09级有限元试题

2010春《有限元理论与程序设计》试题

一、（40分）完成下列问题

1.设有泛函

221()()()2()2b a dy J y p x q x y f x y dx dx ⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰

且y (a )=y a ，y (b )=y b ，求其Euler 方程。

2. 对椭圆型方程的第一边值问题

⎩⎨⎧=Ω∈=+∇⋅∇-Γ),(|),(),

,(),()),((y x g u y x y x f u y x q u y x k

其中系数,0),(,0),(0≥>≥y x q k y x k f(x,y) 充分光滑。

（1） 给出Galerkin 意义广义解的定义。

（2） 证明边值问题Galerkin 意义广义解存在唯一。

3. 考虑两点边值问题

,(,)(),().

d du p qu f x a b dx dx u a u b αβ⎧⎛⎫-+=∈⎪ ⎪⎝⎭⎨

⎪==⎩ 其中0()0,()0p x p q x ≥>≥。 试用等距节点线性元推导出有限元方程。

4. 给出两点边值问题

⎪⎩⎪⎨⎧==<<=+-0

)0(',0)0(10,12

2u u x u dx u d 试用Hermite 三次元写出求解此边值问题的有限元方程并进行计算。

二、（20分）考虑两点边值问题

⎪⎩

⎪⎨⎧===+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0)1()0()()()(u u x f u x q dx du x p dx d 其中0()0,()0p x p q x ≥>≥。

(1) 试用等距节点二次元推导出有限元方程。

(2) 试用等距节点hermite 型插值推导出有限元方程。

三、（30分）对椭圆型方程的边值问题

⎪⎩⎪⎨⎧Γ∈=+∂∂Ω∈=+∇⋅∇-),(,0),(),,(),()),((y x u x

u y x y x f u y x q u y x p σ 其中系数,0),(,0),(0≥>≥y x q p y x p f(x,y) 充分光滑。

(1) 试用矩形单元Lagrange 双线性插值推导出有限元方程。121

(2) 试用矩形单元Lagrange 双二次插值推导出有限元方程。120

(3) 试用矩形单元Hermite 双三次插值推导出有限元方程。118

(4) 试用三角形单元Lagrange 完全二次多项式插值推导出有限元方程。111

(5) 试用三角形单元Lagrange 完全三次多项式插值推导出有限元方程。102、095

(6) 试用三角形单元Hermite 完全三次多项式插值推导出有限元方程。098

四、（10分）对椭圆型方程的边值问题

⎪⎩⎪⎨⎧Γ∈=+∂∂Ω∈=+∇⋅∇-),(,0),(),,(),()),((y x u x

u y x y x f u y x q u y x p σ 其中系数,0),(,0),(0≥>≥y x q p y x p f(x,y) 充分光滑。

(1) 试用等参单元Lagrange 双线性插值推导出有限元方程。

(2) 试用等参单元Lagrange 双二次插值推导出有限元方程。