2015-2016高中数学 1.5.3定积分的概念学案 新人教A版选修2-2

1．5.3
定积分的概念
1．了解定积分的概念． 2．会用定义求一些简单的定积分．
基 础 梳 理 1．定积分的概念： 如果函数 f(x)在区间[a，b]上连续， 用分点 a＝x0<x1<…<xi－1<xi<… <xn＝b 将区间[a， b]等分成 n 个小区间， 在每个小区间[xi－1， xi]上任取一点 ξ i(i＝1， 2， …，
f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式．
2．定积分的几何意义：如果在区间[a，b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0，那么定积
分
a f(x)dx 表示由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面
3．定积分的性质．
b
积．
(1)
a kf(x)dx＝k a f(x)dx (k 为常数)； a
0
1
x3dx＜
0
1
x2dx＜
0 x3dx，即
1 1
a＞b＞c，故选
x
表示为_____________________． 解析：如图所示，阴影部分的面积可表示为
1
2
xdx－
1 x
21
dx＝
2 1 x－ dx 1 x
答案：
2 1 x－ dx 1 x
2 －2x＋4，x>1， 8．设 f(x)＝ 则 f(x)dx＝__________． x＋1，0≤x≤1， 0
b
b
B.
a
b 2
b
[f(x)＋1]dx＝
a f(x)dx＋b－a
b b 2
sin xdx
b
C.
a f(x)g(x)dx＝ a f(x)dx· a g(x)dx 2 sin xdx＝ 2 sin xdx＋ 0
0 xdx＝2， 0 x dx＝3， 0 x dx＝4.
n)，作和式 f(ξ i)Δ x＝
i＝1 i＝1
n
n
b－a f(ξ i)，当 n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个 n
常数叫做函数 f(x)在区间[a，b]上的定积，记作
a f(x)dx，即 a f(x)dx＝
b
b

i＝1
n
_
b－a f(ξ i)．其中，a 与 b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数 n
1
3
(－3)dx 等(A) B．6 D．3
1
3
3dx 表示图中阴影部分的面积 S＝3×2＝6，
1
3
(－3)dx＝－
1 3dx＝－6.
3
6．设 a＝
0
1 1
x3dx，b＝
0
1
x2dx，c＝
0 x dx，则 a，b，c 的大小关系是(B)
3
1
A．c＞a＞b B．a＞b＞c C．a＝b＞c D．a＞c＞b 解析：根据定积分的几何意义，易知 B. 1 7．(2013·天津高二检测)曲线 y＝ 与直线 y＝x，x＝2 所围成的图形面积用定积分可

解析：∵f(x)＝
－2x＋4，x>1， x＋1，0≤x≤1，
∴
0
2
f(x)dx＝
0
1
(x＋1)dx＋
1 (－2x＋4)dx.
2
又由定积分的几何意义得
0 (x＋1)dx＝2(1＋2)×1＝2， 1 (－2x＋4)dx＝2×1×2＝1，
∴
1
1
3
2
1
0 f(x)dx＝2＋1＝2.

1 2 16－x dx＝ 4
π ·4 ＝4π .
基 础 巩 固
1．定积分
a f(x)dx 的大小(A)
b
A．与 f(x)和积分区间[a，b]有关，与 ξ i 的取法无关 B．与 f(x)有关，与区间[a，b]及 ξ i 的取法无关 C．与 f(x)及 ξ i 的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与 f(x)、积分区间[a，b]和 ξ i 的取法都有关 2．下列结论中成立的个数是(C)
a f(x)dx 的值(A)
b
C．当 0<a<b 时是正的，当 a<b<0 时是负的 D．正、负都有可能
解析：由定积分的几何意义知，当 a<b，且 f(x)>0 时， 2．下列等式不成立的是(C)
a f(x)dx>0.
b
A.
a
b
[mf(x)＋ng(x)]dx＝m
a f(x)dx＋n a g(x)dx
0
1
(2x＋e )dx 的值为(C)
x
B．e＋1 D．e－1
0
1源自文库
(2x＋e )dx＝(x ＋e )f0＝(1 ＋e )－(0 ＋e )＝e，故选 C.
x
2
x
2
1
2
0
4.
0
2
4－x dx＝________．
2
解析：积分
0
2
1 2 4－x dx 表示如下图所示的圆的面积的 . 4
1 2 所以 S＝ π (2) ＝π . 4 答案：π 能 力 提 升 5．定积分 A．－6 C．－3 解析： 故选 A.
想一想：用定积分表示下图中阴影部分的面积．
答案：S＝
a f (x)dx－ a f (x)dx
1 2
b
b
想一想： 定积分 的取值的符号为 0．
0 x dx 的取值的符号为正， 1 x dx 的取值的符号为负， 1 x dx
3 3 3
1
0
1
自 测 自 评
1．当 a<b，且 f(x)>0，则 A．一定是正的 B．一定是负的
b
[f1(x)±f2(x)]dx＝
b
b
(2)
a f (x)dx±f (x)dx；
1 2
b
(3)
a f(x)dx＝ a f(x)dx＋ c f(x)dx (其中 a＜c＜b)．
b
c
b
想一想：直线 x＝0, x＝π ，y＝0 与曲线 y＝sin x 所围成的图形的面积用积分表示为
0 sin_xdx．
①

1
n 1 i3 1 x3dx＝ · 3· ② x3dx＝ n n 0 0 i＝1


i＝1
n
（i－1）
3
n3
1 3 1 · ③ x dx＝
n
0

i＝1
n
i3 1 · n3 n
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由定积分的定义知，②、③成立，故选 C. 3．(2014·高考陕西卷)定积分 A．e＋2 C．e 解析：
2
3
5
5 答案： 2 9．简化下列各式，并画出各题所表示的图形的面积． (1)
2 3 3
0
D.
解析：利用定积分的性质进行判断，C 不成立． 例如
1
1
1
1
1
1
但
0 x dx≠ 0 xdx· 0 x dx.
2
1
1
1
3．计算： A．8π 解析：
2
0
1
16－x dx＝(C) C．4π D．32π
2
B．16π
0
4
4 1 2 16－x dx 表示以原点为圆心，半径为 4 的 圆的面积，∴ 4 0