第八章 平面电磁波

c= 1
µ 0ε 0
≈ 3 × 10 8 (m / s)
5、波矢量 、
v ˆ 当选择 k = − z k 时，其电场的瞬时表达式为 E m cos(ω t + kz) ，表示 v v ˆ ˆ 一个向 − z 方向传播的正弦电磁波；而当 k = ± xk 和 k = ± y k 时， ˆ ˆ ˆ 则分别表示向 ± x 和 ± y方向传播的正弦电磁波。
ωµ
所以平均坡印廷矢量可求得
v v v v∗ v v∗ v v∗ v v v v* 1 1 k 1 < S >= Re[ E × H ] = Re[ E × ( × E )] = Re[( E ⋅ E )k − ( E ⋅ k ) E ] 2 ωµ 2 2ωµ v v* v v v v* v v 由于 E ⊥ k ，所以有 ( E ⋅ k ) E = 0 ；又注意到 ( E ⋅ E )k 为实矢量，得
由此得到电场分量 Ex 的复振幅表达式
Ex = E0 x e
− j ( kx x + k y y + kz z )
x
jϕ − − − 式中 E0 x = − A B C ，是复常数，可表示为 E 0 x = E xm e
E xm 称为振幅 ϕ x 为初始相位 振幅， 初始相位，都是实常数，其值由初始条件决定。 振幅 初始相位 v ˆ ˆ 令 ˆ k = xk x + y k y + z k z v ˆ ˆ ˆ r = xx + y y + z z 任意场点 P( x, y, z ) 的位置矢量为 v v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 则有 k x x + k y y + k z z = ( xk x + y k y + z k z ) ⋅ ( x x + y y + z z ) = k ⋅ r
∇2Hi + k 2Hi = 0
i=x, y,z
以 x 分量为例，利用分离变量法求解，令
E x = f ( x ) g ( y ) h( z )
∂2 ∂2 ∂2 ( 2 + 2 + 2 )E x + k 2 E x = 0 则有 ∂x ∂y ∂z 引入分离常数
1 ∂ 2 f ( x) 1 ∂ 2 g ( y) 1 ∂ 2 h( z ) + + + k2 = 0 f ( x) ∂x 2 g ( y ) ∂y 2 h( z ) ∂z 2
v v 可见若 k 是实数，则 k 的方向就表示电磁波传播方向, k 称为波矢量 波矢量。 波矢量 v ˆ 若 k 的方向用单位矢量 n 表示，并记
ˆ ˆ ˆ ˆ n = x cos α + y cos β + z cos γ
其中
ˆ ˆ ˆ α , β , γ 分别是 n 与 x , y , z 的夹角 ˆ cos α , cosβ , cos γ 称为传播方向 n 的方向余弦。 ˆ
v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E = x E x = xE xm e j ϕ x e − j ( zˆk )⋅( xx + yy + zˆz ) = xE xm e j ϕ x e − j k z
可见：此时，电场的复矢量只是坐标变量z的函数。 瞬时值
v ˆ E ( z , t ) = x E xm cos(ω t − kz + ϕ x )
v 于是 k 可表示为
v ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k = nk = x k cos α + y k cos β + z k cos γ = x k x + y k y + z k z
ˆ 可见，波矢量的三个分量由传播常数k 和传播方向 n 的方向余弦决定。
6、电场与磁场之间的相互联系 、 v v ①利用 E 求 H 求解磁场可以利用波动方程，也可以利用麦克斯韦方程。 v v ∇× E H= = 0（与坐标无关） − jωµ 其中
电场的复矢量表示为
vv v jϕy jϕx jϕz − j k ⋅r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E = xE x + yE y + zE z = ( xE xm e + yE ym e + zE zm e )e
相应磁场的复矢量为
v ˆ ˆ ˆ H = xH x + yH y + zH z = v v k ×E
v v v Ei (r , t ) = Ei m cos[ω t − k ⋅ r + ϕi ] = Ei m cos[ω t − (k x x + k y y + k z z ) + ϕi ]
所以等相位面方程是
kx x + k y y + kz z + ϕi = C
平面方程
v 2、均匀平面电磁波的 < S > 、
ˆ ˆ ˆ = (− jk x x − jk y y − jk z z )e
v − j kv⋅r v = − jk e
于是
v − j kv⋅r v v − j kv⋅r v v v v v v ∇ × E = (− j k e ) × E0 = − j k × E0 e = − jk × E
所以磁场可以由电场求得
vv vv v v − j kv⋅r v v v − j k ⋅r − j k ⋅r ∇ × E = ∇ × (E0 e )=e ∇ × E 0 + (∇e ) × E0
又因为
∇e
vv − j k ⋅r
= ∇e
− j (k x x+k y y +k z z ) − j(kx x+k y y +kz z )
将各电场分量矢量相加，就得到电场强度的复矢量表达式 电场强度的复矢量表达式
vv v v − j kv⋅r v − j k ⋅r ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ E = x E x + y E y + z E z = ( x E 0 x + y E 0 y + z E 0 z )e = E0 e v ˆ ˆ ˆ 其中 E 0 = xE xm e jϕ x + yE ym e j ϕ y + zE zm e j ϕ z表示坐标原点处的电场复矢量。
§8.2 理想介质中的均匀平面电磁波
1、基本概念 、 ①理想电介质：没有极化损耗、磁化损耗和导电损耗的媒质
μ，ε是正实数，σ= 0
k = ω µ ε 是正实数，称为相位常数 相位常数。 相位常数
②均匀平面电磁波 平面：等相位面为平面 均匀：等相位平面的所有场点上，场量的方向和大小都相同。 在理想电介质中的波动方程解表示为
平面波进行叠加，还可以表示等相位面为柱面或球面等其它形 式的电磁波。 ②从电场和磁场的叉积关系可以看出，电磁波的电场矢量、磁
ˆ ˆ ˆ 场矢量与波矢量方向两两正交，且满足右手螺旋关系 E × H = k 。
电场和磁场只有垂直于传播方向的分量(称为横向分量)，而没有 传播方向的分量（即纵向分量），因此又称为横电磁波，或简 称TEM波。
这样的电场矢量有两个特点： ①当场点坐标固定时，电场矢量是时间的余弦函数，随着时间的改
ˆ 变，电场矢量沿着与 z 垂直的方向（即 ± x方向）改变大小。 ˆ
②取两个相邻时刻 t1和t2= t1+∆t ，则曲线 E ( z, t 2 )只是曲线 E ( z, t1 ) 沿
ˆ z 方向的一个平行移位。
E = Exm cos (ω t1 −kz)
②磁场强度 复矢量
v ( zk ) × ( xE x ) ˆ ˆ k 1 ˆ ˆ H= =y E xm e j ϕ x e − j k z = y E x
ωµ
ωµ
η
瞬时值
v 1 1 ˆ ˆ H ( z , t ) = y E xm cos(ω t − kz + ϕ x ) = y E ( z , t )
z1 = k
t2时刻，原点右侧的第一个波峰位置 z2 由零相位 kz 2 − ω t 2 = 0 决定 ω t2
z2 =
ωt ω t ω ∆t ∆ z = z 2 − z1 = 2 − 1 = 在Δt时间内波峰的平移距离 k k k
k
所以波峰的平移速度为 ∆z ω ω 1 v= = = = ∆ t k ω µε µε ★真空光速
−k x2
2 −k y
− k z2
2 分离常数间满足约束关系： k x2 + k y + k z2 = k 2
于是得到三个独立的二阶全微分方程
d 2 f ( x) 2 + k x f ( x) = 0 d x2
d 2 g ( y) 2 + k y g ( y) = 0 d y2 d 2 h( z ) + k z2 h( z ) = 0 dz2
o
z
E = Exm cos (ω t2 −kz)
∆ z = v (t2 −t1)
o
z1 z2
z
图8.1 邻近时刻的电场分布
这两个特点正是横波运动的两个基本特征。 v ˆ E ˆ 因此， ( z , t ) = x Exm cos(ω t − kz ) 代表着一个向 z 方向传播的电磁波。
4、波速（相速度） 、波速（相速度） 波速： 波速：电磁波的运动速度，也就是其曲线等值点的平移速度。 由于曲线各点的平移速度相同，只需考察其波峰的平移速度即可。 t1时刻，原点右侧的第一个波峰位置 z1 由零相位 kz1 − ω t1 = 0决定 ω t1
所以复振幅表示为 同理可得
E x = E0x e
vv − j k ⋅r
vv − j k ⋅r
= E xm e
= E ym e
jϕx
e
vv − j k ⋅r
vv − j k ⋅r