2019届二轮复习 复数与数学文化 学案(全国通用)

第3练 复数与数学文化

[明晰考情] 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度．

考点一 复数的概念

要点重组 (1)复数：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部，i 为虚数单位．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．

(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．

(4)复数的模：向量OZ →

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．

方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．

1．(2018·全国Ⅰ)设z ＝1－i

1＋i ＋2i ，则|z |等于( )

A ．0 B.12 C ．1 D. 2

答案 C

解析 ∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝－2i

2＋2i ＝i ，

∴|z |＝1.故选C.

2．(2018·全国Ⅱ)1＋2i

1－2i 等于( )

A ．－45－35i

B ．－45＋3

5i

C ．－35－45i

D ．－35＋45i

答案 D

解析 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝1－4＋4i 1－(2i )

2＝－3＋4i 5＝－35＋45i.故选D. 3．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2等于( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i

解析 由已知得a ＝2，b ＝1，即a ＋b i ＝2＋i ， ∴(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.

4．(2018·杭州模拟)设a ∈R ，若(1＋3i)(1＋a i)∈R (i 是虚数单位)，则a 等于( ) A ．3 B ．－3 C.13 D ．－13

答案 B

解析 (1＋3i)(1＋a i)＝1＋a i ＋3i －3a ， ∵(1＋3i)(1＋a i)∈R ，

∴虚部为0，则a ＋3＝0，∴a ＝－3.

5．(2018·浙江省杭州市第二中学月考)若复数z 满足(1－2i)·z ＝3＋i(i 为虚数单位)，则z ＝______；|z |＝________. 答案

1＋7i

5

2

解析 由题设有z ＝

3＋i 1－2i ＝(3＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )

＝1＋7i

5，故|z |＝ 2.

6．(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 答案 5 2

解析 (a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i.

由(a ＋b i)2

＝3＋4i ，得⎩

⎪⎨⎪⎧

a 2－

b 2

＝3，ab ＝2， 解得a 2＝4，b 2＝1.所以a 2＋b 2＝5，ab ＝2. 考点二 复数的几何意义 要点重组 (1)复数z ＝a ＋b i 一一对应

复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．

(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )

一一对应

平面向量OZ →

.

7．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)

答案 A

解析 由复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，

得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＋3>0，m －1<0，解得－3

(i 为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a ＝________.

解析 因为2－a i 1＋i ＝(2－a i )(1－i )2＝2－a 2－a ＋2

2i ，

又因为2－a i 1＋i

对应的点在虚轴上，所以2－a

2＝0，a ＝2.

9．如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则z 2

z 1

＝______.

答案 －1－2i

解析 由题意，根据复数的表示可知z 1＝i ，z 2＝2－i ， 所以z 2z 1＝2－i i ＝(2－i )·

(－i )i·(－i )

＝－1－2i.

10．设复数z 满足(2＋i)z ＝||3－i ，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在第________象限． 答案 四

解析 由(2＋i)z ＝|3－i|＝1＋3＝2， 得z ＝|3－i|2＋i ＝2(2－i )(2＋i )(2－i )＝45－25

i ，

∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫45，－2

5， 在第四象限．

11．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 017

1＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于第______象限．

答案 一

解析 因为i 4n ＋

k ＝i k (n ∈Z )，且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，

所以i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 017＝i ， 所以z ＝i

1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2，

对应的点为⎝⎛⎭⎫

12，12，在第一象限． 考点三 几何中的数学文化

方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，