分类讨论(学案)

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集合中常见的参数问题学案

集合中常见的参数问题学习目标1.掌握集合的概念，子集的概念与集合间的关系及运算。

2.掌握解决常见的几类集合参数问题的解决方法。

3.掌握集合语言与集合思想，能运用数形结合，分类讨论等数学思想解决各类参数问题。

知识探究一、元素个数问题求参数例1.已知集合{}R a x ax x A ∈=+-=,0232，若集合A 中不含任何元素，则实数a 的取值范围为________；若集合A 中只有一个元素，则实数a =_____；若集合A 中至少有一个元素，则实数a 的取值范围为________。

变式练习1.（1）已知集合{}012|2=++=x ax x A ，A 中至多有一个元素，求a 的取值范围。

（2）集合{}{}{},94|,012|,0|22-≤≤==-+-==++=a x a x C a x x x B a x x x A 若A,B,C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围。

二、有限集的子集问题求参数例2.已知集合{}，0232=+-=x x x A 且集合{}，02=-=mx x B 若A B ⊆，则实数m 的取值范围为________。

变式练习2.已知集合{}220A x x x =-=，集合{}2220B x x ax a a =-+-=，x R ∈. （1）若A B B = ,求实数a 的值；（2）若A B B = ，求实数a 的取值范围.（3）若A B A ≠⋃,求实数a 的取值范围三．无限集子集问题求参数例3.已知{}53<<-=x x A ，{}a x x B <=，若满足B A ⊆，则实数a 的取值范围为________。

变式练习 3.已知{}52≤≤-=x x A ，{}121-≤≤+=m x m x B ，若满足A B ⊆，则实数m 的取值范围为________。

知识方法总结集合参数问题须注意：知识巩固1.设A={x|1＜x ＜2}，B={x|x-a ＜0}，若A ∩B=Φ，则a 的取值范围是_____．2.设全集U=R ，集合M={x|2a-1＜x ＜4a ，a ∈R}，N={x|1＜x ＜2}，若N ⊆M ，则实数a 的取值范围是_____．3.设集合A ＝{－1,1}，集合{}02|2=+-=b ax x x B ，若φ≠B ,且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．。

第63课第二轮总复习(2)分类讨论思想

1 1 x2
1 2
，现有 a(a＞0)桶水，可以清洗一次。也可以把水平均分 2 份后清洗两
次，试问哪种方；案上残留的农药比较少？说明理由
3.田忌赛马是一个为人熟知的故事，传说战国时期，齐王与田忌个有等级为上、中、下的三匹马，同等级的马中，齐王的马比田忌的马强，有一天，齐王要与田忌塞马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹马，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，看样子田忌似乎没有什么胜的希望，但是田忌的谋士了解到主人的上、中等马分别比齐王的中、下等马要强………… （1）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵比赛，那么田忌的马如何出阵，田忌才能取胜？（2）如果齐王将马按上、中、下的顺序出阵，而田忌的马随即出阵比赛，田忌获胜的概率是多少？（要求写双方对阵的所有情况）
见学案
4
(2)已知矩形的长大于宽的 2 倍，周长为 12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于
1 ， 2
设梯形的面积为 S，梯形中较短的底的长为 x，试写出梯形面积 S 关于 x 的函数关系式，并指出自变量 x 的取值范围．
布置作业教后记
（4）一次函数 y=kx+b 的自变量取值范围是-3 小于等于 x 小于等于 6，相应函数值的取值范围是-5 小于等于 y 小于等于 2。则这个一次函数的解析式为＿＿＿＿ 5.选择：（1）若 x2+4(m-2)x+16 是完全平方式，则 m 等于（） A.6 B. 4 C. 0 D. 4 或 0 （2）若圆 O 所在平面内的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离为 a,最小距离为 b(a＞b)，则此圆的半径为（） A.
B C
8.依法纳税是每个公民应尽的义务，从 2006 年 1 月 1 日起，个所得税的起征点从 800 元提到 1600 元。月工资个人所得税税率表(与修改前一样): (1)某同学父亲 2006 年 10 月工资是全月应纳税所得额税率(%) 3000 元（未纳税），问他要纳税多不超过 500 元的部分 5 少？超过 500 元至 2000 元的部分 10 (2)某人 2006 年 8 月纳税 150.1 元，那超过 2000 元至 5000 元的部分 15 么此人本月的工资（未纳税）是多 …… …… 少元？此所得税法修改前少纳税多少元？ (3)已知某人 2006 年 9 月激纳个人所得税 a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）是多少元？

人教版初中数学七年级上册《线段与角的分类讨论》

合作探究
变式1.1：若点A、B、C在同一直线上，且 AB＝10 M是 C㎝，BC＝4㎝，点 M M C AC中点，求线段BM的长.
合作探究
变式2.1：∠AOB＝80°，∠BOC＝ 20°， 1.自主完成题目编写（ 1分钟）
2.组长选出代表本组的题目则∠ 3.抽选一组题目让全班挑战大小是__________.
合作探究
变式1.1：点C在直线AB上，且AB＝ 10㎝，BC＝4 ㎝，点M是AC中点，求 C C 线段AM的长.
合作探究
变式1.3：点C在直线AB上，且AB＝ 10㎝， BC ＝ 4 ㎝，点 M 、 N 分别是 AB 、 M N C BC中点，求线段MN的长.
MC N
合作探究
变式2.2：∠AOB＝80°，∠BOC＝ °， 1.自主完成题目编写（ 1分钟）
线段与角的分类讨论
陈可晴蔡智键
课前汇总作业优秀
李芷晴
蔡洁颖
课前汇总整体情况

网上任务一：
6

网上任务二：
合作释疑
若点C是线段AB上的点，且AB=10，
BC＝3，则AC＝（
A
A.7
C.7或13
B.13）ຫໍສະໝຸດ AC=AB－BC=7CB
D.10或13
合作释疑
己知线段AB＝12cm，在直线AB上画线段AC＝4cm，则BC的长为（） A.8cm
2.组长选出代表本组的题目则∠ 3.抽选一组题目让全班挑战大小是__________.
What？什么分类讨论？
图形位置 When？什么时候用分类讨论？不确定时
小结WWH
How？怎么用分类讨论？
确定分类对象确定分类数量描述（图示）分类情况

学案1：4.3.2　第2课时　等比数列前n项和公式的应用

4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用【新知初探】等比数列前n项和的性质(1)性质一：若S n表示数列{a n}的前n项和，且S n＝Aq n－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{a n}是数列．(2)性质二：若数列{a n}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝.②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则S奇－a1S偶＝q.③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等比数列．思考：在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)且前n项和S n＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{a n}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2．()(2)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1－1，则a＝1．()(3)若数列{a n}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若S n为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和且S n ＝3n ＋1－A ，则A ＝( )A ．－13B ．13C ．－3D ．3 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．18B ．－18C ．578D ．558 4．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________.5．在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，则此数列的项数为________．【合作探究】[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？【例1】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.[母题探究]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”，求S 4n 的值．2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“公比q ＝2，S 99＝56”，求a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值．[规律方法]1．在涉及奇数项和S 奇与偶数项和S 偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0)． 2．等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．类型二分组求和法【例2】在各项均为正数的等比数列{}a n 中，已知a 1＝2，8a 2＋2a 4＝a 6.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .[规律方法]分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤[跟进训练]1．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【例3】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[规律方法]与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.[跟进训练]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝5×3n －3，b n ＝a n ()4n 2－13n. (1)证明：数列{a n －2×3n }为常数列；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【课堂小结】1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．【学以致用】1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．322．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶33．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．【参考答案】【新知初探】等比数列前n 项和的性质(1)等比(2)①q思考：[提示] 由题知{a n }是等比数列，∴3n 的系数与常数项互为相反数，而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 【初试身手】1．[提示] (1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．D [根据等比数列{a n }的前n 项和公式知S n ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q －1q n －a 1q －1(q ≠1)，又S n ＝3n ＋1－A ＝3·3n －A ，得a 1q －1＝3＝A ，故选D.] 3．A [法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝(S 6－S 3)2S 3＝18.故选A. 法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8×⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.] 4．2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 5．5 [设此数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q ⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．] 【合作探究】[探究问题]1．[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ，∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m . 同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．2．[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q . 【例1】(1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28.(2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2. 又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.][母题探究]1．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2，14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30. 2．[解] 法一：∵S 99＝a 1(1－q 99)1－q＝56，q ＝2， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 96)＝a 1q 2·1－(q 3)331－q 3＝32. 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，则b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝56，∴b 1(1＋q ＋q 2)＝56，∴b 1＝561＋2＋4＝8， ∴b 3＝b 1q 2＝8×22＝32，即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝32.【例2】[解] (1)设等比数列{}a n 的公比为q (q >0)，∵8a 2＋2a 4＝a 6，∴8a 1q ＋2a 1q 3＝a 1q 5，又a 1＝2，∴8＋2q 2＝q 4.解得：q 2＝4，∴q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)知：b n ＝2n ＋2n ，∴T n ＝()21＋2＋()22＋4＋()23＋6＋…＋()2n ＋2n＝()21＋22＋23＋...＋2n ＋()2＋4＋6＋ (2)＝2()2n －1＋n ()2n ＋22＝2n ＋1＋n 2＋n －2. ∴数列{b n }的前n 项和为T n ＝2n ＋1＋n 2＋n －2，n ∈N *.[跟进训练]1．[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎫2n ＋12n ＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1 ＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1 ＝n 2＋n －12n ＋1＋12.【例3】[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N *，k ≥5}．[跟进训练]2．[解] (1)当n ＝1时，S 1＋a 1＝5×3－3＝12，所以a 1＝6；当n ≥2时，由S n ＋a n ＝5×3n －3①，得S n －1＋a n －1＝5×3n －1－3②，①－②得，2a n －a n －1＝10×3n －1，所以a n －2×3n ＝12(a n －1－2×3n －1)，因为a 1＝6，所以a 1－2×31＝0，所以a n －2×3n ＝0，故数列{a n －2×3n }为常数列．(2)由(1)知，a n ＝2×3n ，所以b n ＝2×3n (4n 2－1)3n ＝24n 2－1＝12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 【学以致用】1．C [由S 6－S 4＝a 6＋a 5＝6a 4得，(q 2＋q －6)a 4＝0，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 2·23＝2×8＝16，故选C.]2．A [在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.] 3．－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63. 法二：n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，∴S n ＝2S n －1－1，可得S n －1＝2(S n －1－1)．又S 1－1＝－2.∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴S 6－1＝－2×25＝－64，即S 6＝－63.]4．8 [设该等比数列的项数为2n ，依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇，∵S 偶＝2S 奇，∴q ＝2. 又中间两项为a n 和a n ＋1，则a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24， ∴2n －1＝8＝23，∴n －1＝3，解得n ＝4，∴2n ＝8.]5．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。

高中数学解题分类讨论教案

高中数学解题分类讨论教案
一、教学目标：
1.了解解题分类讨论的基本概念；
2.掌握解题分类讨论的基本方法；
3.提高学生在数学解题过程中的思维能力和解题技巧。

二、教学内容：
1.解题分类讨论的概念；
2.解题分类讨论的方法；
3.练习题目讨论。

三、教学重点：
1.掌握解题分类讨论的基本方法；
2.能够运用解题分类讨论的方法解决实际问题。

四、教学难点：
1.理解解题分类讨论的概念；
2.能够灵活运用解题分类讨论的方法解决复杂的数学问题。

五、教学过程：
1.导入：通过一个生活中的实际问题引入解题分类讨论的概念。

2.讲解：介绍解题分类讨论的基本概念和方法，引导学生理解解题分类讨论的重要性和应用价值。

3.练习：组织学生进行一些练习，让他们在实践中掌握解题分类讨论的方法。

4.讨论：学生分组讨论解决一些数学问题，老师给予指导和点评。

5.总结：总结本节课的学习内容，强调解题分类讨论在数学解题过程中的重要作用。

六、课堂小结：
通过本节课的学习，我们了解了解题分类讨论的概念和方法，掌握了解题分类讨论的基本技巧。

希望同学们能够在今后的学习和实践中，灵活运用解题分类讨论的方法，提高解题能力和思维水平。

高三数学复习学案：第3讲分类讨论思想

1．分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．2．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．3．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．变式训练1 设0<x <1，a >0且a ≠1，比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小．题型二根据公式、定理、性质的条件分类讨论例2 设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0 (n ＝1,2,3，…)．(1)求q 的取值范围；(2)设b n ＝a n ＋2－32a n ＋1，记{b n }的前n 项和为T n ，试比较S n 与T n 的大小．变式训练2 在等比数列{a n }中，设前n 项和为S n ，x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )，求证：x ＝y .题型三根据变量式参数的取值情况分类讨论例3 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．变式训练3已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R)，其中a >0. (1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．第3讲分类讨论思想(推荐时间：60分钟)一、填空题1．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，那么a 的取值范围是____________．2．过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若AB ＝4，则这样的直线有________条．3．设集合A ＝{x |x 2＋x －12＝0}，集合B ＝{x |kx ＋1＝0}，如果A ∪B ＝A ，则由实数k 组成的集合中所有元素的和与积分别为____________．4．在△ABC 中，已知A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则S △ABC ＝__________.5．设一双曲线的两条渐近线方程为2x －y ＝0,2x ＋y ＝0，则双曲线的离心率是________．6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为____________．7．设常数a >0，椭圆x 2－a 2＋a 2y 2＝0的长轴长是短轴长的2倍，则a ＝________.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为__________．14.已知函数f (x )＝2a sin 2x －2 3a sin x cos x ＋a ＋b (a ≠0)的定义域是⎣⎡⎦⎤0，π2，值域是[－5,1]，求常数a ，b 的值．15．已知函数f (x )＝－2x 2－x ，求m 、n 的值，使f (x )在区间[m ，n ]上值域为[2m,2n ] (m <n )．。

关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用 (5)

分类讨论思想在初中数学教学中的应用数学分类讨论是一种常见的思维方法。

所谓分类讨论，就是把一个复杂或不确定的问题按不同情况分类讨论，从而得到简化或明确的。

在初中数学教学中，分类讨论思想的应用可以激发学生的思维，提高他们的分析、归纳、判断和解决问题的能力。

本文将深入探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用，并提出一些具体的教学实践建议。

一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将一个复杂的问题，根据不同情况分类进行研究和讨论的思维方法。

其基本原理是“分而治之”，通过将一个问题分解成若干个相对简单的部分，再从不同角度考虑、分析和讨论，最终得出全面、准确的。

分类讨论的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 将问题进行分类，找到不同情况。

2. 对每一种情况进行详细分析和讨论，寻找规律。

3. 综合各种情况的结果，得出最终。

分类讨论思想在数学中的应用非常广泛，例如在解决几何问题、方程式、概率统计等问题中，都可以通过分类讨论的方法得出较为简单明了的。

二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用1. 解决数学问题分类讨论思想可以帮助学生更加深入地理解和掌握各种数学概念和定理。

例如，在解决一些复杂的几何问题时，学生可以把问题进行分类，分别研究每一种情况，并通过综合得出。

这样，学生的思维会更加开阔，能力也会得到提升。

2. 强化数学推理能力分类讨论思想在初中数学教学中还可以强化学生的推理能力。

在讨论分类的过程中，学生需要分析各种情况的规律，找到相同点和不同点，然后对每种情况进行比较和推理。

这样，学生的推理能力会得到很好的锻炼，在以后的学习和工作中也会受益匪浅。

3. 激发解决问题的热情分类讨论思想可以激发学生对数学问题的兴趣和热情，促进他们的思维发展。

在课堂上，老师可以通过举一些有趣的例子来引导学生讨论和发现规律，从而培养学生解决问题的兴趣和自信心。

三、分类讨论思想在初中数学教学中的实践建议1. 合理设置问题为了引导学生正确运用分类讨论思想解决问题，老师在教学中应该合理设置问题。

2015高考数学二轮复习学案：专题5 分类讨论思想

专题5 分类讨论思想一、填空题：1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ⊇，则实数a 的取值范围是________．解析：①当a ＜0时，B ＝∅，符合题意；②当a ≥0时，B ≠∅，B ＝{x|3－a ≤x ≤3＋a }，由A B ⊇得3434a a --⎧⎨+⎩≥≤，解得0≤a ≤1，综上所述a ≤1．2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧⎨--⎩=≥，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为_______解析：①a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1，则可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )＋2a ，解得a ＝－32，与a ＞0矛盾，舍去；②a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，则－(1－a )＋2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34；所以a ＝－34．3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________．解析：f (x )＝kx 2－2kx ＝k (x －1)2－k ，①当k ＞0时，二次函数开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，即f (3)＝3k ＝3，解之得k ＝1； ②当k ＜0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，即f (1)＝－k ＝3，解之得k ＝－3； ③当k ＝0时，显然不成立．∴{1，－3}4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为．解析：当双曲线焦点，在x 轴上时，b a ＝34，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝916，∴e 2＝2516，∴e ＝54；当双曲线焦点在y 轴上时，b a ＝43，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53．5．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是______．解析：①当a ＞0时，需x －b 恒为非负数，即a ＞0，b ≤0，②当a ＜0时，需x －b 恒为非正数．又∵x ∈[0，＋∞)，∴不成立．综上所述，由①②得a ＞0且b ≤0．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________．解析当q ＝1时，S 3＝3a 1＝3a 3＝3×32＝92，符合题意，所以a 1＝32；当q ≠1时，S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝92，又a 3＝a 1q 2＝32得a 1＝32q 2，代入上式，得32q 2(1＋q ＋q 2)＝92，即1q 2＋1q －2＝0，解得1q ＝－2或1q＝1(舍去)．因为q ＝－12，所以a 1＝32×(－12)2＝6，综上可得a 1＝32或6.7．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是__________．解析分0＜a ＜1与a ＞1两种情况讨论，画出图象，由图象知a 应满足的条件是⎩⎨⎧0<a <10<2a <1⇒0＜a ＜12．8．已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．解析：①当斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y －2k ＋4＝0，若直线与圆相切，2=，解得k ＝34，所以切线方程是3x －4y ＋10＝0；②当斜率不存在时，易得切线方程是x ＝2．9．若函数321111()(1)3245f x a x ax x -+-+=在其定义域内有极值点，则a 的取值为．解析即f (x )＝(a －1)x 2＋ax －14＝0有解，①当a －1＝0时，满足题意；②当a －1≠0时，只需Δ＝a 2－(a －1)＞0a <<综上所述，a a <<a ＝1． 10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a ＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．解析：先考查拼成三棱柱(如图(1)所示)全面积：S 1＝2×12×4a ×3a ＋(3a ＋4a ＋5a )×4a＝12a 2＋48；再考查拼成四棱柱(如图(2)所示)全面积：①若AC ＝5a ，AB ＝4a ，BC ＝3a ，则该四棱柱的全面积为S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋4a )×2a ＝24a 2＋28；②若AC ＝4a ，AB ＝3a ，BC ＝5a ，则该四棱柱的全面积为S 2＝2×4a ×3a ＋2(3a ＋5a )×2a ＝24a 2＋32；③若AC ＝3a ，AB ＝5a ，BC ＝4a ，则该四棱柱的全面积为S 2＝2×4a ×3a ＋2(4a ＋5a )×2a＝24a 2＋36；又在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，从而知24a 2＋28＜12a 2＋48⇒12a 2＜20⇒0＜a ＜153．即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，153． 11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和(π2,1)两点，且x ∈[0,π2]时，|f (x )|≤2恒成立，则实数a 的取值范围是_______．解析：由f (0)＝a ＋b ＝1，f (π2)＝a ＋c ＝1，得b ＝c ＝1－a ，f (x )＝a ＋(1－a )(sin x ＋cos x )＝a ＋2(1－a )sin(x ＋π4)，∵ππ3ππ,sin()14444x x ++≤≤≤， ①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )，∵|f (x )|≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1；②当a ＞1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∴只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋32, ∴1＜a ≤4＋32，综合①,②知实数a 的取值范围为[－2，4＋32]．12．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围是__________解析：①当m ＝0时，f (x )＝1－3x ，其图象与x 轴的交点为(13,0)，满足题意；②当m ＞0时，由题意得0,0302m m m>∆⎧⎪-⎨->⎪⎩≥，解得0＜m ≤1；③当m ＜0时，由题意得0,010m m<∆⎧⎪⎨<⎪⎩≥，解得m ＜0；所以m 的取值范围是m ≤113．设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________ 解析：原不等式化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]＞0，①当a ≤1时，易得不合题意；②当a ＞1时，－b a －1＜x ＜b a ＋1，由题意0＜b a ＋1＜1，要使不等式解集中恰好有3个整数，则－3≤－ba －1＜－2，整理得2a －2＜b ≤3a －3，结合题意b ＜1＋a ，有2a －2＜1＋a ，∴a ＜3，从而有1＜a ＜3．14．数列{}n a 的通项222ππ(cos sin )33n n n a n -=，其前n 项和为S n ，则S n ＝_________．解析：因为22ππ2πcos sin cos 333n n n -=，所以{22ππcos sin 33n n -}是以3为周期的数列，因此，在数列求和时应分三类进行讨论：①当3()n k k ∈=*N ，时，312345632313()()()k k k k S a a a a a a a a a --+++++++++=2222222221245(32)(31)(3)(6)((3))222k k k ++-+--++-+++-+=1331185(94)2222k k k -++++==；②当31()n k k -∈=*N 时，3133(49)2k k k k k S S a ---==； ③当32()n k k -∈=*N 时，2323131(49)(31)132122236k k k k k k k S S a k -------+--====-综上所述，1(32)36(1)(13)(31)6(34)(3)6n n n k n n S n k n n n k ⎧--=-⎪⎪+-⎪=-⎨⎪+⎪=⎪⎩=(k ∈*N )．二、解答题：15．设A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，且x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝2x ＋3在[－2，a ]上是增函数，∴－1≤y ≤2a ＋3，即B ＝{y |－1≤y ≤2a ＋3}．作出z ＝x 2的图象，该函数定义域右端点x ＝a 有三种不同的位置情况如下：①当－2≤a ＜0时，a 2≤z ≤4，即C ＝{z |a 2≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图1可知，则必须2a ＋3≥4，得a ≥12，这与－2≤a ＜0矛盾．②当0≤a ≤2时，0≤z ≤4，即C ＝{z |0≤z ≤4}，要使C ⊆B ，由图2可知，必须⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋3≥4，0≤a ≤2，解得12≤a ≤2；③当a ＞2时，0≤z ≤a 2，即C ＝{z |0≤z ≤a 2}，要使C ⊆B ，由图3可知，必须且只需⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2a ＋3，a ＞2，解得2＜a ≤3；④当a ＜－2时，A ＝∅，此时B ＝C ＝∅，则C ⊆B 成立．综上所述，a 的取值范围是(－∞，－2)∪[12，3]．16．已知函数2()||f x x x a =-，a ∈R ．（1）当a ≤0时，求证函数()f x 在(－∞,＋∞)上是增函数；（2）当a ＝3时，求函数()f x 在区间[0,b ](b ＞0)上的最大值．解：（1）∵a ≤0，∴x 2－a ≥0，∴f (x )＝x (x 2－a )＝x 3－ax ，f '(x )＝3x 2－a ， ∵f '(x )≥0对x ∈R 成立，∴函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．（2）解：当a ＝3时，f (x )＝x |x 2－3|＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 3，当－3＜x ＜3，x 3－3x ，当x ≤－3，或x ≥3．（i ）当x ＜－3，或x ＞3时，f '(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)＞0．（ii ）当－3＜x ＜3时，f '(x )＝3－3x 2＝－3(x －1)(x ＋1)．当－1＜x ＜1时，f '(x )＞0；当－3＜x ＜－1，或1＜x ＜3时，f '(x )＜0．所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－3]，[－1，1]，[3，＋∞)； f (x )的单调递减区间是[－3，－1]，[1，3]．由区间的定义可知，b ＞0．①若0＜b ≤1时，则[0，b ]⊂[－1，1]，因此函数f (x )在[0，b ]上是增函数， ∴当x ＝b 时，f (x )有最大值f (b ) ＝3b －b 3．②若1＜b ≤3时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，b ]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1) ＝2，并且该极大值就是函数f (x )在区间[0，b ]上的最大值． ∴当x ＝1时，f (x )有最大值2．③若b ＞3时，当x ∈[0，3]时，f (x )＝3x －x 3在[0，1]上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此，在x ＝1时取到极大值f (1)＝2，在x ∈[3，b ]时，f (x )＝x 3－3x 在[3，b ]上单调递增，在x ＝b 时，f (x )有最大值f (b )＝b 3－3b ．（i ）当f (1)≥f (b )，即2≥b 3－3b ，b 3－b －2b －2≤0，b (b 2－1)－2(b ＋1)≤0，(b ＋1)2(b －2)≤0，b ≤2． ∴当3＜b ≤2时，在x ＝1时，f (x )取到最大值f (1)＝2．（ii ）当f (1)＜f (b )，解得b ＞2，∴当b ＞2时，f (x )在x ＝b 时，取到最大值f (b )＝b 3－3b ．综上所述，函数y ＝f (x )在区间[0，b ]上的最大值为y max ＝⎩⎪⎨⎪⎧3b －b 3，0＜b ≤12，1＜b ≤2，b 3－3b ，b ＞2．17．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，116(,2)n n n a a a n n +-∈=+*N ≥，若数列{a n +1＋λa n }是等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<；（3）求证：121111()2n n a a a +++<∈*N ．解：（1）∵数列{a n +1＋λa n }是等比数列，∴1111116(1)6n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a λλλλλλ+-----++++++++==1161(1)n n n n a a a a λλλ--+++⋅+=为常数，∴61λλ+=，解得2λ=或3λ-=．当2λ=时，数列{a n +1＋2a n }是首项为15，公比为3的等比数列，则112153n n n a a -++⨯=①，当3λ-=时，数列{a n +1－3a n }是首项为－10，公比为－2的等比数列，则113(10)(2)n n n a a -+--⨯-=②，∴①－②得：3(2)n n n a --=；（2）当k 为奇数时，1111111134[87()]114114203323233(32)(32)k k k k k k k k k k k k k k k a a ++++++++-⋅+-+-<+-⋅+-==,∴111143k k k a a +++<；（3）由（2）知k 为奇数时，11111411333k k k k k a a +++++<=，①当n 为偶数时，212111111111(1)333232n n n a a a +++<+++-<=；②当n 为奇数时，211121211111111111111(1)333232n n n n n a a a a a a a ++++++<++++<+++-<=； ∴121111()2n n a a a +++<∈*N ． 18．已知12()|31|,()|39|(0),x xf x f x a a x =-=?> R ,且112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ⎧=⎨>⎩≤.（1）当1a =时,求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当29a <≤时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间[,]m n 的长度定义为n m -)，试求的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时,2()()f x f x =?若存在,求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解:（1）当1a =时,2()|39|x f x =-.因为当3(0,log 5)x ∈时,1()31x f x =-,2()93x f x =-,且3log 512()()2310231025100x f x f x -=⋅-<⋅-=⋅-=,所以当3(0,log 5)x ∈时,()31x f x =-,且31(0,log 5)∈由于()3ln 3x f x '=,所以(1)3ln 3k f '==,又(1)2f =,故所求切线方程为2(3ln 3)(1)y x -=-, 即(3ln 3)23ln 30x y -+-=（2）因为29a <≤，所以33990log log 2a <≤，则 ① 当39log x a≥时,因为390x a ⋅-≥,310x ->，所以由21()()(39)(31)(1)380x x x f x f x a a -=⋅---=--≤，解得38log 1x a -≤，从而当3398log log 1x a a -≤≤时,2()()f x f x =． ② 当390log x a<≤时,因为390x a ⋅-<，310x -≥，所以由21()()(93)(31)10(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-+≤，解得310log 1x a +≥，从而当33109log log 1x a a<+≤时,2()()f x f x =， ③当0x <时，因为21()()(93)(13)8(1)30x x x f x f x a a -=-⋅--=-->,从而2()()f x f x = 一定不成立，综上得,当且仅当33108[log ,log ]11x a a ∈+-时，2()()f x f x =，故33381042log log log [(1)]1151l a a a =-=+-+-，从而当2a =时,取得最大值为312log 5．（3）“当[)2,x ∈+∞时,2()()f x f x =”等价于“21()()f x f x ≤对[)2,x ∈+∞恒成立”,即“|39||31|31x x x a ⋅--=-≤(*)对[)2,x ∈+∞恒成立” ，① 当1a ≥时，39log 2a≤，则当2x ≥时,39log 39390xa a a ⋅-⋅-=≥，则(*)可化为3931x x a ⋅--≤，即813x a +≤，而当2x ≥时，8113x +>，所以1a ≤，从而1a =适合题意．② 当01a <<时,39log 2a >.⑴当39log x a >时，(*)可化为3931x x a ⋅--≤，即813x a +≤,而8113x +>，所以1a ≤，此时要求01a <<；⑵当39log x a =时，(*)可化为90311x a-=-≤,所以a R ∈，此时只要求01a <<；⑶当392log x a <≤时，(*)可化为9331x x a -⋅-≤,即1013x a -≥，而101139x -≤，所以19a ≥，此时要求119a <≤；由⑴⑵⑶，得119a <≤符合题意要求.综合①②知,满足题意的a 存在,且a 的取值范围是119a ≤≤．专题5 分类讨论思想一、填空题：1．设集合A ＝{x ||x |≤4}，B ＝{x ||x －3|≤a }，若A B ⊇，则实数a 的取值范围是________．2．已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +<⎧⎨--⎩=≥，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为_______ 3．已知定义在闭区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________． 4．已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为．5．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是______．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝32，S 3＝92，则a 1的值为________．7．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是__________． 8．已知圆x 2＋y 2＝4，则经过点P (2,4)，且与圆相切的直线方程为__________．9．若函数321111()(1)3245f x a x ax x -+-+=在其定义域内有极值点，则a 的取值为．10．如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为2a，底面三角形的三边长分别为3a 、4a 、5a (a ＞0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是________．11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和(π2,1)两点，且x ∈[0,π2]时，|f (x )|≤2恒成立，则实数a 的取值范围是_______．12．函数f (x )＝mx 2＋(m －3)x ＋1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围是__________13．设0＜b ＜1＋a ，若关于x 的不等式(x －b )2＞(ax )2的解集中的整数恰好有3个，则实数a 的取值范围是________ 14．数列{}n a 的通项222ππ(cos sin )33n n n a n -=，其前n 项和为S n ，则S n ＝_________．二、解答题：15．设A ＝{x |－2≤x ≤a }，B ＝{y |y ＝2x ＋3，且x ∈A }，C ＝{z |z ＝x 2，且x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围．16．已知函数2()||f x x x a =-，a ∈R ．（1）当a ≤0时，求证函数()f x 在(－∞,＋∞)上是增函数；（2）当a ＝3时，求函数()f x 在区间[0,b ](b ＞0)上的最大值．17．已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，116(,2)n n n a a a n n +-∈=+*N ≥，若数列{a n +1＋λa n }是等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求证：当k 为奇数时，111143k k k a a +++<；（3）求证：121111()2n n a a a +++<∈*N ．18．已知12()|31|,()|39|(0),x xf x f x a a x =-=?> R ,且112212(),()()()(),()()f x f x f x f x f x f x f x ⎧=⎨>⎩≤. （1）当1a =时,求()f x 在1x =处的切线方程；（2）当29a <≤时,设2()()f x f x =所对应的自变量取值区间的长度为 (闭区间[,]m n 的长度定义为n m -)，试求的最大值；（3）是否存在这样的a ，使得当[2,)x ∈+∞时,2()()f x f x =?若存在,求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由．。

新数学二轮总复习第3讲分类讨论思想转化与化归思想学案含解析

第3讲分类讨论思想、转化与化归思想分类讨论思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题中发挥着重要作用,大大提高了学生的解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透,并快速找准突破点.充分利用分类讨论思想将复杂问题分解成若干题目涉及的知识角度进行求解。

解题时要注意,按主元分类的结果应求并集,按参数分类的结果要分类给出.思想方法诠释1。

分类讨论的思想含义分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类结果得到整个问题的结果.实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略.2.分类讨论的原则(1）不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明;(3)能不分类的要尽量避免,决不无原则地讨论.3。

分类讨论的常见类型（1）由数学概念而引起的分类讨论;(2)由数学运算要求而引起的分类讨论;（3）由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论；(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论；（5)由参数的变化而引起的分类讨论；（6)由实际意义引起的讨论。

思想分类应用应用一由数学的概念、定理、公式引起的分类讨论【例1】(1）(2020安徽合肥二模，文10）记F 1，F 2为椭圆C :x 2x+y 2=1的两个焦点，若C 上存在点M 满足xx 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则实数m 的取值范围是( )A.(0,12]∪［2，+∞） B.[12,1)∪［2,+∞)C 。

(0,12]∪（1,2］D 。

[12,1)∪(1，2］（2）设等比数列{a n ｝的公比为q ，前n 项和S n 〉0(n=1,2,3,…),则q 的取值范围是。

思维升华1.在中学数学中，一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的单调性，基本不等式，等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论，或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.2。

分类讨论学案2

分类讨论引入：已知a 、b 、c 均为非零实数，且满足则k 的值为（）A 1B -2C 1或-2D 1或2根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想．将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论．1.问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a ＝0、a<0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型.2.问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k ≠0）的增减性，要分k ＜0和k ＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.例如：已知一次函数y=kx+b ，当－３≤ｘ≤１时，对应ｙ的值为１≤ｙ≤９.则ｋ·ｂ的值（）（Ａ）１４（Ｂ）－６（Ｃ）－６或２１（Ｄ）－６或１４3.解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a ＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型.例如：已知A ＝a ＋2，B ＝a 2－a ＋5，C ＝a 2＋5a －19，其中a ＞2．求证：B －A ＞0，并指出A 与B 的大小关系；指出A 与C 哪个大？说明理由．4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性.例如：1. 在Rt △ABC 中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（）A 5B 10C 5或4D 10或8k a ac b b cb ac c b a =-+=+-=-+　，则且例如：已知=+⋅==y x y ＜x y x 0,2,32. 已知关于x的方程(k2－1)x2－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围3.五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一众数是5，则这五个正整数的和为.4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角°5.在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像与X 轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式.6设抛物线与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于___________．7.已知AB=2，AD=4，∠DAB=90°，AD∥BC（如图）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE=x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE 的长．8.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD 翻折，使点A落在BC边上的点F处．（1）直接写出点E、F的坐标；（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴．．．于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．。

应用题(分类讨论题型)专题

中考专项1应用题（分类讨论题型）优胜老师的话中考中应用题占了很大的分值，其中分类讨论题型作为这两年中考的热点题型，理应受到重视。

接下来就探讨一下分类讨论题型的出题思路还有解决方案。

经典例题分析：例:甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品，“五一”期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场按照原价八折出售，乙商场对累计购物超过200元后的价格部分打七折，设小明在同一商场累计购物X元，其中X>200.（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，小明在甲乙两个商场花费相同？当X取何值时，甲商场实际花费少?当X取何值时，乙商场实际花费少？(3)当小明在同一商场累积购物超过200元时，在哪家商场的实际花费少？解析：（1）首先注意题目中限制了X的取值范围X>200，并思考若不限制X的取值范围时，乙商场函数解析式应该如何表示？(2)看清楚题目中是超出部分打折，还是全部都打折。

解答：若不限制X的取值范围，乙商场应该写成分段函数的形式：（2）若甲乙实际花费相同，则 0.8X = 0.7X+60 解得X=600若乙商场实际花费少，则 0.8X > 0.7X+60 解得X>600若甲商场实际花费少，则 0.8X < 0.7X+60 解得X<600(3)当题目中给了一个不确定的范围，并且问最后在这段范围内谁花费少时，我们需要借助第二部分的结论来讨论题目中给的范围在哪段范围内，从而得到最终结果。

本题可借助数轴来解，由题可知：当x>600时，乙商场实际花费少当200<x<600时，甲商场花费少当x= 600时，甲乙花费相同强化训练：1.考虑下面两种移动电话的计费方式设每月通话时间为X分钟，其中X>150(1）根据题意，填写下表(2)当X取何值时，两种计费方式的费用相同？(3）当每月通话时间超过250分钟时，选用哪种计费方式费用较少?2.某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，甲乙印刷厂的收费方式不同，甲厂的收费方式是需要先收取制版费6元，然后按照印刷数量收取每份0.1元的制版费，乙厂的收费方式是没有制版费，只按照印刷数量收取每份0.12元的印刷费，现设需要印刷的份数为X份（1）根据题意，填写下表：（单位：元）(2)当X取何值时，两种收费方式的花费是一样的？(3)该校某年级每次需印制100-450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式比较合算？3.甲乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90％收费；在乙商场累积购物超过50元后，超出50元的部分按95％收费。

古典概型学案

3.2.1 古典概型【学习目标】：1.理解古典概型及其计算公式, 会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.2.理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题.3.解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象. 【高考考点】：古典概型的概念与概率计算.【重点】：古典概型及其概率计算公式的运用.【难点】：古典概型与事件（包括基本事件）的个数的判断请同学们以小组为单位完成下面两个实验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由科代表汇总；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后由科代表汇总。

一、问题引入，概念理解1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？2.根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？你能得出基本事件的特点吗？请总结出基本事件的概念（你自己用）基本事件的特点：（1）任何基本事件是互斥的；（2）任何事件（出不可能事件）都可以用基本事件表示。

在一次实验中，我们关心的常常是所有可能发生的基本结果，它们是实验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件。

3.古典概率模型有什么特点？基本事件个数有限并且互斥4.请给古典概率模型下定义:满足以上两个特点的5.对于古典概型，任何事件的概率公式:二、题型分析题型一：概念辨析例题：判断下列命题是否正确。

(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”“两枚反面”“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是13(2)射击运动员向一靶心进行射击，实验的结果为：命中10环，命中9环，---，命中0环，这个实验是古典概型。

学案—— 47分类讨论问题

C（1，3）
（2）若双曲线y= 8 经过点C，求t的值． x
t=-4 或2
（二）能力提升（B组）
2．如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=5，∠C=30°，点D 从点C出发沿CA方向以每秒2个单位的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个也停止运动. 设点D、 E运动时间为t秒，过点D作DF⊥BC于点F，连结DE、EF.
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC =8cm，设P，Q
分别为AC，AB上的动点，在点P自点A沿AC方向以每秒1cm的
速度向点C作匀速移动的同时，点Q自点B沿BA方向以每秒2cm
的速度向点A作匀速移动，当Q点到达A点时，P点就停止移动.
设P，Q移动的时间为t秒．
B
（1）当t为何值时，AP=PQ？
32，∴ax2+
32x+
1 2
=0，△=
9 4
−2a＞0，∴a＜
9，∴4
89
≤a＜
9 8
综合：4
9
≤a＜
89或a≤-2.
四、归纳提升
课后作业
（一）基础训练（A组）
1．(2019大庆)如图1，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M、N
在对角线AC上，且AM＝CN，E、F分别是AD，BC的中点.
（1）求证：△ABM≌△CDN；略
（3）当t为何值时，直线AB与⊙O相切？
过点O作OC⊥AB于C．∵∠BQO=∠CBQ=∠OCB=90°，∴ 四边形 OCBQ 是矩形， ∴ BQ=OC=6 ， ∵ OC=6cm ， ∴ BQ=6cm ． ① 当 AB 运动到圆左侧时， BQ=PQ-PB=6 ， ∴ 8-4t=6 ， ∴ t=0.5s ， ② 当 AB 运动到圆右侧时， BQ=PBPQ=6，∴4t-8=6，∴t=3.5s，综上所述，t=0.5s或3.5s时，直线AB与⊙O相切．

数学分类讨论教案模板高中

数学分类讨论教案模板高中教学目标：1. 理解数学分类讨论的概念和意义。

2. 掌握数学分类讨论的基本方法和步骤。

3. 能够运用数学分类讨论解决实际问题。

教学重点：1. 熟练掌握数学分类讨论的基本概念。

2. 掌握数学分类讨论所涉及的具体知识点。

3. 能够独立运用数学分类讨论解决问题。

教学步骤：一、导入（5分钟）教师简要介绍数学分类讨论的概念和意义，引导学生思考为什么要进行分类讨论以及分类讨论在数学中的应用。

二、理论学习（15分钟）1. 介绍数学分类讨论的基本方法和步骤。

2. 梳理数学分类讨论的基本概念，如集合、子集、交集、并集等。

3. 示例分析，帮助学生理解数学分类讨论的具体应用。

三、实例演练（20分钟）1. 给学生提供一些实际问题，要求他们利用数学分类讨论进行解答。

2. 学生在实例演练中，可以结合所学知识，从不同角度进行分类讨论，找到问题的解决方法。

四、练习训练（15分钟）1. 学生自主完成练习题目，巩固数学分类讨论的方法和步骤。

2. 教师根据学生的表现进行指导和讲解。

五、课堂总结（5分钟）1. 回顾本节课的学习内容，强调数学分类讨论的重要性和实际应用。

2. 鼓励学生在日常生活和学习中，运用数学分类讨论解决问题。

六、作业布置布置作业，要求学生复习本节课学习内容，并尝试运用数学分类讨论解决一个实际问题。

教学反思：通过本节课的教学，学生对数学分类讨论的概念和方法有了更深入的理解，能够熟练运用数学分类讨论解决问题。

同时，也发现学生在实际操作中存在一定的困难，需要进一步指导和讲解。

下一节课将结合学生反馈，进一步加强练习训练，提高学生的分类讨论能力。

高中数学思想二分类讨论思想学案

高中数学思想二分类讨论思想学案分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．(2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞-B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞例2.已知命题指数函数的定义域为；命题不等式，对上恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.试题分析：（1）命题为真命题等价于在上恒成立，分与由二次函数的性质讨论即可；（2）命题“”为真命题，命题“”为假命题等价于命题与命题一真一假，先分别求出命题为真命题、命题为真命题时的范围，再求“真假”与“假真”时的范围，再求的并集即可.规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．举一反三1.已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．类型二：分类讨论思想在导数中的运用:p 2()lg(4)f x ax x a =-+R :q 222x x ax +>+(,1)x ∀∈-∞-p a p q ∨p q ∧a p 240ax x a -+>R 0a =0a ≠p q ∨p q ∧p q p q a P q P q a a :p ()()2lg 6f x ax x a =-+R :q x 223210x ax a -++=p q p q a例3.已知函数在内有极值. （Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，且时，求证：. 规律总结：函数是具体的，其单调性和最值都很明确，定义域是变化的，这类问题分类讨论的标准就是看最值点是否在定义域内．【举一反三】若()()e 1ln 0,0xa x ax a x ≥-+>>，则a 的最大值为（）A ．e4B ．e 2C ．eD ．2e类型三：分类讨论思想在解析几何中的运用例4.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点A ⎛ ⎝⎭，其长半轴长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点()1,0B -的直线l 与椭圆C 相交于D ，E 两点，点E 关于x 轴的对称点为F ，直线DF 与x 轴相交于点G ，求△DEG 的面积S 的取值范围．规律总结：求解有关几何问题中，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．【举一反三】过双曲线2x 2－y 2＝2的右焦点作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样的直线有( )A ．4条B ．3条()()1ln 01f x a x a x =+≠-10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭a 110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()22,x ∈+∞1,22a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭()()213ln24f x f x ->+C．2条D．1条分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类讨论，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合.高中数学思想二分类讨论思想分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．分类讨论的原则(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论． (2)对所讨论的对象进行合理的分类．(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决． (4)归纳总结：将各类情况总结归纳. 【热点分类突破】类型一：分类讨论思想在集合与简易逻辑中的运用例1.已知p ：2x a +<，q ：x a ≥，且p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞-C ．[)1,+∞D ．()1,+∞【答案】A 【详解】解：因为p ：2x a +<，所以:22p a x a --<<-+，记为{}|22A x a x a =--<<-+；:q x a ≥，记为{}|B x x a =≥．因为p 是q 的充分不必要条件，所以AB所以2a a ≤--，解得1a ≤-．故选：A例2.已知命题指数函数的定义域为；命题不等式，对上恒成立.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.:p 2()lg(4)f x ax x a =-+R :q 222x x ax +>+(,1)x ∀∈-∞-p a p q ∨p q ∧a试题分析：（1）命题为真命题等价于在上恒成立，分与由二次函数的性质讨论即可；（2）命题“”为真命题，命题“”为假命题等价于命题与命题一真一假，先分别求出命题为真命题、命题为真命题时的范围，再求“真假”与“假真”时的范围，再求的并集即可.试题解析：（1）由题意：当时，的定义域不为，不合题意. 当时，且，故；（2）若为真，则，对上恒成立，为增函数且，故. “”为真命题，命题“”为假命题，等价于一真一假，故.规律总结：已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析，而且经常要对参数进行讨论．举一反三1.已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【详解】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π. 所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件. 故选：Bp 240ax x a -+>R 0a =0a ≠p q ∨p q ∧p q p q a P q P q a a 0a =()lg(4)f x x =-R 0a ≠0∆<0a >2a >q 221a x x >-+(,1)x ∀∈-∞-221y x x=-+(,1)x ∈-∞-1a ≥p q ∨p q ∧p q ，12a ≤≤2.已知命题函数的定义域为，命题关于的方程的两个实根均大于3，若“或”为真，“且”为假，求实数的取值范围．试题解析：若真，则，∴，若真，令，则应满足，∴∴，又由题意可得真假或假真，若真假，则，∴无解，若假真，则，∴．综上可得，的取值范围是。

高一数学常见的对数函数解题方法学案

常见的对数函数解题策略一、分类讨论例1 若实数a 满足2log 13a <，求a 的取值范围。

分析：需对a 进行分类讨论。

当1a >时，∵log 1a a =，∴2log log 3aa a <，∴23a >；当01a <<时，∵2log log 3a a a <，∴23a <，即203a <<。

故20,(1,)3a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭。

评注：解含有对数符号的不等式时，必须注意对数的底数是大于1还是小于1，然后再利用相应的对数函数的单调性进行解答。

理解会用以下几个结论很有必要：①当1a >时，若log 0a x >，则1x >，若log 0a x <，则01x <<；②当01a <<时，若log 0a x >，则01x <<，若log 0a x <，则1x >。

二、数形结合例2 若x 满足2log 3x x =-，则x 满足区间（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（1，3）D ．（3，4）分析：本题左边是一个对数函数，右边是一个一次函数，可通过作图象求解。

解析：在同一直角坐标系中画出2log y x =，3y x =-的图象，如图所示，可观察两图象交点的横坐标满足13x <<，答案选C 。

评注：解决该类问题的关键是正确作出函数2log y x =，3y x =-的图象，从而观察交点的横坐标的取值范围。

三、特殊值法2log x3x =-x例3 已知log (2)a y ax =-在[0,1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．[2,)+∞分析：由函数的单调性求底数a 的取值范围，逆向考查，难度较大，可采用特殊值法进行判断。

解析：取特殊值0.5a =，10x =，21x =，则有10.5log (2)log 2a ax -=，20.53log (2)log 2a ax -=，与y 是x 的减函数矛盾，排除A 和C ；取特殊值3a =，11x =，则2230ax -=-<，所以3a ≠，排除D 。

学案

不等式与不等式组(1)一元一次不等式与一元一次不等式组的解法一、学习目标:1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义和基本性质．2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集．会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集．3.会运用数形结合、分类等数学思想方法解决问题，会“逆向”地思考问题，灵活的解答问题.二、学习重点：能熟练的解一元一次不等式与一元一次不等式组三、学习难点：能熟练的解一元一次不等式(组)并体会数形结合、分类讨论等数学思想四、学习过程（一）自主学习 1.知识结构图2.知识点回顾 1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c）（3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c）说明：任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ．4．一元一次不等式只含有一个未知数，且未知数的次数是1．系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．5．解一元一次不等式的一般步骤解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项； (4)合并同类项；(5)化系数为1．说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 6．一元一次不等式组含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 7．一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．8. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b ）9．解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．针对练习(一)1．根据下图甲、乙所示，对a ，b,c 三种物体的重量判断不正确的是 ( )乙甲bb aa aA ．a<cB ．a<bC ．a>cD ．b<c2．关于x则原不等式组的解集是__________． 3．不等式组201x x -<⎧⎨≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是 ( )4.若x y <,用“>”号或“<”号填空: (1)2__2x y ++ (2)__x a y a -- (3)11__33x y (4)2__2x y -- 5.下列各式一定成立的是（） A.75a a > B.10aa < C.a a >- D.74a a +>- （二）例题讲解【例1】解不等式：2132x x-≤- 解:去分母得去括号得移项得合并同类项得把系数化为1得【例2】解不等式组2(1)3253x x x x --≤⎧⎪+⎨>⎪⎩并把它的解集在数轴上表示出来.解:解不等式①得解不等式②得∴原不等式组的解集是.【例3】已知关于x 的方程5x -2m =3x -6m +1的解满足-3<x ≤2，求m 的整数值．解:AB C D针对练习二1．求代数式3(x +1)的值不小于5x -9的值的最大的整数x ．2．解不等式组253(1)742x x x x -≤-⎧⎪⎨+>⎪⎩，并把它的解集在数轴上表示出来．（三）课堂小结．1；收获 2，疑惑（四）达标检测1．如果关于x 的不等式(a+1)x >a+1的解集为x <l ，那么a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a<0 C ．a>-1 D ．a<-12．已知方程组21321x y mx y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +<，则( )．A ．m >-1B ．m >1C ．m <-l D.m <13．已知关于x 的不等式2x +m >-5的解集如图所示，则m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-24．三角形三边长分别为3、12a -、8，求a 的取值范围 5.已知关于x 的不等式组521x x a -≥-⎧⎨->⎩无解，求a 的取值范围．（五）课后提升1．已知一个等腰三角形的底边长为5，这个等腰三角形的腰长为x ，则x 的取值范围是_____________．2.在平面直角坐标系中，点A （4m -，12m -）在第三象限，则m 的取值范围是 ( )．A.12m >B.4m <C.142m <<D.4m >A.53m >-B.12m ≤ C.53m <- D.5132m -<≤3．解不等式组：253323(1)21x x x x ++⎧≤⎪⎨⎪->+⎩4求不等式组122165x--≤+≤的非负整数解． 5．求使方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x 、y 都是正数的m 的取值范围．6．若关于x 的不等式组41320x xx a +⎧≥+⎪⎨⎪+≤⎩的解集为x ≤2，试求a 的取值范围．。

人教版-数学-6上-分类讲学案-第1章-分数乘法-04专项练习-1比较绳长-答案

5
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解：分类讨论。
2 ①绳长＜1 米，假设绳长是米
5
22 第一根剩下： - ＝0（米）
55
2
2
6
第二根剩下： ×（1- ）＝（米）
5
5 25
6 因为：＞0
25
所以：第二根剩下部分长。
②绳长＝1 米， 23
第一根剩下：1- ＝（米） 55 23
第二根剩下：1×（1- ）＝（米） 55
33 因为：＝
练习：
1、有两根绳子，第一根的长度是 6 米的1 ，第二根的长度是 3 米的1 ，哪根绳子长？
3
6
解：第一根：6×1 ＝2（米）
3
第二根：3×1 ＝0.5（米）
6
因为：2＞0.5
所以：第一根长。
2、有两根同样长的绳子，第一根用去3 米，第二根用去的3 ，两根绳子剩下的长？
7
7
解：分类讨论。
①绳长＜1 米，假设绳长是3 米
55
所以：两根绳子剩下部分一样长。
③绳长＞1 米，假设绳长是 5 米 23
第一根剩下：5- ＝4 （米） 55 2
第二根剩下：5×（1- ）＝3（米） 5
3 因为：4 ＞3
5 所以：第一根绳子剩下长。
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分类讲学案
6上
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例 3：有两根同样长的绳子，第一根先用去米，再用去剩下的，第二根先用去全长
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6 上－第 1 章－分数乘法－04 专项练习－1 比较绳长－答案
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例 1：有两根绳子，第一根的长度是 8 米的，第二根的长度是 4 米的，哪根绳子长？