医学统计学第四章多个样本均数比较的方差分析(第4章).

F0.01( 3,116) 3.98
结论:按=0.05水平，拒绝H0，接受H1，认为 四组均数的差异有统计学意义 ，不同剂量药 物对血脂中低密度脂蛋白降低有影响。
28
注意:
当拒绝H0，接受H1，不能说明各组总体均
数两两间都有差别，要进行多个均数间多 重比较。
当g
2时，t
F
2 / 2,
Xij=μ+Ti+eij i=1, 2, · · · , g j=1, 2, · · ·, n 12
sum of squares of deviations from mean ，SS
总离均差平方和
SS总
g ni
(X
i 1 j 1
ij
X)
2
组间离均差平方和(处理因素+随机误差)
14
mean square ，MS
MS组间 SS 组间 / 组间 MS组内 SS 组内 / 组内
组间变异 MS组间 F ≥１ 组内变异 MS组内
15
如果处理因素无作用：
组间变异＝组内变异 F =１ 如果处理因素有作用： 组间变异＞组内变异 F ＞１
F界值表
(附表3)
单侧
SS区组 1 2 ( X ij ) C g j 1 i 1
32
不同药物作用后小白鼠肉瘤重量(g)
区组 1 A药 0.82 B药 0.65 C药 0.51
X ij
i 1
g
1.98
2
3 4 5
X ij
j 1 n
0.73
0.43 0.41 0.68 3.07
0.54
0.34 0.21 0.43 2.17
0.23
0.28 0.31 0.24 1.57
18
19
第二节
完全随机设计资料的方差分析
20
一、完全随机设计 completely random design
甲处理（n1） 试验对象 （ N）
随机化分组 乙处理 （n2）
丙处理（n3）
各组例数可以相等或不等
21
例 为了研究一种降血脂新药的临床疗效, 按 统一纳入标准选择120名患者, 采用完全随机 设计方法将患者等分为4组进行双盲试验。
SS 组内 组内
MS组间 MS组内
组 内
SS总 SS组间
g ni
2 C ( X ) 校正数: ij / N i 1 j 1
25
三、分析步骤
H0: 1= 2= 3 = 4
H1: i不等或不全相等
=0.05
C ( X ij ) / N 324.30 / 120 876.42
处理因素
随机误差
区组因素
个体变异
测量误差
个体变异
总变异
区组间变异
随机误差
随机误差
组内变异
测量误差 个体变异
测量误差
35
随机区组设计资料方差分析公式
变异来源
g n
SS
2 ij
N－1 g－ 1
MS
F值
总变异
x C
i 1 j 1
1 g n 2 处理 间 ( X ij ) C n i 1 j 1 1 2 ( X ) C 区组间 ij g j 1 i 1
误 差
n g
SS 处理 MS处理 处理 MS误差 SS区组 区组
n－ 1
MS区组 MS误差
SS总 SS处理 SS区组
SS 误差 (n-1)(g-1) 误差
36
三、分析步骤
H0: 1= 2= 3
H1: i不等或不全相等
=0.05
g ni
C ( Xij ) / N 6.81 / 15 3.0917
10
试验效应：小鼠体重增加量
二、方差分析的基本思想(单因素) 组间变异 总变异 组内变异
11
三组战士行军后体温增加数(℃) 不饮水 定量饮水 不限量饮水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0 X i 1.6 X总 1.23 1.2 0.9
23
二、变异分解 处理因素 组间变异 随机误差
总变异
个体变异
测量误差
组内变异
随机误差
个体变异
测量误差
24
完全随机设计资料方差分析公式
变异来源
g
SS

2 ij
MS
F值
总变异
x
i 1 j 1
ni
ni
c
N－1
组 间

i 1
g
( x ij ) 2
j 1
ni
C g－ 1
N－g
SS 组间 组间
SS 组内 SS总 SS 组间 82.10 32.16 49.94 组内 N g 120 4 116
27
方差分析表 变异来源 SS MS F P 总 82.10 119 组间 32.16 3 10.72 24.93 ＜0.01 组内 49.94 116 0.43 附表3
2 2 i 1 j 1
g ni 2 SS 总 x ij C 3.6245 3.0917 0.5328 i 1 j 1
n 1 15 1 14
37
SS 处理
1 g n 2 ( X ij ) C n i 1 j 1
1 2 2 2 ( 3.07 2.17 1.57 ) 3.0917 0.2280 5 处理 g 1 3 1 2
2
种类
Ronald Aylmer Fisher 爵士（1890～1962）是 现代统计学的奠基人之 一。 他年青时在剑桥大 学主修数学，研究误差 理论、统计力学和量子 理论。 他对统计理论与方法的 主要贡献：相关系数的 抽样分布、方差分析、 实验设计原则。
3
第一节
方差分析的基本思想和应用条件
4
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 降血脂新 药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 降血脂新 2.86 2.28 2.39 2.28 药4.8g组 降血脂新 0.89 1.06 1.08 1.27 药7.2g组
n Xi
2.72 2.70 1.97
X
81.46 80.94 58.99
研究一种降血脂新药的临床疗效 研究对象：高血脂病人(120例)
处理因素：降血脂药物 水 平：服降血脂新药2.4g组 服降血脂新药4.8g组 服降血脂新药7.2g组 安慰剂组 试验效应：低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
8
4个处理组低密度脂蛋白测量值
分 组 低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
n Xi
2.72 2.70 1.97
X
81.46 80.94 58.99
X
2
… … … …
2.59 30 2.31 30 1.68 30 3.71 30
3.43 102.91
367.85 233.00 225.54 132.13
958.52
合 计
120 2.70 324.30
Xij=μ+Ti+eij
当 1时，单侧F(1, ) 双侧t
29
第三节
随机区组设计资料的方差分析
30
一、 随机区组设计 randomized block design
又称配伍组设计
是配对设计的扩大 先按影响实验结果的非处理因素(如性别、 体重、年龄、职业、病情、病程等)将受试对 象配成区组，再分别将区组内的受试对象随 机分配到各处理组或对照组。
1 组间 2 组内
F F0.05, 1 , 2， P 0.05。
说明处理因素对实验结果有影响
16
17
三、应用条件
1.各样本是相互独立的随机样本； 2.各样本数据均服从正态分布；
3.相互比较的各样本的总体方差相等，
即方差齐性(homogeneity of variance)。
完全随机设计分组结果
编 号
随机数 序 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … 119 120 220 634 16 甲 75 丙 260 873 373 204 056 930 160 905 886 958 24 甲 106 丁 39 乙 15 甲 3 甲 114 丁 13 甲 109 108 117 丁 丁 丁
百度文库
X
2
… … … …
2.59 30 2.31 30 1.68 30 3.71 30
3.43 102.91
367.85 233.00 225.54 132.13
958.52
合 计
120 2.70 324.30
9
多因素实验
研究饲料中脂肪含量高低、蛋白含量高低对
小鼠体重的影响
研究对象：小白鼠
处理因素：含脂肪饲料、含蛋白饲料 水 平：脂肪含量 蛋白含量 高 高 低 高 低 低
SS组间 n i ( X i X) 2
i 1 g
组内离均差平方和(随机误差)
SS组内 ( X ij X i )
i 1 j 1 g ni 2
13
SS总 SS 组间 SS 组内 总 组间 组内 总 N 1 组间 g 1 组内 N g
第四章
多个样本均数比较的
方差分析
Analysis of Variance
第二军医大学卫生统计学教研室
张罗漫
1
方差分析由R.A.Fisher(英)首创，又称F检验
缩写：ANOVA
用途
比较某实验(处理)因素不同水平样本均 数间差别有无统计学意义，从而说明该实验 因素某水平是否有作用的方法。 根据实验因素的数量分为： 单因素方差分析 多因素(两因素及以上)方差分析
2 2 i 1 j 1 g ni
SS总 x c 958.52 876.42 82.10
i 1 j 1 2 ij
g
ni
n 1 120 1 119
26
SS 组间
i 1 2
g
( x ij )
j 1
ni
2
ni
2
C
2 2
102.91 81.46 80.94 58.99 876.42 32.16 30 组间 g 1 4 1 3
一、名词解释
处理因素和水平 研究者对研究对象人为地施加某种干预措施， 称为处理因素(factor)或实验因素； 处理因素所处的不同状态称为水平(level)。 处理因素的水平数≥2，即实验的组数。
5
三组战士行军后体温增加数(℃)
不饮水 定量饮水 不限量饮水 1.9 1.4 0.9 1.8 1.2 0.7 1.6 1.1 0.9 1.7 1.4 1.1 1.5 1.1 0.9 1.6 1.3 0.9 1.3 1.1 0.8 1.4 1.0 1.0
区组号
小白鼠 随机数
1
1
2 3 4
2
5 6 7
3
8 9
4
5
10 11 12 13 14 15
68 35 26 00 99 53 93 61 28 52 70 05 48 34 56
序 号
结果
3
2
1
1
3
2
3
2
1
2
3
1
2
1
3
丙 乙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 甲 乙 丙 甲 乙 甲 丙
34
二、变异分解 处理间变异
将区组间变异从组内变异中分离出来，减少
了组内变异，提高了统计检验效率。
31
例：比较三种抗癌药物对小白鼠肉瘤抑瘤效果 处理因素：抗癌药物（A、B、C） 实验对象及例数：染肉瘤小白鼠15只 实验效应：肉瘤重量 控制因素：小白鼠体重 实验设计：随机区组设计 方法：将体重相近的3只小白鼠配为一个区 组，共5个区组；在区组内随机分配 处理因素。
1.50
1.05 0.93 1.35 6.81
2 X ij j 1
n
Xi
0.614
2.0207
0.434
1.0587
0.314
0.5451
0.454
3.6245
33
Xij=μ+Ti+Bj+eij
例 如何按随机区组设计，分配5个区组的15只 小白鼠接受甲、乙、丙三种抗癌药物？ 5个区组小白鼠按随机区组设计分配结果
Xi
1.6
1.2
0.9
处理因素：饮水方式
水平数=3
6
单因素实验 实验中的处理因素只有一个，这个处理因素 包括g(g≥2)个水平，分析不同水平实验结果的 差别是否有统计学意义。
多因素实验 实验中的处理因素≥2，各处理因素的水平≥2 ，分析各处理因素各水平的实验结果有无差 别、有无交互作用。
7
单因素实验
结果
1~30 甲
31~60 乙
61~90 丙
91~120 丁
22
4个处理组低密度脂蛋白测量值
分 组 低密度脂蛋白测量值(mmol/L)
安慰剂组 3.53 4.59 4.34 2.66 降血脂新 药2.4g组 2.42 3.36 4.32 2.34 降血脂新 2.86 2.28 2.39 2.28 药4.8g组 降血脂新 0.89 1.06 1.08 1.27 药7.2g组