初二-第07讲-垂直平分线与角平分线(提高)-教案
线段的垂直平分线性质教案
线段的垂直平分线性质教案教案标题：线段的垂直平分线性质教案教案目标：1. 理解线段的垂直平分线的概念和性质。
2. 能够应用垂直平分线的性质解决与线段相关的问题。
3. 提高学生的观察力和推理能力。
教学资源：1. 教材：包含线段和垂直平分线相关知识的教科书。
2. 教具：直尺、铅笔、彩色纸、剪刀等。
3. 视频或图片资源：用于展示和讨论线段的垂直平分线性质。
教学过程：1. 导入（5分钟）- 引导学生回顾线段和垂直平分线的概念。
- 提问学生，你们知道线段的垂直平分线有哪些性质吗？2. 理解性质（15分钟）- 展示一张图片或视频，展示线段的垂直平分线。
- 引导学生观察图片或视频中的线段和垂直平分线。
- 提问学生，你们观察到了哪些线段的垂直平分线性质？- 引导学生总结线段的垂直平分线性质，如：垂直平分线将线段分成两个相等的部分，垂直平分线与线段的两条边垂直等等。
3. 实践应用（20分钟）- 将学生分成小组，每组分发一些彩色纸、剪刀和直尺。
- 要求学生利用彩色纸和剪刀制作线段和垂直平分线的模型。
- 引导学生观察自己制作的模型，发现其中的垂直平分线性质。
- 提问学生，你们的模型符合线段的垂直平分线性质吗？为什么？4. 拓展应用（15分钟）- 给学生出示一些线段相关的问题，要求他们利用垂直平分线的性质解决问题。
- 引导学生分析问题，找出关键信息，并运用垂直平分线的性质进行推理和解答。
- 鼓励学生互相讨论和分享解题思路。
5. 总结（5分钟）- 引导学生回顾本节课学到的内容，总结线段的垂直平分线性质。
- 每个学生写下自己对线段的垂直平分线性质的理解和应用。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和理解程度。
2. 学生制作的线段和垂直平分线模型是否符合线段的垂直平分线性质。
3. 学生在拓展应用环节中的解题能力和思维逻辑。
4. 学生的总结和反思。
教学延伸：1. 学生可进一步研究线段的垂直平分线与其他几何图形的关系，如矩形、正方形等。
07.秋季-八年级-第7讲-垂直平分线与角平分线 教师版
第八讲 垂直平分线与角平分线 姓名：______【知识导航】【知识要点】一、 垂直平分线线段垂直平分线：经过线段中点并且垂直在这条线段的直线.线段垂直平分线性质定理：垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 简记：“垂分线 斜线段相等”.线段垂直平分线判定定理（逆定理）：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 简记：“斜线段相等 垂分线”. 【例题详解】 【例 1】 如图，在△ABC 中，已知BC 比AC 长3cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，交AB 于点E ，△ACD的周长是15cm ，求BC 和AC 的长．【解析】∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴△ACD 的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC ，由题意得，315BC AC AC BC −=⎧⎨+=⎩，解得96BC AC =⎧⎨=⎩．∴BC 和AC 的长分别为9cm ，6cm ．【例 2】 如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =22.5°，斜边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，点F 在AC 上，点E 在BC 的延长线上，CE =CF ，连接BF ，DE ．线段DE 和BF 在数量和位置上有什么关系？并说明理由．【解析】DE =BF ，DE ⊥BF ．理由如下：连接BD ，延长BF 交DE 于点G ． ∵点D 在线段AB 的垂直平分线上， ∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A =22.5°．在R t △ABC 中，∵∠ACB =90°，∠A =22.5°， ∴∠ABC =67.5°，∴∠CBD =∠ABC ﹣∠ABD =45°， ∴△BCD 为等腰直角三角形，垂直平分线与角平分线垂直平分线角平分线∴BC =DC ．在△ECD 和△FCB 中， CE CF DCF BCF CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴R t △ECD ≌R t △FCB （SAS ）， ∴DE =BF ，∠CED =∠CFB ． ∵∠CFB +∠CBF =90°， ∴∠CED +∠CBF =90°， ∴∠EGB =90°，即DE ⊥BF ．【例 3】 如图，在△ABC 中，AB 边垂直平分线交BC 于点D ，AC 边垂直平分线交BC 于点E ，连接AD 、AE ．（1）若∠BAC=110°，求∠DAE 的度数； （2）若∠BAC=θ（0°＜θ＜180°），求∠DAE 的度数（用含θ的式子表示）【解析】（1）∵AB 的垂直平分线交BC 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ， ∴DB=DA ，EC=EA ， ∵∠BAC =110°， ∴∠B+∠C=70°， ∵DB=DA ，EC=EA ，∴∠DAB=∠B ，∠EAC =∠C ， ∴∠DAB+∠EAC =70°，∴∠DAE=110°﹣70°=40°， （2）分两种情况：①如图所示，当∠BAC ≥90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，同理可得，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C=180°﹣θ，∴∠DAE=∠BAC ﹣（∠BAD+∠CAE ）=θ﹣（180°﹣θ）=2θ﹣180°；②如图所示，当∠BAC ＜90°时， ∵DM 垂直平分AB ， ∴DA=DB ， ∴∠B=∠BAD ，同理可得，∠C=∠CAE ，∴∠BAD+∠CAE =∠B+∠C =180°﹣θ，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE ﹣∠BAC =180°﹣θ﹣θ=180°﹣2θ．【例 4】 如图所示，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，BC AC =，D 为BC 边上的中点，AD CE ⊥于点E ，AC BF ∥交CE 的延长线于点F ，求证：AB 垂直平分DF ．【解析】连接DF ，90BCE ACE ∠+∠=︒，90ACE CAE ∠+∠=︒， BCE CAE ∴∠=∠．AC BC ⊥，//BF AC ．BF BC ∴⊥．90ACD CBF ∴∠=∠=︒， AC CB =，ACD CBF ∴∆≅∆．CD BF ∴=．12CD BD BC ==，BF BD ∴=．BFD ∴∆为等腰直角三角形．90ACB ∠=︒，CA CB =，45ABC ∴∠=︒．90FBD ∠=︒，45ABF ∴∠=︒．ABC ABF ∴∠=∠，即BA 是FBD ∠的平分线．BA ∴是FD 边上的高线，BA 又是边FD 的中线， 即AB 垂直平分DF ．二、 角平分线1．一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．2．角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等．3．角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角平分线上． 【例题详解】【例 5】 已知，如图AB=AC ，∠A =108°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，求证：BC=AB+CD ．【解析】证明：在线段BC 上截取BE=BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠EBD =12∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ） ∴∠BED=∠A =108°，∠ADB=∠EDB ． 又∵AB=AC ，∠A=108°，∠ACB =∠ABC=12×（180°﹣108°）=36°， ∴∠ABD=∠EBD =18°．∴∠ADB =∠EDB =180°﹣18°﹣108°=54°． ∴∠CDE =180°﹣∠ADB ﹣∠EDB =180°﹣54°﹣54°=72°． ∴∠DEC =180°﹣∠DEB =180°﹣108°=72°． ∴∠CDE=∠DEC ． ∴CD=CE ．∴BC=BE+EC=AB+CD ．【例 6】 在▱ABCD 的两边AD ，CD 上各取一点F ，E ，连接AE ，CF 交于点P ，且AE =CF ．求证：PB 平分∠APC ．【解析】证明：连接BE ，BF ，过B 作BN ⊥CF ，BM ⊥AE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABE =S △BFC =12S 平行四边形ABCD ，∴12•AE ×BM =12CF •BN ， ∵AE =CF ，∴BM =BN ， ∴PB 平分∠APC ．【例 7】 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ，连接AP ．（1）求证：P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；（2）过点C 作CE ⊥AP ，E 是垂足，并延长CE 交BM 于点D ．求证：CE =ED ．【解析】证明：（1）过P 作PT ⊥BC 于T ，PS ⊥AC 于S ，PQ ⊥BA 于Q ，如图，∵在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角的平分线相交于点P ， ∴PQ =PT ，PS =PT ， ∴PQ =PS ，∴AP 平分∠DAC ，即P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ；（2）∵P A 平分∠BAC 的外角∠CAM ， ∴∠DAE =∠CAE ， ∵CE ⊥AP ，∴∠AED =∠AEC =90°， 在△AED 和△AEC 中 DAE CAE AE AEDEA CEA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AED ≌△AEC ， ∴CE =ED ．【例 8】 如图，△ABC 中，∠A =60°，∠ACB 的平分线CD 和∠ABC 的平分线BE 交于点G ．求证：GE=GD ．【解析】连接AG ，过点G 作GM ⊥AB 于M ，GN ⊥AC 于N ，GF ⊥BC 于F ．∵∠A =60°，∴∠ACB+∠ABC =120°， ∵CD ，BE 是角平分线， ∴∠BCG+∠CBG=120°÷2=60°， ∴∠CGB =∠EGD =120°，∵G 是∠ACB 平分线上一点， ∴GN=GF ，同理，GF=GM ， ∴GN=GM ，∴AG 是∠CAB 的平分线， ∴∠GAM=∠GAN =30°，∴∠NGM=∠NGA+∠AGM =60°+60°=120°， ∴∠EGD =∠NGM =120°， ∴∠EGN =∠DGM ， 又∵GN=GM ，∴Rt △EGN ≌Rt △DGM （AAS ）， ∴GE=GD ．三、 综合练习【例 9】 如图，OE ，OF 分别是△ABC 中AB ，AC 边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC 、∠OCB 的平分线相交于点I ，试判定OI 与BC 的位置关系，并给出证明．【解析】OI ⊥BC ．理由：连接OA ，过点I 作IM ⊥OB 于点M ，过点I 作IN ⊥OC 于点N ，过点I 作IG ⊥BC 于点G ， ∵OE ，OF 分别是AB ，AC 边的中垂线， ∴OA =OB ，OA =OC ， ∴OB =OC ，∵∠OBC ，∠OCB 的平分线相交于点I ， ∴IM =IG ，IN =IG ， ∴IM =IN ，∴点I 在∠BOC 的角平分线上， ∴OI ⊥BC ．【例 10】 如图，ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，DG BC ⊥且平分BC ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ．（1）说明BE CF =的理由；（2）如果5AB =，3AC =，求AE 、BE 的长．【解析】（1）证明：连接BD ，CD ，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥， DE DF ∴=，90BED CFD ∠=∠=︒， DG BC ⊥且平分BC ， BD CD ∴=，在Rt BED ∆与Rt CFD ∆中， BD CDDE DF =⎧⎨=⎩， Rt BED Rt CFD(HL)∴∆≅∆， BE CF ∴=；（2）在AED ∆和AFD ∆中， 90AED AFD EAD FADAD AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AED AFD AAS ∴∆≅∆， AE AF ∴=，设BE x =，则CF x =，5AB =，3AC =，AE AB BE =−，AF AC CF =+， 53x x ∴−=+， 解得：1x =，1BE ∴=，514AE AB BE =−=−=．【备用题】【例 11】 已知如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，以两腰AB ，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，设线段AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M ，EP ⊥l 于P ，FQ ⊥l 于Q ． 求证：EP=FQ ．【解析】过D 作PN 的平行线分别交FQ 、BC 于点K 、L ，设AD 的垂直平分线交AD 于N ，在△FKD 与△DLC 中，∠DFK =90°﹣∠FD K=∠CDL ，∠FKD =∠DLC =90°，DF=DC ， ∴△FKD ≌△DLC ， ∴FK=DL ，∴FQ=FK+KQ=DL+DN ， 同理可得，EP=DL+AN ， 又∵MN 为AD 中垂线，∴AN=ND，∴EP=FQ【巩固练习】 1. 如图，在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠120A ，cm BC 12=，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为 ．【解析】∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠A=120°，∴∠B=∠C=30°， 连接AM ，AN ，∵ME 是AB 的垂直平分线，∴AM=BM ，∠BAM=∠B=30°，∴∠CAM=∠BAC ﹣∠BAM=120°-30°=90°， ∴CM=2AM=2BM ， ∴3BM=BC=12cm ，∵BM=4cm ，同理可得，CN=4，∴MN=BC ﹣CN ﹣BM=12﹣4﹣4=4（cm ）．2. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，EF 垂直平分BD ．求证：∠ABD =∠BDF ．【解析】∵EF 垂直平分BD ，∴FB=FD ，∴∠FBD =∠BDF ，∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴∠ABD=∠FBD ， ∴∠ABD =∠BDF ．3. 如图，已知∠AOB =40°，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，CD 交OA 、OB 于M 、N 两点，求∠MPN 的度数是多少？ 【解析】∠OMN=x, ∠ONM=y .得∠PMN =180°-2x , ∠PNM =180°-2y , ∠MPN=2x+2y-180°. 由x+y+40°=180°,得∠MPN=100°．4.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．【解析】（1）∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴2∠MAD+2∠ADM=180°，∴∠MAD+∠ADM=90°，∴∠AMD=90°，即AM⊥DM；（2）作NM⊥AD交AD于N，∵∠B=90°，AB∥CD，∴BM⊥AB，CM⊥CD，∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，∴BM=MN，MN=CM，∴BM=CM，即M为BC的中点．5.如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度数．【解析】（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM=CM，CN=BN，∵△CMN的周长为18cm，即CM+CN+MN=18，∴AM+BN+MN=AB=18cm．∴AB=18cm．（2）∵DM垂直平分AC，∴∠1=∠2，∵EN垂直平分BC，∴∠3=∠4，又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，则2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，∠1+∠4=65°，∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．6.已知△ABC的两条角平分线BD，CE交于点O，OD=OE，∠ABC=70°，求∠A的度数．【解析】∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A，∵△ABC的两条角平分线BD、CE交于O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣12（∠ABC +∠ACB ）=180°﹣12（180°﹣∠A ）=90°+12∠A ，∴∠EOD =90°+12∠A ，连接OA ，作OF ⊥AB 于点F ，OG ⊥AC 于点G ，OH ⊥BC 于点H ，∵△ABC 的两条角平分线BD 、CE 交于O ， ∴OF =OG =OH ，在R t △EOF 和R t △DOG 中，OF OGOE OD =⎧⎨=⎩∴R t △EOF ≌R t △DOG （HL ）， ∴∠EOF =∠DOG ， ∴∠FOG =∠EOD ， ∵OF ⊥AB ，OG ⊥AC ， ∴∠A +∠FOG =180°， ∴∠A +∠EOD =180°， ∴∠A +90°+12∠A =180°，∴∠A =60°． 如图，过点O 作FO ⊥AC 于F ，OG ⊥AB 于G ， ∴OG =OF同上的方法得，R t △OGE ≌R t △OFD ， ∴∠EOG =∠DOF ， ∵∠BOE =∠COD ， ∴∠BOG =∠COF ，∵OG =OF ，∠BGO =∠CFO ， ∴△BOG ≌△COF ， ∴∠ABO =∠ACE ，∵BD ，CE 是△ABC 的角平分线， ∴∠ACB =∠ABC =70°， ∴∠A =180°﹣70°﹣70°=40° 故答案为60°或40°。
八年级数学上册《线段的垂直平分线与角的平分》教案、教学设计
2.学生在运用垂直平分线和角的平分线性质解决问题时，可能会遇到推理困难，教师应引导学生通过逐步推导，培养他们的逻辑思维能力；
3.针对不同学生的学习能力，教师应分层设计教学活动，使每个学生都能在原有基础上得到提高；
（四）课堂练习
1.教学活动设计：设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识，并及时进行反馈和指导。
2.教学过程：首先，发放练习题，要求学生在规定时间内完成。接着，教师收集学生答案，针对普遍存在的问题进行讲解。最后，针对个别学生的疑问，进行个别辅导，确保学生掌握所学知识。
（五）总结归纳
1.教学活动设计：对本节课的知识点进行总结，强调重难点，梳理知识体系，并进行情感教育。
1.教学方法：
（1）导入阶段：通过实际生活中的例子，如公路建设、园林设计等，引出线段的垂直平分线和角的平分线的概念，激发学生的学习兴趣；
（2）讲解阶段：运用多媒体演示和实物模型，让学生直观地理解垂直平分线和角的平分线的性质，同时结合课本，进行详细的讲解；
（3）实践阶段：设计具有挑战性的习题，让学生动手操作，培养他们运用垂直平分线和角的平分线解决问题的能力；
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动设计：通过展示一张地图，标注两个城市之间的道路，提出如何确定两地之间的最短距离问题，引发学生对线段的垂直平分线的思考。
2.教学过程：首先，让学生观察地图，思考如何找到两地之间的最短距离。接着，引导学生回顾之前学过的线段中点的知识，为引入线段的垂直平分线做铺垫。最后，提出线段的垂直平分线的概念，激发学生的好奇心和求知欲。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线和角平分线的定义。
2. 让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质。
3. 培养学生运用垂直平分线和角平分线解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 垂直平分线的定义：垂直平分线是指一个线段的两端点关于某条直线对称，且这条直线垂直于线段所在的平面。
2. 角平分线的定义：角平分线是指一个角的内部的一条直线，它将这个角分成两个相等的角。
3. 垂直平分线的性质：a. 垂直平分线上的任意一点到线段两端点的距离相等。
b. 垂直平分线垂直于线段所在的平面。
c. 垂直平分线上的任意一点到线段所在直线的距离等于线段一半。
4. 角平分线的性质：a. 角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
b. 角平分线将角分成两个相等的角。
c. 角平分线上的任意一点到角的两边的夹角等于该点到角的两边的距离的比值。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线和角平分线的定义及其性质。
2. 教学难点：垂直平分线和角平分线的性质的应用。
四、教学方法：1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示垂直平分线和角平分线的定义和性质。
2. 利用实物模型，让学生直观地感受垂直平分线和角平分线的性质。
3. 运用例题讲解，让学生掌握垂直平分线和角平分线的性质及应用。
4. 开展小组讨论，让学生互相交流学习心得，提高解题能力。
五、教学过程：1. 引入新课：通过展示实际生活中的垂直平分线和角平分线的例子，引导学生思考并引入本节课的主题。
2. 讲解垂直平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解垂直平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
3. 讲解角平分线的定义和性质：利用多媒体课件和实物模型，讲解角平分线的定义和性质，让学生直观地理解并掌握。
4. 应用练习：出示一些有关垂直平分线和角平分线的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
教学评价：通过课堂讲解、练习解答和小组讨论，评价学生对垂直平分线和角平分线的理解掌握程度。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案第一章：垂直平分线的概念与性质1.1 垂直平分线的定义解释线段垂直平分线的概念强调线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质1.2 垂直平分线的性质展示线段垂直平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解垂直平分线的性质1.3 垂直平分线的作图教授如何作出线段的垂直平分线的方法让学生通过实际操作来加深对垂直平分线作图方法的理解第二章：角平分线的概念与性质2.1 角平分线的定义解释角平分线的概念强调角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质2.2 角平分线的性质展示角平分线的基本性质引导学生通过几何证明来理解角平分线的性质2.3 角平分线的作图教授如何作出角的平分线的方法让学生通过实际操作来加深对角平分线作图方法的理解第三章：垂直平分线与角平分线的交点3.1 垂直平分线与角平分线的交点性质解释垂直平分线与角平分线的交点（即内心）的性质强调内心到角的两边的距离相等的性质3.2 垂直平分线与角平分线的交点的应用展示如何利用内心解决几何问题引导学生通过实际问题来应用内心性质解决问题第四章：垂直平分线与角平分线在几何中的应用4.1 利用垂直平分线与角平分线证明线段相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明线段相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.2 利用垂直平分线与角平分线证明角度相等教授如何利用垂直平分线与角平分线证明角度相等让学生通过实际操作来加深对证明方法的理解4.3 利用垂直平分线与角平分线解决实际问题展示如何利用垂直平分线与角平分线解决实际问题引导学生通过实际问题来应用垂直平分线与角平分线性质解决问题第五章：线段垂直平分线的几何作图与应用5.1 线段垂直平分线的作图方法复习线段垂直平分线的作图技巧通过实际操作演示和练习，让学生熟练掌握作图方法5.2 线段垂直平分线在几何作图中的应用介绍线段垂直平分线在解决几何作图问题中的应用通过具体例子展示如何利用线段垂直平分线构造特殊图形或证明几何性质第六章：角平分线的几何作图与应用6.1 角平分线的作图方法教授角平分线的作图方法通过练习让学生掌握角平分线的作图技巧6.2 角平分线在几何作图中的应用探讨角平分线在几何作图中的作用举例说明如何利用角平分线构造特殊图形或证明几何性质第七章：垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用7.1 线性规划问题中的应用介绍如何利用垂直平分线与角平分线解决线性规划问题通过实际案例分析，让学生理解几何方法在解决实际问题中的应用7.2 几何证明问题中的应用展示垂直平分线与角平分线在几何证明中的重要性引导学生运用这些线段的性质解决复杂的几何证明问题第八章：垂直平分线与角平分线的综合练习8.1 综合练习题设计设计一系列综合练习题，涵盖垂直平分线与角平分线的知识点确保练习题难度层次分明，适合不同水平的学生8.2 学生练习与反馈监督学生完成练习题，提供必要的帮助和指导收集学生练习结果，分析错误原因，给予针对性的反馈第九章：垂直平分线与角平分线的拓展学习9.1 拓展阅读材料提供关于垂直平分线与角平分线的拓展阅读材料鼓励学生阅读这些材料，以加深对相关概念和应用的理解9.2 研究性学习项目设计一个研究性学习项目，让学生深入研究垂直平分线与角平分线的某个方面指导学生进行研究，帮助他们在探究中学习和思考第十章：总结与评价10.1 知识点回顾与学生一起回顾本教案中的关键概念和定理强调垂直平分线与角平分线在几何学中的重要性10.2 学生评价对学生在整个教案学习过程中的表现进行评价收集学生对教案的反馈，以改进未来的教学设计和内容安排重点和难点解析：一、垂直平分线的作图方法：学生往往对如何准确作出线段的垂直平分线感到困惑，需要通过多次练习和讲解来掌握。
实践中的线段垂直平分线——八年级数学教案
实践中的线段垂直平分线——八年级数学教案线段垂直平分线是初中数学中的重要概念之一，在实践中具有重要的应用价值。
本篇文章将以八年级数学教案为例，详细介绍线段垂直平分线的概念、性质和实际应用，并分析如何通过实践活动来提高学生的数学素养和应用能力。
一、线段垂直平分线的概念线段垂直平分线指的是一条直线，该直线与给定线段垂直且平分该线段。
如下图所示，CD为线段AB的垂直平分线。
[插入图片]二、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线有以下性质：1.垂直性质：线段垂直平分线与线段相交于该线段的中点时，它必然垂直于该线段。
2.平分性质：线段垂直平分线必然与线段等分。
3.唯一性质：对于任意给定的线段，它的线段垂直平分线是唯一的。
三、线段垂直平分线的实际应用线段垂直平分线在实际生活中有很多应用。
以下是其中一些应用。
1.建筑设计：建筑设计中经常需要按照某个比例来划分空间，线段垂直平分线可以用来精确地划分空间。
2.地图制图：地图制图需要精确地测量距离并画出线段垂直平分线，以精确标记地图上的位置。
3.医学应用：医学上需要测量身体的长度和距离，线段垂直平分线可以用来测量身体各部位的长度和距离。
四、如何通过实践活动提高学生数学素养和应用能力在教学中，为了提高学生的数学素养和应用能力，我们可以通过以下实践活动来帮助学生更好地理解线段垂直平分线的概念和应用。
1.制作模型：教师可以让学生自己制作一个三维模型，模型中包含线段垂直平分线等概念，让学生更加直观地了解线段垂直平分线的性质。
2.测量距离和角度：教师可以利用地图等工具来让学生测量实际距离和角度，并通过线段垂直平分线等概念来进行精确标记。
3.实际设计：教师可以利用实际建筑设计来让学生理解线段垂直平分线等概念在实际建筑设计中的应用。
通过以上实践活动，学生可以更加直观地了解线段垂直平分线的概念和应用，进一步提高他们的数学素养和应用能力。
线段垂直平分线是高中数学中的一个重要概念，它在实际应用中有很多价值。
初中数学初二数学上册《线段的垂直平分线与角的平分线》教案、教学设计
4.小组合作题：以小组为单位，探讨以下问题，并在下节课上进行汇报。
（1）线段的垂直平分线与角的平分线有哪些共同点与不同点？
（2）在实际应用中，线段的垂直平分线和角的平分线有哪些重要作用？
1.给出线段的垂直平分线和角的平分线的定义，结合图形进行讲解，让学生直观地理解这两种概念。
2.通过尺规作图，演示如何作出线段的垂直平分线和角的平分线，让学生掌握作图方法。
3.讲解线段的垂直平分线和角的平分线的性质，并通过实例进行验证。
4.分析线段的垂直平分线和角的平分线的判定方法，结合典型例题进行讲解，让学生掌握解题技巧。
3.强调本节课的重点和难点，提醒学生课后加强练习，巩固所学知识。
4.表扬优秀学生和进步学生，鼓励他们在今后的学习中继续努力。
五、作业布置
为了巩固学生对线段的垂直平分线和角的平分线的理解，提高学生的几何解题能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第chapter页的练习题，包括填空题、选择题和解答题。重点在于让学生熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的性质及判定方法。
2.实践应用题：结合生活实际，让学生找出身边的线段和角的平分现象，用文字和图形描述，并说明其应用。此类题目旨在培养学生将几何知识应用于生活的能力。
3.提高拓展题：完成以下两道综合题，要求学生运用线段垂直平分线和角平分线的知识，解决几何问题。
（1）如图，线段AB的垂直平分线交AB于点C，交直线DE于点F。已知CF=4cm，AF=6cm，求BF的长度。
-设想实施：组织学生参与户外或实验室的几何测量活动，让学生在实际操作中运用线段和角的平分线知识，体会数学与生活的联系。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案一、教学目标：1. 让学生理解垂直平分线的定义，掌握垂直平分线的性质和判定方法。
2. 培养学生运用垂直平分线解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和几何绘图能力。
二、教学内容：1. 垂直平分线的定义2. 垂直平分线的性质3. 垂直平分线的判定方法4. 垂直平分线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：垂直平分线的定义、性质和判定方法。
2. 教学难点：垂直平分线的判定方法及在实际问题中的应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生发现垂直平分线的性质和判定方法。
2. 利用几何绘图软件，动态展示垂直平分线的特点，增强学生的直观感受。
3. 设计具有代表性的练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾线段的性质，引导学生思考线段的垂直平分线。
2. 探究垂直平分线的性质：让学生自主探究，发现垂直平分线的性质，并进行验证。
3. 学习垂直平分线的判定方法：引导学生根据性质推导出判定方法，并进行讲解。
4. 应用练习：设计一些实际问题，让学生运用垂直平分线解决问题。
6. 布置作业：布置一些有关垂直平分线的练习题，巩固所学知识。
教案编辑专员：X日期：2024年月日六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问，了解学生对垂直平分线定义、性质和判定方法的理解程度。
2. 练习反馈：收集学生的练习作业，评估其对垂直平分线的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。
七、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固垂直平分线的性质和判定方法。
八、课程拓展：1. 让学生进一步研究垂直平分线在几何图形中的应用，如圆的垂直平分线、角的垂直平分线等。
2. 引导学生将垂直平分线的性质和判定方法应用到其他学科领域，如物理学、计算机科学等。
九、教学反思：2. 反思教学方法，探讨如何更好地引导学生理解和应用垂直平分线。
3. 考虑如何在后续教学中，将垂直平分线与其他几何概念相结合，提高学生的综合运用能力。
八年级数学上册《线段垂直平分线的性质定理》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.理解并掌握线段垂直平分线的性质定理，能够准确运用定理解决相关问题。
2.培养学生运用逻辑推理进行几何证明的能力，特别是对于性质定理的论证过程。
3.指导学生将线段垂直平分线的性质定理应用于解决实际问题，提高学生的知识迁移能力。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
-通过引入生活中的实际例子，如公路设计中的中线问题，让学生感受到线段垂直平分线在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
（四）课堂练习
1.设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。
2.教师巡回指导，解答学生在解题过程中的疑问。
3.针对学生的错误，进行有针对性的讲解，帮助学生理解线段垂直平分线的性质定理。
4.鼓励学生互相讨论，共同解决练习中的问题。
（五）总结归纳
1.让学生回顾本节课所学内容，总结线段垂直平分线的性质定理。
-基础题：求证线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
-拓展题：解决实际问题，如测量道路设计中，找到距离两端点相等的点。
2.设计一道综合性的几何证明题，要求学生运用线段垂直平分线的性质定理，并结合已学的几何知识进行证明。
-题目：已知线段AB，点C在线段AB上，且AC=BC，证明：点C在线段AB的垂直平分线上。
二、新课讲解
1.学生自主探究：让学生画一条线段，并找到它的垂直平分线，观察垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离是否相等。
垂直平分线教案
垂直平分线教案教案标题：垂直平分线教案一、教学目标：1. 理解垂直平分线的概念和性质。
2. 能够使用尺规作图法画出垂直平分线。
3. 能够应用垂直平分线解决相关问题。
二、教学内容：1. 垂直平分线的定义和性质。
2. 尺规作图法画垂直平分线。
3. 应用垂直平分线解决相关问题。
三、教学重点：1. 理解垂直平分线的概念和性质。
2. 能够使用尺规作图法画出垂直平分线。
四、教学难点：1. 应用垂直平分线解决相关问题。
五、教学方法：1. 导入法：通过引入生活中的实际例子，激发学生对垂直平分线的兴趣。
2. 讲授法：通过讲解垂直平分线的定义、性质和尺规作图法，帮助学生理解和掌握相关知识。
3. 演示法：通过示范尺规作图法画垂直平分线的步骤，让学生观察和模仿。
4. 合作学习法：组织学生在小组内合作解决相关问题，促进彼此之间的交流和合作。
六、教学资源：1. 教学课件和投影仪。
2. 尺规、直尺、铅笔和纸张。
七、教学过程：第一步：导入（5分钟）1. 引入生活中的实际例子，如建筑物中的垂直墙壁、垂直电线杆等，引起学生对垂直平分线的思考和兴趣。
第二步：讲授（15分钟）1. 介绍垂直平分线的定义和性质，包括垂直平分线将一条线段分成两个相等的部分。
2. 通过示意图和实际例子，帮助学生理解垂直平分线的概念和性质。
第三步：演示（15分钟）1. 示范使用尺规作图法画垂直平分线的步骤，包括：a. 画出一条线段AB。
b. 以A为圆心，以AB为半径，画一个圆。
c. 以B为圆心，以AB为半径，画另一个圆。
d. 连接两个圆的交点C和D，得到垂直平分线CD。
2. 让学生观察演示过程，并模仿进行实践。
第四步：合作学习（20分钟）1. 将学生分成小组，每个小组给出一个实际问题，要求使用垂直平分线解决。
2. 学生在小组内合作讨论，通过尺规作图法画出垂直平分线，并给出解决问题的步骤和答案。
3. 每个小组派代表上台展示他们的解决方案，并与其他小组进行讨论和比较。
垂直平分线与角平分线精讲教案
第一章：垂直平分线的定义与性质1.1 引入垂直平分线的概念通过实际例子，让学生感受垂直平分线的作用和意义。
引导学生思考：如何找到一个线段的垂直平分线？1.2 垂直平分线的性质讲解线段的垂直平分线的性质，如垂直、平分等。
通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线的性质。
1.3 垂直平分线的作图教授如何作一条线段的垂直平分线的方法。
让学生动手实践，尝试作图并验证结果。
第二章：角平分线的定义与性质2.1 引入角平分线的概念通过实际例子，让学生感受角平分线的作用和意义。
引导学生思考：如何找到一个角的角平分线？2.2 角平分线的性质讲解角的角平分线的性质，如将角平分、垂直等。
通过几何图形，让学生理解并证明角平分线的性质。
2.3 角平分线的作图教授如何作一个角的角平分线的方法。
让学生动手实践，尝试作图并验证结果。
第三章：垂直平分线与角平分线的联系讲解垂直平分线与角平分线的交点的性质和特点。
通过几何图形，让学生理解并证明垂直平分线与角平分线的交点的性质。
3.2 垂直平分线与角平分线在解题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在解题中的应用。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决问题？第四章：垂直平分线与角平分线的综合应用4.1 垂直平分线与角平分线的几何证明通过几何图形，让学生理解和证明垂直平分线与角平分线之间的关系。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线进行几何证明？4.2 垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用通过实际例子，讲解垂直平分线与角平分线在实际问题中的应用。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决实际问题？第五章：巩固与拓展5.1 垂直平分线与角平分线的练习题提供一些有关垂直平分线与角平分线的练习题，让学生巩固所学知识。
引导学生思考：如何运用垂直平分线与角平分线解决练习题？5.2 垂直平分线与角平分线的拓展知识讲解与垂直平分线与角平分线相关的拓展知识，如线段垂直平分线的性质等。
垂直平分线的性质与判定教案
垂直平分线的性质与判定教案一、教学目标知识与技能：1. 理解垂直平分线的定义。
2. 掌握垂直平分线的性质与判定方法。
3. 能够运用垂直平分线的性质与判定解决实际问题。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生直观思维能力。
2. 利用几何画板或实物模型，引导学生探索垂直平分线的性质与判定。
情感态度价值观：1. 培养学生的团队合作精神，鼓励学生在探究过程中互相交流、合作。
2. 激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
二、教学重点与难点重点：1. 垂直平分线的定义。
2. 垂直平分线的性质与判定方法。
难点：1. 垂直平分线的性质与判定在实际问题中的应用。
三、教学准备教师准备：1. 几何画板或实物模型。
2. 教学PPT或黑板。
3. 练习题。
学生准备：1. 笔记本。
2. 尺子、圆规、橡皮擦等学习工具。
四、教学过程1. 导入：利用一个实际问题引入垂直平分线的概念，例如：“在平面直角坐标系中，如何找到一点，使得该点到两点距离相等？”2. 探究垂直平分线的性质：学生分组讨论，每组尝试找出一条线段的垂直平分线，并观察其性质。
教师引导学生总结出垂直平分线的性质。
3. 验证垂直平分线的性质：利用几何画板或实物模型，教师引导学生验证垂直平分线的性质。
4. 学习垂直平分线的判定方法：教师引导学生从特殊情况入手，探索垂直平分线的判定方法。
学生分组讨论，总结出判定方法。
5. 应用垂直平分线的性质与判定：教师设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题。
五、课后作业1. 完成练习题。
教学反思：教师在课后对自己的教学进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对不足之处提出改进措施，以提高教学效果。
关注学生的学习情况，了解学生在垂直平分线性质与判定方面的掌握程度，为后续教学提供参考。
六、教学拓展1. 引导学生思考：垂直平分线在实际生活中的应用，例如电线杆的竖直放置、地图上的距离测量等。
2. 介绍垂直平分线的几何意义，如线段的中垂线、角平分线等。
垂直平分线的性质与判定教案
教学目标：1. 理解垂直平分线的定义及其性质。
2. 学会如何判定一条线段垂直平分线。
3. 能够运用垂直平分线的性质解决实际问题。
教学重点：1. 垂直平分线的定义及其性质。
2. 判定一条线段垂直平分线的方法。
教学难点：1. 理解和运用垂直平分线的性质。
2. 判定一条线段垂直平分线的方法。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 尺子、圆规、直尺等绘图工具。
教学过程：第一章：垂直平分线的定义1.1 引入：通过展示一些线段垂直平分线段的例子，引导学生思考垂直平分线的特点。
1.2 讲解：垂直平分线是指一条直线，它垂直于线段所在的平面，并且将线段平分成两个相等的部分。
1.3 练习：让学生自己画出一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足垂直平分线的定义。
2.1 引入：通过展示一些垂直平分线的性质，引导学生思考垂直平分线的特点。
2.2.1 垂直平分线垂直于线段所在的平面。
2.2.2 垂直平分线将线段平分成两个相等的部分。
2.2.3 垂直平分线上的任意一点到线段的两个端点的距离相等。
2.3 练习：让学生运用垂直平分线的性质解决一些实际问题。
第三章：判定一条线段的垂直平分线3.1 引入：通过展示一些线段的垂直平分线，引导学生思考如何判定一条线段的垂直平分线。
3.2 讲解：判定一条线段的垂直平分线的方法如下：3.2.1 作线段的两个端点的垂直平分线，它们相交于点P。
3.2.2 点P到线段的两个端点的距离相等。
3.2.3 点P所在的直线就是线段的垂直平分线。
3.3 练习：让学生自己判定一些线段的垂直平分线，并验证其是否满足判定方法。
第四章：垂直平分线的应用4.1 引入：通过展示一些垂直平分线的应用，引导学生思考垂直平分线的作用。
4.2 讲解：垂直平分线在几何和实际生活中有广泛的应用，例如：4.2.1 在几何中，垂直平分线可以用来证明线段相等、平行等问题。
4.2.2 在实际生活中，垂直平分线可以用来解决一些测量和建筑问题，例如确定线段的中点、测量角度等。
垂直平分线与角平分线精讲教案
垂直平分线与角平分线精讲教案第一章：垂直平分线的概念与性质1.1 引入垂直平分线的概念利用几何画板或者实物模型，展示线段的垂直平分线，引导学生观察并提问：“什么是线段的垂直平分线？”1.2 探究垂直平分线的性质利用几何画板或者实物模型，展示线段的垂直平分线的性质，引导学生观察并提问：“线段的垂直平分线有哪些性质？”1.3 练习与应用提供一些线段的垂直平分线练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
引导学生运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题。
第二章：角平分线的概念与性质2.1 引入角平分线的概念利用几何画板或者实物模型，展示角的平分线，引导学生观察并提问：“什么是角的平分线？”2.2 探究角平分线的性质利用几何画板或者实物模型，展示角的平分线的性质，引导学生观察并提问：“角的平分线有哪些性质？”2.3 练习与应用提供一些角的平分线练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
引导学生运用角的平分线的性质解决实际问题。
第三章：垂直平分线与角平分线的交点利用几何画板或者实物模型，展示垂直平分线与角平分线的交点，引导学生观察并提问：“垂直平分线与角平分线的交点有什么特殊性质？”3.2 探究垂直平分线与角平分线的交点的性质利用几何画板或者实物模型，展示垂直平分线与角平分线的交点的性质，引导学生观察并提问：“垂直平分线与角平分线的交点有哪些性质？”3.3 练习与应用提供一些垂直平分线与角平分线的交点的练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
引导学生运用垂直平分线与角平分线的交点的性质解决实际问题。
第四章：垂直平分线与角平分线在几何中的应用4.1 引入垂直平分线与角平分线在几何中的应用利用几何画板或者实物模型，展示垂直平分线与角平分线在几何中的应用，引导学生观察并提问：“垂直平分线与角平分线在几何中有什么应用？”4.2 探究垂直平分线与角平分线在几何中的应用利用几何画板或者实物模型，展示垂直平分线与角平分线在几何中的应用，引导学生观察并提问：“垂直平分线与角平分线在几何中如何应用？”4.3 练习与应用提供一些垂直平分线与角平分线在几何中的应用练习题，让学生独立解答，巩固所学知识。
探究垂直平分线的性质——八年级数学教案
垂直平分线是初中数学中比较重要的概念之一，在几何学中起着非常重要的作用。
垂直平分线是指项是一条直线，该直线通过线段中点，并且垂直于该线段的。
这条直线把该线段平分为两部分，同时也把两部分垂直分割。
垂直平分线有很多重要的性质，本文将对其性质进行探究。
一、垂直平分线的定义和基本性质1.定义：垂直平分线是指通过线段中点的一条垂直于该线段的直线。
2.垂直平分线的基本性质：①垂直平分线把线段分成两段相等的线段；②垂直平分线把线段分成的两个部分互相垂直；③从一个点到线段的两个端点的距离相等。
二、中垂线的性质在解析几何中，中垂线（或称为中线）是一个连接线段两端点的中点并与该线段垂直的线。
中垂线也有很多重要的性质，其中一些与垂直平分线的性质非常相似。
1.垂直平分线和中垂线的关系对于任意线段，垂直平分线都是它的一条中垂线。
因为垂直平分线经过线段中垂点，而中垂线也经过线段中点，并相互垂直。
因此，中垂线也有垂直平分线的基本性质。
特别是，如果一个线段的中垂线和另一个线段的中垂线交于某一点，则该点是两个线段的中点。
2.中垂线的基本性质中垂线还有其他的基本性质：①如果一个三角形有相等的三条边，则它的三条中垂线交于一点，这个点称为三角形的垂心；②如果一个四边形的对角线互相垂直，则它们相交于一点，这个点是该四边形的中垂心。
以上是中垂线的一些性质，广泛运用于数学、物理、工程学等领域。
三、垂直平分线的应用1.垂直平分线可以用来构造各种各样的特殊形（如正三角形、正四边形等），以及钳形（由两个相等的三角形组成的四边形）和矩形。
2.在几何证明中，垂直平分线也经常起到重要的作用。
3.垂直平分线模型是信号处理中的一种数学方法，用于对分段连续信号进行逼近。
四、总结垂直平分线是初中数学中比较重要的概念之一，具有许多重要性质，其中包括：垂直平分线将线段分成两段相等的线段；垂直平分线将线段分成的两个部分互相垂直；从一个点到线段的两个端点的距离相等。
此外，中垂线在解析几何中也有很多重要的性质，如其与垂直平分线的关系等。
推广垂直平分线的应用——八年级数学教案
推广垂直平分线的应用——八年级数学教案一、教案设计思路为了提高八年级学生的数学学习兴趣，激发他们探究数学内涵的能力，本次实验课教学将围绕“推广垂直平分线的应用”展开。
我们将首先简要介绍垂直平分线的定义和基本性质，然后引导学生通过观察、分析恒等式等方式，发现和推广类似的应用。
我们将组织学生分组讨论及展示各自的研究结果，以强化其数学思想和团队协作能力。
二、教案教学步骤1.导入教师简要介绍本次实验课的主要内容——推广垂直平分线的应用，并通过图片、视频等多媒体资料让学生对垂直平分线的定义和基本性质有一个初步的了解。
2.实践探究教师出示几个恒等式（如a2-b2=(a+b)(a-b)、(a+b)2=a2+2ab+b2等），引导学生通过观察、思考和试验等方式，找到相似和可推广的应用。
鼓励学生充分发挥自己的想象力和创造力，提供必要的帮助和指导。
3.讨论总结教师将学生分成小组，在小组内讨论各自的研究结果，梳理归纳出相似和可推广的应用。
随后教师邀请各小组派代表汇报讨论成果，并带领全班进行总结讨论。
教师可以适当引导和提问，帮助学生深入理解、巩固和拓展学过的知识点。
4.巩固练习教师将一些练习题发布到班级网站上，鼓励学生在家长或同学的帮助下积极完成，以确保其对所学知识的掌握和理解。
5.课后反思教师安排一至两名学生，代表全班发表课后反思，向同学和老师分享自己对本次实验课的感想和建议。
教师据此对本次教学进行总结评估，进一步完善教学内容和方法，提高教学质量。
三、教学评估及展望我们相信，通过本次推广垂直平分线的应用实验课的有效设计和实践，学生将进一步提高自主学习和探究数学内涵的能力，增强其团队协作和创新意识。
我们期望在今后的教学中，继续挖掘数学知识的深度和广度，为学生们打开一扇通向智慧之门的大门。
垂直平分线的应用——八年级数学教案
本篇文章将探讨垂直平分线的应用，并给出一份八年级数学教案，帮助同学们更好地学习和应用垂直平分线。
一、什么是垂直平分线在几何中，垂直平分线是指把一条线段垂直平分成两段的那条直线。
简单来说，就是从线段的中点与直角相交所形成的直线。
垂直平分线的经过点是线段的中心，并且把线段分成相等的两段。
二、垂直平分线的性质1.垂直平分线与线段相交的点是线段的中点；2.垂直平分线将线段分成两个相等部分；3.两条垂直平分线相交，形成一个直角；4.两条垂直平分线，一定会平分两个相交线段的中心角度数；5.如果一条直线在两条平行线之间垂直地过去，那么这条直线将垂直平分这两条平行线所构成的线段。
三、垂直平分线的应用1.画图求证垂直平分线运用垂直平分线的定义和性质可以直接画图求证一条直线垂直平分另一个线段。
具体方法如下：（1）将线段 AB 的中点标记为 O;（2）作点 O 为圆心，Radiua 为 OA 或 OB 的圆；（3）连接圆心 O 和另一个端点 C，形成线段 OC；（4）线段 AB 通过线段 OC 的中点 O 以垂直平分。
2.利用垂直平分线解题（1）根据垂直平分线的性质求解三角形的角度利用垂直平分线的性质，可以快速计算出三角形任意两边之间的夹角。
例如，在下图中，点A、B、C 与线段 DF、DE 垂直平分线相连，钝角∠ABC为两条垂直平分线所平分的线段中心角。
因此，通过运用反正切函数（即 tan-1）可以求出∠ABC 的度数。
（2）根据垂直平分线的性质求解线段的长度同样地，垂直平分线的定义和性质也可以用来求解线段的长度。
例如，在下图中，线段 AB 垂直平分线与线段 CD 相交于 E。
通过垂直平分线的性质，可以知道两段线段 EB 和 EC 的长度是相等的。
因此，我们可以利用勾股定理计算线段 AB 的长度。
四、八年级数学教案以“垂直平分线在证明”为例，制定一份八年级数学教案，帮助同学们更好地理解垂直平分线的定义、性质和应用。
1.教学目标（1）掌握垂直平分线的定义和性质；（2）运用垂直平分线的性质快速解题；（3）通过证明加深对垂直平分线的理解和应用。
垂直平分线与角平分线精讲教案
线段的垂直平分线与角平分线（1）知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点这条线段两个端点的距离相等.数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC. 定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，图1图2三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记针对性练习：已知：在△ABC 中，ON 是AB 的垂直平分线,OA=OC 求证：点O 在BC 的垂直平分线例3. 在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与边AC 所在的直线相交所成锐角为50°，△ABC 的底角∠B 的大小为_______________。
垂直平分线的性质教案
垂直平分线的性质教案教案标题：垂直平分线的性质教案教案目标：1. 了解垂直平分线的定义和性质。
2. 能够绘制垂直平分线并应用其性质解决问题。
3. 培养学生的观察、推理和解决问题的能力。
教案步骤：引入活动：1. 引入学生对垂直平分线的概念，例如：“你们知道什么是垂直平分线吗？它有什么特点和性质？”2. 引导学生回顾垂直线和平分线的定义，并与垂直平分线进行对比。
知识讲解：1. 通过示意图和实例，讲解垂直平分线的定义：“垂直平分线是将一条线段垂直地分成两等分的线。
”2. 引导学生思考和讨论垂直平分线的性质，例如：“垂直平分线与线段的两端点连线垂直相交，且两条线段的长度相等。
”3. 通过绘制示意图和解决问题的实例，进一步说明垂直平分线的性质和应用。
实践活动：1. 将学生分成小组，发放纸和铅笔。
2. 提供几个线段的长度，要求学生在纸上绘制出相应的线段，并找出其垂直平分线。
3. 引导学生用直尺和角规绘制垂直平分线，并验证其性质，例如垂直相交和长度相等。
4. 给予学生一些练习题，让他们应用垂直平分线的性质解决问题。
总结：1. 引导学生回顾垂直平分线的定义和性质。
2. 总结学生在实践活动中的表现和解决问题的能力。
3. 强调垂直平分线在几何学中的重要性和应用。
拓展活动：1. 引导学生思考并讨论其他几何图形中可能存在的垂直平分线。
2. 提供一些挑战性问题，让学生应用垂直平分线的性质解决更复杂的问题。
评估方式：1. 观察学生在实践活动中的表现和解决问题的能力。
2. 收集学生的练习题和挑战性问题的答案，评估他们对垂直平分线性质的理解和应用。
教案延伸：1. 可以引导学生进一步探究垂直平分线的证明和相关定理。
2. 可以引导学生应用垂直平分线的性质解决更复杂的几何问题，如证明三角形的垂心等。
教案资源：1. 纸张和铅笔。
2. 直尺和角规。
3. 练习题和挑战性问题。
这个教案旨在引导学生了解垂直平分线的定义和性质，并通过实践活动培养他们的观察、推理和解决问题的能力。
初中数学教案平面几何中的角平分线与垂直平分线
初中数学教案平面几何中的角平分线与垂直平分线初中数学教案：平面几何中的角平分线与垂直平分线一、引言在初中数学中，平面几何是一个重要的内容，其中角平分线与垂直平分线是其中的两个重要概念。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质以及解题方法。
通过学习本文，希望学生能够深入理解这些概念，并能在实际问题中灵活运用。
二、角平分线1. 角平分线的定义在平面几何中，如果一条线段能够将一个角平分成两个相等的角，则称这条线段为该角的角平分线。
其中，这个角被角平分线分成的两个角称为相邻角，它们的度数相等。
2. 角平分线的性质（1）相邻角的度数相等。
也就是说，如果一条线段是某个角的角平分线，那么它所分成的相邻角的度数是相等的。
（2）角平分线垂直于角的边。
角平分线与角的边之间的关系是垂直关系。
3. 常见解题方法（1）根据角的定义，判断某条线段是否是角的角平分线。
（2）运用角的度数关系，通过已知角度求解其他未知角度。
（3）利用角的性质进行证明，解决相关问题。
三、垂直平分线1. 垂直平分线的定义在平面几何中，如果一条线段能够垂直地将另一条线段平分成两个相等的线段，则称这条线段为该线段的垂直平分线。
其中，这个线段被垂直平分线分成的两个线段称为相等线段。
2. 垂直平分线的性质（1）垂直平分线与被分割线段的垂直关系。
（2）垂直平分线所分割的线段的长度相等。
（3）垂直平分线与被分割线段的中点重合。
3. 常见解题方法（1）根据线段的定义，判断某条线段是否是另一条线段的垂直平分线。
（2）运用线段的长等关系，通过已知线段长度求解其他未知线段长度。
（3）利用线段的性质进行证明，解决相关问题。
四、综合应用通过上述对角平分线与垂直平分线的介绍，我们可以将这些概念应用于实际问题的解决中，例如可以通过角平分线解决几何图形中角度相关的问题，通过垂直平分线解决线段长度相关的问题等等。
在解题过程中，我们需要充分理解平面几何的基本概念与性质，并善于灵活运用，从而得到正确的答案。
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学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲-垂直平分线与角平分线授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及三角形三边的垂直平分线的性质定理；②掌握角平分线的性质定理、判定定理以及相关结论；授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（判定定理）定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
3、三角形三条边的垂直平分线的性质性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、尺规作图5、角平分线的性质定理定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
6、角平分线性质定理的逆定理（判定定理）体系搭建定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
7、三角形三内角的角平分线性质性质：三角形的三条内角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。
考点一：线段垂直平分线的性质例1、到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点【解析】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，选：D．例2、下列命题中正确的命题有（）①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线．A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等，是线段垂直平分线的性质，符合逆定理，正确；②错误；这是对线段垂直平分线的误解；③有无数条，错误；④点P在线段AB外且PA=PB，过P作直线MN⊥AB，则MN是线段AB的垂直平分线，错误；如图⑤错误，这是对线段垂直平分线的误解；故选A．例3、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）A．13 B．15C．17 D．19【解析】∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，∴AD=DC，AE=CE=4，即AC=8，∵△ABC的周长为23，∴AB+BC+AC=23，∴AB+BC=23﹣8=15，∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，故选B．例4、如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为（）A．90°B．95°C．100°D．105°【解析】∵CD=AC，∠A=50°，∴∠ADC=∠A=50°，根据题意得：MN是BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠BCD=∠B，∴∠B=∠ADC=25°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=105°．故选D．例5、如图，△ABC中，AC=8，BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE 的周长为13．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，则△BCE的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，故答案为：13．例6、两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，AC与BD相交于点O，下列判断正确的有①③⑤．（填序号）．①AC⊥BD；②AC、BD互相平分；③AC平分∠BCD；④∠ABC=∠ADC=90°；⑤筝形ABCD的面积为．【解析】∵在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）．∴∠BAO=∠DAO，∠BCO=∠DCO，即AC平分∠BCD．故③正确；∵AC平分∠BAD、∠BCD，△ABD与△BCD均为等腰三角形，∴AC、BD互相垂直，但不平分．故①正确，②错误；当AC2≠AB2+BC2时，∠ABC≠90°．同理∠ADC≠90°．故④错误；∵AC、BD互相垂直，∴筝形ABCD的面积为：AC•BO+AC•OD=AC•BD．故⑤正确；综上所述，正确的说法是①③⑤．故答案是：①③⑤．例7、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点E，且AC=15cm，△BCE的周长等于25cm．（1）求BC的长；（2）若∠A=36°，并且AB=AC．求证：BC=BE．【解析】（1）∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，∵AC=15cm，∴BC=25﹣15=10cm；（2）证明：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，∵AB的垂直平分线MN交AB于点D，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A，由三角形的外角性质得，∠BEC=∠A+∠ABE=36°+36°=72°，∴∠BEC=∠C，∴BC=BE．考点二：角平分线的性质例1、到三角形三条边的距离相等的点是三角形（）A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点C．三边的垂直平分线的交点 D．三条中线的交点【解析】选：A．例2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15 B．30C．45 D．60【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB•DE=×15×4=30．故选B．例3、如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是30 ．【解析】如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×（AB+BC+AC）×3=20×3=30，故答案为：30．例4、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知∠A=∠ABD，CD=1，AD=2，则（1）点D到直线AB的距离是 1 ；（2）BC的长度为．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，∴DE=CD=1，即点D到直线AB的距离是1，故答案为：1．（2）∵∠ABC=2∠ABD，∠ABD=∠A，∴∠ABC=2∠A，∵∠C=90°，∴∠A=∠DBC=30°，∴BC=CD=．故答案为：．例5、证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB求证：PD=PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程．【解析】已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；求证：PD=PE．故答案为：PD=PE．∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°，在△PDO和△PEO中，，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1、到三角形三个顶点距离相等的点是（）A．三条边的垂直平分线的交点B．三条高线的交点C．三条边的中线的交点D．三条角平分线的交点【解析】到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．2、如图，点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，则点P是（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点【解析】∵点P是△ABC内一点，且PD=PE=PF，∴点P是△ABC三条角平分线的交点．故选B．3、如图，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOPC．∠CPO=∠DPO D．OC=OD【解析】∵OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，∴PC=PD，故A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，，∴△OCP≌△ODP，∴∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．4、如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的中垂线，BD为∠ADE的角平分线．若∠A=58°，则∠ABD的度数为何？（）A．58 B．59C．61 D．62【解析】∵BD是∠ADE的角平分线，∴∠1=∠2，∵DE是BC的中垂线，∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3，又∠1+∠2+∠3=180°，∴∠1=∠2=∠3=60°，∴∠4=∠C=90°﹣60°=30°，∴∠ABD=180°﹣∠A﹣∠4﹣∠C=180°﹣58°﹣30°﹣30°=62°．故选：D．5、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC=60°，∠ACE=24°，那么∠BCE的大小是（）A．24°B．30°C．32°D．36°【解析】∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB，∵∠BAC=60°，∠ACE=24°，∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=（180°﹣60°﹣24°）=32°．故选C．6、如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．65°B．60°C．55°D．45°【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD=DC，故∠C=∠DAC，∵∠C=30°，∴∠DAC=30°，∵∠B=55°，∴∠BAC=95°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，故选A．7、如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，则∠ABD=35度．【解析】∵在△ABC中，AB=BC，∠ABC=110°，∴∠A=∠C=35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=35°，故答案为：35．8、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是4．【解析】∵AB=AC，D是BC的中点，∴∠CAD=∠BAD，AD⊥BC，∴OC=OB，在△ACD和△ABD中，，∴△ACD≌△ABD（SAS）；同理：△COD≌△BOD，在△AOC和△AOB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS）；∵EF是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠OEA=∠OEC=90°，在Rt△OAE和Rt△OCE中，，∴Rt△OAE≌Rt△OCE（HL）．故答案为：4．9、如图，在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，△ABE的周长为14，则△ABC的周长为22．【解析】∵BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，BD=4，∴BE=EC，BC=2BD=8；又∵△ABE的周长为14，∴AB+AE+BE=AB+AE+EC=AB+AC=14；∴△ABC的周长是：AB+AC+BC=14+8=22；故答案是：22．10、如图，Rt△ABC中∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2，则点D到边BC的距离是2．【解析】过D作DE⊥BC于E，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴DE=AD=2，故答案为：2．11、如图，AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．【解析】∵AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=∠C=75°，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=45°．12、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：△DBE的周长等于AB．【解析】证明：∵∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，∴DC=DE；∴BD+DE=BD+CD=BC；∵AC2=AD2﹣CD2，AE2=AD2﹣DE2，∴AC=AE，而AC=BC，∴BC=AE，∴BD+DE+BE=AE+BE=AB，即△DBE的周长等于AB．➢课后反击1、三角形纸片上有一点P，量得PA=3cm，PB=3cm，则点P一定（）A．是边AB的中点B．在边AB的中线上C．在边AB的高上D．在边AB的垂直平分线上【解析】选D．2、观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE是∠AOB的平分线B．OC=ODC．点C、D到OE的距离不相等D．∠AOE=∠BOE【解析】根据尺规作图的画法可知：OE是∠AOB的角平分线．故选C．3、如图，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=ODC．∠OPC=∠OPD D．PC=PD【解析】选D．4、如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（）A．50°B．100°C．120°D．130°【解析】∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选：B．5、如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm【解析】∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC，∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=3cm，故选A．6、如图，△ABC的边BC的垂直平分线MN交AC于D，若△ADB的周长是10cm，AB=4cm，则AC=6cm．【解析】∵MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵△ADB的周长是10cm，∴AD+BD+AB=10cm，∴AD+CD+AB=10cm，∴AC+AB=10cm，∵AB=4cm，∴AC=6cm，故答案为：6．7、如图，已知AB=AC，DE垂直平分AB，若∠A=40°，则∠EBC=30°．【解析】∵DE垂直平分AB分别交AB、AC于D、E两点，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=30°．故答案为：30．8、如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，连结DC，如果AD=3，BD=8，那么△ADC的周长为19．【解析】∵BC的垂直平分线交AB于点D，∴DB=DC，∴∠DCB=∠B=40°，∵∠A=80°，∠B=40°，∴∠ACB=60°，∴∠ACD=20°，∴∠ADC=80°，∴CA=CD=DB=8，∴△ADC的周长=AD+AC+CD=19，故答案为：19．9、如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．已知BD：CD=3：2，点D到AB的距离是6，则BC的长是15．【解析】作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE=6，又BD：CD=3：2，∴BD=9，∴BC=BD+DC=15，故答案为：15．10、如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数；（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．【解析】（1）∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，S(Summary-Embedded)——归纳总结重点回顾1、线段垂直平分线的性质定理定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。