --'=-+⋅--⋅≥0． 所以函数g (m )(m ≥1)为增函数，故min ()(1)4g m g ==．
注 这道题虽然正面求解难度较大，但得分率却相当的高．究其原因大致为：当考生经过变元后，得
问题为“已知x +y =2，求22x y x y ⋅+⋅的最小值”，它具有某种对称性，凭直观猜测：让x =y =1，一举得到所求结果．
题17(南通市二模) 在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆x 2+y 2=1上相异三点，若存在正实数
λ，μ，使得OC OA OB λμ=+
，则λ2+(μ-3)2的取值范围是 ▲ ．
解法1 如图9，作1OA OA λ= ，1OB OB μ=
，连B 1C ，A 1C ，则1||OA λ= ，1||OB μ=
，||1OC = ．
因三点A ，B ，C 互异，且11OC OA OB =+ ，故O ，C ，B 1构成三角形的三
1,|| 1.λμλμ+>⎧⎨-<⎩个顶点，且11||||B C OA λ== ，于是由三角形的边与边之间的关系有（☆）
如图10的阴影部分表示不等式组（☆）所表示的区域，P (λ，μ)为阴影部
分内的动点，定点A (0，3)，则λ2+(μ-3)2=AP 2．
点A (0，3)到直线μ-λ=1的距离d
=，AP >d
=，故λ2+(μ-3)2>2，
从而λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．
解法2 依题意，B ，O ，C 三点不可能在同一条直线上．
所以OC OB ⋅ =||||cos OC OB BOC ⋅
=cos BOC ∈(-1，1)．
又由OC OA OB λμ=+ ，得OA OC OB λμ=- ，于是2212OB OC λμμ=+-⋅ ．
记f (μ)=λ2+(μ-3)2=2212(3)OB OC μμμ+-⋅+- =226210OB OC μμμ--⋅+
． 于是，f (μ)>2228102(2)2μμμ-+=-+≥2，
图10
λ+
图12
且f (μ)<22410μμ-+=22(1)8μ-+，无最大值． 故λ2+(μ-3)2的取值范围为(2,)+∞．
题18(苏北四市三模) 如图11是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行第10个数为 ▲ ．
解法1 记第n 行第m 个数为a n ，m ．为了得到a 13，10，
则第1行必须写满22个数．
观察可得：a 13，1+a 13，10=2(a 12，1+a 12，11)=22(a 11，1+a 11，12)=…=212(a 1，1+a 1，22)=23×212． 所以，a 13，1+a 13，10=23×212． 另一方面，a 13，10=a 13，1+9×212． 联立解得 a 13，10=216．
解法2 记第n 行的第1个数为a n ．
于是，猜测(1)2n a n =+⋅．
因第n 行的数从左到右排列成公差为12n -的等差数列，故第13行第10个数为
111216142922⨯+⨯=．
解法3 记第n 行的第1个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则12n n n a S +-=． 所以，S n +1-2S n =2n ，111
222
n n n n S S ++-=．
又
111
22
S =，故22n n
S n =，S n =12n n -⋅．所以，2(1)2n n a n -=+⋅．下同解法2． 题19(南京市三模) 如图12，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MN
BN
取最小值时，CN = ▲ ． 解法1 设CN =x ∈1
[,1]2，则BM =DN =1-x ．
作MP ⊥DC 交DC 于点P ，则PN =2x -1． 所以，MN 2
=1+(2x -1)2
=4x 2
-4x +2，BN 2
=x 2
+1，
22MN
BN =2
24421
x x
x -++=242
41x x +-
+ =
2441(12t t --+=44514t t
-+-(其中t =1
2x +)，
当且仅当54t t
=，即t ，x
时，2
2
MN BN
取最小值，所以CN
． 解法2 设∠CBN =θ
(θ∈[0,]4π)，则BN =1
cos θ，DN =1-tan θ，MN
所以，
MN
BN
=cos 1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 …
8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 …
… … …
图11
其中cos ϕ=
sin ϕ=
．
当sin(2)1θϕ+=时，MN BN 取最小值，此时tan 2tan()2
θϕπ
=-=1tan ϕ=2．
解
22tan 2
1tan θ
θ
=-，得tan θ
为所求(另一解为负，舍去)．
题20(南通市三模) 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，
f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条直线上，则c = ▲ ．
解 可求得，当12n -≤x ≤2n (n ∈N *)时， f (x ) =22
(1|3|)2n n x c ----．
记函数f (x ) =22
(1|3|)2
n n x c ----(12n -≤x ≤2n ，n ∈N *)图象上极大值的点为P n (x n ，y n )．
令
2
302
n
n x --=，即x n =232n -⋅时，y n =2n c -，故P n (232n -⋅，2n c -)． 分别令n =1，2，3，得 P 1(
32，1
c
)，P 2(3，1)，P 3(6，c )． 由2123P P P P k k =(k 表示直线的斜率)得，c =2或c =1．
当c =2时，所有极大值的点均在直线1
3
y x =上；
当c =1时，y n =1对n ∈N *恒成立，此时极大值的点均在直线y =1上．
变式 定义在[1,)+∞上的函数f (x )满足：①f (2x )=cf (x )(c 为正常数)；②当2≤x ≤4时，f (x )=1-|x -3|．若函数图象上所有取极大值的点均落在同一条以原点为顶点的抛物线上，则常数c = ▲ ．
略解 以原点为顶点的抛物线方程可设为x 2=py (p ≠0)或y 2=qx (q ≠0)． 若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线x 2=py (p ≠0)上，则(232n -⋅)2=2n pc -，即
29()4
n c
p -=对n ∈N *恒成立，从而c =4；若P n (232n -⋅，2n c -)在抛物线y 2=qx (q ≠0)上，则(2n c -)2=232n q -⋅
，即23n q -=对n ∈N *恒成立，
从而c
综上，c =4
题22(扬州市三模) 设函数f (x )的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x ∈D ，都有x +k ∈D ，且
f (x +k )>f (x )恒成立，则称函数f (x )为D 上的“k 型增函数”．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )=|x -a |-2a ，若f (x )为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 解 若a ≤0，则f (x )在x >0时为增函数，故对任意正实数k ，不等式f (x +k )>f (x )恒成立．
若a >0，则函数y =f (x +k )的图象可由函数y =f (x )的图象
向左平移k
个单位而得(如图13)．因k =2011，故仅当2011>6a 时，
f (x +2011)>f (x )，所以此时0<a <2011
6．
综上，实数a 的取值范围是a <
2011
6
．
题23(徐州市三模) 若关于x 的方程x 4+ax 3+ax 2+ax +1=0有实数根，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 解法1 因x ≠0，故将方程两边同除以x 3，并变形得
211
()()2x a x a x x
++++-=0．
令g (t )=22t at a ++-，t =1
x x
+
∈(,2][2,)-∞-+∞ ． 原方程有实数根，等价于函数g (t )有零点．
因g (-1)= -1，故函数g (t )有零点，只须g (-2)≤0或g (2)≤0．
解g (-2)≤0，得a ≥2；解g (2)≤0，得a ≤2
3-．
所以，实数a 的取值范围为2
(,][2,)3-∞-+∞ ．
解法2 易知x =0不是方程的根，故x 3+x 2+x =213
(())24
x x ++≠0．
所以，a =4
321x x x x +-++=2111x x x x +
-
++=2
1
2()11x x x x
-+++=12t t -+∈2(,][2,)3-∞-+∞ ，其中t =11x x ++∈(,1][3,)-∞-+∞ ．
解法3 接解法2，a =432
1
x x x x
+-++，于是2432322(1)(2421)()x x x x x a x x x -++++'=++． 因4322421x x x x ++++=x 2(x +1)2+(x +1)2+2x 2>0，故由0a '=可解得x =1或-1．
当x >0时，a <0，且当x =1时，a 取极大值23-，故此时a ≤2
3-；
当x <0时，a >0，且当x = -1时，a 取极小值2，故此时a ≥2．
综上，实数a 的取值范围为2
(,][2,)3-∞-+∞ ．
题24(南通市最后一卷) 函数f (x )=3
24
12x x x x -++的最大值与最小值的乘积是 ▲ ．
解法1 当x ≠0，±1时，f (x )=22112x x x x -++=2
11()4x
x x x --+=114()1x x x x
-+
-． 当1x >x 时，f (x )≤14，且当1x x -=2时，取“=”，故f (x )的最大值为14
． 又因为f (x )为奇函数，故f (x )的最小值为14-．
所以所求的乘积为116
-
． 解法2 令4223
61
()(1)
x x f x x -+'=+=0，得x 2
=21)． 函数f (x )的最大值应在x -x 3>0，即0<x <1或x <-1时取得． 所以[f (x )]max =max{f
1)，f
(1)}=
1
4
，下同解法1． 解法3 令x =tan θ，则g (θ)=f (x )=222
tan (1tan )(1tan )θθθ-+=1sin 44θ∈11[,]44-，所求乘积为1
16
-．
注 题23与题24有异曲同工之妙，它们都出现了x ，x 2，x 3，x 4，经换元后，分别得到了只关于整体
变量1x x +及1
x x
-的表达式，进而一举解决了问题． 题25(淮安市四模) 已知函数f (x )=|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|100x -1|，则当x = ▲ 时，f (x )取得最小值．
解 f (x )=
123100111111
|1|||||||||||||2233100100x x x x x x x -+-+-+-++-++-++- 项
项
项
项
， f (x )共表示为5050项的和，其最中间两项均为1
||71
x -．
x =
171，同时使第1项|x -1|与第5050项1||100x -的和， 第2项1||2x -与第5049项1||100
x -的和，第3项与第5048项的和，…，第2525项与第2526项的和，取得最小值．故所求的x 为1
71
． 注 1．一般地，设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n (n ∈N *)，f (x )=|x -a 1|+|x -a 2|+|x -a 3|+…+|x -a n |．
若n 为奇数，则当x =12
n a +时，f (x )取最小值；
若n 为偶数，则x ∈1
2
2[,]n n a a +时，f (x )取最小值．
2．本题似于2011年北大自主招生题：“求|x -1|+|2x -1|+|3x -1|+…+|2011x -1|的最小值”相关联．。