全维观测器
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0
u
B
+
+
∫
A L
x
C
y
B
+ + +
∫ A-LC
ˆ x
观测偏差
引入反馈之后，观测偏差状态方程为：
ˆ x ( A LC) x, x(0) x0 x0 x0
很容易得到它的零输入响应关系式为：
~(t ) e( ALC )t ~ , t 0 x x0
因此，我们可以通过L来改变A-LC，使得x 既：
基于对偶原理，（A，C）能观测性等价于（AT，CT）能控性。由此， 并利用线性时不变系统的极点配置定理，即可得结论。
4.7、全维观测器综合算法
给定条件： 给定完全能观测连续时间线性时不变被观测系统
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0 y Cx
其中， A nn , B n p , C qn
i ( A BK ) * , i 1,2,...,n i
的q×n状态反馈矩阵 K 。其中， () 表示所示矩阵的特征值。 Step3：取 L K T Step4：计算（A-LC)
Step5:所综合全维观测器为:
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu Ly
~ x x =0， ˆ
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
全维观测器渐近等价条件
[全维观测器渐近等价条件]:
对于前面图中所示结构n维全维状态观测器，存在n×q反馈 矩阵L使成立：
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
充分必要条件是被观测系统∑不能被观测部分为渐近稳定，充分 条件为被观测系统（A，B，C）完全能观测。
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
ˆ ˆ 并且，称 状态 x 为被观测系统∑状态x的重构状态，所 ˆ 构造系统 为被观测系统∑的一个状态观测器。
状态观测器的直观说明
u B + + ∫ x C y
∑
A
ˆ x
状态观测器
ˆ
3、状态观测器的分类
从功能角度
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
通过复制得到的观测器直观图
u
B + + A ∫
x
C
y
∑
B
+
∫
ˆ x
ˆ y
C
+
A
观测偏差
我们定义观测偏差为:
~ xx ˆ x
容易得到观测偏差状态方程：
x Ax x(0) x0
从状态方程，我们可以直观的看到，在这种情况下要使
~ x x ，即 lim x(t ) lim x(t )是不受我们控制的。 ˆ ˆ x t t
ˆ 引入 L( y y ) 反馈
u B + + ∫ x C y
∑
A
L + -
ˆ y
C
B
+ +
+
∫ A
ˆ x
4.4、全维观测器状态空间描述
引入反馈后的全维状态观测器，状态空间描述为： ˆ ˆ ˆ x ( A LC) x Ly Bu x(0) x , ˆ
Bo , Co
（5.83） 为能观子系统；
x 式中， xo 为能观子状态； o 为不能观子状态； Ao , Ao , B2 , 0 为不能观子系统。
T
T ˆ ˆ 垐 (2)构造状态观测器 。设 x xo , xo 为状态x的估值，L L1, L2 为调节 x 渐 近于x的反馈增益矩阵。于是得观测器方程：
全维状态观测器
1、观测器提出的工程背景和应用面向
(1)状态反馈在功能和实现上的矛盾
状态观测器的提出，概括的说，主要是为了解决状态反馈在性能上 的不可替代性和在物理上的不能实现性的矛盾。基于解决控制工程中出 现的这类矛盾的需要，推动了状态重构问题的研究，并最终导致状态观 测器理论的形成和发展。
(2)解决状态反馈物理构成的途径
从功能角度，可把观测器分为状态观测器和函数 观测器。
从结构角度
从结构角度，可把观测器分为全维观测器和降维 观测器。 今天，我们研究的是：全维状态观测器。
4、全维状态观测器：综合方案Ⅰ
我们考虑n维连续时间线性时不变被观测系 统：
x Ax Bu
y=Cx
，
x(0) x0
t≥0
其中， A
从控制理论的角度，获取系统状态信息以构成状态反馈的途径之一 是对受控系统状态进行重构。这种途径的思路是，采用理论分析和对应 算法的手段，导出在一定意义下等价于原状态的一个重构状态，并用重 构状态代替真实状态组成状态反馈。
2、状态重构的实质
状态重构的实质是，对给定确定线性时不变被观测 系统∑，构造与∑具有相同属性的一个系统即线性时 ˆ 不变系统 ，利用∑中可直接量测的输出y和输入u ˆ ˆ ˆ x 作为 的输入，并使 状态或其变换 在一定指标 提法下等价于∑状态x。等价指标的提法通常取为渐 近等价，即
(1)判能观 C Nwenku.baidu.com , 满秩。 AC
ˆ 由于1，＝－ ,10 10 2 ˆ 观测器特征多项式： ( ) I ( A LC ) f
l1
l2
1
6
2 (6 l1 ) 6l1 l2
举例
ˆ 期望f * ( ) ( 10)( 10) 2 20 100 14 比较得，l1 14, l2 16, L 16
。
要
求：
对所综合方案Ⅰ全维观测器，指定一组期望特征值
* * { 1 , 2 ,...,n } *
计算步骤
Step1：计算对偶系数矩阵
A AT , B C T
* * * Step2：对 ( A, B ) 和期望特征值组 {1 , 2 ,...,n } ，采用极点配置算法，计 算使
Ao t 0
t
（5.89）
证明：
( A L C )t 由于 lim e o 1 o 0 ，因此仅当 t
lim e Ao t 0
t
（5.90）
ˆ 成立时，才对任意 xo (0) 和 xo (0) 有：
ˆ lim( x0 x0 ) 0
t
Ao t
（5.91）
而 lim e 0 和 Ao 特征值均具有负实部等价。只有当∑=（A，B，C）的不能观子 t ˆ 系统渐近稳定时，才能使 lim( x x) 0 。定理等证。 t
举例
1 例：设受控系统的传递 函数为G0 s) （ , 设计实现 S ( S 6) 这个反馈的全维观测器设其极点为 10,10 ( ）。
0 1 0 x x 1u 解: 0 6 y 1 0x
举例
设计全维观测器的 L l1 选取L l2
证明
证明: (1)设∑=（A，B，C）不完全能观，可进行能观性结构分解。这里，不妨设 ∑=（A，B，C）已经具有能观性分解形式。即
x A x o ,A o xo A 21 0 Bo , B ,C Co , 0 Ao B2
（5.85）
证明
ˆ （3）确定使 x 渐近于x的条件。
由上式，得：
垐 x0 x0 ( Ao L1Co )( x0 x0 ) 垐 x0 x0 ( A21 L2Co )( x0 x0 ) Ao ( x0 x0 )
（5.86）
（5.87）
由（5.83）可知，通过适当选择 L1 ，可使得 ( Ao L1Co ) 的特征值均具有负实 部，因而有：
全维观测器方程 ˆ ˆ x ( A LC ) x Ly bu 14 1 14 0 ˆ x y u 16 6 16 1
垐 lim( x0 x0 ) lim e( Ao L1Co )t [ x0 (0) x0 (0)] 0
t t
（5.88）
同理，有式（5.87）可得其解为：
垐 x0 x0 e [ x0 (0) x0 (0)] e Ao (t ) ( A21 L2Co )[ x0 (0) x0 (0)]d
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu L( y Cx)
或
（5.84）
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu LCx
证明
~ ˆ 定义 x x x 为状态误差矢量，可导出状态误差方程：
x0 x0 ˆ xx x ˆ ( A LC ) x x x 0 0 ˆ ˆ ( Ao L1Co )( x0 x0 ) 垐 Ao ( x0 x0 ( A21 L2Co )( x0 x0 )
nn
, B
n p
, C
qn
，状态x不能直
接量测，输出y和输入u是可以利用的。
4、全维状态观测器：综合方案Ⅰ
对于n维被观测系统∑，我们构建其状态观测器的方法是：
基于被观测系统∑的系数矩阵A，B，C，按∑相同结构建立 ˆ 一个复制系统 。只要让他们的状态在一定的指标提法下等 价，既：
4.6、全维观测器极点配置
对于前面图上所示结构n维全维状态观测器，存在n×q反馈 矩阵L可任意配置观测器全部特征值，即对任给n个期望特征 * * 值 { 1 , 2 ,...,n } 可找到n×q矩阵L使成立: *
i ( A LC) , i 1,2,...,n
* i
充分必要条件为被观测系统（A，C）完全能观测。 证明：
u
B
+
+
∫
A L
x
C
y
B
+ + +
∫ A-LC
ˆ x
观测偏差
引入反馈之后，观测偏差状态方程为：
ˆ x ( A LC) x, x(0) x0 x0 x0
很容易得到它的零输入响应关系式为：
~(t ) e( ALC )t ~ , t 0 x x0
因此，我们可以通过L来改变A-LC，使得x 既：
基于对偶原理，（A，C）能观测性等价于（AT，CT）能控性。由此， 并利用线性时不变系统的极点配置定理，即可得结论。
4.7、全维观测器综合算法
给定条件： 给定完全能观测连续时间线性时不变被观测系统
x Ax Bu, x(0) x0 , t 0 y Cx
其中， A nn , B n p , C qn
i ( A BK ) * , i 1,2,...,n i
的q×n状态反馈矩阵 K 。其中， () 表示所示矩阵的特征值。 Step3：取 L K T Step4：计算（A-LC)
Step5:所综合全维观测器为:
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu Ly
~ x x =0， ˆ
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
全维观测器渐近等价条件
[全维观测器渐近等价条件]:
对于前面图中所示结构n维全维状态观测器，存在n×q反馈 矩阵L使成立：
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
充分必要条件是被观测系统∑不能被观测部分为渐近稳定，充分 条件为被观测系统（A，B，C）完全能观测。
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
ˆ ˆ 并且，称 状态 x 为被观测系统∑状态x的重构状态，所 ˆ 构造系统 为被观测系统∑的一个状态观测器。
状态观测器的直观说明
u B + + ∫ x C y
∑
A
ˆ x
状态观测器
ˆ
3、状态观测器的分类
从功能角度
ˆ lim x (t ) lim x (t )
t t
通过复制得到的观测器直观图
u
B + + A ∫
x
C
y
∑
B
+
∫
ˆ x
ˆ y
C
+
A
观测偏差
我们定义观测偏差为:
~ xx ˆ x
容易得到观测偏差状态方程：
x Ax x(0) x0
从状态方程，我们可以直观的看到，在这种情况下要使
~ x x ，即 lim x(t ) lim x(t )是不受我们控制的。 ˆ ˆ x t t
ˆ 引入 L( y y ) 反馈
u B + + ∫ x C y
∑
A
L + -
ˆ y
C
B
+ +
+
∫ A
ˆ x
4.4、全维观测器状态空间描述
引入反馈后的全维状态观测器，状态空间描述为： ˆ ˆ ˆ x ( A LC) x Ly Bu x(0) x , ˆ
Bo , Co
（5.83） 为能观子系统；
x 式中， xo 为能观子状态； o 为不能观子状态； Ao , Ao , B2 , 0 为不能观子系统。
T
T ˆ ˆ 垐 (2)构造状态观测器 。设 x xo , xo 为状态x的估值，L L1, L2 为调节 x 渐 近于x的反馈增益矩阵。于是得观测器方程：
全维状态观测器
1、观测器提出的工程背景和应用面向
(1)状态反馈在功能和实现上的矛盾
状态观测器的提出，概括的说，主要是为了解决状态反馈在性能上 的不可替代性和在物理上的不能实现性的矛盾。基于解决控制工程中出 现的这类矛盾的需要，推动了状态重构问题的研究，并最终导致状态观 测器理论的形成和发展。
(2)解决状态反馈物理构成的途径
从功能角度，可把观测器分为状态观测器和函数 观测器。
从结构角度
从结构角度，可把观测器分为全维观测器和降维 观测器。 今天，我们研究的是：全维状态观测器。
4、全维状态观测器：综合方案Ⅰ
我们考虑n维连续时间线性时不变被观测系 统：
x Ax Bu
y=Cx
，
x(0) x0
t≥0
其中， A
从控制理论的角度，获取系统状态信息以构成状态反馈的途径之一 是对受控系统状态进行重构。这种途径的思路是，采用理论分析和对应 算法的手段，导出在一定意义下等价于原状态的一个重构状态，并用重 构状态代替真实状态组成状态反馈。
2、状态重构的实质
状态重构的实质是，对给定确定线性时不变被观测 系统∑，构造与∑具有相同属性的一个系统即线性时 ˆ 不变系统 ，利用∑中可直接量测的输出y和输入u ˆ ˆ ˆ x 作为 的输入，并使 状态或其变换 在一定指标 提法下等价于∑状态x。等价指标的提法通常取为渐 近等价，即
(1)判能观 C Nwenku.baidu.com , 满秩。 AC
ˆ 由于1，＝－ ,10 10 2 ˆ 观测器特征多项式： ( ) I ( A LC ) f
l1
l2
1
6
2 (6 l1 ) 6l1 l2
举例
ˆ 期望f * ( ) ( 10)( 10) 2 20 100 14 比较得，l1 14, l2 16, L 16
。
要
求：
对所综合方案Ⅰ全维观测器，指定一组期望特征值
* * { 1 , 2 ,...,n } *
计算步骤
Step1：计算对偶系数矩阵
A AT , B C T
* * * Step2：对 ( A, B ) 和期望特征值组 {1 , 2 ,...,n } ，采用极点配置算法，计 算使
Ao t 0
t
（5.89）
证明：
( A L C )t 由于 lim e o 1 o 0 ，因此仅当 t
lim e Ao t 0
t
（5.90）
ˆ 成立时，才对任意 xo (0) 和 xo (0) 有：
ˆ lim( x0 x0 ) 0
t
Ao t
（5.91）
而 lim e 0 和 Ao 特征值均具有负实部等价。只有当∑=（A，B，C）的不能观子 t ˆ 系统渐近稳定时，才能使 lim( x x) 0 。定理等证。 t
举例
1 例：设受控系统的传递 函数为G0 s) （ , 设计实现 S ( S 6) 这个反馈的全维观测器设其极点为 10,10 ( ）。
0 1 0 x x 1u 解: 0 6 y 1 0x
举例
设计全维观测器的 L l1 选取L l2
证明
证明: (1)设∑=（A，B，C）不完全能观，可进行能观性结构分解。这里，不妨设 ∑=（A，B，C）已经具有能观性分解形式。即
x A x o ,A o xo A 21 0 Bo , B ,C Co , 0 Ao B2
（5.85）
证明
ˆ （3）确定使 x 渐近于x的条件。
由上式，得：
垐 x0 x0 ( Ao L1Co )( x0 x0 ) 垐 x0 x0 ( A21 L2Co )( x0 x0 ) Ao ( x0 x0 )
（5.86）
（5.87）
由（5.83）可知，通过适当选择 L1 ，可使得 ( Ao L1Co ) 的特征值均具有负实 部，因而有：
全维观测器方程 ˆ ˆ x ( A LC ) x Ly bu 14 1 14 0 ˆ x y u 16 6 16 1
垐 lim( x0 x0 ) lim e( Ao L1Co )t [ x0 (0) x0 (0)] 0
t t
（5.88）
同理，有式（5.87）可得其解为：
垐 x0 x0 e [ x0 (0) x0 (0)] e Ao (t ) ( A21 L2Co )[ x0 (0) x0 (0)]d
ˆ ˆ ˆ x Ax Bu L( y Cx)
或
（5.84）
ˆ ˆ x ( A LC) x Bu LCx
证明
~ ˆ 定义 x x x 为状态误差矢量，可导出状态误差方程：
x0 x0 ˆ xx x ˆ ( A LC ) x x x 0 0 ˆ ˆ ( Ao L1Co )( x0 x0 ) 垐 Ao ( x0 x0 ( A21 L2Co )( x0 x0 )
nn
, B
n p
, C
qn
，状态x不能直
接量测，输出y和输入u是可以利用的。
4、全维状态观测器：综合方案Ⅰ
对于n维被观测系统∑，我们构建其状态观测器的方法是：
基于被观测系统∑的系数矩阵A，B，C，按∑相同结构建立 ˆ 一个复制系统 。只要让他们的状态在一定的指标提法下等 价，既：
4.6、全维观测器极点配置
对于前面图上所示结构n维全维状态观测器，存在n×q反馈 矩阵L可任意配置观测器全部特征值，即对任给n个期望特征 * * 值 { 1 , 2 ,...,n } 可找到n×q矩阵L使成立: *
i ( A LC) , i 1,2,...,n
* i
充分必要条件为被观测系统（A，C）完全能观测。 证明：