新课标高二数学文同步测试(8)(1-2第三章)
新课标高二数学同步测试—(期末测试题2—2)
新课标高二数学同步测试—（期末测试题2—2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．已知函数)()1ln()(2x f x x x f '++=则是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数2．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的（ ）A ．充分条件，但不是必要条件；B ．必要条件，但不是充分条件；C ．充分且必要条件；D ．既不充分又不必要条件. 3． 112-+⎛⎝ ⎫⎭⎪i i 的值等于（ ）A ．1B ．－1C ．iD ．－i4．使复数a bi a b +()、不同时为零等于它的共轭复数的倒数的充要条件是 （ ）A ． ()a b +=21 B ． a b 221+=C ． a b 221-=D ． ()a b -=215．椭圆的短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆的离心率e 为（ ）A ．1010B ．1717 C ．13132 D ．3737 6．如果用C ，R 和I 分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C 为全集，那么有（ ） A ．C R I =B ． R I ={}0C ． I C R C U =D ． R I =φ7．长方体ABCD —A １B 1C １D １中，E 、F 分别为C １Ｂ１，Ｄ１Ｂ１的中点，且ＡＢ＝ＢＣ，ＡＡ１＝２ＡＢ，则CE 与BF 所成角的余弦值是（ ）A ．1010B ．10103 C ．3434 D ．343458．设F 1、F 2为双曲线42x －y 2=1的两焦点, 点P 在双曲线上, 当△F 1PF 2面积为1时,21PF ⋅的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．21 9．如果复数Z ai Z =+-<322满足条件||,那么实数a 的取值范围是 （ ）A ．(,)-2222B ．(,)-22C ．(,)-11D ．(,)-3310．已知复数 Z a bi Z b ai a b 12=+=-+,(其中、都是实数，且ab ≠0），在复平面内，Z 1、Z 2所对应的点与原点组成的三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）． 11．若Z C Z Z Z ∈-=-==,||,||,21134且则复数．12．若=∈≠≠++++=∈≠≠-*),1,0(,.......321*,,1,012N n x x nx x x S N n x x n n 则 ． 13．平面直角坐标系下直线的方程为)0(,022≠+=++B A C By Ax ，请类比空间直角坐标系下平面的方程为 ．14．椭圆x 2+22ay =1(0<a<1)上离顶点A(0, a)距离最远的点恰好是另一个顶点A ′(0, - a), 则a的取值范围是三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）已知命题P ：复数22lg(22)(32)z m m m m i =--+++对应的点落在复平面的第二象限；命题Q ：以m 为首项，公比为q 的等比数列的前n 项和极限为2.若命题“P 且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，求实数m 的取值范围.16．（12分）（1） 设x ≤1，求一个正常数a ，使得x ≤331ax +； （2）设i x ≤1，033231=+++n x x x ，求证：n x x x +++ 21≤3117．（12分）用数学归纳法证明等式对所以n ∈N*均成立．nn n n n 212111211214131211+++++=--++-+-18．（12分）设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ．（I ）解不等式1)(≤x f ；（II ）证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上是单调函数．19．如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直. 点M在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=)20(<<a a .（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小；（Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小.20．（14分）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点. （Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；（Ⅱ）若0=⋅，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）设λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明:FQ FM λ-=.参考答案一、 1．B ； 2．A 3．；答案：B分析：111-+==-i i ii()∴-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-=-11122i i i另解：原式()()=-+=-=-1122122i i ii故选B ． 4．B 5．A ．6．答案：D ．分析：由复数概念，如下图，R I =φ故选D ．； 7．D ； 8．A ；9．答案：D ． 分析：由题意， |()|,322+-<ai 得122+<a ,解得，-<<33a因此本题应选D ．10． 二、11．±7i ；12．21)1()1(1x nx x n n n -++-+；解析：当x ≠1时，∵，两边都是关于x 的函数，求导得即．13．)0(,0222≠++=+++C B A D Cz By Ax14．⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡122， 三、15．解：命题P 有：22lg(22)0 320 m m m m ⎧--<⎪⎨++>⎪⎩①②由①得：202211311m m m m <--<⇒<-<<或 由②得：232021m m m m ++>⇒<->-或由上得满足P 的m的取值范围是：13m <<或11m -<< 对命题Q ,有：21mq=- 又110q q -<<≠且 得：04m <<且2m ≠又命题“P 且Q ”是假命题，“P 或Q ”是真命题，则m 的范围是(1,3)(0,2)13][3,4)-⋃⋃⋃ 16．解：⑴ x ≤331ax +可化为1333+-x ax ≥0，令)(x f =1333+-x ax ， 392-=ax x f )('，由0=)('x f 得，ax 31±=)(1f =3a-2≥0，)(1-f =-3a+4≥0，∴32≤a ≤34， ①∴a31∈[-1，1]，131********+⋅-⋅⋅=aa a a af )(≥0，即a ≥34 ②由①、②得，34=a . 从而当x ≤1时，1333+-x ax =2121))((-+x x ≥0，即x ≤331ax +. ⑵ 由⑴知，对i x ≤1，有i x ≤33431i x +，（i=1，2，…，n ） 将这n 个式子求和，得n x x x +++ 21≤31. 17．证明：i)当n=1时，左式=21211=-，右式=21111=+， ∴ 左式=右式，等式成立． ii)假设当n=k(k ∈N)时等式成立， 即kk k k k 212111211214131211+++++=--++-+-， 则当n=k+1时，)1(21)1(13)1(12)1(11)1(1221121413121)22111(1213121221121)212111(221121)211214131211(221121211214131211++++++++++++++=++++++++++=+-++++++++=+-+++++++=+-++--++-+-=+-++--++-+-k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k即n=k+1时，等式也成立，由i) ii)可知，等式对n ∈N 均成立．小结：在利用归纳假设论证n=k+1等式成立时，注意分析n=k 与n=k+1的两个等式的差别．n=k+1时，等式左边增加两项，右边增加一项，而且右式的首项由11+k 变为21+k ．因此在证明中，右式中的11+k 应与-221+k 合并，才能得到所证式．因而，在论证之前，把n=k+1时等式的左右两边的结构先作一分析是有效的．由例1可以看出，数学归纳法的证明过程中，要把握好两个关键之处：一是f(n)与n 的关系；二是f(k)与f(k+1)的关系．18．解1：（I ）分类讨论解无理不等式（略）．（II ）作差比较（略）．解2：a x x x f -+='1)(2（i ）当1≥a 时，有a x x ≤<+112，此时0)(<'x f ，函数)(x f 在区间),(+∞-∞上是单调递减函数．但1)0(=f ，因此，当且仅当0≥x 时，1)(≤x f ．（ii ）当10<<a 时，解不等式0)(<'x f ，得21aa x -<，)(x f 在区间]1,(2aa --∞上是单调递减函数．解方程1)(=x f ，得0=x 或212aa x -=，∵221210aa aa -<-<，∴当且仅当2120aa x -≤≤时，1)(≤x f ，综上，（I ）当10<<a 时，所给不等式的解集为：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤≤2120|a a x x ； 当1≥a 时，所给不等式的解集为：{}0|≥x x ．（II ）当且仅当1≥a 时，函数)(x f 在区间),0[+∞上时单调函数． 19．向量法）解析：如图，建立空间直角坐标系B-xyz ，则A （1，0，0），C （0，0，1），E （0，1，0），F （1，1，0），（I ）CA a BC CM BC BM 2+=+= )1,0,1(2)1,0,0(-+=a )21,0,2(aa -= BF a BN 2=)0,2,2(aa = -=∴)12,2,0(-=aa ，)20(122<<+-=a a a（II ）由（I）知：122+-=a a 21222+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a 所以当22=a 时，MN 的长最小，此时MN=22． （III ）由（II ）知，当MN 的长最小时，22=a ，此时M 、N 分别是AC 、BF 的中点．取MN 的中点G ，连结AG 、BG ，易证∠AGB 为二面角A-MN-B 的平面角．∵点)21,0,21(M ，点)0,21,21(N ，∴点)41,41,21(G∴)41,41,21(--=，)41,41,21(---=，∴31,cos -=>=<GB GA ，∴故所求二面角)31arccos(-=α= π－31arccos20．（Ⅰ）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a y a x .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c a c c a 解得2,6==c a 所以椭圆的方程为12622=+y x ，离心率36=e .（Ⅱ）解：由（1）可得A B CDEFMNGyxzA （3，0）.设直线PQ 的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y y x 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+k k x x ， ① 136272221+-=k k x x . ② 由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是 ]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y . ③ ∵0=⋅，∴02121=+y y x x . ④. 由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k . 所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x . （Ⅲ）证明：),3(),,3(2211y x y x -=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x . 因),(),0,2(11y x M F -，故),1)3((),2(1211y x y x -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=. 而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以λ-=.。
高二数学人教A版选修1-2同步练习：第三章 章末检测 (1)
第三章 章末检测1、设复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于( ) A. 34i -+ B. 34i - C. 34i -- D. 34i + 2、若复数z 满足(34)43i z i -=+,则z 的虚部为( )A. 4-B. 45- C. 4 D. 453、已知复数12312,1,34z i z i z i =-+=-=-,它们在复平面上所对应的点分别为,,A B C .若(),OC OA OB R λμλμ=+∈,则λμ+的值是( )A.1B.2C.3D.44、若复数01x =是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个根,则( )A. 2,3b c ==B. 2,3b c =-=C. 2,1b c =-=-D. 2,1b c ==-5、定义运算||a b ad bc c d =-,则符合条件11||42i z zi-=+的复数z 为( ) A. 3i -B. 13i +C. 3i +D. 13i - 6、已知复数1234,z i z t i =+=+,且21z z ⋅是实数,则实数t 等于( )A. 34B. 43C. 43-D. 34-7、i 是虚数单位,复数734iz i +=+的共轭复数z = ( )A. 1i -B. 1i +C. 17312525i +D. 172577i -+8、如图,在复平面内,点A 表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是( )A. AB. BC. CD. D9、已知i 为虚数单位,复数122iz i -=-,则复数z 的虚部是( )A. 35i -B. 35-C. 45iD. 4510、已知复数()()2,x yi x y R -+∈3,则yx 的最大值是()B.3D. 1211、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 12、已知复数(),z a bi a b R =+∈且51123a b i i i+=--+,则复数z =__________. 13、复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限,则实数m 的取值范围是__________.14、设x ,y 为实数,且511213x y i i i+=---,则x y +=__________.15、已知复数()?x ai a R ∈,()1z x x i =-+-.1.若z 为纯虚数,求a 的值;2.若z 的对应点在第二象限,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：设(),z x yi x y R =+∈,则2x yi i ++=+,所以2,{1,x y +==解得3,{41.x y ==所以34z i =+.2答案及解析：答案：D 解析：∵(34)43i z i -=+,∴435(34)34342555i i z i i ++====+-. ∴z 的虚部为45.3答案及解析：答案：A解析：()()()341212i i i i λμμλλμ-=-++-=-+-,∴324μλλμ-=⎧⎨-=-⎩得12λμ=-⎧⎨=⎩∴1λμ+=.4答案及解析：答案：B解析：因为1是实系数方程的一个复数根,所以1也是方程的根,则()()112,113b c +==--==,解得2,3b c =-=.5答案及解析：答案：A解析：∵11||42zi z i z zi-=+=+, ∴()()421424223122i i i i z i i +-++-====-+, 故选A.6答案及解析：答案：A 解析：()()()()21343443z z i t i t t i ⋅=+-=++-,依题意430t -=,∴34t =.7答案及解析：答案：B 解析：()()734725251342525i i i i z i i +-+-====-+ ∴1z i =+.8答案及解析：答案：B解析：由复数的几何意义及共轭复数定义可知,共轭复数对应的点关于x 轴对称(实数的共轭复数是其本身).9答案及解析：答案：B 解析：()()()()122124343222555i i i i i i i i -+--===---+,则复数z 的虚部是35-.10答案及解析：答案：C解析：由()2223x y -+=得()2223x y -+=,表示以()2,0为圆心, 3为半径的圆. y x可理解为圆上的点(),x y 与原点()0,0连线的斜率,可知相切时最大,如图, 3COP π∠=,∴3y k x==.11答案及解析： 答案：6解析：∵12z i =+,∴12z i =-.∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.12答案及解析：答案：710i -解析：∵,a b R ∈且51123a b i i i+=--+, 即()()1123252a ib i i ++-+=, ∴5524155a ai b bi i +++=-,即5215545a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得710a b =⎧⎨=-⎩故710z a bi i =+=-.13答案及解析：答案：()()2,12,4-⋃解析：复数()()223228z m m m m i =-++--的共轭复数为()()223228z m m m m i =-+---, 又z 在复平面内对应的点在第一象限,得()22320280m m m m ⎧-+>⎪⎨--->⎪⎩ 解得21m -<<或24m <<.14答案及解析：答案：4 解析：()()11211225x i y i x y i i +++=+--22525x y x y i ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而()513513131022i i i +==+-, 所以1225x y +=且23252x y +=, 解得1x =-,5y =,所以4x y +=.故答案为: 4.15答案及解析：答案：1.由()?x ai a R =∈得21x a a ==+. ∵210a +≥,∴12a ≥-,∴112a +≥, ∴1x a =+∴()())()111z ai a i a a i =-++-=+- 若z 为纯虚数,则010a a =-≠解得, 1a =+1a =2.若z的对应点在第二象限,则010a a <->,解得1a >+解析：由Ruize收集整理。
高二数学选修1-2第三章复数测试题教学文案
高二数学选修1-2第三章复数测试题高二数学同步测试选修1-2（第三章）复数说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（ ）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解2．已知z =x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，则z= （ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0；D ．i +1的共轭复数是i －1；4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m（ ）A ．1B ．0C ．3D ．复数无法比较大小6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 （ ） A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、，且z =2，则z =（ ）A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是（ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为______．A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a的值为 ．12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= ． 13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= ．14．已知x 、y 、t ∈R ，t ≠－1且 t ≠0，求满足x ＋yi =1()1t ti t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值．16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z :(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz ．(2)z 的实部和虚部都是整数．18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由．19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.（1）若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2．（2）若z 1=1+m i (i 为虚数单位，m ∈R), 2||1≤z ,复数w=z 2+3,求|w|的取值范围．20．（14分）已知：A 、B 是∆A BC 的两个内角，j B A i B A m 2sin 252cos→++→-=→其中→i 、→j 为相互垂直的单位矢量．若 | →m | =423，试求t a n A ·t a nB 的值．参考答案一、1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y+⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ；4．C ；解析：∵ n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ，Λ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为2,0,2-，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件． 6．D ；7．A ；8．C ；9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；； 10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ； 二、11．21；12．x =25, y =4； 13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005 =(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i . 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋yi =1()1t t i t t +++，∴ 11t x tt y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1,∴ 点(x ，y )的轨迹方程为xy ＝1，它是以x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15．【分析】利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解．【解】如图，设z1＝、z2＝后，则z1＝、z2＝如图所示．由图可知，|zz12|＝52，∠A OD＝∠BOC，由余弦定理得：cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45∴zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z1＝、z2＝OD如图所示．则|zz12|＝52，且cos∠A OD＝5213252222+-()××＝45，s i n∠A OD＝±35，所以zz12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即zz12＝2±32ｉ．【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼．一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z为实数，则虚部m2+3m－10=0，即223100250m mm⎧+-=⎨-≠⎩，解得m=2，∴m=2时，z为实数．（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数． 诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0).则22)(101010ba bi a bi a bi a bi a z z +-++=+++=+i b a b b a a )101()101(2222+-+++= 由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<z z ,∴ 0)101(22=+-ba b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<ba a * 当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解．当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a .由(2)知 a =1,2,3.∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1， 因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法．18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R). 由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a ai y x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba ay x y y x ， ∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆． 又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点．此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意．19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭， 可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i 即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab ab a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ，∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121． (2)由于 221z z =，z 1=1+m i , w=z 2+3,∴w=(1+m i )2+3=4－m 2+2m i . ∴ 12)2(4)4(||22222+-=+-=m m m w ,由于2|z |1≤且m ≠0, 可解得0<m 2≤1,令m 2=u, 12)2(||2+-=u w ,在u ∈(0,1)上，(u －2)2+12是减函数，∴)4,13[||∈w .复数这一章中去掉了三角形式,降低了难度，但在复数的基本概念、运算、复数与方程、复数与几何这些部分仍然有许多可考查的内容，并且还可以与其它的数学知识相结合．20．讲解：从化简变形| →m |入手． |→m|2=(→m)2=(→→++-j B A i B A 2sin 252cos )2=225cossin 242A B A B-++⋅ =2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+ ， ∴2)cos(1452)cos(1B A B A +-⋅+-+=89， ∴cos(A －B)=45cos(A +B)．4 cos A ·cosB+4s i n A ·s i nB=5cos A ·cosB –5s i n A ·s i nB ， ∴9s i n A ·s i nB= cos A ·cosB ． 又ΘA 、B 是∆A BC 的内角，∴ cos A ·cosB 0≠， ∴t a n A ·t a nB=91．说明：本题将复数、三角、向量溶为一体，综合性较强．。
新课标高二数学理同步测试(5)(选修2-1第三章3.2)
AA1DCB B1C1图普通高中课程标准实验教科书——数学选修2—1[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（5）—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为2（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝，411B A 则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．B ．171521 C ． D ．178233．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．B ．103021 C ． D ．153010154．正四棱锥的高，底边长和之间的距离S ABCD -2SO =AB =BD SC （ ）A ．B ．C ．D ．515555521055．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面111ABC A B C -a D 1CC 1C 的距离（）1AB D A ．B ．a 42a 82 C ． D ．a 423a 226．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离11111ABCD A B C D -1AB C 11A C D （）A ．B ．C ．D ．6333332237．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP 21⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ）A ．B ．C ．D ．62133860210302108．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，111C B A ABC -90=∠ACB 21=AA D ，E 分别是与的中点，点E 在平面AB D 上的射影是的重心G ．则1CC B A 1ABD ∆B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．B ．C ．D ．323723739．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D 是C B 延长线上一点，且111C B A ABC -3231=AA ，则二面角的大小BC BD =B AD B --1 （）A ．B ．C ．D ．3π6π65π32π10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD1111D C B A ABCD -22的中点，．则三棱锥的体积VG BD EF =⋂11EFD B - （）A ．B ．C ．D ．66331631616二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距1111ABCD A B C D -E 11A B 1D E 1BC 离．12． 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截11111ABCD A B C D -E F 11A B CD B 面的距离．1AEC F 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离 ． 14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．。
新课标高二数学文同步测试(3)(选修1-1第二章)
普通高中课程标准实验教科书——数学 [人教版]（选修1-1、1-2）高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（3） （1-1第二章直线与圆锥曲线的位置关系）说明：本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，共150分；答题时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．x =231y -表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分2．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ＝的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3323．中心在原点，焦点坐标为(0, ±52)的椭圆被直线3x －y －2=0截得的弦的中点的横坐标 为21，则椭圆方程为（ ）A ．2522x +7522y =1B ．7522x +2522y =1C ．252x +752y =1D ．752x +252x =14．过双曲线1222=-y x 的右焦点F 作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若｜AB ｜＝4，则这样的直线l 有 （ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 5．过椭圆22a x +22b y =1（0<b<a ）中心的直线与椭圆交于A 、B 两点，右焦点为F 2(c,0)，则△ABF 2的最大面积是（ ）A ．abB ．acC ．bcD ．b 26．椭圆122222=+ay a x 与连结A (1，2)，B (2，3)的线段没有公共点，则正数a 的取值范围是（ ）A ．(0,6)∪ (17,∞)B ．(17,∞)C ．[6，17]D ．（6，17）7．以椭圆的右焦点F ２为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M 、N ，椭圆的左焦点为F 1，且直线ＭＦ１与此圆相切，则椭圆的离心率e 为 （ ） A ．22B ．23C ．2－3D ．3－１8．已知F 1, F 2是双曲线的两个焦点, Q 是双曲线上任意一点, 从某一焦点引∠F 1QF 2平分线的 垂线, 垂足为P, 则点P 的轨迹是 （ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线9．已知抛物线y =2x 2上两点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2)关于直线y =x +m 对称, 且2121-=x x , 那么m 的值等于（ ）A ．25B ．23C ．2D ．310．对于抛物线C: y 2=4x , 我们称满足y 02<4x 0的点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 若点M(x 0, y 0)在抛物线的内部, 则直线l : y 0y =2(x + x 0)与C （ ） A ．恰有一个公共点 B ．恰有二个公共点 C ．有一个公共点也可能有二个公共点 D ．没有公共点第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.2).doc
AA 1DCB B 1C 1 图新课标高二数学同步测试—（2－1第三章3.2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10154．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长AB 则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 （ ）A ．621 B ．338 C ．60210D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值 （ ） A ．32 B ．37 C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小 （ ） A ．3π B ．6π C ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ） A ．66B ．3316C ．316D ．16二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 和1BC 间的距离 ．12． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是11A B 、CD 的中点，求点B 到截面1AEC F 的距离 ． 13．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，点A 1到平面D B EF 的距离 ．14．已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线A E 与平面AB C 1D 1所成角的正弦值 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角的大小 16．（12分）已知棱长为1的正方体AB CD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是A 1C 1、A 1D 和B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1MC ．17．（12分）在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体A C 1，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 的中点． （1）求证：E 、F 、D 、B 共面；（2）求点A 1到平面的B DEF 的距离； （3）求直线A 1D 与平面B DEF 所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点E 为棱AB 的中点，求： （Ⅰ）D 1E 与平面BC 1D 所成角的大小； （Ⅱ）二面角D －BC 1－C 的大小；（Ⅲ）异面直线B 1D 1与BC 1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体AB CD-A 1B 1C 1D 1，过线段B D 1上一点P （P 平面A C B 1）作垂直于D 1B 的平面分别交过D 1的三条棱于E 、F 、G ．(1)求证：平面EFG ∥平面A C B 1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a ，求△EFG 的最大面积，并求此时EF 与B 1C 的距离．A参考答案一、1．B ；2．A ；3．A ；4．C ；分析：建立如图所示的直角坐标系，则A ，B ，(C ，(D ，(0,0,2)S ．(2,DB ∴=，2(CS =．令向量(,,1)n x y =，且,n DB n CS ⊥⊥，则00n DB n CS ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，(,,1)0(,,1)2)0x y x y ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，00x y x y +=⎧⎪⎨-+⎪⎩，x y ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩(2,n ∴=-．∴异面直线BD 和SC 之间的距离为：OC n d n⋅====5．A ；分析：11ABB A 为正方形，11A B AB ∴⊥，又平面1AB D ⊥平面11ABB A ，1A B ∴⊥面1AB D ，1A B ∴是平面1AB D 的一个法向量，设点C 到平面1AB D 的距离为d ，则11AC A B d A B⋅==()AC A A AB ⋅+=)AC A A AC AB⋅+⋅=．6．B ；分析：建立如图所示的直角坐标系， 设平面11A C D 的一个法向量(,,1)n x y =，则1100n DA n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即(,,1)(1,0,1)0(,,1)(0,1,1)0x y x y ⋅=⎧⎨⋅=⎩11x y =-⎧⇒⎨=-⎩， (1,1,1)n ∴=--，∴平面1A B C 与平面11AC D 间的距离AD n d n⋅===7．D ；()()().,0,0,0,,0,,0,0.2220,0,.212,0,,2OP ABC OA OC AB BC OA OB OA OP OB OP O OP z O xyz AB a A B C OP h P h D PC OD a h PA a ⊥==∴⊥⊥⊥-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=⎛⎫∴=-=⎪ ⎪⎝⎭ 平面，，，，，以为原点，射线为非负轴，建立空间直角坐标系如图，设，则设，则为的中点，又Ⅰ,0,1...2h OD PA OD PA OD PAB ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭∴=-∴∴， 平面∥∥()2,,,,210cos ,210sin cos ,arcsin30PA a h OD PBC n OD n OD n OD nOD PBC OD n OD PBC θθ=∴=⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎛=- ⎝⋅∴〈〉==⋅=〈〉=∴ 可求得平面的法向量 设与平面所成的角为，则 与平面所成的角为Ⅱ8．B ；解 以C 为坐标原点，C A 所在直线为x 轴，C B所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴，建立直角坐标系，设a CB CA ==，则 ）（0,0,a A ，）（0,,0a B ，）（2,0,1a A ，）（1,0,0D BCDC D 1图∴ ）（1,2,2a a E ， ）（31,3,3a a G ， ）（32,6,6a a =，）（1,,0a BD -=， ∵ 点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ，∴ ⊥GE 平面AB D ， ∴ 0=⋅GE ，解得 2=a ．∴ ）（32,31,31=GE ， ）（2,2,21-=BA ， ∵ ⊥平面AB D ， ∴ GE 为平面AB D 的一个法向量． 由 32323634||||,c o s 111=⋅=⋅>=<BA GE BA GE ∴ B A 1与平面AB D 所成的角的余弦值为37． 评析 因规定直线与平面所成角]20[πθ，∈，两向量所成角]0[πα，∈，所以用此法向量求出的线面角应满足|2|απθ-=．9．A ；取B C 的中点O ，连A O ．由题意 平面⊥A B C 平面11B B C C ，BC AO ⊥， ∴⊥AO 平面11B BCC ， 以O 为原点，建立如图6所示空间直角坐标系， 则 ）（323,0,0A ，）（0,0,23B ，）（0,0,29D ，）0,B ， ∴ ）（323,029-=AD ， ）（0,323,31-=D B ， ）0,3231，由题意 ⊥1BB 平面AB D ， ∴ ）（0,323,01=BB 为平面AB D 的法向量． 设 平面D AB 的法向量为 ),,(2z y x n =， 则 ⎪⎩⎪⎨⎧n 2， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00122D B n n ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-03233032329y x z x ， 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=x ． ∴ 不妨设 )23,1,23(2=n ， 由 212323323||||21212=⨯=⋅>=n BB n ，得 6021<故所求二面角B AD B --1的大小为 60． 评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取)23,1,23(2---=n 时，会算得21,cos 21->=<n BB ，从而所求二面角为 120，但依题意只为60．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．1010所示的直角坐标系， )1D ，0,2(∴ )41)0 图10 ∴ |,cos 111111<D F D E D ，∴ 135,sin 11>=<D D ， 所sin ||||211<⋅⋅=∆S EF D ， 设 平面EF D 1的方程为：+x 将点F E D ,,1代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+022*******D B D B D C ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==23243D C ，∴ 平面EF D 1的方程为：023243=-++z y x ，其法向量为 )243,1,1(=， ∴点1B 到平面EF D 1的距离51611==d ， ∴ 31651653131111=⨯⨯=⋅⋅=∆-d S V EFD EFD B 即为所求．评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 222000||C B A D Cz By Ax d +++++=计算得到． （2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等． 二、 11分析：设正方体棱长为2，以1D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(2,1,0)D E =，1(2,0,2)C B =，设1D E 和1BC 公垂线段上的向量为(1,,)n λμ=，则1100n DE n C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220λμ+=⎧⎨+=⎩，21λμ=-⎧∴⎨=-⎩，(1,2,1)n ∴=--，又11(0,2,0)D C =，116D C nn ⋅∴==，所以异面直线1D E 和1BC ． 12．36分析：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则11(1,0,0),(0,,0),(1,,1)22A F E ．1(0,,1)2AE ∴=，1(1,,0)2AF =-；设面1AEC F 的法向量为(1,,)n λμ=， 则有：0,0n AE n AF ⋅=⋅=， 102211102λμλμλ⎧+=⎪=⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪-+=⎪⎩，(1,2,1)n ∴=-，又(0,1,0)AB =，所以点B 到截面1AEC F的距离为AB n AB n⋅⋅==13．1；解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0） ，DF ＝（0，21，1）， 1DA ＝（1，0，1）设平面D B EF 的法向量为＝（x ，y ，z ），则有：0=⋅ 即x ＋y ＝0 0=⋅DF21y ＋z ＝0令x ＝1, y =－1, z=21, 取＝（1，－1，21），则A 1D B EF 的距离1==h14．510解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），1AD ＝（－1，0，1），＝（0，21，1） 设平面AB C 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）,由 0=⋅ 可解得＝（1，0，1）01=⋅AD n设直线A E 与平面AB C 1D 1所成的角为θ，则510sin ==θ， 三、15． 解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），A 1＝（0，1，－1） 设1n 、2n 分别是平面A 1B C 1与平面AB CD 的法向量， 由 011=⋅A n 可解得1＝（1，1，1）0111=⋅C A n易知2n ＝（0，0，1）， 所以，=33所以平面A 1B C 1与平面AB CD 所成的二面角大小为a rccos33或 π－a rccos 33． 注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，0，－1） A 1＝（1，0，1）， B 1＝（0，－1，－1）设111C A E A λ=，D A F A 11μ=，A B M B 11ν=（λ、μ、νR ∈，且均不为0）设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，由 011=⋅A n 可得 0111=⋅C A n λ 即 0111=⋅C A n011=⋅F A n 011=⋅D A n μ 011=⋅D A n解得：1n ＝（1，1，－1）由 012=⋅M B n 可得 012=⋅B n ν 即 012=⋅A B n012=⋅B n 012=⋅B n 012=⋅B n解得2n ＝（－1，1，－1），所以1n ＝－2n ， 1n ∥2n ， 所以平面A 1EF ∥平面B 1MC ．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用1n ⊥2n 021=⋅⇔n n 来证明．17．（1）证明：∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又AB ⊥AD ．∴AB ⊥平面PAD ．又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE ，故BE ⊥PD ．（2）解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为（a ，a ，0），（0，2a ，0）．∵PA ⊥平面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA =30°．于是，在Rt △AED 中，由AD =2a ，得AE =a ．过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，在Rt △AFE 中，由AE =a ，∠EAF =60°，得AF =2a，EF =23a ，∴E （0，23,21a a ）于是，CD a a AE},23,21,0{=={－a ，a ，0}设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a AE 与CD 所成角的余弦值为42． 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段． 18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D —xyz , 则知B （1，1，0），).1,21,0(),1,1,21(F E设.),,(的法向量是平面BDEF z y x = )1,21,0(),0,1,1(,,==⊥⊥由得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0210z y y x 则⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.21y z y x 令)21,1,1(,1--==y 得．设点A 1在平面B DFE 上的射影为H ，连结A 1D ，知A 1D 是平面B DFE 的斜线段．.23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1=--+⨯+--=⋅∴--=A.1222,cos ||||.2223223||||,cos ,23)21(1)1(||,2)1()1(||11111112222221=⨯>=<⨯=∴=⨯=⨯<∴=-++-==-++-=A A A A n D A A A n O D A 又 即点A 1到平面B DFE 的距离为1．（3）由（2）知，A 1H=1，又A 1D=2，则△A 1HD 为等腰直角三角形， 4511=∠=∠H DA DH A.45,,,11111 =∠∴∠∴⊥DH A BDFE D A DH A BDFE D A HD BDFE H A 所成的角与平面就是直线上的射影在平面是平面19．解：建立坐标系如图，则()2,0,0A 、()2,2,0B ，(0,2,0C ，A 1()12,0,2A ，()12,2,2B ，()10,0,2D ，()2,1,0E ，()12,2,2A C =--， ()12,1,2D E =-，()0,2,0AB =，()10,0,2BB =．（Ⅰ）不难证明1A C 为平面BC 1D 的法向量， ∵ 1111113cos ,9AC D E AC D E AC D E ==∴ D 1E 与平面BC 1D所成的角的大小为 a r c 2π-（即． （Ⅱ）1A C 、AB 分别为平面BC 1D 、BC 1C 的法向量， ∵ 1113cos ,3AC AB AC AB AC AB==，∴ 二面角D －BC 1－C 的大小为．（Ⅲ）∵ B 1D 1∥平面BC 1D ，∴ B 1D 1与BC 1之间的距离为1112AC BB d AC ==．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF ∥A C ，EG ∥B 1C ，FG ∥AB 1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG 平面A C B 1，由题设知只要证B D 1垂直平面A C B 1即可．证明：以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a ，则A （a ，0，0），B （a ，a ，0），C （0，a ，0），D 1（0，0，a ），B 1（a ，a ，a ），E （x E ，0，a ），F （0，y F ，a ），G （0，0，z G ）．∴→1BD =（－a ，－a ，a ），→1AB =（0，a ，a ），→EF （－x E ，y F ，0），→AC =（－a ，a ，0），→C B 1=（－a ，0，－a ）， ∵→1BD ·1→AB =(－a ，－a ，a )·(0，a ，a )=0， ∴→1BD ⊥→1AB ， 同理 →1BD ⊥→AC ， 而→1AB 与→AC不共线且相交于点A ，∴→1BD ⊥平面A C B 1，又已知→1BD ⊥平面EFG ， ∴ 平面EFG ∥平面A C B 1；又因为→1BD ⊥平面EFG ，所以 →1BD ⊥→EF ，则→1BD ·→EF =0，即 (－a ，－a ，a )·(－x E ，y F ，0)=0， 化简得 x E －y F =0；同理 x E －z G =0, y F －z G =0， 易得→EF=→EF=→FG，∴ △EFG 为正三角形．(2)解：因为△EFG 是正三角形，显然当△EFG 与△A 1C 1D 重合时，△EFG 的边最长，其面积也最大，此时，EF =A 1C 1=2·a ，∴EFG S ∆= D C A S 11∆=21→→D A C A 111··sin600 =21 (2·a )2·23=23·a 2 ． 此时EF 与B 1C 的距离即为A 1C 1与B 1C 的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B 1到平面 A 1C 1D 的距离，记A 1C 1与B 1D 1交于点O 1，作O 1H ∥D 1B 并交BB 1于点H ，则O 1H ⊥平面A 1C 1D ，垂足为O 1，则O 1(2a ，2a ，a )，H(a ，a ，2a)，而→H O 1作为平面A 1C 1D 的法向量，所以异面直线EF 与B 1C 的距离设为d 是d = →→→HO H O B O 1111·=43)44(222a a a +=33·a ． (证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K 与J ，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO 1，O B 1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)。
新课标高二数学理同步测试(9)(选修2-2第三章)
20．（14
分）已知：A、B
是
ABC
的两个内角，
m
cos
A
B 2
i
5 2
sin
A B 2
j
，
其中 i 、 j 为相互垂直的单位矢量．若 | m |
=
3
2 4
，试求
tanA·tanB
的值．
z:(1)
z
10 z
是实数，且1
z
10 z
6
．(2)z
的实部和虚部都是整数．
18．（12 分）设复数|z－i|=1,
且 z0,
z2i.
又复数 w 使
w w 2i
z 2i z
为实数，问复数 w 在
复平面上所对应的点 Z 的集合是什么图形，并说明理由．
19．（14 分）设虚数 z1,z2，满足 z12 z2 . （1）若 z1,z2 又是一个实系数一元二次方程的两根，求 z1, z2． （2）若 z1=1+mi(i 为虚数单位，m∈R), | z1 | 2 ,复数 w=z2+3,求|w|的取值范围．
A．圆
（） B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
7． 若 非 零 复 数
x, y 满 足
x2 xy y2 0 ,则
(
x
x
)2005 y
(
x
y
)2005 y
的
值
是
A． 1
（）
B． 1
C． 22004
D． 22004
8． 如 图 所 示 ， 复 平 面 内 有 RtΔ ABC， 其 中 ∠
人教A版高二数学 同步测试(8)
新课标高二数学同步测试（8）—（2－2第二章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．已知α∩β＝l ，a ⊂α、b ⊂β，若a 、b 为异面直线，则 （ ） A ． a 、b 都与l 相交 B ． a 、b 中至少一条与l 相交 C ． a 、b 中至多有一条与l 相交 D ． a 、b 都与l 相交 2．已知),....3,2,1(,,n i R b a i i =∈，1.. (2)2221=+++n a a a ，1 (2)2221=+++n b b b ，则n n b a b a b a +++.....2211的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．2nD ．n 23．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 （ ） A ．计算机行业好于化工行业 B ．建筑行业好于物流行业. C ．机械行业最紧张. D ．营销行业比贸易行业紧张 4．已知33q p +＝2，关于p ＋q 的取值范围的说法正确的是 （ ）A ．一定不大于2B ．一定不大于22C ．一定不小于22D ．一定不小于25．从棱长为32的正方体的一个顶点A 0出发，在体内沿一条直线进行到另一条上的点A 1，使得|A 0A 1|=1，再从A 1出发，在体内沿一条直线进行到另一条上的点A 2，使得|A 1A 2|=1，……，如此继续走下去，如果限定所走的路径不重复，则总路程最多等于 （ ） A ．18 B ．8 C ．12 D ．106．已知数列{a n }满足a n+1=a n －a n －1(n ≥2)，a 1=a ，a 2=b ，设S n =a 1+a 2+……+a n ，则下列结论正确的是 （ ） A ．a 100=－a S 100=2b －a B ．a 100=－b S 100=2b －a C ．a 100=－b S 100=b －a D ．a 100=－a S 100=b －a 7．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥A —BC D 的三个侧面ABC 、AC D 、A D B 两两相互垂直，则可得” （ ） A ．AB 2+AC 2+ AD 2=BC 2 +C D 2 +BD 2 B ．BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯2222C ．2222BCD ADB ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++ D ．AB 2×AC 2×AD 2=BC 2 ×C D 2 ×BD 28．已知函数n mx x x f ++=22)(，则)1(f 、)2(f 、)3(f 与1的大小关系为 （ ） A ．没有一个小于1 B ．至多有一个不小于1 C ．都不小于1 D ．至少有一个不小于1 9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α，m β，给出下列四个命题： （1）若α∥β，则l ⊥m ；（2）若l ⊥m ，则α∥β； （3）若α⊥β，则l ∥m ；（4）若l ∥m ，则α⊥β； 其中正确命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知函数)(x f y =，对任意的两个不相等的实数21,x x ，都有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+成立，且0)0(≠f ．则)2006()2005(...........)2005()2006(f f f f ⋅⋅-⋅-的值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2006！ D ．（2006！）2 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．若函数,)(k n f =其中N n ∈，k 是......1415926535.3=π的小数点后第n 为数字，例如4)2(=f ，则)]}7([.....{f f f f （共2005个f ）= ． 12．已知结论 “若+∈Ra a 21,，且121=+a a ，则41121≥+a a ”，请猜想若+∈R a a a n .......,21，且1....21=+++n a a a ，则≥+++na a a 1....1121 ．13．数列的前几项为2，5，10，17，26，……，数列的通项公式为 ．14．如图，在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD 满足条件 （或任何能推导出这个条件的其他条件，例如ABCD 是正方形、菱形等）时，有A 1C ⊥B 1D 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)． 15．（12分）已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b ．16．（12分）若01>a 、11≠a ，nnn a a a +=+121),,(，⋯=21n（1）求证：n n a a ≠+1；（2）令211=a ，写出2a 、3a 、4a 、5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ；（3）证明：存在不等于零的常数p ，使}{nn a pa +是等比数列，并求出公比q 的值.17．（12分）对于直线l ：y =kx +1，是否存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2－y 2=1的交点A 、B 关于直线y =ax （a 为常数）对称？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．18．（12分）由下列各式：图112111123111111312345672111122315>++>++++++>++++>你能得出怎样的结论，并进行证明.19．（14分）设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ,b ,c ∈R,a ≠0)满足条件：①当x ∈R 时，f (x -4)=f (2-x )，且f (x )≥x ；②当x ∈(0,2)时，f (x )≤2)21(+x ③f (x )在R 上的最小值为0．求最大值m (m >1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x .20．（14分）（反证法）对于函数)(x f ，若存在000)(,x x f R x =∈使成立，则称)(0x f x 为的不动点．如果函数),()(2N c b c bx a x x f ∈-+=有且只有两个不动点0，2，且,21)2(-<-f（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4}{=⋅nn n a f S a 满足，求数列通项n a ； （3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证：当2≥n 时，恒有3<n a 成立参考答案一、1．B ；2．A ；3．B ；4．A ；5．A ；6．A ；7．C ；8．D ；9．B ；10．B ； 二、11．1；12．2n ；13．12+n ；14．AC ⊥BD ； 三、15．证法1：（分析法） 要证3>-++-++-+ccb a b bc a a a c b 只需证明 1113b c c a a ba ab bc c+-++-++-> 即证6b c c a a ba ab bc c+++++> 而事实上，由a ，b ，c 是全不相等的正实数∴ 2，2，2b a c a c ba b a c b c +>+>+> ∴ 6b c c a a ba ab bc c+++++> ∴3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++>得证． 证法2：（综合法） ∵ a ，b ，c 全不相等∴ a b 与b a ，a c 与c a ，b c 与cb全不相等． ∴2，2，2b a c a c ba b a c b c+>+>+> 三式相加得6b c c a a ba ab bc c+++++> ∴ (1)(1)(1)3b c c a a ba ab bc c+-++-++->即3b c a a c b a b ca b c+-+-+-++>． 16．解：(1)采用反证法. 若n n a a =+1，即n nna a a =+12, 解得 .10，=n a 从而1011,===⋯⋯==-a a a n n 2a 与题设01>a ,11≠a 相矛盾，故n n a a ≠+1成立. (2) 211=a 、322=a 、543=a 、984=a 、17165=a , 12211+=--n n n a . （3）因为n n n n a p a p a p a 2211++=+++)( 又q a pa a p a nn n n ⋅+=+++11,所以02122=-+-+)()(q p a q p n ,因为上式是关于变量n a 的恒等式，故可解得21=q 、1-=p . 17．证明：（反证法）假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y =ax 对称，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+-=)3(22)2(2)()1(121212121x x a y y k x k y y ka 由022)3(1312222=---⇒⎩⎨⎧-=+=kx x k x y kx y ④由②、③有a （x 1+x 2）=k （x 1+x 2）+2 ⑤ 由④知x 1+x 2=232k k- 代入⑤整理得：ak =－3与①矛盾．故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y =ax 对称．18．分析：对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n -1，对应各式右端为一般也有2n . 解：归纳得一般结论*1111()23212nn n N ++++>∈- 证明：当n=1时，结论显然成立. 当n ≥2时，3333111111111111()()2321244222211111111()()2222222222n n n n n n n n n n ++++>+++++++++-++++-=-=+->故结论得证.∴21)2(41)21(-=-=f f ，),()21()21(1N n u n n ∈⋅-=-.故 ).(1)21(211])21(1[21N n S n n n ∈-=---=19．特殊—一般—特殊：其解法是先根据若干个特殊值，得到一般的结论，然后再用特殊值解决问题．分析：本题先根据题设求出函数f （x ）解析式，然后假设t 存在，取x =1得t 的范围，再令x =m 求出m 的取值范围，进而根据t 的范围求出m 的最大值． 解法一：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x = -1对称 ∴12-=-ab即b =2a 由③知当x = 1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1. ∴f (1)=1，即a +b +c =1，又a b +c =0 ∴a =41 b =21 c =41 ，∴f (x )=4121412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m ]，就有f (x +t )≤x 取x =1时，有f (t +1)≤1⇒41(t +1)2+21(t +1)+41≤1⇒4≤t ≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x =m ，有 f (t m )≤m ⇒41(t +m )2+21(t +m )+41≤m ⇒m 2(1t )m +(t 2+2t +1)≤0⇒t t 41---≤m ≤t t 41-+- ∴m ≤t t41--≤)4(4)4(1-⋅-+--=9当t = -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f (x 4)x =41(x 210x +9)=41(x 1)(x 9)≤0 ∴m 的最大值为9.解法二：∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x =-1对称 ∴ 12-=-abb =2a 由③知当x = 1时,y=0，即a b +c =0；由①得 f (1)≥1，由②得 f (1)≤1∴f (1)=1，即a +b +c =1，又a b +c =0∴a =41 b =21 c =41∴f (x )=4121412++x x =41(x +1)2 由f (x +t )=41(x +t +1)2≤x 在x ∈[1,m ]上恒成立∴4[f (x +t )-x ]=x 2+2(t -1)x +(t +1)2≤0当x ∈[1,m ]时，恒成立令 x =1有t 2+4t ≤0⇒4≤t ≤0令x =m 有t 2+2(m +1)t +(m -1)2≤0当t ∈[-4,0]时，恒有解 令t = 4得，m 210m +9≤0⇒1≤m ≤9即当t = 4时，任取x ∈[1,9]恒有f (x -4)-x =41(x 210x +9)=41(x 1)(x 9)≤0 ∴ m m in =9点评：本题属于存在性探索问题，处理这道题的方法就是通过x 的特殊值得出t 的大致范围，然后根据t 的范围，再对x 取特殊值，从而解决问题．20．解：依题意有x cbx ax =-+2,化简为 ,0)1(2=++-a cx x b 由违达定理, 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=+,102,102b a bc 解得 ,210⎪⎩⎪⎨⎧+==c b a 代入表达式c x c x x f -+=)21()(2， 由,2112)2(-<+-=-c f 得 x x f b c N b N c c ===∈∈<)(,1,0,,,3则若又不止有两个不动点，).1(,)1(2)(,2,22≠-===∴x x x x f b c 故 （2）由题设得,2:1)11(2)1(422n n n nn n a a S a a S -==-⋅得 （*） 且21112:1,1----=-≠n n n n a a S n n a 得代以 （**）由（*）与（**）两式相减得：,0)1)((),()(2112121=+-+---=----n n n n n n n n n a a a a a a a a a 即,2:(*)1,1211111a a a n a a a a n n n n -==-=--=∴--得代入以或解得01=a （舍去）或11-=a ，由11-=a ，若,121=-=-a a a n n 得这与1≠n a 矛盾，11-=-∴-n n a a ，即{}n a 是以-1为首项，-1为公差的等差数列，n a n -=∴；（3）采用反证法，假设),2(3≥≥n a n 则由（1）知22)(21-==+n nn n a a a f a ),2(,143)211(21)111(21)1(211N n n a a a a a a a n n n n n n n ∈≥<<=+<-+⋅=-=∴++即,有 21a a a n n <<<- ，而当,3;338281622,21212<∴<=-=-==n a a a a n 时这与假设矛盾，故假设不成立，3<∴n a .关于本例的第(3)题,我们还可给出直接证法,事实上: 由2121)211(21,22)(21211≤+--=-==+++n n n n n n n a a a a a a f a 得得1+n a <0或.21≥+n a ,30,011<<<++n n a a 则若结论成立； 若1+n a 2≥，此时,2≥n 从而,0)1(2)2(1≤---=-+n n n n n a a a a a 即数列{n a }在2≥n 时单调递减，由3222=a ，可知2,33222≥<=≤n a a n 在上成立. 比较上述两种证法,你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进.。
新课标高二数学同步测试(期中测试题())
新课标高二数学同步测试（期中测试题（1－1））一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题4分，共50分）。
1．判断下面命题的真假“如果明天太阳从西边出来，那么我就去死” （ ）A ．假命题B ．真命题C ．不是命题D ．可真可假 2．若中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆短轴端点是双曲线y 2－x 2=1的顶点，且该椭圆的离 心率与此双曲线的离心率的乘积为1，则该椭圆的方程为（ ）A ．22x +y 2=1B ．22y +x 2=1C ．42x +y 2=1D ．42y +x 2=13．函数y=xx ln 1ln 1+-的导数是（ ）A ．—B ．C ．—D ．—4．双曲线x 2－ay 2＝1的焦点坐标是（ ）A ．(a +1, 0) , (－a +1, 0)B ．(a -1, 0), (－a -1, 0)C ．（－a a 1+, 0）,（aa 1+, 0）D ．(－a a 1-, 0), (a a 1-, 0)5．设双曲线的焦点在x 轴上,两条渐近线为 ,则该双曲线的离心率e（ ）A ．5BCD ．546．设y=8x 2－lnx ，则此函数在区间(0,41)和(21,1)内分别为（ ）A ．单调递增，单调递减B ．单调递增，单调递增C ．单调递减，单调递增D ．单调递减，单调递减 7．设a ∈R ，则a>1是a1<1 的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．设原命题：若a+b ≥2，则a,b 中至少有一个不小于1。
则原命题与其逆命题的真假情况是 （ ） A ．原命题真，逆命题假 B ．原命题假，逆命题真 C ．原命题与逆命题均为真命题 D ．原命题与逆命题均为假命题 9．函数y=x 3－3x 2－9x (－2<x<2)有 （ ） A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极小值为-27，无极大值2)ln 1(2x + 2)ln 1(2x x +2)ln 1(2x x +2)ln 1(1x x + 12y x =±10．曲线2)(3-+=x x x f 在0p 处的切线平行于直线41y x =-,则0p 点的坐标为（ ）A ．( 1 , 0 )B ．( 2 , 8 )C ．( 1 , 0 )和(－1, －4)D ．( 2 , 8 )和 (－1, －4)二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题4分，共16分）。
人教版数学高二新课标 第三章章末练习 同步测试
3章章末一、选择题1．(2010·福建文，4)i 是虚数单位，(1＋i 1－i)4等于( ) A ．i B ．－iC ．1D ．－1C本题主要考查复数． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1＋i)(1－i)22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i －2i 2＝(－1)2＝1. 2．(2009·宁夏、海南文，2)复数3＋2i 2－3i＝( ) A ．1B ．－1C ．iD ．－i C本题主要考查复数的运算．3＋2i 2－3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13＝i. 3．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 Dz ＝(3＋i )(1－i )＝4－2i ，所以复数z 对应的点Z (4，－2)在第四象限．4．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA→对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i D因为AB →对应的复数是2＋i ，BC →对应的复数是1＋3i ，所以AC →对应的复数是(2＋i )＋(1＋3i )＝3＋4i ，所以CA →对应的复数是－3－4i .二、填空题5．设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部是______．1设出z 1，计算出右边的结果，根据复数相等的定义求解．设z 1＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则z 2＝a ＋bi －i (a －bi )＝a －b ＋(b －a )i .∵z 2的实部是－1.即a －b ＝－1，∴z 2的虚部b －a ＝1.两个复数相等，则它们的实部与虚部分别相等．6．若a ，b 为非零实数，则下列四个命题都成立．①a ＋1a≠0；②(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2； ③若|a |＝|b |，则a ＝±b ；④若a 2＝ab ，则a ＝b .则对于任意非零复数a ，b ，上述命题仍然成立的序号是______．②④实数的运算法则在复数范围内不一定成立，应逐一验证．若a ＝i ，则①不成立；a ＝i ，b ＝1，则③不成立，②④成立．实数的运算性质在复数范围内，应加以说明，不可盲目应用．三、解答题7．设复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )，在下列条件下求动点Z (x ，y )的轨迹．(1)|2z ＋i |＝2(2)|z ＋1＋i |－|z －1－i |＝0(3)|z ＋i |＋|z －i |＝2 2(4)|z ＋1|－|z －i |＝ 2(1)方程即|z ＋i 2|＝1，表示圆，圆心(0，－12)，半径为1. (2)|z ＋1＋i |＝|z －1－i |，复数z 对应点Z 到两点A (－1，－1)和B (1,1)距离相等，∴点Z 的轨迹为线段AB 的垂直平分线．(3)以点(0，－1)和(0,1)为焦点，长轴为22的椭圆．(4)以点(0,1)为端点，倾斜角为π4的一条射线．(不是双曲线，因为两定点的距离为2) 8．已知复数z 满足(z ＋z )－3z ·z i ＝1－3i ，求复数z . 解法一 设z ＝x ＋yi (x ，y ∈R )，代入条件得2x －(3x 2＋3y 2)i ＝1－3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝1－3x 2－3y 2＝－3解得⎩⎨⎧ x ＝12y ＝±32∴z ＝12±32i . 解法二 ∵z ＋z ∈R ，z ·z ∈R ，由复数相等得⎩⎪⎨⎪⎧z ＋z ＝1z ·z ＝1∴z 及z 是方程x 2－x ＋1＝0的两根．解此方程得z ＝12±32i .。
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.1)
向量是（ ）
A．
1 2
a
1 2
b
c
B．
1 2
a
1 2
b
c
图
1 C． 2
a
1 2
b
c
D．
1 2
a
1 2
b
c
2．在下列条件中，使 M 与 A、B、C 一定共面的是 （）
A． OM 2OA OB OC
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)．
15．（12 分）如图，已知正方体 ABCD A' B 'C ' D ' 的棱
长为 a，M 为 BD' 的中点，点 N 在 AC' '上，且 | A' N | 3 | NC ' | ，试求 MN 的长．
z
D' O' N
C'
A'
B'
（
）
'
等于
A．85
B． 85
C． 5 2
D．50
4．与向量 a (1,3, 2) 平行的一个向量的坐标是
（）
A．（13 ，1，1）
13 C．（－2 ， 2 ，－1）
B．（－1，－3，2）
D．（ 2 ，－3，－2 2 ）
5．已知 A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O 为坐标原点，则向量OA,与OB 的夹角是
(ON
OM
)
新课标高二数学文同步试卷(4)及答案(选修1-1第三章)
1．两曲线 y x 2 ax b与2 y 1 xy3
相切于点（1，－1）处，则 a，b 值分别为 （）
A．0，2
B．1，－3
C．－1，1
D．－1，－1
2．
设函数f
x
2x 1 x2
, 则f
x
（）
A．在（－∞，＋∞）单调增加
B．在（－∞，＋∞）单调减少
C．在（－1，1）单调减少，其余区间单调增加
B．极大值必大于极小值
C．极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值
D．极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值
5． 设f
x在x
0 可导,
则
lim
x0
f x0
x f x0
x
3x 等于
（）
A． 2 f x0
B． f x0
6．下列求导运算正确的是
（）
A．(x+
g x f x x2 tx 1。是否存在一个实数 t，使得当 x (0,1]时，g（x）有最
令 3
大值 1？
参考答案
一、 1．D； 2．C； 3．B； 4．D；
5．D
提示：这里插入 f x0 ，因为题目假定 f(x)在 x 0 点可导，所以分成两项的极限都存
12．已知 x R ，奇函数 f (x) x3 ax2
在
bx c [1,)
的条件是
。
上单调，则字母 a,b, c 应满足
13．两个和为 48 的正整数，第一个数的立方与第二个数的平方之和最小，则这两个正整数
分别为__________。
14．设f x xx 1x 2 x 1000,则f 0 ____________.
新课标高二数学同步测试—(2-1第三章3.2)
10．A正．四3棱柱 ABCD
AB，CD 的中点，
EAF1BB．1C61BDD1
C．
中，底面边长为 2
62
G ．则三棱锥 B1
，侧棱长为D4．，E3，F EFD1 的体积 V
分别为棱
二、A填．空题66：请把答案填在（ B．题1中63横）3线上（每小题
16 6C分．，共3 24
D．16
分）．
22
5．A；分析： Q ABB1 A1 为正方形， A1B AB1 ，又平面 AB1D 平面 ABB1A1 ， A1B 面 AB1D ， A1B 是
平面 AB1D 的一个法向量，设点C 到平面 AB1D 的距离为 d ，则
d ACuuuAr 1B = AC ( A1A AB)
18．（12 分）已知棱长为 1 的正方体 A1C ，E、F 分别是1 B1 C 、1 C D 的中点． （1）求证：E、F、D、B 共面； （2）求点 A1 到平面的 BDEF 的距离； （3）求直线 A1 D 与平面 BDEF 所成的角．
19．（14 分）已知正方体 ABCD－1A1 B1 C1 D 的棱长为 2，点 E 为棱 AB 的中点，求： （Ⅰ）D1 E 与平面 BC1 D 所成角的大小； （Ⅱ）二面角 D－BC1 －C 的大小； （Ⅲ）异面直线 B1 D1 与 BC1 之间的距离．
Ⅰ Q D为的PC中点，
uuur OD
2 4
a,0,
1 2
h
,
uuur 又PA
2 2
a,0,h
，
uuur OD
1 2
uuur PA.
uuur uuur OD∥∥ PA.
新课标高二数学文同步测试(10)(选修1-2第四章)
普通高中课程标准实验教科书——数学选修1—2（文科）[人教版]高中学生学科素质训练新课标高二数学同步测试（10）（1－2）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1．研究人员想要确定水流过试验土床的速度（升/秒）是否能够用来预测土壤流失量（千克）。
在这个研究中，解释变量是（）A ．被侵蚀的土壤量B ．水流的速度C ．土床的大小D ．土床的深度 2．下列两个变量具有相关关系的是（）A ．正方体的体积与它的边长B ．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间C ．人的身高与体重D ．人的身高与视力3．若复数z 的共轭复数是，且|z |=1，则|(z +1)(z -i )|的最大值是（）zA ．2+B ．2-C ．1+D ．3+ 2224．复数等于（） ()()221345+-i iA ．B ．－C ．D ．－13+i 13+i 13-i 13-i 5．设f (x )=log a x (a ﹥0, )，若f (x 1)+f (x 2)+……＋f (x n )=1(x i ∈R ＋,i =1、2……n )，则f (x 12)＋f (x 22)1≠a ＋……＋f (x n 2)的值等于 （ ） A ． B ．1 C ．2 D ．2log a 2 6．=（ ）10032i i i i …··…··A ．1B ．－1C ．ID ．－i7．某工厂的工人在8月份的工作时间为下午14：00—17：00，生产的产品合格率为65%，总 经理在9月份改变了工作时间，工作时间定为早上8：00—11：00。
从生产的产品中抽取 10件，有9件合格。
则约有把握认为改变工作时间后的工作效率更高。
A ．85% B ．92%C ．95%D ．99%8．设则满足等式的复数Z 对应的点的轨迹是：Z x yi x y R =+∈（）,Z x +=-2（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆9．回归方程的系数a,b 的最小而乘估计使函数Q （a,b ）最小，Q 函数指 （）b aˆˆA ．B ．C ．D ． ()∑=--n i bx a y 121∑=--ni i bx a y 1()2i i bx a y --i i bx a y --10．已知复数z k (k=1，2，3，…，101)满足|z k |=1，命题甲为：=0，命题乙：复平面内以∑=1011k kzz k (k=1，2，3，…，101)的对应点为顶点的101边形是正多边形，那么命题甲是命题乙的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分不必要条件 二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
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高中学生学科素质训练新课标高二数学文同步测试（8）（1-2第三章）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。
1． 使不等式m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m （ ）A ．1B ．0C ．3D ．复数无法比较大小2．已知z =x ＋yi (x ，y ∈R )，且 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，则z=（ ）A ．2＋iB ．1＋2iC ．2＋i 或1＋2iD ．无解 3．下列命题中正确的是（ ）A ．任意两复数均不能比较大小；B ．复数z 是实数的充要条件是z =z ；C ．复数z 是纯虚数的充要条件是z +z =0;D ．i +1的共轭复数是i －1； 4．设)()11()11()(N n ii i i n f nn ∈+-+-+=，则集合{})(n f x x =中元素的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．无穷多个5．方程2z +|z |=2+6i 的解的情况是（ ）A ．没有解B ．只有一解C ．有两解D ．多于两解6．设复数(),z x yi x y R =+∈，则满足等式20z x ++=的复数z 对应的点的轨迹是 （ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线7．若非零复数,x y 满足220x xy y ++=,则20052005()()x y x y x y+++的值是 （ ）A ．1B ．1-C ．20042D ．20042-8．如图所示，复平面内有Rt ΔA BC ，其中∠B A C=90°，点A 、B 、C 分别对应复数32z z z 、、， 且z =2，则z =A ．i ±-3B ．i ±3C ．i 31±-D ．i 31±9．复数z 1＝a ＋2ｉ，z 2＝－2＋ｉ，如果|z 1|< |z 2|，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．－1<a <1B ．a >1C ．a >0D ．a <－1或a >110．如果复数z 满足|z ＋ｉ|＋|z －ｉ|＝2，那么|z ＋ｉ＋1|的最小值为 （ ）A ．1B ．2C ．2D ．5二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）。
11．已知关于x 的实系数方程x 2－2a x+a 2－4a +4=0的两虚根为x 1、x 2，且|x 1|+|x 2|=3，则a 的值为 。
12．已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x , y ∈R ，求x= ， y= 。
13．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005= 。
14．已知x 、y 、t ∈R ，01≠-≠t t 且，求满足x ＋yi =1()1t t i t t+++时，点(x , y )的轨迹方程 。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分)。
15．（12分）设|z 1|＝5，|z 2|＝2, |z 1－z 2|＝13，求z z 12的值。
16．（12分）当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m 2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．17．（12分）求同时满足下列条件的所有复数z ：(1)z z 10+是实数，且6101≤+<zz 。
(2)z 的实部和虚部都是整数。
18．（12分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由。
19．（14分）设虚数z 1,z 2，满足221z z =.(1)若z 1,z 2又是一个实系数一元二次方程的两根，求z 1, z 2。
20．（14分）设复数|z －i |=1, 且z ≠0, z ≠2i . 又复数w 使ziz i w w 22-⋅-为实数，问复数w 在复平面上所对应的点Z 的集合是什么图形，并说明理由。
参考答案（8）（1-2第三章）一、 1．B ；2．C ；解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法． ∵ 222log 8(1log )x yi x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y+⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ．诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 3．B ； 4．C ；解析：∵n n i i n f )()(-+=∴ 0)3(,2)2(,0)1(=-==f f f ， ,2)4(=f ，∴ 集合{})(n f x x =中的元素为-2,0,2，选C ．；5．C ；解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m 2－(m 2－3m )i ＜(m 2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m =3. 当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
6．D ； 7．A ； 8．C ； 9．A ；利用复数模的定义得a 222+<5，选A ；10．A ；由复数模几何意义利用数形结合法求解，选A ；二、11．21； 12．x =25, y =4；13．i ；解：此题主要考查i n 的周期性．i ＋i 2＋i 3+……+i 2005=(i +i 2+i 3+i 4)+……+(i 2001+i 2002+ i 2003＋i 2004)＋i 2005=(i －1－i +1)+ (i －1－i +1)+……+(i －1－i +1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i . 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住i n 的周期及合理分组．14．xy =1；解：此题主要考查复数相等的充要条件，轨迹方程的求法．∵ x ＋yi =1()1t t i t t+++，∴11t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩， ∴xy =1, ∴ 点(x ，y )的轨迹方程为xy ＝1，它是以x 轴、y 轴为对称轴，中心在(0，0)的等轴双曲线．三、15． 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。
【解】 如图，设z 1＝、z 2＝后，则1＝、z 2＝如图所示。
由图可知，|z z 12|＝52，∠A OD ＝∠BOC ，由余弦定理得： cos ∠A OD ＝5213252222+-()××＝45 ∴ z z 12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ【另解】设z 1＝、z 2＝如图所示。
则|z z 12|＝52，且cos ∠A OD ＝5213252222+-()××＝45，s i n ∠A OD ＝±35，所以z z 12＝52(45±35ｉ)＝2±32ｉ，即z z 12＝2±32ｉ。
【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。
一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，16．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z 为实数，则虚部m 2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得m =2，∴ m =2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m 2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩，解得52.52±≠≠±≠≠m m m m 且当且时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m =－21, ∴当m =－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求． 17．分析与解答：设z =a +b i (a ,b ∈R,且a 2+b 2≠0). 则22)(101010b a bi a bi a bia bi a z z +-++=+++=+ i ba b b a a )101()101(2222+-+++=由(1)知z z 10+是实数，且6101≤+<z z ,∴ 0)101(22=+-b a b 即b=0或a 2+b 2=10. 又6)101(122≤++<b a a *当b=0时，*化为6101≤+<aa 无解。
当a 2+b 2=10时，*化为1<2a ≤6, ∴321≤<a . 由(2)知 a =1,2,3. ∴ 相应的b=±3, ±6(舍)，±1，因此，复数z 为：1±3i 或3±i .此题不仅考查了复数的概念、运算等，同时也考查到了方程、不等式的解法。
18．分析与解答：设 z =a +b i , w=x+y i (a ,b, x,y ∈R).由题z ≠0, z ≠2i 且|z －i |=1, ∴ a ≠0, b ≠0且a 2+b 2－2b=0.222222222222222)2(2)2(2)2()2(2)2(2222b a aiy x xi y y x b a ai b b a y x xi y y x bia i bi a i yi x yi x z iz i w w u +-⋅-++-+=+--+⋅-++-+=+-+⋅-++=-⋅-=记已知u 为实数，∴ 02)2(2222222=+-⋅-+-+ba a y x y y x ，∵a ≠0, ∴ x 2+y 2－2y=0 即 x 2+(y －1)2=1.∴w 在复平面上所对应的点Z 的集合是以(0, 1)为圆心，1为半径的圆。
又∵ w －2i ≠0, ∴除去(0, 2)点。
此题中的量比较多，由于是求w 对应点的集合，所以不妨设w 为x+y i (x,y ∈R), z =a +b i (a ,b ∈R).关于z 和w 还有一些限制条件，这些都对解题起着很重要的作用，千万不可大意。
19．分析与解答：(1)∵z 1, z 2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，因此必共轭，可设z 1=a +b i (a ,b ∈R 且b ≠0),则z 2=a －b i , 由221z z = 得(a +b i )2=a －b i即： a 2－b 2+2a b i =a －b i根据复数相等，⎩⎨⎧-==-bab a b a 222∵b ≠0 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=2321b a 或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=2321b a ， ∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=i z i z 2321232121或 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=--=i z i z 2321232121。