[精品]2019版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练文47
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系课件文
方法技巧 研究两直线平行与垂直关系的解题策略
1.已知两直线的斜率存在. (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截 距不等; (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于-1. 2.当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线 的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜 率不存在的特殊情况,同时还要注意 x,y 的系数不能同时 为零这一隐含条件.
yx+ +21×23=-1, 2×x-2 1-3×y-2 2+1=0, ∴A′-3133,143.
解得 x=-3133, y=143.
[结论探究 1] 本例中条件不变,求直线 l 关于点 A(-1, -2)对称的直线 l′的方程.
解 ∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式, 得|-22+2+6+32C|=|-22+2+6+321|,解得 C=-9, ∴l′的方程为 2x-3y-9=0.
(2)(2017·广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于 x=1 对称的 直线方程是( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
解析 由题意得直线 x-2y+1=0 与 x=1 的交点坐标 为(1,1),又直线 x-2y+1=0 上的点(-1,0)关于直线 x=1 对称的点为(3,0),所以由直线方程两点式,得1y--00=1x--33, 即 x+2y-3=0.故选 D.
A.-23B.-322源自3C.3D.2
解析 由于直线 l 与经过点(-2,1)的斜率为-23的直线 垂 直 , 可 知 a - 2≠ - a - 2. 因 为 直 线 l 的 斜 率 k1 = -a1--2--1a-2=-1a,所以-1a·-23=-1,所以 a=-23. 故选 A.
2019年高考数学总复习核心突破 第8章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系课件
∴S△ABC=������������×
������������×
������������ =5.
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10
三、达标训练 1.过点A(5,3)且与直线4x-2y+3=0平行的直线方程 是 2x-y-7=0 . 2.过点B(0,-1)且与直线2x+y-4=0垂直的直线方程
是 x-2y-2=0 . Evaluation only. ted with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2
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∴y-(-3)=-������(x-1),即所求直线方程为:4x+7y+17=0.
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方法 2:设所求直线方程为E4vxa+7lyu+aC=t0io,则n有o4×nl1y+.7×(-3)+C=0, ted ∴(可w2)得C方it=法h1yC7-(1A即-:o∵3s所)p=直p求y6线o(直rxsi-xg线1e+)h,6方即.ySt-程所82l为=i求0d0:直4的0ex线4s斜+7-方率yf2+o程为10r7为-=1.������0������:1N,6.∴xEA-所yTs-求9p直=30o线..s5斜eC率P为litey6,nLt tPdr.ofile 5.2
解得 x=-2,y=1 ∴这两条直线的交点为(-2,1).
5.求点P(-1,2)到下列E各va直lu线a的ti距on离od.nly. ted w(1it)3hx-A4ys+p5=o0s;e.Slid(e2)s3xf=o5r. .NET 3.5 Client Profile 5.2
解:(1C)do=p|������y×(r−���i������g���������+)−h(−������t×������)���2���������+0������|0=������4������. -2011 Aspose Pty Ltd.
2019届高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 第2讲 两条直线的位置关系
【解析】 (1)解方程组53xx+ +22yy+ -11= =00, ,得 l1,l2 的交点坐标 为(-1,2). 由 l3 的斜率为35得 l 的斜率为-53. 则由点斜式方程可得 l 的方程为 y-2=-53(x+1), 即 5x+3y-1=0.
(2)由题意可得直线 l1 恒过定点 A(0,2), 直线 l2 恒过定点 B(2,0),且 l1⊥l2, 则点 P 的轨迹是以 AB 为直径的圆, 圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2. 圆心(1,1)到直线 x-y-4=0 的距离为 |1-1-4|=2 2,
斜截式
一般式
重 k1=k2 且 b1 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)
合
=b2
当A2B2C2≠0时,记为AA12=BB12=CC12
2.两条直线的交点 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+ C2=0,两条直线的交点坐标就是方程组AA12xx+ +BB12yy+ +CC12= =00, 的解,若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点 坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线 平行;反之,亦成立.
4.已知直线 l 过点(-1,2)且与直线 2x-3y+4=0 垂直,则 直线 l 的方程为__3_x_+__2_y_-__1_=__0____.
[解析] 由直线 l 与直线 2x-3y+4=0 垂直,可知直线 l 的斜 率是-32,由点斜式可得直线 l 的方程为 y-2=-32(x+1), 即 3x+2y-1=0.
设 M′(a,b),则
2×a+2 2-3×b+2 0+1=0,
ba--02×23=-1.
解得
M′163,1330.
设直线 m 与直线 l 的交点为 N,
高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8.2 两直线的位置关系 【教案】
高三一轮第八章平面解析几何8.2两直线的位置关系【教学目标】1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.【重点难点】1.教学重点:掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离;2。
教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:k2且b1≠b2.②直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2=-1.(2)若l1和l2都没有斜率,则l1与l2平行或重合.(3)若l1和l2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则(3)l1⊥l2.知识点2 两直线的交点知识点3 三种距离),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|=x2-x12+y,y0)到直线l:Ax+C=0的距离d=错误! Ax+By+C1=0与+C2=0间的距离d=错误!=2x+1平行,设l的方程为2x -y+C=0(C≠1),则点(1,1)到两平行线的距离相等.∴|2-1+C|22+1=错误!,解得C=-3。
因此所求直线l的方程为y=2x -3。
【答案】D2.如图,已知A(4,0),B(0,4),从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上,最后经直线OB反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A.3错误!B.6C.2错误! D.2错误!【解析】直线AB的方程为x +y=4,点P(2,0)关于直线AB 的对称点为D(4,2),关于y轴的对称点为C(-2,0).则光线经过的路程为|CD|=错误!=2 10。
【答案】C归纳:1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得错误!进而。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系模拟演练课件理
解 (1)设 A 关于直线 l 的对称点为 A′(m,n),则
mn- -02=-2, m+ 2 2-2·n+ 2 0+8=0,
解得nm= =8- ,2,
故 A′(-2,8). P 为 直 线 l 上 的 一 点 , 则 |PA| + |PB| = |PA′| + |PB|≥|A′B|,当且仅当 B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB| 取得最小值,为|A′B|,点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交 点,解xx= -- 2y+ 2,8=0, 得xy= =- 3,2, 故所求的点 P 的坐标 为(-2,3).
再由两点式可得 l′的方程为 2x-3y-9=0. 解法二:∵l∥l′, ∴设 l′的方程为 2x-3y+C=0(C≠1). ∵点 A(-1,-2)到两直线 l,l′的距离相等, ∴由点到直线的距离公式,得 |-22+2+6+ 32C|=|-22+2+6+ 32 1|,解得 C=-9,
∴l′的方程为 2x-3y-9=0. 解法三:设 P(x,y)为 l′上任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4-y).∵点 P′在直线 l 上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即 2x-3y-9=0.
(2)A,B 两点在直线 l 的同侧,P 是直线 l 上的一点, 则||PB|-|PA||≤|AB|,当且仅当 A,B,P 三点共线时,||PB| -|PA||取得最大值,为|AB|,点 P 即是直线 AB 与直线 l 的
交点,又直线 AB 的方程为 y=x-2,解yx= -x2- y+2, 8=0, 得
=0,l1 与 l2 重合.∴a=-1,故选 B.
2019届高考数学(文科):第8章 平面解析几何 2 第2讲 两条直线的位置关系
2.若直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与直线 l2:x+ny-3=0 之
0 间的距离是 5,则 m+n=________.
[解析] 因为直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与直线 l2:x+ny-3 =0 之间的距离为 5, n=-2, 所以|m+3| = 5, 5 所以 n=-2,m=2(负值舍去). 所以 m+n=0.
1.必明辨的 3 个易错点 (1)在判断两直线的位置关系时,易忽视斜率是否存在. (2)运用平行的充要条件时,忽视直线重合的情况. (3)运用两平行直线间的距离公式时,易忽视两方程中的 x,y 的系数分别相等这一条件.
2.必会的 2 种方法 (1)与直线 Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程 可设为: ①垂直:Bx-Ay+m=0; ②平行:Ax+By+n=0(n≠C). (2)对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称,利 用坐标转移法.
两直线的交点与距离问题 (1)经过直线 l1:3x+2y-1=0 和 l2:5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线 l3:3x-5y+6=0 的直线 l 的方程为
5x+3y-1=0 ___________________ .
(2)(2018· 南京、盐城高三模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,直 线 l1:kx-y+2=0 与直线 l2:x+ky-2=0 相交于点 P,则 当实数 k 变化时,点 P 到直线 x-y-4=0 的距离的最大值
四种常见对称求解方法 (1)点关于点的对称:求点 P 关于点 M(a,b)的对称点 Q 的问 题,主要依据 M 是线段 PQ 的中点,即 xP+xQ=2a,yP+yQ =2b 求解. (2)直线关于点的对称:求直线 l 关于点 M(m,n)的对称直线 l′的问题,主要依据 l′上的任一点 T(x,y)关于 M(m,n)的对 称点 T′(2m-x,2n-y)必在 l 上.
高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系
第二讲 两条直线的位置关系知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况. (1)两条直线平行对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,且b 1≠b 2. 对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0, l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0,且B 1C 2-B 2C 1≠0(或A 1C 2-A 2C 1≠0). (2)两条直线垂直对于直线l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2+B 1B 2=0__. 知识点二 两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0的解.相交⇔方程组有__唯一解__; 平行⇔方程组__无解__; 重合⇔方程组有__无数个解__. 知识点三 三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|=x 1-x 22+y 1-y 22.特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|=x 2+y 2. (2)点P(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C|A 2+B 2. (3)两条平行线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1-C 2|A 2+B2. 重要结论1.求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式;运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式.2.对称问题的求解规律(1)中心对称:转化为中点问题处理.(2)轴对称:转化为垂直平分线问题处理.特殊地:点P(a,b)关于直线x +y +m =0对称的点坐标为(-b -m,-a -m),点P(a,b)关于直线x -y +m =0对称的点坐标为(b -m,a +m).双基自测题组一 走出误区1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然.( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于-1.( × )(3)已知直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2+B 1B 2=0.( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b|1+k2.( × ) (5)若点A,B 关于直线l :y =kx +b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于-1k ,且线段AB 的中点在直线l上.( √ )题组二 走进教材2.(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( A ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0D .x +2y -1=03.(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a >0)到直线l :x -y +3=0的距离为1,则a 等于( C ) A . 2 B .2- 2 C .2-1D .2+1[解析] 由题意得|a -2+3|1+1=1.解得a =-1+2或a =-1-2. ∵a >0,∴a =-1+2. 题组三 走向高考4.(2020·高考全国Ⅲ)点(0,-1)到直线y =k(x +1)距离的最大值为( B ) A .1 B . 2 C . 3D .2 [解析] 解法一:由y =k(x +1)可知直线过定点P(-1,0),设A(0,-1),当直线y =k(x +1)与AP 垂直时,点A 到直线y =k(x +1)距离最大,即为|AP|=2,故选B .解法二:因为点(0,-1)到直线y =k(x +1)距离d =|1+k|k 2+1=k 2+2k +1k 2+1=1+2kk 2+1;∵要求距离的最大值,故需k >0;可得d =1+2k +1k≤2,当且仅当k =1时取等号,故选B .5.(2018·全国)坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为__(6,-6)__. [解析] 设坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1=-1a 2-b2-6=0,解得a =6,b =-6,∴坐标原点关于直线x -y -6=0的对称点的坐标为(6,-6).考点突破·互动探究考点一 两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2=2x 的焦点且平行于直线3x -2y +5=0的直线l 的方程是( A )A .6x -4y -3=0B .3x -2y -3=0C .2x +3y -2=0D .2x +3y -1=0(2)“m=3”是“直线l 1:2(m +1)x +(m -3)y +7-5m =0与直线l 2:(m -3)x +2y -5=0垂直”的( A )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x +(m +1)y +4=0与直线mx +3y -2=0平行,则m =( C ) A .2 B .-3 C .2或-3D .-2或-3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y =2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A .3x +y -14=0B .x +2y -2=0C .x -3y +2=0D .x +2y -14=0[解析] (1)因为抛物线y 2=2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,直线3x -2y +5=0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y =32⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,化为一般式,得6x -4y -3=0.(2)由l 1⊥l 2,得2(m +1)(m -3)+2(m -3)=0,∴m =3或m =-2,∴m =3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m +1=6,4m≠-4,解得m =2或-3.故选C .(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4=2-k 1+2k =1,∴k =13,∴斜边所在直线方程为y -2=13(x -4),即x -3y +2=0,由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x x -3y +2=0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25,45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385,165,∴另一条直角边的方程为y -165=-12⎝ ⎛⎭⎪⎫x -385,即x +2y -14=0,故选C 、D .名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)=2sin x 在x =π3处的切线与直线ax +y -1=0垂直,则a =__1__.(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a=1”是“直线l 1:ax +2y =0与直线l 2:x +(a +1)y +4=0平行的( A )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)=2cos x,∴k =f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3=1.所以1×(-a)=-1,∴a =1. (2)l 1∥l 2⇔a 2+a -2=0⇔a =1或-2,∴a =1是l 1∥l 2的充分不必要条件.故选A . 考点二 两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1:2x +y +1=0与l 2:ax +4y -6=0的交点到原点的距离为__2__.(2)已知点P(2,-1).①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程;②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. (3)(2020·上海)已知直线l 1:x +ay =1,l 2:ax +y =1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__. [解析] (1)kl 1=-2,kl 2=-a 4,由l 1⊥l 2知-2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 4=-1,∴a =-2,∴l 2:x -2y +3=0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y +1=0x -2y +3=0得交点A(-1,1),∴|AO|=2.(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过点P(2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2. 若斜率存在,设l 的方程为y +1=k(x -2), 即kx -y -2k -1=0.由已知得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34. 此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图. 由l ⊥OP,得k l k OP =-1, 所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式,得y +1=2(x -2),即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5=5.③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.(3)直线l 1:x +ay =1,l 2:ax +y =1, 当l 1∥l 2时,a 2-1=0,解得a =±1;当a =1时l 1与l 2重合,不满足题意; 当a =-1时l 1∥l 2,此时l 1:x -y -1=0,l 2:x -y +1=0; 则l 1与l 2的距离为d =|-1-1|12+-12=2.名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离:可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. (2)两平行直线间的距离:①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离; ②利用两平行线间的距离公式.提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等. 〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1:3x -y -1=0与直线l 2:x +2y -5=0的交点为A,则A 到直线l :x +by +2+b =0的距离的最大值为( C )A .4B .10C .3 2D .11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx +y +3=0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A .-6 B .-12C .12D .1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A .95B .185C .2910D .295[解析] (1)解法一:显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(-2,-1),∴所求最大距离为|AB|=32,故选C .解法二:显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d =|1+2b +2+b|1+b2=31+b 2+2b1+b2=31+2b 1+b2≤32(当且仅当b =1时取等号),故选C . (2)直线mx +y +3=0与直线AB 平行或过AB 中点,∴-m =4-2-1-3=-12,即m =12;AB 中点(1,3),∴m+3+3=0即m =-6,故选A 、C .(3)因为36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ|的最小值为2910. 考点三 对称问题——多维探究 角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax +y +3a -1=0恒过定点M,则直线2x +3y -6=0关于M点对称的直线方程为( D )A .2x +3y -12=0B .2x -3y -12=0C .2x -3y +12=0D .2x +3y +12=0[解析] 由ax +y +3a -1=0,可得y -1=-a(x +3),所以M(-3,1),M 不在直线2x +3y -6=0上,设直线2x +3y -6=0关于M 点对称的直线方程为2x +3y +c =0(c≠-6),则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9,解得c =12或c =-6(舍去),所以所求方程为2x +3y +12=0,故选D .另解:在直线2x +3y -6=0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(-6,0),B′(-9,2),又k A′B′=2-0-9--6=-23,故所求直线方程为y =-23(x +6),即2x +3y +12=0.故选D .角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x -y -6=0__.[解析] 设点M(-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a --3=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0. (代入法)当x =-3时,由x -y +3=0得y =0, 当y =4时,由x -y +3=0得x =1.∴M(-3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0).又k NM′=6-02-1=6,∴所求直线方程为y =6(x -1),即6x -y -6=0.[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x -6y +27=0__.[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′=5-43--3=16,∴所求直线方程为y -4=16(x+3),即x -6y +27=0.角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l :x -y -1=0,l 1:2x -y -2=0.若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A .x -2y +1=0B .x -2y -1=0C .x +y -1=0D .x +2y -1=0[解析] 解法一:因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上.又易知(0,-2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x +02-y -22-1=0,y +2x ×1=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =-1,即(1,0),(-1,-1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x -2y -1=0.解法二:在l 1上取两点A(0,-2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(-1,-1),B′(1,0),∴k A′B′=0--11--1=12.∴l 2的方程为y -0=12(x -1),即x -2y -1=0.故选B .解法三:设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y+1,x -1),又P′∈l 1,∴2(y +1)-(x -1)-2=0,即直线l 2的方程为x -2y -1=0.故选B .名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有: (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′=2a -x ,y′=2b -y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax +By +C =0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n -b m -a ×-AB=-1,A ·a +m 2+B ·b +n 2+C =0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y =x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y =x +1的对称点为(3-1,1+1),即(2,2).〔变式训练3〕已知直线l :2x -3y +1=0,点A(-1,-2).求: (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标;(2)(角度3)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m′的方程; (3)(角度1)直线l 关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程. [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413.(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上. 设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N(4,3).又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x -46y +102=0. (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y), ∵点P′在直线l 上,∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0, 即2x -3y -9=0.名师讲坛·素养提升 巧用直线系求直线方程例6 (1)求证:动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标;(2)求经过两直线l 1:x -2y +4=0和l 2:x +y -2=0的交点P,且与直线l 3:3x -4y +5=0垂直的直线l 的方程.[解析] (1)证明:解法一:令m =0,则直线方程为 3x +y +1=0.再令m =1时,直线方程为6x +y +4=0.①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +y +1=0,6x +y +4=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.将点A(-1,2)的坐标代入动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0中,(m 2+2m +3)×(-1)+(1+m -m 2)×2+3m 2+1=(3-1-2)m 2+(-2+2)m +2+1-3=0, 故动直线(m 2+2m +3)x +(1+m -m 2)y +3m 2+1=0恒过定点A .解法二:将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x -y +3)+m(2x +y)+3x +y +1=0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x -y +3=0,2x +y =0,3x +y +1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-1,y =2.故动直线恒过点A(-1,2).(2)解法一:解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x -2y +4=0,x +y -2=0,得P(0,2).因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为-43,由斜截式可知l 的方程为y =-43x +2,即4x +3y -6=0.解法二:设所求直线方程为4x +3y +m =0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m =-6, 故所求直线方程为4x +3y -6=0.解法三:设直线l 的方程为x -2y +4+λ(x+y -2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y +4-2λ=0.又∵l ⊥l 3,∴3×(1+λ)+(-4)×(λ-2)=0,解得λ=11.∴直线l 的方程为4x +3y -6=0.[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x -4y +8=0__.名师点拨1.确定方程含参数的直线所过定点的方法:(1)将直线方程写成点斜式y -y 0=f(λ)(x-x 0),从而确定定点(x 0,y 0).(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点.(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标.2.直线系的主要应用(1)共点直线系方程:经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0,其中A 1B 2-A 2B 1≠0,待定系数λ∈R .在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x +B 2y +C 2=0,因此它不能表示直线l 2.(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k(x -x 0)(k 为参数)及x =x 0.(3)平行直线系方程:与直线y =kx +b 平行的直线系方程为y =kx +m(m 为参数且m≠b);与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠C ,λ是参数).(4)垂直直线系方程:与直线Ax +By +C =0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0(λ为参数).如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解. 〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过定点( D )A .⎝⎛⎭⎪⎫1,-12 B .(-2,0) C .(2,3) D .(9,-4)(2)与直线l :5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x -12y +32=0或5x -12y -20=0__.[解析] (1)解法一:由(m -1)x +(2m -1)y =m -5,得(x +2y -1)m -(x +y -5)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x +2y -1=0,x +y -5=0,得定点坐标为(9,-4),故选D .解法二:令m =1,则y =-4;令m =12,则-12x =-92,即x =9,∴直线过定点(9,-4),故选D . 解法三:将直线方程化为(2m -1)(y +a)=(1-m)(x +b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =-52a +b =-1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a =4b =-9,∴y +4=1-m 2m -1(x -9),故直线过点(9,-4),故选D .(2)设所求直线的方程为5x-12y+c=0,则|c-6|52+122=2,解得c=32或-20,故所求直线的方程为5x-12y+32=0或5x-12y-20=0.。
高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第2节两直线的位置关系距离公式教师用书
第二节 两直线的位置关系、距离公式考试要求:1.能根据两条直线的方程判定这两条直线平行或垂直(逻辑推理).2.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离(数学运算).一、教材概念·结论·性质重现1.两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2.l1∥l2k1=k2l1⊥l2k1·k2=-1特别地,当两直线的斜率都不存在时,l1∥l2;当一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.(2)利用方程判断l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2,C2均不为0),l1∥l2=≠l1⊥l2A1A2+B1B2=0l1与l2重合==特别地,若A2,B2,C2中存在为0的情况,则利用斜率关系判断.(3)两直线相交交点:直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交⇔方程组有唯一解,交点坐标就是方程组的解;平行⇔方程组无解;重合⇔方程组有无数个解.(1)与直线Ax+2.三种距离(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离|P1P2|=.(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.(3)两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离d=.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意:二、基本技能·思想·活动经验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.( × )(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × )(3)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.( × )(4)两平行直线2x-y+1=0,4x-2y+1=0间的距离为0.( × ) 2.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则实数m的值为( )A.0 B.-8 C.2 D.10B 解析:由题意知=-2,解得m=-8.故选B.3.如果平面直角坐标系内的两点A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线l对称,那么直线l的方程为( )A.x-y+1=0 B.x+y+1=0C.x-y-1=0 D.x+y-1=0A 解析:因为直线AB的斜率为=-1,所以直线l的斜率为1.设直线l的方程为y =x+b,由题意知直线l过线段AB的中点,所以=+b,解得b=1,所以直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.故选A.4.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+2y+5=0相交于同一点,则m的值为____ ____.C 解析:若直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.5.已知两条直线l1:4x+2y-3=0,l2:2x+y+1=0,则l1与l2之间的距离为___ _____. 解析:两条直线l1:4x+2y-3=0,l2:2x+y+1=0,即两条直线l1:4x+2y -3=0,l2:4x+2y+2=0,它们之间的距离d==.考点1 两直线平行与垂直判定及应用——基础性1.“m=1”是“直线l1:mx+y-1=0和直线l2:x+my+6=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 解析:直线l1:mx+y-1=0和直线l2:x+my+6=0平行⇔m2=1⇔m=±1,“m=1”是“m=±1”的充分不必要条件.故选A.2.若直线2x+(2a-5)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,则a2+b2的最小值为( )A. B.3C.5 D.C 解析:因为直线2x+(2a-5)y+2=0与直线bx+2y-1=0互相垂直,所以2b+2(2a-5)=0,化简得b=5-2a,所以a2+b2=a2+(5-2a)2=5a2-20a+25=5(a-2)2+5≥5,当且仅当a=2时取“=”,所以a2+b2的最小值为5.3.已知直线l1:mx+y-1=0,l2:(2m+3)x+my-1=0,m∈R,若l1⊥l2,则m=________.0或-2 解析:若l1⊥l2,则m(2m+3)+m=0,解得m=0或m=-2,即l1⊥l2⇔m=0或m=-2.1.当方程的系数含有字母时,应考虑斜率不存在的特殊情况,否则容易漏解.2.利用平行、垂直等条件求出参数值后,应将求出的参数值回代,验证是否符合题意.如当两直线平行时,利用斜率相等求出的参数值可能会使两直线重合,应该代入验证是否舍去其中一个值.考点2 两直线的交点、距离问题——综合性(1)已知直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行,则它们之间的距离是( )A.4 B.C. D.B 解析:由直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行,得m=4,所以直线分别为3x+2y-3=0与3x+2y+=0.它们之间的距离是=.故选B.(2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为( )A.-24 B.24 C.6 D.±6 A 解析:直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,可设交点坐标为(a,0),则即故选A.本例1(1)中,条件“直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相平行”改为“直线3x+2y-3=0与直线6x+my+7=0互相垂直”,求两直线的交点坐标.解:因为两直线垂直,则18+2m=0,则m=-9.由解得所以交点坐标为.1.求过两直线交点的直线方程的方法1.若点P在直线3x+y-5=0上,且P到直线x-y-1=0的距离为,则点P的坐标为( )A.(1,2) B.(2,1)C.(1,2)或(2,-1) D.(2,1)或(-1,2)C 解析:设P(x,5-3x),则d==,化简得|4x-6|=2,即4x-6=±2,即x=1或x=2,故点P的坐标为(1,2)或(2,-1).故选C.2.已知直线l过直线l1:x-2y+3=0与直线l2:2x+3y-8=0的交点Q,且点P(0,4)到直线l的距离为2,则这样的直线l的条数为( )A.0 B.1C.2 D.3C 解析:由得即直线l过点Q(1,2).因为|PQ|==>2,所以满足条件的直线l有2条.故选C.考点3 对称问题——应用性考向1 点关于点对称过点P(0,1)作直线l使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________.x+4y-4=0 解析:设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,把点B的坐标代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以由两点式得直线l的方程为x+4y-4=0.考向2 点关于直线的对称点已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________. 解析:设A′(x,y),由已知得解得故A′.则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决.考向3 直线关于直线的对称已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( )A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0B 解析:由得交点(1,0),取l1上的点(0,-2),其关于直线l的对称点为(-1,-1),故直线l2的方程为=,即x-2y-1=0.1.已知点(1,-1)关于直线l1:y=x的对称点为A,设直线l2经过点A,则当点B(2,-1)到直线l2的距离最大时,直线l2的方程为( )A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0B 解析:易知A(-1,1).设点B(2,-1)到直线l2的距离为d,当d=|AB|时取得最大值,此时直线l2垂直于直线AB,又-=,所以直线l2的方程为y-1=(x+1),即3x -2y+5=0.故选B.2.若函数y=ax+8与y=-x+b的图象关于直线y=x对称,则a+b=( )A. B.-C.2 D.-2C 解析:直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以x=ay+8与y=-x+b为同一直线,则所以a+b=2.故选C.。
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系习题课件文
C.[3,+∞) D.[4,+∞)
解析 设 P(x,y),则 kPA=x+y m,kPB=x-2y-m,
x+ 3y-9=0, 由已知可得x+y m·x-2y-m=-1, 消去 x 得 4y2-16 3y+63-m2-2m=0, 由题意得mΔ=>0,-16 32-4×4×63-m2-2m≥0, 解得 m≥3.故选 C.
课后作业夯关 8.2 两条直线的位置关系
[重点保分 两级优选练]
A级
一、选择题
1.(2017·郑州调研)直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx
+3y-2=0 平行,则 m=( )
A.2
B.-3
C.2 或-3 D.-2 或-3
解析 直线 2x+(m+1)y+4=0 与直线 mx+3y-2=0
∴b=3-4k+b,解得 k=34.∴直线 l 的方程为 y=34x+b, 直线 l1 为 y=34x+141+b,取直线 l 上的一点 Pm,b+34m, 则点 P 关于点(2,3)的对称点为4-m,6-b-34m,
∴6-b-34m=34(4-m)+b+141, 解得 b=18.∴直线 l 的方程是 y=34x+18,即 6x-8y+1 =0.
解得mn==8-,2,
P 为 直 线 l 上 的 一 点 , 则 |PA| + |PB| = |PA′| + |PB|≥|A′B|,当且仅当 B,P,A′三点共线时,|PA|+|PB| 取得最小值|A′B|,点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点, 解xx= -2-y+2,8=0, 得xy= =-3,2, 故所求的点 P 的坐标为 (-2,3).
∴k1·k2=-sianA·sibnB=-1,∴两直线垂直.故选 C.
7 . (2017·聊 城 三 模 ) 已 知 两 点 A( - m,0) 和 B(2 +
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系课件理【优质ppt版本】
2.(2017·西安模拟)已知 a,b 为正数,且直线 ax+by -6=0 与直线 2x+(b-3)y+5=0 平行,则 2a+3b 的最小 值为___2_5____.
解析 由两直线平行可得,a(b-3)=2b,即 2b+3a= ab,2a+3b=1.又 a,b 为正数,所以 2a+3b=(2a+3b)·2a+3b =13+6ba+6ab≥13+2 6ba·6ab=25,当且仅当 a=b=5 时 取等号,故 2a+3b 的最小值为 25.
3.小题热身 (1)设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与 直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 l1∥l2 时,得-a2=-a+1 1,解得 a=1 或 a= -2,代入检验符合,当 a=1 时,易知 l1∥l2,∴“a=1” 是“l1∥l2”的充分不必要条件,故选 A.
A.-23
B.-32
2
3
C.3
D.2
解析 由于直线 l 与经过点(-2,1)的斜率为-23的直线 垂 直 , 可 知 a - 2≠ - a - 2. 因 为 直 线 l 的 斜 率 k1 = -a1--2--1a-2=-1a,所以-1a·-23=-1,所以 a=-23. 故选 A.
2.直线系法 (1)设过两直线 A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0 交 点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0. (2)利用题设条件,求 λ 的值,得出直线方程. (3)验证 A2x+B2y+C2=0 是否符合题意. (4)得出结论.
人教A版高中数学 高三一轮 第八章 平面解析几何 8-2
第八章 平面解析几何8.2两直线的位置关系 考向归纳考向1 直线的交点(1)当0<k <12时,直线l 1:kx -y =k -1与直线l 2:ky -x =2k 的交点在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限(2)过点P (3,0)作一直线l ,使它被两直线l 1:2x -y -2=0和l 2:x +y +3=0所截的线段AB 以P 为中点,求此直线l 的方程.【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧kx -y =k -1,ky -x =2k ,得⎩⎪⎨⎪⎧x =kk -1,y =2k -1k -1,又0<k <12,则kk -1<0,2k -1k -1>0.即x <0,y >0,从而两直线的交点在第二象限. 【答案】 B(2)设直线l 与l 1的交点为A (x 0,y 0),则直线l 与l 2的交点B (6-x 0,-y 0)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x 0-y 0-2=0,6-x 0-y 0+3=0,解得⎩⎨⎧x 0=113,y 0=163,即A ⎝⎛⎭⎫113,163,从而直线l 的斜率k =163-0113-3=8, 直线l 的方程为y =8(x -3),即8x -y -24=0.1.两直线交点的求法求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.2.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线方程.[变式训练]1.经过直线l 1:3x +2y -1=0和l 2:5x +2y +1=0的交点,且垂直于直线l 3:3x -5y +6=0的直线l 的方程为________.【解析】 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x +2y -1=0,5x +2y +1=0,得l 1,l 2的交点坐标为(-1,2),∵l 3的斜率为35,∴l 的斜率为-53,则直线l 的方程为y -2=-53(x +1),即5x +3y -1=0.【答案】 5x +3y -1=0考向2三种距离公式的应用●命题角度1 两点间距离公式及应用1.已知点P 在x 轴上,且点P 与点A (5,12)的距离为13,则点P 的坐标为( ) A .(0,0)或(0,10) B .(0,0)或(5,0) C .(0,0)或(10,0)D .(0,0)或(0,5)【解析】 设P (x,0),则|P A |=x -2+-2=13.解得x =0,或x =10,故选C. 【答案】 C2.在直角三角形ABC 中,C (0,0),A (0,a ),B (b,0),点D 是斜边AB 的中点,点P 为线段CD 的中点,则|P A |2+|PB |2|PC |2=( )A .2B .4C .5D .10【解析】 由题意知,D ⎝⎛⎭⎫b 2,a 2,P ⎝⎛⎭⎫b 4,a 4,则|P A |2=b 216+9a 216,|PB |2=9b 216+a 216,|PC |2=a 216+b 216. 所以|P A |2+|PB |2=1016(a 2+b 2), 从而|P A |2+|PB |2|PC |2=10,故选D.【答案】 D●命题角度2 点到直线的距离公式及应用3.已知直线l 在两坐标轴上的截距相等,且点A (1,3)到直线l 的距离为2,则直线l 的方程为________.【解析】 当直线l 过原点时,设其方程为y =kx ,由|k -3|k 2+1=2, 解得k =-7或k =1,直线l 的方程为y =-7x 或y =x , 当直线l 不过原点时,由题意,设其方程为x a +ya =1,即x +y -a =0,由|1+3-a |2=2得a =6或a =2.此时直线l 的方程为x +y -2=0或x +y -6=0. 【答案】 y =x 或y =-7x 或x +y -2=0或x +y -6=04.经过点P (1,2)引直线,使A (2,3),B (0,-5)到它的距离相等,则直线方程为________. 【解析】 法一 若直线斜率不存在,则直线方程为x =1,符合要求. 若直线斜率存在,设其方程为y -2=k (x -1),即kx -y +2-k =0. 由题意知|2k -3+2-k |k 2+1=|5+2-k |k 2+1,即|k -1|=|k -7|,解得k =4,此时直线方程为4x -y -2=0.法二 由题意,所求直线经过点(2,3)和(0,-5)的中点或与点(2,3)和(0,-5)所在直线平行.(1)当直线经过点A (2,3)和B (0,-5)的中点(1,-1)时,所求直线方程为x =1. (2)当所求直线与直线AB 平行时,由k AB =4得所求直线的方程y -2=4(x -1)即4x -y -2=0.【答案】 4x -y -2=0或x =1●命题角度3 两平行线间的距离公式及应用5.若动点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)分别在直线l 1:x -y -5=0,l 2:x -y -15=0上移动,则P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值是( )A.52 2 B .5 2 C.1522 D .15 2【解析】 由题意知l 1∥l 2,则P 1P 2的中点P 在与直线l 1,l 2平行,且到l 1,l 2的距离相等的直线l 上.设直线l 的方程为x -y +C =0,则|C +5|2=|C +15|2,解得C =-10,则直线l 的方程为x -y -10=0.P 1P 2的中点P 到原点的距离的最小值就是原点到直线l 的距离,且d =|-10|2=52,故选B.【答案】 B距离的求法1.点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式. 2.两平行直线间的距离(1)利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离;(2)利用两平行线间的距离公式.在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x ,y 的系数分别相等.考向3对称问题1.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求: (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程; (3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程. 【解】 (1)设A ′(x ,y ),由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1·23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0.解得⎩⎨⎧x =-3313,y =413,∴A ′⎝⎛⎭⎫-3313,413. (2)在直线m 上取一点,如M (2,0), 则M (2,0)关于直线l 的对称点必在m ′上. 设对称点为M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎫a +22-3×⎝⎛⎭⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613,3013.设m 与l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线方程为9x -46y +102=0.(3)由题意知,l ′∥l ,设直线l ′的方程为2x -3y +C =0(C ≠1), 则点A (-1,-2)到两平行线的距离相等. 所以---+C |22+-2=---+1|22+-2即|C +4|13=513,解得C =-9. 因此直线l ′的方程为2x -3y -9=0.1.中心对称问题的两个类型及求解方法(1)点关于点对称:若点M (x 1,y 1)及N (x ,y )关于P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x =2a -x 1,y =2b -y 1,进而求解. (2)直线关于点的对称,主要求解方法是:①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程. 2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax +By +C =0对称,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1+x 22+B ⎝⎛⎭⎫y 1+y 22+C =0,y 2-y 1x 2-x 1·⎝⎛⎭⎫-A B =-1,可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2,y 2)(其中B ≠0,x 1≠x 2). (2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.[变式训练]1.平面直角坐标系中,直线y =2x +1关于点(1,1)对称的直线l 的方程是( ) A .y =2x -1 B .y =-2x +1 C .y =-2x +3D .y =2x -3【解析】 由题意,l 与直线y =2x +1平行,设l 的方程为2x -y +C =0(C ≠1),则点(1,1)到两平行线的距离相等.∴|2-1+C |22+1=|2-1+1|22+1,解得C =-3. 因此所求直线l 的方程为y =2x -3. 【答案】 D2.如图,已知A (4,0),B (0,4),从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程是( )A .3 3B .6C .210D .2 5【解析】 直线AB 的方程为x +y =4,点P (2,0)关于直线AB 的对称点为D (4,2),关于y 轴的对称点为C (-2,0).则光线经过的路程为|CD |=62+22=210. 【答案】 C 易错辨析求直线方程时忽视斜率不存在的情况致误1.已知直线l 过点P (5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的方程为__________________________.[错误解法] 设直线l 的方程为y -10=k (x -5),即kx -y +10-5k =0,由已知得|10-5k |1+k 2=5,解得k =34,故直线l 的方程为34x -y +10-154=0,即3x -4y +25=0.[错解分析] 分析上面解题过程,你知道错在哪里吗?提示:上面解题过程没有讨论直线l 斜率不存在的情况,导致漏解. [自我纠正] 当直线l 的斜率不存在时,直线方程是x =5,满足条件.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y -10=k (x -5),即kx -y -5k +10=0. 由已知得|10-5k |1+k 2=5,解得k =34,故直线l 的方程为34x -y -154+10=0,即3x -4y +25=0.综上知,直线l的方程为x=5或3x-4y+25=0.【答案】x=5或3x-4y+25=0。
2019版高考数学一轮总复习第8章平面解析几何8.2两直线的位置关系课件文7
【变式训练 1】 ( )
(1)“m=3”是“直线 l1 :2(m+1)x+
(m-3)y+7-5m=0 与直线 l2:(m-3)x+ 2y-5=0 垂直”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析
由 l1⊥l2,得 2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,
2.两条直线垂直 (1)如果两条直线 l1 、l2 的斜率存在,设为 k1、 k2,则 l1
k1· k2=-1 ⊥l2⇔______________.
(2)如果 l1、l2 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线
垂直. 的斜率为 0 时, l1 与 l2 的关系为______
3.两条直线相交 交点: 直线 l1: A1x+B1y+C1 =0 和 l2: A2x+B2y+C2 =
+y-2=0 互相垂直,那么 a 的值等于( A.1 2 C.- 3
[ 解析]
由 a· 1+2· 1=模拟] “直线 ax- y=0 与直线 x-ay= 1 平行”是“a=1”成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
A1x+B1y+C1=0, 0 的公共点的坐标与方程组 A2x+B2y+C2=0
的解一一
对应.
唯一解 相交⇔方程组有_________ , 交点坐标就是方程组的解; 无解 ; 平行⇔方程组______ 无数个解. 重合⇔方程组有____________
考点 2 三种距离公式 1. 平面上的两点 P1(x1, y1 ), P2 (x2, y2)间的距离公式 |P1 P2 |
此时 l 的方程为 3x- 4y-10= 0. 综上,可得直线 l 的方程为 x= 2 或 3x- 4y- 10=0. (2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线,如图.
高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.2两条直线的位置关系课件理
数 a 的值是( )
A.-23
B.-32
2
3
C.3
D.2
12/11/2021
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解析 由于直线 l 与经过点(-2,1)的斜率为-23的直线 垂 直 , 可 知 a - 2≠ - a - 2. 因 为 直 线 l 的 斜 率 k1 = -a1--2--1a-2=-1a,所以-1a·-23=-1,所以 a=-23. 故选 A.
12/11/2021
第十三页,共四十八页。
经典(jīngdiǎn)题型冲关
12/11/2021
第十四页,共四十八页。
题型 1 两直线的平行与垂直
典例1 已知两条直线 l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x
+ay+3=0 平行,则 a 等于( )
A.-1
B.2
C.0 或-2 D.-1 或 2
分类讨论法.
12/11/2021
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[诊断自测] 1.概念思辨 (1)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定 等于-1.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线 相交.( √ )
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第七页,共四十八页。
(3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2= 0(A1,B1,C1,A2,B2,C2 为常数),若直线 l1⊥l2,则 A1A2 +B1B2=0.( √ )
12/11/2021
第十五页,共四十八页。
解析 若 a=0,两直线方程分别为-x+2y+1=0 和 x =-3,此时两直线相交,不平行,所以 a≠0;
当 a≠0 时,两直线平行,则有a-1 1=2a≠13,解得 a= -1 或 2.故选 D.
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2018版高考数学一轮总复习 第8章 平面解析几何 8.2 两直线的位置关系模拟演练文[A 级 基础达标](时间:40分钟)1.直线2x +y +m =0和x +2y +n =0的位置关系是( ) A .平行 B .垂直 C .相交但不垂直 D .不能确定答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2x +y +m =0,x +2y +n =0,可得3x +2m -n =0,由于3x +2m -n =0有唯一解,故方程组有唯一解,故两直线相交,两直线的斜率分别为-2,-12,斜率之积不等于-1,故不垂直,故选C.2.已知直线l 1:x +ay +6=0和l 2:(a -2)x +3y +2a =0平行,则实数a 的值为( ) A .3 B .-1 C .1 D .-1或3答案 B解析 由l 1∥l 2,得-1a =-a -23,解得a =3或a =-1,验证当a =3时,l 1,l 2的方程分别为x +3y +6=0,x +3y +6=0,l 1与l 2重合.∴a =-1,故选B.3.[2017·温州模拟]直线l 1:kx +(1-k )y -3=0和l 2:(k -1)x +(2k +3)y -2=0互相垂直,则k =( ) A .-3或-1 B .3或1 C .-3或1 D .-1或3答案 C解析 若1-k =0,即k =1,直线l 1:x =3,l 2:y =25,显然两直线垂直.若k ≠1,直线l 1,l 2的斜率分别为k 1=k k -1,k 2=1-k 2k +3.由k 1k 2=-1,得k =-3.综上k =1或k =-3,故选C.4.不论m 为何值时,直线(m -1)x +(2m -1)y =m -5恒过定点( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12B .(-2,0)C .(2,3)D .(9,-4)答案 D解析 由(m -1)x +(2m -1)y =m -5,得(x +2y -1)·m -(x +y -5)=0,由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y -1=0,x +y -5=0,得定点坐标为(9,-4),故选D.5.已知两点A (3,2)和B (-1,4)到直线mx +y +3=0的距离相等,则m 的值为( ) A .0或-12B.12或-6 C .-12或12D .0或12答案 B解析 依题意,得|3m +5|m 2+1=|-m +7|m 2+1.化简得8m 2+44m -24=0,所以2m 2+11m -6=0.所以m =12或m =-6,故选B.6.两条平行直线l 1:3x +4y -4=0与l 2:ax +8y +2=0之间的距离是________. 答案 1解析 由直线l 1:3x +4y -4=0与l 2:ax +8y +2=0平行,可得a =6,l 2的方程为3x +4y +1=0,两直线间的距离d =|c 1-c 2|A 2+B 2=|-4-1|32+42=1. 7.[2017·银川模拟]点P (2,1)到直线l :mx -y -3=0(m ∈R )的最大距离是________. 答案 2 5解析 直线l 经过定点Q (0,-3),如图所示.由图知,当PQ ⊥l 时,点P (2,1)到直线l 的距离取得最大值|PQ |=-2++2=25,所以点P (2,1)到直线l 的最大距离为2 5.8.[2017·江西八校联考]已知点P (x ,y )到A (0,4)和B (-2,0)的距离相等,则2x+4y的最小值为________. 答案 4 2解析 由题意得,点P 在线段AB 的中垂线上,则易得x +2y =3,∴2x+4y≥22x·4y=22x +2y=42,当且仅当x =2y =32时等号成立,故2x +4y的最小值为4 2.9.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值: (1)l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)由已知可得l 2的斜率存在,且k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1.∵l 1⊥l 2,∴直线l 1的斜率k 1必不存在,即b =0. 又∵l 1过点(-3,-1), ∴-3a +4=0,即a =43(矛盾),∴此种情况不存在,∴k 2≠0,即k 1,k 2都存在.∵k 2=1-a ,k 1=a b,l 1⊥l 2, ∴k 1k 2=-1,即a b(1-a )=-1.①又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +b +4=0.②由①②联立,解得a =2,b =2.(2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab=1-a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b ,④联立③④,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2.10.[2017·合肥模拟]已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2).求: (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标;(2)直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程; (3)直线l 关于点A (-1,-2)对称的直线l ′的方程. 解 (1)设A ′(x ,y ),由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413.∴A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413.(2)在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×a +22-3×b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0. (3)解法一:在l :2x -3y +1=0上任取两点,如M (1,1),N (4,3),则M ,N 关于点A (-1,-2)的对称点M ′,N ′均在直线l ′上, 易得M ′(-3,-5),N ′(-6,-7), 再由两点式可得l ′的方程为2x -3y -9=0. 解法二:∵l ∥l ′,∴设l ′的方程为2x -3y +C =0(C ≠1). ∵点A (-1,-2)到两直线l ,l ′的距离相等,∴由点到直线的距离公式,得|-2+6+C |22+32=|-2+6+1|22+32,解得C =-9, ∴l ′的方程为2x -3y -9=0.解法三:设P (x ,y )为l ′上任意一点, 则P (x ,y )关于点A (-1,-2)的对称点为P ′(-2-x ,-4-y ).∵点P ′在直线l 上,∴2(-2-x )-3(-4-y )+1=0, 即2x -3y -9=0.[B 级 知能提升](时间:20分钟)11.已知直线l 的倾斜角为34π,直线l 1经过点A (3,2),B (a ,-1),且l 1与l 垂直,直线l 2:2x +by +1=0与直线l 1平行,则a +b 等于( )A .-4B .-2C .0D .2答案 B解析 由题意知l 的斜率为-1,则l 1的斜率为1, ∴k AB =2--3-a=1,解得a =0.由l 1∥l 2,得-2b=1,b =-2,所以a +b =-2,故选B.12.[2017·绵阳模拟]若P ,Q 分别为直线3x +4y -12=0与6x +8y +5=0上任意一点,则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36=48≠-125,所以两直线平行,由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离,即|-24-5|62+82=2910,所以|PQ | 的最小值为2910. 13.[2017·淮安调研]已知入射光线经过点M (-3,4),被直线l :x -y +3=0反射,反射光线经过点N (2,6),则反射光线所在直线的方程为________________.答案 6x -y -6=0解析 设点M (-3,4)关于直线l :x -y +3=0的对称点为M ′(a ,b ),则反射光线所在直线过点M ′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b -4a --·1=-1,-3+a 2-b +42+3=0,解得a =1,b =0.又反射光线经过点N (2,6),所以所求直线的方程为y -06-0=x -12-1,即6x -y -6=0.14.已知直线l :x -2y +8=0和两点A (2,0),B (-2,-4).(1)在直线l 上求一点P ,使|PA |+|PB |最小; (2)在直线l 上求一点P ,使||PB |-|PA ||最大.解 (1)设A 关于直线l 的对称点为A ′(m ,n ),则⎩⎪⎨⎪⎧n -0m -2=-2,m +22-2·n +02+8=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-2,n =8,故A ′(-2,8).P 为直线l 上的一点,则|PA |+|PB |=|PA ′|+|PB |≥|A ′B |,当且仅当B ,P ,A ′三点共线时,|PA |+|PB |取得最小值,为|A ′B |,点P 即是直线A ′B 与直线l 的交点,解⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,x -2y +8=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =3,故所求的点P的坐标为(-2,3).(2)A ,B 两点在直线l 的同侧,P 是直线l 上的一点,则||PB |-|PA ||≤|AB |,当且仅当A ,B ,P 三点共线时,||PB |-|PA ||取得最大值,为|AB |,点P 即是直线AB 与直线l 的交点,又直线AB 的方程为y =x -2,解⎩⎪⎨⎪⎧y =x -2,x -2y +8=0,得⎩⎪⎨⎪⎧x =12,y =10,故所求的点P 的坐标为(12,10).。