初中数学课件垂直于弦的直径的逆定理ppt课件

合集下载

垂直于弦的直径的逆定理PPT课件

的两条弧.
（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦
所对的另一条弧.
（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
2020年10月2日
6
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
2020年10月2日
1
垂径定理三种语言
定理垂直于弦的直径平分弦,且平分弦所的两条弧.
C
A M└
B
●O
D
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
2020年10月2日
2
探究垂径定理的逆定理
• AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
过点M作直径CD.
右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
命题
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ①④⑤ ②④ ①③⑤ ②⑤ ①③④
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
• 你能发现图中有哪些等量关系? 与同伴说说你的想法和理由.
C
A
┗●
M
●O
D
2020年10月2日
由 ① CD是直径 B ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

垂直于弦的直径课件(共21张PPT)

C E A
O
D
B
三垂径定理的有关计算例2 如图，⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于
D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D， ∴
1 1 AD AB 8 4 (cm) 2 2
E
方程思想
A
D C
Hale Waihona Puke O ·设OC=xcm，则OD=x-2,根据勾股定理，得 x2=42+(x-2)2，解得 x=5，即半径OC的长为5cm.
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
7.23米
37米
解：如图，用AB表示主桥拱，设 AB所在圆的圆心为O，半径为R. 经过圆心O作弦AB的垂线OC 垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37m，CD=7.23m.
C B O A
D
定理及推论，总结：一条直线只需满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述条件中的任意两个条件，就能推出其它三个.
五学以致用
例2 赵州桥(图24.1-7)是我国隋代建造白石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高 (弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).
一三垂径定理的有关计算例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径 AB 为10cm, 16 61 cm. OE=6cm,则半径为 AB=
A
E
B
解析：连接OA， ∵ OE⊥AB， ∴∠AEO=90°，AB=2AE

人教版数学垂直于弦的直径PPT优秀课件1

D
. A
M
B
O
C
注意为什么强调这里的弦不是直径？
一个圆的任意两条直径总是互相平分但它们不一定互相垂直. 因此这里的弦如果是直径，结论不一定成立．
M A
C
D
B N
推论： C、AM=OM D、CM=DM
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AMA为⊙O上点C、D以外的任意一点。可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径
即CD所在直线是AA'的垂直平分线判断下列图形，能否使用垂径定理？
在Rt△OAM和Rt△OBM中, 已知：在⊙O中，CD是任意一条直径， A为⊙O上点C、D以外的任意一点。
1
2
3
4
请选择
1、在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB 为直径，则下列结论不正确的是（C ）
A、A⌒C=A⌒D B、B⌒C=B⌒D C、AM=OM D、CM=DM
直于弦，并且平分弦所对的两 (2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
难点：利用垂径定理进行计算或证明. 4、⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
条弧．难点：利用垂径定理进行计算或证明.
证明：过点A作AA'⊥CD,交⊙O于点A'，垂足为M,连结OA、OA'. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A'，即: 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 并且平分弦所对的两条弧. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
你能证明你的结论吗？
已知：在⊙O中，CD是任意一条

2412垂直于弦的直径(第一课时)精品PPT课件

2、如图：已知AB是⊙O的弦，OB=4cm，∠ABO=300，则O
到AB的距离是A____2_______cm，AB=___4______cm.
C
D
E
。
O
B 第1题图
。
O
A
H
B
第2题图
巩固练习：
3、半径为4 cm的⊙O中，弦AB=4 cm,
O
那么圆心O 到弦AB 的距离是 2 3cm.
A EB
4、⊙O的直径为10 cm，圆心O到弦AB的距离OE=3 cm，则弦AB的长是 8cm .
O A EB
提高练习：
5、如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，
则C点的坐标是 y (0, 5.)
C
AOM
Bx
D
6、如图， ⊙ O的半径OC＝10㎝, DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，求弦AB的长.
E
O
D
A
B
C
小结
１、圆的轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
C
·O
E B
问题：此定理的条件和结论分别是什么？
题设
结论
｝（1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
(1)过圆心 (2)垂直于弦
讨论
(3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧
思考：

新人教版《垂直于弦的直径》课件公开课PPT

·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相
互转化,形成整体,才能运用自如.
辨析
1.下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
C
C
O
A
E
B
D
c
A
D
B
O
O
A
E
B
D
C
A
O
D
B
C
O
A
O
A
E
B
C
B
辨析
2.如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
则下列结论中不成立的是（）
2、能正确区分平方根与算术平方根的意义；
O
已化知(同抛平物行线于C第1:三y=x条2-直2x线的或图同象垂如直图于所第示三,把条C1直的线图)，象沿y轴翻折,得到抛物线C2的图象,抛物线C1与抛物线C2的图象合称图象C3.
根弦据心刚距才：的圆证心明到我弦们的知距道离，点A和点A′是对称点．请同学们用对称的知识找出图中能够重合的几何图形．
温（馨3）提若示A：B=垂8 c径m定，理CD是=2圆cm中，一求个⊙重O要的的半定径理. ,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.
如剪图一，个A圆B形是纸⊙片O的，直沿径着，它C的D为任弦意，一C条D直⊥径AB对于折E，，则重下复列做结几论次中，不你成发立现的了是什（么？）由此你能得到什么结论？
∵不管m为何实数,总有(m-2)2≥0,∴Δ=(m-2)2+3>0,
2.运用方差解决实际问题的一般步骤是怎样的？
求⊙O的弦半心径．距：圆心到弦的距离 A OE· （A综A4解如22化2① (方(解121．.、.CC掌已))3上：图(抛法：与与设求同）如能握知所 (，物二 (BB原抛平11若图正CC点抛))述在线：计物设设相相行DA，确到物,⊙上如.B划线每每等等符于在区=直线O是果安C个个8吗吗合第⊙分1中线Cc否两排足足的？？条m1三O平，的:存条y，的球球顶中件条AA方=弦距DD在直xC工为为点，的直2根与与DA离-一线人xxAA=B点2线与元元BB的2B的的x点都有DD的P、或c算，，坐概相只相长m和P图A同y术使每每，标念等有等为C第人象垂为平得个个求,，吗一吗8并三.如直互方四c篮篮⊙并？个？m画条图于相根边球球O，会为,为出直其所第的垂的形为为圆度什什抛线坐示三半直意Ayy心量么么物元元平标C,条径且把义PO点？？线，，行为D直.相到C；到是C根根1，(线2等A的2直正,据 B据那的-)2的图的，线方√题题么图两(象距"的形意意这象3条沿离"距?得得;若)弦y为)离.轴77存，xx3。＝＝翻在cOm55折D,yy求．⊥，，,得出A44到B00点于xx抛＋＋PD的物22，00坐线yyO＝＝标EC⊥233;的若44A00C图不00于，，象存E解解，,在抛得得求,物说xx证线明＝＝：C理55100四由与，，边;抛yy＝＝形物77A00线D..O答CE2是：的正每图方个象形足合．球称为图5象0元C3，. 每个篮球为70元

垂直于弦的直径的应用课课件

应用
利用垂直于弦的直径来证明平面图形中的一些定理和性质
实例
利用垂直于弦的直径来计算平面图形的面积和周长
03
CHAPTER
垂直于弦的直径在实际问题中的应用
在建筑设计中的应用
建筑结构分析
垂直于弦的直径在建筑设计中可用于分析结构的稳定性。通过计算直径上的应力分布，可以评估结构的承载能力和安全性。
案例三
总结词
日常生活用品中的垂直于弦的直径应用主要体现在工具和家居用品的设计上。
详细描述
在日常生活中，许多工具和家居用品都利用了垂直于弦的直径原理。例如，剪刀、餐具等工具的设计中，通过垂直于弦的直径实现受力点的优化，提高使用舒适度和效率。在家居用品中，如椅子、桌子等，垂直于弦的直径有助于提高家具的稳定性和承重能力，保证使用的安全性和舒适性。
交通工具设计
在交通工具设计中，垂直于弦的直径也有广泛应用。例如，在汽车、火车等交通工具的车身和部件设计中，通过分析直径上的应力分布，可以优化车身结构和材料选择，提高其安全பைடு நூலகம்和经济性。
04
CHAPTER
垂直于弦的直径的应用案例分析
案例一：建筑设计中的垂直于弦的直径应用
总结词
建筑设计中的垂直于弦的直径应用主要体现在空间布局和结构稳定性方面。
实例
利用直径和垂直于直径的弦来计算圆的面积和周长
在三角形中的应用
01
02
03
定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
应用
利用垂直于弦的直径来证明三角形的中线定理和平行四边形定理
实例
利用垂直于弦的直径来计算三角形的面积和周长
在其他图形中的应用

《垂直于弦的直径》圆PPT课件

·O
或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股
定理求解.
A
C
B
垂径定理圆是轴对称图形
知识小结内容
推论
垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧; ⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
第二十四章圆 24.1 圆的有关性质
垂直于弦的直径
1
理解圆的轴对称性及垂径定理的推导.(难点)
学
习目
2
能初步应用垂径定理进行计算和证明. （重点）
标
3
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱.
观察思考把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
你发现了什么？由此你能得到什么结论？
1.半径为4cm的⊙O 中，弦AB=2 cm,
那么圆心O 到弦AB 的距离是
.
O
4
A1E B
2.⊙O 的直径为10 cm，圆心O 到弦AB的距离OE=4cm，
则弦AB 的长是 6cm .
O
54
A EB
达标练习
3.如图，⊙M 与x轴交于A，B 两点，与y轴交于C，D 两点，
(0, 若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是
a 2
2
例题变式
如图，在⊙O中，弦AB的长为 6 cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为 4 cm，
求⊙O的半径．
解：过圆心O 作OE⊥AB于E， A
,(垂径定理）
3E B
4
O
在Rt △ AOE 中 ,
方法总结

人教版初中数学垂直于弦的直径课文课件PPT

上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论(知二推三）
垂径定理的推论
① 直径过圆心 ③ 平分弦（不是直径）
C
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心
③ 平分弦
O E
④ 平分弦所对优弧 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
A
B
D ④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
垂径定理的推论
② 垂直于弦
① 直径过圆心
③ 平分弦
④ 平分弦所对优弧
C
⑤ 平分弦所对的劣弧
O E A
② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
B
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
D
② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对优弧
•
2.该类题目考察学生对文本的理解，在一定程度上是在考察学生对这类题型答题思路。因此一定要将这些答题技巧熟记于心，才能自如运用。
•
3. 结合实际，结合原文，根据知识库存，发散思维，大胆想象。由文章内容延伸到现实生活，对现实生活中相关现象进行解释。对人类关注的环境问题等提出解决的方法，这种题考查的是学生的综合能力，考查的是学生对生活的关注情况。
2
创设情境，导入新知
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥
拱的半径（精确到 0.1 m）．
创设情境，导入新知

《垂直于弦的直径》ppt课件人教版初中数学2

∴点A和点B关于CD对称.
③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦
则AE＝BE，CE＝DE。
6
C.
AE－CE＝BE－DE。 1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
即
R2=18.
在△OAM和△OBM中,
所以，AC＝BD
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形 ADOE是正方形．
∴△OAM≌△OBM.
O ⌒ ⌒ 解得：R≈27．9（m●）由 ① CD是直径 ④ 重O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
③ ⌒ ⌒ 问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧
必平分此弦所对的弧
解决求赵州桥拱半径的问题
⌒ ⌒ 如图，用ＡＢ表示主桥拱，设 No Image
ＡＢ所在圆的圆心为O，
半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC
与Ａ⌒AＢB
相交于点D，根据前面的结论，D 的中点，CD 就是拱高．
是AB
的中点，C是
在图中 AB=37.4，CD=7.2，
AD 1AB 13.4 71.7 8,
22
OD=OC－CD=R－7.2
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
C
OA2=AD2+OD2
A
D
B
即
R2=18.72+（R－7.2）2 R
解得：R≈27．9（m）
O
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
活动三练习

九年级数学24.1.2《垂直于弦的直径》ppt课件

注意
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备
〔1〕过圆心〔2〕垂直于弦〔3〕平分弦〔4〕平分弦所对的优弧〔5〕平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。
例1.
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O
到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
解： ∵OE过圆心O, OEAB
主桥拱半径
活动三
解半
决径
求的
赵问
州桥
题赵州桥的主桥
拱是圆弧形，它的
C
跨度〔弧所对的弦
的长〕为米，拱高 A
D
B
〔弧的中点到弦的
r
距离〕为米，你能
•
O
求出赵州桥主方桥程拱思想
的半径吗？
课堂小结
1.圆的轴对称性：圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线
都是它的对称轴。
2.垂径定理及推论：
定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。〔推论：知二得三〕
24.1.2 垂径于弦的直径
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实践探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？
符合
议一议：
如图１，当直径ＣＤ平分弦ＡＢ时，ＣＤ与ＡＢ垂直吗？ A⌒C=B⌒C,A⌒D=⌒BD吗？如果弦ＡＢ也是
直径，上述结论是否成立？
C
推论:平分弦(不是直径)的直径垂