2.1 随机变量的概念与离散型随机变量

现象。
用随机变量表示事件
例1：在掷骰子试验中，
X表示出现的点数 出现偶数点 出现的点数小于4
用随机变量X表示事件
{X=2} {X=4} {X=6}
{X< 4}或{X3}
例2 观察一个电话交换台在一段时间（0，T）内 接到的呼叫次数。 X表示呼叫次数 接到的呼叫次数k次 收到不少于1次呼叫 用随机变量X表示事件 { X k } (k 0,1, 2, )
写出随机变量X的分布律. 【解】
X
X=3、4、5
3 4 5 P(X=4)
1 0 .1 3 C5
3 0 .3 3 C5
P
0.1
0.3
0.6
P(X=5)
C 0 .6 C
2 4 3 5
例2
设随机变量X的分布律为
2 k P X k b( ) , k 1, 2, 3, 3 试确定常数b.
之对应，称 X X ( ) 为样本空间Ω上
的随机变量（Random Variable） 。

1 2 3
0
X=X (2)
X=X (1)
x
随机变量的特征:
1.任一随机事件就可以用随机变量在实数轴
上的某一集合中的取值来表示，
2. 随机变量是定义在样本空间上的 (样本空
间的元素不一定是实数) 一个函数，
记X为共抽到的次品数，则
2 5
1 X ~ B( 5, ) 4
2 5 2
1 1 P{ X 2} C 1 4 4

例
一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒. 求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2） 不小于8粒发芽的概率。 记X为种子发芽数，则
泊松分布的背景及应用
二十世纪初罗瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的 粒子个数的情况时, 他们做了2608 次观察(每次时间为7.5 秒)发现 放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子 数X 服从泊松分布.
实际问题中若干随机变量服从或近似服 从 Poisson分布的情形：
– 服务台在某时间段内接待的服务次数； – 交换台在某时间段内接到呼叫的次数; – 矿井在某段时间发生事故的次数; – 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； – 单位体积空气中含有某种微粒的数目
引入随机变量的意义
1. 随机事件的发生可以用随机变量的取值表示．
2.可以用随机变量取值的概率来研究随机事件发生 的概率，从而将随机事件概率的研究转化为随机变 量取值概率的研究. 3.使我们用分析的方法来研究随机试验成为可能．
随机变量是研究随机试验的有效工具．
随机变量的类型
离散型 非离散型
随机变量的所有取值是有限个或可列个
△定义2.1.3： 若随机变量X的分布律为: X P 0 1－p 1 p
则称X服从参数为p 的二点分布或(0-1)分布,
2.1.3.2 二项分布
Binomial distribution
定义2.1.4 在n重贝努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,…,n. 随机变量X的分布律
故所求概率分布为： X
0
1
0.26
2
0.02
pk 0.72
例5： 设有一批产品20件，其中有3件次品， 从中任意抽取2件，如果用X表示取得的次品 数，求随机变量X的分布律及事件“至少抽 得一件次品”的概率。 解： X的可能取值为 0，1，2
P{X=0} P{X=1} P{X=2}
2 C17 2 C 20
2.1.3.3
定义2.1.5
泊松分布
Poisson distribution
若随机变量 X 的分布律为:
P{ X k }
其中 记为

k
k!
e , ( k 0,1,2,)

>0,
则称X服从参数为的泊松分布
X～P()
泊松分布的图形
泊松分布的图形
泊松分布的图形
泊松分布的图形
体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，
都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的
平均值求出。
Poisson分布的性质
1. P{ X k } 0 (k 0,1,2,)
2.
PX k
k 0 k 0


e
k

k！
e

e k！
k 0


k

e 1
=1/2+1/6=2/3
例4 某系统有两台机器相互独立地运转。设第一台
与第二台机器发生故障的概率分别为0.1，0.2，以 X表示系统中发生故障的机器数，求X 的分布律
X=0、1、2 设Ai 表示事件“第 i台机器发生故障”， i 1,2
解 P{X=0}= P{X=1}= P{X=2}=
0.9 0.8 P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) P ( A1 A2 ) 0.1 0.8 0.9 0.2 0.1 0.2 P ( A1 A2 )
称此式为X的分布律（列）或概率分布
（Probability distribution)
•要研究离散型随机变量X的分布律， 就要完成如下两件事： 1．随机变量的取值及其范围是什么？
2．它取每个值或在某个范围内取值的概率是多少？
离散随机变量分布律的表示法
1.公式法
P X xk pk
X x1， x2 ，… xk …
解
X～B（10, 0.9）
(1) P(X=8)= C 8 0.98 0.12 0.1937 10
(2)P(X≥8)= P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)
C 0.9 0.1 C 0.9 0.1 C 0.9
8 10 8 2 9 10 9 10 10
10
0.9298
例7：某人骑自行车从学校到火车站，一路上要经过 3个独立的交通灯，设各灯工作独立，且设各灯为红 灯的概率为p，0<p<1，以X表示首次停车时所通过 的交通灯数，求X的概率分布律。
解：设Ai={第i个灯为红灯}， 则P(Ai)=p，i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。 P{X=0}=
P{X=1}= P{X=2}= P{X=3}=
X 0
P A1 A2 1 p p 2 P A1 A2 A3 1 p p
P A1 p
P A1 A2 A3 1 p
1 2
2





3
3
3
p
p
p(1-p) (1-p) p (1-p)
2.1.2 几种常见的离散型分布
2.1.3.1 0-1分布(二点分布 )
解
k！ 3 4 4 e (1) P{ X 3} 3! ( 2) P{ X 4} P{ X 0} P { X 1} P { X 2} P { X 3} P{ X 4}
随即变量的取值有无穷多个，且不可列
其中连续型随机变量是一种重要类型
2.1.2 离散随机变量及其分布
定义2.1.2 如果随机变量X的所有取值是有限个或可 列个,则称X为离散型随机变量。 设离散型随机变量X的所有可能取值是
x1 , x2 ,
即
, xn ,
，而取值 x k的概率为 pk
P{ X x k } pk , k 1,2,,
第二章
主要内容
2.1 随机变量的概念与离散型随机变量 2.2 随机变量的分布函数 2.3 连续型随机变量及其概率密度
2.4 随机变量函数的分布
2.1
随机变量的概念与 离散型随机变量
Random Variable and Distribution
如何引入随机变量
基本思想
将样本空间数量化,即用数值来表示试验的结果
泊松(1781-1840) 法国数学家
青年时期曾学过医学,后因喜好数学于
1798年入巴黎综合工科学院深造。他的数 学才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。 泊松的科学生涯开始于研究微分方程及 其单摆的运动和声学理论中的应用。他工 作的特色是应用数学方法研究各类力学和 物理问题，并由此得到数学上的发现。 他对积分理论、热物理，弹性理论、电磁 理论、位势理论和概率论都有重要贡献。
例6 从一批次品率为p的产品中，有放回
抽样直到抽到次品为止。 求抽到次品时，已抽取的次数X的分布律。
解 记Ai=“第i次取到正品”,i=1,2,3,…
则 Ai , i=1,2,3,… 是相互独立的！
{X=k }= A1 A2
Ak 1 Ak
X的所有可能取值为 1，2，3，… ,k,… P(X=k)= P( A1 A2 Ak 1 Ak ) (1-p)k-1p ,k=1,2,…

例1：设随机变量X的分布律为 P
X k a

k
k！
其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. 【解】由分布律的性质知
1
k 0
PX k a k！ ae
k 0



k

故 ae

例:
已知某电话交换台每分钟接到的呼唤次数X
服从=4的泊松分布，分别 求 （1）每分钟内恰好接到3次呼唤的概率； （2）每分钟不超过4次的概率
2.表格法
p1 ， p2 ，…
pK …
随机变量X的概率分布特征： 全面表达了X的所有可能取值 以及取各个值的概率情况
两条性质
1)
pk 0

k 0,1,2,
2)
p
k 1
k
1