第一章 电学性能：能带理论1
能带理论
§5、11 导体、半导体与绝缘体尽管所有的固体都包含大量有电子,但有些固体具有很好的电子导电性能,而另一些固体则观察不到任何电子的导电性。
对于固体为什么分为导体、绝缘体与半导体呢？这一基础事实曾长期得不到解释,能带论对这一问题给出了一个理论说明,并由此逐步发展成为有关导体、绝缘体与半导体的现代理论。
晶体中电子有能量本征值分裂成一系列能带,每个能带均由N 个准连续能级组成(N 为晶体原胞数),所以,每个能带可容纳2N 个电子。
晶体电子从最低能级开始填充,被电子填满的能带称作满带,被电子部分填充的能带称为不满带,没有电子填充的能带称为空带。
能带论解释固体导电的基本观点就是:满带电子不导电,而不满带中的电子对导电有贡献。
5、 11、 1 满带电子不导电从前面的知识中,已经知道,晶体中电子能量本征值E (k )就是k 的偶函数,可以证明v (-k )=-v (k ),即v (k )就是k 的奇函数。
一个完全填满的电子能带,电子在能带上的分布,在k 空间具有中心对称性,即一个电子处于k 态,其能量为E(k ),则必有另一个与其能量相同的E (-k )=E (k )电子处于-k 态。
当不存在外电场时,尽管对于每一个电子来证,都带有一定的电流-e v ,但就是k 态与-k 态的电子电流-e v (k )与-e v (-k )正好一对对相互抵消,所以说没有宏观电流。
当存在外电场或外磁场时,电子在能带中分布具有k 空间中心对称性的情况仍不会改变。
以一维能带为例,图1中k 轴上的点子表示简约布里渊区内均匀分布的各量子态的电子。
如上所述,在外电场E 的作用下,所有电子所处的状态都以速度 d e dt =-hk E …………………………………………………………………………………………(1) 沿k 轴移动。
由于布里渊区边界A 与A '两点实际上代表同一状态,在电子填满布里渊区所有状态即满带情况下,从A 点称动出去的电子同时就从A '点流进来,因而整个能带仍处于均匀分布填满状态,并不产生电流。
能带理论课件
2
k V k
II、能量的二级修正：
Ek(2)
k
Ek0 Ek0
kV k
a. k k n 2
a
kVka 10 aei2a nV()dVn
b. k kn2 kV k 0
a
2
二级微扰能：
E (2) k
k
kV k Ek0 Ek0
n
Vn 2
2 2m
k
2
(k
n a
2
)2
微扰下的电子能量就可写成：
有 N个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以在不考虑原 认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里—福克自洽场近似，也称为单电子近似。
二、近自由电子近似（Nearly Free Electron）模型
在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较 小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电 子
的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是
它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来V求解。
（也称为弱周期V 场(近x)似）V。势场V(x)可用平均势 代替，
E
Ek0
Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
Ek0 Vn
2Tn
(
2Tn Vn
1)
E i：原来较低的
E
0 k
态微扰使它下降为：
E ii：原来较高的
E
0 k
态微扰使它更高为：
差别为 2 V n
——在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成
是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期
性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子
05---能带理论
d 2 n n n x sin 2 dx L L
2 2
2
n n 2m L
n=1,2,3….,N/2,….
这里n可以看成是一个量子数，对于一个状态电子可以有自旋为正或为 负的两种排列。 n↑→ε n↑ n可以从1到无穷大，但出现的概率也随着n变大而变小。
整体模型既是：晶体中的价电子，不在固定在某个原子， 而是属于晶体原子所共有，如同被约束在一个很大的势 阱里。正因如此，了解晶体中的电子的状况就要了解势 阱中的电子存在状态。
德布罗意波
德布罗意在光的波粒二相性的启发下提出了颗粒的波粒二相 性，波长为： h 2 p p 波长不同的话，动量就不同，所对应的能量就不同。电子一 直认为是个颗粒，按照德布罗意的理论，也可以视为是一个 波动，具有相应的波长和传播方向。
金属中的电子不是完全的自由电子
金属中的电子状态一直被认为是自由电子状态，然而这 是一种不完全面认识。 1. 如果是完全的自由电子，那么电子的能量应该可以连续变 化，然而金属中的自由电子的能量也是量子化的。 2. 量子化的电子能量分布应该是准连续分布的，然而实际晶 体中的电子在某些能量范围内是不能稳定存在的，也就是说 存在一些对电子来说是禁止的能量范围。 这些都是传统的自由电子理论不能解释的。 高分子、导电陶瓷中的自由电子也有同样的现象和问题。
2. 这里的kx, ky, kz是可正可负的量，同时是2π /L 的整数倍。 电子状态由一组量子数(nx、 ny、nz)来代表，它对应一 组状态角波数（kx、 ky、 kz）。
一个 k 对应电子的一个状态。
3) k空间
如果以 kx、 ky、 kz 为三个直角坐标轴，建立 一个假想的空间。这个空间称为波矢空间、 k 空间，或动量空间*。 在 k 空间中，电子的每个状态可以用 一个状态点来表示，这个点的坐标是
能带理论基础1
在本章中将进一步分析和研究晶体中电子的运动规律。 在本章中讨论电子的运动规律时，与上一章的最大区别就 是：讨论中已经具体地考虑了晶格上的原子对电子运动状态的 影响。 把晶体中电子系统的哈密顿量可写为：
ˆ H Le
2 1 2 i V ( ri Rn ) 2m i 80 i n
Bloch (1905-1983)
1952因核磁共振方面的研究获诺奖
能带论虽比自由电子论有所严格，但仍是一近似理论。
一、布洛赫定理的内容：
布洛赫定理：
方程为：
当势场 V ( r )具有晶格周期性时电子的波函数满足薛定谔
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ) 2m
固体物理中这个最重要的定理是由一个青年人首先提出的， 1928年 23岁的 Bloch 在他的博士论文“论晶格中的量子力学” 中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年Wilson 用能带观点说明了绝缘体与金属的区别在于能带是否填满，从 而奠定了半导体物理的理论基础，在其后的几十年里能带论在 众多一流科学家的努力中得到完善。
（2）平移对称操作算符的本征值与本征函数：
其中 是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本 征值，引入周期性边界条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2 和N3分别是沿a1，a2和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞数为 N＝N1N2N3 。 周期性边界条件： r r N a 而
固体能带结构的两种理解:
(1)自由电子图像 + 周期势场的微扰 (近自由电子近似) (2) 原子能级图像 + 晶体场展宽
自由电子 近自由电子近似
(紧束缚近似) Two atoms Six atoms Solid of N atoms
能带理论
•
形成简单分子时，便形成了分立的分子轨道，当原子形 成晶体时，便形成了分立的能带为阐明金属键的特性，化 学家们在MO（Molecular Orbit）理论的基础上，提出了 能带理论。现仅以金属Li为例定性讨论。 • Li原子核外电子为 1s2s。两个Li互相靠近形成Li2分 子。按照MO理论，Li分子应有四个MO。其中(σ1s)2与 (σ1s*)2的能量低，紧靠在Li是空着的(LUMO)。参与成键 的Li原子越多，由于晶格结点上不同距离的Li核对它们的 价电子有不同程度的作用力，导致电子能级发生分裂，而 且能级差也越来越小，能级越来越密，最终形成一个几乎 是连成一片的且具有一定的上、下限的能级，这就是能带。 对于N个Li原子的体系，由于1s与2s之间能量差异较大， 便出现了两条互不重叠或交盖的能带。这种具有未被占满 的MO的能带由于电子很容易从占有MO激发进入空的MO， 故而使Li呈现良好的导电性能。此种能带称为导带。在满 带与导带之间不再存在任何能级，是电子禁止区，称为禁 带。电子不易从满带逾越此空隙区进入导带。
(完整word版)能带理论
能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。
对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。
本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。
一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。
平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。
周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。
原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。
由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。
3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。
能带理论课程总结
能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。
这种多电子系统严格的解显然是不可能的。
能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。
能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。
在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。
在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。
通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。
1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。
根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。
Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。
具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。
因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。
近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。
《电子能带理论》课件
材料设计
基于电子能带理论，通过计算和模拟，预测 新型材料的性能，并指导实验合成，实现材 料的高效设计与开发。
量子计算与能带理论
量子计算
利用量子力学原理进行计算的新型计算模式 ，能够模拟和预测复杂系统的行为。
能带理论
在量子计算中，能带理论用于描述电子在固 体材料中的行为，是理解和设计新型电子器
件的基础。
1911年
提出金属的自由电子气模型，初步建立了能带 理论框架。
1930年代
量子力学的发展为能带理论提供了更精确的数 学描述。
02
电子能带结构
金属的电子能带结构
金属的电子能带结构由许多能级组成，其中有些能级是填满电子的，有些是空的。 在金属中，价电子从原子核的束缚中获得自由，形成导带。 导带中存在大量自由电子，这些电子可以导电。
太阳能电池原理
总结词
太阳能电池的工作原理与能带理论密 切相关。
详细描述
太阳能电池利用半导体材料的光生伏 特效应将光能转化为电能，能带理论 为理解这一过程提供了理论基础。
热电效应原理
总结词
热电效应的原理可以通过能带理论进行解释。
详细描述
热电效应是指由于温度差异导致材料两端出现电压的现象，能带理论可以解释这一现象的微观机制。
波函数的性质
波函数具有归一化性质，即其平方表示电子在某一状态下的概率密度。波函数 还具有周期性、对称性等性质，这些性质决定了电子的能量和动量等属性。
电子的能量与动量
能量与动量的关系
在量子力学中，电子的能量和动量满足一定的关系，即 E=pc^2，其中E为能量，p为动量，c为光速。这个公式是量 子力学的基本原理之一。
04
导带
最低未填满电子的
适合初学者看的能带理论
03
分子能带理论
分子能级与电子排布
分子能级
分子中的原子在相互振动时，会形成 不同的能级，这些能级决定了分子的 稳定性和化学反应能力。
电子排布
分子中的电子按照能量高低在不同轨 道上排布，形成不同的电子构型，对 分子的化学性质产生影响。
分子光谱与电子跃迁
分子光谱
通过分析分子吸收或发射的光谱，可以了解分子内部能级结 构和电子排布。
量子计算与量子通信的能带理论基础
量子计算
量子计算利用量子力学的特性进行信息处理，能带理论在理解量子比特和量子门操作等 方面发挥了重要作用。
量子通信
量子通信利用量子态的传输进行信息传递，能带理论在量子密钥分发和量子隐形传态等 方面提供了理论基础。
能带理论与其他物理理论的交叉研究
凝聚态物理
能带理论与凝聚态物理密切相关，通过研究 不同材料的能带结构和物理性质，可以深入 理解物质的微观结构和宏观性质。
光子禁带
在光子晶体的能带结构中，某些频率的光不能在其中传播，这种现象被称为光子禁带。光子禁带的存在可以用来 控制光的传播和光与物质的相互作用。
光子在介质中的传播与散射
传播
当光子在介质中传播时，会受到介质的折射和反射。折射和反射的性质取决于光子的波长和介质的性 质。
散射
当光子与介质中的原子或分子相互作用时，可能会发生散射。散射会导致光的方向改变和能量的损失 。散射的性质取决于介质的微观结构和光子的波长。
太阳能电池原理与应用
01
02
03
光吸收与能带结构
太阳能电池利用半导体材 料的能带结构，通过光吸 收产生光生载流子，从而 实现光电转换。
光电转换效率
能带理论有助于理解光电 转换效率的限制因素，为 提高太阳能电池效率提供 理论指导。
能带理论基础
§2 Bloch定理
1、周期场模型 考虑一理想完整晶体，所有的原子实都周期性地静 止排列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其自身外 其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期 场近似，电子所感受到的势场具有周期性。这样的模型 称为周期场模型。
2、Bloch定理 ① 表述： 在周期场中，描述电子运动的Schrödinger方程为
晶体中电子： ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 自由电子： 孤立原子：
ψ k ( r ) = Ae ik ⋅r
ψ ( r ) = Cu ( r )
可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自由电子 与孤立原子之间，是两者的组合。如果晶体中电子的 运动完全自由，则 uk ( r ) = A = const. ；若电子完全 被束缚在某个原子周围，则 eik⋅r = C = const. 。 但实际上晶体中的电子既不是完全自由的，也不是完 全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有 ψ k ( r ) = eik⋅r uk ( r ) 的形式。周期函数的性质 uk ( r ) 就反映了电子与晶格相互作用的强弱。
∴ψ ( r + Rl ) = eik⋅Rlψ ( r )
（4）定义一个新函数：
= exp ⎡ik ⋅ ( l1a1 + l 2 a2 + l 3a3 )⎤ψ ( r ) ⎣ ⎦
l1 l 2 l 3 1 2 3
l1 1
l2 2
l3 3
uk ( r ) = e
− ik ⋅r
ψ k (r )
uk ( r + Rl ) = e
− ik ⋅( r + Rl )
ψ k ( r + Rl )
=e
1.2 能带理论
什么样的晶体是绝缘体？
1) 价电子的数目是偶数 2) 没有能带重叠 例：金刚石 每个原胞内有 2 个电子，晶体中有 8N 个的价电子， 正好填满下面的 4 个能带，上面的 4 个价电子全空。它的带 隙在空带和满带之间。
金刚石是典型的绝缘体。
2、导体 (ρ—10-2 10-10 cm)
在导体中，除了满带和空带外存在不满带。一部分处于不 满带中的价电子在电场的作用下产生运动—导电。 1）价电子为奇数 价电子数 = 不满带中的电子数 (碱金属-特鲁德假设)。 2）有偶数个价电子，但能带产生交叠。 由于能带的交叠，导致原来的满带变成了不满带，原
根据对周期势的不同处理方法，能带理论主要有3
种理论：
1）近自由电子近似 ——考虑电子与晶格的正离子作用相当微弱，将势 场对电子的作用视为微扰。 2）赝势法 ——造一个有效势 3）紧束缚近似 ——原子轨道线性组合法
二、 近自由电子近似的一维模型
电子在周期性点阵中运动，受到弱的原子实势场的散射， 这个模型称为近自由电子模型。近自由电子模型是当晶格周 期性势场起伏很小，从而使电子的行为很接近自由电子时，
在绝对零度下，大多数半导体的纯净完整晶体都是绝缘 体。它的能带填充情况和绝缘体相同。差别仅在于： 禁带的宽度 E g < 2 e V，而绝缘体 Eg 3-6 eV。 ( Ge = 0.74 eV，Si = 1.17 eV)
1)
半导体的能隙将满带和空带隔开，在弱电场的作用下， 不导电。
2)
当温度升高时, 半导体中的电子受热激发(产生光子)，
原子间距
能带存在的实验验证：
1、核磁共振磁致伸缩技术 2、晶体软X射线谱技术 3、用高能电子束射入晶体，晶体中的电子从晶体中 打出来后，电子从高能级向下跃迁而产生的辐射能量 范围在十几ev，这正是能带的宽度。
《能带理论一》ppt课件
第六章 能带实际
6.1 周期场中单电子形状的普通特征〔Bloch定理〕 6.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.3 三维周期场中电子运动的近自在电子近似 6.4 紧束缚近似〔TBA〕 6.5 克勒尼希-彭尼〔Kronig-Penny〕 模型 6.6 能带构造的计算方法 6.7 晶体能带的对称性 6.8 能态密度和费米面 6.9 晶体中电子的运动特征 6.10 在恒定电场作用下电子的运动 6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 6.12 在恒定磁场中电子的运动 6.13 能带构造的实验研讨
k rRn eikRn k r
它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子
eikRn， 它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的
对应点上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。
Bloch 定理：
周期势场中 的电子波函 数必定是按 晶格周期函 数调幅的平 面波。
Bloch 定理的物理证明〔定性阐明〕： 周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程
能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。
假定在体积 V=L3 中有 N 个带正电荷 Ze 的离子实，相应 地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为:
Hˆ
NZ
i1
2
2mi2
1 2
i, j
'1
40
e2 ri rj
N2
n1 2M n2
1 ' 1
(Ze)2
NZ N
1
Ze2
2 m,n 40 Rn Rm
黄昆 书 4.1节 p154-157
虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下 的单电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同 晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细 问题才干进展求解。
能带理论(1)(单电子近似和Bloch定理))
其中a1, a2, a3 为晶格的三个基矢。 平移算符T1, T2, T3是相互对易的。
TT f (r) T f (r a ) f (r a a ) TT f (r)
TT TT 0
H 2 2 V (r) 2m
平移算符与Hamiltonian 也是对易的。
１. 服从泡里不相容原理（费米子） ２. 服从能量最小原理 设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容 纳 2 (2 +1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后， 能带最多能容纳２Ｎ(2 +1)个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
有关能带被占据情况的几个名词：
1．满带（排满电子） 2． 价带（能带中一部分能级排满电子）
对于晶体电子在周期性势场中的运动满足schordinger方程多电子单电子描写晶体周期性势场中的单电子运动2bloch为了描述晶格的平移对称性引入平移算符t为晶格的三个基矢
固体电子论（II)：能带理论
电子共有化 固体具有大量分子、原子或离子有规则 排列的点阵结构。
电子受到周期性势场的作用。
解定态薛定格方程(略）， 可以得出两点重要结论：
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是周期性调幅的平面波！周期性结构 中的波，都具有Bloch波的形式
n (k,r) eikrun (k,r)
un (k,r) un (k,r Rm )
• Bloch波是调幅的平面波eik.r，调幅函数un(k,r) 具有与晶体相同的周期性
• 为什么电子平均自由程那么大？电子在整个晶 体中运动，不再束缚于个别原子，共有化运动！ 如果不考虑电-声子相互作和杂质缺陷等的散 射作用，Bloch电子的平均自由程是无限大。
第一章能带理论
本征激发 当温度一定时，价带电子受到激发而成为导
带电子的过程 。
激 发 前：
激 发 后：
导带电子
第一章能带理论
价带电子
空的量子态（ 空穴）
空穴
将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准 粒子的导电作用。
空穴的主要特征：
A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、vp=vn D、EP=-En E、mP*=-mn*
原子间无电负性差,它们通过共用 一对自旋相反而配对的价电子结 合在一起.
第一章能带理论
共价键的特点
饱和性 方向性 正四面体结构
共价键是原子通过电子云的重叠形成的 作用，所以，既有方向性，也有饱和性， 即电子云要按照一定的方向重叠，才能 保证最大重叠，保证共价键的稳定性， 所以导致了分子中的共价键间的键角。 另外，原子都有自己特定的成键数目， 如H原子只能形成1个共价键，O原子可 以形成2个键，即饱和性
1.导体的能带
3s 2p 2s 1s
11#Na,它的电子组态是:1s22s22p63s1 第一章能带理论
2.绝缘体和半导体的能带 6#C电子组态是:1s22s22p2
2p 2s
第一章能带理论
1s
sp3反键态 sp3成键态 1s
（1）满带中的电子不导 电 I（k）=-I（-k） 即是说，+k态和-k态的 电子电流互相抵消。
第一章能带理论
因此，在半导体中存在两种载流子：
（1）电子；
（2）空穴；
而在本征半导体中，n=p。
第一章能带理论 空穴与导电电子
§1.3 半导体中电子的运动 －－有效质量
一、自由空间的电子
从粒子性出发, 它具有一定的质量 m0和 运动速度 V, 它的能量E和动量P分别为:
能带理论及其应用
值和本征函数（由量子力学解薛定谔方程的本征值）
• 波矢
E1 (k ), E 2 (k ),...E n (k )... 1,k (r ), 2,k (r ),... n ,k (r )... l1 l3 l2 k b1 b2 b3 N1 N2 N3
能带理论的学习及应用
14 级 张鑫方
1
一、能带理论
• 我们研究过金属自由电子理论，在那里没 有考虑电子间的相互作用及电子与离子实的作 用。在考虑电子间的屏蔽效应时，采用独立准 电子近似，有其合理性，但仍忽略构成晶格的 离子实的作用，所以仍不能说明晶体可以区分 为导体、半导体和绝缘体以及导电的本质等基 本问题。 • 但如果严格按照晶体内的实际情况考虑， 将是一个复杂的多电子问题。仍需要建立简化 模型，方能解决问题。
H
(r )
1．
2m
V (r )
• 的本征函数 可以表示为 u ( r • k 为实数矢量， ) 是一个晶格周期函数 u(r R) u(r )
10
ik r (r ) e u(r )
对布洛赫定理的说明
• （1）布洛赫定理是由于单电子势 具有晶格平移 周期性的结果。 V (r ) • （2）定理与 具体形式无关，是普遍成立的。 • （3）布洛赫函数： ( r 满足布洛赫定理的波函数 ) 称为布洛赫函数。 与自由电子的波函数相比，布洛赫函数多了一个晶 u ( r 格周期函数 ) 。它相当于自由电子平面波的振幅部 分，起调幅的作用。 u ( r 故布洛赫函数是被晶格周期函数 ) 调幅的平面波。 • （4）布洛赫电子： 由布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。 11
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能带理论——精选推荐
能带理论能带理论摘要阐述了能带理论提出的背景以及假设条件，在此基础上，主要给出了两个模型：近⾃由电⼦近似模型、紧束缚近似模型。
两者的假设不同，近⾃由近似模型认为价电⼦近似⾃由，晶体的周期性势场微扰很⼩；紧束缚近似模型认为电⼦受到原⼦核作⽤⽐较强，将其他原⼦的作⽤看做微扰。
两者共同基础是周期性势场中电⼦共有化运动，由两种模型研究电⼦的运动状态得出同⼀结论--能带。
在能带理论的基础上，定性的解释了绝缘体、半导体和导体。
Abstract This paper expounds the background and hypothesis of the theory of band theory,on the basis of it,two models are given:Near-free electron approximation model,tight-binding approximation model.Their assumptions are different,The near -free approximation model considers that the valence electrons are approximately free and the periodic potential of the crystal is very small;The tight-binding approximation model considers electrons are strongly affected by the nucleus,The role of other atoms as perturbation.The common basis of them is the electron co movement in the periodic potential field,It is concluded that the two models can be used to study the motion of electrons. On the basis of band theory, the properties of insulator, semiconductor and conductor are explained qualitatively.概述（背景、出发点）能带理论是讨论晶体（包括⾦属、绝缘体和半导体的晶体）中电⼦的状态及其运动的⼀种重要的近似理论。
能带理论学习资料
一.基本概念
1.在一个能带中所有能级都已被电子所占据， 这个能带称为满带 2.在一个能带中，部分能级被电子所占据， 这种能带中的电子具有导电性 3.当一个能带没有一个电子占据（在原子未 被激发的正常态下），这种能带称为空带。 空带中一旦存在电子就具有导电性质，所 以空带也称导带。
4.在能量相等的轨道上，自旋平行的电子数 目最多时，原子的能量最低。所以在能量 相等的轨道上，电子尽可能自旋平行地多 占不同的轨道 5.泡利不相容原理：指在原子中不能容纳运 动状态完全相同的电子。 6.不违反泡利原理的条件下，电子优先占据 能量较低的原子轨道，使整个原子体系能 量处于最低，这样的状态是原子的基态。
9.能带的排列是按能量高地排列的。 10。可以看出一些较为特殊的能带（sp,d）
五.态密度
1.DOS:dE=E与dE=E+dE之间的能带数目 2. 意义：从倒格失空间返回到实空间 3.分为总体DOS 和 分波DOS（PDOS）
六.DOS的性质
1.DOS的曲线形状可以预测能带结构 2.可以获得价带、导带的位置 3.DOS的曲线形状可以计算能级数目
4. DOS可以广泛用来计算吸附
5. DOS的峰越尖锐，能带越平，能带越 宽，峰越平
6.从DOS图也可分析能隙特性。 若费米能级处于DOS值为零的区间中，说 明该体系是半导体或绝缘体； 若有分波DOS跨过费米能级，则该体系是 金属
7. 可以获得不同轨道对于总DOS的贡 献（其方法类似于核磁共振）
3.在计算过程中只能简单的调节G点
4.有多少条线就有多少个轨道，就有多少条 能带。 5.能带的底部主要是成键，中部为非键，上 部为反键。 6.通过导带与Fermin 导带的交点可以判断是 否是是导体。
7.分析过程中主要分析靠近Fermin能级的能 带，远离Fermin能级的能带无多大意义
高二物理竞赛课件能带理论
例 简单立方晶格中由原子的 s 轨道形成的能带.
s 轨道沿各个方向重叠积分相同, 因此有 J Rs J1 0.简
单 立 方 晶 格 六 个 近 邻 格 点 为 a, 0 , 0 , 0a, , 0 , 0a, 0 , ,
a, 0 , 0 , 0a, , 0 , 0a, 0 ., 因而有
E k i J0 2J1 cos kxa cos kya cos kza .
能带理论
能带理论 （Band Theory）
近自由电子适用于价电子束缚较弱的金属晶体, 采用赝 势方法后也可以用来研究半导体的价带和导带；对于价电子 束缚较强的半导体和绝缘体, 通常采用紧束缚近似 (TightBinding Approximation, TBA) 来讨论其电子结构.
2
与利用平面波描写零级近似状态的近自由电子 近似不同, 紧束缚近似中首先把电子看作所属原子 的电子, 晶体环境对电子的影响则作为微扰处理.
晶体轨道（Crystal orbital）
r ami r Rm .
m
代入波动方程可得
am i U r V r Rm i r Rm E ami r Rm .
m
m
5
当原子间距比原子轨道半径大时, 不同格点的 原子轨道重叠很小, 近似有
i * r Rm j r Rn d 3r mn ij.
原子 p 态是三重简并的, 三个原子的 p 轨道可以写成
px xf r, py yf r, pz zf r.
可以证明三个 p 轨道各自形成一个能带, 其波函数为各
自原子轨道的 Bloch 和
p k
e ik Rn p
r Rn , x, y, z.
n
各能带的能量仍可表示为: E k i J0 J Rs eik Rs .
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固体的能带
能带被占据情况的几个概念：
满带：填满电子的能带 不满带：未填满电子的能带 空带：没有电子占据的能带
E
空带 禁带 不满带 价带 导带
禁带：不能填充电子的能区
价带：在0k时能被电子占满的最高能 带，对半导体价带通常是慢带 导带：半导体最外面（能量最高）的 一个能带。
3) 碱土金属导体
4)过渡金属导体
第 四 章
绝缘体的能带结构
E
空带
固体的能带
空带
禁 带 ΔEg=3～6eV 满带
绝缘体在外电场的作用下， 共有化电子很难接受外电场的能量， 所以形不成电流。 从能级图来看，是因为满带 与空带间有一个较宽的禁带
（Eg：3～6 eV）共有化电子很难从低能级（满带） 跃迁到高能级（空带）上去。 当外电场足够强时，共有化电子还是能越过 禁带跃迁到上面的空带中，使绝缘体的击穿 。
它们的导电性能不同， 是因为它们的能带结构不同。
108 m
第 四 章
导体的能带结构
固体的能带
E
空带
空带
导带
某些一价 金属， 如:Li …
空带 导带
价 带
满带
某些二价金属， 如:Be, Ca, Mg, Zn, Ba …
如:Na, K, Cu, Al, Ag…
1)碱金属导体
2) 贵金属导体
第 四 章
各原子间的相互作用
固体的能带
原来孤立原子的能级发生分裂 若有N个原子组成一体，对于原来孤立原子的 一个能级，就分裂成N条靠得很近的能级，称 为能带（energy band）。
能带的宽度记作 E，E ～eV 的量级
若N数量级为1023，则能带中两相邻能级的间距约 10-23eV。
第 四 章
能级
固体的能带
能带
E
能隙，禁带
N条
一般规律：
越是外层电子，能带越宽，E越大。 点阵间距越小，能带越宽，E越大。 两个能带有可能重叠。
第 四 章
固体的能带
能带重叠示意图
金刚石的能带
钠的能带
二、原子能级与能带的对应 对于原子的内层电子，其电子 E
轨道很小，因而形成的能带较
V ( r ) V ( r Rn )
电子波 函数
k ( x) e uk ( x)
ikx
通过解这个方程我们可以得到能量本 征值E与动量K的关系，即能带结构图
布洛赫定理
Bloch函数中，行进波因子 e ik r 描述晶体中电子 的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期 函数因子 uk r 则描述电子的原子内运动，取决于原 子内电子的势场。 如果电子只有原子内运动（孤立原子情况），电子 的能量取分立的能级； 若电子只有共有化运动（自由电子情况），电子的 能量连续取值（严格讲电子能量应是准连续的）。 晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因 此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
绝热近似：价电子和离子实分离
电子
离子实
电子离子 实关联
{ri}表示1029个电子量级的坐标 方程依然复杂无法求解！
布洛赫定理
下一步怎么近似简化？多电子问题转化为单电子问题
单电子近似：电子在等效周期性势场中运动，通过分离变量求解，获 得N个形式完全相同的薛定谔方程，只须求解一个方程！
2 2 [ V ( r )] E 2m
电子得到附加能量
到较高的能级上去，
这只有导带中的电子才有可能。
第 四 章
E
E外
固体的能带
从能带来分析导电性： 空带 导带
不导电
满带
价带
p E
导电
E外
不满带 导带
p
第 四 章 导体和绝缘体
固体按导电性能的高低可以分为
104 107 m
导体
10 m
8
半导体
绝缘体
能隙起因
能隙（禁带）物理原因？
电子会受周期性势场的散射 产生禁带 当布拉格反射条件满足时，沿 一个方向行进的波受到反射，沿相 反方向传播，反射波与入射 波干涉，形成驻波—能隙的起因 以自由电子一维情况为例
2dsinθ=nλ k=2π/ λ
ѱ(r)=exp(ik· r)
ѱ(+)=exp(ikx)+ exp(-ikx)=2cos(kx) ѱ(-)= exp(ikx)- exp(-ikx)= 2isin(kx)
第 四 章
固体的能带
能带对电导的贡献 满带
电子交换能态并不改变
能量状态，所以满带不 导电。
导带： 不满带或满带以上最低的空带
为什么把空带或不满带称为导带？ 因为只有这种能带中的电子才能导电。
…
第 四 章
固体的能带
导电——电子在电场作用下作定向运动， 以一定速度漂移，
v 10
-2
cm/s
E
孤立原子中电子的 势阱
势垒
电子能级
+
第 四 章
固体的能带
解定态薛定谔方程， 可以得出两点重要结论：
2 2 [ V (r )] E 2m
电子的能量是量子化的 电子的运动有隧道效应
# 原子的外层电子（在高能级） 势垒穿透概率较大， 电子可以在整个固体中运动，称为共有化电子。原子 的内层电子与原子核结合较紧，一般不是共有化电子， 称为离子实。
1993
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第 四 章
固体的能带理论
学好能带理论，你可以回答以下问题
金刚石为什么是绝缘体？ 硅为什么是半导体？ 金属为什么导电性好？
第四 章
固体的能带
电子在周期性晶格中的运动，电子共有化，受到 周期性势场的作用。
能隙起因
能隙（禁带）物理原因？ 简并能级在晶格势作用下分裂
电子几率密度
两个驻波ѱ(+)和 ѱ(-)使电子聚集在不同的区域内， ѱ(+)态 的电子在离子实附近，受到强的吸引势，使势能降低到平面 波所对应的平均势能之下，而ѱ(-)态则相反。因此在布里渊 区边界上产生能隙。
第 四 章
固体的能带
3p 3s 2p
Mg
2s 。
1s
Mg
3p 3s 2p 2s
1s
空带 价带
根据泡利不相容原理，原来的 能级已填满不能再填充电子— 分裂为两条
⑵多原子的MO和能带的形成
当8个Li原子按相等的距离排列时，它们相互作用形成8个能级，其中4 个是成键的，另4个是反键的，如图所示。 从能量上来看,组成MO的AO数量越多，组成的MO数量也就越多，能级 越来越密，这些能级之间的差值也越来越小。
1. 服从泡里不相容原理（费米子） 2. 服从能量最小原理
设孤立原子的一个能级 Enl ，它最多能容纳 2 (2l+1)个电子。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带 后，能带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
第 四 章
固体的能带
例如，1s、2s能带，最多容纳 2Ｎ个电子。 2p、3p能带，最多容纳 6Ｎ个电子。
反键态 3p sp3 导带
3s 成键态
价带
能带理论的要点：
（1）能带的宽度记作E ，数量级为 E～eV 若N~1023,则能带中两能级的间距约10-23eV。 一般规律：
1. 越是外层电子，能带越宽，E越大。 2. 点阵间距越小，能带越宽，E越大。
3. 两个能带有可能重叠。
（2）能带中电子的排布 晶体中的一个电子只能处在某个能带中的某一能 级上。 （3）排布原则：
离子实（原子）体系
决定材料中声波的传播，热膨胀，晶格比热，结构缺陷等性能 周期性排列的原子体系的行为可以通过晶格动力学理论处理（通过晶 格振动中能量量子-声子描述晶体的物理特性）
电子体系
遵从薛定谔方程 决定材料的电导率，超导电性，能带结构，磁学性能等
第 四 章
固体的能带理论
对于1mol锂原子晶体，其原子轨道数目为N0（6.02×1023个）,形成的分 子轨道数目也有N0个,其中N0/2个是成键的，N0/2个是反键的。这些MO之间
的能量差十分小，大约只有1/40ev。也就是说，原来属于一个个锂原子分立
的电子现在成为共有化的电子；原来一个个属于各个原子的能级，现在几乎 成了能量连续的一个能级带。我们称其为能带（Band 或Zone）。这时同样 一半的MO（N0/2）填充电子，另一半的MO（N0/2）是空的。
道的运动的状态；
⑶原子内层能级上一般都填满了电子，当这些能级转变为能带中 的共有化状态时，能级状态的总数并未改变，所形成的能带也是填满 电子的； ⑷原子外层的能级原来可能填满电子，也可能未填满电子。因而 它们转变为共有化的能带时，可以形成满带（全部填满电子），也可 以是半满带（部分填满电子）。
第 四 章
窄。这时，原子能级与能带之 间有简单的一一对应关系。 对于外层电子，由于其电子轨 道较大，形成的能带就较宽。 这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单 的一一对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个 能级相对应，可能会出现能带的重叠。
在某些情况下还可能出现不同原子态的相互作用。如： Si的价带与导带。
第 四 章
固体的能带
第 四 章
固体的能带
导体在外电场的作用下，大量共有化电子 很易获得能量，集体定向流动形成电流。
E
从能级图上来看，是因为其共有化电子 很易从低能级跃迁到高能级上去。
第 四 章
固体的能带结构
能带理论中的主要思想：三大近似 绝热近似：