利用空间向量求夹角(例、练及答案)

合集下载

利用空间向量求夹角（例、练及答案）

利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）利⽤空间向量求夹⾓（例、练及答案）1．利⽤⾯⾯垂直建系例1：在如图所⽰的多⾯体中，平⾯平⾯，四边形为边长为2的菱形，为直⾓梯形，四边形为平⾏四边形，且，，．（1）若，分别为，的中点，求证：平⾯；（2）若，与平⾯所成⾓的正弦值为求⼆⾯⾓的余弦值．2．线段上的动点问题例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置，使平⾯平⾯．（1）求证：平⾯；（2）若在线段上有⼀点满⾜，且⼆⾯⾓的⼤⼩为，求的值．11ABB A ⊥ABCD 11ABB A ABCD 11BCC B AB CD ∥AB BC ⊥1CD =E F 11A C 1BC EF ⊥11AB C 160A AB ∠=?1AC ABCD 11A AC D --ABCD Y 30A ∠=?2AB =BD ABD △A BD '△A BC '⊥A BD 'A D '⊥BCD A C 'M A M A C λ=''uuuu v uuu v M BD C --60?λ3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正⽅形中，为中点，分别将，沿，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点．（1）求证：；（2）求直线与平⾯所成⾓的正弦值；（3）求⼆⾯⾓的⼤⼩．练习⼀、单选题1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为，的中ABCD P CD PAD △PBC △PA PB C D O P OAB -E PB PO AB ⊥BP POA P AO E --a 111ABC A B C -D E 1BB 11A C点，则异⾯直线，所成⾓的余弦值为（）A ．BC ．D ．2．在三棱柱中，底⾯是边长为1的正三⾓形，侧棱底⾯，点在棱上，且，若与平⾯所成的⾓为，则的值是（） ABCD3．如图，圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，则空间中两条直线与所成的⾓为（）A ．B ．C ．D ．4．已知四棱锥的底⾯是边长为2的正⽅形，，平⾯平⾯，是的中点，是的中点，则直线与平⾯所成⾓的正弦值是（）AD CE 121545111ABC A B C -1AA ⊥ABC D 1BB 1BD =AD 11AA C C αsin α22AB =OC D 120AOD ∠=?AD BC 30?60?75?90?P ABCD -ABCD PA PD ==ABCD ⊥PAD M PC O AD BM PCOABCD5．如图，在直三棱柱中，，，点与分别是和的中点，点与分别是和上的动点．若，则线段长度的最⼩值为（）ABCD ．6．如图，点分别在空间直⾓坐标系的三条坐标轴上，，平⾯的法向量为，设⼆⾯⾓的⼤⼩为，则（）A ．BC ．D ． 7．如图所⽰，五⾯体中，正的边长为1，平⾯，，且．设与平⾯所成的⾓为，，若，则当取最⼤值时，平111ABC A B C -90BAC ∠=?12AB AC AA ===G E 11A B 1CC D F AC AB GD EF ⊥DF A B C 、、O xyz -()0,0,2OC =uuu v ABC ()2,1,2=n C AB O --θcos θ=432323-ABCDE ABC △AE ⊥ABC CD AE ∥12CD AE =CE ABE α(0)AE k k =>ππ,64α??∈k⾯与平⾯所成⾓的正切值为（）AB ．1 CD8．已知三棱柱的侧棱与底⾯边长都相等，在底⾯内的射影为的中⼼，则与底⾯所成⾓的正弦值等于（） ABCD9．如图，四棱锥中，平⾯，底⾯为直⾓梯形，，，，点在棱上，且，则平⾯与平⾯的夹⾓的余弦值为（）ABC10．在正⽅体中，直线与平⾯所成⾓的余弦值为（） ABCD11．已知四边形，，沿折起，使⼆⾯⾓的⼤⼩在内，则直线与所成⾓的余弦值取值范围是（）BDE ABC 111ABC A B C -1A ABC ABC △1AB ABC P ABCD -PB ⊥ABCD ABCD AD BC ∥AB BC ⊥3AB AD PB ===E PA 2PE EA =ABE BED1111ABCD A B C D -1BC 1A BD ABCD 2AB BD DA ===BC CD =ABD △BD A BD C --5,66π?π?AB CDA ．B ．D ． 12．正⽅体中，点在上运动（包括端点），则与AD 1所成⾓的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．⼆、填空题13．如图，在直三棱柱中，，是的中点，则异⾯直线与所成⾓的余弦值为________．14．已知四棱锥的底⾯是菱形，，平⾯，且，点是棱的中点，在棱上，若，则直线与平⾯所成⾓的正弦值为__________．15．设，是直线，，是平⾯，，，向量在上，向量在上，，，则，所成⼆⾯⾓中较⼩的⼀个的余弦值为________．16．在四棱锥中，底⾯为平⾏四边形，平⾯，，，，，则当变化时，直线与平⾯所成⾓的取值范围是__________．三、解答题17．如图所⽰：四棱锥，底⾯为四边形，，，，平⾯平⾯，，，01??U ??1111ABCD A B C D -P 1A C BP ππ,43??ππ,42ππ,62ππ,63111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =m AC 1CB 1C M P ABCD -60BAD ∠=?PD ⊥ABCD PD AB =E AD F PC :1:2PF FC =EF ABCD a b αβa α⊥b β⊥1a a 1b b ()11,1,1=a 13,(0)4,=-b αβP ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2AB =120BAD ∠=?PA x =x PD PBC P ABCD -ABCD AC BD ⊥BC CD =PB PD =PAC ⊥PBD AC =30PCA ∠=?4PC =（1）求证：平⾯；（2）若四边形中，，是否在上存在⼀点，使得直线与平⾯的值，若不存在，请说明理由．18．如图，在斜三棱柱中，底⾯是边长为2的正三⾓形，，．（1）求证：平⾯平⾯；（2）求⼆⾯⾓的正弦值．PA ⊥ABCD ABCD 120BAD ∠=?AB BC ⊥PC M BM PBD PM MC111ABC A B C -ABC 13BB =1AB =160CBB ∠=?ABC ⊥11BCC B 1B AB C --参考答案1．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）连接，∵四边形为菱形，∴．∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，，∴平⾯．⼜平⾯，∴．∵，∴．∵，∴平⾯．∵分别为，的中点，∴，∴平⾯．（2）设，由（1）得平⾯，由，，得过点作，与的延长线交于点，取的中点，连接，，如图所⽰，⼜，∴为等边三⾓形，∴，⼜平⾯平⾯，平⾯平⾯，平⾯，故平⾯．∵为平⾏四边形，∴，∴平⾯．⼜∵，∴平⾯．∵，∴平⾯平⾯．由（1），得平⾯，∴平⾯，∴．∵，∴平⾯，∴是与平⾯所成⾓．1A B 11ABB A 11A B AB ⊥11ABB A ⊥ABCD 11ABB BA I ABCD AB =BC ?ABCD AB BC ⊥BC ⊥11ABB A 1A B ?11ABB A 1A B BC ⊥11BC B C ∥111A B B C ⊥1111B C AB B =I 1A B ⊥11AB C ,E F 11A C 1BC 1EF A B ∥EF ⊥11AB C 11B C a=11B C ⊥11ABB A 160A AB ∠=?2BA =1C 1C M DC ⊥DC M AB H 1A H AM 160A AB ∠=?1ABA △1A H AB ⊥11ABB A⊥ABCD 11ABB A I ABCD AB =1A H ?11ABB A 1A H ⊥ABCD 11BCC B 11CC BB ∥1CC ∥11AA BB CD AB ∥CD ∥11AA BB 1CC CD C =I 11AA BB ∥1DC M BC ⊥11AA BB BC ⊥1DC M 1BC C M ⊥BC DC C =I 1C M ⊥ABCD 1C AM ∠1AC ABCD ∵，，∴平⾯，平⾯，∵，∴平⾯平⾯．在梯形中，易证，分别以，，的正⽅向为轴，轴，轴的正⽅向建⽴空间直⾓坐标系．则，，，及设平⾯的⼀个法向量为，由令，得设平⾯的⼀个法向量为，由得令，得⼜∵⼆⾯⾓是钝⾓，∴⼆⾯⾓的余弦值是2．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）中，由余弦定理，可得．∴，∴，∴．作于点，∵平⾯平⾯，平⾯平⾯，∴平⾯．∵平⾯，∴．⼜∵，，∴平⾯．⼜∵平⾯，∴．11A B AB∥11C B CB∥11A B∥ABCD11B C∥ABCD11111A B C B B=I ABCD∥111A B CABCD DE AB⊥HAuu u vHDuuu v1HAuuu vx y z()1,0,0A()1,0,0B-BB CC=uuu v uuu v 1ADC() 111,,x y z=m1ACAD==uuu vuuu vmm11y=()3,1,2=m11AA C() 222,,x y z=ACAA==uuu vuuu vnn21z=11A AC D--11A AC D--ABD△1BD=222 BD AD AB +=90ADB∠=?90 DBC∠=?DF A B ⊥'FA BC'⊥A BD'I A BD A B'='DF⊥A BC'CB?A BC'DF BC⊥CB BD⊥BD DF D=I CB⊥A DB'A D'?A DB'CB A D⊥'⼜，，∴平⾯．（2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，以⽅向为轴正⽅向建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系，则，．设，设平⾯的⼀个法向量为，取．平⾯的⼀个法向量可取∵3．【答案】（1）见解析；（2；（3【解析】（1）在正⽅形中，为中点，，，∴在三棱锥中，，．∵，∴平⾯．∵平⾯，∴．A D BD '⊥BD CB B =I A D '⊥BCD DA DB DA 'D DA uu u vx D xyz -()0,1,0B (),,M x y z MDB (),,a b c =m ()11,0,a c λλλλ=-?=?=-m CBD []0,1λ∈ABCD P CD PD AD ⊥PC BC ⊥P OAB -PO OA ⊥PO OB ⊥OA OB O =I PO ⊥OAB AB ?OAB PO AB ⊥（2）取中点，连接，取中点，连接．过点作的平⾏线．∵平⾯，∴，．∵，为的中点，∴．∴．如图所⽰，建⽴空间直⾓坐标系．，，，．∵，为的中点，∴．∵平⾯，平⾯，∴平⾯平⾯．∵平⾯平⾯，平⾯，∴平⾯∴平⾯的法向量设直线与平⾯所成⾓为∴直线与平⾯AB F OF AO M BM O AB OG PO ⊥OAB PO OF ⊥PO OG ⊥OA OB =F AB OF AB ⊥OF OG ⊥O xyz -()A ()B -()0,0,1P 12M ??BO BA =M OA BM OA ⊥PO ⊥OAB PO ?POA POA ⊥OAB POA I OAB OA =BM ?OAB BM ⊥POA POA )1,0= -m BP POA αBP POA设平⾯的法向量为，则有令由题知⼆⾯⾓练习答案⼀、单选题 1．【答案】C【解析】设的中点，以，，为，，轴建⽴坐标系，则，，，，则，，设与成的⾓为，则，故选C ． 2．【答案】D【解析】如图，建⽴空间直⾓坐标系，易求点．平⾯的⼀个法向量是，∴，则．故选D ． 3．【答案】B【解析】取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建⽴空间直⾓OAE n 0 0OA OE =??=??uu v uu u v n n1y =-P AOE --AC O OB uu u v OC uuu v OE uu uvx y z 0,,02a A ??,0,2a D ?0,,02a C ?? ???()0,0,E a ,,22a a AD ?=uuu v 0,,2a CE a ??=- uu u v AD CE θ01cos 5a a aaθ-?+?=1,12D ?11AA C C ()1,0,0=n cos ,AD ===uuu v n sin α=AB E O OE x OB y OC z 坐标系，如图所⽰，∵圆锥的底⾯直径，⾼，为底⾯圆周上的⼀点，，∴可得，，，，则，，设空间两条直线与所成的⾓为，∴，∴，即直线与所成的⾓为，故选B ． 4．【答案】D【解析】由题可知，，，，则，，∵是的中点，∴，设平⾯的法向量，直线与平⾯所成⾓为，则可取，，故选D ．2AB=OC D 120AOD ∠=?()0,1,0A -()0,1,0B (C 1,02D3,02AD ?=uuuv (0,BC =-u u u vAD BCθ31cos 2AD BC AD BC θ?===?u uuu v uu u u v v u uu u v 60θ=?AD BC 60?()0,0,0O ()0,0,2P ()1,2,0B ()1,2,0C -()0,0,2OP =uu u v ()1,2,0OC =-uuu vM PC 1,1,12M ??- 3,1,12BM ??=--uuu v PCO (),,x y z =n BM PCO θ20 20OP z OC x y ?==?=-=?+uu u vuuu vn n ()2,1,0=n sin cos BM BM BM θ?===?uuu v uuu v uuu v ，n n n5．【答案】A【解析】建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，则，，，，，则，，由于，∴，∴，故，∴当时，线段A ． 6．【答案】C【解析】由题意可知，平⾯的⼀个法向量为：，由空间向量的结论可得：．故选C ． 7．【答案】C【解析】如图所⽰，建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，()0,0,0A ()0,2,1E ()1,0,2G 0(),0,F x 0(0,),D y ()1,,2GD y =--uuu v (),2,1EF x =--uu u v GD EF ⊥220GD EF x y =--+=?uuu v uu u v22x y =-DF =45y =DF ABO ()0,0,2OC =uuu v42cos 233OC OC θ?===??uuu vuuu vn n O xyz -则，，，，取的中点，则，则平⾯的⼀个法向量为，由题意⼜由，∴∴当的法向量为，则，取，由平⾯的法向量为，设平⾯和平⾯所成的⾓为，则，∴，∴C ． 8．【答案】B【解析】如图，设在平⾯内的射影为，以为坐标原点，、分别为轴、轴建⽴空间直⾓坐标系如图．，，ABE 3,04CM ?=uuu v sin CE CM CE CM α?==uu u v u uu u u vv uu v uu ππ,64α??∈1sin 2α≤=≤k ≤k k BDE (),,x y z =n 0 1022DE y z BE y z==?++=?uuu v uu u v n n (=-n ABC ()0,0,1=m BDE ABC θcos θ?= =n m n m sin θ=tan θ=1A ABC O O OA 1OA x z设边长为1，的法向量为．设与底⾯所成⾓为故直线与底⾯B ．9．【解析】以为坐标原点，以、、所在直线为、、轴，建⽴空间直⾓坐标系，设平⾯的⼀个法向量为，则，取的法向量为，与平⾯B ．10．【答案】C【解析】分别以，，为，，轴建⽴如图所⽰空间直⾓坐标系：ABC △112B ? ??ABC ()0,0,1=n 1AB ABC α1AB ABC B BC BA BP x y z ()0,0,0B ()0,3,0A ()0,0,3P ()3,3,0D ()0,2,1E ()0,2,1BE =uu u v ()3,3,0BD =uu u vBED (),,x y z =n 20330BE y z BD x y =+=?=+=?uu u v uu u vn n 1z =ABE ()1,0,0=m ABE BED DA DC 1DD x y z设正⽅体的棱长为1，可得，，，，∴，，，设是平⾯的⼀个法向量，∴，即，取，得，∴平⾯的⼀个法向量为，设直线与平⾯所成⾓为，∴，即直线与平⾯所成⾓的余弦值是C ． 11．【答案】A【解析】取中点，连结，，∵．，，且，∴是⼆⾯⾓的平⾯⾓，以为原点，为轴，为轴，过点作平⾯的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，，，，()0,0,0D ()1,1,0B()10,1,1C ()11,0,1A ()11,0,1BC =-uuu r ()11,0,1A D =--uuu r ()1,1,0BD =--uu u r(),,x y z =n 1A BD 100A D BD =?=uuu v uu u vn n 0 0x z x y =+=+1x =1y z ==-1A BD ()1,1,1=--n 1BC 1A BD θ1BC 1A BD BD O AO CO 2AB BD DA ===BC CD ==CO BD ⊥AO BD ⊥1CO =AO AOC ∠A BD C --O OC x OD y O BCD z ()0,1,0B -()1,0,0C ()0,1,0D设⼆⾯⾓的平⾯⾓为，则，连、，则，，∴，，设、的夹⾓为，则∵，∴，故，∴．故选A ．12．【答案】D【解析】以点为原点，、、所在直线分别为轴建⽴空间直⾓坐标系，设正⽅体棱长为1，点坐标为，则，，设、的夹⾓为，则∴当时，，．当时，取最⼩值，．∵，∴与所成⾓的取值范围是．故选D ．⼆、填空题 13．【解析】在直三棱柱中，，是的中点，A BD C --θ5,66θπ??∈πAO BO AOC θ∠=)A θθ)BA θθ=uu r ()1,1,0CD =-uu u rAB CD αcos AB CD AB CD α?=?uu u r uu u r uu u r uu u r 5,66θπ??∈πcos θ?∈510,2θ??-∈cos α?∈D DA DC 1DD x y z 、、P (),1,x x x -()1,,BP x x x =--uu v ()11,0,1BC =-uuu vBP uu v 1BC uuu vα11cos BP BC BP BC α?==uu v uu uu u v v uuu v 13x =cos απ6α=1x =cos α12π3α=11BC AD ∥BP 1AD ππ,63??111ABC A B C -12AB BC CC ===AC =M AC∴，．以为原点，为轴，为轴，过作的垂线为轴，建⽴空间直⾓坐标系，则，，，，∴，，设异⾯直线与所成⾓为，则．∴异⾯直线与． 14．【解析】以点建⽴如图所⽰的空间直⾓坐标系，设菱形的边长为2，则，，，平⾯的⼀个法向量为，BM AC ⊥1BM =M MA x MB y M AC z ()C ()10,1,2B ()1C ()0,0,0M )1CB =uuu v ()1MC =uuuu v1CB 1C M θ1111cos CB CB MC MC θ?===?uuu v uuu v uuuu v uuuu v 1CB 1C M D D xyz -ABCD ()0,0,0D 1,02E ?-240,,33F ?? ABCD ()0,0,1=n。

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题

量的夹角，所以只需要求出这两个平面的
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公

142 用空间向量研究距离、夹角问题(基础知识+基本题型)(含解析)--2022高二数学上

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）知识点一、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。

要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。

两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。

（2）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。

（3）求二面角如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB+∠APB=180°。

若12⋅n n 分别为面α，β的法向量，121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。

①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。

②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。

知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。

即：点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。

2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。

用空间向量研究距离、夹角问题 (3)

与2 ′所成的角叫做异面直线1 与
2 所成的角（或夹角）.
β
α
l
α
β
空间中，平面与平面相交，形成四个
二面角，我们把这四个二面角中不大于
90°的二面角称为平面与平面的夹角．
追问1：两个平面夹角的取值范围是什么？
0° ≤ ≤ 90°
β
α
l
α
β
= 0°
0° < ≤ 90°
追问2：二面角的大小是如何度量的？
思考：在例题条件下，如何求“平面1 1 与平面
1 1 1 夹角的余弦值”？
C
P
B
A
R
Q
C1
A1
B1
问：转化为哪种向量的夹角？
z
C
B
A
C1
B1 y
A1
x
思路 1.两平面内与交线垂直的
直线的方向向量的夹角
2.两个平面的
法向量的夹角
例题小结
用空间向量求平面与平面的夹角的步骤与方法：
都为2，求平面1 1 与平面1 夹角的余弦值．
A1
A
C
B
C1
B1
课后作业
A
2. 如图，△ 和△ 所
B
在平面垂直，且＝＝，
∠＝∠＝120°，求：
D
（1）直线与直线所成角的大小；
（2）直线与平面所成角的大小；
（3）平面和平面的夹角的余弦值.
化为向量问题
①转化为求平面，的法向量
，的夹角
∙
∙
进行向量运算
②计算cos ， =
回到图形问题
③平面与平面夹角的余弦值
cos = cos ，
的值

高中试卷-1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -B提高练(含答案)

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(2) -B 提高练一、选择题1．（2020台州市书生中学高二期末）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1AA 中点，F 为线段11C D 上靠近1D 的三等分点，则异面直线1A B 与EF 所成角的余弦值为()A ．114BCD ．17【答案】B【解析】如图建立空间直角坐标系，则知1(3,0,0)A ，(3,3,3)B ，33,0,2E æöç÷èø，(0,1,0)F ，所以1(0,3,3)A B =uuur ，33,1,2EF æö=--ç÷èøuuu r，所以1|cos ,A B EF áñuuur uuu r 2．（2020山东莱芜市一中高二月考）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（）AB ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(0,0,1),(0,1,),(1,1,1)2A D MB 11(1,0,0)=-uuuur A D ，11(0,1,)2=-uuuuu r D M ，11(1,0,)2=uuuu r MB 设平面11A D M 的法向量为(,,)m x y z =u r 则1110=01002x A D m y z D M m -=ìì×ïïÞíí-=×=ïîïîuuuuv v uuuuu v v 令1y =可得2z =，所以(0,1,2)=u r m 设直线1B M 与平面11A D M所成角为q，2sin 5q =，故选：B3．（2020四川省绵阳南山中学高二）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小时，其余弦值为（）A ．0B ．12CD ．1116【答案】C【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，在正方体1111ABCD A B C D -中, 点E 为线段AB 的中点，设正方体棱长为2，则1(0,0,0),(2,1,0),(2,2,2),(0,2,0)D E B C ，1(2,0,2)B C =--uuuu r,设(),0,0F m ()02m ££，(2,1,0)EF m =--uuu r，设异面直线1B C 与EF 的夹角为q ，则11||cos ||||EF B C EF B C q ×===×uuu r uuur uuu r uuur 异面直线1B C 与EF 所成角最小时，则cos q 最大，即0m =时，cos q ===.故选：C.4．（2020浙江衢州二中高二理）正三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，M 为棱PA 上的动点，令a 为BM 与AC 所成的角，b 为BM 与底面ABC 所成的角，g 为二面角M AC B --所成的角，则（）A ．2cos cos a b >B ．2cos cos a b <C ．2cos cos g b >D ．2cos cos g b<【答案】B【解析】设正三棱锥P ABC -的底面边长为6，高为t ，如图所示建立空间直角坐标系，不妨令M 为PA 的中点，则()0,0,0O，()0,3,0A，()B，()C，()1O，()P t，2t M ö÷ø，2t BM æö=-ç÷èøuuuu r，()AC =uuu r，2t AM ö=÷øuuuu r，所以cos =M 作1//MF PO 交AD 于点M ，所以1122t MF PO ==，MBF Ð即为BM 与底面ABC所成的角，所以sin MF MB b ==，所以cos b ===2cos cos a b <显然面ABC 的法向量可为()0,0,1m =u r ，设面MAC 的法向量为(),,n x y z =r，所以302y tz +=+=令x =则3y =-，6z t =-，即63,n t ö=--÷ør ，所以cos =，当2636t =时，2cos cos g b =；当2636t >时，2cos cos g b <；当2636t <时，2cos cos g b >，故CD 不成立；故选：B5．（多选题）（2020福建三明一中高二期末）正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB 的中点，则下列结论正确的是（）A ．1B G BC ^B ．平面AEF I 平面111AAD D AD =C ．1//A H 面AEF D ．二面角E AF C --的大小为4p【答案】BC【解析】解：由题可知，1B G 在底面上的射影为BG ，而BC 不垂直BG ，则1B G 不垂直于BC ，则选项A 不正确；连接1AD 和1BC ，E 、F 、G 、H 分别为1CC 、BC 、CD 、BB 、1BB的中点，可知11////EF BC AD ，所以AEF D Ì平面1AD EF ，则平面AEF I 平面111AA D D AD =，所以选项B 正确；由题知，可设正方体的棱长为2，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则各点坐标如下：()()()()()()12,0,0,0,2,0,0,2,1,2,0,2,2,2,1,1,2,0A C E A H F ()()()()110,2,1,1,2,0,1,0,1,0,0,2A H AF EF AA =-=-=-=uuuu r uuu r uuu r uuur ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =r，则00n AF n EF ì×=í×=îuuu v v uuu v v ，即200x y x z -+=ìí-=î，令1y =，得2,2x z ==，得平面AEF 的法向量为()2,1,2n =r ，所以10A H n ×=uuuu r r，所以1//A H 平面AEF ，则C 选项正确；由图可知，1AA ^平面AFC ，所以1AA uuur 是平面AFC 的法向量，则1112cos ,3AA n AA n AA n ×<>===×uuur ruuur r uuur r .得知二面角E AF C --的大小不是4p ，所以D 不正确.故选：BC.6.（多选题）（2020苏州大学附中学高二月考）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P M ，分别为棱1CD,CC 的中点.Q 为面对角线1A B 上任一点，则下列说法正确的是（）A ．平面APM 内存在直线与11A D 平行B ．平面APM 截正方体1111ABCD A BCD -所得截面面积为98C ．直线AP 和DQ 所成角可能为60°D ．直线AP 和DQ 所成角可能为30°【答案】BC【解析】对于选项A ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//BC A D ，在平面ABCD 中，直线,AP BC 相交，所以直线BC 与平面APM 相交，故直线11A D 与平面APM 相交，则平面APM 不存在直线与11A D 平行，所以选项A 错误；对于选项B ，连接11,,,C D AB P M 分别为棱1,CD CC 的中点，所以111//,2PM C D PM C D =，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB CD ，所以1//PM AB ，连1B M ，则梯形1AB MP为所求的截面，1AP B M ===，所以等腰梯形1AB MP的高为2==，所以梯形1AB MP的面积为1928=，选项B正确；对于选项C,D ，以D 为坐标原点，1,,DA AC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，11(1,0,0),(0,,0),(1,1,0),(1,0,1)2A PB A ，设11(0,1,1)(0,,),01AQ A B l l l l l ==-=-££uuur uuur ，11(1,,1)DQ DA AQ l l \=+=-uuur uuu u r uuur ，1(1,,0)2PA =-uuu r，|cos ,|PA DQ <>==uuu ruuur ===11[,1]22t l =Î-，221113313(,1244y t t t y =-+=-+\££，££|cos ,|PA DQ £<>£uuu r uuur12<<<\直线AP 和DQ 所成角可能为60°，但不可能为30°，选项C 正确，选项D 错误.故选：BC.二、填空题7．（2020·山东省高二期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB Ð=°，11AA AC BC ===，则异面直线1BC 与11A B 所成角为______；二面角1A BC C --的余弦值是______.【答案】3p ；【解析】解：直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB Ð=°，1CC BC \^，1CC AC ^，AC BC ^如图以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,0C ,()10,0,1C ，()10,1,1B ，()11,0,1A ()10,1,1BC \=-uuuu r ,()111,1,0A B =-uuuu r ，()1,1,0AB =-uuu r ，1111111111cos ,2BC A B BC A B BC A B ×\<==×>uuuu r u uuuu r u uuuu u uu r uuuu r r uuur 所以异面直线1BC 与11A B 所成角为3p ；设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z =r则100n BC n AB ì×=í×=îuuuu v v uuu v v 即0x y y z -+=ìí-+=î令1y =，则()1,1,1n =r 显然平面1CBC 的一个法向量为()1,0,0m =u r，cos ,n m <=r u r 故二面角1A BC C --故答案为：3p8.在空间中,已知平面α过点(3,0,0)和(0,4,0)及z 轴上一点(0,0,a )(a>0),如果平面α与平面xOy 的夹角为45°,则a= .【答案】125.【解析】平面xOy 的一个法向量为n =(0,0,1),设平面α的一个法向量为m =(x ,y ,z ),则-3x +4y =0,-3x +az =0,即3x=4y=az ,取z=1,则x=a 3,y=a 4,∴ma4,1.由题意得|cos <n,m又因为a>0,所以a=125.9．（2020·四川省南充市白塔中学高二月考（理））如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，则正四棱柱的高为_____．【答案】4【解析】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1DD a =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，1(0,0,)D a ，故(2,2,0)=-uuu r AC ，1(2,0,)AD a =-uuuu r，1(0,0, )CC a =uuu u r ，设平面1ACD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则122020n AC x y n AD x az ì×=-+=í×=-+=îuuu v v uuu v v ，可取21,1,n a æö=ç÷èør ，故111cos ,||||n CC n CC n CC ×<>===r uuu rr uuu u r r uuu u r ，又直线1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值为13，13=，解得4a =．10．（2020江西上饶中学高二期中）如图，在四面体D ABC -中，5AD BD AC BC ====，6AB DC ==.若M 为线段AB 上的动点（不包含端点），则二面角D MC B --的余弦值取值范围是__________．【答案】99(,1616-【解析】以AB的中点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0,(0,4,0),(,0,0)(33)2D C M a a --<<，平面MBC 的一个法向量为1(0,0,1)n =ur ，设平面DMC 的一个法向量为2(,,)n x y z =uu r，则9(0,,(,4,0)2DC MC a ==-uuu v uuu uv，则229002040n DC y z n MC ax y ìì×=--=ïïÞíí×=ïîï-+=îuu v uuu v uu v uuu u v，令9,z x y ===，所以平面DMC的一个法向量为2n =uu v，所以1cos n =uv 因为33a -<<，所以29<a ，所以2166316631441442569a ´´+>+=，所以129cos ,16n n <uv uu v ，即二面角的余弦值的取值范围是99(,1616-.三、解答题11．（2020·江苏省西亭高级中学高二）如图，在以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体中，四边形ABEF为正方形，AF DF ^，AF =，45DFE CEF Ð=Ð=o .（1）求异面直线BC ，DF 所成角的大小；（2）求二面角D BE C --的余弦值.【解析】因为四边形ABEF 为正方形，AF DF ^所以AF ^平面DCEF 又45DFE CEF Ð=Ð=o 所以，在平面DCEF 内作DO EF ^，垂足为点O ，以O 为坐标原点，OF 所在的直线为x 轴，OD 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系（如图所示）.设OF =a，因为AF =所以,4,2DF AF a CD a ===（1）点D 的坐标为(0,0,)D a ，点F 的坐标为(,0,0)F a ，点B 的坐标为(3,4,0)B a a -点C 的坐标为(2,0,)C a a -.则(,4,),(,0,)BC a a a DF a a ==-uuu r uuu r，设向量,BC DF uuu r uuu r 的夹角为q ，则cos 0||||BC DF BC DF q ×==×uuu r uuu ruuur uuu r ，所以异面直线BC ，DF 所成角为2p （3）点E 的坐标为(3,0,0)E a -，(,4,),BC a a a =uuu r (0,4,0),(3,0,),BE a DE a a =-=--uuu r uuu r设平面DBE 的法向量为1(,,)n x y z =r ，由1100n DE n BE ì×=ïí×=ïîuv uuu vuv uuu v 得3040x z y +=ìí=î，取1x =得平面DBE 的一个法向量为1(1,0,3)n =-r ，设平面CBE 的法向量为2(,,)n x y z =r ，由2200n BC n BE ì×=ïí×=ïîuu v uuu vuu v uuu v 得4040x y z y ++=ìí=î，取1x =得平面DBE 的一个法向量为2(1,0,1)n =-r，设两个法向量12,n n r r 的夹角为b，则1212cos ||||n n n n q ×==×u u r uu ru ur uu r 由于二面角D BE C --为锐二面角，所以二面角D BE C --12.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ∥BC ,AD ⊥CD ,且BC=PA=2.(1)取PC 的中点N ,求证:DN ∥平面PAB.(2)求直线AC 与PD 所成角的余弦值.(3)在线段PD 上,是否存在一点M ,使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°?如果存在,求出BM 与平面MAC 所成角的大小;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)取BC 的中点E ,连接DE ,交AC 于点O ,连接ON ,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,-1,0),B (2,-1,0),C (0,1,0),D (-1,0,0),P (0,-1,2).∵点N 为PC 的中点,∴N (0,0,1),∴DN =(1,0,1).设平面PAB 的一个法向量为n =(x ,y ,z ),由AP =(0,0,2),AB =(2,0,0),可得n =(0,1,0),∴DN ·n =0.又∵DN ⊄平面PAB ,∴DN ∥平面PAB.(2)由(1)知AC =(0,2,0),PD =(-1,1,-2).设直线AC 与PD 所成的角为θ,则cos θ=(3)存在.设M (x ,y ,z ),且PM =λPD ,0<λ<1,∴x =-λ,y +1=λ,z -2=-2λ,∴M (-λ,λ-1,2-2λ).设平面ACM 的一个法向量为m =(x ,y ,z ),由AC =(0,2,0),AM =(-λ,λ,2-2λ),可得m =(2-2λ,0,λ),由图知平面ACD 的一个法向量为n =(0,0,1),∴|os <m,n解得λ=23或λ=2(舍去).∴M -23,-13∴BM =-83,230设BM 与平面MAC 所成的角为φ,则sin φ=|cos <BM ,m >|=|-129=12,∴φ=30°.故存在点M ,使得平面MAC 与平面ACD 的夹角为45°,此时BM 与平面MAC 所成的角为30°.。

2020高考提分秘笈：利用空间向量求夹角与距离(距离供选用)(原卷版+解析版)

【训练 2】 (2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 BDEF 是矩形， π
ED⊥平面 ABCD，∠ABD＝6，AB＝2AD.
(1)求证：平面 BDEF⊥平面 ADE； (2)若 ED＝BD，求直线 AF 与平面 AEC 所成角的正弦值.
6 千里之行始于足下
9 千里之行始于足下
＝2CD，E 为线段 AB 的中点，F 是线段 DD1 上的动点.
实用文档用心整理
(1)求证：EF∥平面 BCC1B1；
(2)(一题多解)若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面 D1C1CD⊥平面 ABCD，求平面 BCC1B1 与平面 DC1B1 所成角(锐角)的余弦值.
1 千里之行始于足下
实用文档用心整理
【规律方法】 1.利用向量法求异面直线所成角的一般步骤是：(1)选好基底或建立空间直角坐标系；(2)求出两直线的方向
|v1·v2| 向量 v1，v2；(3)代入公式|cos〈v1，v2〉|＝|v1||v2|求解.
2 千里之行始于足下
实用文档用心整理
π 2.两异面直线所成角的范围是 θ∈0，2，两向量的夹角 α 的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹
14 千里之行始于足下
实用文档用心整理
和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2.利用法向量求距离问题的程序思想方法第一步，确定法向量；第二步，选择参考向量；第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；第四步，求投影向量的长度.
角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.
【训练 1】(一题多解)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1＝ 2AB，E，F 分别为 BC，BB1 的中点， M，N 分别为 AA1，A1C1 的中点，则直线 MN 与 EF 所成角的余弦值为( )

用空间向量计算夹角问题方案

B1
则 D (0,0,0),B 1(1,1,1)
AD
C
B
A (1,0,0),D 1(0,0,1),C (0.1,0),
DB1 (1,1,1), AD (1,01), CD (0,1,1)
AD1 DB1, AC DB1 又AD1 AC A,
DB1 平面ACD1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1 所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1

0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)

0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
BE1
DF1

0

0

1 4

1 4
11

15 16
,
D
O
A
x
2019/9/3
C
y | BE1 |
17 4
利用向量解决夹角问题
紫阳中学陈兴平
•引入
2019/9/3
•复习
•线线角
•线面角
•二面角
•小结 1
空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。
3.二面角：
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |

用空间向量研究夹角问题

知识回顾
单位向量：
b
b

( x, y , z )
x y z
2
2
2
(
x
x y z
2
2
2
y
,
x y z
2
2
2
,
投影向量:
a cos
b
b
(a
a b
ab
)
b
(
a b
b
)
b
b
b
a
b
投影:
a cos a
a b
ab

a b
b
b
(a
b
b
)
b
(1)建立适当的空间直角坐标系.
(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标.
(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角.
(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角.
2.求两条异面直线所成的角的两个关注点.
(1)余弦值非负:两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值,而
对应的方向向量的夹角可能为钝角.
谢谢
再见
u
直线与平面的夹角
sin = cos < , > =
l1
v
n
·

=
·

B

C

平面与平面的夹角
n2
cos = cos < 1, 2 > =
1·2
1 2
=
1·2
1 2

n1

5.布置作业
教科书习题1.4第9，10题.
目标检测设计
教科书练习第1，2，3，4题.

用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类(讲+练)(学生版) 24-25学年高二必修一数学同步知识题型

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题6题型分类一、空间向量研究距离问题1．点P 到直线l 的距离:已知直线l 的单位方向向量为u ，A 是直线l 上的定点，P 是直线l 外一点，设向量AP →在直线l 上的投影向量为AQ →＝a ，则点P 到直线l (如图)．2．点P 到平面α的距离:设平面α的法向量为n ，A 是平面α内的定点，P 是平面α外一点，则点P 到平面α的距离为|AP →·n||n|(如图)．3．两平行直线间的距离：一条直线上任一点到另一条直线的距离.4．直线到平面的距离：直线上任一点到这个平面的距离.5．两平行平面间的距离：一平面上任一点到另一平面的距离．二、空间向量研究夹角问题1．两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．2．空间角的向量法解法角的分类向量求法范围线线角设两异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |(0，π2]线面角设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos〈u ，n 〉|＝|u ·n ||u ||n |[0，π2]面面角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|[0，π2]（一）点到直线的距离1、用向量法求点到直线的距离的一般步骤：(1)求直线的方向向量．(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度．(3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化．2、用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点:(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段;(2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点;(3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算正确.题型1：利用空间向量求点到直线的距离1-1．（2024高二上·北京大兴·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，O 为正方形11ADD A 的中心，若P 为平面1OD B 内的一个动点，则P 到直线11A B 的距离的最小值为（）A ．22B ．12C ．64D ．331-2．（2024高二上·河南新乡·期末）已知空间三点()()()2,1,0,2,1,1,1,0,1A B C -，则点C 到直线AB 的距离为．1-3．（2024高二·全国·课后作业）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点B 到直线1AC 的距离为（）A ．63B ．66C ．65D ．2631-4．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是a ，且AB AD ^，1160A AB A AD Ð=Ð=°，E 为1CC 的中点，则点E 到直线1AC 的距离为（）A ．510a B ．55a C ．54a D ．53a（二）点到平面的距离与直线到平面的距离1、用向量法求点面距的步骤：(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系．(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．(3)求向量：求出相关向量的坐标(AP →，α内两不共线向量，平面α的法向量n )．(4)求距离d ＝|AP →·n ||n |.2、求点到平面的距离的主要方法：(1)作点到平面的垂线,点到垂足的距离即为点到平面的距离.(2)在三棱锥中用等体积法求解.(3)向量法:d=|n ·MA ||n |(n 为平面的法向量,A 为平面上一点,MA 为过点A 的斜线段).题型2：利用空间向量求点到平面的距离2-1．（2024高二上·陕西西安·期末）在直角梯形ABCD 中，,2222,90AD BC BC AD AB ABC ===Ð=°∥，O 为BD 中点，如图（1）．把ABD △沿BD 翻折，使得平面ABD ^平面BCD ，如图（2）．(1)求证：OA CD ^；(2)若M 为线段BC 的中点，求点M 到平面ACD 的距离．2-2．（2024高三下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在三棱柱11ABC A B C -中，1CC ^平面ABC ，AC BC ^，14BC AC CC ===，D 为1AB 的中点，1CB 交1BC 于点E ．(1)证明：11CB C D ^；(2)求点E 到平面11B C D 的距离．2-3．（2024高二上·河南新乡·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，4524,,5AB AD PD E ===是PA 的中点，2FB PF =uuu r uuu r ，则点C 到平面DEF 的距离为（）A ．3105B ．2105C ．105D ．10102-4．（2024高二下·云南楚雄·期中）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E 是线段1BC 上靠近点B 的一个三等分点，D 是1AC 的中点．(1)证明：1A D //平面1AB E ；(2)若16AA AB ==，求点1A 到平面1AB E 的距离．（三）两条异面直线所成的角1、求异面直线夹角的方法(1)传统法：作出与异面直线所成角相等的平面角，进而构造三角形求解．(2)向量法：在两异面直线a 与b 上分别取点A ，B 和C ，D ，则AB → 与CD →可分别为a ，b 的方向向量，则cos θ＝|AB → ·CD →||AB → ||CD →|.注：用空间向量求两条直线l 1，l 2夹角θ的步骤与方法：(1)化为向量问题：转化为求两直线l 1，l 2的方向向量u ,v 的夹角；(2)进行向量运算：计算cos ⟨u ,v⟩=u∙v|u |∙|v |的值；(3)回到图形问题：两条直线l 1,l 2夹角θ的余弦值cos θ=|cos ⟨u ,v⟩|.题型3：利用空间向量求异面直线的夹角3-1．（2024高二下·全国·课后作业）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,2AB BC AB BC CC ^===，建立适当的空间直角坐标系，并求1A B uuu r 与1B C uuur的夹角余弦值.3-2．（2024高二上·天津南开·期中）如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,60AB AD AA A AB A AD BAD ===Ð=Ð=Ð=°．(1)证明：1AC BD ^；(2)求1AC 的长；(3)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．3-3．（2024高一下·浙江宁波·期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为直线1BB 上的异于点B 的动点，则异面直线1A B 与MN 所成的角的最小值为q ，则sin q =（）A ．1010B ．105C ．31010D ．21053-4．（2024高二下·江苏连云港·阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ^平面ABCD ，且四边形ABCD 为直角梯形，π2Ð=Ð=ABC BAD ，3PA AD ==，1AB BC ==.点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，则线段BQ 的长为（四）直线与平面所成的角利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)求直线的方向向量u ；(3)求平面的法向量n ；(4)设线面角为θ，则sin θ＝|u ·n ||u ||n |.题型4：利用空间向量求直线与平面所成的角4-1．（江苏省苏锡常镇四市2023届高三下学期3月教学情况调研（一）数学试题）在三棱柱111ABC A B C -中，平面11A B BA ^平面ABC ，侧面11A B BA 为菱形，1π3ABB Ð=，1A B AC ^，2AB AC ==，E 是AC 的中点.(1)求证：1A B ^平面1AB C ；(2)点P 在线段1A E 上（异于点1A ，E ），AP 与平面1A BE 所成角为π4，求1EP EA 的值.4-2．（2024·吉林通化·二模）已知四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，2AD =，4DC =，60BAD Ð=o ，PD ^平面ABCD ，直线PD 与平面PAC 所成角为30o ，则PD =（）A ．22B ．475C ．677D ．74-3．（2024高二下·甘肃金昌·期中）如图，已知AE ^平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ^，1AB AD ==，2BC =.若2AE =，1CF =，则BF 与平面BDE 所成角的余弦值为.4-4．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ^平面ABCD ，M 为PC 中点．(1)求证：//PA 平面MBD ；(2)若2AB AD PA ===，求直线BM 与平面AMD 所成角的正弦值．4-5．（2024高二下·四川成都·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，4=AD ，13AA =，1B C 交1BC 于点E .(1)证明：直线1//D E 平面1A BD ；(2)求AD 与平面1A BD 所成角的正弦值.4-6．（2024·陕西商洛·二模）在四棱锥P ABCD -中，PA ^底面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，2AP =，则直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为（）A ．255B ．25C ．23D ．334-7．（2024高二下·江苏徐州·期中）如图，圆台的下底面圆1O 的直径为AB ，圆台的上底面圆2O 的直径为PQ ，C 是弧AB 上一点，且222PA AC PC BC PB =====，.（五）两个平面的夹角求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角．也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同．(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n 1，n 2，则两平面的夹角为〈n 1，n 2〉(当〈n 1，n 2〉∈[0，π2]时)或π－〈n 1，n 2〉注：利用向量方法求二面角的大小时,多采用法向量法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察分析,确定二面角是锐角还是钝角,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.题型5：利用空间向量求二面角5-1．（山东省滨州市2023-2024学年高二上学期期末数学试题）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ^底面ABCD ，四边形ABCD 是直角梯形，AD DC ^，//AB DC ，222PC AB AD CD ====，点E 在棱PB 上．(1)证明：平面EAC ^平面PBC ；(2)当2BE EP =uuu r uuu r时，求二面角P AC E --的余弦值．5-2．（2024·河南·模拟预测）如图，四边形ABCD 为菱形，ED ^平面ABCD ，FB ED P ，222BD ED FB ==.(1)证明：平面EAC ^平面FAC ；(2)若60BAD Ð=°，求二面角F AE C --的大小.5-3．（2024高二上·湖北·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ^，AB DC P ，PA ^底面ABCD ，点E 为棱PC 的中点，22AD DC AP AB ====．(1)证明：//BE 平面PAD ；(2)在棱PC 上是否存在点F ，使得二面角F AD C --的余弦值为1010，若存在，求出PF PC 的值，若不存在，请说明理由．5-4．（2024高三下·河南·阶段练习）在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为平行四边形，平面1D BC ^平面1D BD .(1)求证：BC BD ^；(2)若1224AA BD BC ===，探索在棱1AA 上是否存在一点E ，使得二面角1E BD D --的大小为30o ？若存在，求出1AEAA 的值；若不存在，请说明理由.5-5．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，2AB =，1DS =，平面ASD ^平面ABCD ，SD AD ^，点E 为DC 上的动点，平面BSE 与平面ASD 所成的二面角为(q q 为锐角)，则当q 取最小值时，DE =．题型6：利用空间向量求两个平面的夹角6-1．（2024高二上·湖南郴州·期末）如图2，在ABCD Y 中，2AB =，3BC =，30ABC Ð=°．将DAC △沿AC 翻折，使点D 到达点P 位置（如图3），且平面PAC ^平面PBC ．(1)求证：平面PAC ^平面ABC ；(2)设Q 是线段PB 上一点，满足PQ mPB =uuu r uuu r，试问：是否存在一个实数m ，使得平面QAC 与平面PAB 的夹角的余弦值为24，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．6-2．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A 为正方形，90CAB Ð=°，2AC AB ==，M ，N 分别为AB 和1BB 的中点，D 为棱AC 上的点.(1)证明：1A M DN ^；(2)是否存在点D ，使得平面1C DN 与平面11ABB A 夹角的余弦值为53？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段AD 的长.6-3．（2024高二下·福建福州·期中）如图，圆O 是ABC V 的外接圆，CE ^平面ABC ，AB 是圆O 的直径，30CAB Ð=°，2CE BD =uuu r uuu r，且2CE AB ==.(1)求证：平面ACE ^平面BCED ；(2)若2ME DM =，求平面ACM 与平面ACE 夹角的余弦值.6-4．（2024·广东·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，BD PC ^，四边形ABCD 是菱形，60ABC Ð=°，1AB PA ==，2PB =，E 是棱PD 上的中点.(1)求三棱锥C BDE -的体积；(2)求平面PAB 与平面ACE 夹角的余弦值.6-5．（2024高一上·吉林·阶段练习）如图①所示，长方形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -．(1)求四棱锥P ABCM -的体积的最大值；(2)设P AM D --的大小为q ，若π0,2q æùÎçúèû，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．6-6．（2024高二上·云南昆明·期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，2π3ADC Ð=，24PD DC BC ===，点E 是线段AD 的中点，点F 在线段AP 上且满足AF AP l =uuu r uuu r ，PD ^面ABCD .(1)当13l =时，证明：PC //平面BFE ；(2)当l 为何值时，平面BFE 与平面PBD 所成的二面角的正弦值最小？一、单选题1．（2024高二下·四川成都·期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB BC AA ===，则1AD uuuu v 与1DB uuuu v夹角的余弦值为（）A B C ．15D ．2．（2024高二上·贵州铜仁·期末）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，14AA =，点E ，F 分别是11B C和1BB 的中点，M 是线段1D F 的中点，则直线AM 和CE 所成角的余弦值为（）A B C D 3．（2024高二上·广东惠州·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，分别取棱1AA ，11A D 的中点E ，F ，点G 为EF 上一个动点，则点G 到平面1ACD 的距离为（）A B C ．1D 4．（2024高二上·河北邯郸·期末）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PB ^底面ABCD ，AB =2BD PB ==，则PCD △的重心到平面PAD 的距离为（）A ．29B ．13C ．49D ．5185．（2024高二下·福建福州·期中）如图在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AD DD AB ===E ，F ，G 分别是1,,AB BC CC 棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线1//D P 平面EFG 平行，则线段BP 的最小值为（）A B ．1C D ．126．（2024高二下·江苏南京·期中）已知两平面的法向量分别为(0,1,1)m =u r ，(1,1,1)n =r ，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A B C ．13D 6.3.4空间距离的计算（1））已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--r，点(1,3,0)A -在α内，则(2,1,4)P -到α的距离为（）A ．10B ．3C ．83D ．1038．（2024高二下·福建龙岩·期中）如图，在圆锥SO 中，AB 是底面圆O 的直径，4SO AB ==，AC BC =，D 为SO 的中点，N 为AD 的中点，则点N 到平面SBC 的距离为（）A ．43B ．53C ．1D ．29．（2024高二下·江西景德镇·期中）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，M 为线段EF 上的一动点，则直线1A D 与1B M 所成角的余弦值的取值范围是（）A ．12éêëB ．C ．D ．35éêë10．（2024高二下·浙江·阶段练习）如图，已知四棱台的底面ABCD 是直角梯形，90BAD o Ð=，//AD BC ，111222AD AB BC DD A D ====，1DD ^平面ABCD ，E 是侧棱1BB 所在直线上的动点，AE 与1CA 所成角的余弦值的最大值为（）A B C D 11．（2024高二下·全国·单元测试）三棱锥O ABC -中，,,OA OB OC 两两垂直且相等，点,P Q 分别是线段BC 和OA 上移动，且满足12BP BC £，12AQ AO £，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12．（2024高二下·河南周口·阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，M 为棱PC 的中点，则异面直线AC ，BM 所成角的余弦值为（）A B C D 13．（2024高二上·河南平顶山·期末）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13D D =，M ，N 分别是11B C ，AB 的中点，设点P 是线段DN 上的动点，则MP 的最小值为（）A B C D 14．（2024高二下·浙江·期中）在正三棱柱111ABC A B C -中，12,3AB AA ==，点D 为棱BC 的中点，点E 为线段1AC （不与C 点重合）上的点，且满足1(0)A E mEC m =>uuur uuu r ，当二面角E AD C --的平面角为π4时，实数m 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．415．（2024高二上·浙江金华·期末）襄阳一桥全称“襄阳江汉大桥”，于1970年正式通车，在和襄阳城长达53年的相处里，于襄阳人来说一桥早已无可替代.江汉大桥由主桥架､上下水平纵向联结系､桥门架和中间横撑架以及桥面系组成，下面是一桥模型的一段，它是由一个正方体和一个直三棱柱构成.其中AB =BH ，那么直线AH 与直线IG 所成角的余弦值为（）A ．BC ．12-D ．1216．（2024高二下·浙江·学业考试）如图，棱长均相等的三棱锥P ABC -中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，二面角A BD C --的大小为q .当x 增大时，（）A ．q 增大B ．q 先增大后减小C ．q 减小D ．q 先减小后增大17．（2024·新疆阿勒泰·一模）四棱锥P ABCD -中，AB BC ==1，则直线PA 与直线BC 所成角的余弦值为（）A ．13B C D 18．（2024高二下·江苏宿迁·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，90BAD Ð=°，112PA AB BC AD ====，//BC AD ，已知Q 是棱PD 上靠近点P 的四等分点，则CQ 与平面PAB 所成角的正弦值为（）．A B C D ．1619．（2024高二下·陕西汉中·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为体对角线1B D 上一点，且12DP PB =，则异面直线1AD 和CP 所成角的余弦值为（）A ．0B ．35C ．45D 二、多选题20．（江苏省淮安市淮海中学2023-2024学年高二上学期收心考试数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中（）A ．AC 与1BD 的夹角为60°B ．二面角1D ACD --C ．1AB 与平面1ACD D ．点D 到平面1ACD 21．（2024高二上·山东青岛·期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，11B C 的中点，以下说法正确的是（）A ．三棱锥C EFG -的体积为1B ．1AC ^平面EFGC ．11//AD 平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD 22．（2024高二下·江西宜春·开学考试）点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为()1,1,1s =-r的直线l，则点M 的坐标是（）A ．()0,0,3-B ．()0,0,3C ．(D ．(0,0,23．（2024高二上·浙江宁波·阶段练习）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ^平面BCD ，ABC V 与BCD △均为等腰直角三角形，且90BAC BCD Ð=Ð=°，2BC =，P 是线段AB 上的动点（不包括端点），若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30o 的角，则线段PA 的长度可能为（）A B C D 24．（2024高二上·河南·期中）在三棱锥A BCD -中，平面ABD ^平面BCD ，BD CD ^，BD CD ==ABD为等边三角形，E 是棱AC 的中点，F 是棱AD 上一点，若异面直线DE 与BF ，则AF 的值可能为（）A ．23B ．1C ．43D ．5325．（2024高二下·江苏淮安·期中）布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（）A ．点1C 到直线CQB ．122CQ AB AD AA =--+uuu r uuu r uuu r uuu rC ．平面ECG 与平面1BCD 的夹角余弦值为13D ．异面直线CQ 与BD 26．（海南省海口市龙华区海南华侨中学2023届高三一模数学试题）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．不存在点Q ，使得11//C Q A CB ．存在点Q ，使得11C Q A C^C ．对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离的取值范围为D ．对于任意点Q ，1A CQ △都是钝角三角形三、填空题27．（2024高二上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14DD =，则11A B 与平面11A C D 所成的角的正弦值为．28．（2024高二下·福建宁德·期中）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为1DD ，BD ，1BB 的中点，则1C E 与FG 所成的角的余弦值为 .29．（2024·浙江绍兴·一模）如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1A A 上的动点，N 是棱BC 的中点.当平面1D MN 与底面ABCD 所成的锐二面角最小时，1A M = .30．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段11A B 的中点，F 为线段AB 的中点，则直线FC 到平面1AEC 的距离为．31．（2024高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1BC =，E ､F ､H 分别是AB ､CD ､11A B 的中点，则直线EC 到平面AFH 的距离为 .32．（2024高二上·山东枣庄·期末）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为平面11A ABB 的中心，E 为BC 的中点，则点O 到直线1A E 的距离为 .33．（2024高一·全国·课后作业）正方体1111ABCD A B C D -中，二面角11A CC B --的大小为 .34．（2024高三·全国·课后作业）已知PA ^平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PA AD =为定长，当AB 的长度变化时，异面直线PC 与AD 所成角的取值范围是．35．（2024高一下·浙江温州·期末）“阿基米德多面体”也称为半正多面体,是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美,如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”,则直线MN 与平面ABCD 所成角的正弦值为 .四、解答题36．（2024高二上·天津·期中）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ^平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD Ð=o .(1)求证：BD ^平面PAC ；(2)若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值.37．（2024高二下·广东广州·阶段练习）如图，四棱锥P ABCD -中，CD ^平面PAD ，//AB CD ，1AB =，2CD =，M 为棱PC 上一点.(1)若M 为PC 的中点，证明：//BM 平面PAD ；(2)若2PA PD AD ===，且//PA 平面BMD ，求直线PC 与平面BMD 所成角的正弦值.38．（2024高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点E 为1BB 的中点．(1)求点D 到平面1AD E 的距离为d ；(2)求1BC 到平面1AD E 的距离．39．（2024高二上·吉林长春·期末）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为1A B 的中点，1AA ==(1)证明：BC ∥平面1AC D ；(2)求直线BC 到平面1AC D 的距离．40．（2024高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ^底面ABC ，90BAC Ð=o ，点D 、E 分别为棱PA ，PC 的中点，M 是线段AD 的中点，N 是线段BC 的中点，4PA AC ==，2AB =.(1)求证：//MN 平面BDE ；(2)求直线MN 到平面BDE 的距离.41．（2024高二下·全国·课后作业）如图，矩形ADFE 和梯形ABCD 所在平面互相垂直，AB ∥CD ，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，CD ＝1，BC ＝2，DF ＝1．(1)求证：BE ∥平面DCF ；(2)求点B 到平面DCF 的距离．42．（2024高二上·浙江杭州·期中）如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ^平面ABC ，PAC V 为正三角形，E ，F 分别是棱,PC PB 上的点，且满足(01)PE PF PC PBl l ==<<．(1)求证：BC AE ^；(2)是否存在l ，使得直线AP 与平面AEF l 的值；若不存在，请说明理由．43．（2024·新疆·模拟预测）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ^菱形ABCD 所在的平面，60ABC Ð=°，点E ､F 分别是BC ､PC 的中点，M 是线段PD 上的点.（1）求证：平面AEM ^平面PAD ；（2）当AB AP =时，是否存在点M ，使直线EM 与平面ABF ？若存在，请求出PM PD 的值，若不存在，请说明理由.44．（2024高二下·福建莆田·阶段练习）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，PA ⊥平面ABCD ，AD ＝5，BC ＝2AB ＝4，M 为PC 的中点．(1)求证：平面PAC ⊥平面PCD ；(2)若AM ⊥PC ，求直线PB 与面PCD 所成角的正弦值．45．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABP 所在的平面互相垂直，且//AB CD ，AB BC ^，AP PB ^，2AB =，1BC CD ==．(1)求证：AB PD ^；(2)求直线PC 与平面ABP 所成角的余弦值；(3)线段PA 上是否存在点E ，使得//PC 平面EBD ？若存在，求出AE AP的值；若不存在，请说明理由．46．（2024高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥P ABC -中，已知PA ^平面ABC ，平面PAB ^平面PBC ．(1)证明：^BC 平面PAB ；(2)6PA AB ==，3BC =，在线段PC 上（不含端点），是否存在点D ，使得二面角B AD C --的余弦值为D 的位置；若不存在，说明理由．47．（2024··模拟预测）如图，四边形ACC 1A 1与四边形BCC 1B 1是全等的矩形，1AB AA ==．(1)若P 是AA 1的中点，求证:平面PB 1C 1⊥平面PB 1C ;(2)若P 是棱AA 1上的点，直线BP 与平面ACC 1A 1求二面角B 1﹣PC ﹣C 1的余弦值．48．（2024·福建福州·二模）如图1，在ABC V 中，2π2,,3AB AC BAC E Ð===为BC 的中点，F 为AB 上一点，且EF AB ^.将BEF △沿EF 翻折到B EF ¢V 的位置，如图2.(1)当AB ¢=B AE ¢^平面ABC ；(2)已知二面角B EF A ¢--的大小为π4，棱AC 上是否存在点M ，使得直线B E ¢与平面B MF ¢所成角的正弦值M 的位置；若不存在，请说明理由.49．（2024·江苏·二模）如图，在三棱台111ABC A B C -中，BA BC ^，平面11A B BA ^平面ABC ，二面角1B BC A --的大小为45°，2AB =，1111BC A B AA ===.(1)求证：1AA ^平面ABC ；(2)求异面直线1BA 与1B C 所成角的余弦值.50．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，AB BC =，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的动点.11BF A B ^.(1)证明：BF DE ^；(2)求平面11BB C C 与平面DEF 所成的二面角正弦值的最小值及此时点D 的位置.51．（2024·河南郑州·模拟预测）在底面ABCD 为梯形的多面体中.AB CD ∥，BC ⊥CD ，2AB CD ==，∠CBD ＝45°，BC ＝AE ＝DE ，且四边形BDEN 为矩形．(1)求证：BD ⊥AE ；(2)线段EN 上是否存在点Q ，使得直线BE 与平面QAD 所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q 的位置并加以证明．52．（2024高二下·江苏常州·期中）如图，圆锥SO ，S 为顶点，O 是底面的圆心，AE 为底面直径，AE AS =，圆锥高SO =6，点P 在高SO 上，ABC V 是圆锥SO 底面的内接正三角形.(1)若PO ，判断PA 和平面PBC 是否垂直，并证明；(2)点P 在高SO 上的动点，当PE 和平面PBC 所成角的正弦值最大时，求三棱锥P-ABC 的体积.53．（2024高二下·江苏盐城·期中）如图，在Rt AOB V 中，π2AOB Ð=，4AO =，2BO =，Rt AOC V 可以通过Rt AOB V 以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 在线段AB 上．(1)当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的余弦值；(2)求CD 与平面AOB 所成角的正弦值的最大值．54．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ^平面ABCD ，PA PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，点E 在棱PC 上，2CE PE =.(1)证明：平面BDE ^平面ABCD ；(2)当直线DE 与平面PBD 所成角最大时，求四棱锥P ABCD -的体积.55．（2024高二下·四川成都·期末）如图，在四棱锥Q ABCD -中，底面ABCD 是矩形，若2AD QD QA ===，1CD QC ==，(1)证明：平面QAD ^平面ABCD ；(2)若E F ，分别是QC QD ，的中点，动点P 在线段EF 上移动，设q 为直线BP 与平面ABCD 所成角，求sin q 的取值范围．。

专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题(解析版)

专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（解析版）⑴求异面直线所成的角已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BDAC BD θ⋅=1．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.(1)写出图中M 、N 的坐标；(2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值.【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2)25．【分析】(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标； (2)利用向量夹角公式能求出直线AM 与CN 所成的角的余弦值．【详解】(1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2.由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2）， C （0，2，0），∴N （2，2，1）.(2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1），设直线AM 与CN 所成的角为θ，则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55⋅|25=．∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题． 2．如图,三棱柱111OAB O A B -中,平面11OBB O ⊥平面OAB ,且160O OB ∠=︒,190,2,3AOB OB OO OA ∠=︒===,求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值.【答案】17 【分析】以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值.【详解】以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则11(3,0,0),(0,2,0),(3,13),(0,13)A B A O , 所以11(3,1,3),(3,1,3)A B O A =--=--.设所求的角为α, 则1111|||313|1cos 7||||77A B O A A B O A α--+===⨯⋅, 即异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值为17. 【点睛】(1)本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（平移法、补形法）→证（定义）→指→求（解三角形）,方法二：（向量法）cos m n m n α⋅=，其中α是异面直线,m n所成的角，,m n 分别是直线,m n 的方向向量.⑵求直线和平面所成的角求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为ϕ，则θ为ϕ的余角或ϕ的补角的余角.即有：cos s .in a u a u ϕθ⋅==3．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，求BE 与平面1B BD 所成角的正弦值.【答案】10. 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则11(0,0,0),(2,2,0),(2,2,2),(0,2,1),(2,2,0),(0,0,2),(2,0,1)D B B E BD BB BE =--==-.设平面1B BD 的法向量为1(,,),,n x y z n BD n BB =∴⊥⊥，1220,20,n BD x y nBB z ⎧⋅=--=⎪∴⎨⋅==⎪⎩,0.x y z =-⎧∴⎨=⎩ 令1y =，则(1,1,0)=-n ，10cos ,||||n BE n BE n BE ⋅∴〈〉==. 故BE 与平面1B BD 所成角的正弦值为10.【点睛】本题考查了利用空间向量线面夹角公式的应用，考查了数学运算能力.4．如图,在三棱锥A BCD -中,ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,点P 是AC 的中点,连接,BP DP ．（1）证明:平面ACD ⊥平面BDP ;（2）若6BD =且二面角A BD C --为120︒,求直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）22【分析】（1）由ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,得AD CD =．再证明PD AC ⊥,PB AC ⊥,从而和证明AC ⊥平面PBD ,故平面ACD ⊥平面BDP 得证．（2）作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．由Rt Rt ABD CBD ⊆,证得,AE BD ⊥,AE CE =结合二面角A BD C --为120︒,可得2AB =,23AE =,6ED =.建立空间直角坐标系,求出点的坐标则60,,03D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3,0,13A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量36,,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,即平面BCD 的一个法向量(0,0,1)m =,运用公式cos ,m AD m AD m AD ⋅〈〉=和sin cos ,m AD θ=〈〉,即可得出直线AD与平面BCD 所成角的正弦值．【详解】解:（1）证明:因为ABC 是等边三角形,90BAD BCD ∠=∠=︒,所以Rt Rt ABD CBD ≅,可得AD CD =．因为点P 是AC 的中点,则PD AC ⊥,PB AC ⊥,因为PD PB P =,PD ⊂平面PBD ,PB ⊂平面PBD ,所以AC ⊥平面PBD ,因为AC ⊂平面ACD ,所以平面ACD ⊥平面BDP ．（2）如图,作CE BD ⊥,垂足为E 连接AE ．因为Rt Rt ABD CBD ⊆,所以,AE BD ⊥,AE CE =AEC ∠为二面角A-BD-C 的平面角．由已知二面角A BD C --为120︒,知120AEC ∠=︒．在等腰三角形AEC 中,由余弦定理可得3AC AE =．因为ABC 是等边三角形,则AC AB =,所以3AB AE =．在Rt △ABD 中,有1122AE BD AB AD ⋅=⋅,得3BD =,因为BD =所以AD =又222BD AB AD =+,所以2AB =．则AE =,ED = 以E 为坐标原点,以向量,EC ED 的方向分别为x 轴,y 轴的正方向,以过点E 垂直于平面BCD 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,则0,3D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,3A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,向量3,133AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m =, 设直线AD 与平面BCD所成的角为θ,则cos ,22m ADm AD m AD ⋅〈〉===-,2sin |cos ,|m AD θ=〈〉=所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为2．【点睛】本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小,考查空间想象力和是数形结合的能力,属于基础题.⑶求二面角二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l AO ⊥,β-l 的平面角.如图：求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、，再设m n 、的夹角为ϕ，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、的夹角ϕ或其补角.πϕ- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角：如果θ是锐角，则cos cos m n m n θϕ⋅==，即arccos m nm n θ⋅=；如果θ是钝角，则cos cos m nm n θϕ⋅=-=-，即arccos m n m n θ⎛⎫⋅ ⎪=- ⎪⎝⎭. 5．如图所示，AE ⊥平面ABCD ，四边形AEFB 为矩形，//BC AD ，BA AD ⊥，224AE AD AB BC ====．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（2）23【分析】（1）根据//BF AE ，//BC AD ，从而证明平面//BCF 平面ADE ，从而//CF 平面ADE 。

用空间向量研究距离、夹角问题

直角坐标系.
C
D
F
B
D1
C1
A1
E
B1
问：应用向量方法求距离，共同点是什么？
问：为此我们要做什么准备？
z
以D1为原点，D1 A1，D1 C1，
A
D1 D所在直线为x轴、y轴、
C
D
z轴，建立如图所示的空间
F
B
D1
直角坐标系.
C1
A1
E
x
B1
y
问: 相关点的坐标是什么？
A(1，0，1)，B(1，1，1)，
)

A
Q

= ∙

P
平面 α的法向量为n
A是平面α内的定点
点P 到平面 α的距离
n
A
∙

∙
= ∙
=
=

α
Q
小结：整理向量方法求距离的相关公式
距离问题
图示
两点间的距离
点到直线
的距离
两平行线之间
的距离
点到平面
的距离
向量法距离公式
Q
P
=
u
的距离可以转化为点到平面的距离.
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q

= ∙

直线到平面的距离
∙
∙
=
=

两个平行平面间的距离
P
β
P
α
n
α
n
A
Q
A
Q
例题小结
2.用向量方法解决距离问题的“三步曲”：

利用空间向量求夹角-高考理科数学总复习专题练习

利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 分别为11AC ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ；（2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为，求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥．∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA I 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 分别为11AC ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ．（2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ．又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ．∵1CC CD C =I ，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥．∵BC DC C =I ，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角． ∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =I ， ∴平面ABCD ∥平面111A B C ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，分别以HA uu u v ，HD uuu v ，1HA uuuv 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -，，及11BB CC =u u u v u u u v ，得设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由10AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuuu vm m 得令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩uuuvuuu vn n 得令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD Y 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD '△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '．（1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 满足A M A C λ=''uuuu v uuu v，且二面角M BD C --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=，∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作D F AB⊥'于点F ， ∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC 'I 平面ABDAB '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =I ，∴CB ⊥平面A DB '．又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又ADBD '⊥，BD CB B =I ，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA uu u v方向为x 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ，取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取∵[]0,1λ∈，∴3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，分别将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点．（1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；（3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）见解析；（2；（3 【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥．∵OA OB O =I ，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ．过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥．如图所示，建立空间直角坐标系O xyz -．()A ，()B -，()0,0,1P ，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ．∵平面POA I 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ，∴BM ⊥平面POA∴平面POA的法向量)1,0=-m设直线BP 与平面POA 所成角为α∴直线BP 与平面POA．（3）由（2设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅uu vuu u v n n 即令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别为1BB ，11AC 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（）对点增分集训A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB uu u v ，OC uuu v ，OE uu u v为x ，y ，z 轴建立坐标系，则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则,,22a a AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，0,,2a CE a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uu u v ，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（） ABCD【答案】D【解析】如图，建立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴cos ,AD ===uuu v nsin α=．故选D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC =D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC =D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B，(C，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则3,,02AD ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v，(0,BC =-uu u v，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴31cos 2AD BC AD BCθ⋅===⋅u uuu v uu u u v v u uu u v ， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（）ABCD【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，则()0,0,2OP =u u u v ，()1,2,0OC =-u u u v，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭uuu v设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ，则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+uu u vuuu v n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅===⋅uuu vuuu v uuu v ，n n n，故选D ．5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 分别是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF ⊥，则线段DF 长度的最小值为（）A B C D ．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--u u u v ，(),2,1EF x =--u u u v，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅u u u v u u u v，∴22x y =-，故DF ===∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =u u u v，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（）A ．43BC ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =u u u v，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅u u u v u u u vn n ．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =．设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）AB ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE的一个法向量为3,04CM ⎫=⎪⎪⎝⎭uuu v ，由题意sin CE CM CE CM α⋅==⋅uu u v u uu u u v v uu v uu 又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 2α≤=k ≤≤k当k =BDE 的法向量为(),,x y z =n ，则0 102DE y BE y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅++=⎩uuu v uu u v n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m，∴sin θ=，∴tan θ=C ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭，ABC 的法向量为()0,0,1=n ．设1AB 与底面ABC 所成角为α故直线1AB 与底面ABCB ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E 在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为（）ABCD【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =u u u v ，()3,3,0BD =u u u v设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n ，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩uu u v uu u vn n ，取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（） ABCD【答案】C【解析】分别以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ，∴()11,0,1BC =-u u u r ，()11,0,1A D =--u u u r ，()1,1,0BD =--u u u r ，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴10A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=uuu vuu u vn n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴ ，即直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD =ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（）A．⎡⎢⎣⎦B．⎡⎢⎣⎦C．5201⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BCCD =CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO = ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴)BA θθ=uu r ，()1,1,0CD =-u u u r，设AB 、CD 的夹角为α，则cos AB CD AB CDα⋅==⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ， ∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cosθ⎡∈⎢⎣⎦，故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与所成角的取值范围是（）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -，则()1,,BP x x x =--u u v ，()11,0,1BC =-u u u v，设BP uuv 、1BC uuu v的夹角为α，则11cos BP BC BP BC α⋅==⋅uu v uu uu u v v uuu v∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC的中点，则异面直线1CB 与1C M所成角的余弦值为________．【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()12C ，()0,0,0M ，∴)1CB =uuu v，()12MC =uuuu v，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos CB CB MC MC θ⋅===⋅uuu v uuu v uuuu v uuuu v ． ∴异面直线1CB 与1C M． 14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D 点建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2，则()0,0,0D ，1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅==⋅a b a b a b ， ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 变化时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图建立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，()0,2,PB x =-u u v， ∴0BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=uu u vuu v m m ，得三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，AC BD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是否在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设AC BD O =I ，连接PO BC CD AC BD =⊥Q ，，O ∴为BD 中点又PB PD =Q ，PO BD ∴⊥平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC I 平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ．（2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系：()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C)2PB =-uu v，3,22PD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭uu u v ，设PM PM MC MC λλ=⇒=uuu vuuu v uuu v uuu v32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,11BM λλλ⎫=⎪⎪++⎝⎭uuu v 设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD x z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩uu v uu u v n n，取(2,=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==uuu v n 解1λ=，1PM MC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB 1AB =2221110OA OB AB +==，∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =I ，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ， ∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴建立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭uuu v，()1,AB =-uu u v，()1,AC =uuu v ，设()1111,,x y z =n 为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩uu u v uuu v n n，即111110 102x x z ⎧⎪⎨-==⎪⎩，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=uuu u v uu v n n，即222220 102x x z ⎧⎪⎨+=⎪⎩=，令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n ∴二面角1B AB C --=．。

2021届高考数学专题16把持空间向量求夹角

培长处十六利用空间向量求夹角1．利用面面垂直建系例1：在如图所示的多面体中，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，四边形11ABB A 为边长为2的菱形，ABCD 为直角梯形，四边形11BCC B 为平行四边形，且AB CD ∥，AB BC ⊥，1CD =．（1）若E ，F 别离为11A C ，1BC 的中点，求证：EF ⊥平面11AB C ；（2）若160A AB ∠=︒，1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值为求二面角11A AC D --的余弦值．【答案】（1）观点析；（2【解析】（1）连接1A B ，∵四边形11ABB A 为菱形，∴11A B AB ⊥． ∵平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB BA 平面ABCD AB =，BC ⊂平面ABCD ，AB BC ⊥，∴BC ⊥平面11ABB A ．又1A B ⊂平面11ABB A ，∴1A B BC ⊥． ∵11BC B C ∥，∴111A B B C ⊥．∵1111B C AB B =，∴1A B ⊥平面11AB C ．∵,E F 别离为11A C ，1BC 的中点，∴1EF A B ∥，∴EF ⊥平面11AB C ．（2）设11B C a =，由（1）得11B C ⊥平面11ABB A ，由160A AB ∠=︒，2BA =，得过点1C 作1C M DC ⊥，与DC 的延长线交于点M ，取AB 的中点H ，连接1A H ，AM ，如图所示，又160A AB ∠=︒，∴1ABA △为等边三角形，∴1A H AB ⊥，又平面11ABB A ⊥平面ABCD ，平面11ABB A 平面ABCD AB =，1A H ⊂平面11ABB A ，故1A H ⊥平面ABCD ．∵11BCC B 为平行四边形，∴11CC BB ∥，∴1CC ∥平面11AA BB ．又∵CD AB ∥，∴CD ∥平面11AA BB ． ∵1CC CD C =，∴平面11AA BB ∥平面1DC M ．由（1），得BC ⊥平面11AA BB ，∴BC ⊥平面1DC M ，∴1BC C M ⊥． ∵BCDC C =，∴1C M ⊥平面ABCD ，∴1C AM ∠是1AC 与平面ABCD 所成角．∵11A B AB ∥，11C B CB ∥，∴11A B ∥平面ABCD ，11B C ∥平面ABCD ，∵11111A B C B B =，∴平面ABCD ∥平面111A BC ．在梯形ABCD 中，易证DE AB ⊥，别离以HA ，HD ，1HA 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向成立空间直角坐标系．则()1,0,0A ，，()1,0,0B -，由(11,0,BB =-，及11BB CC =，得 ∴(13,AC =-，(1,AD =-，(11,0,AA =-设平面1ADC 的一个法向量为()111,,x y z =m ，由100AC AD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=m m 得令11y =，得()3,1,2=m设平面11AA C 的一个法向量为()222,,x y z =n ，由1100AC AA ⎧⋅=⋅=⎪⎨⎪⎩n n 得令21z =，得又∵二面角11A AC D --是钝角，∴二面角11A AC D --的余弦值是2．线段上的动点问题例2：如图，在ABCD 中，30A ∠=︒，，2AB =，沿BD 将ABD △翻折到A BD'△的位置，使平面A BC '⊥平面A BD '．（1）求证：A D '⊥平面BCD ；（2）若在线段A C '上有一点M 知足A M A C λ=''，且二面角M BD C --的大小为60︒，求λ的值．【答案】（1）观点析；（2．【解析】（1）ABD △中，由余弦定理，可得1BD =．∴222BD AD AB +=， ∴90ADB ∠=︒，∴90DBC ∠=︒．作DF A B ⊥'于点F ，∵平面A BC '⊥平面A BD '，平面A BC '平面A BD A B '='，∴DF ⊥平面A BC '． ∵CB ⊂平面A BC '，∴DF BC ⊥．又∵CB BD ⊥，BD DF D =，∴CB ⊥平面A DB '．又∵A D '⊂平面A DB '，∴CB A D ⊥'．又A D BD '⊥，BD CB B =，∴A D '⊥平面BCD ．（2）由（1）知DA ，DB ，DA '两两垂直，以D 为原点，以DA 方向为x 轴正方向成立如图所示空间直角坐标系D xyz -，则()0,1,0B ，．设(),,M x y z ，则由x A M A C y z λ⎧''⎪=⇒⎨⎪⎩ 设平面MDB 的一个法向量为(),,a b c =m ， 0 0DB DM ⎧⎪⋅=⋅=m ⎧⎪⇒取()11,0,a c λλλλ=-⇒=⇒=-m ．平面CBD 的一个法向量可取(0,0,DA '=1,2DA ='m ∵[]0,1λ∈，∴λ 3．翻折类问题例3：如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为CD 中点，别离将PAD △，PBC △沿PA ，PB 所在直线折叠，使点C 与点D 重合于点O ，如图2．在三棱锥P OAB -中，E 为PB 中点．（1）求证：PO AB ⊥；（2）求直线BP 与平面POA 所成角的正弦值；（3）求二面角P AO E --的大小．【答案】（1）观点析；（2；（3【解析】（1）在正方形ABCD 中，P 为CD 中点，PD AD ⊥，PC BC ⊥， ∴在三棱锥P OAB -中，PO OA ⊥，PO OB ⊥． ∵OA OB O =，∴PO ⊥平面OAB ． ∵AB ⊂平面OAB ，∴PO AB ⊥．（2）取AB 中点F ，连接OF ，取AO 中点M ，连接BM ．过点O 作AB 的平行线OG ．∵PO ⊥平面OAB ，∴PO OF ⊥，PO OG ⊥．∵OA OB =，F 为AB 的中点，∴OF AB ⊥．∴OF OG ⊥．如图所示，成立空间直角坐标系O xyz -．()A，()B -，()0,0,1P，12M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．∵BO BA =，M 为OA 的中点，∴BM OA ⊥．∵PO ⊥平面OAB ，PO ⊂平面POA ，∴平面POA ⊥平面OAB ． ∵平面POA 平面OAB OA =，BM ⊂平面OAB ， ∴BM ⊥平面POA ．∵3,2BM ⎛=∴平面POA 的法向量)1,0=-m ．(1,BP =-设直线BP 与平面POA 所成角为α15,5BP BP BP⋅==m m ∴直线BP 与平面POA ．（3）由（2，12OE ⎛=- ，()1,3,0OA =．设平面OAE 的法向量为n ，则有0 0OA OE ⋅⎧⎪=⎪⎩=⎨⋅n n 即令1y =-，则由题知二面角P AO E --一、单选题1．如图，在所有棱长均为a 的直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 别离为1BB ，11A C 的中点，则异面直线AD ，CE 所成角的余弦值为（）A ．12BC ．15D ．45【答案】C【解析】设AC 的中点O ，以OB ，OC ，OE 为x ，y ，z 轴成立坐标系，则0,,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a D ⎫⎪⎪⎝⎭，0,,02a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,E a ，则3,,222a a AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，0,,2a CE a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，设AD 与CE 成的角为θ，则01cos 5a a aaθ-⨯+⨯==，故选C ． 2．在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为1的正三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，点D 在棱1BB 上，且1BD =，若AD 与平面11AA C C 所成的角为α，则sin α的值是（） AB ．2CD 【答案】D【解析】如图，成立空间直角坐标系，易求点1,12D ⎫⎪⎪⎝⎭．平面11AA C C 的一个法向量是()1,0,0=n，∴32cos ,AD ==n ，则sin α．故选对点增分集训D ．3．如图，圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，则空间中两条直线AD 与BC 所成的角为（） A ．30︒ B ．60︒ C ．75︒ D ．90︒【答案】B【解析】取AB 中点E ，以O 为原点，OE 为x 轴，OB 为y 轴，OC 为z 轴，成立空间直角坐标系，如图所示，∵圆锥的底面直径2AB =，高OC ，D 为底面圆周上的一点，120AOD ∠=︒，∴可得()0,1,0A -，()0,1,0B ，(C ，1,02D ⎫⎪⎪⎝⎭，则33,022AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,BC =-，设空间两条直线AD 与BC 所成的角为θ，∴312cos 23AD BCAD BCθ⋅===⨯⋅， ∴60θ=︒，即直线AD 与BC 所成的角为60︒，故选B ．4．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==，平面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是（）A B C D 【答案】D【解析】由题可知()0,0,0O ，()0,0,2P ，()1,2,0B ，()1,2,0C -，则()0,0,2OP =，()1,2,0OC =-，∵M 是PC 的中点，∴1,1,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，3,1,12BM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭设平面PCO 的法向量(),,x y z =n ，直线BM 与平面PCO 所成角为θ，则20 20OP z OC x y ⋅==⋅=-⎧⎪⎨⎪=⎩+n n 可取()2,1,0=n，sin cos BM BM BM θ⋅====⋅，n n n，故选D ． 5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，12AB AC AA ===，点G 与E 别离是11A B 和1CC 的中点，点D 与F 分别是AC 和AB 上的动点．若GD EF⊥，则线段DF 长度的最小值为（） ABCD ．【答案】A【解析】成立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,2,1E ，()1,0,2G ，0(),0,F x ，0(0,),D y ，则()1,,2GD y =--，(),2,1EF x =--，由于GD EF ⊥，∴220GD EF x y =--+=⋅，∴22x y =-，故DF ===，∴当45y =时，线段DF ．故选A ． 6．如图，点A B C 、、别离在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，()0,0,2OC =，平面ABC 的法向量为()2,1,2=n ，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ=（） A ．43B C ．23D ．23-【答案】C【解析】由题意可知，平面ABO 的一个法向量为：()0,0,2OC =，由空间向量的结论可得：42cos 233OC OC θ⋅===⋅⋅n n．故选C ． 7．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC △的边长为1，AE ⊥平面ABC ，CD AE ∥，且12CD AE =．设CE 与平面ABE 所成的角为α，(0)AE k k =>，若ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）A．2B ．1 CD【答案】C【解析】如图所示，成立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0A ，0,0,2k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,E k，1,02B ⎫⎪⎪⎝⎭，取AB 的中点M ，则304M ⎫⎪⎪⎝⎭，，，则平面ABE 的一个法向量为33,044CM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，由题意3sin 21CE CM CE CMα⋅==⋅又由ππ,64α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴1sin 22α≤=≤k ≤k 当k =BDE 的法向量为(),,x y z=n ，则0 31022DE yBE x y z ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⋅==⋅=++=⎩n n ，取(=-n ，由平面ABC 的法向量为()0,0,1=m ，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则cos θ⋅==⋅n m n m ，∴sin θ=，∴tan θC ． 8．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）AB C D 【答案】B【解析】如图，设1A 在平面ABC 内的射影为O ，以O 为坐标原点，OA 、1OA 别离为x 轴、z 轴成立空间直角坐标系如图．设ABC △边长为1112B ⎛ ⎝⎭， ∴15AB ⎛=- ABC 的法向量为()0,0,1=n ．设1AB 与底面ABC 所成角为α111,AB AB AB ⋅==⋅n n n故直线1AB 与底面ABC ．故选B ． 9．如图，四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，3AB AD PB ===，点E在棱PA 上，且2PE EA =，则平面ABE与平面BED 的夹角的余弦值为（） AB C D 【答案】B【解析】以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BP 所在直线为x 、y 、z 轴，成立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，()0,3,0A ，()0,0,3P ，()3,3,0D ，()0,2,1E ，∴()0,2,1BE =，()3,3,0BD =设平面BED 的一个法向量为(),,x y z =n，则20330BE y z BD x y ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩n n ，取1z =ABE 的法向量为()1,0,0=m ，ABE 与平面BEDB ．10．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC与平面1A BD 所成角的余弦值为（） AB C D 【答案】C【解析】别离以DA ，DC ，1DD 为x ，y ，z 轴成立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为1，可得()0,0,0D ，()1,1,0B ，()10,1,1C ，()11,0,1A ， ∴()11,0,1BC =-，()11,0,1A D =--，()1,1,0BD =--，设(),,x y z =n 是平面1A BD 的一个法向量，∴100A D BD ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n ，即0 0x z x y =+=⎧⎨⎩+，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1=--n ，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ，∴111,BC BC BC ⋅〈〉==⋅n n n，即直线1BC 与平面1A BD所成角的余弦值是C ． 11．已知四边形ABCD ，2AB BD DA ===，BC CD ==，现将ABD △沿BD 折起，使二面角A BD C --的大小在5,66π⎡π⎤⎢⎥⎣⎦内，则直线AB 与CD所成角的余弦值取值范围是（） A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．52018⎡⎡⎫⎪⎢⎢⎪⎣⎦⎣⎭， D ．⎣⎦【答案】A【解析】取BD 中点O ，连结AO ，CO ，∵2AB BD DA ===．BC CD ==CO BD ⊥，AO BD ⊥，且1CO =，AO =， ∴AOC ∠是二面角A BD C --的平面角，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴，过点O 作平面BCD 的垂线为z 轴，成立空间直角坐标系， ()0,1,0B -，()1,0,0C ，()0,1,0D ，设二面角A BD C --的平面角为θ，则5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，连AO 、BO ，则AOC θ∠=，)A θθ，∴()3cos BA θθ=，()1,1,0CD =-，设AB 、CD 的夹角为α，则1cos AB CD AB CDα⋅-==⋅，∵5,66θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π，∴cos θ⎡∈⎢⎣⎦，故510,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0,8α⎡∈⎢⎣⎦．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1A C 上运动（包括端点），则BP 与AD 1所成角的取值范围是（）A ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】以点D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在直线别离为x y z 、、轴成立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点P 坐标为(),1,x x x -，则()1,,BP x x x =--，()11,0,1BC =-，设BP 、1BC 的夹角为α，则(11cos BP BC BP BC x α⋅===⋅∴当13x =时，cos α，π6α=．当1x =时，cos α取最小值12，π3α=．∵11BC AD ∥，∴BP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =m 是AC 的中点，则异面直线1CB 与1C M 所成角的余弦值为________．【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB BC CC ===，AC =M 是AC 的中点，∴BM AC ⊥，1BM =．以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴，成立空间直角坐标系，则()C ，()10,1,2B，()1C ，()0,0,0M ， ∴()13,1,2CB =，()1MC =-，设异面直线1CB 与1C M 所成角为θ，则1111cos 8CB CB MC MC θ⋅===⋅． ∴异面直线1CB 与1C M 所成角的余弦值为28．14．已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形，60BAD ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，且PD AB =，点E 是棱AD 的中点，F 在棱PC 上，若:1:2PF FC =，则直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为__________．【解析】以D点成立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，设菱形ABCD 的边长为2，则()0,0,0D ， 1,02E ⎫-⎪⎪⎝⎭，240,,33F ⎛⎫⎪⎝⎭，∴EF ⎛=- 平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，,EF =n 即直线EF 与平面ABCD 所成角的正弦值为15．设a ，b 是直线，α，β是平面，a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b在b 上，()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．【解析】由题意，∵()11,1,1=a ，13,(0)4,=-b ，∴111111cos ,⋅===⋅a b a b a b ∵a α⊥，b β⊥，向量1a 在a 上，向量1b 在b 上， ∴α，β16．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，120BAD ∠=︒，PA x =，则当x 转变时，直线PD 与平面PBC 所成角的取值范围是__________．【解析】如图成立空间直角坐标系，得()0,2,0B，3,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，3,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,P x ，设平面PBC 的法向量(),,x y z =m ，3,2BC ⎛= ()0,2,PB x =-， ∴00BC PB ⎧⎪⎨⎪⋅=⋅⎩=m m ，得又3,2PD ⎛= ,PD =m三、解答题17．如图所示：四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为四边形，ACBD ⊥，BC CD =，PB PD =，平面PAC ⊥平面PBD ，AC =30PCA ∠=︒，4PC =，（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）若四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，AB BC ⊥是不是在PC 上存在一点M ，使得直线BM 与平面PBDPM MC的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）观点析；（2）存在，1PMMC=．【解析】（1）设ACBD O =，连接POBC CD AC BD =⊥，，O ∴为BD 中点又PB PD =，PO BD ∴⊥∵平面PAC ⊥平面PBD ，平面PAC平面PBD PO =BD ∴⊥平面PAC ，而PA ⊂平面PAC PA BD ∴⊥在PCA △中，由余弦定理得2222cos30PA PC AC PC AC =+-⋅︒，21612244PA =+-⨯⨯=，而222PA AC PC += PA AC PA BD PA BD AC O ⊥⎫⎪∴⊥⇒⊥⎬⎪=⎭平面ABCD ．（2）过A 作AB 垂线记为y 轴，AB 为x 轴，AP 为z 轴成立空间直角坐标系： ()0,0,0A ，()0,0,2P，)B，3,02D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，)C()3,0,2PB =-，3,22PD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设PMPM MC MC λλ=⇒= 32,11M λλλ⎫⎪⎪++⎝⎭，32,111BM λλλ⎛⎫-= ⎪ ⎪+++⎝⎭设平面PBD 法向量为(),,x y z =n ，∴200 30202z PB yPD z =⋅=⇒⎨⋅=+-=⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩n n ，取(=n ，设BM 与平面PBD 所成角为ϕ，sin cos BM ϕ=⋅==n解1λ=，1PMMC∴=． 18．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的正三角形，13BB =，1AB =160CBB ∠=︒．（1）求证：平面ABC ⊥平面11BCC B ；（2）求二面角1B AB C --的正弦值．【答案】（1）观点析；（2【解析】（1）取BC 的中点O ，连接OA ，1OB ，∵底面ABC 是边长为2的正三角形，∴OA BC ⊥，且OA∵13BB =，160CBB ∠=︒，1OB =，∴222113213cos607OB =+-⨯⨯⨯︒=， ∴1OB =1AB =2221110OA OB AB +==， ∴1OA OB ⊥，又∵1OB BC O =，∴OA ⊥平面11BCC B ，又∵OA ⊂平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面11BCC B ．（2）如图所示，以点O 为坐标原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OH 为z 轴成立空间直角坐标系，其中2BH =，则()A ，()1,0,0B -，()1,0,0C ，112B ⎛ ⎝⎭，∴11,2AB ⎛= ⎝⎭，()1,AB =-，()1,AC =，设()1111,,x y z =n为平面1ABB 的法向量，则1110 0AB AB ⎧⎪⎨⋅⎪=⋅=⎩n n ，即111110102x x ⎧⎪⎨-=-+=⎪⎩-，令11y =，得()1=n ；设()2222,,x y z =n 为平面1AB C 的法向量，则2210 0AC AB ⎧⎪⎩⋅=⎨⎪⋅=n n，即222220102x x ⎧⎪⎨+=⎪⎩=，令21y =，得213⎫=⎪⎭n；∴121212131cos ,-++⋅===⋅n n n n n n∴二面角1B AB C --．。

新课程新教材高中数学选择性必修3：用空间向量研究距离夹角问题(第三课时)

此时
PF:
PB
的值是
.
2
1
所以 ቐ
取 = 2, 则 = 1, = −1.
2
∙ = 0
+ =0
3
3
所以 = 1, −1,2

又设点的坐标为 , , ,则根据题意有： =
即 , , − 1 = 1,1, −1 = (, , −),

四、举例讲解：

二、举例讲解：
例10：如图,在四棱锥 − 中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,
PD＝DC, E是PC的中点,作EF ⊥PB交PB于点F. 即cos∠ = ∙ = (−13,16,−16)∙(−13,−13,−23) = 1
6
6

2
×
（1）求证：PA∕∕平面EDB ;
6
3
所以∠ = 600
（2）求证：PB ⊥平面EFD ;
即平面CPB与平面PBD
的夹角的大小为600
（3）求平面CPB与平面PBD的夹角的大小.
（3）由(2)得PB ⊥平面EFD , PB ⊥EF, PB ⊥DF ,
所以平面CPB与平面PBD的夹角就是∠．
设点F 的坐标为(, , ),则 = (, , − 1),
问题1:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的大小总和与礼物重力大小有什么关系?
问题2:降落伞在匀速下落的过程中,8根绳子拉力的和与礼物重力有什么关系?
问题3:如何用向量方法解决这个问题?
二、举例讲解：
这节课我们应用这些知识来解决综合性较强的立体几何问题：
例9：如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面
| − 1 + 2 − 3|

用空间向量研究夹角问题

【答案】2 1530

2
，Q 为 PC 的中点，则直线 PC 与平面 BDQ 所成角的正
【解析】建立如图所示坐标系
设 DC=2 ，则 PD=AB=AD=1， = 5
0,0,1 , 0,2,0 , 1,1,0 , 0,1,
1
2
1
= 0,2, −1 , = 1,1,0 , = 0,1,
2
×
12 + −1
2
+ 22
2 30
=
15
3.在正方体 − ′ ′ ′ ′ 中，二面角 − ′ − ′ 的余弦值是(
1
A．
2
【答案】C
B．
1
2
1
C．
3
D．
1
3
)
【解析】如图，建立空间执教坐标系，设正方体的棱长为 1，
有 0,0,0 , 1,0,0 , 0,1,0 , ′ 1,1,1 , ′ (0,0,1)
设平面1 的法向量 = (, , )，
则
⋅ 1 = 3 − 2 = 0
，取 = 2，得 = ( 2, 1, 3)，
⋅ 1 = 6 − 2 = 0
易知平面的法向量 = 0,0,1 ，
设平面1 与平面夹角为，
| ⋅ |
则cos⁡ = | |⋅| | =
所以 = 1,0,1 , = 1, −1,0 , ′′ = (1,1,0)
设平面′ 的一个法向量为 = , , ，
平面′′的一个法向量为 = , ,
则
⋅ ′ = + = 0
， ⋅ ′ = + = 0
⋅ = − = 0

利用空间向量求夹角(例、练及答案)