名师推荐数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

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第3,4章DFT与快速傅里叶变换FFT

正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆：
4.2基2FFT算法
4.2.1 直接计算DFT的特点及减少运算量的基本途径 1.直接计算DFT 长度为N的有限长序列x(n)的DFT为：
kn X (k ) x (n )WN , k 0,1, , N 1 n 0 N 1
｛
4.2 基2FFT算法
(2)用N/2点X1(k)和X2(k)表示序列x(n)的N点DFT X(k)
kn kn X ( k ) x ( n )WN x ( n ) W N kn kn X ( k ) x ( n ) W x ( n ) W kn kn 奇数 n 偶数 n kn kn N N X (k ) X ( x ( n ) W x ( n ) W k ) x ( n ) W x ( n ) W N N N n nN
W e
2 j 2 kr 2 kr N 2 (k )
注意：这里的k的取值范围为0，1，…，N-1
4.2 基2FFT算法
由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 WN
k k N 2 N 2 k N 2 k k 1 N 2 1 N 2 k 1 N 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r ) W W x ( r ) W x ( r ) (2 1)W e W x (r) W xW x (rre ) W x (2 )W
x ( r ) W x ( r )W X (k ) x ( r )W W x ( r )W
第3章离散傅里叶变换(DFT) 第4章快速傅里叶变换(FFT)

(完整版)第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数()Xk %。

解：(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()Xk %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。

（2）证明当()x n %为实偶函数时，()Xk %也是实偶函数。

证明：（1）1011**()()()[()]()()N nk Nn N N nk nkNNn n X k x n W X k x n Wx n WX k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%%（2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()Xk X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()xn x n =-%%，所以有(1)11*0()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑%%%%%%3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。

利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数()Xk %，确定以下式子是否正确。

（1）()(10)Xk X k =+%%，对于所有的k ；（2）()()Xk X k =-%%，对于所有的k ；（3）(0)0X=%；（4）25 ()jkX k eπ%，对所有的k是实函数。

解：（1）正确。

因为()x n%一个周期为N＝10的周期序列，故()X k%也是一个周期为N＝10的周期序列。

（2）不正确。

因为()x n%一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，()X k%是共轭对称的，即应有*()()X k X k=-%，这里()X k%不一定是实数序列。

第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n

x( n)e jnw
X (z)
n

x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列（2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n

x ( n) z n
n

x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式（3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T

时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t

时域连续函数造成频域是非周期的谱。频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )

T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n

x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓时域的非周期对应于频域的连续
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8

dft与离散傅里叶变换

dft与离散傅里叶变换DFT与离散傅里叶变换引言：数字信号处理中，频域分析是一项重要的技术。

DFT（离散傅里叶变换）和离散傅里叶变换（DFT）是两种常用的频域分析方法。

本文将介绍DFT和离散傅里叶变换的基本原理、应用领域以及它们之间的区别。

一、DFT的基本原理离散傅里叶变换（DFT）是一种将时域信号转换为频域信号的方法。

它的基本原理是将信号分解为不同频率的正弦和余弦波的叠加。

DFT 可以将信号从时域转换到频域，帮助我们分析信号的频谱特征。

DFT的计算公式是通过对信号的采样点进行离散计算得到的。

它将信号分解为一系列复数，表示不同频率的正弦和余弦波的振幅和相位信息。

通常情况下，DFT的输入信号是离散时间的有限长度序列，输出信号也是离散时间的有限长度序列。

二、DFT的应用领域DFT在信号处理领域有着广泛的应用。

以下是几个典型的应用领域：1. 音频信号处理：DFT可以用于音频信号的频谱分析，帮助我们了解音频信号的频率组成以及频谱特征。

它在音频编码、音频效果处理等方面有着重要作用。

2. 图像处理：DFT可以用于图像的频域分析，帮助我们了解图像的频率特征，如边缘、纹理等。

它在图像压缩、图像增强等方面有着广泛的应用。

3. 通信系统：DFT可以用于通信信号的频谱分析，帮助我们了解信号在频域上的特征，如信号的带宽、频率偏移等。

它在调制解调、信道估计等方面有着重要作用。

三、离散傅里叶变换（DFT）与傅里叶变换（FT）的区别离散傅里叶变换（DFT）是傅里叶变换（FT）在离散时间上的应用。

它们之间的区别主要体现在以下几个方面：1. 定义域：傅里叶变换是定义在连续时间上的，而离散傅里叶变换是定义在离散时间上的。

2. 输入信号类型：傅里叶变换可以处理连续时间的信号，而离散傅里叶变换可以处理离散时间的信号。

3. 计算方法：傅里叶变换通过积分计算得到频域信号，而离散傅里叶变换通过对输入信号的采样点进行离散计算得到频域信号。

4. 结果表示：傅里叶变换的结果是连续的频域信号，而离散傅里叶变换的结果是离散的频域信号。

第3章离散傅里叶变换及其快速算法

计算中，在DFT计算中，不论是乘法和加法，运算量均与计算中不论是乘法和加法， N2成正比。因此，N较大时，运算量十分可观。例成正比。因此，较大时运算量十分可观。较大时，计算N=10点的点的DFT，需要次复数相乘，，计算点的，需要100次复数相乘，而次复数相乘 N=1024点时，需要点时，点时需要1048576（一百多万）次复数乘（一百多万）如果要求实时处理，法，如果要求实时处理，则要求有很高的计算速度才能完成上述计算量。度才能完成上述计算量。反变换IDFT与DFT的运算结构相同，只是多与的运算结构相同，反变换的运算结构相同乘一个常数1/N，所以二者的计算量相同。乘一个常数，所以二者的计算量相同。
nk X (k ) = ∑ { Re [ x( n)]Re WN − I m [ x(n)]I m [WNnk ] n =0 N −1
(
+ j Re [ x(n)]I m
(
[ ] [W ]+ I
nk N
)
nk [ x( n)]Re WN } m
[ ])
又每个复数相加包括2个实数相加，所以，每计算一个 X（ k）要进行次实数相乘和次实数相乘和2N+2（ N-1） =2（ 2N-1）次实（）要进行4N次实数相乘和（）（）数相加，因此，整个DFT运算需要 2实数相乘和（2N-1）运算需要4N 实数相乘和2N（数相加，因此，整个运算需要）次实数相加。次实数相加。
虽然频谱分析和DFT运算很重要，但在很长运算很重要，虽然频谱分析和运算很重要一段时间里，由于DFT运算复杂，并没有得到运算复杂，一段时间里，由于运算复杂真正的运用，真正的运用，而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波的方法解决，直到1965年首次提出年首次提出DFT运滤波的方法解决，直到年首次提出运算的一种快速算法以后，情况才发生了根本变算的一种快速算法以后，人们开始认识到DFT运算的一些内在规律，运算的一些内在规律，化，人们开始认识到运算的一些内在规律从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法——快速付里变换（FFT）算法。FFT的出快速付里变换（方法快速付里变换）算法。的出现，使 DFT 的运算大大简化，运算时间缩短二个数量级，一～二个数量级，使 DFT的运算在实际中得到的运算在实际中得到广泛应用。广泛应用。

第三章-3(离散信号的dft,fft分析)

三、离散傅立叶变换（DFT)---有限长序列的离散频谱表示1三、离散傅立叶变换（DFT) ----有限长序列的离散频谱表示从有限长序列的DTFT到DFT 从DFS到DFT DFT的性质21、从有限长序列的DTFT到DFT X (e ) = ∑ x ( n)e = X (Ω )jΩ N −1 n =0 − jΩn非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用计算机进行计算。

离散信号的DTFT，它是Ω的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困难。

为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离散傅里叶变换 DFT。

31 x ( n) = 2π∫2π0X (Ω)ejΩndΩ能量有限、时间长度为L的有限长序列的DTFT为X (Ω) = ∑ x(n)e − jΩnkΩ0 = k2π / N →Ω频率离散化L −1 2π ) = ∑ x(n)e − jk 2π n / N X (k N n=0n =0 L −1频率采样点数N已知，2π/N为定数X ( k ) = ∑ x ( n )en=0L −1− jk 2π n / NN点DFT是有限长序列（L≤N)的DTFT 的N点均匀取样值，也就是非周期序列频谱的样值。

42、从DFS到DFTπ 1 N −1 1 N −1 − j 2N nk − % (k ) = % N ( n )e % N (n) wNnk XN = ∑x ∑x N n=0 N n=0 DFS: 2π N −1 N −1 j kn % (k )e N = X (k ) wnk % % x ( n) = XN∑k =0N∑k =0NN% 为了计算的方便，通常将1/N移到 xN (n)中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同% X N (k ) =% ∑xn=0N −1N −1N( n )ejπ − j 2N nk1 % % x N ( n ) = ∑ X N ( k )e N k =02π kn N52、从DFS到DFT设DFS % xN (n) ←⎯⎯ X N (k ) → %,令RN(n) 为矩形 % ⎧ X N (k ), k = 0 ~ N − 1 序列 % X (k ) = RN (k ) X N (k ) = ⎨ 0, k = 其他 ⎩% ⎧ xN (n), n = 0 ~ N − 1 % x(n) = RN (n) xN (n) = ⎨ 0, n = 其他 ⎩DFT又可看作以有限长序列x(n) 为一个周期，进行周期延拓后所形成的周期序列 xp(n)的离散频谱x(n)、X(k)分别称作X ( k ) = ∑ x ( n) wn=0 N −1 − nk N% % xN (n)、X N (k ) 的主值1 x ( n) = Nnk X (k ) wN ∑ k =0 N −1DFTIDFT6x p (n)−Nn0DFSX p (k )N2N−N 20x(n)0N 2NknNDFTX (k )0Nk7DFT小结DFT 是 DFS 的主值序列 DFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的 DFT 只是一种借用形式，一种算法用DFT 计算信号的频谱时采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率对周期信号要取一个整周期83、DFT的性质线性对称性圆周位移圆周卷积9(1) 线性若DFT x1 (n) ←⎯⎯ X 1 (k ) →DFT x2 (n) ←⎯⎯ X 2 (k ) →如果x1(n)、x2(n) 如果x1(n)、x2(n) 长度不同，长度长度不同，长度短的序列要补短的序列要补零，使它与另一零，使它与另一序列长度相同序列长度相同那么DFT ax1 (n) + bx2 (n) ←⎯⎯ aX 1 ( k ) + bX 2 ( k ) →1011(2)对称性若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性：若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称性：(N-k)mod N 表示“N －k 对N 取模”，即：如果N －k 写成N-k=qN+l ，q 、l 为整数，，则有()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−=−()()(()mod )X k X k X N k N ∗∗=−−=−−0l N ≤≤()mod N k N l−=12(3)圆周位移序列x(n)的圆周位移定义 n 0是位移值，R N (n)是矩形序列%00(()mod )()()()N N N x n n N R n x n n R n −=−圆周位移的概念n若)()()(k H k X k Y =17例6计算x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周乘积，其中解：x 1(n)、x 2(n)的N 点DFT 为11200()()0N nk Nn N k X k X k w −−==⎧===⎨⎩∑其他12101()()0n N x n x n ≤≤−⎧==⎨⎩其他因此，有2120()()()0k N X k X k X k =⎧===⎨⎩其他x 1(n)、x 2(n)的N 点圆周卷积是X(k)的反DFT 变换01()0n N N x n ≤≤−⎧=⎨⎩其他频域圆周卷积定理若19四、快速傅立叶变换（FFT）DFT 的计算量DFT 的特点FFT 的基本思想FFT 应用中的注意事项1 DFT22π222、DFT 的特点（3）由于DFT 计算量与N 成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT ，最后将它们组合，得到原序列的DFT 。

第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法-庄

域时域连续性离散周期性周期
频域
离散
周期
时域的离散造成频域的延拓（周期性）。根据对偶性，频域的离散也会造成时域的延拓（周期散化，
令 d 0 从而 k 0
k 2F0 , N
j 0 kT N 1 n 0
s 0
n 0
N 1
j
2 kn N
0 k N 1

N称为DFT变换区间长度， N M
令
WN e
j
2 N
，记作旋转因子
傅里叶变换与逆变换对为：
kn X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WN n 0 N 1 N 1
0 k N 1 0 n N 1
N
示周期序列的频谱特性，即DFT能够描述FT的特征
24
2.DFT与FT、ZT之间的关系

有限长序列
x(n) n 0,1, 2, M 1
N M
DFT与ZT、FT、DFS
X ( z ) ZT [ x(n)] X (e ) FT [ x(n)]
j j
n

x(n) z
7
2 时域：以Ts 采样，频域延拓周期 s Ts 2 频域：以0 采样，时域延拓周期T0 0
x(n)
T0 1 F0
Ts
1 fs
t n
| X (e
jk0T
)|
s
2 Ts
0
2 T0
k
8
四种形式归纳
类型
傅里叶变换傅里叶级数
时间函数
连续非周期
频率函数

N
(1)
1-z -8 X(z)= , -1 1-z

数字信号处理—原理、实现及应用(第4版)第3章离散傅里叶变换及其快速算法学习要点及习题答案

·54· 第3章离散傅里叶变换（DFT ）及其快速算法（FFT ）3.1 引言本章是全书的重点，更是学习数字信号处理技术的重点内容。

因为DFT （FFT ）在数字信号处理这门学科中起着不一般的作用，它使数字信号处理不仅可以在时域也可以在频域进行处理，使处理方法更加灵活，能完成模拟信号处理完不成的许多处理功能，并且增加了若干新颖的处理内容。

离散傅里叶变换（DFT ）也是一种时域到频域的变换，能够表征信号的频域特性，和已学过的FT 和ZT 有着密切的联系，但是它有着不同于FT 和ZT 的物理概念和重要性质。

只有很好地掌握了这些概念和性质，才能正确地应用DFT （FFT ），在各种不同的信号处理中充分灵活地发挥其作用。

学习这一章重要的是会应用，尤其会使用DFT 的快速算法FFT 。

如果不会应用FFT ，那么由于DFT 的计算量太大，会使应用受到限制。

但是FFT 仅是DFT 的一种快速算法，重要的物理概念都在DFT 中，因此重要的还是要掌握DFT 的基本理论。

对于FFT 只要掌握其基本快速原理和使用方法即可。

3.2 习题与上机题解答说明：下面各题中的DFT 和IDFT 计算均可以调用MA TLAB 函数fft 和ifft 计算。

3.1 在变换区间0≤n ≤N -1内，计算以下序列的N 点DFT 。

(1) ()1x n =(2) ()()x n n δ=(3) ()(), 0＜＜x n n m m N δ=- (4) ()(), 0＜＜m x n R n m N = (5) 2j()e, 0＜＜m n N x n m N π=(6) 0j ()e n x n ω=(7) 2()cos , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(8)2()sin , 0＜＜x n mn m N N π⎛⎫= ⎪⎝⎭(9) 0()cos()x n n ω=(10) ()()N x n nR n =(11) 1,()0n x n n ⎧=⎨⎩，解：(1) X (k ) =1N kn N n W -=∑=21j0eN kn nn π--=∑=2jj1e1ekN n k nπ---- = ,00,1,2,,1N k k N =⎧⎨=-⎩(2) X (k ) =1()N knNM n W δ-=∑=10()N n n δ-=∑=1，k = 0, 1, …, N -1(3) X (k ) =100()N knNn n n W δ-=-∑=0kn NW 1()N n n n δ-=-∑=0kn NW，k = 0, 1, …, N -1为偶数为奇数·55·(4) X (k ) =1m knN n W -=∑=11kmN N W W --=j (1)sin esin k m N mk N k N π--π⎛⎫⎪⎝⎭π⎛⎫ ⎪⎝⎭，k = 0, 1, …, N -1 (5) X (k ) =21j 0e N mn kn N N n W π-=∑=21j ()0e N m k nNn π--=∑=2j()2j()1e1em k N N m k Nπ--π----= ,0,,0≤≤1N k mk m k N =⎧⎨≠-⎩(6) X (k ) =01j 0eN nknN n W ω-=∑=021j 0e N k nN n ωπ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=∑=002j 2j 1e1ek NN k N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭π⎛⎫- ⎪⎝⎭--= 0210j 202sin 2e2sin /2N k N N k N k N ωωωπ-⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤π⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，k = 0, 1, …, N -1或 X (k ) =00j 2j 1e 1e Nk N ωωπ⎛⎫- ⎪⎝⎭--，k = 0, 1, …, N -1(7) X (k ) =102cos N kn N n mn W N -=π⎛⎫ ⎪⎝⎭∑=2221j j j 01e e e 2N mn mn kn N N N n πππ---=⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭∑=21j ()01e 2N m k n N n π--=∑+21j ()01e 2N m k n N n π--+=∑=22j ()j ()22j ()j ()11e 1e 21e 1e m k N m k N N N m k m k N N ππ--+ππ--+⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦=,,20,,N k m k N mk m k N M ⎧==-⎪⎨⎪≠≠-⎩，0≤≤1k N - (8) ()22j j 21()sin ee 2j mn mnN N x n mn N ππ-π⎛⎫== ⎪-⎝⎭ ()()112222j j j ()j ()0011()=e e ee 2j 2j j ,2=j ,20,(0≤≤1)N N kn mn mn m k n m k n N N N N N n n X k W Nk m N k N mk k N --ππππ---+===--⎧-=⎪⎪⎨=-⎪⎪-⎪⎩∑∑其他(9) 解法① 直接计算χ(n ) =cos(0n ω)R N (n ) =00j j 1[e e ]2n n ωω-+R N (n )X (k ) =1()N knNn n W χ-=∑=0021j j j 01[e e ]e 2N kn n n N n ωωπ---=+∑=0000j j 22j j 11e 1e 21e 1e N N k k N N ωωωω-ππ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤--⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，k = 0, 1, … , N -1 解法② 由DFT 共轭对称性可得同样的结果。

第3章--离散傅里叶变换(DFT)

设x(n)是一种长度为M旳有限长序列，则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数，即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望同学们高度注重。
第三章离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考

第三章离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考3.1 图P3.1所示的序列是周期为4的周期性序列。

请确定其傅里叶级数的系数。

解：3.2 （1）设为实周期序列，证明的傅里叶级数是共轭对称的，即。

（2）证明当为实偶函数时，也是实偶函数。

证明：（1）（2）因为实函数，故由（1）知有或又因为偶函数，即，所以有3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号。

利用DFS的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级数的系数，确定以下式子是否正确。

（1），对于所有的k；（2），对于所有的k；（3）；（4），对所有的k是实函数。

解：（1）正确。

因为一个周期为N＝10的周期序列，故也是一个周期为N＝10的周期序列。

（2）不正确。

因为一个实数周期序列，由例3.2中的（1）知，是共轭对称的，即应有，这里不一定是实数序列。

（3）正确。

因为在一个周期内正取样值的个数与负取样值的个数相等，所以有（4）不正确。

根据周期序列的移位性质，＝对应与周期序列，如图P3.3_1所示，它不是实偶序列。

由题3.2中的（2）知道，不是实偶序列。

3.4 设，，求，并作图表示和。

解：和的图形如图3.4_1所示：3.5 在图P3.5中表示了两个周期序列和，两者的周期都为6，计算这两个序列的周期卷积，并图表示。

解：图P3.5_1所示的是计算这两个序列的周期卷积的过程，可以看出，是延时1的结果，即。

3.5 计算下列序列的N点DFT：(1)(2)(3)(4)解：（1）（2）（3）（4）3.7 图P3.7表示的是一个有限长序列,画出和的图形。

（1）（2）解：和的图形如图P3.7_1所示：3.8 图P3.8表示一个4点序列。

（1）绘出与的线性卷积结果的图形。

（2）绘出与的4点循环卷积结果的图形。

（3）绘出与的8点循环卷积结果的图形，并将结果与（1）比较，说明线性卷积与循环卷积之间的关系。

解：（1）图P3.8_1（1）所示的是与的线性卷积结果的图形。

（2）图P3.8_1（2）所示的与的4点循环卷积结果的图形。

数字信号处理：第3章离散傅里叶变换(DFT)

N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
同理可证明(3.1.2)式中
x(n+mN)=x(n)
~
实际上，任何周期为N的周期序列 x 都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
~
x
的一个周期，即
~
x(n) x(n mN )
式和(3.2.10)式代入得到
x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n)
xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］
(3.2.12) (3.2.13) (3.2.14)
2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］ jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X (k) DFT[x(n)]
1 N
N 1 n0
X (n)WNkn ,
k=0, 1, &, N-1
(3.1.2)
式中，
j 2
eN
， N称为DFT变换区间长度N≥M，
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。下面
证明IDFT［X(k)］的唯一性。
则 ((n))N=n1
~
例如， N 5, x(n) x(n)5,

离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)

0
2 （弧度，数字频率）
0
fs /2
fs f （Hz，模拟频率）
0
s /2
s （弧度/秒，模拟角频率）
25
DFS 定义：几点说明
频率成份
•
直流分量：
当 k=0 时，号的直流分量（DC
N 1
X%(0) x%(n)WN 0n n0
Component），
N 1
x%(n)
，n此0是时信X%(得号0)到/的N的平傅均里值叶；级数的系数称为信
1
X%(k
)e
j
(
2 N
)km
N k0
变量m替换为n，得
x%(n)
1 N
N
1
X%(
k
)e
j
(
2
N
) kn
k0
1 N
N 1
X%(k )WN kn
k0
21
DFS 定义：反变换
DFS 变换对：时域周期序列与频域周期序列间的关系
N 1
X%(k ) x%(n)WN kn
n0
x%(n)
1 N
N 1
5
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式（2）
1. 连续信号（非周期）的付氏变换
x(t)
X ()
t
x(t) X (),
t
x(t) 1 X ()e jt d
2
X () x(t)e jt dt
时域连续函数造成频域是非周期的谱时域的非周期造成频域是连续的谱
6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式（3）
（1）必须是时间限x制(n（) 有限时宽0）,
其它
0

数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)精品

期延拓，得到
xN (n) x((n))N
定义x(n)的循环移位序列为
y(n) xN (n m)RN (n) x((n m))N RN (n) 上式表示将序列x(n)以N为周期进行周期延拓，再左移m个
单位并取主值序列，就得到x(n)的循环移位序列y(n)。
下图中(a)、(b)、(c)和(d)分别描述了x(n)、xN (n) 、 xN (n m)和y(n)。图中M=6，N=8，m=2。
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域
频率域
FT、LT Ω、s:连续
时间域
n:离散
数字域 FT、ZT
频率域
ω、z：连续
数字域
DFT
频率域
k：离散
返回
DFT
的图形解释
Z变换、 DTFT、DFT 的取值范围
X (k) X (ej ) 2k ，k=0, 1, 2, …, N-1 N
结论： (1)序列的N点DFT是序列傅里叶变换在频率区间[0，2] 上的N点等间隔采样，采样间隔为2 /N。 (2)序列的N点DFT是序列的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样，频率采样间隔为2 /N。
返回
• 序列x(n)的N点DFT是 x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样；
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程学习的一大重点。

第三章离散傅里叶变换(DFT)

西北大学信息科学与技术学院 2007年
3.1.1 有限长序列的离散频域表示
我们已学过三种傅里叶分析工具，它们分别应用于不同性质的信号。
1. 应用于连续周期信号——傅里叶级数展开
j2 kt
xa t Cke T
k
Ck
1 T
T２－T２
xα
(t
－ｊ２
)e T
kt
dt
其中，T是信号 xa t的周期，Ck 表示了xa (t)的
离散傅里叶变换定义为
X (k)
N 1
x nWNkn
n0
0
0 k N 1 其他
西北大学信息科学与技术学院 2007年
反变换公式为
x(n)
N 1
X
k
W kn N
0 n N 1
k 0
0
其他
DFT是借用了DFS，这样就假定了序列的周期性，但定义式本身对区间作了强制约束，以符合有限长特点，这种约束不改变周期性的实质，或者说，DFT隐含了周期性。
fc n xn yn
M 1 m0
x
m
y
n m
l
RL
n
M 1 m0
x
m
r
y
n
m
rL
RL
n
r
M 1 m0
x
m
y
n
rL
m
RL
n
r
f
n
rL
Rl
n
西北大学信息科学与技术学院 2007年
圆周卷积fc (n) 等于一个周期序列的主值序列，该周期序列是线性卷积f (n)以L为周期进行周期延拓的结果，因此，当L ≥ L1满足时， fc (n)必然等于f (n)，但是，如果L < L1 ，则fc (n)不等于f (n) 。

《数字信号处理》C3离散傅里叶变换及快速算法

2 k ) / 2 sin N ( 2 j ( k )( N 1) 1 N N e 2 N 内插函数 k ) / 2 sin ( N N sin 1 2 e j ( N 1) / 2 2 ( ) k ( ) ( k) N sin N 2
j
n

x(n) z n
M 1 n 0
n x ( n ) z jn
X ( e ) DTFT [ x ( n )]
n

x ( n )e

M 1 n 0
jn ( ) x n e
2 j X ( e ) FT [ x N ( n )] N ( k ) DFS [ x N ( n )] X X ( k ) DFT [ x ( n )]N
n 0
N 1
n
1 n0 N
N 1
X (k )W
k 0
N 1
nk N
n z
1 N 1 N 1 nk n X (k ) WN z N k 0 n 0
N 1 1 N 1 k 1 n X (k ) WN z N k 0 n 0
(n) ak e x
k 0 N 1 j 2 kn N
2 2 T 0 0T NT N
为什么是有限项之和？如何求系数？
( n )e x
n 0
N 1
j
2 mn N
2 2 j kn j mn ak e N e N n 0 k 0 N 1 N 1
N 1
ak ak lN
周期
3.1 周期序列的傅里叶级数

第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)2

0 WN 0 WN 0 WN
2 WN
X (0) X (1) X (2) X (3) X (4) X (5) X (6) X (7)
20
W N0
0 WN 0 WN 0 WN
1 WN
W N2
3 WN
W
2 N
顺十进制数I 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1
序二进制数 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
X (k )
N /2 1

l 0
x1 (l )W
kl N /2
W
k N
N /2 1

l 0
kl x2 (l )WN /2
k 0,1,, N 1
(3.4.4)
上式说明，按n的奇偶性将x(n)分解为两个N/2长的序列 x1(l)和x2(l)，则N点DFT可分解为两个N/2点DFT来计算。
2 2
而当N =211=2048时有
2
N2 N2 2 N 2 2048 ≈ 372.37 N CM (2) 11 M M 2
14
3. DIT-FFT的运算规律及编程思想
（1）原位计算（2）旋转因子的变化规律（3）蝶形运算规律（4）序列的倒序（5）编程思想
15
（1）原位计算
用X1 (k )和X 2 (k )分别表示x1 (l )和x2 (l )的N / 2点DFT，即 X1 (k ) DFT[ x1 (l )]N / 2
N / 2 1

l 0
kl x1 (l )WN /2
k 0,1,,
N 1 2
(3.4.5)