希望杯第十九届(2008年)初中一年级第二试试题答案

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全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】

全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】全国“希望杯”八年级数学竞赛试题(第一届至第二十二届)【含答案】第一届试题1. 某长方体的长、宽、高依次是2 cm、3 cm和4 cm，求它的体积。

解：体积公式为V = lwh，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。

代入已知数值，得V = 2 cm × 3 cm × 4 cm = 24 cm³。

答案：24 cm³2. 如图，已知△ABC中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC = 8 cm，AD⊥ BC，AD = 4 cm。

求△ABC的面积。

解：△ABC为直角三角形，面积公式为S = 1/2 ×底 ×高。

底为AC，高为AD，代入数值，得S = 1/2 × 6 cm × 4 cm = 12 cm²。

答案：12 cm²3. 若(3x + 5)(4 - x) = -7x + 9，求x的值。

解：将方程进行展开和合并同类项得：12x - 3x² + 20 - 5x = -7x + 9。

将所有项移到一边得：3x² - 12x + 11 = 0。

对方程进行因式分解得：(x - 1)(3x - 11) = 0。

由此可得x = 1 或 x = 11/3。

答案：x = 1 或 x = 11/3第二十二届试题1. 下图为某街区的地理平面图，a、b、c和d分别表示大街，A、B、C、D和E分别表示街区中的五个角落。

已知AE = CD，AB = 2 cm，BC = 10 cm，求AE的长度。

解：由题意可推出ABCD为平行四边形，而AE = CD。

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相等长，所以AE= CD = 10 cm。

答案：10 cm2. 若一个正方形的周长是36 cm，求它的面积。

解：设正方形的边长为x cm，由题意可知4x = 36，解方程得到x = 9。

根式及其运算

根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。

二次根式的性质：（1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )；（2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )；（4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。

设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。

形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。

当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3【试题来源】【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂练习题【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________．【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题【难度系数】3习题演练【试题来源】【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。

希望杯第二届(1991年)初中一年级第1试试题(附参考答案)

希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30． 12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2．计算：-32÷6×16=_______. 3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5．计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试及答案-

第十八届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试2007年4月15 上午8：30至10：30 得分________一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分），以下每题的四个选项中，•仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．1．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图?所示，红丝带重叠部分形成的图形是（）．（A ）正方形（B ）矩形（C ）菱形（D ）梯形2．设a ，b ，c 是不为零的实数，那么x=||||||a b c a b c +-的值有（）（A ）3种（B ）4种（C ）5种（D ）6种3．△ABC 的边长分别是a=m 2-1，b=m 2+1，c=2m （m>0），则△ABC 是（）（A ）等边三角形（B ）钝角三角形（C ）直角三角形（D ）锐角三角形4．古人用天干和地支记次序，其中天干有10个：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸．•地支有12个：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥，将天干的10个汉字和地支的12个汉字对应排列成如下两行：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙丁……子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥……从左向右数，第1列是甲子，第2列是乙丑，第3列是丙寅……，•我国的农历纪年就是按这个顺序得来的，如公历2007年是农历丁亥年，那么从今年往后，•农历纪年来甲亥年的哪一个在公历中（）（A ）是2019年（B ）是2031年（C ）是2043年（D ）没有对应的年号5．实数a ，b ，m ，n 满足a<b ，-1<n<m ，若M=,11a mb a nb N m n++=++，则M 与N 的大小关系是（）（A ）M>N （B ）M=N （C ）M<N （D ）无法确定的6．若干个正方形和等腰直角三角形拼接成如图所示的图形，若最大的正方形的边长是7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积和是（）（A ）14cm 2 （B ）42cm 2（C ）49cm 2 （D ）64cm 27．已知关于x 的不等式组230,320a x a x +>⎧⎨-≥⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是（）（A ）23≤a ≤32 （B ）43≤a ≤32（C ）43<a ≤32 （D ）43≤a<328．The number of intersection point of the graths of function y=||k x •andfunction y=kx （k ≠0） is （）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）0 or 29．某医药研究所开发一种新药，成年人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系近似满足如图3所示曲线，当每毫升血液中的含药量不少于0．25毫克时，治疗有效，则服药一次治疗疾病有效的时间为（• ）（A ）16小时（B ）1578小时（C ）151516小时（D ）17小时 10．某公司组织员工到公园划船，报名人数不足50人，在安排乘船时发现，每只船坐6人，就剩下18人无船可乘，每只船坐10人，那么其余的船坐满后，•仅有一只船不空也不满．参加划船的员工共有（）（A ）48人（B ）45人（C ）44人（D ）42人二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）11．已知a ，b ，c 为△ABC 三边的长，则化简│a+b+c │+2()a b c --的结果是________．12．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新科学，•这就是“纳米技术”．已知1毫米=1000微米，1微米=1000纳米，那么2007•纳米的长度用科学记数法表示为_________米． 13．若不等式组21,23x a x b -<⎧⎨->⎩中的未知数x 的取值范围是-1<x<1，那么（a+1）（•b-•1）•的值等于_______．14．已知a 1，a 2，a 3，…，a 2007是彼此互不相等的负数，且M=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2007），N=（a 1+a 2+…+a 2007）（a 2+a 3+…+a 2007），那么M•与N•的大小关系是M______N．15.a bc d叫做二阶行列式，它的算法是：ad-bc，将四个数2，3，4，5排成不同的二阶行列式．则不同的计算结果有______个，其中，数值最大的是________．16．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7米．•当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3米，木板顶端向下滑动了0.9米，则小猫在木板上爬动了_________米．17．Xiao Ming says to Xiao Hua that my age add yuor age．addyour •agewhen I was your agg is 48．The age of Xiao Huais______now．（英汉词典：age 年龄；add 加上；when 当……时）18．长方体的长、宽、高分别为正整数a，b，c，且满足a+b+c+ab+•bc+•ac+•abc=2006，那么这个长方体的体积为________．19．已知a为实数，且a+26与1a-26都是整数，则a的值是_________．20．为确保信息安全，信息传输需加密，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．现规定英文26个字母的加密规则是：26个字母按顺序分别对应整数0到25，例如：英文a，b，c，d，写出它们的明文（对应整数0，1，2，3），然后将这4个字母对应的整数（分别为x1，x2，x3，x4）按x1+2x2，3x2，x3+2x4；3x4计算，得到密文，即a，b，c，d•四个字母对应的密文分别是2，3，8，9．现在接收方收到的密文为35，42，23，12，则解密得到的英文单词为_________．三、解答题（本大题共3小题，共40分），要求：写出推算过程．21．（本题满分10分）如图，一个大的六角星形（粗实线）的顶点是周围六个全等的小六角星形（•细实数）的中心，相邻的两个小六角星形各有一个公共顶点，如果小六角星形的顶点C到中心A的距离为a，求：（1）大六角星形的顶点A到其中心O的距离；（2）大六角星形的面积；（3）大六角星形的面积与六个小六角星形的面积之和的比值．（注：本题中的六角星形由12个相同的等边三角形拼接而成）．22．（本题满分15分）甲、乙两车分别从A地将一批物品运往B地，再返回A地，图6表示两车离A•地的距离s（千米）随时间t（小时）变化的图象，已知乙车到达B地后以30千米/•小时的速度返回，请根据图象中的数据回答：（1）甲车出发多长时间后被乙车追上？（2）甲车与乙车在距离A地多远处迎面相遇？（3）甲车从A地返回的速度多大时，才能比乙车先回到A地？23．（本题满分15分）平面上有若干个点，其中任意三点都不在同一直线上，将这些点分成三组，•并按下面的规则用线段连接：①在同一组的任意两点间都没有线段连接；②不在同一组的任意两点间一定有线段连接．（1）若平面上恰好有9个点，且平均分成三组，那么平面上有多少条线段？（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，那么平面上有多少条线段？（3）若平面上共有192条线段，那么平面上至少有多少个点？第十八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初二第2试一、选择题（每小题4分）1．C 2．B 3．C 4．D 5．A 6．C 7．B 8．D 9．C 10．A二、填空题（每小题4分，第15小题，每个空2分，第19小题，答对一个答案2分）11．2c 12．2.007×10-4 13．-6 14．> 15．6;14 16．2.5 17．16 •18．•888•19．5-26或-5-26 20．hope三、解答题21．（1）连结CO ，易知△AOC 是直角三角形，∠ACO=90°，∠AOC=30°，所以AO=2AC=2a ．（3分）（2）如图，大六角星形的面积是等边△AMN 面积的12倍．因为AM 2=222()()22AM a ，解得23a ．所以大六角星形的面积是S=12×12×33a ×32．（7分）（3）小六角星形的顶点C 到其中心A 的距离为a ，大六角星形的顶点A 到其中心O•的距离为2a ，所以大六角星形的面积是一个小六角星形的面积的4倍，所以大六角星形的面积：六个小六角星形的面积和=2：3 （10分）22．（1）由图知，可设甲车由A 地前往B 地的函数解析式为s=kt ，将（2．4，48）代入，解得k=20．所以 s=20t ．（2分）由图2可知，在距A 地30千米处，乙车追上甲车，所以当s=30千米时， t=302020s ==1.5（小时）．即甲车出发1.5小时后被乙车追上．（5分）（2）由图知，可设乙车由A 地前往B 地的函数的解析式为s=pt+m ，将（1.0，0）和（1.5，30）代入，得0,60,30 1.5,60.p m p p m m =+=⎧⎧⎨⎨=+=-⎩⎩解得所以s=60t-60．（7分）当乙车到达B 地时，s=48千米，代入s=60t-60，得t=1.8小时．又设乙车由B 地返回A 地的函数的解析式为s=-30t+n ，将（1.8，48）代入，得48=-30×1.8+n ，解得 n=102，所以 s=-30t+102．（9分）当甲车与乙车迎面相遇时，有-30t+102=20t ，解得 t=2.04小时，代入s=20t ，得s=40.8千米．即甲车与乙车在距离A 地40.8千米处迎面相遇．（12分）（3）当乙车返回A 地时，有-30t+102=0，解得 t=3.4小时．甲车要比乙车先回到A 地，速度应大于483.4 2.4-=48（千米/小时）．（15分） 23．（1）平面上恰好有9个点，且平均分成三组，每组3个点，•其中每个点可以与另外两组的6个点连接，共有线段692⨯=27（条）．（5分）（2）若平面上恰好有9个点，且点数分成2，3，4三组，则平面上共有线段 12[2×（3+4）+3×（2+4）+4×（2+3）]=26（条）．（10分）（3）设第一组有a个点，第二组有b个点，第三组有c个点，则平面上共有线段1[a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）]=ab+bc+ca（条）．2若保持第三组点数不变，将第一组中的一个点划归到第二组，则平面上线段的条数为（a-1）（b+1）+（b+1）c+（a-1）c=ab+bc+ca+a-b-1．与原来线段的条数的差是a-b-1，即当a>b时，a-b-1≥0时，此时平面上的线段条数不减少；当a≤b时，a-b-1<0，此时平面上的线段条数一定减少．由此可见，当平面上由点数较多的一组中划出一个点到点数较少的一组中时，平面上的线段条数不减少，所以当三组中点数一样多（或基本平均）时，平面上线段的条数最多．（13分）设三组中都有x个点，则线段条数为3x2=192，解得x=8．所以平面上至少有24个点．（15分）。

希望杯试题分析

从上表可以看出，题型主要以计算，行程工程问题，基本应用题，几何等基本问题为主，
并没有太多复杂的问题，可见，希望杯是非常重视基础内容的。
一、希望杯必考专题之一－－－－－－－－计算问题
１、计算题的概述：计算题是考察学生的计算能力的技巧，如考察使用乘法分配律的应用、分数的拆分、分组巧算、高斯求和公式等。２、真题回放：（1）２００８×２００６＋２００７×２００５－２００７×２００６－２００８×２００５＝＿＿＿＿＿＿。（２００７四年级邀请赛第１试）分析：此题考察学生的分组巧算和乘法结合律的应用。解：原式=２００８×２００６－２００７×２００６＋２００７×２００５－２００８×２００５＝（２００８－２００７）×２００６＋（２００７－２００８）×２００５＝（２００８－２００７）×２００６－（２００８－２００７）×２００５＝（２００８－２００７）×（２００６－２００５）＝１×１＝１（2） ( 2005 + 2006 + 2007 + 2008 + 2009 + 2010 + 2011) ÷ 2008 = ＿＿＿＿（２００８年四年级邀请赛第ｌ试）分析：此题考察了学生的公式应用，可用等差数列求和公式或者中项定理都可以求出
• •
循环节的数位有６位，首位是０，末尾是９方法二：令 M= 0. 2 4 ，Ｎ＝ 2. 814 ，则可以看出Ｍ是两位循环节，Ｎ是三位循环节，所以可以因［２，３］＝６可取１２位循环部分找规律，Ｍ＝０．２４２４２４２４２４２４２４２４……，Ｎ＝２．１８４１８４１８４１８４…… 则Ａ＝３．０５７２３９０５７２３９……所以每个循环节的数位有６位，首位是０，末尾是９

历年希望杯初一竞赛试题精选及答案

1.1992年第三届希望杯初中一年级第二试试题及答案2.1995年第六届希望杯初中一年第二试试题及答案3.20XX年第二十届希望杯全国数学邀请赛初一第一试希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试题一、选择题（每题1分，共10分）1．若8.0473=521.077119823，则0.80473等于[ ]A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.005210 77119823．2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是[ ]A．正数． B．负数．C．奇数．D．偶数．3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 [ ]A．-b＞a＞-a＞b．B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a．D．a＞b＞-a＞-b．4．在1992个自然数：1，2，3，…，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是 [ ]A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数．5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是 [ ]A．1991.5．B．1991．C．1992．D．1992.5．6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是[ ]A．a+d＜b+c．B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c．D．不确定的．7.已知p为偶数,q为奇数,方程组199219933x y px y q-=⎧⎨+=⎩的解是整数,那么[ ]A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数．C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数．8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是 [ ]A．4． B．19922．C．21992．D．41992．9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到[ ]不同的值．A．1个．B．2个．C．3个．D．多于3个的．10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的[ ]二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且11111,,,,,23456a b c d eb c d e f=====则fa=_____.2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______．4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,ba,b, 的形式,则a1992+b1993=________.5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的25,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的58,那么这堆核桃至少剩下____个.6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______．7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______．9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：那么，购买每种教具各一件共需______元．三、解答题（每题5分，共10分）1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．答案与提示一、选择题提示：所以将8.0473=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.80473的值，选A．2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，1，2，3…，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-…-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m×1991．当m混入以后，那1992个数之和为m×1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，选B．7．由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数．由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B．8．由x-y=2 ①平方得x2-2xy+y2=4 ②又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有x1992+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于6662-6622=(666+662)(666-662)=1328×4=5312．3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=1000 -2(-496)=1992．4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1．所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)1993=1+1=2．5．设这堆核桃共x个．依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值．可知，必须20|x即x=20，40，60，80，……m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．可被第三个整除，应有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2．于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36．8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以a2+b2+c2-ab-bc-ca9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y于是得3p=65+x+y．要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21．所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整数值应为28．事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立．所以p的最大值是28．10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：③×2-④式得x1+x2+x3+x4+x5=2×1992-2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．三、解答题1．解①（逻辑推理解）我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y．则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．由被11整除的判别法知x-y=0，11，22，33或44．但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33．于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。

历届1-16希望杯数学竞赛初一及详细答案~~

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 (1)希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 (4)希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 (11)希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 (17)希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 (21)希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 (25)希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 (35)希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 (43)希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 (50)希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 (57)希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 (60)希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 (66)希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 (76)希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 (82)希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 (84)希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 (91)希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 (98)希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 (106)希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 (115)希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 (122)希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题 (125)希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题 (132)希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题 (135)希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题 (138)希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题 (142)希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题 (145)希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题 (150)希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题 (153)希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (157)希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (160)希望杯第十六届（2005年）初中一年纪第一次试卷希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______．2．198919902－198919892=______．3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________.4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b<; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( )A.111a b c>>; B.1b>1c>1a; C.1b>1a>1c; D.1c>1a>1b.11.方程522.2 3.7x=的根是( )A．27． B．28． C．29． D．30．12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116.15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______．2．计算：-32÷6×16=_______. 3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5．计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫- ⎪⎝⎭,513⎛⎫- ⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

希望杯竞赛数学试题详解(81-90题)

高中数学希望杯典型例题100道（81-90）题81 过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为450，则此截面的形状为（）A 、三角形或五边形B 、三角形或六边形C 、六边形D 、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）解显然，必有一个截面与棱BB 1相交，此截面是三角形.设过D 1的截面与底面所成的角为θ，易求得tan θ=tan ∠D 1GD=1322<，故θ<450，又设过A 1、C 1的截面与底面所成角为θ'，则易求得tan θ'=tan ∠O 1GO=22>1,故45θ'>︒,于是另一截面应与A 1D 1、D 1C 1相交（不过其端点），形状为六边形，故选B.评析解决此题的关键是要求具有较强的空间想象力，能够理解确定截面形状的下列方法：若截面与棱DD 1相交，则截面为五边形；若截面与棱A 1D 1、D 1C 1都相交（但不过其端点），则截面为六边形；若截面与棱A 1B 1、 B 1C 1都相交（但不过点B 1），则截面为四边形.原解答中说“为考察另一截面是否与DD 1相交，只需考虑过点D 1的截面与底面所成角θ的大小”，并在得到θ<450后，就说截面是六边形.这种理由并不充分.θ<450只能说明截面与DD 1不相交，但不能说明截面一定是六边形.事实上，当截面过A 1C 1时，截面与DD 1不相交，但截面却是四边形.拓展根据上述解法及分析，并考虑到截面过点B 1时，截面与底面所成角为arctan 22，与截面过A 1C 1时截面与底面所成角相等，我们可得如下：结论过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为θ（0<θ≤2π），则当0arctan3θ<≤时，截面的形状为三角形或五边形；当arctanarctan 3θ<<当arctan θ= 当arctan 22<θ≤2π时，截面的形状为四边形. 题82 正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，异面直线EF 与AB CDA 1B 1C 1D 1 O 1 OE FG1AC 所成角的余弦值是（） A 、32 B 、322 C 、43 D 、63(第十五届高二第二试第9题)解法1 如图1，取AC 中点O ，连结OF ，则OF ∥1AC ，所以EFO ∠是EF 与1AC 所成的角，设正方体棱长为1，则21=OE ，4321412=+=OF ，23141412=++=EF，所以331cos 3EFO +-∠==，故选B. 解法 2 如图2，取正方体的面11A ABB 的中心G ，连结1GC AG 、.易证EG ∥1BB 且EG 21=1BB ，1FC ∥1BB 且1FC 21=1BB ，∴EG ∥1FC 且EG =1FC ，四边形F EGC 1为平行四边形，1GC ∥EF ，1AC G ∴∠就是EF 与1AC 所成的角.设正方体棱长为1，则易求得22=AG ，31=AC ，261=GC ，在G AC 1∆中，由余弦定理，得22211111cos 2AC GC AG AC G AC GC +-∠=⋅⋅2222⎛⎫+- ⎪==，故选B.解法3 如图3,建立空间直角坐标系.设正方体棱长为1，则⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,1E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1,0F ，()1,0,1A ，()0,1,01C ，所以ABCDA 1B 1C 1D 1O EF 图1ABCDA 1B 1C 1D 1GE F图2图311110,1,1,,11,,2222EF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，()()()10,1,01,0,11,1,1AC =-=--，所以11111cos 3EF AC EF AC θ++⋅===⋅ ，故选B. 评析运用几何法求异面直线所成的角，一般通过平移其中一条或两条，转化成相交直线所成的角，例如本题解法1将1AC 平移至OF ，解法2将EF 平移至1GC ，然后往往通过解三角形求此角（常常运用正弦定理、余弦定理、勾股定理及其逆定理）.而用向量法求异面直线所成的角，只需利用公式ba ba b a ⋅⋅=,cos ，将几何问题转化成向量运算，一般比几何法简单.题83 多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的顶点，用一个平面截一个n 棱柱，()N n n ∈≥,3截去一个三棱锥，剩下的多面体顶点的数目是（）A 、12,12+-n nB 、22,12,2,12++-n n n nC 、22,12,12++-n n nD 、22,12++n n（第四届高一第二试第10题）解法1 n 棱柱有n 2个顶点，被平面截去一个三棱锥后，可以分以下6种情形（图1~6）在图4，图6所示的情形，还剩n 2个顶点；在图5的情形，还剩12-n 个顶点；图1 图2 图3 图4 图5 图6在图2，图3的情形，还剩12+n 个顶点；在图1的情形，还剩下22+n 个顶点.故选B.解法2 如图1~6，令n =4，则四棱柱共有8个顶点，截去一个三棱锥后，在图4，图6的情形，剩下8个顶点；在图5的情形，剩下7个顶点；在图2，图3的情形，剩下9个顶点；在图1的情形，剩下10个顶点.说明剩下的顶点数共有4种不同情形，对照选择支，可知选B.评析解决此题的关键是搞清楚截去1个三棱锥的情形有几种，实际上是四类情形： 1、截面不过任何顶点（如图1），此时顶点增加了2个； 2、截面仅过1个顶点（如图2，3），此时顶点增加了1个； 3、截面仅过2个顶点（如图4，6），此时顶点数不增不减； 4、截面过3个顶点（如图5），此时顶点减少了1个.解法2根据这四类情形判断顶点数有4种，便选B ，更为简捷. 拓展将此题引申，便有下面的问题：用一平面截一个n 棱柱()N n n ∈≥,4，截去一个三棱柱，剩下的多面体的顶点数是__________，面数是_____________.分析：依题意，截面只能与侧棱平行或过一条（或2条）侧棱，故共分三类情形： 1、截面不过侧棱，此时，顶点增加了2个，面数增加了1个； 2、截面过一条侧棱，此时，顶点数不变，面数不变；3、截面过两条侧棱，此时，顶点减少了2个，面数减少了1个.由于已知n 棱柱的顶点数是n 2，面数是2+n ，故填22+n 或n 2或22-n ；3+n 或 2+n 或1+n .题84 在长方体1111D C B A ABCD --中，1,,()AB a BC b CC c a b c ===>>, 过1BD 的截面的面积为S ，求S 的最小值，并指出当S 取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）.（第五届高一第二试第22题）解截面可能是矩形，可能是平行四边形.①截面111111,,D DBB A BCD D ABC 是矩形，它们的面积分别记为321,,S S S .则123S S S ===12,a b c S S >>== 12S S >，同理，23123,S S S S S >∴>>.1图1为求S 的最小值，不必考虑截面1111,A BCD D ABC .图1画出了截面11D DBB 的示意图. ②截面是平行四边形，有三种位置：S BRD Q BPD F BED 111;;（见图2、3、4），设它们的面积分别为654,,S S S .对于截面F BED 1，作1BD EH ⊥于H （如图5），则14BD EH S ⋅=，因为1BD 是定值，所以当EH 取最小值时，4S 有最小值4'S .当EH 是异面直线11,AA BD 的公垂线时，它有最小值.这个最小值是1A 到平面11D DBB 的距离，即是111Rt A B D ∆中斜边11D B 上的高22ba ab +.4S '∴=.同理，5S '=6S '=注意到2=>=22=>=45S S S''∴>>.再注意到63S S '=<=，可见6S '是S 的最小值，设截面S BRD 1的面积为6S '（见图6）.1图6FA 1 图5D 1F ABC DA 1B 1C 1 图2E D 1Q AB C D A 1B 1C 1图3P C 1D 1SABC DA 1B 1图4R作11BC M B ⊥于11,C BB Rt M ∆中121BC BM BB ⋅=，可知222121cb c BC BB BM +==.在11D BC ∆所在的平面内（如图7），作MN ∥11D C ，设MN 交1BD 于N ，在B M N Rt ∆中，设α=∠MBN ，则22222222ta n cb ac cb ac b c BM MN +=+⋅+=⋅=α.在平面MN B 1内，作NR ∥M B 1，设NR 交11B A 于R ，则MN R B =1.这表明截面S BRD 1与棱11B A 的交点R 满足2221c b ac R B +=，于是点R 确定了.同理，点S 在DC 上，222c b ac DS +=，这样，截面S BRD 1完全确定.评析破解此题需解决几个关键问题：一是截面的情形到底有几种？二是每一种情形的截面面积是多少？三是这些面积的大小关系如何确定？四是S 取最小值时截面的位置如何确定？截面情形可分为两大类（矩形与平行四边形），每一类又分3种情形，先在每类情形中分别比较3个面积的大小，再比较两类中最小面积的大小，降低了难度，减少了运算量.在两类情形中分别比较321,,S S S 及456,,S S S '''的大小时，变形技巧的运用起了关键作用.在计算4S '时两次运用转化思想：E BD 1∆的边1BD 上的高→点1A 到面D D BB 11的距离→ 点1A 到11D B 的距离.在比较3S 与6S '的大小时运用了放缩法.由于61S BD '==S 最小时，点R 到1BD 的距离应是22cb bc +，而在11B BC ∆中作11BC M B ⊥，则有221cb bc M B +=.因此作MN ∥11,C D MN 交1BD 于N ，作NR ∥NR M B ,1交11B A 于R ，则221cb bc M B RN +==.由于⊥M B 1面11D BC ，所以⊥RN 面111,BD RN D BC ⊥∴，故作出的R 就是S 最小时的R .此题综合运用了分类讨论思想，化归转换思想，变形技巧，放缩法等，需要有较强的分析问C 1MBCDA 1B 1图7RAND 1题与解决问题的能力才能作出正确的解答.题85 从凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ，使3SO =，若22,S AOD S BOC V a V b --==.当S ABCD V -最小时，ABCD 的形状是＿＿＿＿.（第十四届高二培训题第67题）解由已知，易得2AOD S a ∆=，2BOC S b ∆=.设AOB S x ∆=，COD S y ∆=（如图），则22S ABCD V a b x y -=+++.因为22A O D C O DA OB B OC S S a DO yx S OB S b∆∆∆∆====，所以22xy a b =.而2x y ab +≥=（设0,0a b >>），于是，222()a b x y a b +++≥+，当x y a b==时取等号，这时2AOD DOC S AO a aOC S y b∆∆===.同理，D O a O B b =，所以，AO OD OC OB =，即A O D OO C O B =，所以//AD BC .当x y ab ==时，2A O D DOC S AO a a OC S y b ∆∆===，2BOC DOC S BO b bOD S y a∆∆===. （1）当a b b a =，即22a b =，AOD COD S S ∆∆=时， AO BO OC OD =，所以//AB CD .此时，ABCD 的形状是平行四边形.（2）当a b b a ≠，即22a b ≠，AOD COD S S ∆∆≠时，AO BOOC OD≠，所以AB 与CD 不平行.此时，ABCD 是梯形，综上可知，当22a b =时，ABCD 是平行四边形，当22a b ≠时，ABCD 是梯形.评析 ABCD 的形状只能由已知条件推出，形状也无非是由边与角的关系决定，因此，充分利用已知条件，将其转化为四边形的边或角的关系是解题的关键.由于高为3，故V 最小时，底面ABCD 的面积最小，由于2a 与2b 为定值，故设AOB S x ∆=，COD S y ∆=，则x y +最小，为，此时，x y ab ==，这就为证得//AD BC 奠定了基础.此后便是判断AB 与CD 是否平行了，而这取决于2a 与2b 是否相等，故分类讨论，终得ABCD 为平行四边形或梯形.从另一角度看，ABCD 的形状无非是平行四边形，梯形，菱形，矩形，正方形等中的一种或几种，而每一种形状总有一组对边平行，故首先应想到证一组对边平行，也就是证对角线交点xBD 2bSAOy2a把两条对角线分成的4条线段对应成比例.题86 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面的边长和高都是2cm ，过AB 作一个截面，截面与底面ABC 成600角，则截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题）解法1 如图1，截面ABEF 是等腰梯形，D 、D 1分别为AB 、EF 的中点，则∠D 1DC 就是截面与底面ABC 所成二面角的平面角，所以∠D 1DC=600.易证面DC C 1 D 1⊥面ABC ，作D 1M ⊥DC 于M ，则D 1M ⊥面ABC ，D 1M=CC 1=2，D 1D= D 1Mcsc600=34，DM=D 1Mcot600=32，,11CDDMCD CD CM B A EF -==3223323=⋅-=EF ，∴S 截面=21()).2EF AB DD cm +==解法2 如图2，设截面与侧棱CC 1所在直线交于点D ，则)(3260cos 2cm S S ABC ABD ==∆∆，在Rt △CDM 中， ∠DMC=600，DC=3(),cot 60CMcm == 1321(),C D cm ∴=-=又91)31()()(2212====∆∆DC DC DM DR S S DAB DEF ， ∴S △DEF =91S △DAB =932cm 2,故S 截面=S △DAB - S △DEF =-32 932=)(93162cm . 评析此题源于课本上的一道习题：“正三棱柱底面的边长是4cm ，过BC 作一个平面与底面成300的二面角，交侧棱AA ’于D ，求AD 的长和截面△BCD 的面积”.两者的区别在于竞赛题中的截面与上底面相交，而课本习题中的截面与侧棱相交.稍不注意，就会将本赛题错解为ACB EF DMB 1A 1 C 1 图1 D 1 ACB EFDMB 1A 1C 1图2R20)cos60ABC S S cm ∆==截面.事实上，cos ∠CMC 1=1CM C M =2=12=>，∴∠CMC 1<600，因此截面为梯形，而不是三角形. 拓展将课本习题与本赛题结合起来，并将其一般化，我们便得定理若正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，高为h ，过AB 作与三棱柱底面所成角为θ的截面，则截面的面积S=2sec (cos ).csc cot )(cos )3h h θθθθθ≥⎪-<⎩证明留给读者.运用该定理解本赛题：1cos cos602θ=︒=，22343a h a +=2173>，cos θ∴<S 截面=)(9316)60cot 232(60csc 231200cm =-⋅⋅. 题87 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是AA 1的中点，则BC 1与CD 所成的角是，面BCD 与面CDB 1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）解法1 如图1，由已知，易证DB 1在面BCC 1 B 1内的射影为B 1E ，因为正三棱柱的所有棱长都相等，所以B 1C ⊥BC 1，由三垂线定理得B C 1⊥DB 1，所以B C 1⊥面DCB 1，所以BC 1⊥CD ，故BC 1与CD 所成的角是900.过E 作EF ⊥DC 于F ，连结FB ，则BF 在面DCB 1内的射影为EF ，由三垂线定理得DC ⊥BF ，所以∠EFB 就是二面角B 1—DC —B 的平面角.设正三棱柱的各棱长为2，则BE=2，DB=DC=5，从而易求得△BCD 的BC 边上的高为2，由215BF=21×2×2， F图1AC BEDB 1A 1C 1 AC EDB 1A 1C 1得 BF=54，在Rt △BEF 中，410542sin ===∠BF BE EFB ，∴410arcsin=∠EFB 为所求. 解法2 取BC 的中点M ，以M 为原点，建立如图2空间直角坐标系.不妨设正三棱柱的各棱长为2，则B （0，1，0），C 1（0，-1，2），C （0，-1，0），D （3，0，1），所以1BC =（0，-2，2），CD =（3，1，1），所以1BC CD ⋅ =（0，-2，2）⋅（3，1，1）=0，所以1BC CD ⊥，所以BC 1与CD 所成的角是900.过E 作EF ⊥DC 于F ，连结FB.设F （x, y, z ）,因为E （0，0，1）所以EF=（x, y, z-1）.由0EF CD ⋅= ，得3x+y+z-1=0①，因为BF =（x, y-1, z ），所以(,1,)BF CD x y z ⋅=-⋅10y z =+-+=，所以BF ⊥DC ，所以∠EFB 就是面BCD 与面CDB 1所成二面角的平面角.因为C(0,-1,0), D(3，0，1), F （x, y, z ）三点共线，所以011)1(00033--=---=--z y x ，得到x=3z ②，y=z-1③,解①②③得到x=532，y=52,53=-z ,所以BF =（532，52,58-），EF =（532，53,53--），所以65BF EF ⋅= ，|BF |=554，|EF |=530，所以cos ∠EFB=||||EF BF EF BF ⋅⋅=46，所以∠EFB=arccos 46,即∠EFB=arcsin410. 评析异面直线BC 1与CD 所成的角也可以通过补形、平移，转化成相交直线所成的角，再通过解三角形求得，但比较繁.解法1的关键是从已知图形中发现D 在面BCC 1 B 1上的射影为E ，从而DB 1在面BCC 1 B 1上的射影为B 1Ｅ，由B 1C ⊥BC 1及三垂线定理得B C 1⊥DB 1，进而B C 1⊥面DCB 1，所以BC 1⊥CD.求二面角的关键是作出二面角的平面角.当二面角的两个面内各一点的连线垂直于其中一个面时，由其任一点作二面角棱的垂线，再连结垂足与另一个面内的一点，图2C C 1根据三垂线定理或其逆定理，就得到二面角的平面角，这是作二面角的平面角的最常用方法之一.运用空间向量求异面直线所成的角通常是非常简单的，此题也一样.用空间向量求二面角就不是那么的简单了.这里，作EF ⊥DC 于F ，设F 的坐标后，得0EF CD ⋅=及D 、F 、C 三点共线，得关于F 坐标的方程组，解得F 坐标后由cos ∠EFB=||||EF BF EF BF ⋅⋅ ，求得∠EFB.这体现了用空间向量求二面角的基本过程，当然作EF ⊥DC 于F 后，如果0BF CD ⋅≠，即BF 与DC 不垂直，∠EFB 就不是此二面角的平面角，此时就应另行思考.题88 如图１，设111C B A ABC -是直三棱柱，AC AB =，090=∠BAC ，Q M ,分别是1CC ，BC 的中点.P 点在11B A 上且2:1:11=PB P A .如果AB AA =1，则AM 与PQ 所成的角等于（）A 、090 B 、31arccos C 、060 D 、030（第十三届高二第一试第５题）解法1 如图２，取AC 中点Ｎ，可知QN ∥BA ∥11A B ，从而N Q B A ,,,11共面，且PQ 在此平面内.111ABC A B C - 是直三棱柱，1BA A A ∴⊥，又090=∠BAC ，即AC BA ⊥，BA ∴⊥面11ACC A ，AM BA ⊥∴，AM QN ⊥.又11ACC A 是正方形，N M ,分别是1CC ，AC 的中点，AM N A ⊥∴1.AM ∴⊥平面QN B A 11.⊂PQ 平面QN B A 11，PQ AM ⊥∴.故选A.解法2 不妨设61===AA AC AB .则21=P A .如图３，在已知三棱柱下方补一个与其同样的三棱柱ABCA 1B 1C 1PM图1NA B C A 1B 1C 1PQ M图2A 1图3N ABCB 1C 1P QMA 2B 2C 2Q 2 N 2R 2R222C B A ABC -.取AC 的中点N ，连结QN ，在QN 上取一点R ，使21==PA QR ，则易证四边形PQR A 1为平行四边形.所以R A 1∥PQ .取22C B 、22C A 的中点22N Q 、，连结22N Q ，在22N Q 上取点2R ，使222Q R =，连结2AR ，则易证2AR ∥R A 1∥PQ ，所以2MAR ∠（或其补角）就是AM 与PQ 所成的角.连结2MR .易求得53=AM ，462=AR ，912=MR .因为22222AM AR MR +=，所以0290MAR ∠=.故选A.解法3 因为()()1111AM PQ AC CM PB B B BQ AC PB AC B B AC ⋅=+⋅++=⋅+⋅+⋅11111100cos 45022BQ CM PB CM B B CM BQ AC BC CC B B +⋅+⋅+⋅=++⋅⋅++⋅2011cos18000222AC AC +=⋅-=，所以AM PQ ⊥ ，即AM 与PQ 所成的角为090，故选A.解法4 以A 为坐标原点，以AB 所在直线为ox 轴，以AC 所在直线为oy 轴，以A A 1所在直线为oz 轴，建立空间直角坐标系.（如图４）设a AC AB AA ===1，则()0,0,0A ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,,0a a M ，⎪⎭⎫ ⎝⎛a a P ,0,3，⎪⎭⎫⎝⎛0,2,2a a Q .所以0,,2a A M a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,,62a a PQ a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 因为0,,,,0262a a a AM PQ a a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以AM PQ ⊥ ，故AM 与PQ 所成的角等于090.选A.评析异面直线所成的角通常是通过平移转化成相交直线所成的角以后再求.解法2就是按照这样的思路并运用“补形”的方法，将PQ 平移至2AR ，再通过解三角形求得2MAR ∠即为所求.解法1通过证明AM 与PQ 所在的一个平面垂直，由线面垂直的性质，得PQ AM ⊥，从图4而得AM 与PQ 所成的角为090.这是从哪里想到的呢？应当说这是由选择支中有090而引发的一种思考.解法3、4则是运用向量的方法.解法3并未建立坐标系，一般地，这仅适用于结果是两向量垂直的情形.解法4才是通法，且简单易行.拓展受解法1、3的启发，可知在题设条件下，AM 与Q B 1、Q A 1等也都成090角.若R 是Q B 1的中点，则AM 与R A 1、PR 等也成090角；若T 是Q A 1的一个三等分点，则AM 与T B 1、PT 等仍成090角，等等.仿照证法1、3，很容易证明上述结论.题89 在三棱锥ABC S -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，则BAC ∠ （） A 、一定是锐角 B 、一定不是锐角 C 、一定是钝角 D 、一定是直角（第八届高二培训题第3题）解法1 设a SA =，b SB =，c SC =，则=⋅-+=∠AC AB BC AC AB BAC 2cos 22222222222222)()()(c a b a c b c a b a +⋅++-+++ 0))((22222>++=c a b a a ，故)2,0(π∈∠BAC ，选A .解法2 不妨设=SA =SB SC ，则易证=AB =BC CA ，即ABC ∆是正三角形，故BAC ∠是锐角.这说明B 、C 、D 一定错了.故选A .评析判断一个角是锐角、直角或钝角，通常由此角的某三角函数值的符号确定.由于),0(π∈∠BAC ，若0sin >∠BAC ，则仍不能确定BAC ∠是锐角、直角还是钝角，而当0cos >∠BAC 或者0tan >∠BAC 时就可断定BAC ∠是锐角，同样地，当0cos <∠BAC 或0tan <∠BAC 时，就可断定BAC ∠是钝角，当0cos =∠BAC 或BAC ∠tan 的值不存在时，就可断定BAC ∠是直角.解法1以此为依据解决了问题.解法2根据选择支的特点，采用特殊化思想，排除了B 、C 、D ，从而选A .显得特别简捷. 此题也可用反证法的思路解：设a SA =，b SB =，c SC =.若BAC ∠是直角，则222BC AC AB =+，即222222c b c a b a +=+++.得0=a ，这与0>a 矛盾，故排除D .若BAC ∠是钝角，则必定有AB BC >，且AC BC >，即2222b a c b +>+且2222c a c b +>+，亦即c a <且b a <，而题设并无a 、b 、c 的大小限制，故排除C ，令=SA =SB SC ，则易知ABC ∆是正三角形，故BAC ∠为锐角，又排除B .故选A .再换个角度思考：若C 对或D 对，则B 也对，故C 、D 都不对.又由直觉可知BAC ∠可以为锐角（比如当=SA =SB SC时）故B 又不对，从而选A .题90 图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是,,,PBC APB APD ∠∠∠ PDC ∠，求棱锥的高.（第十届高一第二试第22题）解法1 如图2，连AC BD ,交于O ，连PO ，在A P B ∆和APD ∆中，由于90,A P B A P D ∠=∠=1,1,P A P D P B P A ====A P B ∆∴≌APD ∆，从而2==AD AB ，并且PAD PAB ∠=∠①.同理，由题设1,1====DP CD BP CB ，可得CD CB =，并且P C B P C D ∠=∠②.由①、②知A P C ,,都在BD 的中垂面上，∴作⊥PH 面ABCD，则H必在AC上.设z OH y BO x PO h PH ====,,,，则可得2221,x y PB +== 222222222222222222221,1,,2(),2().CO y CB AH PA PH h x z h AB BO OA y z AH CP PH CH h CO z +===-=-=+==+=++==+=++从中消去CO 与z ，可得22222211h x x h h x -=--=--+，由此消去x ，得01324=+-h h ，解之，得215-=h 为所求. 解法2 如图2，连BD AC ,交于O ，连PO ，由题设条件易知⊥AP 面⊥BD PBD ,面PAC ，所以CO PO PO AP =⊥,(POB Rt ∆≌COB Rt ∆).作AC PH ⊥于H ，则h PH =为棱锥的高，PCO APH POA ∠=∠=∠2.又cos sin APH PAH h∠=∠=，故212cos 1s in h A P H P C O -=∠-=∠，在APC ∆中，由正弦定理，得PAH PCPCO PA ∠=∠sin sin ，即01,22112=-+=-h h h h ，得215-=h （另一负值舍去）为所求.解法3 如图2，易证APC ∆≌CDA ∆（三边对应相等），⊥BD 面APC ，设所求的高为h ，由CDA P APC D V V --=，即h S DO S CDA APC ⋅=⋅∆∆3131，得h DO =，在A P ORt ∆中，21h AH -=，又OAPH ⊥，故AHOH h ⋅=2，得)(,12222AH OH OH OC PO hh OH +==-=，得2221hh OC -=，在COD Rt ∆中有，222DO OC CD +=，于是22211h h h +-=，即42310,h h -+=解得h =为所求.解法4 原题等价于命题：“已知ABCD 中，2,1==AD AB .沿对角线AC 折成直二面角D AC B --（图4），且1=BD ，求点B 到平面ACD 的距离”.在图4中，分别过D B ,作AC 的垂线DF BE ,，F E ,分别为垂足.设α=∠BAC ，则,sin α==DF BE αcos =AE ；又设β=∠DAC ，作B G A D ⊥于G ，连结EG ，则E G A D ⊥.所以c o s c o s c os A G A E A G BAD AB AB AEαβ∠==⋅=，得βαc o s c o s 45cos 0⋅=，于是αβcos 2cos =，故1cos cos AF AD βα==.由异面直线上两点距离公式得2222EF DF BE BD ++=，得22112sin (cos )cos ααα=+-ααα242s in1s i ns in2-+=，01sin 3sin 24=+-αα，得215s i n,215s i n -=⋅=∴-=ααAB BE 为所求. 评析这是本届比赛的压轴题，看似简单，实际上并不容易.解决此题的关键是要发现四面体PACB 与PACD 关于平面PAC 对称，PAC ∆与DAC ∆全等，并充分利用对称与全等的性质，再借助其他定理，建立数学模型使问题得到解决.其中解法1引进了多个未知量铺路搭桥，并逐个消去得所求，这是一种常用的数学方法，用F A BCGDE图4起来自然流畅.把三棱锥不同的面当作底面，所得体积总相等，由此，可求点面距离（或棱锥的高）.解法3以此轻松地解决了问题.这也是求点面距离或棱锥高的常用方法.受解法3的启示，解法4将问题转化为一个等价的较易解决的命题后再行处理，这也是化难为易的常用手段.此题还有多种解法，读者可自行研究，不再赘述.。

历届(第1-23届)希望杯数学竞赛初一七年级真题及答案

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 064-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题........................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题........................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................ 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 159-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 167-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 171-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 176-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 182-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 186-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 193-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 198-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题................................... 288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( )A．a，b都是0．B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是( )A. 有最小的自然数．B．没有最小的正有理数．C．没有最大的负整数．D．没有最大的非负数．4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )A．a，b同号．B．a，b异号．C．a＞0．D．b＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2个．B．3个．C．4个．D．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是( )A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A．一样多．B．多了．C．少了．D．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A．增多．B．减少．C．不变．D．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______． 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989) =(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x ．B.甲方程的两边都乘以43x; C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O 是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30．12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1．计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2．计算：-32÷6×16=_______.3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______．5．计算:111111 2612203042-----=_________.6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==希望杯数学竞赛试题篇一：最全希望杯数学竞赛真题及答案“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题........................................ 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题........................................ 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题........................................ 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题........................................ 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题........................................ 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题........................................ 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题........................................ 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题........................................ 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题........................................ 064-066题 ..................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 ...................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 ...................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 ...................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 ...................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 ...................................... 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 ...................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 ...................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 ...................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 ...................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 ...................................... 148-15121.希望杯第十一届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 159-16122.希望杯第十一届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 167-16923.希望杯第十二届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 171-17424.希望杯第十二届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 176-17825.希望杯第十三届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 182-184题 .................................. 186-18927.希望杯第十四届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 193-19628.希望杯第十四届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 198-20029.希望杯第十五届（201X年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（201X年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 213-21832.希望杯第十六届（201X年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 228-23334.希望杯第十七届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 234-23835.希望杯第十八届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 242-24626.希望杯第十八届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 248-25137.希望杯第十九届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 252-25638.希望杯第十九届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 257-26239.希望杯第二十届（201X年）初中一年级第一试试题 .................................. 263-26620.希望杯第二十届（201X年）初中一年级第二试试题 .................................. 267-271。

第20届希望杯全国数学邀请赛初二年级组第2试试题及答案解析

第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分） A 。

B 。

C 。

D 。

2．如果1x y <<-，那么代数式11y yx x+-+的值是（） A ．0B ．正数C ．负数D ．非负数图1 3．将x 的整数部分记为[]x ，x 的小数部分记为()x ，易知[]{}{}()01x x x x =+<<．若3535x =--+，那么[]x 等于（） A ．-2 B ．-1C ．0D ．14．某种产品由甲、乙、丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的大小依次是（）组装一件成品需要的元件的数量1名工人1小时生产某种元件的数量202040305050种类丙乙甲数量A ．12018060︒︒︒，，B ．108144108︒︒︒，，C ．9018090︒︒︒，，D ．7221672︒︒︒，，5．面积是48的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（）A ．20B ．28C ．36D ．406．In the rectangular coordinates ，abscissa and ordinate of the intersection point of the lines y x k =- and 2y kx =+ are integers for integer k ，then the number of the possible values of k is （）A ．4B ．5C ．6D ．7（英汉词典：abscissa 横坐标，ordinate 纵坐标，intersection point 交点，integer 整数） 7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（） A ．梯形 B ．矩形 C ．菱形D ．平行四边形8．若不等式组4101x m x x m -+<+⎧⎨+>⎩，的解集是4x >，则（）A ．92m ≤B ．5m ≤C ．92m =D ．5m =9．如图4所示，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，410AD CD ==，，则BD 的长等于（）A ．413B ．83C ．12D ．10310．任何一个正整数n 都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分解()n p q p q =⨯≤可称为正整数n 的最佳分解，并规定()pF n q=.如：12=1⨯12=2⨯6=3⨯4，则3(12)4F =．则以下结论图3104DCBA图4①1(2)2F =； ②3(24)8F =；③若n 是一个完全平方数，则()1F n =；④若n 是一个完全立方数，即3n a =（a 是正整数），则1()F n a=．中，正确的结论有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题11．将一根钢筋锯成a 段，需要b 分钟，按此速度将同样的钢筋锯成c 段（a b c ，，都是大于1的自然数），需要__________________分钟．（用a b c ，，表示）12．给机器人下一个指令[]()00s A s A ︒︒，，≥≤≤180，它将完成下列动作： ①先在原地向左旋转角度A ；②再朝它面对的方向沿直线行走s 个单位长度的距离．现以机器人站立的位置为坐标原点，取它面对的方向为x 轴的正方向，取它的左侧为y 轴的正方向．要想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________． 13．已知实数x y z ，，满足1233x y z x y zx y z ++===+++，则x y z ++=_________________或______________．14．已知实数x y ，满足234x y -=，并且01x y ，≥≤，则x y -的最大值是_____________，最小值是_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时汽油消费税每升提高0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千米耗油8升，在“费改税”前后该车的年支出与年行驶里程的关系分别如图5中的12l l 、所示，则1l 与2l 的交点的横坐标m =___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）16．Given 32()f x ax bx cx d =+++，if when x takes the value of its inverse number ，theOl 1l 2m 图5年支出/元1440年行驶里程/千米corresponding value of ()f x is also the inverse number ，and (2)f =0，thenc da b+=+_______________．（英汉词典：inverse number 相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分与最后4名的得分之和相同，那么第二名得__________________分． 18．若正整数a b ，使等式()()12a b a b a ++-+=2009成立，则a =____________，b =_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段'AA ，''BB CC ，交于O 点，并且'''60B OA C OB A OC ∠=∠=∠=︒，则三个三角形的面积的和123S S S ++_______________3．（填“<”、“=”或“>”） 20．已知正整数x y ，满足2249x y +=，则x =_____________，y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于25但与25最接近的那个分数．22．如图7哀兵必胜示，一次函数33y x =-+的图像与x 轴、y 轴分别交于点A B ，，以线段AB 为直角边在第一象限内作Rt ABC △，且使30ABC ∠=︒．⑴求ABC △的面积；图6S 3S 2S 1O C'C AB'BA'yxPO CBA30°图7⑵如果在第二象限内有一点32P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，试用含m 的代数式表示四边形AOPB 的面积，并求当APB △与ABC △面积相等时m 的值； ⑶是否存在使QAB △是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q ？若存在，请写出点Q 所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．23．点(40)(03)A B ，，，与点C 构成边长分别是3，4，5的直角三角形，如果点C 在反比例函数ky x=的图像上，求k 可能取的一切值．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCABBADCAC提示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180︒后，将与左侧的效果重合．故选D ．2．因为 1x y <<-，所以 0100x x x y <+<-<，，，则101(1)(1)y y xy x xy y x yx x x x x x ++----==<+++，即该代数式的值是负数，选C ．3．因为()2516255135222±±±±===，所以 515122 1.41222x -+-=-==-≈-，所以 []2x =-，选A ．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是542::532，即41::13，也即3：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108︒，144︒，108︒．故选B ．5．5．设矩形的边长分别是a b ，，对角线的长是c ，则222a b c +=已知矩形的面积是44832ab ==⨯，a b ，都是整数，不妨设a b ，≤则()a b ，可能是（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），分别代入222a b c +=，只有当68a b ==，时，c 才是整数10，其他情况得到的c 的值都不是整数．所以，矩形的边长分别是6，8，周长是28，选B ．。

希望杯数学八年级竞赛真题及答案(1-23届)

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

历届希望杯试题

第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第1试以下每题5分，共120分。

1．2006×2008×()＝________。

2．900000－9＝________×99999。

3．＝________。

4．如果a＝，b＝，c＝，那么a，b，c中最大的是________，最小的是________。

5．将某商品涨价25％，如果涨价后的销售金额与涨价前的销售金额相同，则销售量减少了________％。

6．小明和小刚各有玻璃弹球若干个。

小明对小刚说：“我若给你2个，我们的玻璃弹球将一样多。

”小刚说：“我若给你2个，我的弹球数量将是你的弹球数量的三分之一。

”小明和小刚共有玻璃弹球________个。

7．一次测验中，小明答错了10道题，小刚答错了8道题，小强答对的题的数量等于小明与小刚答对题的数量之和，且小强答错了3道题。

这次测验共有________道题。

8．一个两位数，加上它的个位数字的9倍，恰好等于100。

这个两位数的各位数字之和的五分之三是________。

9．将一个数A的小数点向右移动两位，得到数B。

那么B＋A是B－A的________倍。

(结果写成分数形式)10．用10根火柴棒首尾顺次连接接成一个三角形，能接成不同的三角形有________个。

11．希望小学举行运动会，全体运动员的编号是从1开始的连续整数，他们按图中实线所示，从第1珩第1列开始，按照编号从小到大的顺序排成一个方阵。

小明的编号是30，他排在第3行第6列，则运动员共有________人。

12．将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的表面涂上漆，再切成15块棱长为l的小正方体。

则三个面涂漆的小正方体有________块。

13．如图，∠AOB的顶点0在直线l上，已知图中所有小于平角的角之和是400度，则∠AOB＝________度。

14．如图，桌面上有A、B、C三个正方形，边长分别为6，8，10。

B的一个顶点在A 的中心处，C的一个顶点在B的中心处，这三个正方形最多能盖住的面积是________。

“希望杯”数学邀请赛培训题及答案(初一年级)

“希望杯”数学邀请赛培训题初中一年级一．选择题（以下每题的四个选择支中，仅有一个是正确的） 1．－7的绝对值是（）（A ）－7 （B ）7 （C ）－71 （D ）712．1999－)]}19991998(1999[1998{---的值等于（）（A ）－2001 （B ）1997 （C ）2001 （D ）19993．下面有4个命题：①存在并且只存在一个正整数和它的相反数相同。

②存在并且只存在一个有理数和它的相反数相同。

③存在并且只存在一个正整数和它的倒数相同。

④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。

其中正确的命题是：（）（A ）①和② （B ）②和③ （C ）③和④ （D ）④和① 4. 4ab 2c 3的同类项是（）（A ）4bc 2a 2 （B ）4ca 2b 3 （C ）41ac 3b 2 （D ）41ac 2b 35．某工厂七月份生产某产品的产量比六月份减少了20％，若八月份产品要达到六月份的产量，则八月份的产量比七月份要增加（）（A ）20％（B ）25％（C ）80％（D ）75％6．21，116，158，2413四个数中，与137的差的绝对值最小的数是（）（A ）21 （B ）116 （C ）158 （D ）24137．如果x=―41, Y=0.5,那么X 2―Y 2―2X 的值是( ) (A)0 (B)1613 (C)165 (D) ―1658.ax+b=0和mx+n=0关于未知数x 的同解方程，则有（）（A ）a 2+m 2>0. （B ）mb ≥an.（C ）mb ≤an. （D ）mb=an. 9．（－1）＋（－1）－（－1）×（－1）÷（－1）的结果是（）（A ）－1 （B ）1 （C ）0 （D ）210．下列运算中，错误的是（）（A ）2X 2＋3X 2＝5X 2（B ）2X 2－3X 2＝－1（C ）2X 2·3X 2＝6X 4 （D ）2X 4÷4X 3＝2X11．已知a<0,化简a aa ||，得( )(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) －2 12．计算（－1）2000＋（－1）1999÷|－1|的结果是（）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）213．下列式子中，正确的是（）（A ）a 2·a 3=a 6. （B ）(x 3)3=x 6. （C ）33=9. （D ）3b ·3c=9bc.14.－|－3|的相反数的负倒数是（）（A ）－31 （B ）31（C ）－3 （D ）315．十月一日亲朋聚会，小明统计大家的平均年龄恰是38岁，老爷爷说，两年前的十月一日也是这些人相聚，那么两年前相聚时大家的平均年龄是（）岁。

初中数学竞赛试题-希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题

希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分）1.如果a<0,2．已知，y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a,b,c,d,e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35，那么e的值是[ ]A．6. B．-6. C.12. D．-123.如果-1<a<0, 那么a,a3,1a中,一定是[ ]A.a最小,a3最大,a最大; C. 1a最小,a最大; D.1a最小,a3最大.4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是[ ]A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第三边长可能是[ ]A．9 . B．8. C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是[ ]A．7.5. B．7. C．6.5. D．5.5.7.已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是717,则a的值为[ ]A．11或3. B．11. C．3. D．58.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD=14AB,BE=14BC,CF=14AC,则ΔDEF的面积是ΔABC的面积的[ ]A. 14; B.38; C.58; D.716.9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是[ ] A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ ] A．3n2B．5n2．9n2 .D．11n2二、填空题：（每题4分，共40分）1.已知关于x的二次方程x2+px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2那么p的值为_____. 2．如果(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______．3．如图30,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ，AB=DC=10厘米，AC 与BD 相交于G ，且∠AGD=60°，设E 是CG 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为________．4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H 这些点为端点的线段共有______条．5.若a,b,c 是实数,且2+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书，它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个），那么这本数学书的页数是________．7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数至少是白球数的一半,但至多是红球数的13,白球与蓝球的总和至少是55个,则红球至少有________.8．如图32，正方形ABCD 内有一个内接△AEF ，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC 的面积是______．9. 若a,b,c 是实数,且,ab+2c 2+14=0,那么bc a 的值是_____.10．已知：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，那么，a ∶b ∶c=______．三、解答题（每题10分，共20分）1．如图33，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD ．求证：AD 平分∠CDE ．2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A、B、C出发,甲向C,乙、丙向A前进,过了217小时,甲与乙于M点相遇;又过了514小时,丙于N点追及乙,已知B点恰为N,C的中点,M与N之间的距离为107公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A与B，B与C之间各多少公里？答案·提示一、选择题提示：2．由题设知，当x=2时，23=a·27+b·25+c·23+d·2+e ①当x=-2时，-35=a·(-2)7+b·(-2)5+c·(-2)3+d·(-2)+e，即35=-a·27-b·25-c·23-d·2+e ②①+②，则得2e=-12，所以e=-6．故选(B)．4．原方程可化为|x|2-7|x|+12=0．推出(|x|-4)(|x|-3)=0．从而|x|=4或|x|=3解得x=±3，x=±4，故选(C)．5．不妨设三角形三边长度为a,b,c．且，则a与b为一奇一偶，又题设知a+b+c 为奇数，所以c一定是偶数，又三角形两边之差小于第三边，即c＞，所以第三边长可能是8，故选(B)．6．如图35，自C作DH的垂线CE交DH于E．∵DH⊥AB，CB⊥AB．∴CB∥DH又CE⊥DH．∴四边形BCEH是矩形，则HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，∴∠ADH=30°，又∠ADC=90°∴∠CDE=60°，则在Rt△CED7．设方程的两个实根为x1，x2，则整理②式得，a2+8a-33=0，解得a=3或a=-11．将a=3代入①式得32+16×3-8＞0．将a=-11代入①式得(-11)2+16·(-11)-8＜0矛盾．故选(C)．8．如图36，连接AE．9．设∠A，∠B，∠C均为钝角，则90°＜A＜180°，90°＜B＜180°，90°＜C＜180°．270°＜A+B+C＜540°．n边形中其余n-3个角均小于等于90°．∵∠A+∠B+∠C+∠D+…+∠N＜540°·90°．n边形的n个角和为(n-2)×180°．∴(n-2)·180°＜540°+(n-3)·90°推出．n＜7，∴n的最大值为6．又极端情况为三钝角相邻，三个角的各边接近为一条角线，如图37可画出恰有三个钝角的六边形，故选(B)．10．解一：欲使9n2为某自然数的平方，有9n2-9n+9=9(n2-n+1)，必须使n2-n+1为某自然数的平方，而n＞1时有n2-2n+1＜n2-n+1＜n2，即n2-n+1不可能为某自然数的完全平方，故选(C)．解二：当n=2时，3n2-3n+3=9，当n=3时，5n2-5n-5=25，当n=4时，11n2-11n-11=121均为完全平方数，所以排除(A)，(B)，(D)．选(C)．二、填空题提示：1．由题设的方程的两根为x1，x2，得2．解法一：∵(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．其中a0＞0，a2＞0，a4＞0，a1＜0，a3＜0，a5＜0．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5．将x=-1代入原等式两端得[1-3×(-1)]5=a0+a1·(-1)+a2·(-1)2+a3·(-1)3+a4·(-1)4+a5·(-1)5即1024=a0-a1+a2-a3+a4-a5．∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=1024-a0=1023解法二：将(1-3x)5用乘法分式逐项展开，得(1-3x)5=1-15x+90x2-270x3+405x4-243x5∴|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=90+270+405+243=1023．3．如图38，连接BE．∵AB=CD，AD∥BC．∴四边形ABCD是等腰梯形，又∠BGC=∠AGD=60°．∴△BCG为等边三角形，BE是CG边的中垂线．∴BE⊥CG即△ABE是直角三角形．4．线段有AB,AG,AE,GE,DH,DE,HE,DF,DC,FC,Ad,BG,BH,BF,GF,HF,BC,BE,EC共20条．6．一位数9个，需9个数字，两位数90个，需2×90个数字，三位数900个，需3×900个数字，四位数9000个，需4×9000个数字．而9+2×90+3×900＜6869＜9+2×90+3×900+4×9000．即2889＜6869＜38889．设需用x个四位数码．则9+90×2+900×3+4x=6869．解得x=995．所以书的页数为1000+995-1=1994．7．设红、蓝、白三种小球的个数分别为x,y,z．则∴y+z≤y+2y=3y．x≥3y=57，∴红球至少有57个．8．延长EB到G，使BG=DF，连接AG（图39），∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠2=∠3，又∠1+∠2=45°，∴∠1+∠3=45°，∠EAF=45°．在△AEF和△AEG中，AE=AE，AF=AG，∠EAF=∠EAG∴△AEF≌△AEG，EF=EG=7．S△EFC=S ABCD-S ABEFD=S ABCD-2S△AEG10．由题设得14a2+14b2+14c2=a2+4b2+9c2+4ab+6ac+12bc∴13a2+10b2+5c2-4ab-6ac-12bc=0．(4a2-4ab+b2)+(9a2-bac+c2)+(9b2-12bc+4c2)=0．即(2a-b)2+(3a-c)2+(3b-2c)2=0．∴2a-b=0，3a-c=0，3b-2c=0．即b=2a,c=3a，3b=2c，∴a∶b∶c=1∶2∶3．三、解答题1．证一：如图40，连接AC，将△ABC绕A点旋转120°到△AEF．∵AB=AE，∠BAE=120°，∴AB与AE重合．又∠ABC+∠AED=180°．∴D，E，F在一条直线上，AC=AF．在△ACD和△AFD中，DE+EF=DE+BC=CD．AF=AC，∴△ACD≌△AFD，∴∠ADC=∠ADF即AD平分∠CDE．证二：如图41连接AC．∵BC+DE=CD,AB=AE,∠ABC+∠AED=180°．∴将△ABC，绕C点顺时针方向旋转至△FGC，同时将△AED绕D点逆时针方向旋转至△FGD．则AB与AE重合成FG，AC旋转后成CF，AC=CF，AD旋转后成DF，AD=DF，CD=CD．∴△ACD≌△FCD，∴∠ADC=∠FDC=∠ADE．即AD平分∠CDE．证三：如图42．∵BC+DE=CD．在CD上，取CF=DE，则FD=BC．连接BF，FE，AF，AC．在△BCF和△FDE中，BC=FD，CF=DE，∠BCF=120°，∠FDE=540°-120°-120°-180°=120°（五边形内角和=540°）∴△BCF≌△FDE．∴BF=FE，∠1=∠3，∠2=∠4．在△ABF和△AEF中，AB=AE，BF=FE，在△ACF和△ADE中，AF=AE，CF=DE，∠AFC=60°+∠2=60°+∠4=∠AED，∴△ACF≌△ADE，∠ADE=∠ACF，AC=AD，∠ACF=∠ADF，∴∠ADE=∠ADF，∴AD平分∠CDE．证四：如图43，延长BC，ED相交于F，自A向BC和DE的延长线引垂线AG，AH，垂足分别为G，H连接AF与CD相交于K．在Rt△ABG和Rt△AEH中，AB=AE，∠ABG=180°-∠AED=∠AEH，∴△ABG≌△AEH，∴AG=AH，∠BAG=∠EAH．在△CDF中，∠FCD=180°-∠BCD=60°，∠CDF=180°-∠CDE．∠CDE=540°-(180°+120°+120°)=120°∴∠CDF=60°，∴△CDF是等边三角形．∴CD=CF=FD．在Rt△AGF和Rt△AHF中AG=AH，AF=AF，∴△AGF≌△AHF，∴∠AFG=∠AFH=30°，∴FK平分∠CFD，FK垂直平分CD．又∵BC+DE=CD，BG=EH．在Rt△ADK和Rt△ADH中AD=AD，DK=DH，∴△ADK≌△ADH，∠ADK=∠ADH即AD平分∠CDH．2．如图44，N点在M点左侧．设甲、乙、又设AB的距离为x公里，则即答：A，B之间距离为30公里，B，C之间距离为10公里．。

2010-2012年第21-23届-“希望杯”全国数学邀请赛-初一-第2试-试题与答案(word版)

第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2010年4月11日上午9:00至11:00 得分一、选择题（每小题4分，共40分．）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．1．若a-b的相反数是2b-a，则b=( )(A)-1. (B)0. (C)1. (D)2.2．某工厂3月份的产值比2月份增加10%，4月份的产值比3月份减少10%，则( )(A)4月份的产值与2月份相等．(B)4月份的产值比2月份增加．(C)4月份的产值比2月份减少． (D)4月份的产值比2月份减少．3．如图1，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分别记为α，β，γ，．若α：β:γ，=3:4:5，则∠A：∠B：∠C=( )(A)3:2:1. (B)1:2:3. (C)3:4:5. (D)5:4:3.4．若m=，则m是( )(A)奇数，且是完全平方数． (B)偶数，且是完全平方数．(C)奇数，但不是完全平方数． (D)偶数，但不是完全平方数．5．有两个两位数的质数，它们的差等于6，且它们平方的个位数字相同，这样的两位质数的组数是( )(A)1． (B)2． (C)3． (D)4．6.As in figure 2,the area of square ABCD is l69cm2,and the area ofthombus BCPQ is 156cm2. Then the area of the shadow part is ( )(A) 23cm2. (B) 33cm2. (C) 43cm2. (D) 53cm2.（英汉词典：square正方形；thombus菱形）7．要将40kg浓度为16%的盐水变为浓度为20%的盐水，则需蒸发掉水( )(A) 8kg. (B) 7kg. (C) 6kg. (D) 5kg.8．如图3，等腰直角△△ABC绕C点逆时针旋转90。

则线段AB扫过的面积是( )9．若一个两位数恰等于它的各位数字之和的4倍，则这个两位数称为“巧数”．则不是“巧数”的两位数的个数是( )(A)82. (B)84. (C)86. (D)88.10.如果在一个正方体的每个面内写一个正整数，然后，在每个顶点处再写一个数，该数等于过这个顶点的三个面内的数的乘积，那么当该正方体各个顶点处的数之和是290时，各个面内的数之和等于( )(A)34. (B)35. (C)36. (D)37.二、填空题（每小题4分，共40分．）11.甲、乙两车从A向B行驶，甲比乙晚出发6小时，甲、乙的速度比是4：3.甲出发6小时后，速度提高1倍，甲、乙两车同时到达B．则甲从A到B共走了小时．12.若有理数x,y，岁满足方程，则13.图4是一个六角星，其中14.加工某种工件，须顺次进行三道工序，工作量的比依次是2：1：4．甲完成1个工件与第二个工件的前两道工序，所用时间为t．已知甲和乙的加工效率比是6:7，则乙完成一个工件，需要的时间是f的____倍．15. -个直四棱柱的三视图及有关数据如图5所示，它的俯视图是菱形，则这个直四棱柱的侧面积为16.有这样一种衡量体重是否正常的算法：一个男生的标准体重（单位：千克）等于其身高（单位：厘米90%和110%之间（舍边界）时，就认为该男生的体重为正常体重，已知男生甲的身高是161厘米，实称体重是55千克．根据上述算法判定，甲的体重正常体重（填“是”或“不是”）．17. If a2 -a+l and az +a -3 are opposite numbers to each other,and themverse number of a is less than the opposite number of a,then=（英汉词典：inverse number倒数；opposite相反的）18.从长度为1的线段开始，第一次操作将其三等分，并去掉中间的一段；第二次操作将余下的线段各三等分，并去掉所分线段中间的一段．此后每次操作都按这个规则进行．图6是最初几次操作的示意图，当完成第六次操作时，余下的所有线段的长度之和为19.已知m，n都是正整数，且是整数．若的最大值是a，最小值是6，则a+b=20.从最小的质数算起，若连续n（n是大于1的自然数）个质数的和是完全平方数，则当n最小时，三、解答题每题都要写出推算过程．21．（本题满分10分）设a=，证明：a是37的倍数．22．（本题满分15分）(1)已知平面内有4条直线a，b，c和d．直线a，b和c相交于一点．直线b，c和d也相交于一点，试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由．(2)作第5条直线e与(1)中的直线d平行，说明：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？23.（本题满分15分）轨道AB长16.8米，从起点站A到终点站B，每2.4米设一站点．甲、乙两个机器人同时从A站点出发，到达B站点后，再返回，在A和B两站点之间反复运动．甲、乙运动的速度都是0.8米／秒，甲每到达一个站点就休息1秒钟，而乙从不休息，若甲、乙从A站点出发后2分钟结束运动，问：它们出发后，曾几次同时到达同一站点（包括起点站和终点站）?第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛初一第2试2011年4月10日上午9：00至11：00 得分＿＿＿＿一、选择题(每小题4分，共40分。

关于第十九届希望杯全国数学邀请赛培训的几的几点建议(含解答)5

关于初中希望杯培训的几点建议首都师范大学数学科学学院周春荔一、等积变形与面积计算例1. 如图，ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形.O 是BF 与EG 的交点.如果正方形ABCD的面积是9平方厘米，CG = 2厘米.则阴影DEO ∆的面积是（）平方厘米.（A ）6.25 （B ）5.75 （C ）4.50 （D ）3.75解. 连接BD ，易知BD//EG ，所以EDO ∆与BEO ∆的面积相等.由于O 是正方形BEFG 的对角线BF 与EG 的交点，所以BEO ∆的面积等于正方形BEFG 面积的四分之一.因为正方形ABCD 的面积是9平方厘米，所以边长BC = 3厘米.又CG = 2厘米，因此 BG = 5厘米.所以正方形BEFG 的面积等于25平方厘米.所以EDO ∆的面积=BEO ∆的面积 =25 6.254=（平方厘米）. 选（A ）. 例2.如图所示，在ABC ∆中90ACB ∠=，AC = 8厘米，B C = 6厘米. 分别以AC 、BC 为边向形外作正方形ACDE ，BCFG . 设图中阴影三角形BEF 的面积为a ，六边形ABGFDE 面积为s . 则a = 平方厘米；且a s = . 解. 易知 168242ABC CDF S S ∆∆==⨯⨯=（平方厘米），正方形ACDE 的面积= 82 = 64（平方厘米），正方形BCFG 的面积 = 62 = 36（平方厘米）.所以六边形ABGFDE 的面积s = 24 + 24 + 64 + 36 = 148（平方厘米）. 连结 CE ，则24CEF CDF S S ∆∆==，24CEB ABC S S ∆∆==，而2618,2BCF S ∆==所以阴影三角形BEF 的面积a = 24 + 24 + 18 = 66（平方厘米）.所以6633.14874a s == 例3. 如图所示，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 边的中点.O 是BE 的中点. 连接AO交BC 于D ，连接CO 交AB 于F . 求四边形BDOF的面积.解. 如题图所示，设BOF ∆的面积 = x ，BOD ∆的面积= y .因为E 是AC 边的中点.O 是BE 的中点，又已知三角形ABC 的面积为1，所以AOE ∆的面积=COE ∆的面积=AOB ∆的面积=COB ∆的面积14=. 则 AOF ∆的面积14x =-，ACF ∆的面积34x =-，BCF ∆的面积14x =+ 由AOF AF ACF BOF BF BCF ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积，得 134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-. 也就是 112x =. 又 COD ∆的面积14y =-，ACD ∆的面积34y =-，ABD ∆的面积14y =+. 由BOD BD ABD COD CD ACD ∆∆==∆∆的面积的面积的面积的面积，得 141344y y y y +=--，即2213164y y y -=-. 也就是 112y =. 所以四边形BDOF 的面积 111212x y =+=+1.6= 例4.在矩形ABCD 中，放入6个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示.试求图中阴影部分的总面积.解：设小长方形的长为x ，宽为y .由图33可得，314x y += ①26x y y +-= ②① - ② 得，48 2.y y =⇒= 将y =2代入②，得 x = 8.因此，矩形ABCD 的面积 =14×10 =140（cm 2）.图中阴影部分的总面积=140-6×2×8 = 44（cm 2）.例5. ABC ∆的面积是1.如图所示：,.AD DE EC BG GF FC ====求阴影四边形的面积.分析：易知1.3BCE S ∆=若再求得四边形FNEC 和 BGM ∆的面积，即可求出阴影四边形GMNF 的面积. 解：（1）先求四边形FNEC 的面积.,.FNC ECN S x S y ∆∆==则3,3.BNC ANC S x S y ∆∆==则由13BEC AFC S S ∆∆==得 133x y += ① （图1） 133x y += ② ① + ② 得 214436x y x y +=⇒+=.即四边形FNEC 的面积=16. （2）再求BGM ∆的面积.如图2，连接MC .设BGM ∆的面积 = u ，则MEC ∆的面积 = v .则CGM ∆的面积 = 2u ，MAC ∆的面积 = 3v .因此133u v +=① （图2） 2233u v += ② 3×①-② 得117.321u u =⇒= 即BGM ∆的面积 = 121. 所以，阴影四边形GMNF 的面积 =1115.362142--=二、整数整除与周期问题例1．今天（2007年4月15日，星期日）是第18届“希望杯”全国数学邀请赛举行第二试的日子，那么今天以后的第42007＋15天是星期 .解：因为 422222007[(72865)][(7286272865+25]=⨯+=⨯+⨯⨯⨯）（）＝222(725)(7734)(74)a a b +=+⨯+=+7167722c c =+=+⨯+（其中,,a b c 都是正整数），所以 42007＋157722157743c c =+⨯++=+⨯+，即今天以后的第42007＋15天是星期三. 例2.已知7641808x yz ⨯=，其中x ，y ，z 代表非0数字.那么222x y z ++= . 解：由尾数分析可知：x 只可能是3或8.即773x =或778x =.而41808572.7173=不是整数，41808536.78= 所以8,5,3x y z ===.因此22222285398.x y z ++=++= 例3.（1）证明：奇数的平方被8除余1.（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.解：（1）设n 为任意整数，则2n + 1为任意奇数.则 22(21)4414(1)1n n n n n +=++=++由于(1)n n +是两个相邻整数的乘积可被2整除，所以4(1)n n +被8整除，因此2(21)4(1)1n n n +=++被8除余1.即奇数的平方被8除余1.（2）若2006可以表示为10个奇数的平方之和，也就是2222123102006x x x x ++++=，（其中12310,,,,x x x x 都是奇数）则等式左边10个奇数平方之和被8除余2，而2006被8除余6.矛盾！所以，2006不能表示为10个奇数的平方之和.例4. 将1、2、3、4、5、……、2006依从小到大，排成一个多位数，记作：200601112131234567891 =A ，则A 是一个位的自然数；A 的所有的数码的和等于 .解.（1）由于200601112131234567891 =A ，1～9共9个数码，两位数10～99共2×90=180个数码，三位数100～999共3×900=2700个数码，四位数1000～2006共4×1007=4028个位数码. A 总计有9 + 180 + 2700 + 4028 = 6917个位数码.即A 是一个6917位的自然数.（2）将1和998，2和997，3和996，……，499和500配对，再加上999，所以由1～999的数字和为27×500 = 13500.再看1000～1999可这样搭配：1000和1999、1001和1998、…、1499和1500，其数字和为29的共500对，所以1000～1999的500个数的数字和29×500=14500.剩下的2000、2001、2002、2003、2004、2005、2006数码的和是35，所以，A 的所有的数码的和等于27×500 + 29×500 + 35 = 28035.三、能与不能与构造反证例1. 你能找到三个整数a ，b ，c ，使得关系式3388))()()((=-+-++-++a c b c b a c b a c b a 成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由。