三元一次方程组解法举例教学设计

教学课时建议：教学课时建议：本小节新授课可分为二学时，其中第一学时为三元一次方程组的概念及解三元一次方程组的思想和方法；第二学时灵活的运用代入和加减消元法解三元一次方程组.具体的教学设计如下：
8．4 三元一次方程组解法举例教学设计
一、教学目标
知识技能：能够列方程组解决实际问题；掌握代入消元法和加减消元法解三元一次方程组；掌握解三元一次方程组的思想和一般步骤.进一步运用三元一次方程组解决实际问题.
数学思考：在运用三元一次方程组解决实际问题过程中进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识，并进行归纳，感受方程对解决实际问题的作用.
问题解决：能够根据具体问题列出三元一次方程组并顺利运用三元一次方程组解决实际问题；清楚地表达解决问题的过程，并解释合理性.能够对三元一次方程组的解法进行归纳和总结．
情感态度：渗透方程思想，培养学生的方程意识；在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.在探索解决问题的过程中，敢于发表自己的见解，理解他人的看法并与他人交流.
二、重难点分析
教学重点：让学生经历和体验把实际问题转化为三元一次方程组的过程，用三元一次方程组解决实际问题．进一步体会“消元”的基本思想.
从本节的标题不难看出，本节侧重通过具体的三元一次方程组说明它的解法.痛二元一次方程组的解法一样，三元一次方程组的解法也是消元.通过消元，把三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而转化为一元一次方程，最后得到三元一次防尘组的解.例题的选取也是从实际出发，让学生初步体会到数学与人们的日常生活的密切关系，并体会数学在社会生活中所起的作用，激发学生对数学的学习兴趣，使学生学会从数学的角度去分析和解决简单的实际问题.
在突出重点时，主要在学生已有知识经验方程的基础上，让学生通过实际问题列三元一次方程组.教师在学生小组讨论过程中进行个别的指导，通过典型例题进行讲解，以明确学生的认识.在由实际问题列三元一次方程组的教学活动中，教师要让学生充分地进行思考和探究，让学生有自主探讨的过程，帮助学生掌握解三元一次方程组的消元方法，进一步体会“消元”的基本思想.然后教师再利用多媒体教学手段进行演示，加深学生的理解.
教学难点：针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法．
本课的重点是让学生根据多种实际问题中的数量关系,找出等量关系,感受方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型的意义，列出方程,解出结果归纳出用三元一次方程组解应用题的方法和步骤.
单纯考查解三元一次方程组的题目非常少，但将解三元一次方程组融入求二次函数解析式的综合性命题中则比较常见，尤其是代入消元法和加减消元法的应用在很多问题中都有所体现，所以同学们必须熟练掌握，并能灵活运用．
三元一次方程组的应用，是在学习了二元一次方程组解法的基础上进行的，在生活实践和数学领域里有着非常广泛的应用.考察的难点是代入、加减消元法的灵活应用，所以在教学过程中，应提醒学生注意，在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．
三、学习者学习特征分析
在上一节的学习过程中，学生已经知道怎样解二元一次方程组.在实际生活中也是比较常见二元一次方程组的应用的.教师在授课时应先让学生有一定的感性认识，之后再引出运用三元一次方程组解应用题. 学生能比较熟练的解二元一次方程组，所以只要把三元一次方
程组转化为二元一次方程组，学生也就不会感觉到困难了.所以怎样灵活运用代入或者是加减消元法把“三元”转化为“二元”是学生的难点.
四、教学过程
（一）创设情境，引入新课
前面我们学习了二元一次方程组及其解法——消元法.有些有两个未知数的问题，可以列出二元一次方程组来解决.实际上，有不少问题含有更多未知数，我们来看下面的问题．【引例】（教师用PPT给出）
小明手头有12张面额分别为1元，2元，5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，求1元，2元，5元纸币各多少张．
提出问题：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
【列表分析】（师生共同完成）
（三个量关系）每张面值×张数=钱数
1元x x
2元y 2y
5元z 5z 合计12 22
注1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y 解：（学生叙述个人想法，教师板书）
设1元，2元，5元的张数为x张，y张，z张.
根据题意列方程组为：
【得出概念】（师生共同总结概括）
这个方程组有三个相同[本文由361学习网搜集整理，小学教案]的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
（二）合作交流，探索新知
问题1：
怎样解这个方程组呢？能不能类比二元一次方程组的解法，设法消去一个或两个未知数，把它化成二元一次方程组或一元一次方程呢？
学生活动：(展开思路，畅所欲言)
例1 .解方程组
分析1：发现三个方程中x的系数都是1，因此确定用减法“消x”.
解法1：消x
②-①得y+4z=10 . ④
③代人①得5y+z=12 . ⑤
由④、⑤得
解得
把y=2,代入③，得x=8.
∴是原方程组的解.
分析2：方程③是关于x的表达式，确定“消x”的目标.
解法2：消x
由③代入①②得
解得
把y=2代入③，得x=8.
∴是原方程组的解.
规律：
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型一：有表达式，用代入法.
针对上面的例题进而分析，例1中方程③中缺z,因此利用①、②消z,可达到消元构成二元一次方程组的目的.
解法3：消z
①×5得5x+5y+5z=60，④
x+2y+5z=22，②
④-②得4x+3y=38 ⑤
由③、⑤得
解得
把x=8,y=2代入①，得z=2.
∴是原方程组的解.
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：
类型二：缺某元，消某元.
教师活动：可以告诉学生还可以通过消掉未知项y来达到将“三元”转化为“二元”目的，同学可以课下自行尝试一下.
在例题中，如果先确定消去，那么这三个方程两两分组的方法有3种；①与②，①与③，②与③．我们可以从中任选2种消去．这里特别要注意选定2种后，必须消去同一个未知数．如果违背了这一点，所得的两个新方程虽然各含两个未知数，但由它们组成的方程组仍然含有三个未知数，这在实际上没有消元．
问题2：
例2 解方程组
分析：（1）比较此三元一次方程组与以前学过的有什么不同？（三个方程都含三元）（2）三个方程中哪个未知数的系数最简单？（）
（3）考虑用加减法消，消的方案有哪几种？（方案：①＋③；②＋③×2；①×2－②）我们选择最简单的两种方案①＋③和②＋③×2，消同一个未知数，就可以得到关于、
的二元一次方程组．
学生活动：独立解例2，一个学生板演．教师巡视进行纠正、指导．
解：①＋③，得④
②＋③×2，得⑤
④与⑤组成
解这个方程组，得
把，代入①，得
∴
∴
此题用代入法消元，如何进行？
学生活动：思考、说出思想，选择系数最简单的方程③变形后代入①和②．
此题用加减法比用代入法简单，我们在解三元一次方程组时，要认真观察题目特点，选取恰当的方法进行消元，而且一定要选准消元对象．
【教法说明】以提问的形式分析例题，能让学生充分展开思维活动，既突出了本节课的重点，又对难点有所突破，培养了学生分析问题、解决问题的能力，体会到解方程组时“消元”思想的重要性．
变式训练，培养能力
（1）解方程组
（2）一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的7倍比个位、十位上的数的和大2，个位、十位、百位上的数的和是14，求这个三位数．【教法说明】①第（1）题的技巧性较强，把其中每两个方程相加，就可以求出一个未知数的值．这道题能增强学生的学习兴趣，培养学生善于发现规律、总结规律的能力．②第（2）题能培养学生分析问题的能力和运用所学知识解决实际问题的能力，能使学生体会到数学知识的实用性．
（三）应用新知，体验成功
利用多媒体素材中的“典型例题”进行教学.
（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）
这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）
1．学生自由发言，这节课我们应该掌握哪些知识？
2．教师归纳总结：
①解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，其中加减法比较常用．
②解三元一次方程组的基本思想是消元，关键也是消元，我们一定要根据方程组的特点，选准消元对象，定好消元方案．
③解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验．
（五）拓展延伸，布置作业
(1)必做题：解三元一次方程组．
(2)选做题：解方程组．
(3)思考题：有这样一个丢番图问题：今有四数，取其三个而相加，其和分别为22，22，26和20，求此四数各几何？
五、学习评价
（一）选择题
1．以下方程组，不属于三元一次方程组的是( )
（A）．（B）．（C）．（D）．
2. 以下各方程组中，以为解的是( )
（A）. （B）. （C）. （D）.
3．解三元一次方程组，若要使运算简便，应( )
（A）先消.（B）先消.（C）先消.（D）先消常数项.
4．三元一次方程组的解是( )
（A）. （B）. （C）. （D）．
5．三元一次方程组的解的个数为( )
（A）无数多. （B）1. （C）2．（D）0．
6．已知，同时满足下列三个等式：，，，
则的值为( )
（A）-2.（B）-1. （C）1. (D）2.
（二）填空题
7．满足方程的，，的值分别为：___________.
8．已知三元一次方程，若用含，的代数式表示，则_________.
9．请你写出一个解是的三元一次方程组___________.
10．当_____时，方程组的解满足.
11．若三元一次方程有两组解和，则_______，_______.
12．解方程组时，宜先消去未知数_____，得到关于_______的二元一次方程组_______.解这个方程组得_______，故原方程组的解为_______.
（三）解答题
13．解方程组：(1) ，(2) .
14．在等式中，当时，；当时，；当时，，求a、b、c的值.
15．甲、乙、丙三数的和是26，甲数比乙数大1，甲数的两倍与丙数的和比乙数大18，求这三个数．
16．一种饮料大小包装有3种，1个中瓶比2个小瓶便宜2角，1个大瓶比1个中瓶加1个小瓶贵4角；大、中、小各买1瓶，需9元6角.3种包装的饮料每瓶各多少元？
答案与提示
（一）选择题
1.D ；
2.D ；
3.A ；
4.B ；
5.A ；
6. C .
（二）填空题
7. ，，；8. ；9．(答案不唯一)；
10.1；11. -1 ，1；12. ，和，，，.
（三）解答题
13．(1) ，(2).
14．，，提示：根据题意得.
15. 10，9，7 提示：设甲、乙、丙三数分别为，，，根据题意得，
解得．
16. 5元，3元，1.6元
提示：设大、中、小3种包装饮料每瓶分别为元，元，元，根据题意得
，解得．。