河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试数学(理)试题(解析版)

合集下载

河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(解析版)

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（） A ．{0,1} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 【答案】A 【解析】试题分析：图中阴影部分表示的集合为(){}0,1UAB =,故选A.考点：1.集合的图形表示；2.集合的运算.2. 已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1zi+的点是（） A ．M B ．N C ．P D ．Q 【答案】D选D.考点：1.复数的几何意义；2.复数的运算.3. 如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（） A ．14π-B ．4πC ．18π-D ．与a 的取值有关【答案】A 考点：几何概型.4. 某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（）【答案】D 【解析】试题分析：由表格可知，2456855m ++++==，所以 6.5517.550t =⨯+=，所以有30405070505p ++++=，解得60p =，故选D.考点：线性回归.5. 已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于22222152c a b a e a a a ++==== 52.以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 【答案】C考点：双曲线的标准方程与几何性质.6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A ．1133 B ．35 C. 1043 D ．1074【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一个三棱柱去掉两个三棱锥，三棱柱的底面为底与高皆为4的等腰三角形，三棱柱的高为5，两个三棱锥的底面底与高皆为4的等腰三角形，高为1，因此几何体的体积为11110444524412323V =⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故选C. 考点：1.三视图；2.多面体的表面积与体积.7. 公元263n 为（）（参考数据：3 1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°） A ．12 B ．24 C. 36 D ．4 【答案】B考点：1.数学文化；2.程序框图.8. 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（）A ．B ． C. D ．【答案】D 【解析】试题分析：由图象可知，函数1()tan ()2t f x x π==-，由此知此函数是由tan y x π=的图象向右平移12个单位得到的，由选项可知D 正确，故选D.看完考点：三角函数的图象与性质.9. 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（） A ．26 B ．212 C. 24 D ．312【答案】B考点：1.球的切接问题；2.棱锥的体积.10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积3S =，则ab 的最小值为（） A ．12 B ．13 C. 16D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由2cos 2c B a b =+及正弦定理得2sin cos 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2cos sin sin C B A B B C B B C B C B =+=++=++，所以2sin cos sin 0B C B +=，又因为B 为三角形内角，sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，又133120,sin 2412C S ab C ab =︒===，即3ab c =，由余弦定理可得 2222292cos 3a b c a b ab C ab ==+-≥，当且仅当a b =时等号成立，解此不等式得13ab ≥，即ab 的最小值为13，故选B. 考点：1.正弦定理与余弦定理；2.基本不等式.【名师点睛】本题综合考查解三角形与基本不等式，属中档题；利用正弦定理可以求解一下两类问题：（1）已知三角形的两角和任意一边，求三角形其他两边与角；（2）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形其他边与角．利用余弦定理主要解决已知两边及夹角求其它元素问题.11. 已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03xx x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（）A ．(3,4)B ．(2,)+∞ C. (2,5) D ．(3,22) 【答案】B 考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 12. 已知直线y a =分别与函数1x y e +=和1y x =-交于,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（）A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 【答案】D考点：导数与函数的单调性、极值、最值.【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值、最值，属难题；利用导数求函数的最值是每年高考的重点内容，求函数在闭区间[,]a b 上的最值，先研究函数的单调性，若函数在该区间上单调，则两端点的值即为最值，若在区间上有极值，比较极值与两端点的值即可求其最值.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若61()n x x x+的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.【答案】5 考点：二项式定理.14. 已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆的面积为3，则p 的值为__________. 【答案】2 【解析】试题分析：抛物线的焦点为(,0)2p F ，准线为2p x =-，设00(,)A x y ，则02pAF x =+，又因为60AFM ∠=︒ ，003sin 60()22p y AF x =︒=+，所以0013()3282OAF p pS OF y x ∆=⋅=+=，所以082p x p =-，00343()22p y x p=+=，代入2002y px =得24882()2p p p p =-，解之得2p =或23p =，又当23p =时，FA 与x 轴正方向的夹角为120，不符合题意，所以2p =. 考点：抛物线的标准方程及几何性质.15. 在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________. 【答案】84 【解析】试题分析：甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生,①当有两所医院二人，一所医院一人时总数为22353333C C A A ⨯种，其中有甲、乙二人或丙、丁二人在同一组的有33334A A +种；②有两所医院分1 人另一所学校分三人有113223C C A .故满足条件的公法共有()223331135333322333484C C A A A C C A A ⨯-++=种方法. 考点：1.两个计数原理；2.排列与组合.【名师点睛】本题考查两个计数原理与排列与组合，属中档题；涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．16. 若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1a ≤- 考点：线性规划.【名师点睛】本题考查线性规划问题，属中档题；线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．本题则是考查二元一次不等式的几何意义，在直线一侧的点的坐标适合同一个不等式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.【答案】(1) 12,32n n n a b n -==-；(2) ()3525n n T n =-⋅+.考点：1.n a 与n S 的关系；2.等差数列、等比数列的定义与性质；3.错位相减法求数列的和.【名师点睛】本题考查n a 与n S 的关系、等差数列、等比数列的定义与性质及错位相减法求数列的和，属中档题；解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解． 18. （本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）39100；（2）列联表见解析,有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关. （Ⅱ）根据以上数据得到如表：非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计…………8分2K 的观测值()22100638227 4.575 3.84185153070K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关.…………………………12分考点：1.古典概型；2.独立性检验.【名师点睛】本题考查古典概型与独立性检验，属中档题；独立性检验是一种统计案例，是高考命题的热点，高考命题角度主要有：1.已知分类变量数据，判断两类变量的相关性；2.已知某些数据，求分类变量的部分数据；3.求2K 的观察值或已知观察值，判断命题的正确性. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，1112AC AA =，114C AA π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ；（2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)见解析；(2) 22211. 【解析】（2）连接1AC ，在11AAC 中，11111,24C A A AC AA π∠==，所以由余弦定理得2222111111*********cos ,,AC AA AC AA AC AAC AA AA AC A AC =+-⨯∠=∴=∆是等腰直角三角形，11AC AA ⊥，又因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，平面11AAC C 平面1111,ABB A AA AC =∴⊥平面11ABB A ，AB ⊂平面11ABB A ，1AC AB ∴⊥，…………7分又因为侧面11ABB A ，为正方形，1AA AB ∴⊥，分别以11,,AA AB AC 所在直线作为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AB =，则()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D -， ()()()()111112,1,1,1,2,1,1,0,1,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-，………………8分设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =，则11110,0m A C m A B •=•=，即11100x z y -+=⎧⎨=⎩，令11x =，则221,3y z ==，故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量，所以22211222cos ,112113m n m n m n⨯+<>===⨯⨯++，平面111A B C 与平面1CB D 222考点：1.线面平行、面面平行的判定与性质；2. 线面垂直、面面垂直的判定与性质；3.空间向量的应用. 20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2)2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点2)P 到椭圆C 6. （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.【答案】(1)22184x y+=；(2)45,43⎛⎤⎥⎝⎦.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系.21. （本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值.【答案】(1)0,1a b ==；(2)1m n +=-.【解析】（2）不等式()()()2101112x f x x e x x x ⎛⎫>⇔-⋅>-++ ⎪⎝⎭，整理得()211102x x e x x ⎡⎤⎛⎫--++> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，…………6分令()()()()()211,1,12x x x g x e x x h x g x e x h x e ⎛⎫''=-++==-+=- ⎪⎝⎭. 当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<，()h x ∴在(),0-∞单调递减，在()0+∞，单调递增，()()00h x h ∴≥=，即()0g x ≥，所以()g x 在R 上单调递增，而()00g =；故2211100;10022x x e x x x e x x x ⎛⎫⎛⎫-++>⇔>-++<⇔< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴当0x <或1x >时，()0f x >；同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴当()()20f x x mx n ⋅+-≥恒成立可得，当0x <或1x >时，20x mx n +-≥，当01x ≤≤时，20x mx n +-≤，故0和1是方程20x mx n +-=的两根，从而1,0,1m n m n =-=∴+=-.…………12分考点：1.导数的几何意义；2.导数与函数的单调性、极值；3.函数与方程、不等式.请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为123x t y t =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C 上任一点，求2232x xy y -+的最小值，并求相应点M 的坐标.【答案】（1）直线的普通方程3320x y --+=,曲线C 的普通方程为224x y +=；（2）最小值为1，相应的点为31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.∴当cos 213πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即132x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，上式取最小值1. 即当31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2232x xy y -+的最小值为1. 【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化；3.大陆架参数方程的应用.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3.（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.【答案】(1) 3a b +=；(2) 132a <<. 【考点】1.绝对值不等式的性质；2.函数与不等式.。

衡水中学2017届高三上学期一调考试数学(理)试题(解析版)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q = （） A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()0,1D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A考点：集合的运算．2.已知i 为虚数单位，复数z满足()2311i z =-，则z 为（）A ．12B．2 C．4D．16【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，()321i 41z z -==⇒==，故选C ．考点：复数的运算．3.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A ．8B ．12C ．18D ．24【答案】B考点：几何体的三视图及几何体的体积．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图，得出该几何体是一个三棱锥与三棱柱的组合体，即可求解该组合体的体积．学科4.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝．则其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】试题分析：由22(2)4(1)440a a ∆=--⨯-=+>，所以方程2210x ax --=有两个实数跟，所以命题p 是真命题；当0x <时，函数()4f x x x=+的取值为负值，所以命题q 为假命题，所以p q ∨，p q ∧⌝，p q ⌝∨⌝是真命题，故选C ．考点：命题的真假判定．5.由曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103B ．4C ．163D ．6 【答案】C考点：定积分求解曲边形的面积． 6.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，()211cos cos 1e 1e x x xe f x x x -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭，所以()1cos()1e x x e f x x ----=⋅-+ 1cos ()1ex x e x f x -=⋅=-+，所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，C ；令1x =，则()12111cos1cos101e 1e e f -⎛⎫⎛⎫=-=< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故选B ．考点：函数的奇偶性及函数的图象．7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．1321B ．2113C ．813D ．138【答案】D考点：程序框图的计算．8.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A 【解析】试题分析：设()(),xxg x e f x e x R =-∈，则()()()()[()1]xxxx g x e f x e f x ee f x f x '''=+-=+-，因为()()1f x f x '+>，所以()()1f x f x '+-0>，所以()0g x '>，所以()y g x =是单调递增函数，因为()e e 3x x f x >+，所以()3g x >，又因为()()00003g e f e =-=，即()()0g x g >，所以0x >，故选A ．考点：利用导数研究函数的单调性．9.若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（）AB ．2 C．D ．8【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．10.已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（） A．12⎫⎪⎪⎣⎭ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．4⎫⎪⎪⎣⎭ D．12⎫⎪⎪⎣⎭ 【答案】A 【解析】试题分析：作出函数()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩的图象，如图所示，因为存在21,x x 当210x x >≥时，()()12f x f x =，所以1102x ≤<，因为12x +在1[0,)2上的最小值为11,22x -在1[,2)2所以1111222x x +≥⇒≥，所以11122x ≤<，因为()()11211(),2f f x x f x x =+=，所以()21211111()2x f x x f x x ==+，令21112y x =+（11122x ≤<），所以21112y x =+为开口向上，对称轴为14x =-上抛物线，所以21112y x =+在区间1)2上递增，所以当x =y =，当12x =时，12y =，即()12x f x的取值范围是12⎫⎪⎪⎣⎭，故选A ．考点：对数函数的图象及二次函数的性质． 11.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C选C ．考点：根的存在性及根的个数判断．【方法点晴】本题主要考查了方程中根的存在性及其方程根的个数的判读，其中解答中涉及到函利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，以及数与方程思想的应用、试题有一定的难度，属于中档试题，解答中利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质是解答问题的关键，着重考查了学生转化与化归思想、推理与运算能力．12.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究过曲线在某点的切线方程，其中解答中涉及到函数的求导数的公式、两条直线的位置关系的判定与应用，解答此类问题的关键在于把问题转化为集合之间的关系，列出不等式组求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．【答案】1m =考点：简单的线性规划的应用．14.函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤⎥⎝⎦【解析】试题分析：由题意得e 0xy mx =-=，得x e m x =，设()()22(1)x x x x e e x e e x f x f x x x x ⋅--'=⇒==，可得()f x 在区间(1,3)上单调递增；在区间(0,1)上单调递减，所以当1x =时，函数()f x 取得极小值，同时也是最小值()1f e =，因为当0x →时，()f x →+∞，当3x =时，()333e f =，所以要使得函数e xy mx=-在区间(0,3]上有两个零点，所以实数m 的取值范围是3e e 3m <<．考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．15.已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________．【答案】11考点：利用导数研究函数的极值．【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值0()0f x '=，反之结论不成立，即函数由0()0f x '=，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________．【答案】12x ≤考点：抽象的性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的性质及其应用，其中解答中涉及到利用到导数研究函数的单调性、函数单调性的应用、不等式的求解等知识点的考查，同时考查了构造函数研究函数性质的能力，其中根据题设，利用导数研究出函数的单调性是解答的关键，着重考查了转化与化归思想及学生的推理与运算能力．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．【答案】（1）π4A =；（2）a = 【解析】试题分析：（1）根据正弦定理化简得sin sin sin cos 2cos 3cos A B CA B Cθ==，即可得到tan 2tan B A =， tan 3tan C A =，利用三角恒等变换，可知求解tan 1A =，即可求解角A 的大小；（2）利用正弦定理得出sin sin Bb a A=，代入三角形的面积公式，即可求解a 的值．（2）由tan 1A =可得tan 2B =，tan 3C =，则sin B =，sin C =．在ABC ∆中有sin sin a b A B =，则sin sin B b a A ===，则2113sin 32255ABCa S ab C a ∆==⨯==．得25a =，所以a =考点：正弦定理；三角形的面积公式． 18.（本小题满分12分）函数21()ln 22f x x ax x =--．（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围．【答案】（1）增区间是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，减区间是1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【解析】（2）首先，对于任意()1,a ∈-+∞，21ln 22x ax x b --<恒成立，则2max1ln 22b x ax x ⎛⎫>-- ⎪⎝⎭ 因为函数()2211ln 22ln 22h a x ax x x a x x =--=--+在()1,-+∞上是减函数，所以()()2112ln 2h a h x x x <-=-+，212ln 2b x x x ∴≥-+其次，()1,x e ∃∈，使不等式212ln 2b x x x ≥-+成立，于是2min12ln 2b x x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭ 令()212ln 2g x x x x =-+，则()()21120x g x x x x-'=-+=≥，所以函数()g x 在()1,e 上是增函数，于是()()min 312g x g ==，故32b >-，即b 的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭考点：利用导数研究函数的单调性及其最值． 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值．【答案】（1）sin B =；（2）cos cos A C -=．【解析】试题分析：（1）根据正弦定理得4sin sin B A A =，即可求解sin B 的值；（2）已知和正弦定理以及考点：正弦定理；三角函数的化简求值． 20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）．（1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（2）设m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a的取值范围．【答案】（1）1b a>；（2）22111e e 4e e 2a --<<----．【解析】试题分析：（1）求出函数的导数()f x '，函数()y f x =存在极大值和极小值，故方程()0f x '=有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解ba的取值范围；（2）由2e1,2eb a⎫+∈⎪⎭得0a>，且2e12eba⎛⎫+∈⎪⎭．由（1）知()f x存在极大值和极小值，设()0f x'=的两根为1x，2x（120x x<<），则()f x在()10,x上递增，在()12,x x上递减，在()2,x+∞上递增，所以()1m f x=，()2n f x=，根据121x x=可把m n-表示为关于1,x a的表达式，再借助1x的范围即可求解a的取值范围．试题解析：（1）()2224224a ax bx af x ax bx x-+'=-+=，其中0x>……………2分由于函数()y f x=存在极大值和极小值，故方程()0f x'=有两个不等的正实数根，即22420ax bx a-+=有两个不等的正实数根记为1x，2x，显然0a≠…………4分所以()221212160,20,10.b abx xax x⎧∆=->⎪⎪+=>⎨⎪=>⎪⎩解得1ba>．…………………………………………6分令21t x =，则12ln m n a t a t t ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，令()21112ln ee h t t t t t ⎛⎫⎛⎫=--+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()()22211210t h t tt t-'=--+=-≤，所以()h t 在211,e e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()122e e 2e e 4h t ----<<-- 由()1m n ah t -==，知()1a h t =，所以22111e e 4e e 2a --<<----，………1分考点：利用导数研究函数的单调性及其极值．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中根据121x x =可把m n -表示为关于1,x a 的表达式，借助1x 的范围是试题的难点，此类问题需平时注重总结和整理．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()ex x g x =．（1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．【答案】（1）()F x 在区间()1,2有且仅有唯一实根；（2）1202x x x +>，证明见解析．显然当2x →+∞时，1202x x x +>，下面用分析法给出证明．要证：1202x x x +>即证20102x x x x >->，而()m x 在()0,x +∞上递减，故可证()()2012m x m x x <-，又由()()12m x m x =，即证()()1012m x m x x <-，即01011122ln x x x x x x e--<， …………9分记()0022ln x xx xh x x x e--=-，01x x <<，其中()00h x =． ()0000022212211ln 1ln x x x x x xx x x x h x x x e e e---+--'=++=++-， …………10分记()t t t e ϕ=，()1t t t e ϕ-'=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<；()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>故()max 1t eϕ=，而()0t ϕ>故()10t e ϕ<<，而020x x ->，从而002210x x x x e e ---<-<，因此()00000222122111ln 1ln 10x x x x x x x x x x h x x x e e e e---+--'=++=++->->，…………11分即()h x 单增．从而01x x <<时，()()00h x h x <=即01011122ln x x x xx x e --<，故1202x x x +>得证…………12分考点：利用导数研究函数的单调性及其极值（最值）．【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，综合考查了学生综合运用知识分析问题和解答问题的能力，试题综合性强、计算量大，能力要求高，属于难题，解答中由（1）和题设条件，得出函数()00ln ,1,xx x x x m x x x x e <≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，进而利用函数()m x 的性质求解是解答的关键，此类问题需要注重方法的总结和积累．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）20．()18018020OBC DBC DBC ODC =︒-∠-︒-∠=∠-∠=︒． …………10分考点：与圆有关的比例线段．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t =-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=．（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ．【答案】（1）22420x y y +-+=；（2）6h =或10h =．考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程的应用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-．（1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）[)2,+∞．考点：绝对值不等式．。

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（）A ．1BCD ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形.其中真命题的个数是（）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（）A ．1 BD【答案】A10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（）A ．36B ．C.24 D ．【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为．【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=，又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为．【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值；（2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；（3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ，考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q.（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36. =，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--．（3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围；（2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，分别讨论01,1,12,2t t t t <<=<<≥时函数()f x 在区间[]0 2，的最大值点是否符合题意即可；（2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.【答案】0y +=；（2.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()34f x x x=-+-.（1）解不等式()2f x≤；（2）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.【答案】(1)5922⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()12[)2-∞-+∞，，考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（）A ．1BCD ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（）A ．1 BD【答案】A10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（）A ．36B ．C.24 D ．【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x、y满足约束条件1040xx yx y-≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1yx-的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为．【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=，又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为．【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值；（2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2.考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；（3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ，考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q.（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36. =20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--．（3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围；（2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，分别讨论01,1,12,2t t t t <<=<<≥时函数()f x 在区间[]0 2，的最大值点是否符合题意即可；（2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.【答案】0y +-=；（2.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()34f x x x=-+-.（1）解不等式()2f x≤；（2）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.【答案】(1)5922⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()12[)2-∞-+∞，，考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。

2017届河北省衡水中学高三上学期一调考试数学(理)试卷及解析

20.（本小题满分12分）
已知函数（）．
（1）若函数存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，分别为的极大值和极小值，若存在实数，使得，求
的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
试题分析：（1）求出函数的导数，函数存在极大值和极小值，故方程有两个不等的正实数根，列出不等式组，即可求解的取值范围；（2）由得，且．由（1）知存在极大值和极小值，设的两根为，（），则在上递增，在上递减，在上递增，所以，，根据可把表示为关于的表达式，再借助的范围即可求解的取值范围．
15.已知函数在时有极值，则 _________．
【答案】
【方法点晴】本题主要考查了利函数在某点取得极值的性质，其中解答中涉及到了应用导数研究函数的单调性与极值、函数的极值的性质等知识点的考查，利用导数研究函数的极值时，若函数子啊取得极值，反之结论不成立，即函数由，函数在该点不一定是极值点（还得加上两侧的单调性的改变），防止错解，属于基础题．
【解析】
试题分析：由题意得，，所以
，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．
7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）
A． B． C． D．
【答案】D
8.定义在上的函数满足，，则不等式（其中
为自然对数的底数）的解集为（）
A． B．
C． D．
其次，，使不等式成立，于是
令，则，所以函数在上是增函数，于是，故，即的取值范围是
19.（本小题满分12分）
在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求的值；

河北省衡水中学2017届高三上学期一调考试数学(理)试题(原卷版)

2016～2017学年度上学期高三年级一调考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}2log 1P x x =<-，{}1Q x x =<，则P Q =（）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()0,1 D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()2311i z =-，则z 为（）A ．12B ．2 C ．4D ．163.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A ．8B ．12C ．18D ．244.已知命题p ：方程2210x ax --=有两个实数根；命题q ：函数()4f x x x=+的最小值为4．给出下列命题：①p q ∧；②p q ∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∨⌝．则其中真命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．45.由曲线y =2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（）A ．103B ．4C ．163D ．66.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．7.阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A ．1321B ．2113C ．813D ．1388.定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞9.若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（） AB ．2 C．D ．810.已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x f x =，则()12x f x 的取值范围为（）A．11,42⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C．4⎫⎪⎪⎣⎭ D．2132⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭11.设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-12.设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．()3,+∞C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设1m >，变量x ，y 在约束条件,,1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =_________．14.函数e xy mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．15.已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 16.定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x x -+=，当0x <时，()f x x '<，则不等式()()112f x f x x +≥-+的解集为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且cos 2cos 3cos a b cA B C==．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆的面积为3，求a 的值．18.（本小题满分12分）函数21()ln 22f x x ax x =--．（1）当3a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()1,a ∀∈-+∞，()1,e x ∃∈，有()0f x b -<，求实数b 的取值范围．19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且4sin b A =．（1）求sin B 的值；（2）若a ，b ，c 成等差数列，且公差大于0，求cos cos A C -的值．20.（本小题满分12分）已知函数()242ln f x ax bx a x =-+（,a b ∈R ）．（1）若函数()y f x =存在极大值和极小值，求ba的取值范围；（2）设m ，n 分别为()f x 的极大值和极小值，若存在实数2e 1,2e b a ⎫+∈⎪⎭，使得1m n -=，求a的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x x =，()e xxg x =．（1）记()()()F x f x g x =-，判断()F x 在区间()1,2内的零点个数并说明理由；（2）记()F x 在()1,2内的零点为0x ，()()(){}min ,m x f x g x =，若()m x n =（n ∈R ）在()1,+∞内有两个不等实根1x ，2x （12x x <），判断12x x +与02x 的大小，并给出对应的证明．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD OE ⊥于D ，割线EC 交圆O 于B ，C 两点．（1）证明：O ，D ，B ，C 四点共圆；（2）设50DBC ∠=︒，30ODC ∠=︒，求OEC ∠的大小．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为10,x t y t=-+⎧⎨=⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为24sin 20ρρθ-+=．（1）把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 向右平移h 个单位，所得直线l '与圆C 相切，求h ．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =-+，a ∈R ，()21g x x =-．（1）若当()5g x ≤时，恒有()6f x ≤，求a 的最大值；（2）若当x ∈R 时，恒有()()3f x g x +≥，求a 的取值范围．。

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥ 【答案】C考点：1.集合的运算；2.对数函数的性质. 2. 若()1z i i +=，则z 等于（）A ．1BCD ．12【答案】C 【解析】试题分析：由()1z i i +=得()()()11111122i i i z i i i i -===+++-，所以2z ==，故选C. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算.3. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可知，每层悬挂的灯数从上到下依次构成比差数列，公比为2，设顶层的灯数为1a ，则77111(12)(2112738112a a a -==-－）＝，解之得13a =，故选D.考点：1.数学文化；2.等比数列的性质与求和.4. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±【答案】C考点：双曲线的标准议程与几何性质.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．4B ．9 C.7 D ．5 【答案】B 【解析】试题分析：模拟算法，开始：输入0,0,1T S n ===；2,9(11)18,123,T S n T S ==+==+=≥不成立； 328,9(31)36,325,T S n T S ===+==+=≥不成立； 5232,9(51)54,527,T S n T S ===+==+=≥不成立； 72128,9(71)63,729,T S n T S ===+==+=≥成立；输出9n =，结束得算法.故选B.考点：程序框图.6. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增【答案】D考点：三角函数的图象和性质.7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（）A ．4B ．3 C.2 D ．1 【答案】A考点：1.函数的奇偶性；2.函数的周期性；3.分段函数的表示与求值. 8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ．20 C.40 D ．60 【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体的直观图如下图所示，且三角形ABC 是以角A 为直角的直角三角形，4,3AB AC ==,从而5BC =,又5BD =，且BD ⊥平面ABC ，故四边形BCED 中边长为5的正方形，过A 作AH BC ⊥于H ，由易知AH ⊥平面BCED ，在直角三角形ABC 中可求得125AH =，从而ABCD 11125520335A BCED V V S AH -==⨯⨯=⨯⨯⨯=正方形,故选B.考点：1.三视图；2.多面体和体积.9. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k≠，，则12k k +的最小值为（）A ．1 BD【答案】A10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（）A ．36B ．24 D ．【答案】A考点：1.线面垂直的判定与性质；2.轨迹方程的求法；3.多面体的体积.11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B 【解析】试题分析：在同一坐标系内作出函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，与函数y ax =和图象，通过图象可知，当直线y ax =绕着原点从x 轴旋转到与图中直线l 重合时，符合题意，当0x >时，2()3(1)f x x '=-，设直线l与函数()y f x =的切点为00(,)P x y ，则3200000(1)3(1)y x x x x --==，解之得032x =，所以直线l 的斜率2333(1)24k =⨯-=，所以a 的取值范围为30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故选B.考点：1.函数与不等式；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题考查函数与不等式、导数的几何意义，属中档题；导数的几何意义是每年高考的必考内容，利用导数解决不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的范围；或参变分离，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；或通过数列结合解题.12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B ．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=【答案】C考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；2.圆的标准方程.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系、圆的标准方程，属难题；在解抛物线有关问题时，凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般要运用定义转化为到准线的距离处理；抛物线的焦点弦一直是高考的热点，对于焦点弦的性质应牢固掌握.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为．【答案】2考点：线性规划.14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为．【答案】8考点：数量积的几何运算.【名师点睛】本题考查数量积的几何运算，属中档题；平面向量的数量积有两种运算，一是依据长度与夹角，即数量积的几何意义运算，一是利用坐标运算，本题充分利用向量线性运算的几何意义与数量积的几何意义进行运算，运算量不大，考查子学生逻辑思维能力，体现了数形结合的数学思想. 15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．【答案】120 【解析】试题分析：数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为321121211223111154444n n n a a a a a a a a a a a a a a +-----+++=++==+++，所以122n a +=，又114 n n n na a a a ++-=+，所以221 4n n a a +-=，由此可得22211444,2244,120n a a n n n n +=+=+∴=+=，即应填120.考点：1.数列求和；2.累和法求数列通项.【名师点睛】本题考查数列求和，累和法求数列通项，属中档题；由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为．【答案】24y x =考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.向量数量积的几何意义.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值；（2）求ABC △的面积.【答案】（1）34；（2.考点：1.正弦定理；2.三角恒等变换；3.三角形内角和与三角形面积公式.【名师点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换、三角形内角和与三角形面积公式，属中档题. 正、余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用正弦定理解决一类已知三角形两边及一角对边求其它元素，或已知两边及一边对角求其它元素的问题，这时要讨论三角形解的个数问题；利用余弦定理可以快捷求第三边直接运用余弦定理解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题；知道两边和其中一边的对角，利用余弦定理可以快捷求第三边. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由；（3）求二面角1B AC C --的余弦值.【答案】(1)见解析；(2) EF ∥平面ABC ；.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ，考点：1.面面垂直的判定与性质；2.线面平行、垂直的判定与性质；3.空间向量的应用.【名师点睛】本题考查.面面垂直的判定与性质、线面平行、垂直的判定与性质及空间向量的应用，属中档题；解答空间几何体中的平行、垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间的平行、垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；求二面角，则通过求两个半平面的法向量的夹角间接求解.此时建立恰当的空间直角坐标系以及正确求出各点的坐标是解题的关键所在.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】（1）((228x y -+-=；（2）12-；（3）36. =20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--．（3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.圆的标准方程；3.直线与圆的位置关系. 20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)12；(2) 22143x y +=；（3）1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系. 21. （本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围；（2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.【答案】(1)5[ )3+∞，；(2) 1(0 ]3，.【解析】试题分析：(1)求函数()f x 的导数得()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，分别讨论01,1,12,2t t t t <<=<<≥时函数()f x 在区间[]0 2，的最大值点是否符合题意即可；（2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.考点：1.导数与函数的单调性、极值，最值；2.函数与不等式.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 【答案】(1) 330x y +-=；（2）123.考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.直线参数方程的应用. 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()34f x x x=-+-.（1）解不等式()2f x≤；（2）若存在实数x满足()1f x ax≤-，试求实数a的取值范围.【答案】(1)5922⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）()12[)2-∞-+∞，，考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示与作图；3.函数与不等式.。

2017-2018学年河北省衡水中学高三(上)第一次调研数学试卷(理科)及参考答案

18．（12 分）语文成绩服从正态分布 N（100，17.52），数学成绩的频率分布直方图如图，如果成绩大于 135 的则认为特别优秀．（1）这 500 名学生中本次考试语文、数学特别优秀的大约各多少人？（2）如果语文和数学两科都特别优秀的共有 6 人，从（1）中的这些同学中随机抽取 3 人，设三人中两科都特别优秀的有 x 人，求 x 的分布列和数学期望．（附公式及表）
7．（5 分）已知数列{an}满足 a1=0，an+1= A．0 B． C． D．
8．（5 分）已知 w＞0，函数的取值范围是（ A． B．） C．
在
内单调ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ减，则 w
D．）
9．（5 分）设函数 f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中 ω＞0，|φ|＜π．若 f（ =2，f（）=0，且 f（x）的最小正周期大于 2π，则（ B．ω= ，φ=﹣ D．ω= ，φ= ）
2017-2018 学年河北省衡水中学高三（上）第一次调研数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5 分）设集合 A={1， 2， 4}， B={x|x2﹣4x+m﹣1=0}，若 A∩B={1}，则 B= （ A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5} 为纯虚数，则实数 a 的值是（））
a2016 等于
．
16 ．（ 5 分）已知函数 y=f （ x ）是定义域为 R 的偶函数，当 x ≥ 0 时，若关于 x 的方程 5[f（x）]2﹣（5a+6）f（x）+6a=0 （a∈R）有且仅有 6 个不同实数根，则实数 a 的取值范围是．

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题

河北省衡水中学2017届高三上学期四调考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2. 若()1z i i +=，则z 等于（）A ．1BCD ．123. 在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34. 已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，，则C 的渐近线方程为（） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A ．4B ．9C.7 D ．56. 已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（）A ．函数()f x 的最小正周期为23π. B ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到。

C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增 7. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（）A ．4B ．3 C.2 D ．18. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．10B ．20 C.40 D ．609. 已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b+=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，则12k k +的最小值为（）A ．1 BD10. 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（） A ．36 B．24 D．11. 已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第8题图12. 已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN = ，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（）A．2211633x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ B．2211633x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭C.()(22316x y -+-= D ．()(22316x y -+=第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分）13. 若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为．14. 在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC ⋅的值为．15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16. 过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值；（2）求ABC △的面积.18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C . （1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明由；（3）求二面角1B AC C --的余弦值.19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；（2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12k k 的值；（3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.20. （本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线30x -=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围；（2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点(0 A ，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.参考答案二、填空题（每题5分，满分20分）13. 2 14. 8 15. 120 16、24y x =三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）【答案】（1）在ABC △中，sin sin b cB C=，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B =，即46sin 2sin cos B B B=，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =.（2）由（1）知3cos 4B =，从而sin B =.因此sin sin 22sin cos C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以()()13sin sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C B C π=--=+=+=+=，所以ABC △的面积为1462⨯⨯=.18. （本小题满分12分）【答案】（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，因为平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB ⊂平面11ABB A 所以AB ⊥平面11BB C C因为1B C ⊥平面11BB C C ，所以1AB B C ⊥.在菱形11BB C C 中，11BC B C ⊥，因为1BC ⊥面1ABC ，AB ⊥平面1ABC ，1BC AB B = 所以1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥. （2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面，所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，.在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以(0 1 C -，，(10 1 C ，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，.因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()(()() 1 2 1 0 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，所以0x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即 0 1n ⎫=⎪⎪⎝⎭，，，由（1）可知：1CB是平面1ABC 的一个法向量.所以(1110 10 3 cos n CB n CB n CB ⎫⋅-⎪⎪⋅<>===⋅ ，，，，，，所以二面角1B AC C --. 19. （本小题满分12分）【答案】（1）由圆R 的方程知圆R的半径r =OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR =，即220016x y += ① 又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩R的方程为((228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R=，=20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--．（3）○1当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，，由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=，即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.○2当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=.综上：2236OP OQ +=. 20. （本小题满分12分）【答案】（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，， ()3 AQ c b =-- ，，()2 AF c b =- ，，由题2AQ AF ⊥ ，即22230AQ AF c b ⋅=-+= ， ∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线30x -=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，b =C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△，因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△，由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+，由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒）112F MN S y y =-=△令t =1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△，当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =，故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21. （本小题满分12分）【答案】（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解， ②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件，综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. ∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【答案】（1）曲线2cos :x C y αα=⎧⎪⎨⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，.经过(0 A 和()21 0F ，的直线方程为11x =0y +. （2）由（1）知，直线2AF的斜率为2l AF ⊥，所以l30︒，所以l的参数方程为112x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C的方程中，得213360t --=. 因为 M N ，在点1F的两侧，所以1112MF NF t t -=+=23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲- 11 - 设()34f x x x =-+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.【答案】（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线，当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x .由图象知，a 的取值范围为()1 2[ )2-∞-+∞ ，，.。

河北省衡水中学2017届高三上学期三调数学试卷(理科) 含解析

2016—2017学年河北省衡水中学高三（上）三调数学试卷（理科）一。

选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合A={x∈N|1＜x＜log2k｝，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞8 B．k≥8 C．k＞16 D．k≥162．复数的共轭复数的虚部是（）A．B．C．﹣1 D．13．下列结论正确的是（)A．若直线l∥平面α，直线l∥平面β,则α∥β．B．若直线l⊥平面α，直线l⊥平面β,则α∥β．C．若直线l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2D．若直线l上两个不同的点A，B到平面α的距离相等,则l∥α4．等比数列｛a n}的前n项和为S n，已知a2a5=2a3，且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．29 B．31 C．33 D．365．已知实数x,y满足，则z=的取值范围为(）A．[0，] B．(﹣∞，0]∪［,+∞）C．［2,]D．(﹣∞，2］∪[，+∞）6．若a＞0，b＞0,lga+lgb=lg(a+b)，则a+b的最小值为(）A．8 B．6 C．4 D．27．阅读如图所示的程序框图,则该算法的功能是（）A．计算数列｛2n﹣1｝前5项的和B．计算数列{2n﹣1｝前5项的和C．计算数列｛2n﹣1}前6项的和D．计算数列{2n﹣1}前6项的和8．△ABC中，“角A,B，C成等差数列”是“sinC=(cosA+sinA）cosB”的(）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为()A．1 B．C．2 D．210．已知等差数列｛a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n,若对于任意的自然数n,都有=，则+=(）A．B．C．D．11．已知函数g(x）=a﹣x2(≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是()A．［1， +2］ B．[1，e2﹣2]C．［+2,e2﹣2］D．[e2﹣2，+∞)12．如图，在△OMN中,A,B分别是OM，ON的中点,若=x+y（x，y∈R），且点P 落在四边形ABNM内(含边界），则的取值范围是（）A．[,］B．[，］C．[，]D．[，］二。

河北省衡水中学2017届高三上学期摸底联考(全国卷)数学(理)试题(解析版)

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合{}|0B x x =≥，且AB A =，则集合A 可能是（）A ． {}1,2B ．{}|1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R 【答案】A 【解析】试题分析：因为A B A =，所以A B ⊆，下列选项中只有选项A 中的集合是集合B 的子集，故选A. 考点：集合的运算.【名师点睛】本题考查集合的运算；容易题；有关集合运算的考题，在高考中多以选择题或填空题形式呈现，试题难度不大，多为低档题，对集合运算的考查主要有以下几个命题角度：1.离散型数集间的交、并、补运算；2.连续型数集间的交、并、补运算；3.已知集合的运算结果求集合；4.已知集合的运算结果求参数的值（或求参数的范围）. 2. 复数1iz i=+ 的共轭复数在复平面上对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D考点：1.复数的相关概念；2.复数的运算.3. 已知平面向量,a b 满足()5a a b +=，且2,1a b ==，则向量a 与b 夹角的余弦值为（）A ．2 B ． 2- C ．12 D ．12- 【答案】C 【解析】试题分析：22()cos ,42cos ,5a a b a a b a a b a b a b ⋅+=+⋅=+⋅<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=，故选C.考点：向量的数量积.4. 执行如图所示的程序框图，若输人的a 值为1，则输出的k 值为（）A ． 1B ． 2C ．3D ．4 【答案】B考点：程序框图.5. 已知数列{}n a 中，()111,21,n n n a a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S 的值为（） A ．57 B ．61 C ．62 D ．63 【答案】A 【解析】试题分析：由条件可得1213243541,213,217,2115,2131a a a a a a a a a ==+==+==+==+=，所以512345137153157S a a a a a =++++=++++=，故选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A ．23π B ． 3π C ．29π D ．169π 【答案】D考点：三视图.7. 为了得到cos 2y x =，只需将sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭作如下变换（） A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向右平移12π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为cos 2sin(2)sin[2()]2123y x x x πππ==+=++，所以只需将sin(2)3y x π=+的图象向左平移12π个单位即可得到函数cos 2y x =的图象，故选C. 考点：图象平移变换.8. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，表示的平面区域，则当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A中的那部分区域的面积为（） A ．1 B ．32 C ．34 D ．74【答案】D 【解析】试题分析：在直角坐标系中作出区域A ，当a 从2-连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域为下图中的四边形AODE ，所以其面积为11172212224AOC DEC S S S ∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=，故选D.考点：线性规划.9. 焦点在x 轴上的椭圆方程为 ()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（）A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C考点：椭圆的标准方程与几何性质.10. 在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是3-，则该四面体外接球的表面积是（）A ．B ．6πC ．24πD 【答案】B考点：1.球的切接问题；2.球的表面积与体积.11. 已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x -<⎧⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程()()f x a a R =∈实根个数不可能为（）A ． 2个B ．3个C ． 4个D ．5 个【答案】D 【解析】试题分析：在坐标系内作出函数()y f x =的图象，由图象可知，方程()()f x a a R =∈的解的个数可能为0个、2个、3个、4个，不可能为5个，故选D.考点：函数与方程.【名师点睛】本题考查函数与方程，属中档题；函数与方程是最近高考的热点内容之一，解决方法通常是用零点存在定理或数形结合方法求解，如本题就是将方程转化为两个函数图象交点，通过观察图象交点的个数研究方程根的个数的.12. 函数()()sin 2,02f x A x A πϕϕ⎛⎫=+≤> ⎪⎝⎭部分图象如图所示，且()()0f a f b ==，对不同的[]12,,x x a b ∈，若()()12f x f x =，有()12f x x += ）A ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是减函数B ．()f x 在5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数 C ．()f x 在5,36ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数 D ．()f x 在5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭上增减函数【答案】B故选B.考点：三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，属中档题；三角函数的图象与性质是高考的必考内容，根据函数图象确定解析式首先是由最大值与最小值确定A ，再根据周期确定ω，由最高点的值或最低点的值确定ϕ，求出解析式后再研究函数相关性质. 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为．【答案】2【解析】试题分析：()4111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为2344(1)2C C +-=,故填2. 考点：二项式定理.14. 已知抛物线()220y px p =>上一点()1,M m 到其焦点的距离为5，双曲线221y x a-=的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a = ．【答案】14考点：抛物线与双曲线的标准方程与几何性质.15. 如图，为测量出山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点，从A 点测得M 点的仰角60,MAN C ∠=点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=，从C 点测得60MCA ∠=，已知山高100BC m =，则山高MN = m ．【答案】150考点：解三角形应用举例.【名师点睛】本题考查解三角形应用，属中档题；三角函数在实际生活中有着相当广泛的应用，三角函数的应用题是以解三角形、正（余）弦定理、正余弦函数等知识为核心，以航海、测量、筑路、天文等为代表的实际应用题是高考的热点题型，求解此类问题时，应仔细审题，提炼题目信息，画出示意图，利用数形结合思想并借助正、余弦定理、勾股定理、三角函数、不等式等知识求解.16. 设函数()()21,x x xf xg x x e +==，对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立，则正数k 的取值范围是．【答案】121k e ≥- 【解析】试题分析：对任意()12,0,x x ∈+∞，不等式()()121g x f x k k ≤+恒成立等价于()()12max min1g x f x k k ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，2110,()2x x f x x x x+>∴==+≥，当且仅当1x =时取等号，所以min ()(1)2f x f ==，即()2min 211f x k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，21()()x x x x e xe x g x e e --'==，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以函数()g x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，所以max 1()(1)g x g e==，所以()1max 1g x k ke⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以有121ke k ≤+，解之得121k e ≥-. 考点：1.导数与函数的最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的最值、函数与不等式，属中档题；解决不等式相关问题最常用的方法就是等价转换，即将题中所给的我们不熟悉的问题通过等价转化，转化为我们能够解决的、熟悉的问题解决，如本题中的第一步等价转换就是解题的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）中国人口已经出现老龄化与少子化并存的结构特征，测算显示中国是世界上人口老龄化速度最快的国家之一，再不实施“放开二胎”新政策，整个社会将会出现一系列的问题，若某地区2015年人口总数为45万，实施“放开二胎”新政策后专家估计人口总数将发生如下变化：从2016年开始到2025年每年人口比上年增加0.5万人，从2026年开始到2035年每年人口为上一年的0099. （1）求实施新政策后第n 年的人口总数n a 的表达式（注：2016年为第一年）;（2）若新政策实施后的2016年到2035年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施, 问到2035年后是否需要调整政策？（说明:()10100.9910.010.9=-≈）.【答案】（1）()1045.50.51,110500.99,11n n n n a n -⎧+⨯-≤≤⎪=⎨⨯≥⎪⎩；（2）到2035年不需要调整政策.（2）设n S n S 为数列{}n a 的前n 项和，则从2016 年到2035年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得：()()102010111220...477.5495010.99972.5S S a a a =++++=+⨯-≈ 万∴新政策实施到2035年年人口均值为2048.634920S ≈< 故到2035年不需要调整政策．考点：1.数列的应用；2.等差数列的通项公式与求和公式；3.等比数列的通项公式与求和公式. 【名师点睛】本题考查数列的应用、等差数列的通项公式与求和公式、等比数列的通项公式与求和公式，属中档题；等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.18. （本小题满分12分）如图, 已知矩形ABCD 所在平面垂直于直角梯形ABPE 所在平面, 平面ABCD 平面ABPE AB =,且2,1,AB BP AD AE AE AB ====⊥,且AE BP .（1）设点M 为棱PD 中点, 在面ABCD 内是否存在点N ,使得MN ⊥平面ABCD ？若存在, 请证明,若不存在, 说明理由;（2）求二面角D PE A --的余弦值.【答案】(1)存在点N ，为BD 中点；(2)23.（2）以A 为原点，AE ，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，⊥AD 平面PEA∴平面PEA 的法向量)1,0,0(1==AD n另外)1,0,0(D ，)0,0,1(E ，)0,2,2(P)1,0,1(-=∴DE ，)1,2,2(-=DP ,设平面DPE 的法向量),,(2z y x n =，则 ⎩⎨⎧=-+=-0220z y x z x ，令1=x ，得)1,21,1(2-=n 32,cos 21>=<∴n n 又A PE D --为锐二面角,所以二面角A PE D --的余弦值为32 考点：1.线面垂直的判定与性质；2.空间向量的应用.19. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次1,2,...8，其中5X ≥为标准A ，3X ≥为标准B .已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件; 乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （1）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：且1X 的数学期望16E X =,求,a b 的值;（2）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望；（3）在（1）、（2）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由. 注：① 产品的“性价比”；②“性价比”大的产品更具可购买性.【答案】(1)0.3,0.2a b ==;(2)4.8;(3) 乙厂的产品更具可购买性.（2）由已知得，样本的频率分布表如下：2所以，2 即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8. （3）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6 ，价格为6 元/件，所以其性价比为616= 因为乙厂产品的等级系数的期望等于4.8 ，价格为4 元/件，所以其性价比为4.81.24=据此，乙厂的产品更具可购买性。

河北省衡水中学2017届高三上学期五调(12月)数学(理)试题(原卷版)

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{0,1,2,3,4,5}A =，{|2}B x x =≥，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}2.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数1z i+的点是（）A ．MB ．NC ．PD ．Q3.如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，半径为2a 的圆弧，某人向此板投镖.假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是（）A ．14π-B ．4πC ．18π- D ．与a 的取值有关4.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额t （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：经测算，年广告支出m 与年销售额t 满足线性回归方程 6.517.5t m =+，则p 的值为（）A ．45B ．50 C.55 D ．605.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中点是原点O ，离心率等于2c e a ====以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（）A ．221164y x -= B ．2214x y -= C. 2214y x -= D ．2214x y -= 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．1133B ．35 C. 1043 D ．10747.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术.利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n 为（）1.732≈,sin150.2588≈°,sin7.50.1305≈°）A ．12B ．24 C. 36 D ．48.如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点(0,1)A ，一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记走过的弧长AM x =，直线AM 与x 轴交于点(,0)N t ，则函数()t f x =的图象大致为（）A ．B ． C. D ．9.三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且ABC ∆，BCD ∆都是边长为1的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是（）AD10. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos 2c B a b =+.若ABC ∆的面积12S =，则ab 的最小值为（）A ．12B ．13 C. 16D ．3 11.已知直线y mx =与函数20.51,0,()12(),03x x x f x x ⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是（）A．4) B．)+∞C. D．12.已知直线y a =分别与函数1x y e+=和y =,A B 两点，则,A B 之间的最短距离是（） A ．3ln 22- B ． 5ln 22- C. 3ln 22+ D ．5ln 22+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若6(n x +的展开式中含有常数项，则n 的最小值等于________.14.已知抛物线方程为22(0)y px p =>，焦点为F ，O 是坐标原点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正方向的夹角为60，若OAF ∆p 的值为__________.15.在送医下乡活动中，某医院安排甲、乙、丙、丁、戊五名医生到三所乡医院工作，每所医院至少安排一名医生，且甲、乙两名医生不安排在同一医院工作，丙、丁两名医生也不安排在同一医院工作，则不同的分配方法总数为__________.16.若不等式组20,5100,80x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，所表示的平面区域存在点00(,)x y ，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是___________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1111(,1)n n a a S n N λλ+==+∈≠-，,且12323a a a +、、为等差数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和.18.（本小题满分12分）某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士-12369”的绿色环保活动小组对2015年1月～2015年12月（一年）内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天统计结果：（1）若该市某企业每天由空气污染造成的经济损失P （单位：元）与空气质量指数API （记为t ）的关系为：0,0100,4400,100300,1500,300,t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(200,600]P ∈元的概率；（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考：参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. 19. （本小题满分12分）已知在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形，延长AB 到D ，使得AB BD =，平面11AA C C ⊥平面11ABB A ，111AC =，114C A A π∠=.（1）若,E F 分别为11C B ，AC 的中点，求证：//EF 平面11ABB A ；（2）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，圆22(2)(2Q x y -+=的圆心Q 在椭圆C 上，点P 到椭圆C .（1）求椭圆C 的方程；（2）过点P 作互相垂直的两条直线12,l l ，且1l 交椭圆C 于,A B 两点，直线2l 交圆Q 于,C D 两点，且M 为CD 的中点，求MAB ∆面积的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若2()()0f x x mx n +-≥•恒成立，求m n +的值. 请考生在22、23中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为12x t y =+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设曲线C 经过伸缩变换'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩得到曲线'C ，设(,)M x y 为曲线'C上任一点，求222x y +的最小值，并求相应点M 的坐标.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知实数0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =---的最大值为3.（1）求a b +的值；（2）设函数2()g x x ax b =---，若对于x a ∀≥均有()()g x f x <，求a 的取值范围.。

河北省衡水中学2017届上学期高三年级六调考试(理数)

河北省衡水中学2017届上学期高三年级六调考试数学（理科）本试卷分共4页，23题（含选考题）。

第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知21zi i=++,则复数z =（） A ．13i - B ． 13i -- C ．13i -+ D ．13i +2．已知命题()()()()122121:,,0p x x R f x f x x x ∀∈--≥，则p ⌝是（）A ．()()()()122121,,0x x R f x f x x x ∃∉--<B ．()()()()122121,,0x x R f x f x x x ∃∈--< C ．()()()()122121,,0x x R f x f x x x ∀∉--< D ．()()()()122121,,0x x R f x f x x x ∀∈--<3．已知()f x 是奇函数，且()()2f x f x -=，当[]2,3x ∈时，()()2log 1f x x =-，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ． 22log 3-B ． 22log 3log 7-C ．22log 7log 3-D ．2log 32-4．直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于,M N 两点，若23MN ≥k 的取值范围是（）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 3,3⎡⎤-⎣⎦ D ．33⎡⎢⎣⎦ 5．如图，若4n =时，则输出的结果为（）A ．37 B ． 67 C. 49 D ．5116．已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为7，则该几何体的侧视图可能是（）7．已知,A B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM∆为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（）A．2B．2 C. 3D58．已知,x y满足约束条件102202x yx yy-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值为（）A．-6 B．-3 C. -4 D．-29．已知向量,a b满足1,2,3,2a b a b==-=，则2a b+=（）A．22B17 C. 15D．510．若数列{}n a满足11a=，且对于任意的*n N∈都有11n na a n+=++，则122016111a a a+++等于（）A．20162017B．20152016C.40302016D．4032201711．如图是函数()2f x x ax b=++的部分图象，则函数()()lng x x f x'=+的零点所在的区间是（）A．11,42⎛⎫⎪⎝⎭B．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C. ()1,2D．()2,312．已知函数())xf x x R=∈，若关于x的方程()()210f x mf x m-+-=恰好有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（）A．11,1e⎛⎫+⎪⎝⎭B．2e⎛⎝⎭C.21e⎛⎫+⎪⎪⎝⎭D．2e⎫⎪⎪⎝⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题:本题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．如图，利用随机模拟的方法可以估计图中由曲线22xy=与两直线2x=及0y=所围成的阴影部分的面积:S（Ⅰ）先产生两组0～1的增均匀随机数，()(),a randb rand==；（Ⅱ）做变换，令byax2,2==；（Ⅲ）产生N 个点(),x y ，并统计满足条件22x y <的点(),x y 的个数1N ，已知某同学用计算器做模拟试验结果，当1000N =时，1332N =，则据此可估计S 的值为．（保留小数点后三位）14．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积()212=⨯弦矢+矢.弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长等于9米的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积与实际面积的差为．（实际面积-弧田面积）15．已知{}n a 满足()*211112311,,4444nn n n n n a a a n N S a a a a -+⎛⎫=+=∈=++++ ⎪⎝⎭，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得45nn n S a -= ． 16．已知三棱锥0,90,O ABC BOC OA -∠=⊥平面BOC ，其中10AB =13BC =，5,,,,AC O A B C =四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，030,5,B AC D ∠==是边AB 上一点．（1）求ABC ∆中，030,25,B AC D ∠==是边AB 上一点；（2）若2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求BC 的长．18. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，090ADC BCD ∠=∠=，2,3BC CD ==，04,60PD PDA =∠=，且平面PAD ⊥平面ABCD ．（1）求证：AD PB ⊥；（2）在线段PA 上是否存在一点M ，使二面角M BC D --的大小为6π，若存在，求出PM PA 的值；若不存在，请说明理由．19. （本小题满分12分）某校高三一次月考之后，为了为解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成了下面频率分布表：（1）试估计该校高三学生本次月考的平均分；（2）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在[)110,130 中的学生数为ξ，求：①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率；②ξ的分布列和数学期望．（注：本小题结果用分数表示）20. （本小题满分12分）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过抛物线上一点P 作抛物线C 的切线l 交x 轴于点D ，交y 轴于点Q ，当2FD =时，060PFD ∠=．（1）判断PFQ ∆的形状，并求抛物线C 的方程；（2）若,A B 两点在抛物线C 上，且满足0AM BM +=，其中点()2,2M ，若抛物线C 上存在异于A B 、的点H ，使得经过A B H 、、三点的圆和抛物线在点H 处有相同的切线，求点H 的坐标．21. （本小题满分12分）设函数()()()()ln ,01m x n f x x g x m x +==>+．（1）当1m =时，函数()y f x =与()y g x =在1x =处的切线互相垂直，求n 的值；（2）若函数()()y f x g x =-在定义域内不单调，求m n -的取值范围；（3）是否存在正实数a ，使得()202axa x f f e f x a ⎛⎫⎛⎫+≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意正实数x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），射线,,4ππθϕθϕθϕ==+=-与曲线1C 交于（不包括极点O ）三点,,A B C ．（1）求证：OB OC OA +=；（2）当512πϕ=时，,B C 两点在曲线2C 上，求m 与α的值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x a x x =--+．（1）若2a =，解不等式()3f x ≤；（2）若存在实数x ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，求实数a 的取值范围．数学（理科）参考答案一、选择题1-5: ABDDC 6-10: CACBD 11、12：BC二、填空题13. 1.328 14. 2798π 15. 5n16. 14π 三、解答题17.解：（1）∵在ABC ∆中，030,B AC ∠==∴由余弦定理，得222202cos AC AB BC AB BC ABC ==+-∠()2223AB BC BC AB BC =+≥-，∴(2022AB BC ≤=+-，当且仅当AB BC =时，取等号，∴(1sin 522ABC S AB BC B ∆=≤+,∴ABC ∆的面积的最大值为(52+；（2）设ACD θ∠=，在ACD ∆中，∵2,CD ACD =∆的面积为4，ACD ∠为锐角，∴11sin 2sin 422ACD S AC CD θθ∆==⨯=，∴sin 5θ=， ∴cos 5θ=，由余弦定理，得2222cos 204165AD AC CD AC CD θ=+-=+-=， ∴4AD =．由正弦定理，得sin sinA AD CD θ=，∴42sin sin Aθ=， ∴sin A =，此时sin sin BC AC A B =， ∴sin 4sin AC ABC B ==，∴BC 的长为4． 18.解：（1）过点B 作//BO CD ，交AD 于O ，连接OP ．∵0//,90,//OB AD BC ADC BCD CD ∠=∠=， ∴四边形OBCD 是矩形，∴,2OB AD OD BC⊥==，∵04,60PD PDA=∠=，∴2202cos6023OP PD OD PD OD=+-=，∴222OP OD PD+=，∴OP OD⊥，又OP⊂平面,OPB OB⊂平面,OPB OP OB O=，∴AD⊥平面OPB，∵PB ⊂平面OPB，∴AD PB⊥；（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面,ABCD AD OP AD=⊥，∴OP⊥平面ABCD．以O为原点，以,,OA OB OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()()3,0,3,0B C-，假设存在点(),0,M m n，使得二面角M BC D--的大小为6π，则()(),3,n,2,0,0MB m BC=--=-．设平面BCM的一个法向量为(),,m x y z=，则m BCm MB⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴2030xmx nz-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令1y=，得3m⎛=⎝⎭，∵OP⊥平面ABCD，∴()0,0,1n=为平面ABCD的一个法向量．∴233cos,231m n nm nm nn===+，解得1n=，∴12316323PM POPA PO---===19.解：（1）本次月考数学学科的平均分为59535105301152012510135114.5100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）由表，知成绩落在[)110,130中的概率为12，①设A 表示事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中”．则()1111131222228P A ⎛⎫=⨯+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[)110,130中的概率为38； ②ξ的可能取值为0，1，2，3()303110128P C ξ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()21311311228P C ξ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，()212311321228P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()33311328P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ξ的分布列为()13313012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，或13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则()32E ξ=．20.解：（1）设()11,P x y ，则切线l 的方程为2112x x y x p p =-，且2112x y p=，所以()111,0,0,,22x p D Q y FQ y ⎛⎫-=+⎪⎝⎭，12pPF y =+，所以FQ FP =，所以PFQ ∆为等腰三角形，且D 为PQ 的中点，所以DF PQ ⊥，因为02,60DF PFD =∠=，所以060QFD ∠=，所以12p=，得2p =，所以抛物线方程为24x y =；（2）由已知，得,A B 的坐标分别为()()0,0,4,4，设()()0000,0,4H x y x x ≠≠，AB 的中垂线方程为4y x =-+，①AH 的中垂线方程为200428x y x x =-++，②联立①②，解得圆心坐标为：2200004432,88x x x x N ⎛⎫+++- ⎪⎝⎭，由012NHx k =-，得3200280x x x --=，因为000,4x x ≠≠，所以02x =-，所以H 点坐标为()2,1-． 21.解：（1）当1m =时，()()211ng x x -'=+，∴()y g x =在1x =处的切线斜率14nk -=，由()1f x x '=，得()11f '=，∴1114n -⨯=-，∴5n =．（2）易知函数()()y f x g x =-的定义域为()0,+∞，又()()()()()()()()222212121111111x m n x m n x m n x y f x g x x x x x x +--++--+⎡⎤-⎣⎦'''=-=-==+++，由题意，得()121x m n x+--+的最小值为负， ∴()14m n ->．（注：结合函数()2211y x m n x =+--+⎡⎤⎣⎦图象同样可以得到）， ∴()()21144m n m n +-⎡⎤⎣⎦≥-> ∴()14m n +->，∴3m n ->；（3）令()()2ln 2ln ln ln 22axa x h x f f e f ax a ax x x a x a ⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0,0x a >>，则()1ln 2ln h x a a a x a x'=--+，则()1ln 2ln k x a a a x a x=--+，则()22110a ax k x x x x+'=--=-<， ∴()k x 在区间()0,+∞内单调递减，且()0k x =在区间()0,+∞内必存在实根，不妨设()00k x =，即()0001ln 2ln 0k x a a a x a x =--+=，可得001ln ln 21x a ax =+-，（*）则()h x 在区间()00,x 内单调递增，在区间()0x +∞内单调递减， ∴()()0max h x h x =，()()()00001ln 21ln h x ax a ax x =---，将（*）式代入上式，得()00012h x ax ax =+-．根据题意()000120h x ax ax =+-≤恒成立，又∵0012ax ax +≥，当且仅当001ax ax =时，取等号， ∴00012,1ax ax ax +==， ∴01x a =，代入（*）式，得1ln ln 2a a=，即12a a=，又0a >，∴2a =，∴存在满足条件的实数a，且2a =． 22.解：（1）依题意4sin OA ϕ=，4sin ,4sin 44OB OC ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则))4sin 4sin sin cos sin cos 44OB OC ππϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫+=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭OA ϕ==；（2）当512πϕ=时，,B C两点的极坐标分别为2,2,36ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化为直角坐标为()),B C，曲线2C 是经过点(),0m ，且倾斜角为α的直线，又因为经过点,B C的直线方程为2y x =+，所以56m πα==． 23.解：（1）不等式()3f x ≤，化为2323x x --+≤，则22323x x x ≤-⎧⎨-++≤⎩或2232323x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪---≤⎩或233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩，解得3742x -≤≤， ∴不等式()3f x ≤的解集为37|42x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）不等式()122f x a x ≥-++等价于3321a x x a --+≥-，即3361x a x a --+≥-，又()()3363366x a x x a x a --+≤--+=+，若存在实数x ，使得不等式()122f x a x ≥-++成立，则61a a +≥-，解得52a ≥-， ∴实数a 的取值范围是5,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。