Logistic人口阻滞增长模型

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(完整版)数学建模logistic人口增长模型

Logistic 人口发展模型一、题目描述建立Logistic 人口阻滞增长模型，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。

分析那个时间段数据预测的效果好?并结合中国实情分析原因。

表1 各年份全国总人口数（单位：千万）二、建立模型阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有：0)0(,)(x x x x r dt dx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量mx ，当mx x =时人口不再增长，即增长率)(=m x r ，代入（2）式得m x rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解得：rt mme x x x t x --+=)1(1)(0（5）三、模型求解用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005;x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988];x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756];dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1);r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和rx0=61.5;f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b');title('1954-2005年实际人口与理论值的比较') x2010=f(2010,xm,r,x0) x2020=f(2020,xm,r,x0) x2033=f(2033,xm,r,x0)解得：x(m)= 180.9516(千万)，r= 0.0327/(年),x(0)=61.5得到1954-2005实际人口与理论值的结果：根据《国家人口发展战略研究报告》我国人口在未来30年还将净增2亿人左右。

人口增长的Logistic模型分析及其应用

人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。

关键词：人口Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。

这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。

记t时刻的人口总数为x(t)。

初始时刻t=0时的人口为x0。

人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。

那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。

于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。

在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。

然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

历史上的人口统计数据也表明，当一个国家的社会稳定时，一定时期内马尔萨斯模型是符合实际的，但是如果时间比较长或社会发生动荡时，马尔萨斯模型就不能令人满意了。

原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。

这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。

最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。

由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。

xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。

因此就有，这个模型就是Logistic 模型。

为表达方便，Logistic方程常被改写成：由于Logistic模型综合考虑了环境等因素对人口增长产生的影响，因此是一种被广泛应用的比较好的模型。

7.2.2-Logistic人口增长模型

Logistic人口增长模型实验目的●熟悉MATLAB解微分方程数值解的函数ode23的使用方法●了解Logistic人口增长模型比利时数学家Verhulst 在1844-1845年研究人口增长时指出：受自然资源，环境条件等因素限制，人口数量在初始阶段接近指数增长，当逐渐变得饱和时增速变缓，最终达到稳定后增长停止。

()r d N dt N N =r(N)表示人口数量为N 时的增长率(1)m d r N N N d N t =-N m 表示环境能供养的人口总量的上界，r 为常数变化率。

Logistic 方程：Logistic 人口增长模型微分方程表示：r(N)是减函数比较Malthus 模型：dN N dt r r 为常数增长率Logistic 模型中，r(N)是N 的线性减函数。

应用：Logistic 方程广泛应用于化学，统计学，经济学和神经网络等。

某国2000年总人口为12.674亿，假设受环境限制人口上限为20亿，人口变化率为0.0173。

根据Logistic 人口增长模型，总人口数满足微分方程：(1)(2000)12.670.0174320dN N N dt N ⎧=-⎪⎨⎪=⎩程序文件求解：plot(t,N)function logistic [t, N]=ode23(@fun,[2000,2050],12.674);function vfun=fun(t,N)vfun=0.0173*(1-N/20).*N;(1)md r N N N d N t =-Logistic 方程：示例：图1Logistic人口增长模型图2Malthus模型和Logistic人口增长模型题目中有关Logistic 人口增长模型的参数都是给定的。

如果已有一组人口数据，能否根据这些数据估计r 和N m ？思考：(1)m d r N N N d N t =-。

基于logistic模型对中国未来人口的预测分析

基于logistic模型对中国未来人口的预测分析中国是世界上人口最多的国家，人口问题一直是中国社会经济发展的重要因素之一。

通过对中国未来人口的预测分析，可以为政府制定相关政策提供依据，以应对可能出现的社会问题。

logistic模型是一种常用的人口预测模型，它基于数学和统计方法，能够通过对历史人口数据的分析，预测未来的人口趋势。

该模型假设人口增长具有一个饱和度，即人口增长速度随着人口数量的增加逐渐减缓，并最终趋于稳定。

要进行中国未来人口的预测分析，首先需要收集和整理大量的历史人口数据，包括人口数量和相关的社会经济指标。

然后，可以利用logistic模型对这些数据进行拟合，得出一个适合中国人口增长情况的数学模型。

logistic模型的数学表达式为：P(t) = K / (1 + A * e ^ (-B * t))P(t)表示时间t对应的人口数量，K表示人口达到饱和时的最大值，A和B是待定参数，e表示自然对数的底。

对于中国未来人口的预测分析，需要首先确定人口的饱和最大值K。

这可以通过对历史数据的分析，结合中国的社会经济发展情况，来估计中国的人口饱和状态。

考虑到资源的限制和生活质量的改善，人口不可能无限制地增长。

相关的政策和社会变化也需要考虑在内。

确定了人口饱和最大值后，可以使用历史数据拟合logistic模型，得到模型的参数A 和B。

然后，可以根据参数和已有的时间数据，预测未来的人口趋势。

logistic模型的预测结果需要进行验证和修正。

由于人口预测是一个复杂的问题，涉及到许多因素，如经济发展、社会政策、生育率和死亡率等，因此需要综合考虑其他相关的因素。

不同地区之间的差异也需要进行分析和预测。

在进行中国未来人口的预测分析时，还需要考虑到数据的可靠性和准确性。

历史数据的收集和整理需要尽可能的全面和准确，以提高模型的预测效果。

使用多种数据源并进行数据验证可以提高模型的准确性。

基于logistic模型进行中国未来人口的预测分析可以为政府决策提供参考依据，但需要注意模型的合理性和数据的可靠性，以及综合考虑其他相关因素。

人口增长模型的确定

题目：人口增长模型的确定摘要人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。

本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。

通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。

关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测一、问题重述1.1 问题背景1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。

表1 人口记录表1.2 问题提出我们需要解决以下问题：1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。

2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。

3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。

二、问题分析首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。

1780180018201840186018801900192019401960198050100150200250图1 1790到1980年的美国人口数据图从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。

因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。

三、问题假设为简化问题，我们做出如下假设：（1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响；（2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况；（3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动；（4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信；（5）假设人口净增长率为常数。

阻滞增长模型matlab代码

阻滞增长模型（Logistic Growth Model）是一个常见的数学模型，用于描述在有限资源情况下一个种群的增长模式。

在 MATLAB 中，阻滞增长模型可以用如下代码实现：
matlab复制代码
% 定义参数
r = 1; % 增长率
K = 100; % 环境容量
y0 = 10; % 初始种群数量
% 定义时间跨度
tspan = [050];
% 定义阻滞增长模型
logistic = @(t, y) r*y*(1 - y/K);
% 使用 MATLAB 的 ODE45 解决常微分方程
[t, y] = ode45(logistic, tspan, y0);
% 画图
plot(t, y, '-');
xlabel('Time');
ylabel('Population');
title('Logistic Growth Model');
这段代码首先定义了阻滞增长模型的参数：增长率 r、环境容量 K 和初始种群数量 y0。

然后，它定义了时间跨度 tspan 和阻滞增长模型函数 logistic。

最后，它使用 MATLAB 的 ode45 函数来解决常微分方程，并使用 plot 函数画出了结果。

Logistic人口阻滞增长模型

Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有：0)0(,)(x x x x r dtdx== （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 )0,0()(>>-=s r sxr x r （2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得mx rs =，于是（2）式为)1()(mx x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dtdxm （4）解方程（4）可得：rtm me x xx t x --+=)1(1)(0（5）二、模型的建立我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1总人口 100.1 101.654 103.008 104.357 105.851 107.5 109.3 111.026 112.704年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 总人口 114.333 115.823 117.171 118.517 119.850 121.121 122.389 123.626 124.761 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 总人口 125.786 126.743 127.627 128.453 129.227 129.988 130.7561、将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。

人口增长的Logistic模型分析及其应用资料讲解

人口增长的L o g i s t i c模型分析及其应用人口增长的Ｌｏｇｉｓｔｉｃ模型分析及其应用作者：熊波来源：《商业时代》2008年第27期◆中图分类号：C923 文献标识码：A内容摘要：本文运用迭代的方法计算出人口极限值xm和人口增长率r，用 Logistic模型预测了我国人口未来的发展趋势，并根据预测的结果提出了相应的对策与建议。

关键词：人口 Logistic模型迭代人口增长问题相关研究最早注意人口问题的是英国经济学家马尔萨斯，他在1798 年提出了人口指数增长模型。

这个模型的基本假设是：人口的增长率是一个常数。

记t时刻的人口总数为x(t)。

初始时刻t=0时的人口为x0。

人口增长率为r，r表示单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。

那么，时刻t到时刻t+Δt内人口的增量为x(t+Δt)-x(t)=rx(t)Δt。

于是x(t)满足下列微分方程的初值问题，他的解为x(t)=x0ert。

在r>0时，人口将按指数规律增长。

但是不管生物是按算术级数、几何级数还是按指数曲线变化，随着时间增长生物数量将趋于无穷大。

然而，实际情况却不然，实验指出在有限的空间内，一开始生物以较快速度增长，到一定时期生物增长量就会减缓，生物数量趋于稳定。

原因是随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长开始起阻滞作用，因而人口增长率不断下降。

基于以上考虑荷兰生物学家Verhaust对原人口发展模型进行了改造，于1838 年提出了以昆虫数量为基础的Logistic 人口增长模型。

这个模型假设增长率r是人口的函数，它随着x的增加而减少。

最简单的假定是r是x的线性函数，其中r称为固有增长率，表示x→0时的增长率。

由r（x）的表达式可知，x=xm时r=0。

xm表示自然资源条件能容纳的最大人口数。

中国人口增长预测模型

中国人口增长预测模型摘要本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。

最后提出了有关人口控制与管理的措施。

模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1980年到2005年总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。

得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型，拟合的曲线的可决系数为0.9987。

运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.70172亿。

模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率1.8，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。

首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到14.2609亿人，在2020年达到14.9513亿人，在2023年达到峰值14.985亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。

其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。

得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达4.45亿人，比重达33.277%；65岁以上老年人口达3.51亿人，比重达25.53%；人口抚养呈现增加的趋势。

再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。

微分方程讲座-人口增长模型

Malthus模型呈现的是J型增长，只适应于短期内，并无外界因素影响。而Logistic模型呈现S 型，适应于中长期且有外界因素影响。
Malthus模型和Logistic模型的推广
Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。
r
p
r
p t
(r,
t)
p(r,
t
)
p(r,0) p0 (r), r 0 ~已知函数（人口调查）
p(0,
t
)
f
(t),
t0
~生育率（控制人口手段）
男女性别比
在增大
生育率
生育数
只生一个
育龄区间
晚婚、晚育
人口增长模型的总结
基于一个假设,形成了基础模型Malthus模型,再通过对现实世界分析,改进模型引进了阻滞项,从而得到了Logistic模型.
p
P(r,t)
方程
rm ~ 最高年龄
F (0, t) 0, F (rm , t) N (t)
p(r, t) F r
0 F(r0,t) r0
r rm
t,年dr龄]人[r数, r
t r
dt,年龄[r dr1 dr1 dr]人数
,
dt
dr1
死(t, t亡人dt数)内
p(r, t)dr p(r dr1,t dt)dr (r,t) p(r,t)drdt
马尔萨斯模型人口预测图
11
x 10 3.5
马尔萨斯模型人口预测
3
2.5
N/人
2
自然资源限制

matlab阻滞增长模型

matlab阻滞增长模型阻滞增长模型（logistic growth model）是一种描述生物种群或其他有限资源的增长情况的数学模型。

该模型由比利时数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔克尔特（Pierre François Verhulst）于1838年提出，也因此又被称为韦尔克尔特方程（Verhulst equation）。

阻滞增长模型的基本假设是，种群在没有限制的情况下以指数形式增长，但由于资源有限和环境压力的影响，种群的增长会受到抑制，最终趋向于一种平衡状态。

这种平衡状态被称为种群的饱和密度（carrying capacity），是种群所处环境所能支持的最大数量。

韦尔克尔特方程的数学表示如下：dN/dt = rN(1 - N/K)其中，N表示种群数量，t表示时间，r表示种群增长速率，K表示饱和密度，dN/dt表示单位时间内种群数量的变化率。

该方程的右边第一项rN表示无限制情况下种群的增长率，它是与种群数量成比例的。

但第二项(1 - N/K)则表示种群数量距离饱和密度的距离，当种群数量接近饱和密度时，该项的值趋向于零，从而抑制种群的增长。

根据韦尔克尔特方程，当种群数量小于饱和密度时，增长率为正，种群数量会增加；当种群数量大于饱和密度时，增长率为负，种群数量会减少。

只有当种群数量等于饱和密度时，增长率为零，种群数量保持稳定。

阻滞增长模型的应用十分广泛。

在生态学中，它可以用来描述不同物种在共享有限资源的情况下的种群动态。

在流行病学中，它可以用来描述传染病在人群中的传播情况。

在经济学中，它可以用来描述市场需求和供给之间的关系。

阻滞增长模型的一个典型例子是兔子的繁殖。

假设有一只野兔种群，最初只有几只兔子。

由于资源丰富和适宜的生存环境，兔子以每个月增加50%的速度繁殖。

然而，随着时间的推移，资源开始减少，生存环境变得更加拥挤，种群的增长速度会逐渐减慢。

最后，当兔子的数量接近草原所能支持的最大兔子数量时，增长速度逐渐趋向于零，种群达到饱和状态。

Logistic人口阻滞增长模型

Logistic人口阻滞增长模型Logistic 人口阻滞增长模型一、模型的准备阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。

若将r 表示为x 的函数)(x r 。

则它应是减函数。

于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1）对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即)0,0()(>>-=s r sxr x r（2）设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得mx r s =，于是（2）式为)1()(m x x r x r -= （3）将（3）代入方程（1）得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0()1(x x x x rx dt dx m （4）解方程（4）可得： rtm me x x x t x --+=)1(1)(0 （5）二、模型的建立我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1表1 各年份全国总人口数（单位：千万）年份 1954 1955 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962结果：2、将1963年看成初始时刻即0=t ，以2005年为32=t 作为终时刻。

运用Matlab 编程得到相关的参数0.0484 ,151.4513 ==r x m ，可以算出可决系数9994.02=R 得到中国各年份人口变化趋势的另一拟合曲线：te t x 0484.0)11.694513.151(14513.151)(--+=（7）根据曲线（7）我们可以对2010年（47=t ）、2020年（57=t ）、及2033年（70=t ）进行预测得（单位：千万）：145.5908 )70(,140.8168)57(,134.9190 )47(===x x x结果分析：1963年-1979年其间，人口的增长基本上是按照自然的规律增长，特别是在农村是这样，城市受到收入的影响，生育率较低，但都有规律可寻。

基于改进的Logistic阻滞增长模型的人口预测研究

x
r(
x)=r 1xm
即建立 Log
i
s
t
i
c阻滞增长模型为:

x
dx
=rx 1xm
dt
(
7)
(
8)
滞作用。随着 x 的增大,关于人口数量的固有增长
趋势越大,同时自然资源与环境条件的阻滞作用越
明显,二者共同作用于人口增长。
得:
应用分离变量法求解 Log
2.
1 向后差分线性最小二乘参数估计
根据国家统计局官网统计数据,取 1953—2020
2024 年第 2 期
均相对误差 De
l
t
a=0.
016,拟合效果较好。Log
i
s
t
i
c
阻滞增长模型的向后差分线性最小二乘参数估计如
图 1 所示,预测 2030 年人口总数为 148969 万人。
基于向后差分的线性最小二乘估计对 Log
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
年份
年末总
人口/万
1953 58796 1970 82992 1987 109300 2004 129988
1954 60266 1971 85229 1988 111026 2005 130756
1955 61465 1972 87177 1989 112704 2006 131448
人口预计将达到 145353 万人。根据中国人口预测数据,建议政府在未来的经济和能源规划中,加快推
进能源结构转型,促进经济可持续发展。

阻滞增长模型实验报告(3篇)

第1篇一、实验目的1. 理解阻滞增长模型的基本原理和数学表达式。

2. 通过实验验证阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化。

3. 探讨阻滞增长模型在实际问题中的应用，如人口增长、生物种群数量变化等。

二、实验原理阻滞增长模型，也称为逻辑斯蒂增长模型，是一种描述系统增长受资源限制和内在增长速度影响的理论模型。

该模型的基本假设是，系统的增长速度随着系统规模的增加而逐渐降低，最终趋于稳定。

数学表达式如下：\[ \frac{dx}{dt} = r \cdot x \cdot (1 - \frac{x}{K}) \]其中：- \( x \) 为系统规模或数量；- \( t \) 为时间；- \( r \) 为固有增长率，表示系统在没有限制时的增长速度；- \( K \) 为环境容纳量，即系统可以达到的最大规模。

三、实验材料与工具1. 实验材料：计算机、绘图软件（如MATLAB、Python等）。

2. 实验工具：阻滞增长模型数学模型、实验数据。

四、实验步骤1. 参数设置：根据实验目的，设置不同的初始条件（如初始规模 \( x_0 \)）和参数值（如 \( r \)、\( K \)）。

2. 模型构建：使用计算机软件建立阻滞增长模型，输入参数和初始条件。

3. 模型运行：运行模型，观察并记录系统规模随时间的变化情况。

4. 数据分析：对实验数据进行处理和分析，绘制系统规模随时间变化的曲线图。

5. 结果讨论：根据实验结果，讨论阻滞增长模型在不同参数设置下的动态变化特点。

五、实验结果与分析1. 实验结果：通过实验，我们得到了不同参数设置下系统规模随时间的变化曲线。

结果表明，随着时间推移，系统规模逐渐增长，但增长速度逐渐降低，最终趋于稳定。

2. 结果分析：- 当 \( r \) 值较大时，系统规模增长速度较快，但最终仍会趋于稳定。

- 当 \( K \) 值较大时，系统规模增长速度较慢，但最终仍会达到稳定状态。

- 初始条件 \( x_0 \) 也会对系统规模的增长速度和最终稳定状态产生影响。

阻滞增长模型

阻滞增长模型（Logistic 模型） [1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件所能容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型：当m x x=时，增长率应为0，即()m x r =0，于是mxrs =，代入()sx r x r -=得：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解：解方程组（4）得()rtm me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [4] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列. 也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+t=0,1,2, (6)用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第图1-2 x~t 曲线5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较[5] 模型应用：现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; 实际为281.4 (百万).x(2010)=297.9；实际为310.2 (百万).也可用公式（5）进行预测.Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量).。

阻滞模型资料

- 当前位置：代数与分析专题研究>>专题五>>学习内容>>logistic 模型（阻滞增长模型）§5 logistic 模型（阻滞增长模型）前面我们主要讨论的是一阶线性差分方程模型，本章将通过几个具体的实际问题，例如人口问题、传染病问题等，介绍一阶非线性差分方程模型。

进一步体会数学建模的思想。

这些模型是解决日常生活和生产实践中最基本的模型。

由于有了计算机技术，使得非线性方程理论和应用得到了飞跃的发展。

1人口模型1.1马尔萨斯人口模型情景描述人口问题是人类一个很重要的研究课题。

对人口数量的估计和发展趋势的预测是各国制定一系列相关政策的基础。

建立模型 1模型假设英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，做了一个基本假设：人口的相对增长率是常数。

在这个基本假设下，于1798年提出了著名的人口指数增长模型。

2模型建立设xn 表示第n 年的人口数量，因为人口的相对增长率是常数，记此常数为，则有：＝，即：xn+1 =（1+）xn 。

设k=1+,我们通常把：xn+1 =kxn 称作人口指数增长模型。

模型分析用上述人口模型计算出来的结果，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据相吻合。

但是由于指数增长很快，当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，发现存在相当大的差异。

1.2 模型修正―logistic模型情景描述用上述模型计算出来的人口数据和实际人口数据有差异，其主要原因是，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著。

如果当人口较少时（相对于资源而言），人口的相对增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量时，相对增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少了。

模型修正为了使人口预报特别是长期预报更符合实际情况，我们需要修正一下指数增长模型。

建立模型1 模型假设在实际环境中，人口数{xn}会有一个最大值，假设最大值为M。

人口指数增长模型和Logistic模型学习资料

表1 美国人口统计数据1860 1870 1880 1890 1900 1910 指数增长模型：rt e x t x 0)(=Logistic 模型：()011mrtm x x t x e x -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭解：模型一:指数增长模型。

Malthus 模型的基本假设下，人口的增长率为常数，记为r ，记时刻t 的人口为 )(t x ，（即)(t x 为模型的状态变量）且初始时刻的人口为0x ，因为⎪⎩⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx由假设可知0()rt x t x e = 经拟合得到：}2120010120()ln ()ln ,ln (),,ln rt a y a t a x t x e x t x rt r a x e y x t a r a x =+=⇒=+⇒=====程序：t=1790:10:1980;x(t)=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ];y=log(x(t));a=polyfit(t,y,1) r=a(1),x0=exp(a(2)) x1=x0.*exp(r.*t); plot(t,x(t),'r',t,x1,'b') 结果：a = 0.0214 -36.6198r= 0.0214 x0= 1.2480e-016所以得到人口关于时间的函数为：0.02140()t x t x e =，其中x0 = 1.2480e-016，输入：t=2010;x0 = 1.2480e-016; x(t)=x0*exp(0.0214*t)得到x(t)= 598.3529。

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