中考数学精练精析 第二十三讲 相似知能综合检测 北师大版(1)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合 》(含答案)
2020年九年级中考数学复习专题训练：《相似综合》1．如图1，点P从菱形ABCD的顶点B出发，沿B→D→A匀速运动到点A，BD的长是；图2是点P运动时，△PBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．（1）点P的运动速度是cm/s；（2）求a的值；（3）如图3，在矩形EFGH中，EF＝2a，FG﹣EF＝1，若点P、M、N分别从点E、F、G三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，当点M到达点G（即点M与点G重合）时，三个点随之停止运动；若点P不改变运动速度，且点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，在运动过程中，△PFM关于直线PM的对称图形是△PF'M，设点P、M、N的运动时间为t（单位：s）．①当t＝s时，四边形PFMF'为正方形；②是否存在t，使△PFM与△MGN相似，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．2．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝6，动点P从点A出发以1个单位/秒的速度沿AB运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度沿CB 运动，过点P作EP⊥AB，交BD于E，连接EQ．当点Q与点B重合时，两动点均停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当t＝1时，求线段EP的长；（2）运动过程中是否存在某一时刻，使△BEQ与△ABD相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由；（3）如图2，连接CE，求运动过程中△CEQ的面积S的最大值．3．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C 重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．4．如图（1），在矩形ABCD中，AD＝nAB，点M，P分别在边AB，AD上（均不与端点重合），且AP＝nAM，以AP和AM为邻边作矩形AMNP，连接AN，CN．【问题发现】（1）如图（2），当n＝1时，BM与PD的数量关系为，CN与PD的数量关系为．【类比探究】（2）如图（3），当n＝2时，矩形AMNP绕点A顺时针旋转，连接PD，则CN与PD之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知AD＝4，AP＝2，当矩形AMNP旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段CN的长．5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D、E分别是AB、BC的中点．连接DE．动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动．同时，动点Q从点C 出发，沿折线CE﹣ED向终点D运动，在CE、ED上的速度分别是每秒3个单位长度和4个单位长度，连接PQ，以PQ、PD为边作▱DPQM．设▱DPQM与四边形ACED重叠部分图形的面积是S（平方单位），点P的运动时间为t（s）．（1）当点P在AD上运动时，PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当▱DPQM是菱形时，求t的值；（3）当0＜t＜2时，求S与t之间的函数关系式；（4）当△DPQ与△BDE相似时，直接写出t的值．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC为对角线，过点D作DE⊥DC交直线AB于点E，过点E 作EH⊥AD于点H，过点B作BF⊥AD于点F．（1）如图1，若∠BAD＝60°，AF＝3，AH＝2，求AC的长；（2）如图2，若BF＝DH，在AC上取一点G，连接DG、GE，若∠DGE＝75°，∠CDG＝45°﹣∠CAB，求证：DG＝CG．7．（1）问题引入：如图1所示，正方形ABCD和正方形AEFG，则BE与DG的数量关系是，＝；（2）类比探究：如图2所示，O为AD、HG的中点，正方形EFGH和正方形ABCD中，判断BE和CF的数量关系，并求出的值；（3）解决问题：①若把（1）中的正方形都改成矩形，且＝＝，则（1）中的结论还成立吗？若不能成立，请写出BE与GD的关系，并求出值；②若把（2）中的正方形也都改成矩形，且＝＝2n，请直接写出BE和CF的关系以及的8．在正方形ABCD中，点E是直线AB上动点，以DE为边作正方形DEFG，DF所在直线与BC 所在直线交于点H，连接EH．（1）如图1，当点E在AB边上时，延长EH交GF于点M，EF与CB交于点N，连接CG，①求证：CD⊥CG；②若tan∠HEN＝，求的值；（2）当正方形ABCD的边长为4，AE＝1时，请直接写出EH的长．9．如图a，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，连接AF、DE交于点G．（1）求证：AF⊥DE；（2）如图b，连接BG，BD，BD交AF于点H．①求证：GB2＝GA•GD；②若AB＝10，求三角形GBH的面积．10．如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB＝90°．将△ADP沿AP 翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2＝DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC分别交PM、PB于点E、F．若AD＝3DP，探究EF与AE之间的的数量关系．11．△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝2cm．长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）．过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts．（1）当0≤t≤1时，PM＝，QN＝（用t的代数式表示）；（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？12．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝6，BC＝4，点E在边AB上（不与点A、B重合），过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE∽△DCF．（2）设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．（3）当四边形EBFD为轴对称图形时，则cos∠AED的值为．13．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N 在直线AD上，MN交CD于点E．（1）求证：△AMN是等腰三角形；（2）求证：AM2＝2BM•AN；（3）当M为BC中点时，求ME的长．14．如图，在平面直角坐标系中，过原点O及A（8，0）、C（0，6）作矩形OABC，连接AC，一块直角三角形PDE的直角顶点P始终在对角线AC上运动（不与A、C重合），且保持一边PD始终经过矩形点B，PE交x轴于点Q（1）＝；（2）在点P从点C运动到点A的过程中，的值是否发生变化？如果变化，请求出其变化范围，如果不变，请说明理由，并求出其值；（3）若将△QAB沿直线BQ折叠后，点A与点P重合，则PC的长为．15．如图，在矩形OABC中，点A，B的坐标分别为A（4，0），B（4，3），动点N，P分别从点B，A同时出发，点N以1单位/秒的速度向终点C运动，点P以5/4单位/秒的速度向终点C运动，连结NP，设运动时间为t秒（0＜t＜4）（1）直接写出OA，AB，AC的长度；（2）求证：△CPN∽△CAB；（3）在两点的运动过程中，若点M同时以1单位/秒的速度从点O向终点A运动，求△MPN的面积S与运动的时间t的函数关系式（三角形的面积不能为0），并直接写出当S ＝时，运动时间t的值．16．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（不与点C，D重合），连结AE，BD交于点F．（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长．（2）若tan∠AFB＝2，求的值．，（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连结AG，CG，＝x，四边形AGCE的面积为S1，求的最大值．△ABG的面积为S217．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是边BC，AC上的点，且∠ADE＝∠B．（1）求证：AB•CE＝BD•CD；（2）若AB＝5，BC＝6，求AE的最小值；（3）如图2，若△ABC为等边三角形，AD⊥DE，BE⊥DE，点C在线段DE上，AD＝3，BE ＝4，求DE的长．18．如图，△ABC中，AB＝AC，点P为BC边上一动点（不与B，C重合），以AP为边作∠APD＝∠ABC，与BC的平行线AD交于点D，与AC交于点E，连结CD．（1）求证：△ABP∽△DAE．（2）已知AB＝AC＝5，BC＝6．设BP＝x，CE＝y．①求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；＝时，求CE的值．②当S△ACD19．如图，在矩形ABCD的边AB上取一点E，连接CE并延长和DA的延长线交于点G，过点E作CG的垂线与CD的延长线交于点H，与DG交于点F，连接GH．（1）当tan∠BEC＝2且BC＝4时，求CH的长；（2）求证：DF•FG＝HF•EF；（3）连接DE，求证：∠CDE＝∠CGH．20．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友好四边形”．（1）如图1，在4×4的正方形网格中，有一个网格Rt△ABC和两个网格四边形ABCD与ABCE，其中是被AC分割成的“友好四边形”的是；（2）如图2，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△A'B'C，点B'落在边AC，过点A作AD∥A'B'交CA'的延长线于点D，求证：四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，在△ABC中，AB≠BC，∠ABC＝60°，△ABC的面积为6，点D是∠ABC 的平分线上一点，连接AD，CD．若四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，求BD 的长．参考答案1．解：（1）由图2可知，s点P从点B运动到点D，∵BD＝，∴点P的运动速度＝÷＝1（cm/s），故答案为：1；（2）如图1，作DQ⊥BC于点Q，当点P在BD上时，a＝×BC×DP，∵四边形ABCD为菱形，点P的运动速度为1，∴AD＝BC＝1×a＝a，∴a＝×a×DP，解得，DQ＝2，在Rt△BDQ中，BQ＝＝1，∴CQ＝a﹣1，在Rt△CDQ中，CD2＝CQ2+DQ2，即a2＝（a﹣1）2+22，解得，a＝；（3）①∵点P的运动速度1cm/s，点P、M的运动速度的比为2：6 ∴点M的运动速度3cm/s，由题意得，EF＝2a＝5，∵FG﹣EF＝1，∴FG＝6，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，由翻转变换的性质可知，PF＝PF′，FM＝FM′，当PF＝FM时，PF＝PF′＝FM＝FM′，∴四边形PFMF'为菱形，又∠F＝90°，∴四边形PFMF'为正方形，∴5﹣t＝3t，即t＝1.25时，四边形PFMF'为正方形，故答案为：1.25；②存在，∵点P的运动速度1cm/s，点P、M、N的运动速度的比为2：6：3，∴点M的运动速度3cm/s，点N的运动速度1.5cm/s，∴PF＝5﹣t，FM＝3t，GN＝1.5t，∵点M的运动速度3cm/s，FG＝6，∴0≤t≤2，当△PFM∽△MGN时，＝，即＝，解得，t＝，当△PFM∽△NGM时，＝，即＝，解得，t1＝﹣7﹣（舍去），t2＝﹣7+，综上所述，当t＝或﹣7+时，△PFM与△MGN相似．2．解：（1）当t＝1时，则AP＝1，∴BP＝AB﹣AP＝3，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴EP＝；（2）∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝＝5，∵EP⊥AB，∴∠EPB＝∠A＝90°，∴EP∥AD，∴△BPE∽△BAD，∴，∴，∴BE＝5﹣t，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBQ，若∠BEQ＝∠A＝90°，∴△BAD∽△QEB，∴，∴＝，∴t＝28（不合题意舍去），若∠BQE＝∠A＝90°，∴△BAD∽△EQB，∴，∴t＝，（3）∵S＝×CQ×PB＝×2t×（4﹣t）＝﹣（t﹣2）2+4，∴当t＝2时，S最大值为4，∴△CEQ的面积S的最大值为4．3．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BAD∽△DCE；（2）如图2中，作AM⊥BC于M．在Rt△ABM中，设BM＝4k，∵＝，∴，由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，∴102＝（3k）2+（4k）2，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AM＝6，BM＝8，∵AB＝AC，AM⊥BC，∴BC＝2BM＝2×2k＝16，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠ADE，∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，∴∠BAD＝∠ACB，∵∠ABD＝∠CBA，∴△ABD∽△CBA，∴，∴＝，∵DE∥AB，∴，∴＝．（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，∴四边形AMHN为矩形，∴∠MAN＝90°，MH＝AN，∵AB＝AC，AM⊥BC，∵AB＝10，∴BM＝CM＝8，∴BC＝16，在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM＝6，∵AN⊥FH，AM⊥BC，∴∠ANF＝90°＝∠AMD，∵∠DAF＝90°＝∠MAN，∴∠NAF＝∠MAD，∴△AFN∽△ADM，∴，∴，∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝8﹣＝，当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，∵FH⊥DC，∴CD＝2CH＝7，∴BD＝BC﹣CD＝16﹣7＝9，∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝9．4．解：（1）BM＝PD，，理由如下：当n＝1，则AD＝AB，AP＝AM，∴AD﹣AP＝AB﹣AM，∴DP＝BM，∵四边形ABCD是矩形，四边形AMNP是矩形，∴AD＝CD＝AB，AP＝AM＝NP，∠ADC＝∠APN＝90°，∴AC＝AD，AN＝AP，∴AC﹣AN＝（AD﹣AP），∴CN＝PD，故答案为：BM＝PD，；（2）CN与PD之间的数量关系发生变化，，理由如下：如图（1）在矩形ABCD和矩形AMNP中，∵当n＝2．AD＝2AB，AP＝2AM，∴，，∴.，如图（3）连接AC，∵矩形AMNP绕点A顺时针旋转，∴∠NAC＝∠PAD，∴△ANC∽△APD，∴，∴；（3）如图，当点N在线段CM上时，∵AD＝4，AD＝2AB，∴AB＝CD＝2，∴AC＝＝＝，∵AP＝2，AP＝2AM，∴AM＝1，∴CM＝＝＝，∴CN＝CM﹣MN＝﹣2；如图，当点M在线段CN上时，同理可求CM＝，∴CN＝CM+MN＝+2；综上所述：线段CN的长为或．5．解：（1）∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝＝6，∵D、E分别是AB、BC的中点．∴DE∥AC，DE＝AC＝4，BD＝AD＝5，BE＝CE＝3，∵动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿AB向终点B运动，∴AP＝5t，∴BP＝10﹣5t，∵DE∥AC，∴△BPQ∽△BAC，∴，∴∴PQ＝8﹣4t，故答案为：8﹣4t；（2）当点P在AD上运动时，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，∴5﹣5t＝8﹣4t，∴t＝﹣3（不合题意舍去），当点P在BD上运动时，过点P作PH⊥DQ于H，∵四边形DPQM是菱形，∴PD＝PQ，且PH⊥DQ，∴DH＝HQ＝DQ＝[4﹣4（t﹣1）]＝4﹣2t，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠ACB＝90°＝∠PHD，∴PH∥BE，∴△PDH∽△BDE，∴，∴，∴t＝，PH＝3t﹣3，综上所述：当t＝时，▱DPQM是菱形；（3）当0＜t＜1时，S＝×（8﹣4t+4）×（3﹣3t）＝6t2﹣24t+18，当t＝1时，不能作出▱DPQM，当1＜t＜2时，S＝×（8﹣4t）×（3t﹣3）＝﹣6t2+18t﹣12；（4）当点P在AD上时，不存在△DPQ与△BDE相似，当点P在BD上时，则∠PDQ＝∠BDE，若∠PQD＝∠DEB＝90°时，∴△PDQ∽△BDE，∴，∴∴t＝，若∠DPQ＝∠DEB＝90°时，∴△QPD∽△BED，∴，∴∴t＝综上所述：当t＝或时，△DPQ与△BDE相似．6．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵BF⊥AD于F，∴∠AFB＝90°，∵∠BAD＝60°，∴AB＝2AF＝6，BF＝AF＝3，∵EH⊥AD于H，∴AE＝2AH＝4，EH＝AH＝2，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠DEA＝90°，∴AD＝2AE＝8，∴CB＝AD＝8，如图1，作AM⊥CB于M，则∠ABM＝∠BAD＝60°，∴BM＝（1/2）AB＝3，AM＝BM＝3，∴CM＝CB+BM＝11，在Rt△ACM中：AC＝＝＝2．（2）如图2，作EN⊥AC于N，连接DN、CE，则∠CNE＝90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，CD＝AB，CD∥AB，∵DE⊥DC交AB于E，∴∠CDE＝∠DEA＝90°，∵EH⊥AD于H，∴∠DHD＝∠EHA＝90°，∵BF⊥AD于F，∴∠DFB＝∠AFB＝90°，∴∠DHE＝∠BFA，∵∠DEH+∠HEA＝∠HEA+∠BAF＝90°，∴∠DEH＝∠BAF，∵DH＝BF，∴△DEH≌△BAF（AAS），∴DE＝BA＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∠DCE＝∠DEC＝45°，∵∠CDE＝∠CNE＝90°，∴C、D、N、E四点共圆，∴∠DNC＝∠DEC＝45°，∵∠CDG＝45°﹣∠CAB，∴∠CDG+∠CAB＝45°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCG，∴∠DGN＝∠DCG+∠CDG＝45°＝∠DNC，∴△DGN是等腰直角三角形，∠GDN＝90°，DG＝DN，∵∠CDG+∠GDE＝∠GDE+∠EDN＝90°，∴∠CDG＝∠EDN，∴△CDG≌△EDN（SAS），∴EN＝CG，∵∠CGD＝75°，∴∠CGN＝∠CGD﹣∠DGN＝30°，∴GN＝EN＝CG，∴DG＝GN＝CG7．解：（1）如图1中，连接AC，AF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝45°，∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△BAE≌△DAG（SAS），∴BE＝DG，∵AC＝AB，AF＝AE，∴＝，∵∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∵DG＝BE，∴＝．故答案为：BE＝DG，．（2）如图2中，连接OB，OE，OF，OC．∵四边形ABCD是正方形，OA＝OD，∴∠A＝∠CDO＝90°，AB＝CD，∴△AOB≌△DOC（SAS），∴OB＝OC，同法可证OE＝OF，∴∠OBC＝∠OCB，∠OEF＝∠OFE，∵BC∥AD，∴∠CBO＝∠AOB，∴tan∠CBO＝tan∠AOB＝2，同法可证：tan∠FEO＝2，∴tan∠CBO＝tan∠FEO，∴∠CBO＝∠FEO，∴∠OBC＝∠OCB＝∠OEF＝∠OFE，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠EOB＝∠FOC，∵OE＝OF，OB＝OC，∴△OEB≌△OFC（SAS），∴BE＝FC，∵tan∠COD＝tan∠COD＝2，∴∠FOG＝∠COD，∴∠FOC＝∠GOD，∵＝＝，∴△FOG∽△GOD，∴＝＝．（3）①如图3中，结论不成立，BE＝3DG．连接BE，AC，AF，CF．∵四边形ABCD，四边形AEFG都是矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∵AB＝3AD，AE＝3AG，∴△BAE∽△DAG，∴＝＝3，∴BE＝3DG，由题意：＝，＝，∴＝，∴＝，∵tan∠BAC＝tan∠EAF＝，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴＝．②如图4中，连接OE，OB，OF，OC．由（2）可知，∠BOC＝∠EOF，OE＝OF，OB＝OC，∴∠EOB＝∠FOC，∴△EOB≌△FOC（SAS），∴BE＝CF．同法可证△FOC∽△GOD，∴＝，设EH＝k，则GH＝2nk，∴OG＝nk，∴OF＝＝•k，∵BE＝CF，∴＝＝．8．证明：（1）①∵四边形ABCD和四边形DEFG是正方形，∴∠A＝∠ADC＝∠EDG＝90°，AD＝CD，DE＝DG，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠A＝∠DCG＝90°，∴CD⊥CG；②如图1，过点N作NP∥DE，∵四边形DEFG是正方形，∴EF＝GF，∠EFH＝∠GFH＝45°，且HF＝HF，∴△EFH≌△GFH（SAS），∴EH＝GH，∠HEF＝∠HGF，∵∠HEF＝∠HGF，EF＝GF，∠EFM＝∠GFN，∴△EFM≌△GFN（ASA），∴FM＝NF，EM＝GN，∵tan∠HEN＝＝，∴EF＝4MF＝4NF＝GF，∴GM＝3MF＝EN＝3NF，∴NP∥DE，∴△PNE∽△MFE，∴，∴PN＝MF，∵NP∥DE，∴＝，∴；（2）如图1，∵AD＝4，AE＝1，∴DE＝＝＝，∴EF＝GF＝，∴NF＝EF＝，∵GN2＝GF2+NF2，∴GN＝，∵∴GH＝GN＝，∴EH＝GH＝若点E在点A左侧，如图2，设AB与DH于点O，过点F作FN⊥AB，∵∠DEA+∠FEB＝90°，∠DEA+∠ADE＝90°，∴∠ADE＝∠FEB，且∠DAE＝∠FNE＝90°，DE＝EF，∴△ADE≌△NEF（AAS）∴AE＝NF＝1，DA＝EN＝4，∴AN＝3，BN＝1，∵DA∥NF，∴，∴ON＝，∴BO＝，∴AO＝∵DA∥BH，∴，∴BH＝，∴EH＝＝＝9．证明：（1）∵正方形ABCD，E、F分别为边AB、BC的中点，∴AD＝BC＝DC＝AB，AE＝BE＝AB，BF＝CF＝BC，∴AE＝BF，∵在△ADE和△BAF中，∴△ADE≌△BAF（SAS）∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝90°∴∠ADE+∠DAF＝90°＝∠AGD，∴AF⊥DE；（2）①如图b，过点B作BN⊥AF于N，∵∠BAF＝∠ADE，∠AGD＝∠ANB＝90°，AB＝AD，∴△ABN≌△ADG（AAS）∴AG＝BN，DG＝GN，∵∠AGE＝∠ANB＝90°，∴EG∥BN，∴，且AE＝BE，∴AG＝GN，∴AN＝2AG＝DG，∵BG2＝BN2+GN2＝AG2+AG2，∴BG2＝2AG2＝2AG•AG＝GA•DG；②∵AB＝10，∴AE＝BF＝5，∴DE＝＝＝5，∵×AD×AE＝×DE×AG，∴AG＝2，∴GN＝BN＝2，∴AN＝DG＝4，∴△DGH∽△BNH，∴＝＝2，∴GH＝2HN，且GH+HN＝GN＝2，∴GH＝，＝×GH×BN＝××2＝．∴S△GHB10．（1）证明：过点P作PG⊥AB于点G，如图1所示：则四边形DPGA和四边形PCBG是矩形，∴AD＝PG，DP＝AG，BG＝PC，∵∠APB＝90°，∴∠APG+∠GPB＝∠GPB+∠PBG＝90°，∴∠APG＝∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴＝，∴PG2＝AG•BG，即AD2＝DP•PC；（2）解：四边形PMBN是菱形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵BM∥PN，BN∥MP，∴四边形PMBN是平行四边形，∵DP∥AB，∴∠DPA＝∠PAM，由题意可知：∠DPA＝∠APM，∴∠PAM＝∠APM，∵∠APB﹣∠PAM＝∠APB﹣∠APM，即∠ABP＝∠MPB∴AM＝PM，PM＝MB，∴四边形PMBN是菱形；（3）解：∵AD＝3DP，∴设DP＝1，则AD＝3，由（1）可知：AG＝DP＝1，PG＝AD＝3，∵PG2＝AG•BG，∴32＝1•BG，∴BG＝PC＝9，AB＝AG+BG＝10，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴＝＝，∴＝，∵PM＝MB，∴∠MPB＝∠MBP，∵∠APB＝90°，∴∠MPB+∠APM＝∠MBP+∠MAP＝90°，∴∠APM＝∠MAP，∴PM＝MA＝MB，∴AM＝AB＝5，∵AB∥CD，∴△PCE∽△MAE，∴＝＝，∴＝，∴EF＝AF﹣AE＝AC﹣AC＝AC，∴＝＝．11．解：（1）由题意得：AM＝t，∵PM⊥AB，∴∠PMA＝90°，∵∠A＝60°，∴∠APM＝30°，∴PM＝AM＝t．∵∠C＝90°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∴AB＝2AC＝4，BC＝AC＝2，∵MN＝1，∴BN＝AM﹣AM﹣1＝3﹣t，∵QN⊥AB，∴QN＝BN＝（3﹣t）；故答案为：tcm，（3﹣t）cm．（2）四边形MNQP有可能成为矩形，理由如下：由（1）得：QN＝（3﹣t）．由条件知，若四边形MNQP为矩形，则需PM＝QN，即t＝（3﹣t），∴t＝．∴当t＝s时，四边形MNQP为矩形；（3）由（2）知，当t＝s时，四边形MNQP为矩形，此时PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC．除此之外，当∠CPQ＝∠B＝30°时，△QPC∽△ABC，此时＝tan30°＝．∵＝cos60°＝，∴AP＝2AM＝2t．∴CP＝2﹣2t．∵＝cos30°＝，∴BQ＝（3﹣t）．又∵BC＝2，∴CQ＝2 ．∴．综上所述，当s或s时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．12．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝6，∴∠ADE+∠EDC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，且∠A＝∠DCF＝90°，∴△DAE∽△DCF；（2）∵△DAE∽△DCF，∴，∴∴y＝x+4；（3）∵四边形EBFD为轴对称图形，∴DE＝BE，∵AD2+AE2＝DE2，∴16+AE2＝（6﹣AE）2，∴AE＝，∴DE＝BE＝，∴cos∠AED＝＝，故答案为：．13．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAM＝∠BMA，∵∠AMN＝∠AMB，∴∠AMN＝∠NAM，∴AN＝MN，即△AMN是等腰三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∴∠NAM＝∠BMA，作NH⊥AM于H，如图所示：∵AN＝MN，NH⊥AM，∴AH＝AM，∵∠NHA＝∠ABM＝90°，∠NAM＝∠BMA，∴△NAH∽△AMB，∴＝，∴AN•BM＝AH•AM＝AM2，∴AM2＝2BM•AN；（3）解：∵M为BC中点，∴BM＝CM＝BC＝×2＝1，由（2）得：AM2＝2BM•AN，即：AM2＝2AN，∵AM2＝AB2+BM2＝32+12＝10，∴10＝2AN，∴AN＝5，∴DN＝AN﹣AD＝5﹣2＝3，设DE＝x，则CE＝3﹣x，∵AN∥BC，∴△DNE∽△CME∴＝，即＝，解得：x＝，即DE＝，∴CE＝DC﹣DE＝3﹣＝，∴ME＝＝＝．14．解：（1）∵A（8，0）、C（0，6），∴OA＝8，OC＝6，∵四边形OABC是矩形，∴∠ABC＝∠OAB＝90°，BC＝OA＝8，AB＝OC＝6，∴＝＝，故答案为：；（2）的值不发生变化，＝，理由如下：∵∠OAB＝∠BPQ＝90°，∴∠AOB+∠BPQ＝180°，∴A、B、P、Q四点共圆，∴∠PQB＝∠PAB，∵∠ABC＝∠BPQ＝90°，∴△PBQ∽△BCA，∴＝＝；（3）设BQ交AP于M，如图所示：在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝10，由折叠的性质得：BQ⊥AP，PM＝AM，∴∠AMB＝90°＝∠ABC，∵∠BAM＝∠CAB，∴△ABM∽△ACB，∴＝，即＝，解得：AM＝3.6，∴PA＝2AM＝7.2，∴PC＝AC﹣PA＝10﹣7.2＝2.8；故答案为：2.8．15．（1）证明：∵四边形OABC是矩形，A（4，0），B（4，3），∴OA＝BC＝4，AB＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴AC＝＝＝5；（2）解：由题意得：BN＝t，AP＝t，∵＝，＝＝，∴＝，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB；（3）解：分两种情况：①当0＜t＜2时，延长NP交OA于D，如图1所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝4﹣t﹣t＝4﹣2t，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（4﹣2t）＝t2﹣t+6，即S＝t2﹣t+6（0＜t＜2）；②当2＜t＜4时，延长NP交OA于D，如图2所示：由（2）得：PD∥AB，∴△APD∽△ACO，∴＝＝，即＝＝，解得：PD＝t，AD＝t，∴PN＝3﹣t，DM＝t+﹣4t＝2t﹣4，∴△MPN的面积S＝PN×DM＝×（3﹣t）×（2t﹣4）＝﹣t2+t﹣6，即S＝﹣t2+t﹣6（2＜t＜4）；当S＝，0＜t＜2时，则t2﹣t+6＝，整理得：t2﹣6t+6＝0，解得：t＝3﹣，或t＝3+（不合题意舍去），∴t＝3﹣；当S＝，2＜t＜4时，则﹣t2+t﹣6＝，整理得：t2﹣6t+10＝0，∵△＝36﹣40＜0，∴此方程无解；综上所述，当S＝时，运动时间t的值为（3﹣）秒．16．解：（1）∵点E为CD中点，AB＝AD＝CD＝2，∴DE＝，∴AE＝＝＝5，∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF，∴，∴AF＝2EF，且AF+EF＝5，∴AF＝；（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BD＝AB，AO⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO，∴AO＝DO＝BO＝AB，∵tan∠AFB＝＝2，∴OF＝AO＝AB，∴DF＝OD﹣OF＝AB，BF＝OB+OF＝AB，∴；（3）如图2，设AB＝CD＝AD＝a，则BD＝a，∵＝x，∴DE＝xa，∴S△ADE＝×AD×DE＝xa2，∵△ABF∽△EDF，∴＝x，∴DF＝x•BF，∴S△ABF＝a2，∵GF＝2BG，∴S2＝S△ABG＝S△ABF＝，∵AB＝CB，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS）∴S△ABG ＝S△CBG，∴S1＝四边形AGCE的面积＝a2﹣xa2﹣2×∴＝﹣3x2+3x+4＝﹣3（x﹣）2+∴当x＝时，的最大值为．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠ADC为△ABD的外角，∴∠ADE+∠EDC＝∠B+∠DAB，∵∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE，又∠B＝∠C，∴△ABD∽△DCE，∴＝，∴AB•CE＝BD•CD；（2）解：设BD＝x，AE＝y，由（1）得，5×（5﹣y）＝x×（6﹣x），整理得，y＝x2﹣x+5＝（x﹣3）2+，∴AE的最小值为；（3）解：作AF⊥BE于F，则四边形ADEF为矩形，∴EF＝AD＝3，AF＝DE，∴BF＝BE﹣EF＝1，设CD＝x，CE＝y，则AF＝DE＝x+y，由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，CE2+BE2＝BC2，AF2+BF2＝AB2，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴32+x2＝AC2，y2+42＝BC2，（x+y）2+12＝AC2，∴x2﹣y2＝7，y2+2xy＝8，解得，x＝，y＝，∴DE＝x+y＝．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠APC＝∠ABC+∠BAP，∠APC＝∠APD+∠EPC，∠APD＝∠ABC，∴∠BAP＝∠EPC，∴△ABP∽△PCE，∵BC∥AD，∴△PCE∽△DAE，∴△ABP∽△DAE；（2）解：①∵△ABP∽△PCE，∴＝，即＝，∴y＝﹣x2+x（0＜x＜6）；②∵△ABP∽△DAE，∴＝，即＝，∴AD＝，∵AD∥BC，∴，∵，∴，∴，即13x2+24x﹣100＝0，∴x＝2，（舍去）1∴．19．（1）解：在Rt△BCE中，当tan∠BEC＝2，∴＝2，即＝2，解得，BE＝2，由勾股定理得，CE＝＝＝2，∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，∴∠ECH＝∠BEC，∴tan∠ECH＝＝2，即＝2，∴EH＝4，∴CH＝＝10；（2）证明：∵∠FEG＝∠FDH＝90°，∠EFG＝∠DFH，∴△EFG∽△DFH，∴＝，∴DF•FG＝HF•EF；（3）证明：∵△EFG∽△DFH，∴∠CGD＝∠CHE，又∠GCD＝∠HCE，∴△GCD∽△HCE，∴＝，又∠GCD＝∠HCE，∴△CDE∽△CGH，∴∠CDE＝∠CGH．20．解：（1）AB＝2，BC＝1，AD＝4，由勾股定理得，AC＝＝，CD＝＝，AE＝＝2，CE＝＝5，＝＝＝，∴△ABC∽△EAC，∴四边形ABCE是“友好四边形”，≠，∴△ABC与△ACD不相似，∴四边形ABCD不是“友好四边形”，故答案为：四边形ABCE；（2）证明：根据旋转的性质得，∠A'CB'＝∠ACB，∠CA'B'＝∠CAB，∵AD∥A'B'，∴∠CA'B'＝∠D，∴∠CAB＝∠D，又∠A'CB'＝∠ACB，∴△ABC∽△DAC，∴四边形ABCD是“友好四边形”；（3）如图3，过点A作AM⊥BC于M，在Rt△ABM中，AM＝AB•sin∠ABC＝AB，∵△ABC的面积为6，∴BC×AB＝6，∴BC×AB＝24，∵四边形ABCD是被BD分割成的“友好四边形”，且AB≠BC，∴△ABD∽△DBC∴，∴BD2＝AB×BC＝24，∴BD＝＝2．。
北师大版九年级上相似三角形(知识点练习例题答案)
注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。
即 〔AB 〕2+〔AC 〕2=〔BC 〕2。
典型例题：例1 如图,已知等腰△ABC 中,AB ＝AC,AD ⊥BC 于D,CG ‖AB,BG 分别交AD,AC 于E 、 F,求证：BE 2＝EF·EG证明：如图,连结EC,∵AB ＝AC,AD ⊥BC, ∴∠ABC ＝∠ACB,AD 垂直平分BC∴BE ＝EC,∠1＝∠2,∴∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2, 即∠3＝∠4,又CG ∥AB,∴∠G ＝∠3,∴∠4＝∠G又∵∠CEG ＝∠CEF,∴△CEF ∽△GEC,∴EG CE =CE EF∴EC 2＝EG· EF,故EB 2=EF·EG [解题技巧点拨]本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质,线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明．而其中利用线段的垂直平分线的性质得到BE=EC,把原来处在同一条直线上的三条线段BE,EF,EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。
例2 已知：如图,AD 是Rt △ABC 斜BC 上的高,E 是AC 的中点,ED 与AB 的延长线相交于F,求证：BA FB =AC FD证法一：如图,在Rt △ABC 中,∵∠BAC ＝Rt ∠,AD ⊥BC, ∴∠3＝∠C,又E 是Rt △ADC 的斜边AC 上的中点,∴ED=21AC ＝EC,∴∠2＝∠C,又∠1＝∠2,∴∠1＝∠3, ∴∠DFB ＝∠AFD,∴△DFB ∽△AFD,∴FD FB ＝AD BD〔1〕又AD 是Rt △ABC 的斜边BC 上的高,∴Rt △ABD ∽Rt △CAD,∴AD BD =AC BA〔2〕由〔1〕〔2〕两式得FD FB =AC BA ,故BA FB =AC FD证法二：过点A 作AG ∥EF 交CB 延长线于点G,则BA FB =AG FD〔1〕∵E 是AC 的中点,ED ∥AC,∴D 是GC 的中点,又AD ⊥GC,∴AD 是线段GC 的垂直平分线,∴AG ＝AC 〔2〕由〔1〕〔2〕两式得：BA FB =AC FD,证毕。
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习(含答案)
北师大版九年级数学上册第四章 图形的相似 综合题练习1、如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，过D 的直线交AC 于E ，交AB 的延长线于F.求证：AEEC ＝AF BF.2、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DFCF＝BC AC.3、如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F.(1)求证：∠DCP ＝∠DAP ；(2)如果PE ＝3，EF ＝5，求线段PC 的长．4、如图，在△ABC 中，D 在AC 上，且AD ∶DC ＝1∶2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F.求证：BF ∶FC ＝1∶3.5、已知，如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的中线，AE ⊥AD ，AE 交CB 的延长线于点E.(1)求证：△BAE ∽△ACE ；(2)AF ⊥BD ，垂足为F ，且BE ·CE ＝9，求EF ·DE 的值．6、如图，∠ABC ＝∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点．(1)求证：△ABD ∽△AEB ；(2)当AB BC ＝43时，求BDBE 的值；7、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，DF ⊥AC ，DF 与CE 相交于点F ，AF 的延长线与BD 相交于点G.(1)求证：AD 2＝DG ·BD ；(2)连接CG ，求证：∠ECB ＝∠DCG.8、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，作DE ⊥AC 于点E ，F 是AB 中点，连接EF 交AD 于点G.(1)求证：AD 2＝AB ·AE ；(2)若AB ＝3，AE ＝2，则ADAG的值为_______．9、如图，点P 是线段BD 上一个动点，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝6，CD ＝4，BD ＝a.(1)当∠APC ＝90°，a ＝14时，求BP 的长度；(2)若∠APC ＝90°时，有两个符合要求的点P 1，P 2，且P 1P 2＝2，求a 的值．10、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 在边BC 上移动(点E 不与点B ，C 重合)，满足∠DEF ＝∠B ，且点D ，F 分别在边AB ，AC 上．(1)求证：△BDE ∽△CEF ；(2)当点E 移动到BC 的中点时，求证：FE 平分∠DFC.11、如图，已知四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB ，垂足为H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G.求证：(1)∠DHO ＝12∠BCD ；(2)HG ·AE ＝2DE ·CG.12、如图，已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，过点A 作AG ⊥BD 分别交BD ，BC 于点G ，E.(1)求证：BE 2＝EG ·EA ；(2)连接CG ，若BE ＝CE ，求证：∠ECG ＝∠EAC.13、已知：如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，连接AD ，使得∠CAD ＝∠B ，DC ＝3且S △ACD ∶S △ADB ＝1∶2.(1)求AC 的值；(2)若将△ADC 沿着直线AD 翻折，使点C 落在点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB ∥DE ，求S △EFD S △ADC的值．14、如图，在形状和大小不确定的△ABC 中，BC ＝5，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，P 在EF 或EF 的延长线上，BP 交CE 于D ，Q 在CE 上且BQ 平分∠CBP ，设BP ＝y ，PE ＝x.(1)当x ＝14EF 时，求S △DPE ∶S △DBC 的值；(2)当CQ ＝13CE 时，求y 与x 之间的函数关系式．15、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.点P 从点A 出发，沿AB 边以2 cm/s 的速度向点B 匀速移动；点Q 从点B 出发，沿BC 边以1 cm/s 的速度向点C 匀速移动，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.(1)当PQ ∥AC 时，求t 的值；(2)当t 为何值时，△PBQ 的面积等于245cm 2.答案1、证明：过B作EF的平行线交AC于点G，则AF∶BF＝AE∶EG，BD∶DC＝GE∶EC.∵BD＝DC，∴GE＝EC.∴AE∶EC＝AF∶BF.2、证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴BCBD＝ACCD，即BCAC＝BDCD.又∵E为AC中点，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF. 又∵∠F为公共角，∴△FDB∽△FCD.∴DFCF＝BDCD.∴DFCF＝BCAC.3、解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB.又∵DP＝DP，∴△ADP≌△CDP(SAS)．∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP.(2)∵CD ∥AB ，∴∠DCP ＝∠F. ∵∠DCP ＝∠DAP ，∴∠DAP ＝∠F. 又∵∠APE ＝∠FPA ， ∴△APE ∽△FPA. ∴AP PF ＝PE AP .∴AP 3＋5＝3AP . ∴AP ＝2 6.∴PC ＝2 6. 4、证明：∵AD ∶DC ＝1∶2， ∴AD ∶AC ＝1∶3.作DG ∥AF 交BC 于点G ，则AD AC ＝FG FC ＝13，BE ED ＝BFFG .又∵E 是BD 的中点， ∴BE ＝ED. ∴BF ＝FG.∴BF FC ＝13，即BF ∶FC ＝1∶3.5、解：(1)证明：∵AD 是Rt △ABC 斜边上的中线， ∴AD ＝BD ＝CD. ∴∠C ＝∠DAC.∵AE ⊥AD ，∴∠EAD ＝90°＝∠BAC. ∴∠EAB ＝∠DAC.∴∠EAB ＝∠C. 又∵∠E ＝∠E ， ∴△BAE ∽△ACE.(2)∵△BAE ∽△ACE ，∴AE EC ＝BEAE.∴AE 2＝BE ·CE ＝9.∵∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∠E ＝∠E ， ∴△EAF ∽△EDA. ∴AE DE ＝EF AE . ∴EF ·DE ＝AE 2＝9.6、解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ＝90°， ∴∠ABC －∠DBC ＝∠DBE －∠DBC ，即∠ABD ＝∠CBE. ∵∠DBE ＝90°，C 是DE 的中点． ∴BC ＝CD ＝CE.∴∠E ＝∠CBE. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠BAD ＝∠EAB ，∴△ABD ∽△AEB. (2)∵AB BC ＝43，∴设AB ＝4k ，BC ＝3k.∴在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5k. ∵BC ＝CD ＝3k ，∴AD ＝AC －CD ＝5k －3k ＝2k. 由(1)可知△ABD ∽△AEB ， ∴BD BE ＝AD AB ＝2k 4k ＝12，即BD BE 的值为12. 7、证明：(1)∵AB ＝AC ，D ，E 分别是AC ，AB 的中点， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB.∴AD ＝AE.在△BAD 和△CAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△BAD ≌△CAE(SAS)． ∴∠ABD ＝∠ACE.∵DF ⊥AC ，AD ＝CD ，∴AF ＝CF. ∴∠GAD ＝∠ACE.∴∠GAD ＝∠ABD. ∵∠GDA ＝∠ADB ，∴△GDA ∽△ADB. ∴AD BD ＝DG DA.∴AD 2＝DG ·BD. (2)连接CG ，∵AD DB ＝DG AD ，AD ＝CD ，∴CD DB ＝DGCD .∵∠CDG ＝∠BDC ，∴△DCG ∽△DBC. ∴∠DBC ＝∠DCG.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 又∵∠ABD ＝∠ACE.∴∠ECB ＝∠DBC.∴∠ECB ＝∠DCG.8、证明：∵AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ， ∴∠ADC ＝∠AED ＝90°. ∠DAE ＝∠DAC ， ∴△DAE ∽△CAD. ∴AD CA ＝AEAD . ∴AD 2＝AC ·AE.∵AC ＝AB ，∴AD 2＝AB ·AE.9、解：(1)∵∠B ＝∠D ＝90°，∠APC ＝90°， ∴∠B ＝∠APC ＝90°，∠A ＋∠B ＝∠APC ＋∠CPD. ∴∠A ＝∠CPD. ∴△ABP ∽△PDC.∴BP CD ＝AB PD ，即BP 4＝614－BP. 解得BP ＝2或12.(2)设BP ＝x ，则PD ＝a －x.∵△ABP ∽△PDC ，∴AB PD ＝BP CD ，即6a －x ＝x 4. ∴x 2－ax ＋24＝0，设方程的两个根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝24，∵P 1P 2＝2，∴|x 1－x 2|＝2.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4，∴a 2－4×24＝4，解得a ＝±10(负值舍去)．∴a ＝10.10、证明：(1)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF.∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DE EF. ∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE.∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF.∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.11、11、证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BCD ＝∠BAD ＝2∠BAO ，∠AOB ＝90°，OB ＝OD.∵DH ⊥AB ，∴∠BHD ＝90°.∴OH ＝OD ，∴∠DHO ＝∠BDH.在Rt △BHD 中，∠BDH ＋∠ABO ＝90°，∵∠BAO ＋∠ABO ＝90°，∴∠BDH ＝∠BAO.∴∠DHO ＝∠BAO.∴∠BCD ＝2∠DHO.∴∠DHO ＝12∠BCD. (2)∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴OA ＝OC ，∠DAO ＝∠BAO.∵∠DHO ＝∠BAO ，∴∠DHO ＝∠DAO.∵∠AED ＝∠HEO ，∴∠AOH ＝∠ADE.∵∠AOH ＝∠COG ，∴∠ADH ＝∠COG.∵∠DAE ＝∠OCG ，∴△ADE ∽△COG.∴AE CG ＝DE OG. ∴AE ·OG ＝DE ·CG.在△AOH 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOH ＝∠COG ，AO ＝CO ，∠OAH ＝∠OCG ，∴△AOH ≌△COG(SAS)．∴OH ＝OG ，∴OG ＝12HG. ∴AE ·12HG ＝DE ·CG. ∴HG ·AE ＝2DE ·CG.12、证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AE⊥BD，∴∠ABC＝∠BGE＝90°. ∵∠AEB＝∠BEG，∴△ABE∽△BGE.∴AEBE＝BEEG.∴BE2＝EG·EA.(2)由(1)得BE2＝EG·EA. ∵BE＝CE，∴CE2＝EG·EA.∴CEEG＝AECE.∵∠CEG＝∠AEC，∴△CEG∽△AEC.∴∠ECG＝∠EAC.13、解：(1)∵S△ACD∶S△ADB＝1∶2，∴BD＝2CD.∵DC＝3，∴BD＝6.∴BC＝BD＋DC＝9. ∵∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴ACCD＝BCAC，即AC3＝9AC，解得AC＝3 3.(2)由折叠的性质，得∠E＝∠C，DE＝CD＝3. ∵AB∥DE，∴∠B＝∠EDF.∵∠CAD＝∠B，∴∠EDF＝∠CAD.∴△EFD∽△CDA.∴S△EFDS△ADC＝(DEAC)2＝(333)2＝13.14、解：(1)∵E ，F 分别是AB ，AC 的中点，PE ＝x ＝14EF ， ∴EF ∥BC ，EF ＝12BC.∴△EDP ∽△CDB.∴EP BC ＝18. ∴S △DPE ∶S △DBC ＝1∶64.(2)延长BQ 交EF 的延长线于点H.∵EF ∥BC ，∴△QEH ∽△QCB.∴BC EH ＝CQ QE. ∵CQ ＝13CE ，∴CQ QE ＝12. 又∵BC ＝5，∴EH ＝2BC ＝10.∵△QEH ∽△QCB ，∴∠PHQ ＝∠CBQ.又∵BQ 平分∠CBP ，∴∠CBQ ＝∠PBQ.∴∠PHB ＝∠PBH.∴PB ＝PH.∴EH ＝PE ＋PH ＝PE ＋PB ＝x ＋y ＝2BC ＝10.∴y ＝－x ＋10(0＜x ＜10)．15、解：(1)由题意，得BQ ＝t cm ，AP ＝2t cm. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ， AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋62＝10(cm)．∴BP ＝(10－2t)cm.∵PQ ∥AC ，∴BP BA ＝BQ BC ，即10－2t 10＝t 6. 解得 t ＝3011. (2)过点Q 作QE ⊥AB 于点E ，则∠QEB ＝∠C ＝90°.∵∠B ＝∠B ，∴△BQE ∽△BAC.∴BQ BA ＝QE AC ，即t 10＝QE 8.解得 QE ＝45t. ∴S △PBQ ＝12BP ·QE ＝245. 即12·(10－2t)·45t ＝245. 解得t 1＝2，t 2＝3.∵0＜t ＜5，∴当t 的值为2或3时，△PBQ 的面积等于245cm 2.。
备战中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案解析
备战中考数学——相似的综合压轴题专题复习及答案解析一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P 是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）解：结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴ = = ，∴CF=2DG（2）解：作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG= ，EG= ，DH= = ，∴EH=2DH=2 ，∴HM= =2，∴DM=CN=NK= =1，在Rt△DCK中，DK= = =2 ，∴△PCD的周长的最小值为10+2 ．【解析】【分析】（1）结论：CF=2DG．理由如下：根据正方形的性质得出AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，根据中点的定义得出AD=CD=2DE，根据同角的余角相等得出∠CDF=∠DEG，从而判断出△DEG∽△CDF，根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK，由题意得CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，根据面积法求出DH的长，然后可以判断出△DEH相似于△GDH，根据相似三角形对应边的比等于相似比得出EH=2DH=，再根据面积法求出HM的长，根据勾股定理及矩形的性质及对称的性质得出DM=CN=NK= 1，在Rt△DCK中，利用勾股定理算出DK的长，从而得出答案。
【北师大版】数学九年级(上)4.相似三角形的判定综合习题课件
AE = CF, ∴△ABE ≌ CAF（SAS）. ∴AF = BE，∠ABE = ∠CAF. ∵∠APE = ∠ABE + ∠BAP， ∠BAE = ∠CAF + ∠BAP， ∴∠APE = ∠BAE = 60°. ∴∠APB = 120°.
ED = 16 cm，DF = 20 cm D. ∠A =∠D = 70°，AB = 12 cm，AC = 15 cm，
ED = 16 cm，EF = 20 cm
2. 下列选项中，两个三角形不一定相似的是（ D ）
A. 两条直角边的比都是 2∶3 的两个直角三角形 B. 腰与底的比都是 2∶3 的两个等腰三角形 C. 有一个内角为 50°的两个直角三角形 D. 有一个内角是 50°的两个等腰三角形
4
A. EF = 1AE
2
B. △ABE ∽△AEF C. △ABE ∽△ECF D. △ADF∽△ECF
B组
6. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 5，BC = 3，将矩形 ABCD
绕点 B 按顺时针方向旋转得到矩形 GBEF，点 G 落在矩
3 10
形 ABCD 的边 CD 上，连接 CE，则 CE 的长是 5
解：（2）∵AB⫽CD，∴△GBF ∽ △GCD.
3
∴GB = BF ，即 3 = 2 . 解得 CD = 9.
GC CD
3+6 CD
2
∵四边形 AFCD 是平行四边形，∴AF = CD = 9.
2
∴AB = AF + BF = 9 + 3 = 6.
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第四章 图形的类似
第6课 类似三角形的判定综合
【全程温习方略】2021版中考数学精练精析 第二十三讲 相似知能综合检测 北师大版(1)
知能综合检测 第二十三讲 相似（40分钟 60分）一、选择题(每题5分，共20分)1.已知图(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD 交于O 点,关于各图中的两个三角形而言,以下说法正确的选项是( ) (A )都相似(B)都不相似 (C)只有(1)中的相似 (D)只有(2)中的相似2.如图，四边形ABCD 的对角线AC,BD 相交于O ，且将那个四边形分成①,②,③,④四个三角形．假设OA ∶OC=OB ∶OD ，那么以下结论中必然正确的选项是( )(A)①和②相似(B)①和③相似 (C)①和④相似 (D)②和④相似3.如图，在直角三角形ABC 中(∠C ＝90°),放置边长别离为3,4,x 的三个正方形，那么x 的值为( )(A)5 (B)6 (C)7 (D)124.(2021·宜宾中考)如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=12AB ，点E ，F 别离为AB ，AD 的中点，那么△AEF 与多边形BCDFE 的面积比为( )(A)1 7 (B)1 6 (C)1 5 (D)14二、填空题(每题5分，共15分)5.(2021·重庆中考)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，那么△ABC 与△DEF 的面积之比为________.6.如图，利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，若是标杆BE 长为1.5米，测得AB=2米，BC=10米，且点A,E,D 在一条直线上，A ，B ，C 在一条直线上，那么楼高CD 是________米.7.(2021·天门中考)如图，在△ABC中，点D，E别离是边AB，AC的中点，DF 过EC的中，点G并与BC的延长线交于点F，BE与DF交于点O．假设△ADE的面积为S，那么四边形BOGC的面积=________．三、解答题(共25分)8.(11分)(2021·菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的极点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成以下各题：(1)试证明△ABC为直角三角形；(2)判定△ABC和△DEF是不是相似，并说明理由；(3)画一个三角形，它的三个极点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点而且与△ABC相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明).【探讨创新】9.(14分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动；点Q沿D A边从D向A以1 cm/s的速度移动.若是P,Q同时动身，用t(s)表示移动时刻(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？(2)求四边形QAPC的面积,你有什么发觉？(3)当t为何值时，以点A,P,Q为极点的三角形与△ABC相似？答案解析1.【解析】选A.图(1)中，利用三角形的内角和能够求出另外的一个内角，现在再依照一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似，能够取得它们相似；图(2)依照夹角相等，夹角的两边成比例，能够判定这两个三角形也相似.【归纳整合】常见的相似三角形的大体图形(1)A 型，如下图：(2)共角型，如下图：(3)X 型，如下图：(4)K 型，如下图：2.【解析】选B.∵OA ∶OC=OB ∶OD ，又因为∠AOB=∠COD(对顶角相等)，∴①与③相似.3.【解析】选C.由于该图中显现三个正方形和本身是直角三角形，因此很容易发觉里面所有的直角三角形都是相似的，因此要求x 的长，可考虑用相似来求，如图，易患△DEF ∽△IGH ，因此DF EF IH GH =，即x 334x 4=－，－解得x=7. 4.【解析】选C.连接BD ，得EF 为△ABD 的中位线，故△AEF ∽△ABD ，S △ABD =4S △AEF ，由AB=2CD 且AB ∥CD 得S △ABD =2S △BCD ，∴S梯形ABCD =6S △AEF ，故△AEF 与多边形BCDFE 的面积比为：1∶5，故答案为C.5.【解析】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，∴三角形的相似比是3∶1，∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1．答案：9∶16.【解析】依照题意得，△ABE ∽△AC D,因此AB BE ,AC CD =即21.5210CD=+，解得CD=9. 答案：9 7.【解析】∵点D ，E 别离是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=12BC ，∴△ABC ∽△ADE ，∴△ABC 的面积为4S.∴四边形BDEC 的面积为3S.∵点D 是边AB 的中点，∴△BDE 的面积为S.∵点G 是边CE 的中点，∴△DEG ≌△FCG ，∴DE=FC ，∴BF=3DE.∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△BOF ，∴OE DE OB BF =，∴OB=3OE.∴△DOB 的面积为34S.∵点G ，E 别离是边EC ，AC 的中点，∴AE=2EG ，∴△DEG 的面积为12S ，∴四边形BOGC 的面积=3S-34S-12S=74S. 答案：74S 8.【解析】(1)依照勾股定理，得AB 25AC 5==，，BC=5； 显然有AB 2+AC 2=BC 2，依照勾股定理的逆定理得△A BC 为直角三角形.(2)△ABC 和△DEF 相似．依照勾股定理，得AB 25AC 5BC 5===，，， DE 42DF 22EF 210===，，． ∴△ABC ∽△DEF ．(3)如图：△P 2P 4P 5．【探讨创新】9.【解析】(1)关于任意时刻的t 有：AP=2t ，DQ=t ，AQ=6-t ，当AQ=AP 时，△AQP 为等腰直角三角形，即6-t=2t ，∴t=2，∴当t=2时，△QAP 为等腰直角三角形.(2)在△AQC 中，AQ=6-t ，AQ 边上的高CD=12，∴S △AQC =12(6－t)×12=36－6t. 在△APC 中，AP=2t ，AP 边上的高CB=6，∴S △APC =12×2t ×6=6t.∴四边形QAPC的面积S四边形QAPC=S△AQC+S△APC=36-6t+6t=36(cm2) ，∴经计算发觉：点P,Q在运动的进程中，四边形QAPC的面积维持不变.(3)依照题意，应分两种情形来研究：①当QA APAB BC=时，△QAP∽△ABC，那么有6t2t126-=，求得t=(s).②当QA APBC AB=时，△PAQ∽△ABC，那么有6t6-=2t12，求得t=3(s).∴当t= s或3 s时，以点A,P,Q为极点的三角形与△ABC相似.。
【全程温习方略】2021版中考数学精练精析 第二十三课时 图形的熟悉初步知能综合检测 北师大版(1)
知能综合检测(二十三)（30分钟 50分）一、选择题（每题4分，共12分）1.(2021·滨州中考)借助一副三角尺，你能画出下面哪个度数的角( )(A)65°(B)75°(C)85°(D)95°2.小军将一个直角三角板（如图）绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个几何体，将那个几何体的侧面展开取得的大致图形是( )3.将如下图表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，取得的图形是( )二、填空题（每题4分，共12分）4.一个角的补角是那个角的余角的3倍，那么那个角为___________度.5.如图，将一副三角板叠放在一路，使直角的极点重合于点O，那么∠AOC+∠DOB= ________度.6.已知点O在直线AB上，且线段OA的长度为4 cm，线段OB的长度为6 cm，E，F别离为线段OA，OB的中点，那么线段EF的长度为____________.三、解答题（共26分）7.（8分）已知线段AB=6 cm，在同一平面内讨论以下问题：（1）是不是存在一点C，使BC=AC？在什么情形下，C才是线段AB的中点？（2）是不是存在一点C，使它到A，B两点的距离之和最小？假设存在，点C点位置在哪里？最小距离是多少？（3）当点C到A，B两点之间的距离之和大于6 cm时，点C的位置在什么地址？8.（8分）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中极点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察以下几种简单多面体模型，解答以下问题：（1）依照上面的多面体模型，完成表格：多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)四面体44长方体8612正八面体812正十二面体201230你发觉极点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______________.（2）一个多面体的面数比极点数大8，且有30条棱，求那个多面体的面数.【探讨创新】9.（10分）如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，O D，OE，OF，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，….（1）“17”在射线_______________上.（2）请任意写出三条射线上数字的排列规律.（3）“2021”在哪条射线上？答案解析1.【解析】选B.借助30°角和45°角能画出75°角.2.【解析】选D.直角三角板绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成一个圆锥，那么将它的侧面展开取得的图形是扇形.3.【解析】选C.由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后A，B都不符合，且D折叠后图案的位置也不符合，因此能取得的图形是C.4.【解析】设那个角为x°，列方程得180-x=3（90-x），解得x=45.答案：455.【解析】∠AOC+∠DOB=∠AOD+∠DOB＋∠DO C=90°＋90°=180°.答案：180【知识拓展】三角板与角的和或差用一副三角板能够直接画出30°，45°，60°，90°的角，然后利用这些角的和或差能够取得一些特殊的角，如小于平角的角有：15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角.这些角有一个一起的规律，其都是15°角的整数倍.6.【解析】（1）点O在点A和点B之间，如图①，那么EF=12OA+12OB=5 (cm)；（2）点O在线段BA的延长线上，如图②，那么EF=12OB-12OA=1（cm）.综上可得线段EF的长度为1 cm或5 cm.答案：1 cm或5 cm7.【解析】（1）存在一点C，使BC=AC.当点C位于线段AB上，且知足AC=BC时，C才是线段AB的中点.（2）存在一点C，使它到A，B两点的距离之和最小，现在C点位于线段AB上，最小距离是6 cm.（3）当点C到A，B两点之间的距离之和大于6 cm时，点C不在线段AB上.8.【解析】（1）6 6 V+F-E=2（2）由题知：(F-8)+F-30=2,∴F=20.9.【解析】（1）“17”在射线OE上.（2）答案不惟一，任意写出三条射线的即可.射线OA上数字的排列规律：6n-5；射线OB上数字的排列规律：6n-4；射线OC上数字的排列规律：6n-3；射线OD上数字的排列规律：6n-2；射线OE上数字的排列规律：6n-1；射线OF上数字的排列规律：6n，其中n=1,2,…（3）在六条射线上数字的排列规律中，只有6n-3=2 013有整数解,解为n=336,因此“2 013”在射线OC上.。
【全程复习方略】中考数学精练精析 第三讲 整式知能综合检测 北师大版
知能综合检测第三讲整式（40分钟 60分）一、选择题(每小题5分，共20分)1.(2012·安徽中考)计算(-2x2)3的结果是( )(A)-2x5(B)-8x6(C)-2x6(D)-8x52.(2012·桂林中考)计算2xy2+3xy2的结果是( )(A)5xy2(B)xy2(C)5x2y4(D)x2y43.化简4a6÷(-a3)的结果是( )(A)-4a2 (B)4a2 (C)-4a3 (D)4a34.已知a - b =1，则代数式2a -2b -3的值是( )(A)-1 (B)1 (C)-5 (D)5二、填空题(每小题5分，共15分)5.有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5,可发现第一次输出的结果是8,第二次输出的结果是4,…，请你探索第2 011次输出的结果是________.e 6.(2012·南安中考)已知a+b=3，ab=1，则a2+b2的值为________.7.如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，若将图1中的阴影部分拼成一个长方形如图2，比较图1和图2中的阴影部分的面积，你能得到的公式是________.三、解答题(共25分)8.(12分)化简：(1)(x+y)2-(x-y)2;(2)(a+1)2-a(a-1).【探究创新】9.(13分)若a=3555,b=4444,c=5333,试探究a，b，c之间的大小关系.答案解析1.【解析】选B.(-2x2)3=(-2)3(x2)3=-8x6.2.【解析】选A.合并同类项即可.3.【解析】选C.由单项式除以单项式的法则可知，系数与系数相除，相同字母相除，即4a6÷(-a3)=-4a6-3=-4a3.4.【解析】选A.本题考虑用整体代入的方法.2a-2b-3=2(a－b)－3=2×1－3=－1.5.【解析】由转换器的程序可知，第三次输出为2，第四次为1，第五次为4，第六次为2，…从中得到除第一次外，后面是4,2,1循环变化，(2 011-1)÷3的余数为0，所以和规律中的第三个相同，即为1.答案：16.【解析】因为(a+b)2=a2+b2+2ab，所以a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2=7.答案：7【知识拓展】常用的完全平方公式的几种变形在应用完全平方公式时，经常需要对公式进行变形，常用的变化形式有：1.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab.2.2ab=(a+b)2-(a2+b2)=(a2+b2)-(a-b)2.3.(a+b)2=(a-b)2+4ab.4.(a-b)2=(a+b)2-4ab.7.【解析】由图1可得阴影面积为a2－b2，由图2可得阴影面积为(a＋b)(a－b).答案：a2-b2=(a+b)(a-b)8.【解析】(1)原式=x2+2xy+y2-x2+2xy-y2=4xy.(2)原式=a2+2a+1-a2+a=3a+1.【探究创新】9.【解析】因为a=3555=35×111=(35)111=243111,b=4444=44×111=(44)111=256111,c=5333=53×111=(53)111=125111,又因为256>243>125,且111>0,所以256111>243111>125111，所以b>a>c.。
【全程温习方略】2021版中考数学精练精析 第二十六课时 全等三角形知能综合检测 北师大版(1)
知能综合检测(二十六)（30分钟 50分）一、选择题（每题4分，共12分）1.(2021·济宁中考)用直尺和圆规作一个角的平分线的示用意如下图，那么能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )(A)SSS(B)ASA(C)AAS(D)角平分线上的点到角两边距离相等2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD，CE相交于O点，且BD交AC于点D，CE交AB于点E．某同窗分析图形后得出以下结论：①△BCD≌△CBE；②△BAD≌△BCD；③△BDA≌△CEA；④△BOE≌△COD；⑤△ACE≌△BCE.上述结论必然正确的选项是( )（A）①②③（B）②③④（C）①③⑤（D）①③④3.如下图.∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF,结论：①EM=FN; ②CD=DN;③∠FAN=∠EAM; ④△ACN≌△ABM.其中正确的有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个二、填空题（每小题4分，共12分）4.（2021·绵阳中考）如图BC=EC，∠1=∠2，要使△ABC≌△DEC，那么应添加的一个条件为_____________.(答案不惟一，只需填一个)5.(2021·义乌中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，作射线AD，在线段AD及其延长线上别离取点E，F，连接CE，BF.添加一个条件，使得△BDF≌△CDE,并加以证明.你添加的条件是_______________.(不添加辅助线).6.（2021·临沂中考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC=BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，假设EF=5 cm，那么AE=_________cm．三、解答题（共26分）7.（8分）（2021·宜宾中考）如图，点A，B，D，E在同一直线上，AD=EB，BC∥DF.∠C=∠F,求证:AC=EF.8.（8分）（2020·江津中考）在△ABC中，AB=C B，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；(2)假设∠CAE=30°，求∠ACF的度数.【探讨创新】9.(10分)在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,直线MN通过点C，且AD⊥MN于D，B E⊥MN于E. (1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CE B;②DE=AD+BE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-B E；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有如何的等量关系？请写出那个等量关系，并加以证明.答案解析1.【解析】选A.由作图知，ON=OM，NC=MC，OC=OC，因此△ONC≌△OMC，取得∠AOC=∠BOC.2.【解析】选D.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE，∴①△BCD≌△CBE（ASA）；③△BDA≌△CEA（ASA）；④△BOE≌△COD(ASA).应选D.3.【解析】选C.∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，A E=AF，∴△ABE≌△ACF,∴∠EAB=∠FAC，AB=AC,∴∠EAM=∠FAN.∴△EAM≌△FAN,∴EM=FN.又∵AC=AB，∠C=∠B，∠CAN=∠BAM，∴△ACN≌△ABM,故①③④正确.4.【解析】假设依照SAS证明时，那么能够添加CD=CA；假设依照AAS证明时，那么能够添加∠A=∠D；假设依照ASA证明时，那么能够添加∠B=∠E.答案:∠B=∠E(答案不惟一)5.【解析】（1）添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或∠DEC=∠DFB等).(2)证明:在△BDF和△CDE中，∴△BDF≌△CDE.6.【解析】∵∠ACB=90°，∴∠ECF+∠BCD=90°.∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠ECF=∠B.在△ABC和△FCE中，B ECF,BC EC,ACB FEC90.∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△ABC≌△FCE （ASA），∴AC=EF.∵AE=AC-CE，BC=2 cm，EF=5 cm，∴AE=5-2=3(cm)．答案：37.【证明】∵AD=EB，∴A D-BD=EB-BD,即AB=ED，又∵BC∥DF,∴∠CBD=∠FDB，∴∠ABC=∠EDF.又∵∠C=∠F，∴△ABC≌△EDF，∴AC=EF.8.【解析】(1)∵∠ABC=90°，∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中，AE CF AB CB=⎧⎨=⎩，，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）.(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.又∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°，由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠BCF=∠BAE=15°，∴∠ACF=∠BCF+∠AC B=15°+45°=60°.9.【解析】(1)①∵AD⊥MN,BE⊥MN,∴∠ADC=∠CEB=90°.∵∠ADC=∠ACB=90°,∴∠CAD+∠ACD=90°,∴∠BCE+∠ACD=90°,∴∠CAD=∠BCE,∵AC=BC,∴△ADC≌△CEB.②∵△ADC≌△CEB,∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CE+CD=AD+BE.(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°,∴∠ACD=∠CBE,又∵AC=CB,∴△ACD≌△CBE,∴AD=CE,CD=BE,∴DE=CE-CD=AD-BE.(3)当MN旋转到图3的位置时，AD，D E，BE所知足的等量关系是DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE 等).证明如下：∵∠ADC=∠CEB=∠AC B=90°,∴∠ACD=∠CBE,又∵AC=BC，∴△AC D≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.。
中考数学精练精析 第三十五课时 图形的相似、位似知能综合检测 北师大版
知能综合检测(三十五)（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共12分）1.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )2.有一多边形草坪，在市政建设设计图纸上的面积为300 cm2，其中一条边的长度为5 cm．经测量，这条边的实际长度为15 m，则这块草坪的实际面积是( )(A)100 m2 (B)270 m2(C)2 700 m2 (D)90 000 m23.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是( )(A)-12a (B)-12(a+1)(C)-12(a-1) (D)-12(a+3)二、填空题（每小题4分，共12分）4.关于位似图形的表述,下列命题正确的是_______(只填序号).①相似图形一定是位似图形,位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形,且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点,那么,这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比.5.如图，要拼出和图1中的菱形相似的较长对角线为88 cm的大菱形（如图2）,需要图1中的菱形的个数为______.6.如图所示，正方形OEFG和正方形ABCD是位似图形，点F的坐标为（-1，1），点C的坐标为（-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是______.三、解答题（共26分）7.（8分）（2012·桂林中考）如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B(4，2)，C(2，1)．（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1,B1,C1的坐标；（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△A2B2C2，使22AB1A B2.8.(8分)宽与长之比为512∶1的矩形叫黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感，如图，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？请证明你的结论.【探究创新】9.（10分）如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′．（1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；（2）设P（x，y）为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．答案解析1.【解析】选D.对应角相等，对应边成比例的图形是相似图形.选项中两个图形的对应角都相等，A,B中只要两个对应角相等就可以判定相似；C中正方形的四条边都相等，一定对应成比例；只有D中的两个矩形对应边不成比例.2.【解析】选C．设计图与实际图形是相似图形，相似比是5∶1 500=1∶300，设草坪的实际面积是x m2，则有0.03x=(1300)2，解得x=2 700．3.【解析】选D.点C的坐标是（-1，0）,以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．如图，点B的对应点B′的横坐标是a，∴FO=a，CF=a+1，∴EC=12（a+1），∴点B的横坐标是-12（a+1）-1=-12（a+3）.4.【解析】根据位似图形的定义、性质及位似中心的定义进行判断.位似图形是加了条件(每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点)的相似图形.答案：②③5.【解析】图1的菱形的长对角线为8，所拼出的菱形的对角线长为88，又这两个菱形相似，所以相似比为88∶8=11∶1.面积比=121∶1.∴所需图1中的菱形的个数为121.答案：1216.【解析】①当两个位似图形在位似中心同旁时，位似中心就是CF与x轴的交点，设直线CF解析式为y=kx+b，将C（-4，2），F（-1，1）代入，得4k b2,k b1-+=⎧⎨-+=⎩，解得1k32b3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即y=-12x33+，令y=0得x=2，∴O′坐标是（2，0）；②当位似中心O′在两个正方形之间时，可求直线OC解析式为y=-12x，直线DE解析式为y=14x+1，联立1y x21y x14⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，解得4x32y3⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，即O′（42,33-）．答案：（2，0）或（42,33-）7.【解析】（1）如图,A1（1，-3），B1（4，-2），C1（2，-1）.(2)如图.8.【解析】方法一：留下的矩形CDF E是黄金矩形.证明：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF.又∵AB51AF51,AD AD--=∴=,即点F是线段AD的黄金分割点，∴FD AF51 AF AD-==,即FD51DC2-=，∴矩形CDFE是黄金矩形.方法二：留下的矩形CDFE是黄金矩形. ∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF.∵AB51 AD-=,∴FD AD AF AD AD51111DC DC DC AB51--==-=-=-=-,∴矩形CDFE是黄金矩形.9.【解析】（1）如图所示.(答案不惟一)（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P（x，y）以O为位似中心放大为原来的2倍为（2x,2y),经y轴翻折（-2x,2y）,向右平移4个单位（-2x+4,2y),向上平移5个单位（-2x+4,2y+5).。
中考数学精练精析 第二十四课时 图形的认识初步知能综合检测 北师大版(1)
知能综合检测(二十四)（30分钟 50分）一、选择题（每小题4分，共12分）1.(2012·盐城中考)一只因损坏而倾斜的椅子，从背后看到的形状如图，其中两组对边的平行关系没有发生变化，若∠1=75°，则∠2的大小是( )(A)75°(B)115°(C)65°(D)105°2.（2012·宜昌中考）如图，将三角尺与直尺贴在一起，使三角尺的直角顶点C(∠ACB=90°)在直尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数等于( )(A)75°(B)60°(C)45°(D)30°3.（2012·万宁中考）如图,a∥b，M,N分别在a,b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=( )(A)180°(B)270°(C)360°(D)540°二、填空题（每小题4分，共12分）4.如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E，若∠1=64°,则∠2=____________.5.如图，C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB=°_____________.6.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：①如果a∥b,a⊥c,那么b⊥c;②如果b∥a,c∥a,那么b∥c;③如果b⊥a,c⊥a,那么b⊥c;④如果b⊥a,c⊥a，那么b∥c.其中真命题是_______________(填写所有真命题的序号）.三、解答题（共26分）7.（8分）如图，直线AB与CD相交于点O，OD恰为∠BOE的平分线.（1）图中∠AOD的补角是___________（把符合条件的角都填出来）;（2）若∠AOD=140°，求∠AOE的度数.8.（8分）如图所示，有下面4个判断：①∠1=∠ACB，②∠2=∠3，③FH⊥AB于H，④CD⊥AB.请以其中的3个为条件，另一个为结论写一个真命题，并给出证明.【探究创新】9．（10分）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系.（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B=∠BOD.又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB,CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线C D于点Q，如图c，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．答案解析1.【解析】选D.如图，根据上下的两边平行可知∠1=∠3=75°，根据左右的平行可知∠2+∠3=180°，进而求得∠2=105°.2.【解析】选D.根据直尺的两边互相平行，∠C=90°可得∠2=90°-∠1=90°-60°=30°.3.【解析】选C.如图，过点P作AB∥a，∵a∥b，∴AB∥b.根据两直线平行，同旁内角互补，∴∠1＋∠MPB=180°，∠BPN＋∠3=180°，则∠1＋∠MPB＋∠BPN＋∠3=360°，即∠1＋∠2＋∠3=360°.4.【解析】∵∠1+∠BAC=180°, ∠1=64°,∴∠BAC=116°.∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=58°.∵AC∥BD,∴∠CAE+∠2=180°，∴∠2=180°-58°=122°.答案：122°5.【解析】如图所示，过点C作射线CD与南北方向平行，则根据两直线平行，内错角相等可知∠ACD=60°，∠BCD=45°，因此∠ACB=105°.答案：1056.【解析】根据平行线的性质及判定可以得出①②④是正确的，③是错误的.答案：①②④【知识拓展】垂线的性质及垂直的应用1.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行.2.在同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，则必垂直于另一条直线.3.当两直线平行时，被第三条直线所截构成的同旁内角的角平分线互相垂直.4.一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，这两个角相等或互补.7.【解析】（1）由图示可得，∠AOD+∠AOC=180°，∠AOD+∠BOD=180°，又OD为∠BOE的平分线，可得∠BOD=∠DOE，故∠AO D+∠DOE=180°，故∠AOD的补角是∠AOC，∠BOD，∠DOE.（2）∵∠AOD=140°，∴∠BOD=40°.∵OD为∠BOE的平分线，∴∠DOE=40°，∴∠AOE=∠AOD-∠DOE=100°.8.【解析】已知：①②③，求证④.（答案不惟一）∵∠1=∠ACB，∴DE∥BC，∴∠2=∠DCB.又∵∠2=∠3，∴∠3=∠DCB，∴CD∥FH，∴∠CDB=∠FHB.∵FH⊥AB,∴∠FHB=90°,∴∠CDB=90°，∴CD⊥AB.9．【解析】（1）不成立，结论是∠BPD=∠B+∠D.延长BP交CD于点E,∵AB∥CD,∴∠B=∠BED.又∠BPD=∠BED+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D.（2）结论：∠BPD=∠BQD+∠B+∠D.（3）由（2）的结论得：∠AGB=∠A+∠B+∠E.又∵∠AGB=∠CGF,∠CG F+∠C+∠D+∠F=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.。
【全程温习方略】2021版中考数学精练精析 第二十五讲 图形与证明知能综合检测 北师大版(1)
知能综合检测第二十五讲图形与证明（40分钟 60分）一、选择题(每题5分，共20分)1.(2012·黄冈中考)假设按序连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是矩形，那么四边形ABCD必然是( )(A)矩形(B)菱形(C)对角线相互垂直的四边形(D)对角线相等的四边形2.已知以下命题：①对角线相互平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线相互垂直且相等的四边形是正方形；④内错角相等．其中假命题有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，第一应假设那个三角形中( )(A)有一个内角大于60°(B)有一个内角小于60°(C)每一个内角都大于60°(D)每一个内角都小于60°4.(2020·毕节中考)如图，已知AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线MD交AC于点D、交AB于点M.以下结论：①BD是∠ABC的平分线；②△BCD是等腰三角形；③△ABC∽△BCD；④△AMD≌△BCD，正确的有( )(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个二、填空题(每题5分，共15分)5.“全等三角形的对应边相等”的条件是________，结论是________.6.“两个锐角的和是钝角”是一个假命题，请举出一个反例说明：________.7.(2020·广州中考)已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，以下四个命题：①若是a∥b，a⊥c，那么b⊥c;②若是b∥a，c∥a，那么b∥c；③若是b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④若是b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中是真命题的是________.(填写所有真命题的序号)三、解答题(共25分)8.(12分)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°.点E为底AD上一点，将△ABE沿直线BE 折叠，点A落在梯形对角线BD上的G处，EG的延长线交直线BC于点F.(1)点E能够是AD的中点吗？什么缘故？(2)求证：△ABG∽△BFE.【探讨创新】9.(13分)如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.(1)试猜想AE与GC有如何的位置关系，并证明你的结论.(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和CG.你以为(1)中的结论是不是还成立？假设成立，给出证明；假设不成立，请说明理由.答案解析1.【解析】选C.按序连接任意四边形ABCD各边的中点所得的四边形必然是平行四边形，假设按序连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，那么四边形ABCD必然是对角线相互垂直的四边形.2.【解析】选B.①对角线相互平分的四边形是平行四边形，故①是真命题；②等腰梯形的对角线相等，故②是真命题；③对角线相互垂直平分且相等的四边形是正方形，故③是假命题；④两直线平行，内错角才相等，故④是假命题．3.【解析】选C.用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，要先提出与命题结论相反的结论作为假设，因此应假设那个三角形中每一个内角都大于60°.【归纳整合】反证法中经常使用的“反面”总结如下：不是—是；不存在—存在；不平行—平行；不相等—相等；不垂直—垂直；不都是—都是；不大于—大于；不小于—小于；至少有一个—一个也没有；至少有三个—最多有两个；至少有n个—最多有(n-1)个.4.【解析】选B.由已知可得，AD=BD，∠ABD=∠A=36°，∴①BD是∠ABC的平分线正确；∠BDC=∠ABD+∠A=72°=∠C,∴②△BCD是等腰三角形正确；△ABC和△BCD中，∠C是公共角，∠BDC=∠ABC=72°,∴③△ABC∽△BCD正确；④错误.5.【解析】把“全等三角形的对应边相等”写成“若是……那么……”的形式为“若是两个三角形全等，那么它们的对应边相等”，因此它的条件是“两个三角形是全等三角形”，结论是“对应边相等”.答案：两个三角形是全等三角形对应边相等6.【解析】所举反例应知足：两个角都是锐角，且相加以后仍然是锐角或直角，如两个角别离是30°和20°.答案：两个角别离为30°和20°(此题答案不惟一)7.【解析】依照四个命题的描述，画图如下，从而直接由图确信答案．答案：①②④8.【解析】(1)不能够；据题意：AE=GE，∠EGB=∠EAB=90°，∴Rt△EGD中，GE<ED,∴AE<ED.(注：大致说出意思即可；反证法叙述也可.)(2)∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF.∵△EAB≌△EGB,∴∠AEB=∠GEB.∴∠EBF=∠BEF,∴FE=FB,即△FEB为等腰三角形.∵∠ABG+∠GBF=90°，∠GBF+∠EFB=90°，∴∠ABG=∠EFB.在等腰△ABG和△FEB中，∠BAG=(180°-∠ABG)÷2,∠FBE=(180°-∠EFB)÷2，∴∠BAG=∠FBE.∴△ABG∽△BFE.【探讨创新】9.【解析】(1)AE⊥GC.证明:延长GC交AE于点H.在正方形ABCD与正方形DEFG中,AD=DC,∠ADE=∠CDG=90°,DE=DG,∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2.∵∠2+∠3=90°,∴∠1+∠3=90°,∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°=90°，∴AE⊥GC.(2)成立.证明:延长AE和GC相交于点H.在正方形ABCD和正方形DEFG中,AD=DC,DE=DG,∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°,∴∠1=∠2=90°-∠3,∴△ADE≌△CDG,∴∠5=∠4.又∵∠5+∠6=90°,∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°.∴∠6=∠7,又∵∠6+∠AEB=90°,∠AEB=∠CEH.∴∠CEH+∠7=90°,∴∠EHC=90°,∴AE⊥GC.。
【全程温习方略】2021版初中数学 专题综合检测 专题四 阅读明白得问题精练精析 北师大版(1)
专题综合检测(四)（30分钟 50分）一、选择题(每题5分，共10分)1.在平面直角坐标系中，设点P 到原点O 的距离为p ，OP 与x 轴正方向的夹角为α，那么用［p,α］表示点P 的极坐标；显然，点P 的极坐标与它的坐标存在一一对应的关系.例如，点P 的坐标(1,1)，那么极坐标为［2,45°］.假设点Q 的极坐标为［4,60°］,那么点Q 的坐标为( )(A)(2,23)(B)(2,-23) (C)(23,2) (D)(2,2)2.(2011·滨州中考)在快速计算法中,法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,那么8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出的手指数应该别离为( )(A)1,2 (B)1,3 (C)4,2 (D)4,3二、填空题(每题5分，共15分)3.已知：23A =3×2=6，35A =5×4×3=60，45A =5×4×3×2=120，46A =6×5×4×3=360，…，观看前面的计算过程，寻觅计算规律计算37A =_________(直接写出计算结果)，并比较310A __________410A (填“＞”或“＜”或“=”).4.(2021·潍坊中考)如图中每一个小方格的面积为1,那么可依照面积计算取得如下算式:1+3+5+7+…+(2n-1)=____________.(用n 表示,n 是正整数)5.(2020·黄石中考)初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用(m ，n)表示第m 行第n 列的座位，新学期预备调整座位，设某个学生原先的座位为(m ，n)，若是调整后的座位为(i ，j),那么称该生作了平移［a,b ］=［m-i ，n-j ］，并称a+b 为该生的位置数.假设某生的位置数为10，那么当m+n 取最小值时，m ·n 的最大值为____________.三、解答题(共25分)6.(12分)(2021·北京中考)在平面直角坐标系xOy中，关于任意两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)的“超级距离”，给出如下概念：假设|x1-x2|≥|y1-y2|，那么点P1与点P2的“超级距离”为|x1-x2|；假设|x1-x2|<|y1-y2|，那么点P1与点P2的“超级距离”为|y1-y2|.例如，点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1-3|<|2-5|，因此点P1与点P2的“超级距离”为|2-5|=3，也确实是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值(点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q 的交点)．，0)，B为y轴上的一个动点，(1)已知点A(-12①假设点A与点B的“超级距离”为2，写出一个知足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“超级距离”的最小值；x+3上的一个动点，(2)已知C是直线y=34①如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“超级距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“超级距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．【探讨创新】7.(13分)如图，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD(含端点)上，落点记为E，这时折痕与边BC或边CD(含端点)交于点F，然后展开摊平，那么以B,E,F为极点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．(1)由“折痕三角形”的概念可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”必然是一个__________三角形；(2)在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．当它的“折痕△BEF”的极点E位于边AD的中点时，画出那个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；(3)在矩形ABCD 中， AB=2，BC=4．该矩形是不是存在面积最大的“折痕△BEF ”？假设存在，说明理由，并求出现在点E 的坐标；假设不存在，什么缘故？答案解析1.【解析】选A.依照极坐标的概念，点Q 的极坐标为［4,60°］,点Q 到原点O 的距离是4，OQ 与x 轴正半轴的夹角是60°，运用解直角三角形的知识可得点Q 坐标是(2,23).应选A.2.【解析】选A.由题意知,在计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,3=8-5,4=9-5,那么在计算6×7时,左手伸出6-5=1根手指,右手伸出7-5=2根手指,即左、右手伸出的手指数应别离为1，2.3.【解析】37A =7×6×5=210.∵310A =10×9×8=720， 410A =10×9×8×7=5 040． ∴341010A A ＜.答案：210 ＜4.【解析】∵1+3=22,1+3+5=32,∴1+3+5+7=42,1+3+5+7+…+(2n-1)=n 2.答案：n 25.【解析】由已知，得a+b=m-i+n-j ，即m-i+n-j=10，∴m+n=10+i+j ，当m+n 取最小值时，i+j 最小为2，∴m+n 的最小值为12，∵m+n=12=3+9=4+8=5+7=6+6=…，m ·n的最大值为6×6=36．答案：366.【解析】(1)①(0,-2)或(0，2)②12 (2)①设点C 坐标为(x 0,34x 0+3)，如图，过点C 作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q. 由“超级距离”的概念知，当OP=DQ 时，点C 与点D 的“超级距离”最小.∴|x 0-0|=|34x 0+3-1|. 两边平方并整理，得720x -48x 0-64=0，解得，x 0=-87或x 0=8(大于87，舍去). ∴点C 与点D 的“超级距离”的最小值距离为87，现在C(-87，157). ②设直线y=34x+3与x 轴和y 轴交于点A ，B ，过点O 作直线y=34x+3的垂线交直线y=34x+3于点C ，交圆于点E ，过点C 作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，作EN ⊥y 轴于点N.易患，OA=4，OB=3，AB=5.由△OAB ∽△MEO ，OE=1，得OM=35，ON=45. ∴E(-35,45). 设C 坐标为(x 0,34x 0+3), 由“超级距离”的概念知，当MP=NQ 时，点C 与点E 的“超级距离”最小，∴00334x x 3.545+=+- 两边平方并整理，得175x 02-840x 0-1 792=0.解得，x 0=-85或x 0=22435(大于85，舍去). ∴点C 与点E 的“超级距离”的最小值距离为1，现在C(-85，95)，E(-35，45). 【高手支招】归纳归纳型阅读明白得题解题步骤：1.快速阅读，把握大意专门留意材料中的问题情景、具体数据、关键语句、问题的提出方式.2.认真阅读，提炼信息注意材料中各元素的内在联系，专门是一些特殊条件(如附加公式)，以简明的方式列出各量的关系，提炼信息.3.慢慢解答，探讨规律分析对照各部份计算结果，探讨其内在的联系及规律，并能明白得其正确性.4.把握规律，拓展应用.【探讨创新】7.【解析】(1)等腰(2)如图①连接BE，画BE的中垂线交BC于点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，∴点A在BE的中垂线上，即折痕通过点A．∴四边形ABFE为正方形．∴BF=AB=2．∴F(2，0)．(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕△BEF，其面积为4．理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．S△BEF≤12S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．②当F在边CD上时，如图③所示．过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于点K．∵S△EKF=12KF·AH≤12HF·AH=12S矩形AHFD，S△BKF=12KF·BH≤12HF·BH=12S矩形BCFH,∴S△BEF≤12S矩形ABCD=4.即当F为边CD中点时，△BEF面积最大为4．①当F与点C重合时，如图④所示.由折叠可知CE=CB=4，在Rt△CED中，2222CE CD4223,--=∴AE=4-23，∴E(4-23,2).②当F在边DC中点时，点E与点A重合，如图⑤所示.现在E(0,2).综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E(0,2)或3,2).。
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知能综合检测第二十三讲相似
（40分钟 60分）
一、选择题(每小题5分，共20分)
1.已知图(1),(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB,CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是( )
(A)都相似(B)都不相似
(C)只有(1)中的相似(D)只有(2)中的相似
2.如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于O，且将这个四边形分成①,②,③,
④四个三角形．若OA∶OC=OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
(A)①和②相似(B)①和③相似
(C)①和④相似(D)②和④相似
3.如图，在直角三角形ABC中(∠C＝90°),放置边长分别为3,4,x的三个正方形，则x的值为( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)12
4.(2012·宜宾中考)如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD ，CD=1
2
AB ，
点E ，F 分别为AB ，AD 的中点，则△AEF 与多边形BCDFE 的面积比为( )
(A)1 7
(B)1 6
(C)1 5
(D)
14
二、填空题(每小题5分，共15分)
5.(2012·重庆中考)已知△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1，则△ABC 与△DEF 的面积之比为________.
6.如图，利用标杆BE 测量建筑物DC 的高度，如果标杆BE 长为1.5米，测得AB=2米，BC=10米，且点A,E,D 在一条直线上，A ，B ，C 在一条直线上，则楼高CD 是________米.
7.(2012·天门中考)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的
中点，DF 过EC 的中，点G 并与BC 的延长线交于点F ，BE 与DF 交于点O ．若△ADE 的面积为S ，则四边形BOGC 的面积=________． 三、解答题(共25分)
8.(11分)(2012·菏泽中考)如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，P 1，P 2，P 3，P 4，P 5是△DEF 边上的5个格点，请按要求完成下列各题： (1)试证明△ABC 为直角三角形；
(2)判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；
(3)画一个三角形，它的三个顶点为P 1，P 2，P 3，P 4，P 5中的3个格点并且与△ABC 相似(要求：用尺规作图，保留痕迹，不写作法与证明).
【探究创新】
9.(14分)如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm，点P
沿AB边从A向B以2 cm/s的速度移动；点Q沿D A边从D向A
以1 cm/s的速度移动.如果P,Q同时出发，用t(s)表示移动时
间(0≤t≤6)，那么：(1)当t为何值时，△QAP为等腰直角三
角形？
(2)求四边形QAPC的面积,你有什么发现？
(3)当t为何值时，以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？
答案解析
1.【解析】选A.图(1)中，利用三角形的内角和可以求出另外的一个内角，此时再根据一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似，可以得到它们相似；图(2)根据夹角相等，夹角的两边成比例，可以判断这两个三角形也相似.
【归纳整合】常见的相似三角形的基本图形
(1)A型，如图所示：
(2)共角型，如图所示：
(3)X 型，如图所示：
(4)K 型，如图所示：
2.【解析】选B.∵OA ∶OC=OB ∶OD ，又因为∠AOB=∠COD(对顶角相等)，∴①与③相似.
3.【解析】选C.由于该图中出现三个正方形和本身是直角三角形，所以很容易发现里面所有的直角三角形都是相似的，因此要求x 的长，可考虑用相似来求，如图，易得△DEF ∽△IGH ，所以
DF EF
IH GH
=，
即x 33
4x 4
=－，－解得x=7.
4.【解析】选C.连接BD ，得EF 为△ABD 的中位线，故△AEF ∽△ABD ，S △ABD =
4S △AEF ，由AB=2CD 且AB ∥CD 得S △ABD =2S △BCD ，∴S 梯形ABCD =6S △AEF ，故△AEF 与多边形BCDFE 的面积比为：1∶5，故答案为C.
5.【解析】∵△ABC ∽△DEF ，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为1， ∴三角形的相似比是3∶1，
∴△ABC 与△DEF 的面积之比为9∶1． 答案：9∶1
6.【解析】根据题意得，△ABE ∽△AC D,所以AB BE ,AC CD =即21.5
210CD
=+，
解得CD=9. 答案：9
7.【解析】∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，∴DE ∥BC ，DE=1
2
BC ，∴△ABC ∽△ADE ，∴△ABC 的面积
为4S.∴四边形BDEC 的面积为3S.∵点D 是边AB 的中点，∴△BDE 的面积为S.∵点G 是边CE 的中点，∴
△DEG ≌△FCG ，∴DE=FC ，∴BF=3DE.∵DE ∥BC ，∴△DOE ∽△BOF ，∴OE DE
OB BF
=，
∴OB=3OE.∴△DOB 的面积为
34S.∵点G ，E 分别是边EC ，AC 的中点，∴AE=2EG ，∴△DEG 的面积为1
2S ，∴四边形BOGC 的面积=3S-
34S-12S=74
S. 答案：74
S
8.【解析】(1)根据勾股定理，得AB 25AC 5==，，
BC=5； 显然有AB 2
+AC 2
=BC 2
，
根据勾股定理的逆定理得△A BC 为直角三角形. (2)△ABC 和△DEF 相似． 根据勾股定理，得AB 2
5AC 5BC 5===，，，
DE 42DF 22EF 210===，，． AB AC BC 5
DE DF EF 22
∴
=== ∴△ABC ∽△DEF ． (3)如图：△P 2P 4P 5．
【探究创新】
9.【解析】(1)对于任意时刻的t 有：AP=2t ，DQ=t ，AQ=6-t ， 当AQ=AP 时，△AQP 为等腰直角三角形，
即6-t=2t，∴t=2，
∴当t=2时，△QAP为等腰直角三角形. (2)在△AQC中，AQ=6-t，AQ边上的高CD=12，
∴S△AQC=1
2
(6－t)×12=36－6t.
在△APC中，AP=2t，AP边上的高CB=6，
∴S△APC=1
2
×2t×6=6t.
∴四边形QAPC的面积
S四边形QAPC=S△AQC+S△APC=36-6t+6t=36(cm2) ，
∴经计算发现：点P,Q在运动的过程中，四边形QAPC的面积保持不变.
(3)根据题意，应分两种情况来研究：
①当QA AP
AB BC
=时，△QAP∽△ABC，
则有6t2t
126
-
=，求得t=1.2(s).
②当QA AP
BC AB
=时，△PAQ∽△ABC，
则有6t
6
-
=
2t
12
，求得t=3(s).
∴当t=1.2 s或3 s时，以点A,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.。