陕西省石泉县后柳中学人教版九年级数学上册课件：242直线和圆的位置关系(第2课时)(共18张PPT)
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课件2
A
EB
F O
D
G
C
同学们，再见！
3. 点P在⊙O外
A
O
M
P
B
作法：连接OP,
①作线段OP的中点M； ②作以M为圆心，OM长为半径的 ⊙ M ,与⊙O交于A,B两点； ③作直线PA,PB，则直线PA,PB即
为⊙O的两条切线.
作图依据？
作图依据： ①直径所对的圆周角是直角; ②经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线; ③两点确定一条直线.
解：∵ ⊙O是△ABC的内切圆.
例1 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.
圆外一点引圆的两条切线 若AB=10， CA=17， BC=21. 可证四边形CDOF是正方形.
A l
其中a，b为直角三角形的直角边长；
线段PA,PB的长就叫点P到⊙O的切线长.
如图从圆外一点P引圆的两条切线PA，OPB，切点分别为A,B. P
锐角三角形的外心在形内；
锐角三角形的外心在形内；
切线长定理的证明及三种语言表达
在与三角形外接圆比较中加深对内切圆的理解
多边形的边都与圆相切叫“切”.
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
A
O P
CB
3.如图，AB，BC， CD分别与⊙O相切于E，F, G三点，且 AB∥CD，BO=6cm，CO=8cm.求BC的长.
B
， ， 设 OP与⊙O的交点分别为H G CN, 角平分线BM、CN的交点记为I；
由BD+CD=BC，得
还能得什么结论？
圆外一点引圆的两条切线
点P在⊙O上，过P点，可以作圆的一条切线；
其中a，b为直角三角形的直角边长；
人教版九年级数学上册：24.2.2 直线和圆的位置关系 课件(共29张PPT)
2.如图2，△ABC中，AB=AC，O是BC的中点，以O为 圆心的圆与AB相切于点D， 求证：AC是⊙O的切线。
C
A
小组合作:
1、独立思考；
D
E
A
. O
B
D B
2、小组成员相互交
E
流；
3、在小黑板写出证
·O
C
明过程（不需再画 图）；
4、小组成果展示。
图1
图2
奉天府（今沈阳）的名吃有一道叫窟窿烧饼，这好好 的烧饼为啥中间挖了个大窟窿？中间挖了个窟窿是为了熟 得快、好拿，还是占奸取巧？中间挖掉一块，几个烧饼的 面还能再做一个。帐就怕细算，不算不知，一算吓一跳， 一年下来，这卖烧饼的掌柜能多赚千斤面的钱。真是无奸 不商！据说窟窿烧饼的面积等于切于大圆的弦为直径的圆 的面积，大家知道这是怎么一回事吗？
解：（1）∵∠BOC=90°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， 又BE与BF为⊙O的切线， ∴BO为∠EBF的平分线，
∴∠OBE=∠OBF，
同理可得∠OCF=∠OCG， ∴∠OBE+∠OCG=90°， ∴∠OBC+∠OCB+∠OBE+
∠OCG=180°， 即∠ABF+∠DCF=180°， ∴AB∥CD；
内含
d<R-r
对称性
都
是结
轴 对 称
论 ：
图相
形切
， 其 对 称 轴 是
时 ， 切 点 在
：连
两心
圆线
连上
心
线
三.直线与圆的位置关系
d：圆心到直线的距离
r ●O ┐d
相交
割线
r ●O
d ┐
相切
切线
人教版九年级上册课件 24.2.2 直线和圆的位置关系(共30张PPT)
3.判断:若直线和圆相切,则该直线 和圆一定有一个公共点.( √ ) 4.等边三角形ABC的边长为2,则以A 为圆心,半径为1.73的圆与直线BC 的位置关系是 相离 ,以 A为 3 圆心, 为半径的圆与 直线BC相切.
小结：
图形 直线与圆的 位置关系
．Ｏ r d ┐ l ．ｏ d r ┐ l .
总结：
两 种： 判定直线 与圆的位置关系的方法有____ （1）根据定义，由_____________ 直线 与圆的公共点 的个数来判断； 圆心到直线的距离 d与半径r （2）根据性质，由_________________ 的关系来判断。
在实际应用中，常采用第二种方法判 定。
大家动手,做一做 (1)、已知⊙O的直径是11cm，点O 到直线a的距离是5.5cm，则⊙O与 直线a的位置关系是 ____;直线a与 ⊙O的公共点个数是____. (2)、已知⊙O的直径为10cm，点 O到直线a的距离为7cm，则⊙O 与直线a的位置关系是 ___ _; 直线a与⊙O的公共点个数是 ____。
(3)、直线m上一点A到圆心O的距 离等于⊙O的半径， 则直线m与⊙O的位置关系 是 。 小结:利用圆心到直线的距离 与半径的大小关系来判定直线 与圆的位置关系
例题2 : 已知⊙A的直径为6，点A 的坐标为（-3，-4），则X轴与⊙A 的位置关系是_____, Y轴与⊙A的 位置关系是______。 Y
5
D
3
A
例: Rt△ABC,∠C=90°AC=3cm， 解：过C作CD⊥AB，垂足为D。 在Rt△ABC中， BC=4cm，以C为圆心，r为 2 2 = 2 2 半径的圆与AB所在的直线有 AB= 怎样的位置关系？为什么？ =5（cm） （1）r=2cm；（2）r=2.4cm 根据三角形面积公式有 (3)r=3cm。 CD· AB=AC· BC
人教版九年级数学第24.2.2 ：直线和圆的位置关系课件
●O
C
A
D
切线判定定理：
①过半径外端; ②垂直于这条半径.
切线性质定理：
①圆的切线; ②过切点的半径.
O
切线
l
A
切线垂直于半径
我是小法官：
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
O l
r
A
O r
l
A
O l
r
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线与这半径垂直。
我是应用高手：
例 已知：△ABC 为等腰三角形，O 是底边 BC 的
中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D.
A
求证： AC 是⊙O 的切线．
D
E
B
O
C
1、判定直线与圆相切有哪些方法？
安全总动员：
课间打闹容易让自己或者对方造成伤害， 影响其他同学休息，让同学们处于兴奋状态， 在下节课无法更好的接收知识。同学们要提 高安全意识，培养文明习惯。遵守班级相关 的安全纪律，规范和约束自己的课内外活动 的行为，杜绝在危险的地方(如楼道里、楼梯 口、窗台口、课桌椅上)，或使用有危险性的 器具(如棍棒、刀具)追逐打闹。
继续探究：
直线l与⊙O相切于点A，那么半径 OA l 吗？
切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径. 反证法：
（1）假设直线l与OA不垂直．
（2）作OB⊥ l，垂足为点B．
O
（3）因为OB＜OA，即d ＜ r．
（4）所以，直线l与圆相交，
人教版九年级数学上册直线和圆的位置关系精品ppt课件
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
归纳分析
例1与例2的辅助线、证法有何不同?
〖例1〗已知：直线AB经过 ⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。 求证：直线AB是⊙O的切线。
O
A
C
B
〖例2〗已知：O为∠BAC平分上
人教版九年级数学上册直线和圆的位 置关系 精品ppt 课件
判 断×
×
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） ×
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ）
3. 过l 半径的rO 端点与半径垂直rO的直线l 是圆的切线rO（
l）
A
A
A
利用判定定理时，要注意直线须具备以 下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端; (2)直线垂直于这条半径。
O.
那过点O可作OB⊥ l 于点B,
则OA为直角三角形的斜边，
AB l
OB的长就是圆心0到切线l的距离,即OA=OB，
这与“直角三角形的斜边大于直角边”相矛盾，
所以半径OA与切线 l 不垂直的假设不成立。
那半径OA与切线 l 垂直成立。
人教版（ 九2年01级2）数九学年上级册数直学线上和册圆的位24置.2关.2系直线精和品圆pp的t 课位件置关系（2） 课件（25张ppt）
九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系（2）
切线的判定与性质
直线和圆相切
．
O
切
切点 A
线
利用切线的定义: 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
利用d与r的关系作判断: 当d＝r时直线是圆的切线。
陕西省石泉县后柳中学人教版九年级数学上册课件：242直线和圆的位置关系复习(共17张PPT)
补充习题:如图，如图，已知PA、PB分别切⊙O于A 、B，直线 OP交⊙O 于、D,交AB于E，AF为⊙O直 径.
（1）请尽可能多的写不同类型的正确结论. 证明其 中一个。
（2）若∠AOP=60°，CE=2，求PA长.
⊙O切于C，AD⊥CD于D交⊙O于E.
求证：AC平分∠DAB
D
E
C
说明：
A
。
B
O
①见切点，连半径，得垂直.
②过圆心，过切点，垂直于切线二推一
五、切线长
1、什么是切线长定理？ 2、什么是三角形的内心？如何做三角形的内
心？它有什么性质？
练习：
1、如图， △ABC的内切圆切三边分别为D、E、F，
若AB=12，BC=11，AC=9，则AE= . 当内
位
置 关
切线的判定及性质
系
切线长定理及推论
三角形外接圆
（外心） （外心）
三角形内切圆
（内心）
一：点与圆的位置关系
1、点和圆的位置关系有几种？
(令OP=d,半径为r )
2、什么是三角形外心？如何做任意三角 形的外心？它有什么性质？
抢答题
1．已知⊙O的半径r，圆心O到直线l的距离为d， 当d＝r时，直线l与⊙O的位置关系是（ ） A．相交 B．相切 C．相离
切圆的半径r=m时，则△ABC的面积为
.
A
F
E
B
DC
小结
本节课你有什么收获？
当堂检测
1.如图，△ ABC内接于⊙O ， AD为∠BAC 的平分线，DE∥BC.
求证： DE为⊙O 的切线. A
·O
B
C
D
E
2、如图，已知，O为∠MPN的平分线 OC上一点，⊙O切PN于E. 求证：PM为⊙O 的切线.
人教版九年级上册24.2.2直线和圆的位置关系课件2
O
T
l
OT⊥l于T
探索性质
问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能 作出切点A吗？
O
TA
l
∵OT⊥l于T，这里又有OA⊥l于A， ∴垂足T就是切点A.
结论1：
文
经过圆心 且垂直于 切线的直 线一定经 过切点.
探索性质
图
式
∵直线l与⊙O相切
O
（直线l是⊙O的切
线），l⊥OA于A，
A
l
∴点A为切点.
（1）求证：AC∥ED ;
∵D是 A⌒C的中点，
∴ A⌒D =
⌒ CD
，
∴∠2 = ∠3， 又∵OA = OC，∴OD⊥AC， E
D
C
1
42
3
A
O
B
例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是
⌒ AC
的中
点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（1）求证：AC∥ED ;
∵D是 A⌒C的中点，
O
问2：如图，已知⊙O的切线l，但切点未知，你能作出切点A吗？
探索性质
（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.
圆的切线垂直于过切点的半径.
A
CB
布置作业
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点
O在AB上，OB = 2，以OB为半径的⊙O与AC相切
于点D，交BC于点E，求弦BE的长.
4
2 3
E
A
O
B
例2.如图，AB为⊙O的直径，AC是弦，D是
⌒ AC
的中
点，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E.
（2）若OA = AE = 4，求弦AC的长.
人教版九年级数学上册课件24.2.2直线和圆的位置关系(第二课时)
课堂小结
• 1、切线的判定方法； • 2、切线的作法； • 3、常见辅助线； • 4、切线的性质。
作业：
• 课本P习题24.2第4、14题
问题
1.当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向 是什么方向？
2.砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
请在⊙O上任意取一点A，连接OA。过点A
作直线 l⊥OA。思考一下问题：
1. 圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么
数量关系? 2. 直线L和⊙O位置有什么关系？为什么？ 3. 由此你发现了什么？
OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作
⊙O。
求证：⊙O与AC相切。
A
证明：OE＝OD
即圆心O到AC的距离 d = r
∴ AC是⊙O切线。
D
B
O
E C
辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.
归纳分析
例1与例2的证法有何不同?
D
B
O A
O
A
C
B
E C
半径OA与直线L是不
.O
是一定垂直呢?
一定垂直
切线的性质定理:
L A
圆的切线垂直于过切点的半径
如图，AB是⊙ O 的直径，BC是O ⊙的切线，C若 OC=AB，则∠C的度数为（ ） A.15 ° B. 30 ° C.45 ° D. 60 °
A
B
O
练习：
2.求证：经过直径两端点的切线互相平行
已知：如图，AB 是⊙O的直径， AC、BD是⊙O的切线. 求证: AC∥BD
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
人教版九年级上册 数学 课件 24.2.2 直线与圆的位置关系(共24张PPT)
A d
C
O
点在圆外 点在圆上 点在圆内
位置关系
B
点到圆心距离为d ⊙O半径为r
d>r; d=r； d<r.
数量关系
相关知识点回忆
直线外一点到这条 直线的垂线段的长 度叫点到直线的距 离。
.A
D
a
把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线,注
意观察直线与圆的公共点的个数
(3) 当 r = 2.5时，有 d = r ，因此⊙M 和直线 OA 相切.
例题的变式题
如图:M是OB上的一点,且OM =5 以M为圆心,半径
r=2.5作⊙M. 试问过O的射线 OA与OB所夹的锐角a取
什么值时射线OA与 ⊙M
A
（1）相离 (2)相切
(3)相交 ? C
解: 过 M 作 MC⊥OA 于 C 1)当∠a = 30°时,d=r=2.5 O a
d=r
当m=-8时原方程 为x2+ 2x+1=0
x1=x2= -1 (不符合题意舍去)
当m=0时原方程 为9x2- 6x+1=0
∴ x1=x2=
1 3
m=0
b2－4ac=0
[-(m+6)]2－4(m+9)=0
已知⊙O的半径r=7cm,直线l1 // l2,且l1与⊙O相切,圆心O到l2的距离 为9cm.求l1与l2的距离m.
3、圆心O到直线的距离等于⊙O的半径，则直线
和⊙O的位置关系是（ C ）：
A．相离 B.相交 C.相切 D.相切或相交
4、已知⊙O的半径为5, 圆心O到直线AB的距 离为d, 根据条件填写d的范围:
1)若AB和⊙O相离, 则
人教版数学九年级上册教学课件 24.2 直线和圆的位置关系(2)
人教版数学九年级上册教学课件 24.2 直线和圆的位置关系(2) 教学目标1．能判定一条直线是否为圆的切线．2．会过圆上一点画圆的切线．3．会作三角形的内切圆．重难点重点：探索圆的切线的判定方法，并能运用．作三角形内切圆的方法．难点：探索圆的切线的判定方法．教学过程一、复习引入上节课我们学习了直线和圆的位置关系，圆的切线的性质，懂得了直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．判断直线和圆属于哪一种位置关系，可以从公共点的个数和圆心到直线的距离与半径作比较两种方法进行判断，还掌握了圆的切线的性质、圆的切线垂直于过切点的直径．由上可知，判断直线和圆相切的方法有两种，是否仅此两种呢？本节课我们就继续探索切线的判定条件．二、探索新知1．探索切线的判定条件如下图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角∠α，当l绕点A旋转时，(1)随着∠α的变化，点O到l的距离d如何变化？直线l与⊙O的位置关系如何变化？(2)当∠α等于多少度时，点O到l的距离d等于半径r？此时，直线l与⊙O有怎样的位置关系？为什么？大家可以先画一个圆，并画出直径AB，拿直尺当直线，让直尺绕着点A移动．观察∠α发生变化时，点O到l的距离d如何变化，然后互相交流意见．(1)如上图，直线l1与AB的夹角为α，点O到l的距离为d1，d1＜r，这时直线l1与⊙O 的位置关系是相交；当把直线l1沿顺时针方向旋转到l位置时，∠α由锐角变为直角，点O 到l的距离为d，d＝r，这时直线l与⊙O的位置关系是相切；当把直线l再继续旋转到l2位置时，∠α由直角变为钝角，点O到l的距离为d2，d2＜r，这时直线l与⊙O的位置关系是相离．回答得非常精彩．通过旋转可知，随着∠α由小变大，点O到l的距离d也由小变大，当∠α＝90°时，d达到最大．此时d＝r；之后当∠α继续增大时，d逐渐变小．第(2)题就解决了．(2)当∠α＝90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切，因为从上一节课可知，当圆心O到直线l的距离d＝r时，直线与⊙O相切．从上面的分析中可知，当直线l与直径之间满足什么关系时，直线l就是⊙O的切线？请大家互相交流．直线l垂直于直径AB，并经过直径的一端A点．很好．这就得出了判定圆的切线的又一种方法：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．2．做一做已知⊙O上有一点A，过A作出⊙O的切线．分析：根据刚讨论过的圆的切线的第三个判定条件可知：经过直径的一端，并且垂直于直径的直线是圆的切线，而现在已知圆心O和圆上一点A，那么过A点的直径就可以作出来，再作直径的垂线即可，请大家自己动手．如下图．(1)连接OA．(2)过点A作OA的垂线l，l即为所求的切线．3．如何作三角形的内切圆．如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．分析：假设符号条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．⊙I就是所求的圆．由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID ＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．因此和三角形三边都相切的圆可以作出一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．4．例题讲解如下图，AB是⊙O的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB．求证：AT是⊙O的切线．分析：AT经过直径的一端，因此只要证AT垂直于AB即可，而由已知条件可知AT＝AB，所以∠ABT＝∠ATB，又由∠ABT＝45°，所以∠ATB＝45°．由三角形内角和可证∠TAB＝90°，即AT⊥AB．请大家自己写步骤．证明：∵AB＝AT，∠ABT＝45°．∴∠ATB＝∠ABT＝45°．∴∠TAB＝180°－∠ABT－∠ATB＝90°．∴AT⊥AB，即AT是⊙O的切线．五、归纳小结本节课学习了以下内容：1．探索切线的判定条件．2．会经过圆上一点作圆的切线．3．会作三角形的内切圆．4．了解三角形的内切圆，三角形的内心概念．六、作业习题已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．求证：DC是⊙O的切线．分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．证明：连结OD．∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切线．。
人教新课标版初中九上ppt直线和圆的位置关系(2)课件
新人教新课标版九年级(上) 2422直线和圆的位置关系(2)复习旧知：1、直线和圆的位置关系有几种？2、判定直线与圆的位置关系的方法有两种？思考：如图，在oo中，经过半径OA的外端点A作直线I丄OA,则圆心O到直线I的距离是多少？直线I和OO 有什么位置关系？可以看出，这时圆心O到直线I 的距离就是OO的半径f这时直线I 就是OO的切线.归纳：切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.反过来,可以得到切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.思考：1.下雨天，转动的雨伞上的水滴是顺着伞的什么方向飞出去的？2、砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞出去的？例1、如图,"ABC为等腰三角形，AB=AC , O是底边BC 的中点，腰AB与OO相切于点D.求证:AC与OO相切.AB 切0O 于D ,/.OD 丄ABf .-.zODB=zOEC=90°f 又• O 是BC 的中点， . .OB=OC ,AB=AC ,/.zB=zC ,. .△OBD 雯9CE ,. .OE 二OD ,即OE 是G)O 的半径. ..AC 与OO 相切。
证明：连结OD ,过点O 作OE 丄AC 于点 E ,A归纳：在解决有关圆的切线问题时经常添力啲辅助线:1、连接圆心和切点.2、( 1)连接圆心和圆上一点，证垂直，得切线.(2 )作垂直，证垂线段等于半径，得切线.跟踪练习：!■、判断题：(1)垂直于圆的半径的直线一定是这个圆的切线•( J⑵过圆的半径的外端的直线一定是这个圆的切线•( ) x2、以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是直角三角形.3、如图，直线AB经过0O上的点C ,并且OA二OB , CA=CB.霞難严的切线.OA=OB , CA=CB fAOAB是等腰三角形f OC是底边上的中线. .OC 丄AB f•••AB是OO的切线.4、已知：AB 是G)O 的直径，ZABT 二45。
人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系(共15张PPT)PPT教学课件
分析：求CD的长。
B
a、以C为圆心，半径为2cm的圆与
AB有怎样的位置关系？为什么？
b、决定直线与圆的位置关系的关键
是什么？从而得出关键是把圆心
C到直线AB的距离d求出来，即
Rt△ABC斜边上的高。
C
D A
解：过 C作CD AB ，垂足为 D， 在RtABC 中
AB AC 2 BC 2 32 42 5 根据三角形面积公式有
•O
•O
•O
┓
l
┓
lA
DB
┓
l
A
A
d=r
d<r
d>r
l为圆的切线
l为圆的割线
⑴直线l与⊙O相离d>r ⑵直线l与⊙O相切d=r ⑶直线l与⊙O相交d<r
符号读作“等价于”表示从左 端可推出右端，并且从右端也可 以推出左端。
例1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm， BC=4cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有 怎样的位置关系？为什么？
CD • AB AC • BC
CD AC • BC 3 4 2.4(cm )
AB
5
即圆心 C到AB 的距离 d 2.4cm
⑴当r=2cm时，有d>r，因此⊙C和AB相离； ⑵当r=2.4cm时，有d=r，因此⊙C和AB相切； ⑶ 当r=3cm时，有d<r，因此⊙C和AB相交。
B
B
B
D
小结：直线和圆的位置关系
直线和圆的 位置关系
公共点 的个数
公共点 的名称
圆心到直线的 距离d与半径r
的关系
直线 名称
相交
相切
相离
PPT教学课件
谢谢观看
人教版数学九年级上册24.直线和圆的位置关系(第2课时)课件
O.
图1
图2
猜猜看：图2中直线l与⊙O由怎样的位置关系？
相切的语言把这一结论总结出来吗？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直
线是圆的切线
符号表示： ∵OA是⊙O半径，l⊥OA于点A， ∴l是的⊙O切线.
及时练
问题：定理中的两个条件缺少一个行不行?
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ ×） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ×）
03
练习
例1
如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与 ⊙O相切于点D. 求证：AC是⊙O的切线.
分析：根据切线的判定定理，要证明AC是 ⊙O的切线，只要证明由点O向AC所作的垂 线段OE是⊙O的半径就可以了，而OD是的 半径，因此需要证明OE=OD.
例1
证明：如图，过点 O 作 OE⊥AC，垂足为 E，连接 OD，OA. ∵⊙O 与 AB 相切于点 D， ∴OD⊥AB. 又为等腰三角形，O 是底边 BC 的中点， ∴AO 是∠BAC 的平分线. ∴OE=OD，即 OE 是⊙O 的半径. 这样，AC 经过⊙O 的半径 OE 的外端 E，并且垂直于半径 OE，所以 AC 与⊙O 相切.
1.要解决此问题用什么方法？ 切线的判定定理 2.AB要具备哪些条件？ 经过半径的外端并且垂直于这条半径 3.连接OB就使AB过半径的外端，只需证明 OB⊥AB即可，如何证明呢？
例
常用证两条 线段（或直 线）垂直的 方法
例
证法1：连接OB ∵OB=OC,CA=OC ∴BC= 1 OA
2
∴ ∠OBA=90º， 即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
反证法：假设AB与OC不垂直， 则过点O作OM⊥AB，垂足为M， 根据垂线段最短，得OM<OC， 即圆心O到直线AB的距离d<R ∴直线AB与⊙O相交， 这与已知“AB是⊙O的切线”矛盾 ∴假设不成立，即AB⊥OC.
人教版九年级数学上24.2.2直线和圆的位置关系(2切线的判定定理)(17PPT)
∴∠OBA=90º 即AB⊥OB 故∠CBA+∠OBC=90º，即
∴AB是⊙O的切线
AB⊥OB
∴AB是⊙O的切线
-12-
练习1. 已知：如图6，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD=OB,点C在⊙O上， ∠CAB=30º 求证：DC是⊙O的切线。
图6
-13-
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教 育好， 他就不 能发展 培养和 教育别 人。202 1年8月 10日星 期二20 21/8/1 02021/ 8/10202 1/8/10
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15、一年之计，莫如树谷；十年之计 ，莫如 树木； 终身之 计，莫 如树人 。2021 年8月20 21/8/1 02021/ 8/10202 1/8/10 8/10/20 21
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16、提出一个问题往往比解决一个更 重要。 因为解 决问题 也许仅 是一个 数学上 或实验 上的技 能而已 ，而提 出新的 问题， 却需要 有创造 性的想 像力， 而且标 志着科 学的真 正进步 。2021/ 8/1020 21/8/10 August
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17、儿童是中心，教育的措施便围绕 他们而 组织起 来。202 1/8/10 2021/8/ 102021 /8/102 021/8/1 0
∴OB=OC=CB=CA
∴∠OCB=∠OBC=60º
图4
∴∠CBA= ∠OCB=30º
故∠CBA+∠OBC=90º，即AB⊥OB ∴AB是⊙O的切线
-11-
例1:
图4
证明一：连接OB
∵OB=OC,CA=OC
∴BC= OA
图5
证明二：连接OB ∵OB=OC,BC=OC,CA=OC ∴OB=OC=BC=CA ∴∠OCB=∠OBC=60º
人教版九级数学上册2422 直线和圆的位置关系 2(实用资料)ppt
1.掌握切线长定理； 2.了解三角形的内切圆及内心； 3.体会分类讨论及数形结合的思想； 4.体验探索数学的乐趣.
温故知新
已知⊙O外一点P，O′为OP 的中点， 以OP为直径的 ⊙O′与⊙O交于A、B两点。
O
A
· ·O′ p
B
求证：直线PA、PB为⊙O的切线.
辅助线
基础概念
切
A
线
长
定
义
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
作业本：课本P101，习题24.
∵PA、PB是⊙O的两条切线， B 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
作∠B、∠C的平分线BM和CN，交点为O。 已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
么关系？ 解：∵点O是△ABC的内心，
李师傅在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积1最大。
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点连成的弦；
解：∵点O是△ABC的内心，
O
M2
P
3．以O为圆心，OD为半径作⊙O.
证明：连接OA、OB， 三角形的内心是指什么？
∴OP⊥AB，且OP平分AB
∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）
已知：⊙O的半径为3厘米，点P和圆心O的距离为6厘米，经过点P作⊙O的两条切线，求这两条切线的夹角及切线长．
∵ PA、PB是⊙O的切线，
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E
证明：过圆心0作OC⊥DE于C
∵ ∠ADE=30°,
∴OC=
1 2
OD.
A
又∵ BD=OB,∴OC＝OB.
即OC为⊙O的半径.
又∵OC⊥DE,
∴DE是⊙O的切线.
C
30°
O
B
D
切线的性质定理：圆的切线垂直 于过切点的半径。
∵L是圆O的切线，
切点为A
.O
∴OA⊥ L
L A
练习二
1、如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，若
图形
直线与圆的 位置关系
公共点的个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r的关系
公共点的名称 直线名称
．Ｏ r d┐ l
相离
0
d>r
．ｏ
．O
d .┐r l
A
. r ┐d .
B
lCБайду номын сангаас
相切 相交
1
2
d=r 切点 切线
d<r 交点 割线
问题1：下雨天，转动的雨伞上的水滴是 顺着伞的什么方向飞出去的?
问题2：砂轮转动时，火花是沿着砂轮的什么方向飞 出去的?
∠A=600，点P是圆上异于B、C的一动点，
则∠BPC的度数是（ ）
A、600
B
B、1200
O
C、600或1200 P
A
D、1400或600
C
课堂小结
判定定理：
①过半径的外端点 ②垂直于这条半径
切线
性质定理：
①圆的切线 ②过切点的半径。
切线垂直于半径
证明切线时常用辅助线：
1、有点连圆心，证垂直 2、无点做垂线，证相等
线交于点C且 AD=DC则角 4 5 0 ABD= 。
A
O D
C
B
4.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O
交边BC于P， PE⊥AC于E,
A
求证:PE是⊙O的切线. 证明：连结OP
∵AB=AC,∴∠B=∠C ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB
O
E
B
PC
∴∠OPB=∠C
∴OP∥AC
∵PE⊥AC
OT是半径 OT⊥AB
∴直线AB是切线
①（OT）过圆心 ②垂直于直线（切线）
③是切线（过切点)
1、如图，已知：O为∠BAC平分线上一
点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径
作
⊙O。求证：⊙O与AC相切。
A
DB O
EC
2.如图, A、B是⊙O上的两点,AC是过A点
的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当
练习一
1.直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线.
①过半径外端 ②垂直于这条半径。
辅助线： 有切点连圆心，证垂直
切线的判定定理：经过半径外端点并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线．
∵直线AB 经过⊙O上的T点
OT⊥AB
O
∴直线AB是⊙O的切线
这个命题的题设与结论分别是什么？A T B
24.2.2直线与圆的位 置关2
-----切线
学习目标
1、通过动手操作掌握圆的切线的判定定理 和性质定理。 2、会运用定理进行证明和计算。
自学指导
自学教材P97-98，思考下列问题：
1、过圆上一点可以做圆的几条切线？你是怎么做的？ 由此你能得出圆的切线的判定方法吗？如何用符号语 言表示； 2、如果直线l是圆O的切线，切点为A，那么半径OA与l 有怎样的位置关系？如何用符号语言表示。 3、P98例1OD⊥AB的依据是什么？OD=OE的依据是 什么？ 4、完成P98练习。
当堂检测
１如图, PB切⊙O于点B， PB=4,PA=2,则⊙O的半径多 少？
r=3
B OA P
2 如图：PA,PC分别切⊙ O于
点A,C两点,B为⊙ O上与A,C
C
不重合的点,若∠P=50°,则
∠ABC= 65°或 115。°
B
O
P
A
3、已知，如图在e o中，AB为直径，
AD为弦，过B点的切线与AD的延长
∴PE⊥OP
∴PE为⊙0的切线
作业布置
A组：教材P101第6、12题， <新学案>P101变式练习 P101-102能力提升
B组：教材P101第6题， <新学案>P101变式练习 P101-102能力提升1-6题
∠CAB的度数等于__6_0_°__时,
A
AC才能成为⊙O的切线.
0
C
B
3.已知：如图，AB为⊙O的直径，AD为弦， ∠DBC =∠A.
请问BC是⊙O的切线吗？为什么？
C D
E
B
A
O
4.如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
且BD=OB，过点D作射线DE，使∠ADE=30°,
求证：DE是⊙O的切线.