正弦、余弦、正切函数的简单应用
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
（2）实际问题中的数学建模：学生在解决实际问题时，往往不知道如何构建数学模型，将实际问题转化为数学问题。
突破方法：教师可以引导学生通过分析实际问题，找出其中的关键信息，然后运用正弦、余弦、正切函数构建数学模型。同时，通过举例讲解，让学生了解这一过程。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了正弦、余弦、正切函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版初中九年级数学下册《正弦、余弦、正切函数的简单应用》教案
一、教学内容
本节课选自人教版初中九年级数学下册，章节为《正弦、余弦、正切函数的简单应用》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义及其在直角三角形中的应用。
-正弦函数：在直角三角形中，正弦值等于对边与斜边的比值。
-余弦函数：在直角三角形中，余弦值等于邻边与斜边的比值。
五、教学反思
在本次教学中，我尝试了多种方法来帮助学生理解正弦、余弦、正切函数的简单应用。从导入新课到实践活动，再到小组讨论，我发现学生们在这些环节中的表现各有亮点，也有一些需要改进的地方。
首先，在导入新课环节，通过提出与日常生活密切相关的问题，成功引起了学生的兴趣。他们积极参与，提出了很多有关测量物体高度和距离的想法。这说明实际情景的引入有助于激发学生的学习热情，使他们更愿意投入到新知识的学习中。
正弦、余弦、正切函数的简单应用
ο
30
ο
45
ο
6028.1 正弦、余弦、正切三角函数的简单应用 一、知识回顾
特殊角三角函数：
锐角三角函数 锐角A
sinA cosA tanA
小试牛刀：
1. ==
==∠AB BC AC Rt ，那么，，中，在31ο
90C △ABC
tanB= , B ∠= A ∠= cosB= cosA=
2. 460==∠=∠b A Rt ，，中，在ο
ο
90C △ABC ,那么B ∠=
AB AC = AB= AC
BC
= BC= tanA= tanB=
二、新知应用
例：1.如图，在Rt △ABC 中，的度数。
，求，，A BC AB C ∠===∠3690ο
2.如图，AO 是圆锥的高，OB 是地面半径，的度数。
，求αOB AO 3=
三、易错点总结
四、知识点升华
1. 根据图中条件可以解决那些问题
已知平行四边形ABCD 中，ο
45522=∠==A DC AD ，，
2. 在△ABC 中，645,5
2
sin 90==∠==∠DC BDC AC D A C ，上的一点，为，
οο
求AB 的长。
3. 根据图中给出的条件，ο
ο4530=∠=∠BAC D ，，AD=400，我们可以解决哪些问题？
4. 已知，如图，⊙O 的半径 OA=4，弦 AB= ，求劣弧 AB 的长．
5.在四边形ABCD 中，cm CD cm AB DC AD BC AB A 10,20,60==⊥⊥=∠，，ο
，求AD,BC 的长。
O O。
6个三角函数
6个三角函数三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在各种科学、工程和技术领域中广泛应用。
其中，最基本的三角函数是正弦函数、余弦函数和正切函数，它们常常被称为“6个三角函数”。
在这篇文档中，我们将详细介绍这6个三角函数的定义、性质和应用。
一、正弦函数正弦函数是最基本的三角函数之一，它通常表示为sin(x)。
它的定义域是所有实数，值域是[-1,1]。
正弦函数的图像是一个周期为2π的波形，它的振幅为1，周期为2π。
正弦函数在数学中应用非常广泛，例如在解析几何、微积分、数学分析等领域都有着重要的作用。
在图像处理、信号处理、音频处理等领域，正弦函数经常被用来表示周期性信号。
二、余弦函数余弦函数也是三角函数中的一种，它通常表示为cos(x)。
余弦函数的定义域也是所有实数，值域是[-1,1]。
余弦函数的图像是一个周期为2π的波形，它的振幅也是1，周期为2π。
余弦函数在数学中也是非常重要的，它经常被用来表示两个向量之间的夹角、傅里叶级数等。
在各种领域的信号处理中，余弦函数也是非常有用的。
三、正切函数正切函数是三角函数中的第三种函数，它通常表示为tan(x)。
正切函数的定义域是所有实数，但是它的值域是（-∞，+∞）。
在x轴上，正切函数有一个无限的奇点，即在每个奇数π/2处，它的函数值分别趋向于正无穷大和负无穷大。
正切函数在三角学和微积分中非常重要，它经常被用来表示斜率、曲率半径等。
四、余切函数余切函数是三角函数中的第四个函数，它通常表示为cot(x)。
余切函数的定义域也是所有实数，但是它的值域是（-∞，+∞）。
与正切函数一样，余切函数在x轴上也有无数个奇点。
余切函数在三角学、微积分和工程学中都有重要的应用，例如在电路分析、通信系统等领域中经常被用来表示电阻、电感、电容等元件。
五、正割函数正割函数是三角函数中的第五个函数，它通常表示为sec(x)。
正割函数的定义域包括所有不等于(2n+1)π/2的实数，其中n为任意整数。
三角函数正弦余弦正切
三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。
它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。
本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。
一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。
正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。
5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。
二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。
余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。
余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。
2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。
3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。
4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。
5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。
余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。
三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。
正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。
人教版九年级下册数学：正弦、余弦、正切函数的简单应用(共32张PPT)
C 30°
1.5
D
10
B
例 操场有一旗杆,老师让小明去测量旗杆高度.小明站在 离旗杆底部10米的位置,目测旗杆的顶部,视线与水平线的 夹角为30度,并已知目高为1.5米．然后他很快就算出旗杆 的高度了.你知道小明怎样算出的吗？
A
C 30°
1.5
D
10
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
你知道小明怎样算出的吗？ ∵CD⊥DB，AB⊥DB
三角形
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.
初三的学习既是机遇也是挑战，只有团结一致，相互帮助，互相追赶，才能到达理想的彼岸。
过点C作CH⊥AB于点H
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
锐角三 ∴CH=DB=10,HB=CD=1.
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
作业布置：课本78页 7、8、9
谢谢聆听！
∠ACH＝30°，CD=1.5
？
H
B
C 30°
1.5
D
10
A
解：由题意可知：DB＝10，
∠ACH＝30°，CD=1.5
过点C作CH⊥AB于点H
？
H
B
A
解：由题意可知：DB＝10，
解：由题意可知：DB＝10，∠ACH＝30°，CD=1.
∠ACH＝30°，CD=1.5
5米．然后他很快就算出旗杆的高度了.Leabharlann C1.53300°°
D
10
A
？
H B
解：由题意可知：DB＝10， ∠ACH＝30°，CD=1.5
三角函数正弦余弦与正切函数
三角函数正弦余弦与正切函数三角函数是数学中非常重要的一部分，其中正弦、余弦和正切函数是三角函数中最常用的函数之一。
它们在几何学、物理学、工程学以及其他许多数学相关领域中都有广泛的应用。
在本文中，我们将详细讨论正弦、余弦和正切函数的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
正弦函数（sine function）是一个周期为2π的周期函数，常用符号为sin(x)。
在一个单位圆内，正弦函数的值等于对应角的弧度值的y坐标。
换句话说，对于一个角度x，正弦函数的值等于对应的弧度值sin(x)。
余弦函数（cosine function）也是一个周期为2π的周期函数，常用符号为cos(x)。
在一个单位圆内，余弦函数的值等于对应角的弧度值的x坐标。
换句话说，对于一个角度x，余弦函数的值等于对应的弧度值cos(x)。
正切函数（tangent function）是正弦函数和余弦函数的比值，常用符号为tan(x)。
正切函数的值等于正弦函数的值除以余弦函数的值，即tan(x) = sin(x) / cos(x)。
正弦、余弦和正切函数有许多重要的性质。
其中一个重要的性质是它们的周期性，即它们的值在每个周期内都是重复的。
正弦和余弦函数的最小正周期是2π，而正切函数的最小正周期是π。
另一个重要的性质是它们的奇偶性。
正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，而余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)。
正切函数则既不是奇函数也不是偶函数，即tan(-x) ≠ -tan(x)。
正弦、余弦和正切函数还有许多其他的性质，例如它们的定义域、值域以及增减性等。
对于正弦和余弦函数来说，它们的定义域是整个实数集，值域是[-1, 1]；而对于正切函数来说，它的定义域是所有余弦函数不等于零的实数，值域是整个实数集。
在几何学中，正弦、余弦和正切函数常常用来计算三角形的边长和角度。
通过已知两个边长或两个角度，可以使用三角函数来求解未知的边长或角度，从而帮助我们理解和解决各种几何问题。
数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用
数学中的三角函数正弦余弦与正切的应用在数学中，三角函数是一种基础的数学工具，常用于解决与角度和三角形相关的问题。
其中，正弦、余弦和正切是三角函数中最常见且广泛应用的三种。
它们在几何、物理、工程等领域中起到了重要的作用。
本文将介绍三角函数正弦、余弦和正切的定义、性质以及其在各个领域中的具体应用。
一、正弦函数的定义与性质在三角函数中，正弦函数(sin)是最基本且常见的函数之一。
它的定义如下：定义1：对于任意实数x，正弦函数sin(x)的值等于以x为角度的弧所对应的直角三角形中，斜边的长度与斜边所在直角的邻边的比值。
正弦函数的性质如下：性质1：正弦函数的周期为2π（或360°）。
即sin(x+2π) = sin(x)，对于任意实数x。
性质2：正弦函数的取值范围为[-1,1]。
即-1≤ sin(x) ≤1，对于任意实数x。
正弦函数在几何、物理等领域中有许多应用。
1. 几何中的应用正弦函数在解决几何问题中起到了重要的作用，尤其是在三角形中。
其中，正弦定理是一项基于正弦函数的重要几何定理。
它可以用于计算三角形的边长或角度。
利用正弦函数，可以得到正弦定理的数学表达式如下：对于任意三角形ABC，边长分别为a, b, c，对应的角度分别为A, B, C，那么有：sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c根据这个定理，我们可以根据已知的两个边与它们夹角的关系，求解未知边长或角度。
2. 物理中的应用正弦函数在物理学中的应用非常广泛。
例如，振动和波动等现象均可以通过正弦函数进行描述和分析。
在简谐振动中，物体以正弦函数的形式来回振动。
振动的幅度、频率以及相位差等都可以通过正弦函数来表示。
在波动中，正弦函数也被广泛应用。
例如，声波、光波等均可以表示为正弦函数的形式。
通过正弦函数可以描述波的振幅、频率、波长等特征。
3. 工程中的应用正弦函数在工程领域中也有很多应用。
例如，在电工学中，交流电信号可以表示为正弦函数。
小学数学中的三角函数认识正弦余弦与正切
小学数学中的三角函数认识正弦余弦与正切小学数学中的三角函数认识正弦、余弦与正切三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其在几何学、物理学以及工程学等领域具有重要地位。
在小学数学中，正弦、余弦和正切是最基础的三角函数，它们是帮助我们理解角度和比例关系的关键工具。
一、正弦（sin）正弦函数是一个周期函数，它将角度与比例关系联系起来。
在直角三角形中，我们常用正弦函数来计算一个角的正弦值，正弦值等于该角的对边长度与斜边长度的比值。
换句话说，正弦值表示了一个角与直角三角形斜边的相对关系。
二、余弦（cos）与正弦类似，余弦函数也是一个周期函数。
在直角三角形中，我们常用余弦函数来计算一个角的余弦值，余弦值等于该角的邻边长度与斜边长度的比值。
余弦值可以理解为角度与直角三角形邻边的相对关系。
三、正切（tan）正切函数也是一个周期函数，它与正弦和余弦之间存在着简单的比例关系。
在直角三角形中，正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。
正切值可以帮助我们理解角度与直角三角形对边的相对关系。
通过正弦、余弦和正切函数，我们可以在直角三角形中求解未知边长或未知角度。
此外，在数学问题的解决中，三角函数还可以用于构建方程、解决几何问题以及描述周期性现象等。
除了直角三角形，我们还可以通过单位圆的方式理解三角函数。
单位圆是半径为1的圆，以圆心为原点建立直角坐标系。
在单位圆中，正弦函数的值等于角度对应的弧长在y轴上的投影，余弦函数的值等于角度对应的弧长在x轴上的投影，正切函数的值等于正弦值除以余弦值。
这种几何图形化的解释可以帮助学生更好地理解三角函数的意义。
总结起来，小学数学中的三角函数正弦、余弦和正切是描述角度与比例关系的重要工具。
通过在直角三角形中的应用以及单位圆的解释，我们能够更好地认识和理解三角函数。
对于小学生而言，掌握这些基本的三角函数概念，能够扎实地打下数学学科的基础，为未来的学习打下坚实的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
B
AB 2AC 2 2
理性提升
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°b=20,解这个直角
三角形.(精确到0.1)
A
tan 350 0.70 sin350 0.57
方法构想
知道是求什么吗?
20
35°
B
C
理性提升
例2.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°b=20,解这个直角
Ａ
bＣ
(3)根据∠A=60°,∠B=30°,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
三角形有六个元素,分别是_三__条_边__和_三_个__角__.
温故 知新
B
在直角三角形的六个元素中,除直 c a 角外,如果知道两个元素, (其中至
少有一个是边),就可以求出其余三 个元素.
A bC 在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过
(1) a=30 ,b=20 c 10 13 ∠A=56°19′,∠B=33°41′.
(2)∠B=72°, c=14
a =4.3262,b=13.3148,∠A=18°.
理性提升
解决有关比萨斜塔倾斜的问题．
设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中
心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，
垂足为点C（如图），在Rt△ABC中，∠C＝
三角形.(精确到0.1)
A
tan 350 0.70 sin350 0.57
解: tan B b
a
b
c
20
20 28.6
tan B tan 35 0.70 b
B
35°
20 C
sinB
c bc 20 20 35.1
sinB sin 35 0.57
随堂练习
在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解 直角三角形.
b c
温故 知新 B
C
A
Rt△ABC中除直角之外的五要素: 三条边:AB,AC,BC;两个锐角:∠A ,∠B
温故
知新 在Rt△ABC中, Ｂ (1)根据∠A= 75°,斜边AB=6,你
能求出这个三角形的其他元素吗?
c a (2)根据AC=2.4m,斜边AB=6,你能 求出这个三角形的其他元素吗?
A
△ABC的周长=AB+BC+AC =2 7 +5+ 3 ．
B
B
DC
小结归纳
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
a b c （1）三边之间的关系 2
2
2（勾股定理）
A
（2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90° （3）边角之间的关系
b
c
sin
A
A的对边 斜边
a c
sin
B
B的对边 斜边
程,叫 解直角三角形
温故 知新 解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(3)边角之间的关系:
sin A a ,cos A b ,tan A a
c
c
c
sinB a ,cosB b ,tan B a
c
c
c
B ca
CB
90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
sin A BC 5.2 0.0954 AB 54.5
所以∠A≈5°28′
可以求出2001年纠偏后塔身中心线
A
与垂直中心线的夹角．
你愿意试着计算一下吗？
2
中考链接 1
1．（2010．日照）如图，在等腰Rt△ABC中，
∠C=90 °，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA= ，
则AD的长为（1 ）
A．2
B5． 3．宜宾）已知，在△ABC
中，∠A= 45°, AB= 3+1 ， AC= 2 ，则边BC的长为 2 ．
中考链接 2
3．（2010．重庆）已知：如图，在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC= 3 ．点D为BC边上一点，且 BD=2AD，∠ADC=60°．求△ABC周长．（结果 保留根号）
b c
C
a
B
cos
A
A的邻边 斜边
b c
cos
B
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
独立 作业
教材P92 习题28.2: 1,2.
预习 探路
在△ ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三 角形：∠ B=600,c=10.
∠ A=300,a=5, b= 5 3
温故
知新
在Rt△ABC中
sinA= A的对边 = a A的斜边 c
cosA=
A的邻边 A的斜边
=
b c
tanA= A的对边 =
A的邻边
a b
cot
A
A的邻边 A的对边
A bC
理性提升
例1.在RtABC中,C 90, AC 2,BC 6,
解 直 角 三 角 形.
A
方法构想
知道是求什么吗?
2
C
6
B
理性提升
例1.在RtABC中,C 90, AC 2,BC 6,
解 直 角 三 角 形.
解: tan A BC
2
A
3
AC 6
2
A 600
B 900 600 300C 6
课题: 28.2 解直角三角形(1)
制件：李开铜 重庆
学习 目标
1.使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理， 直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角 三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的 能力． 3.渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．