浅谈数学中的反证法

浅谈数学中的反证法

一、反证法的定义

关于反证法，牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一。”这就充分肯定了反证法在数学应用中的积极作用和不可动摇的重要地位.古希腊数学家欧道克斯正是依据了反证法发现了无理数（√2的非有理性证性明就是一例）.罗巴切夫斯基（Ｌｏｂａｔｃｈｅｖｓｋｙ）也是依据了反证法发现非欧几何学，从某种意义上说，也是总结了用反证法证明平行公理失败的教训，从而得到启示的结果.就是说把有理数域扩充到实数以及非欧几何的诞生都是逆向思维——特别是反证法的伟大功绩．鉴于此，近年来的教育工作中，对学生的逆向思维原则的培养得以增强，各大中小学教育中更加注重培养学生思维的多向性、创造性与灵活性．

二、反证法的步骤

在中学数学题目的求解证明过程中，当直接证明一个命题感到困难时，我们经常采用反证法的思想.由此，我们总结出用反证法证明命题的四个步骤: ①审题

一定要将命题的前提，命题的结论弄清楚.

②提出假设

根据假设的条件以及原命题，对原命题提出否定.

③逻辑证明

从假设出发，根据数学中现有的公理、定义、公式、定理以及，命题等条件，在逻辑推理的正确引导下得出逻辑矛盾.

④肯定结论

对原命题的正确性进行肯定.

三、反证法的逻辑应用

反证法指的是从反面的角度，对问题进行思考的一种证明方法，也是间接证明中的一种类型.换言之，就是对题设肯定，却对结论否定，在这个过程中将矛盾到过来进行推理.

四、中学数学中反证法的应用

1)否定性命题的证明

例题1：三个正整数a,b,c成等比数列，但不成等差数列，求证√a,√b,√c不成等差数列

解：假设√a,√b,√c成等差数列，则√a+√c=2√b,

两边同时平方得a+c+2√ac=4b.

又a,b,c成等比数列，所以b2=ac,

即b=√ac，

所以a+c+2√ac=4√ac,

所以a+c-2√ac=0,即（(√a−√c)2=0,

所以√a=√c,从而a=b=c,

所以a,b,c可以成等差数列，这与已知中“a,b,c不成等差数列”矛盾.

原假设错误，故√a,√b,√c不成等差数列.

2)限定式命题的证明

3)无穷性命题的证明

例题3：求证：质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的

证：假设质数序列是有限的，序列的最后一个也就是最大质数为P，全部序列

为2，3，5，7，11，13，17，19......P

再构造一个整数N=2×3×5×7×11×…×P+1

显然N不能被2整除，N不能被3整除，……N不能被P整除，

即N不能被2，3，5，7，11，13，17，19......P中的任何一个整除，所以N是个质数，而且是个大于P的质数，与最大质数为P矛盾，即质数序列2，3，5，7，11，13，17，19......是无限的.

4)逆命题的证明

5)某些存在性命题的证明

6)全称肯定性命题的证明

7)一些不等量命题的证明

8)基本命题的证明

五、总结