关于开平方开立方的手动算法

关于开平方及开立方的手动算法
序言
计算器已经被取缔了，然而题目的计算量仍然存在，尤其是那些该死的开平方和开立方的运算，真是世风日下，人心不古，时代变了，我无话可说……然而，我们不能坐以待毙，万一正规考试中出题人真得很阴险地让你开平方或者开立方，在没有计算器的情况下不就挂掉了吗？为了负隅顽抗到底，我费劲八力的研发出了开方的手动算法，仅供列位参考。

一、开平方的手动算法
此方法是在高一学万有引力和航天时，因需要大量开平方运算又不能用计算器，而被逼无奈研发的。

开平方的整个过程分为以下几步：
（一）分位
分位，意即将一个较长的被开方数分成几段。

具体法则是：
1、分位的方向是从低位到高位；
2、每两个数字为一段；
3、分到最后，最高位上可以不满两个数字，但不能没有数字。

如：43046721分位后是43｜04｜67｜21
12321分位后是1｜23｜21
其中，每段中间的竖线在熟练了以后可不必写。

分位以后，其实就能看出开方后的结果是几位数了，如43046721分位后是四段，那么开方结果就是四位数。

（二）开方
开方的运算过程其实与做除法很类似，都有一个相乘以后再相减的过程。

这里以43046721为例。

分位后是43｜04｜67｜21
运算时从高位到低位，先看前两位43，由于62最接近43而不超过43，因而商（这里找不到合适的字眼，因而沿用除法时的字眼）6，然后做减法（如下图）：
6
———————————————
4 3｜0 4｜6 7｜2 1
3 6
————————
7 0 4
这里一次落两位，与除法不同。

下面的过程是整个算法中最复杂的部分，称为造数，之所以用这个词是因为算出最后要减掉的数的过程较为麻烦。

首先，将已商数6乘以2：6×2=12
这里的12不是真正的12，实际上是120，个位上的0之所以空出来是为了写下一个
要商的数。

我们不妨假设下一个要商的数为A，我们下面要考虑的问题就是：从0-9中找一个A，使得：
12A×A最接近但不超过上面余下的数704。

注意，A在这里代表一个数位，若A=6，那么12A的含义不是12×6，而是126。

以上过程与除法中的试商的过程很类似。

经验证，125×5=625符合要求，因此下一个要商的数就是5。

（如下图）
往下依此类推：
65
×2
———
130
1306
× 6
————
7836
656
×2
———
1312
13121
× 1
————
13121
所以，43046721的算术平方根为6561
从开方的过程中我们可以看出，越到后面，计算量越大，因此，凭我们的计算量，再算一些开不尽的数时，如7的算术平方根，其精确程度是非常有限的。

以上就是开平方的一般方法，请列位指教。

二、开立方的手动算法
此方法是昨天刚刚研发成功的，为了应付在由体积求分子半径时产生的开立方的运
算。

开立方的方法与开平方的方法很类似，但要复杂很多，如果不能熟练掌握，倒不如按
大脸猫说的方法：凑！当然，熟练掌握以后，比凑的方法是快多了。

开立方的过程分以下几步：
（一）分位
与开平方基本一致，只有一点：这次是每三位为一段
（二）开方
这里以41063625为例
第一个要商的数的确定与开平方是类似，只是变成了要找一个数的立方（如下图）：
3
——————————————
4 1｜0 6 3｜6 2 5
2 7
————————
1 4 0 6 3
一次落三位！
下面的造数过程是最麻烦的，流程如下：
顶
5 •4楼
开立方公式：
设A = X^3,求X.称为开立方。

开立方有一个标准的公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^2-Xn)1/3 (n，n+1是下角标）
例如，A=5，,即求
5介于1的3次方;至2的3次方;之间（1的3次方=1，2的3次方=8）
初始值X0可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1. 9，都可以。

例如我们取X0 = 1.9按照公式：
第一步：X1=1.9+（5/1.9^2;-1.9)1/3=1.7。

即5/1.9×1.9=1.3850416，1.3850416-1.9=-0.5149584，-0.514958 4×1/3=-0.1716528，1.9+(-0.1716528)=1.7。

即取2位数值,，即1.7。

第二步：X2=1.7+（5/1.7^2;-1.7)1/3=1.71。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.73-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01 =1.71。

取3位数，比前面多取一位数。

第三步：X3=1.71+（5/1.71^2;-1.71)1/3=1.709.
第四步：X4=1.709+（5/1.709^2;-1.709)1/3=1.7099
这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值
偏小，输出值自动转大。

即5=1.7099^3;
当然初始值X0也可以取1.1，1.2，1.3，。

1.8，1.9中的任何一个,都是X1 = 1.7 > 。

当然，我们在实际中初始值最好采用中间值，即1.5。

1.5+（5/1.5²-1.5）1/3=1.7。

如果用这个公式开平方，只需将3改成2，2改成1。

即
X(n + 1) = Xn + (A / Xn − X n)1 / 2.
例如，A=5：
5介于2的平方至3的平方;之间。

我们取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我们最好取中间值2.5。

第一步：2.5+（5/2.5-2.5)1/2=2.2；
即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位数2.2。

第二步：2.2+(5/2.2-2.2)1/2=2.23；
即5/2.2=2.272，2.272-2.2=-0.072，-0.072×1/2=-0.036，2.2+0.0 36=2.23。

取3位数。

第三步：2.23+(5/2.23-2.23)1/2=2.236。

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006= 2.236.
每一步多取一位数。

这个方法又叫反馈开方，即使你输入一个错误的数值，也没有关系，输出值会自动调节，接近准确值。

顺便介绍开5次方公式：
X(n+1)=Xn+(A/X^4-Xn)1/5 . (n，n+1是下角标）
例如：A=5;
5介入1的5次方至2的5次方之间。

2的5次方是32，5靠
近1的5次方。

初始值可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9.例如我们取中间值1.4；
1.4+（5/1.4^4-1.4)1/5=1.38
1.38+（5/1.38^4-1.38)1/5=1.379.
1.379+(5/1.379^4-1.379)1/5=1.3797.
计算次数与精确度成为正比。

即5=1.3797^5.。