高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
函数的对称性与周期性(归纳总结)
函数的对称性与周期性（归纳总结）一、函数对称性：1.2.3.4.5.6.7.8.f（a+x）=f（a-x）==>f（x）关于x=a对称f（a+x）=f（b-x）==>f（x）关于x=（a+b）/2对称f（a+x）=-f（a-x）==>f（x）关于点（a，0）对称f（a+x）=-f（a-x）+2b==>f（x）关于点（a，b）对称f（a+x）=-f（b-x）+c==>f（x）关于点[（a+b）/2，c/2]对称y=f（x）与y=f（-x）关于x=0对称y=f（x）与y=-f（x）关于y=0对称y=f（x）与y=-f（-x）关于点（0,0）对称例1：证明函数y=f（a+x）与y=f（b-x）关于x=（b-a）/2对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a+x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a+m）=f[b（2tm）] ∴b2t=a，==>t=（b-a）/2，即证得对称轴为x=（b-a）/2.例2：证明函数y=f（a-x）与y=f（xb）关于x=（a+b）/2对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y=f（a-x）上，令关于x=t的对称点Q（2tm，n），那么n=f（a-m）=f[（2tm）b] ∴2t-b=a，==>t=（a+b）/2，即证得对称轴为x=（a+b）/2.二、函数的周期性令a,b均不为零，若：1、函数y=f（x）存在f（x）=f（x+a）==>函数最小正周期T=|a|2、函数y=f（x）存在f（a+x）=f（b+x）==>函数最小正周期T=|b-a|3、函数y=f（x）存在f（x）=-f（x+a）==>函数最小正周期T=|2a|4、函数y=f（x）存在f（x+a）=1/f（x）==>函数最小正周期T=|2a|5、函数y=f（x）存在f（x+a）=[f（x）+1]/[1f（x）]==>函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
抽象函数的周期性与对称性(精)
抽象函数的周期性与对称性(精)抽象函数的周期性和对称性问题可以通过恒等式简单判断。
如果函数满足f(x+a)=f(-x+a)，那么它是偶函数，对称轴为x=a，周期为T=2a。
如果函数满足f(x+a)=-f(-x+a)，那么它是奇函数，对称中心为(a,0)。
如果函数满足f(a-x)=f(b+x)，那么它的对称轴为x=(a+b)/2，周期为T=|b-a|。
如果函数满足f(x+a)=-f(x-a)，那么它的对称中心为(a,0)，周期为T=2a。
需要注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别，对称轴或对称中心的位置可以通过对应法则求得。
例如，对于已知定义在实数集上的奇函数f(x)，满足f(x+2)=-f(x)，则f(6)的值为-1.又如，如果函数f(x)对于任意实数x都有f(1+2x)=f(1-2x)，则f(2x)的图像关于x=1对称。
练1：如果函数y=f(x+1)是偶函数，则y=f(x)的图像关于x=1对称。
练2：如果函数y=f(x)满足11f(x+3)=-f(x)，且f(3)=1，则f(2010)=-1/2.23、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且当x>2时，f(x)=2x-3，则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 2f(3)+f(1)+f(5)=2(2×3-3)+2×1-3+2×5-3= 8.4、已知函数f(x)是定义在实数集上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当-1≤x≤1时，f(x)=x。
要求求出f(7.5)的值。
由奇函数的定义可知，f(5.5)=f(-5.5)，即f(7.5)=f(-7.5)。
又因为f(x+4)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)，所以f(x+4k)=f(x)，其中k为整数。
故f(-7.5)=f(-7.5+4×2)=f(0)=-f(0)，即f(0)=0.又f(1)+f(-1)=0，所以f(1)=-f(-1)。
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论
最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论直线Ax By ^0成轴对称;2Ax By C =0成轴对称。
9, y_2B(A X + B 罗C))= o 关于直线③ F (x, y) = 0与F (x _经A 二二2 A 2 B 2Ax ? By ? C =0成轴对称。
、函数对称性的几个重要结论(一)函数y = f(x)图象本身的对称性(自身对称)若f(x a^_f(x b)，则f(x)具有周期性；若f (a ?x)=：「f(b -x)，则f (x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a+x) = f(b —x) u y = f(x)图象关于直线 x =l a Z x LL (b _x) =a ￡b 对称2 2推论1: f (a ? x) = f (a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论2、f (x) = f (2a - x) = y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称推论3、f(-x)二f (2a ? x) ：= y = f (x)的图象关于直线 x = a 对称2、 f(a+x) + f (b —x) =2c 二y=f(x)的图象关于点(兰匕c)对称2推论 1、f (a ? x) ? f (a -x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论2、f (x) ? f (2a - x) = 2b ：= y = f (x)的图象关于点(a,b)对称推论3、f (-x) ? f(2a ? x) =2b = y = f(x)的图象关于点(a,b)对称(二)两个函数的图象对称性(相互对称) (利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解)1、偶函数y =f(x)与y = f(-x)图象关于Y 轴对称2、奇函数y =f(x)与y 二-f(-x)图象关于原点对称函数3、函数y = f (x)与y - - f (x)图象关于X 轴对称4、互为反函数y 二f (x)与函数y 二f'(x)图象关于直线y =x 对称② 函数…(x)与一2驚￥。
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。
函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。
本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。
2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。
设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。
3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。
设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。
•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。
•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。
4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。
函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。
4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。
5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。
函数对称性知识点归纳总结
函数对称性知识点归纳总结一、函数的对称性概念1.1 函数的定义在数学中，函数是一种将输入值映射到输出值的关系。
它通常表示为f(x)，其中x是输入值，f(x)是输出值。
函数可以用数学公式、图表、图形等方式来表示。
1.2 函数的对称性函数的对称性是指在某种变换下，函数图像保持不变的性质。
这种变换可以是关于坐标轴的对称、关于原点的对称、关于直线或平面的对称等。
函数的对称性可以分为以下几种：- 偶函数：如果对任意的x，有f(x) = f(-x)，那么函数f(x)是关于y轴对称的，称为偶函数。
偶函数的图像在y轴对称。
- 奇函数：如果对任意的x，有f(x) = -f(-x)，那么函数f(x)是关于原点对称的，称为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称。
- 周期函数：如果存在一个正数T，使得对任意的x，有f(x+T) = f(x)，那么函数f(x)是周期函数。
周期函数的图像在某一段距离上重复。
1.3 示例以函数f(x) = x^2为例，它是一个偶函数。
因为对任意的x，有f(x) = x^2 = (-x)^2 = f(-x)，所以函数图像关于y轴对称。
又如函数f(x) = sin(x)，它是一个奇函数。
因为对任意的x，有f(x) = sin(x) = -sin(-x) = -f(-x)，所以函数图像关于原点对称。
二、函数对称性的判定与应用2.1 函数对称性的判定在判断一个函数是否具有对称性时，可以通过以下方法进行判定：- 偶函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = f(-x)即可判断是否为偶函数。
- 奇函数：验证函数f(x)是否满足f(x) = -f(-x)即可判断是否为奇函数。
- 周期函数：通过周期函数的定义，验证函数f(x)是否满足f(x+T) = f(x)即可判断是否为周期函数。
2.2 函数对称性的应用函数对称性在数学分析、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
以下是函数对称性的一些应用场景：- 在积分计算中，利用函数的对称性可以简化积分的计算。
高三函数对称性知识点汇总
高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。
函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。
在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。
一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。
对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。
2. 函数图像关于y轴对称。
若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。
对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于x轴对称。
三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。
对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。
2. 函数图像关于原点对称。
当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。
对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像上关于直线L对称。
五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。
对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。
2. 函数图像关于点P对称。
综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结在高中数学的学习过程中，函数是一个非常重要的概念。
而函数的对称性是函数图像在坐标轴上的对称特性，它是一种具有很高抽象性的数学思维，对于理解和解决数学问题具有重要意义。
在高三数学学习中，函数的对称性是一个非常重要的知识点，也是数学建模和解题中常用的技巧之一。
下面将对高三函数对称性的知识点进行总结。
一、函数的对称性1. 关于x轴的对称性当函数图像与x轴对称时，称函数具有关于x轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(x, -y)也在函数图像上。
2. 关于y轴的对称性当函数图像与y轴对称时，称函数具有关于y轴的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, y)也在函数图像上。
3. 关于原点的对称性当函数图像与原点对称时，称函数具有关于原点的对称性。
即对于函数图像上任意一点(x, y)，都有对应的点(-x, -y)也在函数图像上。
4. 奇函数如果函数f(-x) = -f(x)，那么称函数f(x)为奇函数。
奇函数的图像关于原点对称，且通过原点。
5. 偶函数如果函数f(-x) = f(x)，那么称函数f(x)为偶函数。
偶函数的图像关于y轴对称，且通过y 轴。
6. 周期函数如果函数f(x + T) = f(x)，其中T为正实数，那么称函数f(x)为周期函数。
周期函数的图像在一个周期内具有对称性。
二、对称性在数学建模中的应用1. 对称性可以简化问题在数学建模中，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量和分析难度。
通过对称性的特点，我们可以找到函数图像上的对称点，从而减少求解方程的步骤。
2. 对称性可以加快求解过程利用函数的对称性，在求解函数的零点、极值点和拐点时，可以通过对称点的关系，快速地确定函数的特征点，从而加快求解过程。
3. 对称性可以提高模型的精度在数学建模中，对称性可以帮助我们合理地选择函数模型，提高模型的精度和可靠性。
三、对称性在解题中的应用举例1. 求函数图像与坐标轴的交点在函数图像与坐标轴相交的点的求解中，利用函数的对称性可以帮助我们简化求解过程。
高中数学总结归纳 抽象函数的对称性
抽象函数的对称性关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b=+2的对称点为()A a b m n '+-，。
[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2对称。
二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2的对称点为()A b a m n '--，。
∵f b b a m f a m n [()]()---=+=∴点A'在y f b x =-()的图象上反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2对称。
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较 困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力。
一、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）1、函数的轴对称：推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称特殊地，函数()x f y =满足()()x f x f -=，则函数()x f y =的图象关于直线0=x （y 轴）对称。
2、 函数的点对称：推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称特殊地，若()x f y =满足()()0=-++x a f x a f ，则()x f y =的图象关于点()0,a 对称。
特殊地，若()x f y =满足()()0=-+x f x f ，则函数()x f y =的图象关于原点()0,0对称。
二、函数的周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结一、函数对称性的概念与重要性函数作为数学中描述变化规律的重要工具，其图像的对称性是解析几何中一个非常有趣且具有实际意义的课题。
在高中数学的学习中，掌握函数图像的对称性对于理解和运用函数知识至关重要。
对称性不仅能够帮助我们快速识别函数的性质，还能在解决实际问题时提供直观的解题思路。
本文将对高三数学中函数对称性的相关知识点进行总结和梳理。
二、函数图像的对称轴1. 轴对称性轴对称性是函数对称性中最基本也是最常见的一种形式。
对于一个函数图像来说，如果存在一条直线，使得图像上任意一点关于这条直线对称，那么这个函数就具有轴对称性。
对于二次函数，其对称轴通常为 x = -b/2a，这里的 a 和 b 分别是二次项和一次项的系数。
2. 中心对称性除了轴对称性，函数图像还可能具有中心对称性。
如果图像上任意一点 P(x, y) 关于某一点 (a, b) 对称，即存在点 P'(2a-x, 2b-y) 也在图像上，那么这个函数就具有中心对称性。
例如，反比例函数 y =k/x (k 为常数) 的图像就具有中心对称性，其对称中心为原点。
三、常见函数的对称性质1. 二次函数的对称性二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线的开口方向不同，但其对称轴始终为直线 x = -b/2a。
当 a >0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的图像可以通过平移、伸缩等变换保持其对称性质。
2. 一次函数的对称性一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。
直线的对称性较为简单，它关于垂直于其斜率 k 的直线具有轴对称性。
当 k 为正时，直线向右上方倾斜；当 k 为负时，直线向右下方倾斜。
一次函数的图像是对称的，但不是中心对称的。
3. 反比例函数的对称性反比例函数y = k/x (k ≠ 0) 的图像是一对双曲线。
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性
抽象函数的奇偶性、周期性和对称性一、奇偶性1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-，那么 函数()f x 就叫做奇函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f -=-；（3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。
（这是判断奇函数的直观方法）2、偶函数定义：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数 ()f x 就叫做偶函数。
（1）定义域必须关于原点对称；（2）对定义中的任意一个x ，都有)()(x f x f =-； （3）图象特征：偶函数图象关于y 轴对称。
（这是判断偶函数的直观方法） 二、周期性周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。
例如，狄利克雷函数，当x 为有理数时，()f x 取1；当x 为非有理数时，()f x 取0。
（1）如果函数)(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。
（2）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期的周期函数。
（3）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期的三、对称性1、函数图象本身的对称性（自身对称）题设：函数)(x f y =对定义域内一切x 来说，其中a 为常数，函数)(x f y =满足： （1）)()(x a f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线a x =成轴对称； （2）)()2(x f x a f =-⇔函数)(x f y =的图象关于直线a x =成轴对称；（3）)()(x b f x a f -=+⇔函数)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=成轴对称； （4）)(x f -=)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于y 轴对称（偶函数）； （5）)(2)2(x f b x a f -=-⇔函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心对称； （6）)(x f -=—)(x f ⇔函数)(x f y =图象关于原点成中心对称（奇函数）；（7）如果函数)(x f y=满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的 常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数；（8）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 4为周期（9）如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以T 2为周期 的周期函数。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数对称性知识点梳理总结
函数对称性知识点梳理总结一、轴对称轴对称是最常见的一种函数对称性，它指的是函数图象关于某一条直线对称。
这条直线称为对称轴，通常用方程 x=a 来表示。
如果函数 f(x) 满足 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 轴对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,y) = f(a-x,y)，那么 f(x,y) 关于直线 x=a 对称；如果 f(x,a+y) = f(x,a-y)，那么 f(x,y) 关于直线 y=a 对称。
轴对称性在几何学中有着广泛的应用，许多平面图形都具有轴对称性，比如圆形、椭圆形等。
函数的轴对称性也有很多实际的应用，比如在电路分析中，对称性可以帮助简化复杂的电路分析问题。
另外，在数学建模和图像处理领域，轴对称性也经常被用来简化问题求解。
二、中心对称中心对称是指函数图象关于某一点对称，这一点称为中心。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(a-x)，那么 f(x) 关于 x=a 点对称。
对于二元函数 f(x,y)，如果 f(a+x,b+y) = f(a-x,b-y)，那么 f(x,y) 关于点 (a,b) 对称。
中心对称性在几何学中也有很多重要应用，比如圆形就是一个非常常见的中心对称图形。
在实际应用中，中心对称性也经常被用来简化问题求解，比如在物理学和工程学中，很多问题都具有中心对称性，通过利用中心对称性可以大大简化问题求解的复杂度。
三、旋转对称旋转对称是指函数图象关于某一点旋转一定角度后，与原图象完全重合。
对于函数 f(x)，如果 f(a+x) = f(x-a)，那么 f(x) 关于点 x=a 有旋转对称性。
对于二元函数 f(x,y)，如果f(a+x,a+y) = f(x-a,y-a)，那么 f(x,y) 关于点 (a,a) 有旋转对称性。
旋转对称性在几何学中有着重要的应用，很多图形都具有旋转对称性，比如正方形、菱形等。
在实际应用中，旋转对称性通常被用来简化问题求解，比如在工程学和建筑学领域，很多结构都具有旋转对称性，通过利用旋转对称性可以简化结构分析和设计的复杂性。
第6节 抽象函数的对称性结论归纳-解析版
第6节 抽象函数的对称性结论归纳知识与方法1.轴对称：如果函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()12f x f x =，则()f x 的图象关于直线x a =对称.记法：自变量关于a 对称，函数值相等.例如，()()2f x f x +=-表示()f x 关于1x =对称，()()f m x f n x +=-表示()f x 关于2m nx +=对称. 2.中心对称：若函数()y f x =满足122x x a +=，就有()()122f x f x b +=，则()f x 关于点(),a b 对称.记法：自变量关于a 对称，函数值关于b 对称.例如，()()112f x f x ++-=表示()f x 关于()1,1对称，()()f m x f n x a ++-=表示()f x 关于,22m n a +⎛⎫⎪⎝⎭对称.3.常用结论（视频中有推导这些结论）：（1）如果函数()f x 有两条对称轴，则()f x 一定是周期函数，周期为对称轴距离的2倍.（2）如果函数()f x 有一条对称轴，一个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心与对称轴之间距离的4倍.（3）如果函数()f x 有在同一水平线上的两个对称中心，则()f x 一定是周期函数，周期为对称中心之间距离的2倍.典型例题【例1】已知函数()y f x =满足()()20f x f x --=()x ∈R ，且在[)1,+∞上为增函数，则（ ）A.()()()112f f f ->>B.()()()121f f f >>-C.()()()121f f f ->>D.()()()211f f f >->【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x --=⇒=-⇒的图象关于直线1x =对称，所以()()13f f -=，因为123<<，且()f x 在[)1,+∞上为增函数，所以()()()123f f f <<，从而()()()121f f f ->> 【答案】C【例2】己知函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，若函数()1y x f x =--共有3个不同的零点1x 、2x 、3x ，则123x x x ++=_________.【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()()101x f x x f x --=⇒-=， 由于1y x =-的图象也关于1x =对称，故它们的交点关于1x =对称， 设123x x x <<，则必有1312x x +=且21x =，故1233x x x ++=. 【答案】3【例3】已知函数()f x 满足()()22f x f x -=-()x ∈R ，若()()104f f -+=，则()()23f f +=_______.【解析】()()()()2222f x f x f x f x -=-⇒-+=，分别取3x =和2x =得：()()()()132022f f f f ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相加得：()()()()13024f f f f -+++=，又()()104f f -+=，所以()()230f f +=. 【答案】0【例4】偶函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，若()33f =，则()1f -=_______. 【解析】由题意，()f x 周期为4，故()()133f f -==. 【答案】3【反思】对称轴+对称轴=周期，周期为对称轴之间距离的2倍.【例5】（2018·新课标Ⅱ卷）若()f x 是定义域为(),-∞+∞的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()12f =，则()()()1250f f f +++=（ ）A.50-B.0C.2D.50【解析】因为()f x 是奇函数，且()()11f x f x -=+，所以()()11f x f x +=--，故()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即()f x 是以4为周期的周期函数， 故()()()3112f f f =-=-=-，在()()11f x f x -=+中取1x =-知()()200f f ==， 又()()400f f ==，所以()()()()()123420200f f f f +++=++-+=， 故()()()1250f f f +++()()()()()()()()145845484950f f f f f f f f =+++++++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()4950122f f f f =+=+=.【答案】C【反思】对称轴+对称中心=周期，周期为二者之间距离的4倍，熟悉这一结论，可直接得出本题()f x 的周期为4.【例6】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=，当[]1,0x ∈-时，()f x x =，则92f ⎛⎫⎪⎝⎭=_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和()1,0，故其周期为2，所以91112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】12【反思】若()f x 有位于同一水平线上的两个对称中心，则()f x 为周期函数，周期为二者之间距离的2倍.强化训练1.（★★★）已知函数()y f x =满足()()40f x f x +--=()x ∈R ，且()f x 在[)2,+∞上为减函数，则（ ）A.()()()22log 3log 5.13f f f >>B.()()()22log 5.1log 33f f f >>C.()()()22log 5.13log 3f f f >>D.()()()22log 33log 5.1f f f >>【解析】()()()40f x f x f x +--=⇒的图象关于2x =对称，结合()f x 在[)2,+∞上为减函数知当自变量与2的距离越大时，函数值越小，如图，而22234log 32log log 43-==，225.1log 5.12log 4-=，321-=， 所以225.14log log 143<<，故()()()223log 3log 5.1f f f <<.【答案】B2.（★★★）函数()y f x =满足()()2f x f x =-，且当[)1,x ∈+∞时，()1122x x f x e e x --=--+，则（ ）A.()()()121f f f <<-B.()()()211f f f <-<C.()()()121f f f -<<D.()()()112f f f -<<【解析】()()()()213f x f x f f =-⇒-=，当1x ≥时，()11112220x x x x f x e e e e ----'=+-≥⋅=，所以()f x 在[)1,+∞上单调递增，故()()()()1231f f f f <<=-. 【答案】A3.（★★★）已知函数()f x 满足()()20f x f x ---+=()x ∈R ，若函数()22y x x f x =+-共有3个零点1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=________.【解析】()()()()()202f x f x f x f x f x ---+=⇒-=-+⇒的图象关于1x =-对称，()()22202x x f x x x f x +-=⇔+=，而22y x x =+的图象也关于1x =-对称，故它们的交点也关于1x =-对称，所以1233x x x ++=-. 【答案】3-4.（★★★）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()2f x f x -=-，若()11f =，则()5f ==_______.【解析】由题意，()f x 有对称轴0x =和1x =-，故其周期为2，()()511f f ==.5.（多选★★★）设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-，当[]0,2x ∈时，()212xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A.()f x 是周期函数，且周期为2B.()f x 的最大值是1，最小值是14C.()f x 在[]2,4上单调递减，在[]4,6上单调递增D.当[]2,4x ∈时，()212xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】A 项，()f x 是偶函数()f x ⇒关于0x =对称，()()()22f x f x f x +=-⇒关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数，故A 项错误； B 项，当[]0,2x ∈时，()212xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()f x 是周期为4的偶函数可作出()f x 的草图如图，由图可知()()min 104f x f ==，()()max 21f x f ==，故B 项正确. C 项，由图可知C 项正确；D 项，在()()22f x f x +=-中将x 换成2x -得()()4f x f x =-，故当[]2,4x ∈时，[]40,2x -∈，所以()()()24211422x x f x f x ---⎛⎫⎛⎫=-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故D 项错误.【答案】BC6.（★★★）设定义域为R 的奇函数()f x 满足()()31f x f x +=--，当02x <≤时，()24f x x =-，则()7f =_______.【解析】由题意，()f x 有对称中心()0,0和对称轴1x =，故其周期为4，所以()()()7113f f f =-=-=-.7.（★★★）若()f x 是定义域为R 的奇函数，()()2f x f x +=-，若()11f =，则()()()122022f f f +++=______.【解析】()f x 的对称中心()0,0和对称轴()1x f x =⇒周期为4， 在()()2f x f x +=-中取0x =知()()200f f ==，又()()()3111f f f =-=-=-，()()400f f ==，所以()()()()12340f f f f +++=， 故()()()()()()()12202220212022121f f f f f f f +++=+=+=.【答案】18.（★★★）函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，()()220f x f x +--=，且213f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则10003f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_______.【解析】由()()110f x f x ++-=知()f x 关于点()1,0对称，由()()220f x f x +--=知()f x 关于2x =对称，所以()f x 是以4为周期的周期函数， 故100044283413333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】1-9.（★★★）已知函数()()2ln11f x x x =++，定义域为R 的函数()g x 满足()()2g x g x -+=，若函数()y f x =与()y g x =的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()66,x y ，则()61i i i x y =+=∑（ ）A.0B.6C.12D.24【解析】注意到函数)2ln1y x x =+为奇函数，其图象关于原点对称，所以()f x 的图象关于点()0,1对称，又()()2g x g x -+=，所以()g x 的图象也关于点()0,1对称，从而()f x 与()g x 的图象的交点关于()0,1对称，所以1260x x x +++=，1266y y y +++=，故()616ii i xy =+=∑.【答案】B10.（★★★）奇函数()f x 满足()()20f x f x ++-=()x ∈R ，若当01x ≤≤时，()244f x x x =-，则函数()lg y f x x =-的零点个数为______.【解析】()()()20f x f x f x ++-=⇒的图象关于点()1,0对称， 又()f x 为奇函数，所以()f x 的图象关于原点对称，所以()f x 的周期为2，如图，lg y x =与()y f x =的图象共有9个交点，即函数()lg y f x x =-有9个零点.【答案】911.（★★★）偶函数()f x 满足()()2f x f x =-()x ∈R ，当[]0,1x ∈时，()222f x x =-，则函数()()42log 1g x f x x =--的所有零点之和为（ ） A.4B.6C.8D.10【解析】()()()2f x f x f x =-⇒的图象关于1x =对称，()f x 为偶函数()f x ⇒的图象关于y 轴对称，所以()f x 的周期为2，()()402log 1g x f x x =⇔--，作出图象如图，由图可知两函数有6个交点，且它们两两关于直线1x =对称，从而零点之和为6.【答案】B12.（★★★）偶函数()f x 满足对任意的实数x 都有()()22f x f x -=+，当(]1,3x ∈-时，()21,1112,13x x f x x x ⎧--<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，则函数()()5g x f x x =-的零点个数是（ ） A.5 B.6 C.10 D.12【解析】由题意，()f x 有对称轴0x =和2x =，故其周期为4，()()05x g x f x =⇒=，作出图象如下，由图可知共有10个交点，从而()g x 有10个零点.【答案】C。
归纳抽象函数的三性：对称性、奇偶性与周期性
归纳抽象函数的三性：对称性、奇偶性与周期性一、抽象函数的对称性。
性质1、若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
（3）f(2a＋x)＝－f(－x)。
注：y＝f(x)为偶函数是性质1当a＝0时的特例，f(－x)＝f(x)。
y＝f(x)为奇函数是性质2当a＝0时的特例，f(－x)＝-f(x)。
二、复合函数的奇偶性。
性质1、复数函数y＝f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]。
复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]。
性质2、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)。
性质3、复合函数y＝f(x＋a)为偶函数，则y＝f(x)关于直线x＝a轴对称。
复合函数y＝f(x＋a)为奇函数，则y＝f(x)关于点(a,0)中心对称。
三、函数的周期性。
性质、若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f(x＋a)＝f(x－a)，②f(x＋a)＝－f(x)，③f(x＋a)＝1/f(x)，④f(x＋a)＝－1/f(x)。
四、函数的对称性与周期性。
性质1、若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。
性质2、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|。
性质3、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|。
抽象函数对称性的几个结论及其应用
抽象函数对称性的几个结论及其应用1. 反演对称性（Inversion Symmetry）反演对称性是指函数在空间中经过一些点的反演之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x)=f(-x)，则称其具有反演对称性。
这种对称性常用于描述物理系统中的对称性，比如平面镜对称、球面镜对称等。
应用中常用反演对称性简化问题的求解过程，例如在研究电磁波传播时，通过利用反演对称性可以简化波动方程的求解。
2. 平移对称性（Translation Symmetry）平移对称性是指函数在空间中进行平移操作之后保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足f(x+a)=f(x)，其中a为任意实数，则称其具有平移对称性。
平移对称性在物理学中有广泛的应用，例如在研究周期性现象时，可以通过引入平移对称性简化问题的求解过程，如布洛赫定理在固体电子理论中的应用。
3. 旋转对称性（Rotation Symmetry）旋转对称性是指函数在空间中进行旋转操作之后保持不变。
具体来说，如果函数f(x)满足f(Rx)=f(x)，其中R为旋转矩阵，则称其具有旋转对称性。
旋转对称性在几何学和物理学中非常重要，例如在研究物体的形状、电磁场分布等问题时，可以通过引入旋转对称性简化问题的求解过程。
4. 对偶对称性（Duality Symmetry）对偶对称性是指函数在一些操作下可以与其对偶函数互相转换的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的变换关系f(x)=g(x)，其中g(x)为f(x)的对偶函数，则称其具有对偶对称性。
对偶对称性在数学和物理学中有广泛的应用，例如在研究波动现象时，可以通过引入对偶对称性简化问题的求解过程。
5. 微分对称性（Differential Symmetry）微分对称性是指函数在一些微分操作下保持不变的性质。
具体来说，如果函数f(x)满足一定的微分方程f''(x)=-f(x)，则称其具有微分对称性。
微分对称性在数学和物理学中有重要的应用，例如在研究自然界中的自旋系统、波动现象等问题时，可以通过引入微分对称性简化问题的求解过程。
高三函数对称性知识点归纳
高三函数对称性知识点归纳函数对称性是数学中一个重要的概念，通过对函数的变换和图像的观察，可以揭示函数的性质和规律。
在高三数学学习中，函数对称性是一个基础而又重要的知识点。
本文将对高三函数对称性的相关知识进行归纳和总结，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。
一、函数关于y轴对称当函数图像在y轴上下对称时，称该函数关于y轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(-x) = f(x)，则函数f(x)关于y轴对称。
例如，函数f(x) = x^2就是关于y轴对称的函数，因为 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
函数图像关于y轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是偶函数时，即f(x) = f(-x)。
2. 函数的表达式只含有偶次幂的项且系数都是实数。
二、函数关于x轴对称当函数图像在x轴左右对称时，称该函数关于x轴对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相等。
在代数表示中，如果函数f(x) = f(-x)，则函数f(x)关于x轴对称。
例如，函数f(x) = sin(x)是关于x轴对称的函数，因为 sin(-x) = -sin(x) = f(x)。
函数图像关于x轴对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数是奇函数时，即f(x) = -f(-x)。
2. 函数的表达式只含有奇次幂的项且系数都是实数。
三、函数关于原点对称当函数图像在原点对称时，称该函数关于原点对称。
也就是说，当自变量取负值时，函数值与自变量取正值时函数值相反。
在代数表示中，如果函数f(x) = -f(-x)，则函数f(x)关于原点对称。
例如，函数f(x) = sin(2x)是关于原点对称的函数，因为 sin(2(-x)) = -sin(2x) = -f(x)。
函数图像关于原点对称，也可以通过以下特征来判断：1. 函数的表达式中含有奇数个奇次幂的项，且系数不都为0。
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抽象函数的对称性
关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。
一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2
对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b
=
+2的对称点为()A a b m n '+-，。
[]∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--==
∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2
对称。
二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2
对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2
的对称点为()A b a m n '--，。
∵f b b a m f a m n [()]()---=+=
∴点A'在y f b x =-()的图象上
反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2
的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2
对称。
说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。
易知，函数y f x a b =++⎛
⎝ ⎫⎭⎪2与y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭
⎪2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣
⎢⎤⎦⎥=+22()的图象，由y f x a b =-++⎛⎝ ⎫⎭⎪2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎡⎣⎢⎤⎦
⎥=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2
对称。
三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，对称。
证明：设点()
A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。
[]∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222
∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。
（2）易知此命题的逆命题也成立。
四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，对称。
证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，的对称点为()A b a m c n '---，2
()[]
()∵222c f b b a m c f a m c n ----=-+=-
∴点A'在()y c f b x =--2的图象上 反过来，同样可以证明，函数y c f b x =--2()图象上任一点关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭
⎪2，的对称点在函数y f a x =+()图象上。
故函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -⎛⎝ ⎫⎭⎪2，对称。
说明：此命题同样可以从图象变换的角度去理解。