概率统计简明教程(同济)Chapter1
第二版 工程数学-概率统计简明教程-第一章-随机事件
互斥
对立
例7 有两门火炮同时向一架飞机射击,考察事件 A= ｛击落飞机｝, B i= ｛击中 第i个发动机｝, i=1,2 , C = ｛击中驾驶员｝. 根据常识 “击落飞机”等价于“击中驾驶员”或者 “同 时击中2个发动机”.试描述事件A,Bi ,C之间的关系.
A= C发生 或 B1和B2同时发生, A= C ∪ (B1∩B2)= C∪B1B2
2. A等于B 若事件 A 和 B相互包含，则称事 件 A 与事件 B 相等，记作 A=B.
C = {击中驾驶员} 发生了，意味着飞机一定击落了，
即A= {击落飞机}一定发生，所以 C A.
A
B
A
Ω
Ω
3. A 与B互斥(互不相容 )
A，B事件不能在同一试验 中同时“出现”
A=“骰子出现1点”， B=“骰子出现偶数点”
(10) A, B, C 中恰好有两个出现. 解 (10) ABC ABC ABC.
四、小结
1. 随机试验、样本空间与随机事件的关系
随机试验
样本空间 子集 随机事件
随 机
基本事件 复合事件
事 件
ห้องสมุดไป่ตู้
必然事件
不可能事件
2. 概率论与集合论之间的对应关系
记号
概率论
集合论
样本空间，必然事件
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间 为
{HHH , HHT , HTH , THH , HTT , TTH , THT , TTT}.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{0,1, 2, 3}.
所以在具体问题的研究 中 , 描述随机现象的第一步 就是建立样本空间.
概率第1章
05 每次试验中一定不发生的事件称为不可能事件.空集 中不包含任何样本点, 因此是不可
能事件. OPTION
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三、随机事件
例 2 抛掷一枚均匀的骰子的样本空间为 1,2,L ,6
第1章 随机事件与概率 10
随机事件 A=“出现 6 点”=6 ； 随机事件 B=“出现偶数点”=2, 4,6； 随机事件 C=“出现的点数不超过 6” 1,2,L ,6= ，即一定会发生的必然事件；
E2 ABC ；
3
三个事件都不出现（记为 E3 ）；
E3 ABC ；
4
三个事件中至少有一个出现（记为 E4 ）； E4 A B C ；
5
三个事件中至少有两个出现（记为 E5 ）； E5 AB U AC U BC ；
6
至多一个事件出现（记为 E6 ）；
E6 ABC U ABC U ABC U ABC ；
第1章 随机事件与概率 22
P A 0.2, P B 0.3, PC 0.4, P AB 0 P BC =P AC 0.1,
则， A, B, C 至少发生一个的概率是多少？
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目录/Contents
第1章 随机事件与概率 23
1.1
随机事件及其运算
1.2 概率的定义及其性质
i 1
则称 P( A) 为事件 A 的概率.
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1.2 概率的定义及其性质
第1章 随机事件与概率 20
由概率的三条公理，可以推导出概率的一些性质.
性质1 P() 0
性质2 有限可加性
同济大学概率统计第1章
三、随机事件
1.
随机事件：一个随机试验的样本空间的子集，简称为事件， 常用大写字母A，B，C……表示。 2. 基本事件：仅含一个样本点的随机事件 。 例1: 事件A={出现点数不大4},A={1,2,3,4} 事件B={出现偶数点},B={2,4,6} 例2: 事件C={次品件数不少于空间和随机事件
确定性现象：在确定的试验条件下必然会发生 的现象
在101325Ｐa的大气压下， 将纯净水加热到100℃时必然沸腾
垂直上抛一重物，该重物会 垂直下落
随机现象：在大量重复试验中结果呈现某种规律性的 现象。这种规律性称为统计规律性。
掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点。
Ω
A B
记作
A⊂ B
B⊃A
例如
抛掷两颗骰子，观察出现的点数 B={出现奇数点}
A={出现1点}
A⊂ B
相等事件
A ⑵如果 ⊂ B 且 B ⊂ A ，即 A = B ，那么称事件A与事件B相等。
B ⊃ A且 A ⊃ B
Ω
B A
⇔
A=B
例1：在投掷一颗骰子的试验中， 事件A“出现2点”，事件B“出现偶 数点”，事件c是“出现2或4或6 点”，则
§1.2事件关系和运算
例７：两门火炮同时向一架飞机射击,事件A=｛击落飞机},Bi={击中第i个发 动机},i=1,2, C={击中驾驶员},“击落飞机”等价于“击中驾驶员” 或者
“击中两个发动机”.
试建立A,B1,B2,C之间的联系.
包含
⑴如果 A ⊂ B（或） B ⊃ A ，那么称事件B包含事件A，它的含义是：事 件A发生必定导致事件B发生。事件A是事件B的子事件。
几何概型
假定样本空间Ω是某个区域（可以是一维、二维和三维的）每个 样本点等可能的出现，我们规定事件A的概率为：
同济大学概率论与数理统计第一、第二章
例7 抛二枚均匀硬币， Ω={正正，正反，反正， 反反} 。 A={第一次出现正面} ={正正，正反}， B={第二次出现正面}={正正，反正}。 • A与B的和事件∶第一次或第二次出现正面，表 示为 A∪B={正正，正反，反正} 。 • A与B的积事件∶第一次且第二次都出现正面， 表示为 A∩B={正正} 。 • A与B的差事件A-B∶第一次正面第二次出现反面， 表示为 A-B={正反}.
又如： • 抛一枚均匀硬币100次，出现正面向上的次 数恰为35次。 • 男婴女婴的出生率． • 在闹市区的某个街口，在一个给定时间段 内观察交通堵塞现象．
为了研究随机现象的统计规律性， 就要对客观事物进行观察，这个 过程叫试验。
概率论所讨论的试验称为随机试验，它具 有以下三个特点： • 在相同的条件下试验可以重复进行； • 每次试验的结果具有多重可能性，但是试 验之前可以明确试验的所有可能结果； • 在试验前不能准确地预言该次试验将出现 哪种结果。
•
在概率论中，把具有上述两个特点 的试验叫做古典型试验，它的数学模 型称为古典概型。 • 在古典概型中，记n为样本点总个数， 如果事件A中包含nA个样本点，（或 称有利于A的样本点个数为nA ）那么 规定 P（A）= nA/n
例1. 盒中装有5个球，三白两红，从中 任取一个，问：取到白球的概率是多少？ 若从中任取两个，问两个球全是白球的概 率是多少？（考虑50个球的情形：计数原 理和排列组合） 解： P =3/5 P2=3*2/(5*4)=3/10
• 自然地规定 P（Ω）=1， P（φ）=0。 0≤p(A) ≤1
在现实问题中，有很大一类随机现象具有一些 共同的特征，可以直接计算出事件的概率。比如： （1）一盒灯泡100个，任取一个检查其质量， 则100个灯泡被抽取的机会相同。 （2）抛一枚匀称的硬币，出现正面和反面的可 能性相同。
《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。
解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}.(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则{X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{X (0,)} ， A {X(2000,2500)} .2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C .解(1) A U B是必然事件；(2) AB 是不可能事件；(3) AC {取得球的号码是2，4}；(4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}；(6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}；(7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) A ；(3) AB ；(4) A U B .x1x21 ，B x 1 x43，求下列事件的表达式：2解(1) A U B x 1 x 3 ;4 2(2) A x 0 x 1或1 x22 I B x1x41U x1 x3;2 2(3) 因为A B ，所以AB ；(4) A U B A U x 0 x 1或3x 2x 0 x1 1x 1或3x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，B, C都不出现（记为E1）；(2) A, B 都出现，C 不出现（记为E2）；(3) 所有三个事件都出现（记为E3）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；(5) 三个事件都不出现（记为E5）；(6) 不多于一个事件出现（记为E6）；(7) 不多于两个事件出现（记为E7）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率统计简明教程 第一章 随机事件及其概率
第一章随机事件及其概率概率论是研究随机现象统计规律性的数学学科，它的理论与方法在自然科学、社会科学、工程技术、经济管理等诸多领域有着广泛的应用.从17世纪人们利用古典概型来研究人口统计、产品检查等问题到20世纪30年代概率论公理化体系的建立，概率论形成了自己严格的概念体系和严密的逻辑结构.本章重点介绍概率论的两个最基本的概念：随机事件与概率.主要内容包括：随机事件与概率的定义，古典概型与几何概型，条件概率，乘法公式，全概率公式与贝叶斯公式以及事件的独立性等.§1 随机事件1.1随机现象在自然界和人类社会生活中普遍存在着两类现象：必然现象和随机现象.在一定条件下必然出现的现象称为必然现象.例如，没有受到外力作用的物体永远保持原来的运动状态，同性电荷相互排斥等，都是必然现象.在相同的条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象.例如，抛掷一枚硬币出现正面还是出现反面，检查产品质量时任意抽取的产品是合格品还是次品等，都是随机现象.在对随机现象进行大量重复观测时我们发现，一方面，在每次观测之前不能预知哪个结果出现，这是随机现象的随机性；另一方面，在进行了大量重复观测之后，其结果往往会表现出某种规律性.例如，抛掷一枚硬币，可能出现正面也可能出现反面，抛掷之前无法预知哪个结果出现，但在反复多次抛掷之后，正面出现的频率（即正面出现的次数与抛掷总次数的比值）在0.5附近摆动，这表明随机现象存在其固有的量的规律性.我们把随机现象在大量重复观测时所表现出来的量的规律性称为随机现象的统计规律性.表1.1记录了历史上研究随机现象统计规律性的最著名的试验——抛掷硬币的试验结果.表1.11.2 随机事件为了研究和揭示随机现象的统计规律性，我们需要对随机现象进行大量重复的观察、测量或者试验.为了方便，将它们统称为试验.如果试验具有以下特点，则称之为随机试验，简称为试验：1. 可重复性 试验可以在相同的条件下重复进行；2. 可观测性 每次试验的所有可能结果都是明确的、可观测的，并且试验的可能结果有两个或更多个；3. 随机性 每次试验将要出现的结果是不确定的，试验之前无法预知哪一个结果出现.我们用字母E 表示一个随机试验，用ω表示随机试验E 的可能结果，称为样本点，用Ω表示随机试验E 的所有可能结果组成的集合，称为样本空间.例1.1 抛掷一枚硬币，观察正面H 和反面T 出现的情况（将这两个结果依次记作1ω和2ω）,则试验的样本空间为1Ω ={出现H ，出现T } = {1ω,2ω}.例1.2 将一枚硬币抛掷三次，观察正面H 和反面T 出现的情况，则试验的样本空间为{,,,,,,,}2H H H H H T H TH TH H H TT TH T TTH TTT Ω=. 例 1.3 将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数，则试验的样本空间为3Ω =}{3,2,1,0.例1.4 抛掷一枚骰子，观察出现的点数，则试验的样本空间为4Ω = }{6,5,4,3,2,1.例 1.5 记录某机场问讯处一天内收到的电话次数，则试验的样本空间为5Ω = }{ ,2,1,0.例 1.6 从一批电子元件中任意抽取一个，测试它的寿命（单位：小时），则试验的样本空间为6Ω = {t +∞<≤t 0}[0,)=+∞.在随机试验中，我们常常关心试验的结果是否满足某种指定的条件.例如，在例1.6中，若规定电子元件的寿命小于5000小时为次品，那么我们关心试验的结果是否有5000≥t .满足这一条件的样本点组成6Ω的子集{}5000≥=t t A ，我们称A 为该试验的一个随机事件.显然，当且仅当子集A 中的一个样本点出现时，有5000≥t .一般地，我们称随机试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件，简称为事件，用大写字母A ,B ,C 等表示.在每次试验中，当且仅当子集中的一个样本点发生时，称这一事件发生.特别地，由一个样本点组成的单点子集，称为基本事件.样本空间Ω作为它自身的子集，包含了所有的样本点，每次试验总是发生，称为必然事件.空集∅作为样本空间的子集，不包含任何样本点，每次试验都不发生，称为不可能事件.例1.7 在例1.3中，子集}0{=A 表示事件“三次均不出现正面”， 子集}3{=B 表示事件“三次均出现正面”，A 与B 都是基本事件.子集}1,0{=C 表示事件“正面出现的次数小于2”，子集}3,2,1{=D 表示事件“正面至少出现一次” .而事件“正面出现的次数不大于3”为必然事件，事件“正面出现的次数大于3”为不可能事件.1.3 随机事件的关系及运算在一个随机试验中，往往存在很多随机事件，每一事件具有各自的特征，彼此之间可能存在某种联系.为了通过对简单事件的研究来掌握复杂事件，我们需要研究事件间的关系及运算.由于事件是一个集合，因此事件的关系及运算与集合的关系及运算是相互对应的.在以下的讨论中，试验E 的样本空间为Ω，A ，B ，),2,1( =k A k 是试验E 的事件，也是Ω的子集.1. 事件的包含如果事件A 发生必然导致事件B 发生，即属于A 的每一个样本点一定也属于B ，则称事件B 包含事件A ，记作B A ⊂.显然，事件B A ⊂的含义与集合论中的含义是一致的，并且对任意事件A ,有A Ω∅⊂⊂.在例1.7中，有C A ⊂. 2. 事件的相等如果事件A 包含事件B ，事件B 也包含事件A ，即A B ⊂且B A ⊂，则称事件A 与事件B 相等（或等价），记作B A =.显然，事件A 与事件B 相等是指A 和B 所含的样本点完全相同，这等同于集合论中的相等，实际上事件A 和事件B 是同一事件.3．事件的和“事件A 和事件B 至少有一个发生”这一事件称为事件A 和事件B 的和（或并），记作B A ，即B A ={事件A 发生或事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω或.在例1.7 中，{}3,1,0=C B . 事件的和可以推广到多个事件的情形：ni iA1=={事件n A A A ,,,21 中至少有一个发生}，∞=1i iA={事件12,,,,n A A A 中至少有一个发生}.4. 事件的积“事件A 和事件B 同时发生”这一事件称为事件A 与事件B 的积（或交），记作B A (或AB )，即B A ={事件A 发生且事件B 发生}={}B A ∈∈ωωω且，这与集合论中的交集的含义一致.在例1.7中，{}3=BD .事件的积可以推广到多个事件的情形：ni iA1=={事件n A A A ,,,21 同时发生}，∞=1i iA={事件 n A A A ,,,21同时发生}.5. 事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”这一事件称为事件A 与事件B 的差，记作B A -，即B A -={事件A 发生但事件B 不发生}={}B A ∉∈ωωω但. 在例1.7中，{}3,2=-CD .6. 事件的互不相容如果事件A 与事件B 不能同时发生，也就是说，AB 是不可能事件，即A B =∅，则称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）.在例1.7中，事件B 与事件C 是互不相容的. 7. 事件的互逆如果在每一次试验中事件A 与事件B 都有一个且仅有一个发生，则称事件A 与事件B 是互逆的（或对立的），并称其中的一个事件为另一个事件的逆事件（或对立事件）,记作B A =或A B =.显然互逆的两个事件A ，B 满足A B Ω= ， A B =∅.在例1.7中，事件A 与事件D 是互逆的.图1.1（文氏图）直观地表示了上述关于事件的各种关系及运算.B A ⊂ B A B AB A - A 与 B 互不相容 A B =图1.1与集合的运算类似，事件的运算有如下的运算规律：（1）交换律 A B B A =,BA AB =；（2）结合律 )()(C B A C B A =,)()(BC A C AB =； （3）分配律 )()()(AC AB C B A =,）（C A B A BC A )()(=； （4）对偶律 B A B A = ，AB A B = . 上述各种事件运算的规律可以推广到多个事件的情形.例１.８ 甲，乙，丙三人射击同一目标，令1A 表示事件“甲击中目标”， 2A 表示事件“乙击中目标”， 3A 表示事件“丙击中目标” .用1A ,2A ,3A 的运算表示下列事件.（1） 三人都击中目标；（2） 只有甲击中目标； （3） 只有一人击中目标； （4） 至少有一人击中目标； （5） 最多有一人击中目标.解 用E D C B A ,,,,分别表示上述（1）~（5）中的事件. （1）三人都击中目标，即事件1A ,2A ,3A 同时发生，所以321A A A A =；（2）只有甲击中目标，即事件1A 发生，而事件2A 和3A 都不发生，所以321A A A B =；（3）只有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中有一个发生，而另外两个不发生，所以321321321A A A A A A A A A C =；（4）至少有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 中至少有一个发生，所以321A A A D =；“至少有一人击中目标”也就是恰有一人击中目标，或者恰有两人击中目标，或者三人都击中目标，所以事件D 也可以表示成 )(321321321A A A A A A A A A D =)()(321321321321A A A A A A A A A A A A ；（5）最多有一人击中目标，即事件1A ,2A ,3A 或者都不发生，或者只有一个发生，所以)()(321321321321A A A A A A A A A A A A E =；“最多有一人击中目标”也可以理解成“至少有两人没击中目标”，即事件321,,A A A 中至少有两个发生，所以313221A A A A A A E =.§2 随机事件的概率对于随机事件而言，在一次试验中可能发生也可能不发生，那么我们希望知道一个随机事件A 在一次试验中发生的可能性有多大，也就是事件A 在一次试验中出现的机会有多大.我们把用来表征事件A 在一次试验中发生的可能性大小的数值p 称为事件A 的概率.2.1 频率将随机试验在相同的条件下重复进行n 次，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，而比值nn A 称为事件A 发生的频率，记作)(A f n ，即nn A f A n =)(.容易证明，频率)(A f n 满足下列性质： (1) 对于任一事件A ，0)(≥A f n ； (2) 对于必然事件Ω，()1n f Ω=；(3) 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅， ,2,1,=j i ），有∑∞=∞==11)()(i i n i i n A f A f .事件A 的频率反映了在n 次试验中事件A 发生的频繁程度.频率越大，表明事件A 的发生越频繁，这意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越大；频率越小，意味着事件A 在一次试验中发生的可能性越小.然而频率)(A f n 依赖于试验次数以及每次试验的结果，而试验结果具有随机性，所以频率也具有随机性.大量试验表明，当n 较小时，频率的波动性较大，当n 增大时，频率的波动幅度随之减小，即频率)(A f n 呈现出稳定性，稳定地在某一常数p 附近摆动，而且摆动幅度越来越小.我们用p 这一数值表征事件A 在一次试验中发生的可能性的大小，称为事件A 的概率，记作()P A ，即()P A p =.表1.1是历史上几位著名的科学家重复抛掷硬币的试验结果.不难看出，随着n 的增大，“正面朝上”这一事件的频率)(A f n 呈现出稳定性，在数值5.0附近摆动，所以事件“正面朝上”的概率为5.0.这种用频率的稳定值定义事件的概率的方法称之为概率的统计定义.随着对概率研究的深入，经过近三个世纪的漫长探索， 1933年前苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov ）提出了概率的公理化体系，明确定义了基本概念，使得概率论成为严谨的数学分支，推动了概率论研究的发展.2.2 概率定义2.1 设试验E 的样本空间为Ω，如果对E 的每一个事件A ，都有唯一的实数)(A P 与之对应，并且)(A P 满足下列条件：（1）非负性 对于任一事件A ，有0)(≥A P ； （2）规范性 对于必然事件Ω，()1P Ω=；（3）可列可加性 对于两两互不相容的事件 n A A A ,,,21（即当j i ≠时，有i j A A =∅，（ ,2,1,=j i ），有 ∑∞=∞==11)()(i ii i A P A P ，则称)(A P 为事件A 的概率.概率的这一定义称为公理化定义，它高度抽象因而具有广泛的适应性.在第五章我们将证明，当∞→n 时，频率)(A f n 在一定意义下收敛于概率)(A P ，可见概率的公理化定义涵盖了概率的统计定义.根据定义 2.1，我们可以推出概率的重要性质，这些性质有助于我们进一步理解概率的概念，同时它们也是概率计算的重要依据.性质1 对于不可能事件∅，有()0P ∅=.证明 令(1,2,)i A i =∅= ，则 n A A A ,,,21是两两互不相容的事件，且1i i A ∞==∅ ，根据概率的可列可加性有111()()()()i ii i i P P A P A P ∞∞∞===∅===∅∑∑ .由于实数()P 0∅≥，因此()0P ∅=.性质2 对于两两互不相容的事件n A A A ,,,21 （即当j i ≠时，有i j A A =∅，,1,2,,i j n = ），有11()()nni ii i P A P A ===∑ .证明 令(1,2,)i A i n n =∅=++ ，根据概率的可列可加性有∑∑=∞=∞=====ni ii ii i ni i AP AP A P A P 1111)()()()( .性质3 对于任一事件A ，有)(1)(A P A P -=.证明 因为A A Ω= ,A A =∅,由概率的规范性和性质2，有 1)()(=+A P A P ， 于是)(1)(A P A P -=.性质4 如果事件B A ⊂,则有)()(B P A P ≤,且APBP--.=)B)(P()(A证明因为BA⊂，所以)A B A-=∅,由= ,且()B-BA(A性质2，有PABP-=.+P))B(((A)又0)(BP≤，并且AP(P, 所以))(≥-ABAPB-.=BP-))P(()(A对于任意两个事件A与B，由于ABAB⊂,根据=-,且BABB-性质4，可得ABPB-AB-.==P-B()()P)P((AB)上式称为概率的减法公式.性质5 对任一事件A，有1P.)A(≤证明因为AΩ⊂，由性质4和概率的规范性，可得P.A(≤)1性质6 对于任意两个事件A与B，有ABAP-+).=PP)B)((()P(AB证明因为)AB⊂,,且()A B AB-=∅,B=AA-(ABBB由性质2和性质4，可得ABABPABP=.A=++-P-P)(()P())PB((AB))(上式称为概率的加法公式.加法公式可以推广到有限个事件的情形.例如，对任意三个事件C,，有A,BBCPAAP+=+B()(P))(P(C)PPABBC-AC-.-P+()())((ABC)P例2.1 设C B A ,, 是同一试验E 的三个事件，)()()(C B P A P ==31=,=)(AB P 81)(=AC P ,()P BC 0=.求：（1）)(A B P -； （2）)(C B P ；（3）)(C B A P . 解 由概率的性质，可得 (1) 2458131)()()(=-=-=-AB P B P A B P ；(2) 3203131)()()()(=-+=-+=BC P C P B P C B P ；(3) 由于A B C B C ⊂,所以()()P ABC P BC ≤,亦即()P ABC 0=. 于是)()()()(C P B P A P C B A P ++=)()()()(ABC P AC P BC P AB P +---0810*******1+---++=43=.例2.2 已知4.0)(,2.0)(,5.0)(===B P B A P A P ，求： (1) )(AB P ； （2）)(B A P .解 （1）由题意，,2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P)(B P 4.0=， 所以2.02.04.0)(=-=AB P ；（2） 由于5.05.01)(=-=A P ,2.0)(=AB P ，所以()()()()0.5+0.4-0.2=0.7P A B P A P B P AB =+-= ，再由对偶律，有3.07.01)(1)()(=-=-==B A P B A P B A P .2.3 古典概型概率的公理化定义只规定了概率必须满足的条件，并没有给出计算概率的方法和公式.在一般情形之下给出概率的计算方法和公式是困难的.下面我们讨论一类最简单也是最常见的随机试验，它曾经是概率论发展初期的主要研究对象.如果随机试验E 满足下列两个条件：（1）有限性 试验E 的基本事件总数是有限个；（2）等可能性 每一个基本事件发生的可能性相同，则称试验E 为古典概型（或等可能概型）.下面我们讨论古典概型中事件概率的计算公式.设试验E 的样本空间为{},,,12n Ωωωω= .显然基本事件{}1ω，{}2ω，··· ，{}nω是两两互不相容的，且 {}{}{}12n Ωωωω= .由于()1P Ω=及)()()(21n P P P ωωω=== ，根据概率的性质，有)()()()(121i n nP P P P ωωωω=+++= （n i ,2,1=）， 即nP P P n 1)()()(21====ωωω .如果事件A 包含k 个基本事件，即{}{}{}ki ii A ωωω 21=，其中ki i i i ,,21是n ,,2,1 中的某k 个数，则有nk P P P A P ki i i =+++=)()()()(21ωωω ，即()A P A Ω=包含的基本事件包含的基本事件. (2.1)按公式（2.1），要计算古典概型中事件A 的概率，只需计算样本空间Ω所包含的基本事件总数n 以及事件A 所包含的基本事件个数k .这时常常要用到加法原理、乘法原理和排列组合公式.例2.3 将一枚硬币抛掷三次，求“恰有一次出现正面”的概率. 解 设A 表示事件“恰有一次出现正面” .由于试验的样本空间为 {,,,,,,,H H H H H T H T H T H H H T T T H T T T H T T T Ω= ， 所以,基本事件总数8=n .又},,{TTH THT HTT A =, 即A 所包含的基本事件个数3=k .因此83)(=A P .在例2.3中，我们写出了试验的样本空间以及事件A 的集合表示，从而得到基本事件总数n 和事件A 所包含的基本事件个数k ，最后算出事件A 的概率.其实很多时候我们并不需要写出样本空间来，只要算出基本事件总数n 和A 所包含的基本事件数k ，就可以利用（2.1）式计算事件A 的概率.例2.4 一只箱子中装有10个同型号的电子元件，其中3个次品，7 个合格品.(1) 从箱子中任取1个元件，求取到次品的概率；(2) 从箱子中任取2个元件，求取到1个次品1个合格品的概率.解 （1）从10个元件中任取1个，共有110C n =种不同的取法，每一种取法所得到的结果是一个基本事件，所以110C n =. 又10个元件中有3个次品，所以取到次品有13C 种不同的取法，即13C k =.于是取到次品的概率为131110C 3C10p ==；(2) 从10个元件中任取2个，共有210C 种不同的取法, 所以210C n =.而恰好取到1个次品1个合格品的取法有1137C C 种，即1137C C k =,于是取到1个次品1个合格品的概率为 11372210C C 217C4515p ===.一般地，在N 件产品中有M 件次品，从中任取)(N n n ≤件，则其中恰有}),min{(M n k k ≤件次品的概率为C C Ckn kM N Mn N p --=.例2.5 某城市电话号码从七位数升至八位数，方法是在原先号码前加 6或8，求：（1）随机取出的一个电话号码是没有重复数字的八位数的概率1p ； （2）随机取出的一个电话号码末尾数是8的概率2p .解 电话号码的第一位数字只能是6或8，第一位有2种可能结果，而其余各位数字都可以是0到9这十个数中的任何一个，因此，每一位数字均有10种可能结果，于是基本事件总数7102⨯=n .（1） 取到没有重复数字的八位数号码有34567892⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯种不同的结果，所以0181.01023456789271=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=p ；（2）取到尾数是8的号码有11026⨯⨯种不同的结果，所以1.0102102762=⨯⨯=p .例2.6 从9,8,7,6,5,4,3,2,1,0中任取三个数字，求下列概率： （1） 取到的三个数字不含0和5； （2） 取到的三个数字不含0或5.解 设A 表示事件“取到的三个数字不含0和5”，B 表示事件“取到的三个数字不含0或5”，基本事件总数为310C .（1）事件A 包含了38C 个基本事件，所以38310C 7()C 15P A ==；（2）设C 表示事件“取到的三个数字不含0”，D 表示事件“取到的三个数字不含5”，则D C B =， 所以，事件B 发生的概率为)()()()()(CD P D P C P D C P B P -+== )()()(A P D P C P -+=333998333101010C C C C C C =+-1514=.在例2.6中我们看到，计算古典概型中事件的概率，有时需要和概率的性质结合在一起.事实上，题中事件B 的概率还有更简单的计算方法：B 表示事件“取到的三个数字既含0也含5”，从而18310C 14()1()1C 15P B P B =-=-=.例 2.7 将n 个球随机地放入N （n N ≥）个箱子中，其中每个球都等可能地放入任意一个箱子，求下列事件的概率：（1）每个箱子最多放入1个球； （2）某指定的箱子不空.解 将n 个球随机地放入N 个箱子中，共有n N 种不同的放法，记（1）和（2）中的事件分别为A 和B .（1） 事件A 相当于在N 个箱子中任意取出n 个，然后再将n 个球放入其中，每箱1球，所以共有C !n Nn ⋅ 种不同的放法，于是 C !()nN n n P A N⋅=；（2） 事件B 的逆事件B 表示“某指定的箱子是空的”，它相当于将n 个球全部放入其余的1-N 个箱子中，所以nnNN B P )1()(-=，进而(1)(1)()1()1nn nnnN N N P B P B NN---=-=-=.例2.7的问题可以应用到其他不同的情形.例如，某班级有50名学生，一年按365天计算，则这50名学生生日各不相同的概率为P （生日各不相同）=()!.5036550C 50003365⋅=.这里，50名学生的生日相当于“50个球”，一年365天相当于“365个箱子”，那么“50名学生生日各不相同”相当于 “每个箱子中最多放入1个球” .需要指出的是，人们在长期的实践活动中总结出这样的事实：小概率事件在一次试验中几乎不可能发生.这一事实通常被称作实际推断原理.由于上述50名学生生日各不相同的概率仅为03.0，所以我们可以预测这50名学生中至少有2人生日相同.例 2.8 某商场为促销举办抽奖活动，投放的n 张奖券中有)(n k k <张是有奖的，每位光临的顾客均可抽取一张奖券，求第)(n i i ≤位顾客中奖的概率.解 设A 表示事件“第i 位顾客中奖” .到第i 位顾客为止，试验的基本事件总数为(1)(2)(1)n n n n i ⋅-⋅-⋅⋅-+ ，而第i 个顾客中奖可以抽到k 张有奖券中的任意一张，其他顾客在剩余的1-n 张奖券中任意抽取，所以事件A 包含的基本事件数为(1)(2)(1)n n n i -⋅-⋅⋅-+ k ⨯,于是nk i n n n n k i n n n A P =+---+---=)1()2)(1()1()2)(1()( .在上述解题过程中，我们只考虑了前i 个顾客的情形.如果把所有顾客的情形都考虑进去，那么试验的基本事件总数为!n .第i 个顾客中奖有k 种取法，其余1-n 位顾客将余下来的1-n 张奖券抽完，所以事件A 所包含的基本事件个数为)!1(-n k ，进而事件A 的概率为nk n n k A P =-=!)!1()(.例2.8的结果表明，顾客中奖与否同顾客出现的次序i 无关，也就是说抽奖活动对每位参与者来说都是公平的，进而说明在现实生活中普遍存在的抽签活动是公平的：一组签中有若干好签和若干坏签，不论是先抽还是后抽，抽到好签的概率总是相同的.2.4 几何概型以有限性和等可能性为前提我们讨论了古典概型中事件概率的计算公式，下面我们将其推广到无限多个基本事件的情形，而这些基本事件也具有某种等可能性.如果试验相当于向面积为()S Ω的平面区域Ω内任意投掷一点（如图2.1），而这个点（称为随机点）落在Ω内任意一点的可能性相等，进而随机点落在Ω内任意子区域A 的可能性大小与A 的面积成正比，而与A 的位置和形状无关，我们称这样的试验为平面上的几何概型.设A 表示事件“随机点落在区域A 内”，)(A S 为区域A 的面积，并且事件A 的概率为)()(A kS A P =，其中k 为比例系数.由于()1P Ω=，所以()()1P k S ΩΩ==,于是1()k S Ω=，进而有()()()S A P A S Ω= ，即 图2.1 ()A P A Ω=的面积的面积. （2.2）需要指出的是，如果试验相当于向直线上的区间内投掷随机点，则只需将（2.2）式中的面积改为长度，上述讨论依然成立；如果试验相当于向空间区域内投掷随机点，则只需将面积改成体积.例2.9 某人午觉醒来发现自己的表停了，便打开收音机收听电台报时.已知电台每个整点报时一次，求他（她）能在10分钟之内听到电台报时的概率.解 由于上一次报时和下一次报时的时间间隔为60分钟，而这个人可能在)60,0(内的任一时刻打开收音机，所以这是一个直线上的几何概型问题.用x 表示他（她）打开收音机的时刻，A 表示事件“他（她）能在10分钟之内听到电台报时”，则{060}x x Ω=<<，{5060}A x x Ω=<<⊂.于是610605060)(=--=A P .例 2.10 甲、乙两船在某码头的同一泊位停靠卸货，每只船都可能在早晨七点至八点间的任一时刻到达，并且卸货时间都是20分钟，求两只船使用泊位时发生冲突的概率.解 因为甲、乙两船都在七点至八点间的60分钟内任一时刻到达，所以甲到达的时刻x 和乙到达的时刻y 满足600<<x ，600<<y ，AΩ即),(y x 为平面区域{(,)060,060}x y x y Ω=<<<<概型问题.泊位时{(,A x y =（如图2.2=)(A P§3 条件概率3.1 条件概率假设A 和B 是随机试验E 的两个事件，那么事件A 或B 的概率是确定的，而且不受另一个事件是否发生的影响.但是，如果已知事件A 已经发生，那么需要对另一个事件B 发生的可能性的大小进行重新考虑. 例3.1 一只盒子中装有新旧两种乒乓球，其中新球有白色4个和黄色3个，旧球有白色2个和黄色1个.现从盒子中任取一球.（1） 求取出的球是白球的概率1p ；（2）已知取出的球是新球，求它是白球的概率2p .解 设A 表示“取出的球是新球”，B 表示“取出的球是白球” .由古典概型有（1）53106)(1===B P p ；（2）2p 是在事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率.由于新球共有7个，其中有4个白球，因此，742=p .由此可见，21p p ≠.为了区别，称2p 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率，记作)(A B P ，即74)(2==A B P p .由于AB 表示事件”取出的球是新球并且是白球”，而在10个球中，是新球并且是白球共有4个，所以104)(=AB P .又107)(=A P ,所以有)(A B P =74=107104=)()(A P AB P . 容易验证，在一般的古典概型中，只要0)(>A P ，总有)(A B P =)()(A P AB P .在几何概型中（以平面的情形为例），如果向平面区域Ω内投掷随机点（图3.1），A 表示事件“随机点落在区域A 内”，B 表示事件“随机点落在区域B 内”，那么图3.1)(A B P =的面积的面积的面积的面积的面积的面积ΩΩ=A AB A AB =)()(A P AB P .一般地，我们有下面的定义.定义3.1 设A 和B 是试验E 的两个事件，且0)(>A P ，称)(A B P =)()(A P AB P （3.1）为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.容易验证，条件概率)(A B P 满足概率定义中的三个条件，即 (1) 非负性 对于任意事件B ，有0)(>A B P ； (2) 规范性 对于必然事件Ω，有()1P A Ω=； (3) 可列可加性 对于两两互不相容的事件,,,21 B B 有{()}()i ii 1i 1P B A P BA ∞∞===∑ ，进而也满足概率的重要性质，例如()0P A ∅=； )(1)(A B P A B P -=；121212(())()()()P B B A P B A P B A P B B A =+- .在计算条件概率时，有时可以根据试验的结构，从条件概率的本质含义直接得到条件概率，有时则需要用定义3.1来计算条件概率.例3.2 口袋中有10个乒乓球，3个黄球，7个白球，从中任取一球观察颜色后不放回，然后再任取一球.（1）已知第一次取到的是黄球，求第二次取到的仍是黄球的概率； （2）已知第二次取到的是黄球，求第一次取到的也是黄球的概率. 解 设i A 表示“第i 次取到黄球”（2,1=i ），则1A 表示“第一次取到白球” .（1）已知1A 发生，即第一次取到的是黄球，那么第二次就在剩余的2个黄球和7个白球中任取一个，根据古典概型概率的计算公式，取到黄球的概率为92，即有92)(12=A A P ；（2）已知2A 发生，即第二次取到的是黄球.由于第一次取球发生在第二次取球之前，所以问题的结构不像（1）那么直观，我们采用（3.1）式计算)(21A A P .15191023)(21=⨯⨯=A A P )()()()(121212122A A P A A P A A A A P A P +===1039103791023=⨯⨯+⨯⨯，所以92103151)()()(22121===A P A A P A A P . 在例3.2中我们发现，“已知第一次取到的是黄球，第二次取到的仍是黄球”的概率与“已知第二次取到的是黄球，第一次取到的也是黄球” 的概率相等.事实上，尽管第一次取球时，可能取到的是10个球中的任意一个，但当我们知道第二次取到的是黄球之后，反过来推断，第一次取到的是2个黄球和7个白球中的一个，从而结果与（1）相同.例3.2中的这一现象是具有一般性的，作为练习，读者可以考虑a 个黄球和b 个白球的情形.3.2 乘法公式由条件概率的定义 3.1可知，对于任意两个事件A 和B ，如果0)(>A P ，则有)()()(A B P A P AB P =. （3.2）对称地，如果0)(>B P ，由)()()(B P AB P B A P = 有()()()P AB P B P A B =. （3.3） （3.2）和（3.3）式称为概率的乘法公式.对于有限个事件n A A A ,,,21 ，当0)(121≠-n A A A P 时，有。
概率统计简明教程课件讲义
（二）重在“观念”和“思考”
美国统计协会和数学会的一个联合课 程委员会曾指出：任何统计的入门课程， 都应该“强调如何做统计思考”而且内容 应该“多一些数据和观念，少一点公式和 推导过程”。 因此统计作为一门公共基础课程，其 内涵符合素质教育的基本精神，应重在 “观念”和“思考”。
变异性(Variablity)
（一）事件的概率 （二）条件概率与事件的独立性 （三）随机变量及其分布 （四）随机变量的数字特征
（一）事件的概率
1、随机事件 2、概率的概念及性质 3、古典概型
1、随机事件
• 在随机试验中，对某些现象的陈述为随机 事件（也简称事件）。 • 对于指定的一次试验，一个特定的事件可 能发生，也可能不发生，这就是事件的随 机性。
四 统计的特点
• 1、统计学是使用有效方法收集分析数据， 并作出结论的方法论科学。 • 2、统计方法不涉及问题的专业内涵，是 “中性”的，任何人都可以使用。 • 3、统计结论并非百分之百 • 4、统计方法研究和揭示现象之间在数量表 现层面上的相关关系，但不肯定是因果关 系。
• 3、统计结论并非百分之百
ˆ 2p 得到 估计为
3、统计是受过教育的人应有 的素养。
• 血液检查中的经济学
血液检查中的经济学
第二次大战时，必须招募很多士 兵，为检查某种疾病需对每个申请者 作血液检查，工作量巨大。如何在保 证质量的前提下减少检验次数呢？假 定该病的流行率为1/20。
可将申请者分成20人一组，如每组进行20次 检查，则平均一组有一例阳性。 今把20人分成2组（10人一组），采得每个 组的10个人的混合血液，分别再对二次混合血液 各做一次检验，则有一组呈阳性，而另一组为阴 性。再对呈阳性一组，做10次检验，以确认哪一 个人为阳性，如此只须做2+10=12次检验，比 20次减少40%。 如分成5人一组，则同理只须做4+5=9次检 验，减少55%。这是在流行率为1/20的条件下， 对20个人的最少检验次数。
概率统计简明教程多媒体参考资料第一篇概率论
n
n
U P( Ak ) P(Ak )
P( Ai Aj ) L
k 1
k 1
1i jn
(1)k1
P( Ai1 L Aik ) L (1)n1 P( A1...An )
1i1 i2 ...ik n
16
例 3（第二章例 9）据资料获悉某市居民私房拥有率为 63% ，私车拥有率为 27%，
而既无房也无车的占 30%，求任意抽查一户，恰为既有房又有车的概率. 解分别记事件 A={抽到的一户有房}，B={抽到的一户有车}，C={抽到的一户有车、 有房}
A= B1B2∪C
这可以简化复杂事件A的概率计算.
12
事件分解的要点是：正 确使用事件的运算建立各简 单事件之间的关系.
13
2.概率的概念及性质
• 概率是事件发生的可能性大小的度量. • 概率的统计定义：概率是频率的稳定值, 常
常用于概率的近似计算，是非常有用的.但 要注意，试验次数要足够多.
14
20
而构成事件A的样本点的条件必须每次 抽取来自30件次品，因此每次有30种可能
结果，因而有k＝30×30＝900种可能结 果，于是
P( A)
k n
900 10,000
＝0.09.
同理，可得
P(B)
30 100
70 100
＝0.21.
21
*例 5（第二章例 5） 占位问题 n 个球随机地落入 r 个不同盒子中
n
令
B BAi ,
i 1
则有
n
P(B) P( Ai )P(B | Ai ) . i 1
原因A1
原因A2 … …
原因An
结果B
全概率公式是已知“原因”发生概率，求“结果”发生概率.
最新版概率统计简明教程期末复习题(含答案)
考试的重点内容与要求考试的范围是现用教材：工程数学—《概率统计简明教程》（同济大学应用数学系主编）第一、二、三、四、六、七、八、九、十章。
以下按章次明确考试的重点与要求。
第一章随机事件1.了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念。
2.理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算。
第二章事件的概率1.了解事件频率的概念，了解概率的统计定义。
2.熟悉关于排列与组合的基本知识，掌握求排列数与组合数的公式。
3.了解概率的古典定义，会计算简单的古典概率。
4.了解概率的公理化定义，掌握概率的基本性质，并会解决比较简单的问题。
第三章条件概率与事件的独立性1.了解条件概率的概念、概率的乘法定理与全概率公式，并会解决比较简单的应用问题。
2.理解事件的独立性概念，了解伯努利（Bernoulli）概型和二项概率的计算方法。
第四章随机变量及其分布1.理解随机变量的概念，了解分布函数的概念和性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
2.理解离散型随机变量及分布律的概念，掌握0－1分布、二项分布，了解泊松（Poisson）分布。
3.理解连续型随机变量及其概率密度的概念。
掌握正态分布，均匀分布，了解指数分布。
第六章随机变量的函数及其分布掌握求简单随机变量函数的概率分布(重点是一维随机变量的函数及其分布)。
第七章随机变量的数字特征1.理解数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算。
2.掌握二项分布、正态分布、泊松分布等的数学期望与方差。
第八、九、十章1、了解统计量定义，掌握常用统计量的计算；理解参数点估计的概念，掌握用矩估计法构造参数的估计量。
2、掌握用最大似然估计法构造参数的估计量，了解估计量的优良性评判准则。
上述列出的各章内容与要求是本次统考的重点内容和应当达到的合格要求。
当中对所列内容按教学要求的不同，分为两个层次。
属较高要求，应使考生深入领会和掌握，并能熟练应用。
其中，概念、理论用“理解”一词表述，方法、运算用“掌握”一词表述。
工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A : (1) 抛一枚硬币两次,观察出现的面,事件 A = {两次出现的面相同} ; (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数,事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}; (3) 从一批灯泡中随机抽取一只,测试其寿命,事件 A = { 寿命在2000 到2500 小时之间}. 解(1) = {( +,+), (+,), (,+), (,)} , A = {(+,+), (,)} . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数,则= { X = k | k = 0,1,2,LL} , A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记X 为抽到的灯泡的寿命(单位:小时) ,则= { X ∈(0, + ∞)} , A = { X ∈(2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球, 分别编有号码 1 至10, 从中任取 1 球, A = {取得球的号码是偶数}, = {取设 B 得球的号码是奇数}, C = {取得球的号码小于5},问下列运算表示什么事件: (1) A U B ;(2) AB ;(3) AC ;(4) AC ;(5) A C ;(6) B U C ;(7) A C . 解(1) A U B = 是必然事件; (2) AB = φ 是不可能事件; (3) AC = {取得球的号码是2,4}; (4) AC = {取得球的号码是1,3,5,6,7,8,9,10}; (5) A C = {取得球的号码为奇数,且不小于5} = {取得球的号码为5,7,9}; (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为6,8,10}; (7) A C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为6,8,10} 1 1 3 3. 在区间[0 ,2] 上任取一数,记 A = x < x ≤ 1 , B = x ≤ x ≤ ,求下列事件的表达式: 2 2 4 (1) A UB ;(2) A B ;(3) AB ;(4) A U B . 1 3 解(1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或< x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或< x ≤ 1或< x ≤ 2 4. 用事件A, B,C 2 2 4 4 2 的运算关系式表示下列事件: (1) A 出现, B, C 都不出现(记为E1 ) ; (2) A, B 都出现, C 不出现(记为 E 2 ) ; (3) 所有三个事件都出现(记为E3 ) ; (4) 三个事件中至少有一个出现(记为 E 4 ) ; (5) 三个事件都不出现(记为E5 ) ; (6) 不多于一个事件出现(记为 E 6 ) ; (7) 不多于两个事件出现(记为 E 7 ) ; (8) 三个事件中至少有两个出现(记为E8 ) . 解(1) E1 = AB C ; (3) E3 = ABC ; (5) E5 = A B C ; (2) E 2 = ABC ; (4) E 4 = A U B U C ; (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ; ww (7) E 7 = ABC = A U B U C ;(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品,从中有放回地抽取三次,每次取一件,设Ai 表示事件"第i 次w. kh 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A B ,所以AB = φ ; da w.1 x ≤ x ≤ 4 1 U x1 < x ≤2 co3 ; 2 m 抽到废品" i = 1,2,3 ,试用Ai 表示下列事件: , (1) 第一次,第二次中至少有一次抽到废品; (2) 只有第一次抽到废品; (3) 三次都抽到废品; (4) 至少有一次抽到合格品; (2) 只有两次抽到废品. 解(1) A1 U A2 ;(2) A1 A2 A3 ; (3) A1 A2 A3 ; (4) A1 U A2 U A3 ; (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击,设Ai ={第i 次射击命中}, i = 1,2,3 , B = {三次射击恰好命中二次}, C = {三次射击至少命中二次};试用Ai 表示 B 和 C . 解 B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3习题二解答w. 1.从一批由45 件正品,5 件次品组成的产品中任取 3 件产品,求其中恰有 1 件次品的概率. 50 解这是不放回抽取,样本点总数n = ,记求概率的事件为 A ,则有利于 A 的样本点数 3 45 5 k = . 于是 2 1 45 5 45 × 44 ×5 × 3! 99 k 2 1 P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2.一口袋中有 5 个红球及 2 个白球,从这袋中任取一球,看过它的颜色后放回袋中,然后, 再从这袋中任取一球,设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同.求(1) 第一次,第二次都取到红球的概率; (2) 第一次取到红球,第二次取到白球的概率; (3) 二次取得的球为红,白各一的概率; (4) 第二次取到红球的概率. 解本题是有放回抽取模式, 样本点总数n = 7 2 . 记(1)(2)(3)(4) 题求概率的事件分别为A, B, C , D . kh 25 5 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数k B = 5× 2 ,故P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数k C = 2 × 5 × 2 ,故P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于D 的样本点数k D = 7 × 5 ,故P( D) = 2 = 49 7 7 3.一个口袋中装有 6 只球,分别编上号码 1 至6,随机地从这个口袋中取2 只球,试求:(1) 最小号码是 3 的概率;(2) 最大号码是 3 的概率. 解本题是无放回模式,样本点总数n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为3,只能从编号为3,4,5,6 这四个球中取 2 只,且有一次抽到3,因而有利2×3 1 样本点数为 2 × 3 ,所求概率为= . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为3,只能从1,2,3 号球中取,且有一次取到3,于是有利样本点数为 2 × 2 , (ⅰ)有利于 A 的样本点数k A = 5 2 ,故ww da w. 2 2× 2 2 = . 6 × 5 15 4.一个盒子中装有 6 只晶体管,其中有 2 只是不合格品,现在作不放回抽样,接连取 2 次, 每次取 1 只,试求下列事件的概率: (1) 2 只都合格; (2) 1 只合格,1 只不合格; (3) 至少有 1 只合格. 解分别记题(1),(2),(3)涉及的事件为A, B, C ,则 4 2 4 × 3 × 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 4 × 2 × 2 8 P( B) = = = 6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5.掷两颗骰子,求下列事件的概率: (1) 点数之和为7;(2) 点数之和不超过5;(3) 点数之和为偶数. 解分别记题(1),(2),(3)的事件为A, B, C ,样本点总数n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点(2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴P ( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 ∴P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ) C 含样本点(1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共18 个样本点. 18 1 ∴P(C ) = = 36 2 6.把甲,乙,丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去,假设每间宿舍最多可住8 人, 试求这三名学生住不同宿舍的概率. 解记求概率的事件为 A , 样本点总数为53 , 而有利 A 的样本点数为 5 ×4 ×3 , 所以 5 × 4 × 3 12 P ( A) = = . 25 53 7.总经理的五位秘书中有两位精通英语,今偶遇其中的三位,求下列事件的概率: "其中恰有一位精通英语" ; (1) 事件 A : (2) 事件B : "其中恰有二位精通英语" ; (3) 事件 C : "其中有人精通英语" . 5 解样本点总数为 3 所求概率为2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 (1) P( A) = = = = ; 5 × 4 × 3 10 5 5 3 (3) 因 C = A U B ,且 A 与 B 互斥,因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 8.设一质点一定落在xOy 平面内由x 轴, y 轴及直线x + y = 1 所围成的三角形内,而落在这三SA 1 角形内各点处的可能性相等,计算这质点落在直线x = 1 / 3 的左边的概率. y 解记求概率的事件为 A ,则S A 为图中阴影部分,而| |= 1 / 2 , 1 1 2 1 5 5 | S A |= = × = 2 2 3 2 9 18 最后由几何概型的概率计算公式可得| S | 5 / 18 5 O P( A) = A = = . || 1/ 2 9 9. (见前面问答题 2. 3) 10.已知 A B , P( A) = 0.4 , P( B) = 0.6 ,求 2 2 3 2 1 3 × 3! 3 (2) P( B) = = ; = 5 × 4 × 3 10 5 3 1/3 图 2.3 ww 1.已知随机事件 A 的概率P( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率P( B) = 0.6 ,条件概率P( B | A) = 0.8 , 试求P( AB ) 及P( A B ) . 解P( AB ) = P( A) P ( B | A) = 0.5 × 0.8 = 0.4 P ( A B ) = P ( A U B ) = 1 P ( A U B ) = 1 P ( A) P ( B ) + P ( AB ) = 1 0.5 0.6 + 0.4 = 0.3 2.一批零件共100 个,次品率为10%,从中不放回取三次(每次取一个) ,求第三次才取得正品的概率. 10 × 9 × 90 81 9 = = 解p= . 100 × 99 ×98 99 × 98 1078 3.某人有一笔资金,他投入基金的概率为0.58,购买股票的概率为0.28,两项投资都做的概率为0.19 (1) 已知他已投入基金,再购买股票的概率是多少? (2) 已知他已购买股票,再投入基金的概率是多少? 解记 A = {基金}, B ={股票},则P( A) = 0.58, P( B) = 0.28, P( AB ) = 0.19 w. kh (4) P( B A) = P( A B) = P(φ ) = 0 , P( A B ) = P( A U B) = 1 P( A U B) = 1 0.6 = 0.4 ; (5) P( A B) = P( B A) = 0.6 0.4 = 0.2. 11. A, B 是两个事件, 设已知P( A) = 0.5 ,P( B) = 0.7 ,P( A U B) = 0.8 , 试求P( A B) 及P( B A). 解注意到P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) , 因而P( AB ) = P( A) + P( B) P( A U B) = 0.5 + 0.7 0.8 = 0.4 . 于是, P( A B) = P( A AB ) = P( A) P( AB) = 0.5 0.4 = 0.1 ; P( B A) = P( B AB) = P( B) P( AB) = 0.7 0.4 = 0.3 . da w. 习题三解答课后答案(1) P( A ) , P(B ) ;(2) P( A U B) ;(3) P( AB ) ;(4) P( B A), P( A B ) ;(5) P( A B) . 解(1) P( A ) = 1 P( A) = 1 0.4 = 0.6 , P( B ) = 1 P( B) = 1 0.6 = 0.4 ; (2) P( A U B) = P( A) + P( B) P( AB ) = P( A) + P ( B) P( A) = P( B) = 0.6 ; (3) P( AB ) = P( A) = 0.4 ; 网co 1 m x. (1) (2) P( B | A) = P( A | B) = P( AB) 0.19 = = 0.327. P( A) 0.58 co P( AB) 0.19 = = 0.678 . P( B) 0.28 4.给定P( A) = 0.5 , P( B) = 0.3 , P( AB ) = 0.15 ,验证下面四个等式: P( A | B) = P( A), P( A | B ) = P( A), P( B | A) = P( B) , P( B | A ) = P( B). P( AB) 0.15 1 = = = P( A) 解P( A | B) = P( B) 0.3 2 P( AB ) P( A) P( AB ) 0.5 0.15 0.35 = P( A | B ) = = = = 0.5 = P( A) P( B ) 1 P( B) 0.7 0.7 P( AB) 0.15 P( B | A) = = = 0.3 = P( B) P( A) 0.5 P( A B) P( B) P( AB ) 0.3 0.15 0.15 P( B | A ) = = = = = P( B) 1 P ( A) 0.5 0.5 P( A ) 5.有朋自远方来,他坐火车,船,汽车和飞机的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,若坐火车, 迟到的概率是0.25,若坐船,迟到的概率是0.3,若坐汽车,迟到的概率是0.1,若坐飞机则不会迟到.求他最后可能迟到的概率. m 网解且按题意则 B = {迟到},A1 = {坐火车},A2 = {坐船},A3 = {坐汽车}, A4 = {乘飞机}, B = U BAi , 4 P( B | A1 ) = 0.25 , P( B | A2 ) = 0.3 , P( B | A3 ) = 0.1 , P( B | A4 ) = 0 . 由全概率公式有: 4 i =1 6.已知甲袋中有 6 只红球,4 只白球;乙袋中有8 只红球,6 只白球.求下列事件的概率: (1) 随机取一只袋,再从该袋中随机取一球,该球是红球; (2) 合并两只袋,从中随机取一球,该球是红球. 解(1) 记 B = {该球是红球}, A1 = {取自甲袋}, A2 = {取自乙袋},已知P( B | A1 ) = 6 / 10 , P( B | A2 ) = 8 / 14 ,所以1 6 1 8 41 P( B) = P( A1 ) P( B | A1 ) + P( A2 ) P( B | A2 ) = × + × = 2 10 2 14 70 14 7 = (2) P( B) = 24 12 7.某工厂有甲,乙,丙三个车间,生产同一产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%, 40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%,求该厂产品的次品率. 解0.25 ×0.05 ×+0.35 ×0.04 + 0.4 ×0.02 = 0.0125 + 0.0140 + 0.008 = 0.0345 = 3.45% 8.发报台分别以概率0.6,0.4 发出" " 和" " ,由于通信受到干扰,当发出" " 时,分别以概率0.8 和0.2 收到" " 和" " ,同样,当发出信号" " 时,分别以0.9 和0.1 的概率收到" " 和" " . 求(1) 收到信号" " 的概率;(2) 当收到" " 时,发出" " 的概率. 解记 B = {收到信号" " }, A = {发出信号" " } (1) P( B) = P( A) P( B | A) + P( A ) P ( B | A ) = 0.6 × 0.8 + 0.4 ×0.1 = 0.48 + 0.04 = 0.52 P( A) P( B | A) 0.6 × 0.8 12 = = . (2) P( A | B) = P ( B) 0.52 13 9.设某工厂有A, B, C 三个车间,生产同一螺钉,各个车间的产量分别占总产量的25%,35%, 40%,各个车间成品中次品的百分比分别为5%,4%,2%,如从该厂产品中抽取一件,得到的是次ww w. kh 课后P( B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai ) = 0.3 ×0.25 + 0.2 ×0.3 + 0.1 ×0.1 = 0.145 da w. i =1 答案 For evaluation only. 后再由P( A B ) = 1 / 9 ,有 1 / 9 = P( A ) P ( B ) = (1 P( A))(1 P( B)) = (1 P( A)) 2 所以 1 P( A) = 1 / 3 .最后得到P( B) = P( A) = 2 / 3. 12.甲,乙,丙三人同时独立地向同一目标各射击一次,命中率分别为1/3,1/2,2/3,求目标被命中的概率. da w. 答案网11.已知A, B 独立,且P( A B ) = 1 / 9, P( AB ) = P( A B) ,求P( A), P( B ) . 解因P( AB ) = P( A B) ,由独立性有P( A) P( B ) = P( A ) P( B ) 从而P( A) P( A) P( B) = P( B) P( A) P( B) 导致P( A) = P( B) co B = U Ai ,因i =1 3 P ( A U B ) = P ( AB ) = 1 P ( A) P ( B ) = 1 pq 而ww 3 4 则 A = A1 A2 U A3 A4 U A5 A6 , 所以 5 6 P( A) = P( A1 A2 ) + P( A3 A4 ) + P( A5 A6 ) 图 3.1 P( A1 A2 A3 A4 ) P( A3 A4 A5 A6 ) P( A1 A2 A5 A6 ) + P( A1 A2 A3 A4 A5 A6 ) = 3(1 p) 2 3(1 p ) 4 + (1 p) 6 14.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生 3 次故障的概率. 5 解p = (0.2) 3 (0.8) 2 = 0.0512 . 3 15.灯泡耐用时间在1000 小时以上的概率为0.2,求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率. 3 3 解p =(0.2) 3 + × 0.8 × (0.2) 2 = 0.008 + 0.096 = 0.104 . 3 2 16.设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知 A 至少出现一次的概率等于19/27, 求事件 A 在每次试验中出现的概率P( A) . w. 3 2 1 1 1 8 P( B) = 1 P I Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 × × = 1 = 3 2 3 9 9. i =1 13.设六个相同的元件,如下图所示那样安置在线路中,设每个元件不通达的概率为p ,求这个装置通达的概率.假定各个元件通达与否是相互独立的. 1 2 解记 A = {通达}, Ai = {元件i 通达}, i = 1,2,3,4,5,6 课解记B = {命中目标}, A1 = {甲命中}, A2 = {乙命中}, A3 = {丙命中},则m 品,求它依次是车间A, B,C 生产的概率. 解为方便计,记事件A, B, C 为A, B, C 车间生产的产品,事件D = {次品},因此P( D) = P( A) P( D | A) + P( B) P( D | B) + P(C ) P( D | C ) = 0.25 × 0.05 + 0.35 × 0.04 + 0.4 × 0.02 = 0.0125 + 0.014 + 0.008 = 0.0345 P( A) P( D | A) 0.25 × 0.05 P ( A | D) = = = 0.362 P ( D) 0.0345 P( B) P( D | B) 0.35 × 0.04 P ( B | D) = = = 0.406 P ( D) 0.0345 P(C ) P( D | C ) 0.4 × 0.02 P (C | D ) = = = 0.232 P( D ) 0.0345 10. A 与 B 独立, P( A) = p, P( B) = q , 设且求下列事件的概率:P( A U B) ,P( A U B ) ,P( A U B ) . 解P( A U B) = P( A) + P( B) P( A) P( B) = p + q pq P( A U B ) = P( A) + P( B ) P( A) P( B ) = p + 1 q p(1 q) = 1 q + pq 解依假设记Ai = { A 在第i 次试验中出现}, i = 1,2,3. 3 19 = P U Ai = 1 P( A1 A2 A3 ) = 1 (1 p) 3 27 i =1 8 , 此即p = 1 / 3 . 所以, (1 p ) 3 = 27 17.加工一零件共需经过 3 道工序,设第一,二,三道工序的次品率分别为2%,3%,5%. 假设各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率. 解注意到,加工零件为次品,当且仅当1-3 道工序中至少有一道出现次品.记Ai = {第i 道工序为次品}, i = 1,2,3. 则次品率 3 p = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 0.98 × 0.97 × 0.95 = 1 0.90307 ≈ 0.097 i =1 18.三个人独立破译一密码,他们能独立译出的概率分别为0.25,0.35,0.4. 求此密码被译出的概率. 解记 A = {译出密码}, Ai = {第i 人译出}, i = 1,2,3. 则 3 P( A) = P U Ai = 1 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) i =1 = 1 0.75 × 0.65 × 0.6 = 1 0.2925 = 0.7075 19.将一枚均匀硬币连续独立抛掷10 次,恰有 5 次出现正面的概率是多少?有 4 次至 6 次出现正面的概率是多少? 10 10 1 63 解(1) = ; 5 2 256 10 10 1 . ∑ k 2 k =4 20.某宾馆大楼有 4 部电梯,通过调查,知道在某时刻T ,各电梯正在运行的概率均为0.75, 6 p = P( A)求: 81 3 (3) (0.75) = = 256 4 4 (1) 在此时刻至少有 1 台电梯在运行的概率; (2) 在此时刻恰好有一半电梯在运行的概率; (3) 在此时刻所有电梯都在运行的概率. 255 解(1) 1 (1 0.75) 4 = 1 (0.25) 4 = 256 2 2 4 27 3 1 2 2 (2) (0.75) (0.25) = 6 × × = 2 128 4 4 1. 下列给出的数列,哪些是随机变量的分布律,并说明理由. i (1) pi = , i = 0,1,2,3,4,5 ; 15 5 i2 , i = 0,1,2,3 ; (2) pi = 6 1 (3) pi = , i = 2,3,4,5 ; 4 i +1 , i = 1,2,3,4,5 . (4) pi = 25 ( ) kh 课后(2) da w.习题四解其一条件为pi ≥ 0, i = 1, 2, L ,其二条件为∑ pi = 1 . i 要说明题中给出的数列,是否是随机变量的分布律,只要验证pi 是否满足下列二个条件: 依据上面的说明可得(1) 中的数列为随机变量的分布律; (2)中的数列不是随机变量的分布律, 59 4 = < 0; 因为p3 = (3) 中的数列为随机变量的分布律; (4) 中的数列不是随机变量的分布律, 6 6 5 20 这是因为∑ pi = ≠ 1. 25 i =1 c 使并求:P( X ≤ 2 ) ; 2. 试确定常数 c , P( X = i ) = i , (i = 0,1,2,3,4) 成为某个随机变量X 的分布律, 2 5 1 P < X < . 2 2 4 c c 16 ; 解要使i 成为某个随机变量的分布律,必须有∑ i = 1 ,由此解得 c = 31 2 i =0 2 (2) P( X ≤ 2 ) = P( X = 0 ) + P( X = 1) + P( X = 2) 16 1 1 28 = 1 + + = 31 2 4 31 5 16 1 1 12 1 (3) P < X < = P ( X = 1) + P ( X = 2) = + = . 2 31 2 4 31 2 3. 一口袋中有 6 个球,在这 6 个球上分别标有-3,-3,1,1,1,2 这样的数字.从这袋中任取一球,设各个球被取到的可能性相同,求取得的球上标明的数字X 的分布律与分布函数. 1 1 1 解X 可能取的值为-3,1,2,且P( X = 3) = , P( X = 1) = , P( X = 2) = ,即X 的分布律为 3 2 6 X -3 1 2 1 1 1 概率 3 2 6 X 的分布函数0 x < 3 1 F (x ) = P( X ≤ x ) = 3 ≤ x <1 3 5 1≤ x < 2 6 1 x≥2 4. 一袋中有 5 个乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取 3 个,以X 表示取出的 3 个球中最大号码,写出X 的分布律和分布函数. 解依题意X 可能取到的值为3,4,5,事件{X = 3} 表示随机取出的 3 个球的最大号码为3, w. 则另两个球的只能为 1 号,2 号,即P( X = 3) = 3 1×2 3 号码为4,因此另外 2 个球可在1,2,3 号球中任选,此时P( X = 4) = = ;同理可得10 5 3 4 1×2 6 = . P( X = 5) = 10 5 3 X 的分布律为kh da w. 课后答案网 1 1 = ;事件{X = 4}表示随机取出的 3 个球的最大 5 10 3 3 6 概率X 3 4 5 10 10 10 X 的分布函数为0 F (x ) = 1 10 4 10 x<3 3≤ x <4 4≤ x<5 1 x≥5 5. 在相同条件下独立地进行 5 次射击, 每次射击时击中目标的概率为0.6, 求击中目标的次数X 的分布律. 解依题意X 服从参数n = 5, p = 0.6 的二项分布,因此,其分布律具体计算后可得X 概率0 32 3125 48 625 144 625 216 625 P( Ai ) = 课10 , i = 1, 2, L 而13 P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 ( ) ( ) 即X 服从参数p = P( X = 1) = 10 的几何分布. 13 (2)由于每次取出的产品不再放回,因此,X 可能取到的值为1,2,3,4, X 的分布律为w. X 10 3 × 10 5 , P( X = 2) = = , 13 13 × 12 26 3 × 2 ×10 5 3 × 2 × 1 × 10 1 = , P(X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 12 × 11 143 13 × 12 × 11 ×10 286 kh X 1 10 13 ww 概率(3)X 可能取到的值为1,2,3,4, 10 3 × 11 33 , P( X = 2) = = , 13 13 × 13 169 3 × 2 × 12 72 3 × 2 ×1 6 = , P( X = 4) = = . P ( X = 3) = 13 × 13 × 13 2197 13 × 13 × 13 2197 P( X = 1) = 所求X 的分布律为 1 10 13 概率由于三种抽样方式不同,导致X 的分布律也不一样,请仔细体会它们的不同处. 7. 设随机变量X ~ B(6, p ) ,已知P( X = 1) = P( X = 5) ,求p 与P( X = 2) 的值. da w. ( ) 3 P( Ak ) = 13 k 1 后 6. 从一批含有10 件正品及 3 件次品的产品中一件一件的抽取.设每次抽取时,各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X 的分布律. (1) 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品; (2) 每次取出的产品都不放回这批产品中; (3) 每次取出一件产品后总是放回一件正品. 解(1)设事件Ai , i = 1,2, L 表示第i 次抽到的产品为正品,依题意, A1 ,L , An , L 相互独立,且答案网10 , k = 1, 2, L 13 2 5 26 3 5 143 2 33 169 3 72 2197 co 162 625 243 3125 1 2 3 4 4 1 286 4 6 2197 m 5 5 P( X = k ) = 0.6 k 0.4 5 k , k = 0,1, L ,5 , k For evaluation only. 解由于X ~ B(6, p ) ,因此P( X = 6) = p k (1 p )6 k , k = 0,1, L ,6 . 5 P( X = 1) = 6 p(1 p ) , P( X = 5) = 6 p 5 (1 p ), 1 5 即解得p = ; 6 p(1 p ) = 6 p 5 (1 p ), 2 2 6 2 6 6 1 1 6×5 1 15 × = 此时, P( X = 2) = = . 2 2 64 2 2! 2 6 k 由此可算得8. 掷一枚均匀的硬币 4 次,设随机变量X 表示出现国徽的次数,求X 的分布函数. 解一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为,因此X 服从n = 4, p = 的二项分布,即k 4 k 1 2 1 2 4 1 1 P( X = k ) = k 2 2 , k = 0,1,2,3,4 x<0 0 ≤ x <1 1≤ x < 2 由此可得X 的分布函数0, 1 , 16 5 , 16 11 , 16 15 , 16 F (x ) = k =0 k! 4 k 4 e ≥ 0.99 k = 0 k! 查泊松分布表可求得n = 9 . P( X ≤ n ) = ∑ n ww 10. 有一汽车站有大量汽车通过,每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001,在某天该段时间内有1000 辆汽车通过,求事故次数不少于 2 的概率. 解设X 为1000 辆汽车中出事故的次数,依题意,X 服从n = 1000, p = 0.0001 的二项分布,即X ~ B(1000,0.0001) ,由于n 较大, p 较小,因此也可以近似地认为X 服从λ = np = 1000 × 0.0001 = 0.1 的泊松分布,即X ~ P (0.1) ,所求概率为11. 某试验的成功概率为0.75,失败概率为0.25,若以X 表示试验者获得首次成功所进行的试验次数,写出X 的分布律. 解设事件Ai 表示第i 次试验成功,则P( Ai ) = 0.75 ,且A1 ,L , An , L 相互独立.随机变量X 取k 意味着前k 1 次试验未成功,但第k 次试验成功,因此有P( X = k ) = P A1 L Ak 1 Ak = P A1 L P Ak 1 P( Ak ) = 0.25 k 10.75 w. ≈1 P( X ≥ 2) = 1 P( X = 0) P( X = 1) 0.10 0.1 0.11 0.1 e e 0! 1! = 1 0.904837 0.090484 = 0.004679. kh ( ) ( ) 2 0.25 × 0.75 即P( X ≤ n 1) = ∑ n 1 4 k 课P( X ≤ n 1) < 0.99, P( X ≤ n ) ≥ 0.99, e 4 < 0.99 后1, x≥4 9. 某商店出售某种物品,根据以往的经验,每月销售量X 服从参数λ = 4 的泊松分布,问在月初进货时,要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要? 解设至少要进n 件物品,由题意n 应满足所求的分布律为X 概率da w. 3≤ x <4 答案网2≤ x<3 ( ) 1 0.75 … … co k 0.25 k 1 × 0.75 m … … For evaluation only. 12. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = 2x , 0<x< A 0, 其他, 试求: (1)常数 A ; (2)X 的分布函数. 解(1) f (x ) 成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件,其一为 f (x ) ≥ 0 ;其二为+∞ A ∫∞ f ( x )dx = 1 ,因此有∫0 2 xdx = 1 ,解得 A = ±1 ,其中 A = 1 舍去,即取 A = 1 . (2)分布函数 F (x ) = P ( X ≤ x ) = ∫∞ f (x )dx x ∫∞ 0dx = x x<0 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx 0 1 x ∫∞ 0dx + ∫0 2 xdx + ∫1 0dx 0 0 ≤ x <1 x ≥1 0 ≤ x <1 x = x 1 2 解得 A = ;11 1 2 = ∫∞ 2 e 0 x 1 1 课(3) F (x ) = ∫∞ x 后(2) P(0 < X < 1) = ∫0 e x dx = ∫0 e x dx = 11 2 f (x )dx 2 x dx ∫∞ 2 e = kh x x1 x dx + ∫0 e dx 2 w. = = 1 x e 2 1 1 + 1 e x 2 2 1 x e 2 1 1 e x 2 1 x e dx ∞ 2 0 1 x1 x x ∫∞ 2 e dx + ∫0 2 e dx ∫ x ww ( ) 14. 证明:函数 f (x ) = x 2c e c 0 x2 为某个随机变量X 的密度函数. 证由于 f (x ) ≥ 0 ,且∫∞ f (x )dx = ∫∞ e +∞ +∞ x c da w. 1 1 e 1 ; 2 +∞ +∞ +∞ x x x ∫∞ Ae dx = 2 ∫0 Ae dx = 2∫0 Ae dx =1 答案网X 的分布函数. +∞ x 解(1)系数 A 必须满足∫∞ Ae dx = 1 ,由于e x 为偶函数,所以( ) x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x<0 x≥0 x≥0 ( c 为正的常数) x<0 x2 2 c dx x2 2c d x2 = e 2c 2c x2 +∞ = ∫0 e +∞ co =1, 0 x ≥1 13. 设随机变量X 的密度函数为 f (x ) = Ae ,∞ < x < +∞ ,求: (1)系数 A ; (2)P(0 < X < 1) ; (3) m 0 x<0 因此 f (x ) 满足密度函数的二个条件,由此可得 f (x ) 为某个随机变量的密度函数. 15. 求出与密度函数x≤0 0< x≤2 x>2 x f (x ) = 0.5e x 0.25 0 对应的分布函数 F (x ) 的表达式. 解x 当0 < x ≤ 2 时, F (x ) = ∫ ∞ f ( x )dx = ∫ ∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx = 0.5 + 0.25 x 0 x 当x ≤ 0 时, F (x ) = ∫∞ f ( x )dx = ∫∞ 0.5e x dx = 0.5e x x 0 2 x 当x > 2 时, F (x ) = ∫∞ 0.5e x dx + ∫0 0.25dx + ∫2 0dx = 0.5 + 0.5 = 1 综合有0.5e x , x ≤ 0; F (x ) = 0.5 + 0.25 x, 0 ≤ x ≤ 2; 1, x ≥ 2. 16. 设随机变量X 在(1,6 ) 上服从均匀分布,求方程t 2 + Xt + 1 = 0 有实根的概率. 解X 的密度函数为 f (x ) = 2 17. 设某药品的有效期X 以天计,其概率密度为(x + 100 )3 , 解(1) F (x ) = ∫∞ f (x )dx = x kh ∫ (x + 100) dx, 0 3 x 0, 其他. 求:(1) X 的分布函数;(2) 至少有200 天有效期的概率. 0, x < 0; 课后 f (x ) = 20000 答案 4 61 P X 2 ≥ 4 = P( X≤ 2或X ≥ 2) = P( X ≤ 2) + P( X ≥ 2) = 0 + ∫2 dx = . 5 5 x>0; ( ) 0, w. = 0, 1 (1 + x )e , x 1 (2) P( X > 200) = 1 P( X ≤ 200) = 1 F (200) = 1 1 ww 18. 设随机变量X 的分布函数为x≤0 x>0 F (x ) = 求X 的密度函数,并计算P( X ≤ 1) 和P( X > 2) . 解由分布函数 F (x ) 与密度函数 f (x ) 的关系,可得在 f (x ) 的一切连续点处有 f (x ) = F ′(x ) ,因此 f (x ) = xe x , 0, 1 所求概率P( X ≤ 1) = F (1) = 1 (1 + 1)e = 1 2e 1 ; 19. 设随机变量X 的分布函数为 F (x ) = A + B arctan x,∞ < x < +∞ ,求(1) 常数A, B ;(2) P ( X < 1) ; (3) 随机变量X 的密度函数. P ( X > 2 ) = 1 P ( X ≤ 2 ) = 1 F (2 ) = 1 1 (1 + 2 )e 2 = 3e 2 . da w. 20000 x ≥ 0. x < 0; x ≥ 0. 10000 1 = . 9 10000 , (x + 100)2 x>0 其他网其他. 方程t + Xt + 1 = 0 有实根的充分必要条件为X 2 4 ≥ 0 ,即X 2 ≥ 4 ,因此所求得概率为1 , 5 0, 1< x < 6; (200 + 100)2 ( ) co m 解: (1) 要使 F (x ) 成为随机变量X 的分布函数, 必须满足lim F (x ) = 0, lim F ( x ) = 1 , 即x → ∞ x → +∞x → ∞ x → +∞ lim ( A + B arctan x ) = 0 lim ( A + B arctan x ) = 1 A B=0 π π 2 计算后得A+ 解得 B =1 2 1 A= 2 1 B= π = 1 π 1 π π = π 4 π 4 2 1 ,∞ < x < +∞ . π 1 + x2 答案( 20. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间(单位:min)服从λ = 的指数分布,其密度函数为 f (x ) = 1 5 e , 5 0 x ,某顾客在窗口等待服务,若超过10min,他就离开. kh +∞ (1)设某顾客某天去银行,求他未等到服务就离开的概率;(2)设某顾客一个月要去银行五次,求他五次中至多有一次未等到服务的概率. 解(1)设随机变量X 表示某顾客在银行的窗口等待服务的时间,依题意X 服从λ = 的指数分布, 且顾客等待时间超过10min 就离开,因此,顾客未等到服务就离开的概率为P( X ≥ 10) = ∫10 1 5 e dx = e 2 ; 5 x 课其他后x>0 da w. ) 2 5 f (x ) = F ′(x ) = 网(3)X 的密度函数co 1 5 1 5 = 1 1 1 1 + arctan1 + arctan( 1) 2 π 2 π (2)设Y表示某顾客五次去银行未等到服务的次数,则Y服从n = 5, p = e 2 的二项分布,所求概率为ww w. 5 = e 2 0 0 P(Y ≤ 1) = P (Y = 0) + P(Y = 1) ( ) (1 e ) )( ) 21. 设X 服从Ν (0,1) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算: 1 ) P( X < 2.2) ; 2 ) ( ( P ( X > 176 ) ; (3) P( X < 0.78) ; (4) P ( X <1.55) ; (5) P ( X >2.5) . 解查正态分布表可得(1) P( X < 2.2) = Φ(2.2) = 0.9861 ;(2) P( X > 1.76) = 1 P( X ≤ 1.76 ) = 1 Φ (1.76 ) = 1 0.9608 = 0.0392 ; (3) P( X < 0.78) = Φ ( 0.78) = 1 Φ(0.78) = 1 0.7823 = 0.2177 ; (4) P ( X < 1.55) = P( 1.55 < X < 1.55) = Φ (1.55) Φ( 1.55) ( 5 ) = Φ (1.55) (1 Φ (1.55)) = 2Φ (1.55) 1 = 2 × 0.9394 1 = 0.8788 = 1 + 4e 2 1 e 2 ( 5 + e 2 1 e 2 1 ( ) 4 4 m 1 1 1 1 时, F (x ) = + arctan x 也满足分布函数其余的几条性质. 2 π 2 π (2) P ( X < 1) = P( 1 < X < 1) = F (1) F ( 1) 另外,可验证当 A = , B = P( X > 2.5) = 1 P( X ≤ 2.5) = 1 [2Φ(2.5) 1] For evaluation only. 22. 设X 服从Ν ( 1,16) , 借助于标准正态分布的分布函数表计算:1) ( X < 2.44) ;2) ( X > 1.5) ; ( P ( P (3) P( X < 2.8) ; (4) P ( X < 4) ; (5) P( 5 < X < 2 ) ; (6) P ( X 1 > 1) . 解当X ~ Ν ( , σ 2 ) 时, P(a ≤ X ≤ b ) = Φ b a Φ ,借助于该性质,再查标准正态分布函σ σ= 2 2Φ (2.5) = 2(1 0.9938) = 0.0124 . 数表可求得 2.44 + 1 = Φ (0.86) = 0.8051 ; 4 1.5 + 1 (2) P( X > 1.5) = 1 Φ = 1 Φ( 0.125 ) 4 = 1 (1 Φ (0.125)) = Φ(0.125) = 0.5498 ; (1) P( X < 2.44) = Φ (5) P( 5 < X < 2) = Φ (6) P ( X 1 > 1) = 1 P( X 1 ≤ 1) = 1 P(0 ≤ X ≤ 2 ) = 1 Φ 门,求: (1)某天迟到的概率; (2)一周(以 5 天计)最多迟到一次的概率. 解(1)由题意知某人路上所花时间超过40 分钟,他就迟到了,因此所求概率为40 30P( X > 40) = 1 Φ = 1 Φ(1) = 1 0.8413 = 0.1587 ; 10 (2)记Y为 5 天中某人迟到的次数,则Y服从n = 5, p = 0.1587 的二项分布,5 天中最多迟到一ww 次的概率为w. = 0.9332 1 + 0.9938 = 0.927 24. 某人上班所需的时间X ~ Ν (30,100 ) (单位:min)已知上班时间为8:30,他每天7:50 出 5 5 0 5 4 P(Y ≤ 1) = (0.1587 ) × (0.8413) + 0.1587 × (0.8413) = 0.8192 . 1 1 kh 2.2 2.05 1.8 2.05 P(2 0.2 ≤ X ≤ 2 + 0.2 ) = Φ Φ 0.1 0.1 = Φ(1.5) Φ( 2.5) = Φ (1.5) 1 + Φ(2.5) 课23. 某厂生产的滚珠直径服从正态分布Ν (2.05,0.01) ,合格品的规格规定为 2 ±0.2 ,求该厂滚珠的合格率. 解所求得概率为 2 + 1 0 + 1 Φ 4 4 = 1 Φ(0.75) + Φ(0.25) = 1 0.7724 + 0.5987 = 0.8253 . 1. 二维随机变量( X , Y ) 只能取下列数组中的值: (0,0), ( 1,1), 1, , (2,0) ,且取这些组值的概率依次为, , 1 1 1 5 , ,求这二维随机变量的分布律.6 3 12 12 解由题意可得( X , Y ) 的联合分布律为da w.习题五解答 1 3 后答案网 2 + 1 5 + 1 Φ = Φ(0.75) Φ( 1) 4 4 = Φ (0.75) Φ (1) + 1 = 0.7734 0.8413 + 1 = 0.9321 ; co m (3) P( X < 2.8) = Φ 2.8 + 1 = Φ( 0.45) = 1 Φ(0.45) = 1 0.6736 = 0.3264 ; 4 4 + 1 4 + 1 (4) P ( X < 4) = Φ Φ = Φ(1.25) Φ ( 0.75 ) 4 4 = Φ (1.25) 1 + Φ (0.75) = 0.8944 1 + 0.7734 = 0.6678 ;. X\Y 1 3 1 -1 0 0 1 12 1 3 1 0 0 6 5 2 0 0 12 2. 一口袋中有四个球,它们依次标有数字1, 2,2,3 .从这袋中任取一球后,不放回袋中,再从袋中任取一球.设每次取球时,袋中每个球被取到的可能性相同.以X,Y分别记第一,二次取到的球上标有的数字,求( X , Y ) 的分布律及P( X = Y ) . 解X 可能的取值为1, 2,3 ,Y可能的取值为1, 2,3 ,相应的,其概率为1× 2 1 1× 1 1 = , P( X = 1, Y = 3) = = , 4×3 6 4 × 3 12 2 ×1 1 2 ×1 12 ×1 1 P( X = 2, Y = 1) = = , P ( X = 2, Y = 2 ) = = , P ( X = 2 , Y = 3) = = , 4×3 6 4×3 6 4×3 6 1 1× 2 1 P( X = 3, Y = 1) = , P( X = 3, Y = 2) = = , P ( X = 3, Y = 3) = 0. 12 4×3 6 P( X = 1, Y = 1) = 0, P( X = 1, Y = 2) = 或写成X\Y 1 2 3 1 2 1 6 1 6 1 6 3 网P( X = 0, Y = 0 ) = ww 8×8 16 8× 24 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 ×10 25 2×8 4 2×2 1 P( X = 1, Y = 0 ) = = , P ( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 10 25 10 × 10 25 或写成w. 3. 箱子中装有10 件产品,其中 2 件为次品,每次从箱子中任取一件产品,共取 2 次,定义随机变量X,Y如下: X= 0, 若第一次取出正品; Y= 0, 若第二次取出正品; 1, 若第一次取出次品; 1, 若第二次取出次品. 分别就下面两种情况求出二维随机变量( X , Y) 的联合分布律: (1)放回抽样; (2)不放回抽样. 解(1)在放回抽样时,X 可能取的值为0,1 ,Y可能取的值也为0,1 ,且kh X\Y0 1 课P( X = Y ) = P ( X = 1, Y = 1) + P ( X = 2, Y = 2 ) + P( X = 3, Y = 3) = (2)在无放回情形下,X,Y可能取的值也为0 或1,但取相应值的概率与有放回情形下不一样,具体为P( X = 0, Y = 0 ) = 8 × 7 28 8× 2 8 = , P( X = 0, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 2×8 8 2 ×1 1 P( X = 1, Y = 0) = = , P( X = 1, Y = 1) = = , 10 × 9 45 10 × 9 45 或写成. 16 1 12 0 1 12 1 6 0 1 . 6 0 16 25 4 25 1 4 25 1 25 X\Y 0 1 0 1 4. 对于第 1 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解把第 1 题中的联合分布律按行相加得X 的边缘分布律为X -1 0 2 概率按列相加得Y的边缘分布律为Y概率07 12 1 3 1 12 5 12 1 6 5 12 28 45 8 45 8 45 1 45 1 Y 的边缘分布律为在无放回情况下X 的边缘分布律为Y的边缘分布律为kh Y概率 1 2 其他x 2 x +1 2 ww 易算得 D 的面积为S = × 1 ×= f ( x, y ) = 4, 0, ( X , Y ) 的分布函数y x F (x, y ) = ∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy w. 2 6. 求在 D 上服从均匀分布的随机变量( X , Y) 的密度函数及分布函数,其中 D 为x 轴,y 轴及直线y = 2 x + 1 围成的三角形区域. 解区域 D 见图 5.2. 1 1 ,所以( X , Y ) 的密度函数 2 4 ( x, y ) ∈ D y 1 1 2 1 当≤ x < 0,0 ≤ y < 2 x + 1 时, 2 y x F (x, y ) = ∫0 dy ∫ y 1 4dx = 4 xy + 2 y y 2 ; 当x < 或y < 0 时, F (x, y ) = 0 ; da w. Y 0 4 5 概率答案网 4 5 1 5 1 概率X 后 1 5 课0 4 5 1 概率 1 5 0 4 5 1 1 5 -1 1 0 2 图 5.2 当≤ x < 0, y ≥ 2 x + 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 1 4dy = 4 x 2 + 4 x + 1 ; co 1 x 5. 对于第 3 题中的二维随机变量( X , Y) 的分布律,分别在有放回和无放回两种情况下,写出关于X 及关于Y的边缘分布律. 解在有放回情况下X 的边缘分布律为X 0 1 m 1 3. 当x ≥ 0,0 ≤ y < 1 时, F (x, y ) = ∫ 0 0 dy y 1 4dx 0 2 2 x +1 y ∫ = 2y y 2 ; 当x ≥ 0, y ≥ 1 时, F (x, y ) = ∫ 1 dx ∫0 2 4dy = 1 综合有0, 4 xy y 2 + 2 y, F ( x, y ) = 4 x 2 + 4 x + 1, 2y y2, 1, = ∫0 2 x +1 4dy , 0, 1 < x<0 2 其他= 4(2 x + 1), 0, = ∫ y 1 4dx, 2 0 0 < y <1 其他0, 16 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,即25 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) = P( X = 0)P(Y = 0 ) ;容易验证P( X = 0, Y = 1) = P( X = 0)P(Y = 1), 解 1 1 1 4 1 1 1 1 1 f , = 4 ,而 f X = 2, f Y = ,易见 f , ≠ f X f Y ,所以X 与Y不相 4 3 3 3 4 4 3 4 3 ww 互独立. 10. 设X,Y相互独立且分别具有下列的分布律: X -2 -1 0 0.5 概率写出表示( X , Y ) 的分布律的表格. 解由于X 与Y 相互独立,因此 1 4 1 3 1 12 1 3 w. 9. 在第 6 题中,X 与Y是否独立,为什么? kh ) ( ) 1 4 P( X = 1, Y = 0 ) = P( X = 1)P(Y = 0), P( X = 1, Y = 1) = P( X = 1)P(Y = 1) ,由独立性定义知X 与Y相互独立. 28 4 4 16 , 而P( X = 0)P (Y = 0) = × = ,易见在无放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 45 5 5 25 P( X = 0, Y = 0) ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0) ,所以X 与Y 不相互独立. 课解在有放回情况下, 由于P( X = 0, Y = 0 ) = 后8. 在第 3 题的两种情况下,X 与Y是否独立,为什么? da w. = 2(1 y ), 0, 答案 f Y ( y ) = ∫ ∞ f ( x, y )dx +∞ 网Y的边缘密度函数为0 < y <1 其他Y概率P X = x i , Y = y j = P ( X = x i )P Y = y j , i = 1,2,3,4, j = 1,2,3, ( 例如P( X = 2, Y = 0.5) = P ( X = 2 )P (Y = 0.5) = ×= 1 2 1 8 其余的联合概率可同样算得,具体结果为X\Y -0.5 -2 1 8 1 1 16 3 1 16 co 1 < x<0 2 其他 f X (x ) = ∫∞ f (x, y )dy +∞ -0.5 1 2 m 1 1 4 7. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,写出关于X 及关于Y 的边缘密度函数. 解X 的边缘密度函数为 1 x < 或y < 0 2 1 ≤ x < 0且0 ≤ y < 2 x + 1 2 1 ≤ x < 0且y ≥ 2 x + 1 2 x ≥ 0且0 ≤ y < 1 x ≥ 0且y ≥ 1 3 1 4 For evaluation only. -1 6 12 12 1 1 1 1 1 48 48 1 1 0.5 12 12 11. 设X 与Y是相互独立的随机变量, 服从[0,0.2] 上的均匀分布, 服从参数为 5 的指数分布, X Y 0 1 24 1 6 求( X , Y ) 的联合密度函数及P( X ≥ Y ) . 解. 由均匀分布的定义知 f X (x ) = 5, 0, 0 < x < 0.2 其他y >0 其他y 由指数分布的定义知fY (y) = 5e 5 y , 0, 因为X 与Y独立,易得( X , Y ) 的联合密度函数0, 概率P( X ≥ Y ) = ∫∫ f (x, y )dxdy , G 其他0.2 x 0.2 (3)关于X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = +∞ kh 0, (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2) = ∫0 dy ∫0 12e (3x + 4 y ) dx = (1 e 3 )(1 e 8 ) ; 2 1 +∞ (3 x + 4 y ) dy, ∫0 12e 课解(1) k 必须满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dy ∫0 ke (3 x + 4 y ) dx = 1 ,经计算得k = 12 ; +∞ +∞ +∞ +∞ 后其他0, 求: (1)系数k ; (2) P(0 ≤ X ≤ 1,0 ≤ Y ≤ 2 ) ; (3)证明X 与Y相互独立. f ( x, y ) = ke (3 x + 4 y ) , w. = 4e 4 y , k (1 x ) y, 0, +∞ 3e 0, 同理可求得Y的边缘密度函数为fY (y) = x>0 ww 13. 已知二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = 其他其他0, 易见 f (x, y ) = f X (x ) f Y ( y ),∞ < x < +∞,∞ < y < +∞ ,因此X 与Y相互独立. 0 < x < 1,0 < y < x (1)求常数k ; (2)分别求关于X 及关于Y的边缘密度函数; (3)X 与Y是否独立? +∞ +∞ 1 x 解(1) k 满足∫∞ ∫ ∞ f ( x, y )dxdy = 1 ,即∫0 dx ∫0 k (1 x ) ydy = 1 解得k = 24 ; (2)X 的边缘密度函数 f X (x ) = ∫ ∞ f (x, y )dy = ∫0 24(1 x ) ydy , x 0, = 12 x 2 (1 x ), 0, da w. x > 0, y > 0 x>0 其他x>0 其他3x 答案P( X ≥ Y ) =∫0 dx ∫0 25e 5 y dy = ∫0 5 1 e 5 x dx = e 1 . 12. 设二维随机变量( X , Y ) 的联合密度函数为( ) , 网其中区域G = {( x, y ) | x ≥ y}见图 5.3,经计算有图 5.3 0 < x <1 其他0 < x <1 其他co 0.2 x f ( x, y ) = f X ( x ) f Y ( y ) = 25e 5 y , 0 < x < 0.2, y > 0 m For evaluation only. Y 的边缘密度函数为fY (y) = 1 y y < 1 0< ∫ 24(1 x ) ydx, 0, 其他 2 0 < y <1 12 y (1 y ) , 其他0, 1 1 3 1 9 27 1 1 1 1 1 ( 3 ) f , = 24 × × = , 而 f X (x ) = 12 × × = , f Y ( y ) = 12 × × = 4 2 2 4 16 16 2 4 3 2 4 1 1 1 1 f , ≠ f X f Y ,因此X 与Y不相互独立. 2 4 2 4 = , 易见14. 设随机变量X 与Y的联合分布律为X\Y 0 1 2 3 5 0 2 25 1 b a 1 25 且P(Y = 1 | X = 0) = , (1) 求常数a, b 的值; (2)当a, b 取(1)中的值时,X 与Y是否独立?为什解(1) a, b 必须满足∑ ∑ p ij = 1 ,即j =1 i =1 2 3 概率定义及已知的条件得P(Y = 1 | X = 0) = ww 因此,X 与Y不独立. 15. 对于第 2 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当Y = 2 时X 的条件分布律. 解易知p2 = P(Y = 2) = ,因此Y = 2 时X 的条件分布律为 1 2 w. 4(2 x + 1), 0, 3 P ( X = 0, Y = 1) b = = 2 5 P( X = 0) +b 25 3 17 14 由此解得 b = ,结合 a + b = 可得到 a = , 25 25 25 14 a= 25 即 3 b= 25 14 3 5 17 (2)当 a = , b = 时,可求得P( X = 0) = , P(Y = 0 ) = ,易见25 25 25 25 2 P( X = 0, Y = 0) = ≠ P ( X = 0 )P(Y = 0 ) 25 kh X|Y=2 概率 1 p12 1 = p 2 3 16. 对于第 6 题中的二维随机变量( X , Y ) 的分布,求当X = x, 解X 的边缘密度函数为(由第7 题所求得) f X (x ) = 1 < x<0 2 其他da w. 2 p 22 1 = p2 3 课后答案 2 3 1 2 17 ,另外由条件+b+a+ + + = 1 ,可推出 a + b = 25 25 25 25 25 网么? co 3 p32 1 = p 2 3 3 25 2 25 1 < x < 0 时Y 的条件密度函数. 2 m For evaluation only. 由条件密度函数的定义知当X = x, f (x, y ) f Y |X ( y | x) = = f X (x ) 1 Y 的条件密度函数为< x<0 时 2 4 , 4(2 x + 1) 0, 0 < y < 2x + 1 其他= 1 , 2x + 1 0, 0 < y < 2x + 1 其他习题六解答 1. 设X 的分布律为X -2 1 8 -0.5 1 4 0 1 8 2 4 解由X 的分布律可列出下表概率X X +2 X +1 X2 1 8 1 4 1 8 后由此表可定出(1) X + 2 的分布律为课X +2 概率(2) X + 1 的分布律为kh X +1 (3) X 2 的分布律为w. ) 概率ww 1 8 1 1 7 2 其中P X = 4 = P ( X = 2 ) + P( X = 2) = + = . 8 6 24 概率( 2. 设随机变量X 服从参数λ = 1 的泊松分布,记随机变量Y= 由于X 服从参数λ = 1 的泊松分布,因此1k 1 e 1 , k = 0,1,2, L , e = k! k! e 1 e 1 + = 2e 1 ; 0! 1! da w. 0 1 8 3 2 1 4 答案-2 0 3 4 网-0.5 1.5 1.5 0.25 0 2 1 0 2 4 -1 4 2 4 1 8 1 6 -3 1 3 -1 1 6 1 4 1 4 1 1 8 3 2 1 4 X2 0 4 7 24 布律. 解P( X = k ) = 而P(Y = 0 ) = P( X ≤ 1) = P( X = 0) + P ( X = 1) = P(Y = 1) = P( X > 1) = 1 P ( X ≤ 1) = 1 2e 1 . co 1 6 1 3 1 1 概率 6 3 求出:以下随机变量的分布律. (1) X + 2 ; (2) X + 1 ;(3) X 2 . 4 6 -3 16 6 1 3 3 1 8 16 1 3 0, 若X ≤ 1; 1, 若X > 1, m 试求随机变量Y 的分 For evaluation only. 即Y的分布律为Y0 1 概率2e 1 1 2e 1 2x, 0, 0 < x < 1; 其他, 3. 设X 的密度函数为 f (x ) = 求以下随机变量的密度函数: (1)2 X ; (2) X + 1 ; (3) X 2 . 解求连续型随机变量的函数的密度函数可通过先求其分布函数,然后再求密度函数.如果y = g (x ) 为单调可导函数,则也可利用性质求得. (1)解法一:设Y = 2 X ,则Y的分布函数y FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P(2 X ≤ y ) = P X ≤ 2 0 y <0 2 y y 0 ≤ <1 = ∫02 2 xdx 2 y ≥1 1 2 ∫0 2 xdx 0 y2 4 1 y<0 0≤ y<2 y≥2 = 解法二: y = 2 x , x = f Y ( y ) = f X (h( y )) h ′( y ) 1。
《工程数学概率统计简明教程(同济大学应用数学系)》课后答案【khdaw_lxywyl】
课后答案网习w题w一w解.答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件A{两次出现的面相同} ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件A(3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件A { 一分钟内呼叫次数不超过3 次}；{ 寿命在2000 到2500 小时之间}。
解(1){( ,), ( ,), ( ,), (, )} ，A{( ,), ( ,)}.(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则{X k | k0,1,2,LL} ， A {X k | k0,1,2,3} .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则{X (0,)} ， A {X(2000,2500)} .2. 袋中有10 个球，分别编有号码1 至10，从中任取1 球，设A {取得球的号码是偶数}，B {取得球的号码是奇数}，C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C；(6) B U C ；(7) A C .解(1) A U B是必然事件；(2) AB 是不可能事件；(3) AC {取得球的号码是2，4}；(4) AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) A C{取得球的号码为奇数，且不小于5} {取得球的号码为5，7，9}；(6) B U C B I C{取得球的号码是不小于5 的偶数} {取得球的号码为6，8，10}；(7) A C AC {取得球的号码是不小于5 的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间[0 , 2] 上任取一数，记A (1) A U B ；(2) A B；(3) AB ；(4) A U B .x1x21 ，B x 1 x43，求下列事件的表达式：2解(1) A U B x 1 x 3 ;4 2(2) A B x 0 x 1或1 x22 I B x1x41U x1 x3;2 2(3) 因为A B ，所以AB ；(4) A U B A U x 0 x 1或3x 2x 0 x1或1x 1或3x 2 4. 用事件A, B, C 4 2 4 2 2的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，B, C都不出现（记为E1）；(2) A, B 都出现，C 不出现（记为E2）；(3) 所有三个事件都出现（记为E3）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为E4）；(5) 三个事件都不出现（记为E5）；(6) 不多于一个事件出现（记为E6）；(7) 不多于两个事件出现（记为E7）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为E8）。
概率论与数理统计同济大学
S
17
7.事件的运算律: 交换律: 结合律:
分配律: 对偶律:
证明 对偶律.
18
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
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§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
(1) 样本空间中的元素只有有限个; (2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
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例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率; (2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3 只, 试求: (1)取到1号球的概率,（事件A） (2)最小号码为5的概率.（事件B）
必然事件: 样本空间S是自身的子集，在每次试验中总是 发生的，称为必然事件。
不可能事件：空集φ不包含任何样本点, 它在每次试验中 都不发生，称为不可能事件。
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例1. 试确定试验E2中样本空间, 样本点的个数, 并给出如
下事件的元素: 事件A1=“第一次出现正面”、事件A2=“ 恰好出现一次正面”、事件A3=“至少出现一次正面”.
互独立的), 3件测试后都认为音色纯则接收这批
乐器,测试情况如下:
经测试认为音色纯 认为音色不纯
乐器音色纯
0.99
0.01
乐器音色不纯 0.05
0.95
若100件乐器中恰有4件音色不纯,试问:
这批乐器被接收的概率是多少?
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第一章 习题课
一、主要内容: 样本空间 随机事件 概率定义及性质 古典概型 条件概率 全概率公式 Bayes公式 事件的独立性
概率统计简明教程(同济)Chapter
■ Remark E(X)不一定存在. ■ 所以, E(X)不存在.
■ P78: ■ P82: ■ 例4(P78)
■ 再考虑X为连续型随机变量情形:
■若
■ 绝对收敛, 则称其为X的数学期望.
■ 例6 X ~ U(a, b) E(X) = (a + b)/2.
■ Proof
Chapter 7 随机变量的数字特 征
■ 随机变量的分布完全描述了随机现象的 统计规律性.
■ 当随机变量的分布不太容易得出时,可以 只考虑少数几个随机变量的数字特征: 数学期望, 方差, 协方差和相关系数, 矩 (P85, P114).
第一节 数学期望
■ 先考虑X为离散型随机变量情形.
■ 该数据集的平均值:
■ Solution Z = X - Y.
第三节 协方差和相关系数
■ 若X与Y独立:
■ 若E(X - E(X))(Y- E(Y)) 0, 则X与Y不
独立.
■ 当X与Y不独立也可能成立.
■ 例18(P86)
■ 由此可见, E(X - E(X))(Y- E(Y))可以从某一个侧面刻画X与Y之间的 关系, 称为 X与Y的协方差, 记为cov(X, Y).
■ 例7 X ~ N( , 2) E(X) = .
■ Proof
■ 绝对收敛?
■ 例8 X ~ E( ) E(X) = 1/ .
■ Proof
■ P81: ■ P82:
■ E(X2) (前面的例子) ?
■ 例10(P82) ■ Solution
■ 数学期望的性质 ■ (均假设所涉及的随机变量的数学期望
■ (2) 频率具有稳定性:
■ 证明时要用到切比雪夫不等式.
概率统计简明教程(同济大学第四版)课后答案
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
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(4)De Morgan律 A∪ B = A∩ B Morgan律 课堂: 课堂: P5,2,3 作业: 作业: P5,4, 5, 6.
AB = A∪ B
第二节 事件关系和事件运算
1.事件关系 1.事件关系 (1) A⊆ B (2) A = B (3) A与B (互)不相容(互斥): 在任何一次 不相容(互斥): 试验中A 试验中A与B都不可能同时发生(A ∩ B = 都不可能同时发生( ∅).
2. 事件运算 (1) A
A
A
补事件或逆事件. A:补事件或逆事件.
概率统计简明教程 A Concise on Theory of Probability and Mathematical Statistics
主讲老师: 主讲老师:张隆
主要内容: 主要内容: I. 概率论(Chapter 1 – Chapter 7) 概率论(Chapter II. 数理统计(Chapter 8 – Chapter 12) 数理统计(Chapter
(2) A ∪ B = A + B: A发生或B发生. 发生或 发生.
A∪ B = {x | x ∈ A∨ x ∈ B}
并事件. 并事件. 和事件. 事件.
n
A
B
UA = A ∪ A ∪L∪ A
k 1 2 k =1
n
UA = A ∪ A ∪L∪ A ∪L
n 1 2 n n=1
∞
(3) A ∩ B = AB: A发生且B发生. AB: 发生且 发生. A∩ B = {x | x ∈ A∧ x ∈ B} 交事件. 交事件. 积事件. 事件.
1.随机试验 1.随机试验 试验E Experiment): 实验和观察. 试验E(Experiment): 实验和观察. 随机试验E的两大特点: 随机试验E的两大特点: (1) 试验的所有可能结果是已知的或是 可以确定的; 可以确定的; (2) 每次试验究竟会发生什么结果是事 先无法预知的(试验之后才知道). 先无法预知的(试验之后才知道).
硕士研究生入学考试数学内容之一. 硕士研究生入学考试数学内容之一.
Chapter 1 随机事件
三大现象: 三大现象: 确定现象—确定性: 确定现象—确定性: 经典数学 随机现象—随机性: 随机现象—随机性: 随机数学 模糊现象—模糊性: 模糊现象—模糊性: 模糊数学
第一节 样本空间和随机事件 样本空间和
2.样本空间 2.样本空间 样本空间Ω = {所有可能的试验结果}. {所有可能的试验结果}. 例6(P2) E1⇒ Ω1 = {0, 1, 2, 3, …} E2 (on) on)
2
={( x, y) | x + y ≤ 25}
2 2
E3(P2?) (P2?
3.随机事件(Event) 3.随机事件(Event) (1) 在随机试验中,某种现象或某种情况 在随机试验中, 的陈述, 的陈述, 如抛一颗骰子“出现点数不大 于4”.(拼音tÓuzi, 方言shăizi) 4”.(拼音t 方言shă (2) 样本空间的任何子集称为随机事件. 样本空间的任何子集称为随机事件. A ⊆ , B ⊆ , C ⊆ ,L 随机事件发生: 随机事件发生: 满足要求的试验结果出 现. 必然事件Ω 和不可能事件 ∅. 课堂: 课堂: P5,1
n
ALeabharlann BIAk =1
k
= A A2 LAn 1
(4) A - B: A发生但B不发生. 发生但 不发生.
A A− B
B
A− B = AB
A− B = {x | x ∈ A, x ∉ B}
A – B: 差事件. 差事件.
事件运算的性质: 事件运算的性质: (1)交换律 (1)交换律 (2)结合律 (2)结合律
掷硬币( 掷硬币(flip a coin, H: Heads; T: Tails). 掷骰(shǎi)子 掷骰(shǎi)子(P1).
– 可重复试验(我们考虑的试验!). 可重复试验(我们考虑的试验!).
胎儿的性别. 胎儿的性别. 买彩票. 买彩票. 灯泡使用寿命. 灯泡使用寿命.
– 不可重复试验(如何理解?). 不可重复试验(如何理解?