作业解答

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1 某理发店只有一名理发师，来理发的顾客按泊松分布到达，平均每小时4人，理发时间服从负指数分布，平均需6分钟。 ①判断排队系统模型，画出系统的状态转移速度图；

②理发店空闲的概率、店内有三个顾客的概率、店内至少有一个顾客的概率； ③在店内顾客平均数、在店内平均逗留时间； ④等待服务的顾客平均数、平均等待服务时间。

解: ① 依题意, 该问题是一个M/M/1等待制排队系统，系统容量和顾客源无限。

② 理发店空闲的概率：04

110.610

p λμ=-

=-=。 店内有三个顾客的概率：3344

()(1)0.03841010p =⨯-=。

店内至少有一个顾客的概率：010.4p -=。 ③店内顾客平均数：4

0.66667104s L λμλ

=

=

=--。 在店内的平均逗留时间：11

0.16667104

s

s e

L W λμλ=

=

==--。 ④等待服务的顾客平均数：244

0.26667()10(104)

e q s L L λλμμμλ⨯=-=

==-⨯-。

平均等待服务时间：0.06667()

q

q e

L W λ

λμμλ==

=-。

2 某加油站有一台油泵。来加油的汽车按泊松流到达，平均每小时二十辆，但当加油站已有n 辆汽车时，新来汽车中将有一部分不愿意等待而离去，离去概率为n ／4（n=0,1,2,3,4）。油泵给一辆汽车加油所需要的时间为均值3分钟的负指数分布。

①画出排队系统的状态转移速度图； ②导出其平衡方程式；

③求出系统的运行参数,,,,s q e s q L L W W λ。

解：根据题意，顾客按泊松流到达，λ＝20辆／小时，服务时间服从负指数分布， μ＝20辆／小时。一个服务台1C =，系统容量为N=4，离去的概率为n ／4。

①状态转移速度图及状态转移速度矩阵：

33()

44()22()44λλ

λλμμλλ

μμλλμμμμ-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥

⎢⎥-+⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

-+⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎣

⎦

③稳态条件下的状态概率方程：=0P Λ 即：

01234533()

44(,,,,,)()22()44p p p p p p λλ

λλμμλλ

μμλλμμμμ-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥

⎢

⎥=-+⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥

-+⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥

⎣⎦0

0110

0p p p p λ

λμμ-+=⇒=

， 20122033()0()44p p p p p λ

λμλμμ-++=⇒=，

312330313()0()428p p p p p λ

λμλμμ-++=⇒=， 423440113()0()2432p p p p p λ

λμλμμ

-++=⇒=。 由于4

1k k p ==∑，2341033332[1()()()]0.311(1)4832103p λλλλλ

μμμμμ

-=+

+++===。

③系统运行参数：

2344

2340

69126912[

()()()]112848324832 1.243333333103[1()()()]1148324832

s k k L kp λλλλμμμμλλλλμμμμ=++++++=====++++++++

∑。 4

4

4

01

1

1

12871

(1)(1)0.553103103q k k k s k k k L k p kp p L p ====-=-=--=

-=∑∑∑。 (e q s L L λμ

=-) 071

()(1)20200.689313.786103

e s q L L p λμμ=-=-=⨯

=⨯=（辆/小时）， 或者 23012303

1333[1()()()]13.786()4

244832e p p p p p λ

λλλλλλλλμμμ=+++=+++=辆小时

。

128

0.09014() 5.408(min)7120

s

S e

L W h λ=

==≈⨯。

1

2.408(min)q s W W μ

=-

≈。

3 有一台电话的公用电话亭打电话顾客服从6λ=个／小时的泊松分布，平均每人打电话为3分钟，服从负指数分布。试求

①到达者在开始打电话前需等待10分钟以上的概率； ②顾客从达到时算起到打完电话离开超过10分钟的概率；

③管理部门决定当打电话顾客平均等待时间超过3分钟时，将安装第二台电话，问当λ值为多大时安装第二台？

解：依题意，该系统是M/M/1等待制排队系统，1/10λ=个／min ，1/3μ=个／min 。

0110.30.7p λμ=-

=-= 1110()(0.3)0.70.21p p λ

μ

==⨯= 2220()(0.3)0.70.063p p λμ==⨯= 3330()(0.3)0.70.0189p p λμ

==⨯=

4440()(0.3)0.70.00567p p λμ==⨯= 5550()(0.3)0.70.001701p p λμ

==⨯=

①若排队等待时间超过10min , 则队长至少为4，系统中应至少有5个顾客。 出现这种情况的概率＝012341()10.997570.00243p p p p p -++++=-= ②若逗留时间超过10 min, 则队长至少为4，系统中起码有4个顾客。 出现这种情况的概率＝01231()10.99190.0081p p p p -+++=-= ③3()

q W λ

μμλ=

>-，（1/3μ=）则1/6λ>时，需要安装第二台电话。

4 某汽车修理部有4个修理工，每个修理工可以单独修理汽车，也可以和其他修理工合作共同修理汽车。前来修理部寻求修理的汽车按泊松流到达，平均每天到达2辆。当修理部内有4辆汽车时，后来的汽车将离去。修理一辆汽车所