高中数学选修2-1北师大版 空间向量与立体几何 本章高效整合 课件(88张)

推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一 → 点 P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝ → → → xOA＋yOB＋zOC. (2)两个向量的数量积(与平面向量基本相同) ①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任 → → 取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做向量 a、b 的夹角，记作〈a，b〉 ．通常规定 0≤〈a，b〉≤π.若〈a， π b〉＝ ，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b. 2
(2)利用向量处理垂直问题 空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化 为空间两个向量垂直的问题来解决． ①设a，b分别为直线a，b的一个方向向量，那么 a⊥b⇔a⊥b⇔a·b＝0； ②设a，b分别为平面α，β的一个法向量，那么 α⊥β⇔a⊥b⇔a·b＝0； ③设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b， 那么l⊥α⇔a∥b.此外，也可证明l的方向向量与平 面α内两条相交直线所对应的方向向量垂直．
第二 章
空间向量与立体几何
本章高效整合
知能整合提升
1．空间向量的概念与运算 (1)空间向量的有关定理 ①共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0， a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么 向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有 序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. ③空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面 ，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y， z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间 的一个基底．
3．求角与距离 (1)求两异面直线的夹角 若两条异面直线 a 和 b 的方向向量分别为 n1， n 2， 两条直线 a 和 b 所成的角为 θ， 则 cos (2)求直线与平面的夹角 若直线 a 的方向向量为 v，平面 α 的法向量为 n， 直线 a 与平面 α 所成的角为 θ，则 sin
v· n θ＝ . | v |· | n | n · 1 n2 θ＝|n |· . 1 |n2|
2．空间向量的数乘运算及平面向量基本定理 (1)空间向量的数乘运算，平行向量的概念，向量平 行的充要条件与平面向量的性质一致． (2)共面向量基本定理， 可以判断空间中一向量 p 与 不共线向量 a、b 的关系．特别地，空间一点 P 位 于平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x， y)， → → → 使AP＝xAB＋yAC.
②两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ③向量的数量积的性质(e是单位向量) ⅰ)a·e＝|a|cos〈a，e〉；ⅱ)a⊥b⇔a·b＝0； ⅲ)|a|2＝a·a＝a2；ⅳ)|a·b|≤|a||b|. ④向量的数量积满足如下运算律： ⅰ)(λa·b＝λ(a·b)；ⅱ)a·b＝b·a(交换律)； ⅲ)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
(3)空间向量的坐标运算 ①设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a± b＝(a1± b1，a2± b2，a3± b3)； λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)； a· b＝a1b1＋a2b2＋a3b3； a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
(3)求两平面的夹角 若 n1，n2 分别为两个平面 α、β 的法向量，则平面 α 与 β 的夹角 θ＝〈n1，n2〉或 π－〈n1，n2〉 ． (4)点到平面的距离 若 A 为平面 α 内任一点，n 为平面 α 的法向量，则
→ PA· n 点 P 到平面 α 的距离 d＝ . |n|
2．平行与垂直关系的证明 (1)利用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直 线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可 以用向量方法来研究．具体情况如下： ①设a，b是两条不重合的直线，它们的方向向量 分别为a，b，那么a∥b⇔a∥b.根据实数与向量积 的定义：a∥b⇔a＝kb(k∈R，k≠0)． ②平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量 平行：设两个不重合的平面α，β的法向量分别为 a，b，那么α∥β⇔a∥b.
③直线与平面平行 ⅰ)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直： 设直 线 l 在平面 α 外，a 是 l 的一个方向向量，b 是平面 α 的一个法向量， 那么 l∥α⇔a⊥b⇔a· b＝0.a∥平面 α⇔表示以 a 为方向向量的直线与 α 平行或平面 α 内，因此也可用向量证明线面平行．
ⅱ)已知直线 a⊄α，A，B∈a，C，D∈α，且 C、D、 E 三点不共线，则 a∥α 的充要条件是存在有序实 → → → → → 数对 λ、μ 使AB＝λCD＋μCE.(常先设AB＝λCD＋ → μCE，再求解 λ，μ 的值．若 λ，μ 存在即证毕；若 λ，μ 不存在，则直线 AB 与平面相交)
Байду номын сангаас
热点考点例析
空间向量的概念及其运算 1．空间向量及其加减运算 (1)空间向量可以看作是平面向量的推广．它们之间有许 多共同性质．如模、零向量、单位向量、相等向量、相 反向量等都是一致的． (2)空间向量的加减法是用几何方式引入的．向量的加法 满足交换律及结合律．对于加法的平行四边形法则和三 角形法则，以及减法的三角形法则要注意灵活运用．
2 2 |a|2 ＝ a· a ⇒ |a| ＝ a2 ＋ a ＋ a 1 2 3 ( 向量模与向量之间的
转化)；
a1b1＋a2b2＋a3b3 a· b cos〈a，b〉＝ ＝ 2 . 2 2 2 2 2 |a|· |b| a1＋a2＋a3· b1＋b2＋b3 ②设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， → 则AB＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)， → |AB|＝ x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.