2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第五章 数列 课时作业33 Word版含答案

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2018届高考数学一轮复习精选试题数列(解答题) Word版含答案

2018届高考数学一轮复习精选试题数列(解答题) Word版含答案

数列
解答题(本大题共个小题,共分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
.函数()定义在[]上,满足且(),在每个区间,…)上, () 的图象都是平行于轴的直线的一部分.
(Ⅰ)求()及的值,并归纳出)的表达式;
(Ⅱ)设直线轴及()的图象围成的矩形的面积为, 求及
的值.
【答案】 (Ⅰ) 由()(), 得().
由及(), 得.
同理,
归纳得
(Ⅱ) 当时,
所以是首项为,公比为的等比数列.
所以
.已知等差数列满足;又数列满足…
,其中是首项为,公比为的等比数列的前项和。

()求的表达式;
(Ⅱ)若,试问数列中是否存在整数,使得对任意的正整数都有成立?并证明你的结论。

【答案】()设的首项为,公差为,于是由
解得
(Ⅱ)
由①
得②
①—②得即
当时,,当时,。

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第五章 平面向量 5-4 Word版含答案

2018届高考(新课标)数学(文)大一轮复习检测第五章 平面向量 5-4 Word版含答案

组专项基础训练(时间:分钟).在△中,(+)·=,则△的形状一定是().等边三角形.等腰三角形.直角三角形.等腰直角三角形【解析】由(+)·=,得·(+-)=,即·(++)=,·=,∴⊥,∴=°.又根据已知条件不能得到=,故△一定是直角三角形.【答案】.已知点(-,),(,),动点(,)满足·=,则点的轨迹是().圆.椭圆.双曲线.抛物线【解析】∵=(--,-),=(-,-),∴·=(--)(-)+=,∴=+.即点的轨迹是抛物线.【答案】.在△所在平面上有一点,满足++=,则△与△的面积的比值是()【解析】由题意可得=,所以是线段的三等分点(靠近点),易知△=△,即△∶△=∶.【答案】.共点力=( , ),=( , )作用在物体上,产生位移=( ,),则共点力对物体做的功为()....【解析】+=(, ).∴=(+)·=(,)·( ,)=+=.【答案】.若函数=(ω+φ)在一个周期内的图象如图所示,,分别是这段图象的最高点和最低点,且·=(为坐标原点),则等于()πππ【解析】由题意知,,又∵·=×-=,∴=π.【答案】.(·福建四地六校第一次联考)已知向量,满足=,=,+=(,),则向量与的夹角是.【解析】设向量与的夹角是θ,则·=××θ=θ,由+===θ+)=,可得θ=,∴θ=.【答案】.(·甘肃兰州二模)已知△中的内角为,,,重心为,若·+·+·=,则=.【解析】设,,为内角,,所对的边,由正弦定理可得++=,∴+=-=(+),即(-)+(-)·=.∵,不共线,则-=,-=,即==.∴=,=,∴==.【答案】.(·陕西西安模拟)已知直线++=与圆+=相交于,两点,且=,则·=.【解析】因为圆的半径为,=,所以∠=°,所以·=××°=-.【答案】-.(·江西新余三校联考)已知=( , ),=( , ),()=·.()把()图象向右平移个单位长度得到()的图象,求()的单调递增区间;()当≠,与共线时,求()的值.【解析】 ()∵()=·=+=++=+.∴()=+=+.。

2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第五章 数列 三

2018版高中数学理一轮全程复习课时作业第五章 数列 三
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,求{bn}的前n项和Sn.
解析:(1)设等差数列{an}的公差是d.
∵a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,
∴d=-3,
∴a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1,
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+2.
(2)记cn=(-1)n ,求数列{cn}的前n项和Tn.
解析:(1)设{an}的公差为d,则a10=a1+9d=19,S10=10a1+ ×d=100.
解得a1=1,d=2,所以an=2n-1.
所以b1·b2·b3·…·bn-1·bn=2n+1,①
当n=1时,b1=3,当n≥2时,b1·b2·b3·…·bn-1=2n-1.②
A.15 B.12
C.-12 D.-15
解析:∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.
答案:A
4.数列{1+2n-1}的前n项和为()
A.1+2nB.2+2n
C.n+2n-1 D.n+2+2n
答案:A
二、填空题
7.(2017·江西南昌一模)数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),且S2=3,则a1+a3的值为__________.
解析:∵Sn+Sn-1=2n-1(n≥2),令n=2,得S2+S1=3,由S2=3得a1=S1=0,令n=3,得S3+S2=5,所以S3=2,则a3=S3-S2=-1,所以a1+a3=0+(-1)=-1.
(2)∵数列{an+bn}是首项为1,公比为q的等比数列,

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第五章 数列 课时作业34 含答案

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第五章 数列 课时作业34 含答案
2 2 2 2 2 2 * 2
)
B.5 050 D.-5 050
2 2 2 2 2 2
解析: (2 +4 +…+100 )-(1 +3 +…+99 )=(2 -1 )+(4 -3 )+…+(100 -99 )=3+7 +11+…+195+199= 答案:B 6.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则数列{an}的前 60 项和为( A.3 690 C.1 845 B.3 660 D.1 830 ) 50× 3+199 2 =5 050.
n 1+n 2
答案:A 2.在数列{an}中,an= A.2 010 C.2 012 解析:∵an=
n
1 n+1
2 011 ,若{an}的前 n 项和为 ,则项数 n 为( 2 012 B.2 011 D.2 013
)
n
1 n+1
1 1 = - , n n+1
1 n 2 011 ∴Sn=1- = = , n+1 n+1 2 012 解得 n=2 011. 答案:B 1 1 1 1 3.数列 1× ,2× ,3× ,4× ,…的前 n 项和为( 2 4 8 16 1 n A.2- n- n+1 2 2 )
*
an+2+an-1=0,S800=a1+a2=2 013,S813=a1+a2+a3=2 000,

a3=a2-a1=-13, a2+a1=2 013,



a1=1 013, a2=1 000,
a3=-13, a4=-1 013,
依次可得 a5=-1 000,a6=13, 由此可知 an+1+an+2+an+3+an+4+an+5+an+6=0, ∴S2 015=S5=-13. 答案:-13 1 1 1 1 1 1 1+ 1+ + 1+ + +…+ n-1 2 ,…,则 10.(2017·郑州模拟)若数列{an}是 1, 2 , 2 4 ,…, 2 4 数列{an}的前 n 项和 Sn=________. 1 1 1 解析:an=1+ + +…+ n-1 2 4 2 1 1 n 1- 2 1- n 2 , = =2 1 1- 2

2018届高考数学(文)大一轮复习阶段检测:数列和不等式阶段检测试题(含答案)

2018届高考数学(文)大一轮复习阶段检测:数列和不等式阶段检测试题(含答案)

an} 的前 n 项和为 Sn 且满足
S17>0, S18 <0,则
S1 S2 , ,…,
S15 中最大的
a1 a2
a15
项为( )
A. S7 a7
B. S8 a8
C. S9 a9
D. S10 a10
解析:由 S17= 17 a1+ a17 =17 a9>0,得 a9>0,又 S18=18 a1+a18 =9( a9+ a10)<0 ,则 a9+ a10<0,a10<0,
2 ,+∞
B.( -∞,- 2] ∪ 3
2
-2,
C.
3
-4, 2
D.
3
解析: 作出不等式组对应的平面区域,如图.
y+2 因为 z= ,所以 z 的几何意义是区域内过任意一点( x,y) 与点 P(1 ,- 2) 的直线的斜率.由题意
x-1
-2-0 2
y+2
2
知 C(4,0) .所以 kPO=- 2, kPC=
第五、六章阶段检测试题 时间: 120 分钟 分值: 150 分
一、选择题 ( 每小题 5 分,共 60 分)
1.(2017 ·唐山市联考 ) 在等差数列{ an} 中, a7=8,前 7 项和 S7=42,则其公差是(
)
A.- 1 3
B. 1 3
C.- 2 3
D. 2 3
解析: S7= 7
a1+ a7
an+1an.
若 a1=2,则数列{ an} 的前 n 项和为
________.
解析: ∵ a2n+1-6a2n=a a n+1 n,∴(an+1-3an)( an+1+2an) =0,∵ an>0,∴ an+1=3an,又 a1=2,∴{an} 是首

2018版高考一轮总复习数学理习题 第5章 数列 5-3 含答

2018版高考一轮总复习数学理习题 第5章 数列 5-3 含答

(时间:40分钟)1.已知等比数列{a n }的前三项依次为a -1,a +1,a +4,则a n =( )A .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1C .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23nD .4×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -1答案 B解析 由题意得(a +1)2=(a -1)(a +4),解得a =5,故a 1=4,a 2=6,所以a n =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫64n -1=4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n -1.2.在等比数列{a n }中,a 3=7,前3项之和S 3=21,则公比q 的值为( ) A .1 B .-12 C .1或-12 D .-1或12答案 C解析 根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=7,a 1+a 1q +a 1q 2=21,∴1+q +q2q2=3,即2q 2-q -1=0,解得q =1或q =-12.3.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=7,S 6=63,则S 9的值是( ) A .255 B .256 C .511 D .512 答案 C解析 解法一:依题意,设等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q ,∵S 3=7,S 6=63,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1-q31-q=7,a 1-q 61-q=63,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2,∴S 9=511,选C.解法二:∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ,∴S 3,S 6-S 3,S 9-S 6成等比数列,∵S 3=7,S 6=63,∴S 9-S 6=448,∴S 9=448+S 6=448+63=511,选C.4.已知{a n }为等比数列,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 10=( ) A .7 B .5 C .-5D .-7答案 D解析 设数列{a n }的公比为q ,由⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=2,a 5·a 6=a 4·a 7=-8,得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4=4,a 7=-2或⎩⎪⎨⎪⎧a 4=-2,a 7=4,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,q 3=-12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q 3=-2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=-8,a 10=1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,a 10=-8,所以a 1+a 10=-7.5.已知{a n }为等比数列,S n 是它的前n 项和.若a 3a 5=14a 1,且a 4与a 7的等差中项为98,则S 5等于( )A .35B .33C .31D .29 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比是q ,所以a 3a 5=a 21q 6=14a 1,得a 1q 6=14,即a 7=14.又a 4+a 7=2×98,解得a 4=2,所以q 3=a 7a 4=18,所以q =12,a 1=16,故S 5=a 1-q51-q =16⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1321-12=31,故选C.6.设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3a 2+2,S 4=3a 4+2,则q =________.答案 32解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q =3a 1q +2,a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=3a 1q 3+2,两式作差,得a 1q 2+a 1q 3=3a 1q (q 2-1),即2q 2-q -3=0,解得q =32或q =-1(舍去).7.等比数列{a n }满足:对任意n ∈N *,2(a n +2-a n )=3a n +1,a n +1>a n ,则公比q =________. 答案 2解析 由题知2(a n q 2-a n )=3a n q ,即2q 2-3q -2=0,解得q =2或q =-12,又a n +1>a n ,故q =2.8.已知{a n }是等差数列,a 1=1,公差d ≠0,S n 为其前n 项和,若a 1,a 2,a 5成等比数列,则S 8=________.答案 64解析 由a 1、a 2、a 5成等比数列,得(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),即(1+d )2=1+4d ,解得d=2(d =0舍去),S 8=1+152×8=64.9.已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n +1+b n +1=nb n .(1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.解 (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为a n =3n -1.(2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n ,得b n +1=b n3,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1-13=32-12×3n -1.10.已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a 2n +1=S n +1+S n . (1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n -1·2an ,求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)因为a 2n +1=S n +1+S n ,① 所以当n ≥2时,a 2n =S n +S n -1,② ①-②得a 2n +1-a 2n =a n +1+a n , 即(a n +1+a n )(a n +1-a n )=a n +1+a n , 因为a n >0,所以a n +1-a n =1,所以数列{a n }从第二项起,是公差为1的等差数列. 由①知a 22=S 2+S 1,因为a 1=1,所以a 2=2, 所以当n ≥2时,a n =2+(n -2)×1,即a n =n .③ 又因为a 1=1也满足③式,所以a n =n (n ∈N *). (2)由(1)得b n =a 2n -1·2an =(2n -1)·2n,T n =2+3·22+5·23+…+(2n -1)·2n ,④2T n =22+3·23+…+(2n -3)·2n +(2n -1)·2n +1,⑤④-⑤得-T n =2+2×22+…+2×2n-(2n -1)·2n +1,所以-T n =2+23-2n -11-2-(2n -1)·2n +1,故T n =(2n -3)·2n +1+6.(时间:20分钟)11.设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n-1+a 2n <0”的( ) A .充要条件 B .充分而不必要条件 C .必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件答案 C解析 若对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0,则a 1+a 2<0,又a 1>0,所以a 2<0,所以q =a 2a 1<0;若q <0,可取q =-1,a 1=1,则a 1+a 2=1-1=0,不满足对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0.所以“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0”的必要而不充分条件.故选C.12.在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 2,a 4+2,a 5成等差数列,a 1=2,S n 是数列{a n }的前n 项的和,则S 10-S 4=( )A .1008B .2016C .2032D .4032 答案 B解析 由题意知2(a 4+2)=a 2+a 5,即2(2q 3+2)=2q +2q 4=q (2q 3+2),得q =2,所以a n =2n,S 10=-2101-2=211-2=2046,S 4=-241-2=25-2=30,所以S 10-S 4=2016,故选B.13.已知数列{a n }的首项为1,数列{b n }为等比数列且b n =a n +1a n,若b 10·b 11=2,则a 21=________.答案 1024解析 ∵b 1=a 2a 1=a 2,b 2=a 3a 2,∴a 3=b 2a 2=b 1b 2. ∵b 3=a 4a 3,∴a 4=b 1b 2b 3,…,a n =b 1b 2b 3·…·b n -1, ∴a 21=b 1b 2b 3·…·b 20=(b 10b 11)10=210=1024.14.设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n +1+S n -1. (1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列;(3)求数列{a n }的通项公式. 解 (1)∵4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1, ∴n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,∴4(a 1+a 2+a 3+a 4)+5(a 1+a 2)=8(a 1+a 2+a 3)+a 1,∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+a 4+5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32=8×( 1+32+54 )+1,解得a 4=78. (2)证明:∵n ≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1, ∴4(S n +2-S n +1)-2(S n +1-S n ) =2⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n +1-S n -12S n -S n -1,∴(S n +2-S n +1)-12(S n +1-S n )=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤S n +1-S n -12S n -S n -1, ∴a n +2-12a n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +1-12a n .又a 3-12a 2=12⎝⎛⎭⎪⎫a 2-12a 1,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是首项为1,公比为12的等比数列.(3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是首项为1,公比为12的等比数列,∴a n +1-12a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1,两边同乘以2n +1,得a n +1·2n +1-a n ·2n=4.又a 2·22-a 1·21=4,∴{a n ·2n}是首项为2,公差为4的等差数列, ∴a n ·2n =2+4(n -1)=2(2n -1), ∴a n =n -2=2n -12.。

2018届高考数学文大一轮复习检测:第五章 数列 课时作业33 含答案 精品

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课时作业33 等比数列一、选择题1.已知等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6等于( ) A .4 B .8 C .16D .32解析:易知a 2·a 6=a 24=16. 答案:C2.在等比数列{a n }中,若a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4D .3解析:因为a 4=2,a 5=5,所以a 4·a 5=10,所以lg a 1+lg a 2+…+lg a 7+lg a 8=lg(a 1a 2·…·a 8)=lg(a 1a 8)4=lg(a 4a 5)4=4lg10=4.答案:C3.已知等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3,因为a 1>0,所以q 3>1,即q >1,故a 3<a 5成立;由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4,因为a 1>0,所以q 2>1,即q <-1或q >1,所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件.答案:A4.已知正数组成的等比数列{a n },若a 1·a 20=100,那么a 7+a 14的最小值为( ) A .20 B .25 C .50D .不存在解析:(a 7+a 14)2=a 27+a 214+2a 7·a 14≥4a 7a 14=4a 1a 21=400,∴a 7+a 14≥20. 答案:A5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a ·2n -1+16,则a 的值为( ) A .-13B.13 C .-12D.12解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a ·2n -1-a ·2n -2=a ·2n -2,当n =1时,a 1=S 1=a +16,∴a +16=a 2,∴a =-13.答案:A6.(2017·太原一模)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14,则S 4n =( )A .80B .30C .26D .16解析:由等比数列的性质可知,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n 仍为等比数列,故2,S 2n-2,14-S 2n 成等比数列,则有(S 2n -2)2=2(14-S 2n ),∴S 2n =6或S 2n =-4,由于{a n }的各项均为正数,故S 2n =6,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,即2,4,8,16为等比数列,∴S 4n -S 3n =16,∴S 4n =30,故选B.答案:B 二、填空题7.(必修⑤P54习题2.4A 组第8题改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.解析:设该数列的公比为q ,由题意知, 192=3×q 3,q 3=64,所以q =4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48. 答案:12,488.等比数列{a n }满足a n >0,n ∈N *,且a 3·a 2n -3=22n(n ≥2),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=________.解析:由等比数列的性质,得a 3·a 2n -3=a 2n =22n,从而得a n =2n,∴log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=log 2[(a 1a 2n -1)·(a 2a 2n -2)·…·(a n -1a n +1)a n ]=log 22n (2n -1)=n (2n -1)=2n 2-n .答案:2n 2-n9.在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 2a 4=16,a 6=32,记b n =a n +a n +1,则数列{b n }的前5项和S 5为________.解析:设数列{a n }的公比为q ,由a 23=a 2a 4=16得,a 3=4,即a 1q 2=4,又a 6=a 1q 5=32,解得a 1=1,q =2,所以a n =a 1qn -1=2n -1,b n =a n +a n +1=2n -1+2n =3·2n -1,所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,所以S 5=3 1-251-2=93.答案:93 三、解答题10.(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2n -(2a n +1-1)a n-2a n +1=0.(Ⅰ)求a 2,a 3; (Ⅱ)求{a n }的通项公式.解:(Ⅰ)由题意可得a 2=12,a 3=14.(Ⅱ)由a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0得2a n +1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n +1a n =12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1. 11.(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1-1a 2=2a 3,S 6=63.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前2n 项和.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q .由已知,有1a 1-1a 1q =2a 1q2,解得q =2,或q =-1.又由S 6=a 1·1-q 61-q =63,知q ≠-1,所以a 1·1-261-2=63,得a 1=1,所以a n =2n -1.(Ⅱ)由题意,得b n =12(log 2a n +log 2a n +1)=12(log 22n -1+log 22n)=n -12,即{b n }是首项为12,公差为1的等差数列. 设数列{(-1)n b 2n }的前n 项和为T n ,则T 2n =(-b 21+b 22)+(-b 23+b 24)+…+(-b 22n -1+b 22n )=b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n =2n b 1+b 2n 2=2n 2.1.数列{a n }满足:a n +1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R 且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( )A .1B .-1 C.12D .2解析:由a n +1=λa n -1,得a n +1-1=λa n -2=λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n -2λ.由于数列{a n -1}是等比数列,所以2λ=1,得λ=2.答案:D2.(2017·福建模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T n >1的n 的最小值为( )A .4B .5C .6D .7解析:∵{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4=a 3,∴a 23=a 3,∴a 3=1. 又∵q >1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n >3),∴T n >T n -1(n ≥4,n ∈N *),T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1a 2a 3a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=a 53=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,故n 的最小值为6,故选C.答案:C3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +a n +1=12n (n =1,2,3,…),则S 2n +3=________.解析:由题意,得S 2n +3=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2n +2+a 2n +3)=1+14+116+…+14n +1=43⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n +2. 答案:43⎝⎛⎭⎪⎫1-14n +24.(2017·湖北武汉武昌调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +12n =(-1)n a n (n ∈N *),则数列{S n }前9项和为________.解析:因为S n +12n =(-1)na n ,所以S n -1+12n -1=(-1)n -1a n -1(n ≥2).两式相减得S n -S n -1+12n -12n -1=(-1)na n -(-1)n -1a n -1,即a n -12n =(-1)n a n +(-1)na n -1(n ≥2),当n 为偶数时,a n -12n =a n +a n -1,即a n -1=-12n ,此时n -1为奇数,所以若n 为奇数, 则a n =-12n +1;当n 为奇数时,a n -12n =-a n -a n -1,即2a n -12n =-a n -1,所以a n -1=12n -1,此时n -1为偶数,所以若n 为偶数,则a n =12n .所以数列{a n }的通项公式为 a n=⎩⎪⎨⎪⎧-12n +1,n 为奇数,12n,n 为偶数.所以数列{S n }的前9项和为S 1+S 2+S 3+…+S 9=9a 1+8a 2+7a 3+6a 4+…+3a 7+2a 8+a 9=(9a 1+8a 2)+(7a 3+6a 4)+…+(3a 7+2a 8)+a 9=-122-124-126-128-1210=-122×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1451-14=-3411 024. 答案:-3411 0245.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)设3nb n =n (3n-a n ),求|b 1|+|b 2|+…+|b n |.解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2).∴a n +1+2a n =3a n +6a n -1=3(a n +2a n -1)(n ≥2). ∵a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15, ∴a n +2a n -1≠0(n ≥2), ∴a n +1+2a na n +2a n -1=3(n ≥2).∴数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得a n +1+2a n =15×3n -1=5×3n .则a n +1=-2a n +5×3n,∴a n +1-3n +1=-2(a n -3n).又∵a 1-3=2,∴a n -3n≠0.∴{a n -3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴a n -3n=2×(-2)n -1,即a n =2×(-2)n -1+3n.(3)由(2)及3nb n =n (3n-a n )可得,3n b n =-n (a n -3n )=-n [2×(-2)n -1]=n (-2)n,∴b n =n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23n ,∴|b n |=n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.设T n =|b 1|+|b 2|+…+|b n |, 则T n =23+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232+…+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n,①①×23,得23T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫232+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233+…+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1,②①-②,得13T n =23+⎝ ⎛⎭⎪⎫232+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1=2-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1-n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1=2-(n +3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1∴T n =6-2(n +3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.。

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-1含解析

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-1含解析

课时规范训练A 组 基础演练1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(-1)n +12B .cos n π2C .cos n +12πD .cos n +22π解析:选D.令n =1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确.2.设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为( )A .15B .16C .49D .64解析:选A.由a 8=S 8-S 7=64-49=15,故选A.3.在数列{a n }中,a 1=1,a n =1a n -1+1,则a 4等于( ) A.53B.43 C .1 D.23解析:选A.由a 1=1,a n =1a n -1+1得,a 2=1a 1+1=2,a 3=1a 2+1=12+1=32,a 4=1a 3+1=23+1=53. 4.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n (3n -2),则a 1+a 2+…+a 10等于( )A .15B .12C .-12D .-15解析:选A.由题意知,a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10+…+(-1)10×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)] =3×5=15.5.设数列{a n }满足:a 1=2,a n +1=1-1a n,记数列{a n }的前n 项之积为T n ,则T 2 019的值为( )A .-12B .-1 C.12 D .2解析:选B.由a 1=2,a 2=12,a 3=-1,a 4=2,a 5=12可知,数列{a n }是周期为3的数列,且a 1·a 2·a 3=-1,从而T 2 019=(-1)673=-1.6.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =n n +1,则1a 5等于( ) A.56B.65C.130 D .30解析:选D.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n n +1-n -1n =1n (n +1),所以1a 5=5×6=30. 7.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足:S n +S m =S n +m ,且a 1=1,那么a 10等于( )A .1B .9C .10D .55解析:选A.∵S n +S m =S n +m ,a 1=1,∴S 1=1.可令m =1,得S n +1=S n +1,∴S n +1-S n =1.即当n ≥1时,a n +1=1,∴a 10=1.8.数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,a n +1=3S n (n ≥1),则a 6等于( )A .3×44B .3×44+1C .45D .45+1解析:选A.当n ≥1时,a n +1=3S n ,则a n +2=3S n +1,∴a n +2-a n +1=3S n +1-3S n =3a n +1,即a n +2=4a n +1,∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列.又a 2=3S 1=3a 1=3,∴a n =⎩⎨⎧1(n =1),3×4n -2(n ≥2).∴当n =6时,a 6=3×46-2=3×44.9.已知a 1=1,a n =n (a n +1-a n )(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是( )A .2n -1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫n +1n n -1C .n 2D .n解析:选 D.法一:由已知整理得(n +1)a n =na n +1,∴a n +1n +1=a n n ,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数列,且a n n =a 11=1,∴a n =n . 法二(累乘法):当n ≥2时,a n a n -1=n n -1. a n -1a n -2=n -1n -2,…,a 3a 2=32,a 2a 1=21,两边分别相乘得a n a 1=n . 又∵a 1=1,∴a n =n .10.已知数列{a n }的前n 项和S n =2a n -1,则满足a n n ≤2的正整数n 的集合为( )A .{1,2}B .{1,2,3,4}C .{1,2,3}D .{1,2,4}解析:选B.因为S n =2a n -1,所以当n ≥2时,S n -1=2a n -1-1,两式相减得a n =2a n -2a n -1,整理得a n =2a n -1,所以{a n }是公比为2的等比数列,又因为a 1=2a 1-1,解得a 1=1,故{a n }的通项公式为a n =2n -1.而a n n ≤2,即2n -1≤2n ,故所有满足的正整数n =1,2,3,4.B 组 能力突破1.将石子摆成如图所示的梯形形状.称数列5,9,14,20,…为“梯形数”.根据图形的构成,此数列的第2 018项与5的差,即a 2 018-5=( )A .2 018×1 012B .2 024×2 017C .1 009×2 018D .1 012×2 017解析:选D.∵a n -a n -1=n +2(n ≥2),a 1=5.∴a 2 018=(a 2 018-a 2 017)+(a 2 017-a 2 016)+…+(a 2-a 1)+a 1=2 020+2 019+…+4+5=(2 020+4)×2 0172+5=1 012×2 017+5. ∴a 2 018-5=1 012×2 017. 2.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,{S n +na n }为常数列,则a n =( )A.13n -1 B.2n (n +1) C.6(n +1)(n +2) D.5-2n 3 解析:选B.由题意知,S n +na n =2,当n ≥2时,S n -1+(n -1)a n -1=2,∴(n +1)a n=(n -1)a n -1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n -1=13·24·…·n -1n +1,则a n =2n (n +1),当n =1时上式成立,所以a n =2n (n +1),故选B. 3.已知数列{n 2n 2+1},则0.98是它的第________项. 解析:n 2n 2+1=0.98=4950,∴n =7. 答案:74.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为________. 解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1,当n =1时,a 1=S 1=-1,所以a n =⎩⎨⎧ -1,n =1,2n -1,n ≥2.答案:a n =⎩⎨⎧-1,n =1,2n -1,n ≥2 5.在数列{a n }中,a 1=1,对于所有的n ≥2,n ∈N *,都有a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2,则a 3+a 5=________.解析:由题意知:a 1·a 2·a 3·…·a n -1=(n -1)2,∴a n =⎝ ⎛⎭⎪⎫n n -12(n ≥2),∴a 3+a 5=⎝ ⎛⎭⎪⎫322+⎝ ⎛⎭⎪⎫542=6116. 答案:61166.已知数列{a 2n }满足a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +1(n ∈N *),则a 2 018=________. 解析:∵a 1=1,∴a 2=(a 1-1)2=0,a3=(a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,…,可知数列{a n}是以2为周期的周期数列,∴a2 018=a2=0. 答案:0。

2018届高考数学文大一轮复习教师用书:第五章 数列 第

2018届高考数学文大一轮复习教师用书:第五章 数列 第

第五章数列第一节数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识点一数列的定义、分类与通项公式1.数列的定义(1)数列:按照________排列的一列数.(2)数列的项:数列中的________.2.数列的分类3.数列的通项公式如果数列{a n}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.答案1.(1)一定顺序(2)每一个数2.有限 无限 > < 3.序号n1.给出下列有关数列的说法: (1)数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}; (2)数列1,3,5,7与数列7,5,3,1是同一数列; (3)数列1,3,5,7与数列1,3,5,7,…是同一数列; (4)数列a n =n -2的图象是一群孤立的点. 其中说法正确的序号是________.解析:(1)错误,构成数列的数是有顺序的,而集合中的元素是无序的,这是数列与数集的差别.(2)错误,两数列的数相同但排列次序不相同,不是相同的数列. (3)错误,数列1,3,5,7是有限数列,而数列1,3,5,7,…是无穷数列. (4)正确. 答案:(4)2.(必修⑤P31练习第4(1)题改编)数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n 是________.解析:由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n2n -1.答案:n2n -1知识点二 数列的递推公式如果已知数列{a n }的________(或________),且任何一项a n 与它的前一项a n -1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即a n =f (a n -1)或a n =f (a n -1,a n -2),那么这个式子叫做数列{a n }的递推公式.答案第一项 前几项3.(必修⑤P31例3改编)在数列{a n }中,a 1=1,a n =1+1a n -1(n ≥2),则a 4=( )A.32B.53C.74D.85解析:由题意知,a 1=1,a 2=2,a 3=32,a 4=53.答案:B4.已知数列{a n }中,a n ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,a n +1=38+12a 2n ,则数列{a n }是________数列(填“递增”或“递减”).解析:∵a n +1-a n =12a 2n -a n +38=12(a n -1)2-18,又0<a n <12,∴-1<a n -1<-12,∴12(a n -1)2>18,即12(a n -1)2-18>0,∴a n +1-a n >0,即a n +1>a n 对一切正整数n 都成立,故数列{a n }是递增数列. 答案:递增知识点三 数列的前n 项和与通项的关系数列的前n 项和通常用S n 表示,记作__________________,则通项__________________. 若当n ≥2时求出的a n 也适合n =1时的情形,则用一个式子表示a n ,否则分段表示.答案S n =a 1+a 2+…+a n a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1S n -S n -1,n ≥25.数列{a n }的前n 项和S n =n 2+1,则a n =________. 解析:当n =1时,a 1=S 1=2;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=(n 2+1)-[(n -1)2+1]=n 2-(n -1)2=2n -1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧2n =,2n -n答案:⎩⎪⎨⎪⎧2n =2n -n6.若数列{a n }的前n 项和S n =23a n +13,则{a n }的通项公式是a n =________.解析:当n =1时,a 1=1;当n ≥2时,a n =S n -S n -1=23a n -23a n -1,故a n a n -1=-2,故a n =(-2)n -1.当n =1时,也符合a n =(-2)n -1.综上,a n =(-2)n -1.答案:(-2)n -1热点一 由数列的前n 项求数列的通项公式【例1】 (1)已知数列{a n }的前4项为2,5,8,11,则数列{a n }的一个通项公式是________. (2)已知数列{a n }的前4项为-12,35,-35,1017,则数列{a n }的一个通项公式是________.(3)如图所示,这是一个正六边形的序列,则第n 个图形的边数为( )A .5n -1B .6nC .5n +1D .4n +2【解析】 (1)从第二项起,每一项都比前一项大3,且每一项都比项数的3倍少1,故其通项公式可以为a n =3n -1.(2)原数列为-12,35,-610,1017,对于分子1,3,6,10,其通项公式为b n =nn +2,对于分母2,5,10,17,其通项公式为c n =n 2+1,故可得数列{a n }的一个通项公式为a n =(-1)nn n +n 2+.(3)第一个图形是六边形,即a 1=6,以后每个图形是在前一个图形的基础上增加5条边,所以a 2=6+5=11 ,a 3=11+5=16,观察可得选项C 满足此条件.【答案】 (1)a n =3n -1 (2)a n =(-1)nn n +n 2+(3)C(1)(2017·湖南长沙一模)已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )A .a n =(-1)n -1+1B .a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n 为奇数0,n 为偶数C .a n =2sinn π2D .a n =cos(n -1)π+1(2)(2017·石家庄模拟)把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数,这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图).则第7个三角形数是( ) A .27 B .28 C .29 D .30解析:(1)对n =1,2,3,4进行验证,a n =2sinn π2不合题意,故选C.(2)由图可知,第7个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 答案:(1)C (2)B热点二 a n 与S n 关系的应用 考向1 已知S n 求a n【例2】 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-2n +1,则其通项公式为________. 【解析】 当n =1时,a 1=S 1=3×12-2×1+1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n 2-2n +1-[3(n -1)2-2(n -1)+1]=6n -5,显然当n =1时,不满足上式.故数列的通项公式为a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,6n -5,n ≥2.【答案】 a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =16n -5,n ≥2若本例中条件“前n 项和S n =3n 2-2n +1”改为“前n 项积为T n =3n 2-2n +1”,求a n . 解:当n =1时,a 1=T 1=3×12-2×1+1=2,当n ≥2时,a n =T nT n -1=3n 2-2n +1n -2-n -+1=3n 2-2n +13n 2-8n +6. 显然当n =1时,满足上式. 故数列的通项公式为a n =3n 2-2n +13n 2-8n +6.考向2 利用a n 与S n 的关系求S n【例3】 (2016·新课标全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n+1,则S n =________.【解析】 将a n +1转化为S n 与S n +1,再求解.由已知得a n +1=S n +1-S n =S n +1·S n ,两边同时除以-S n +1·S n ,得1S n +1-1S n=-1,故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以-1为首项,-1为公差的等差数列,则1S n =-1-(n -1)=-n ,所以S n =-1n.【答案】 -1n(2016·浙江卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n +1=2S n +1,n ∈N *,则a 1=________,S 5=________.解析:由于⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2=4,a 2=2a 1+1解得a 1=1,由a n +1=S n +1-S n =2S n +1得S n +1=3S n +1,所以S n +1+12=3(S n +12),所以{S n +12}是以32为首项,3为公比的等比数列,所以S n +12=32×3n -1,即S n =3n-12,所以S 5=121.答案:1 121热点三 由递推公式求通项公式【例4】 设数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +n +1,则a n =________. 【解析】 由条件知a n +1-a n =n +1,则a n =(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+(a 4-a 3)+…+(a n -a n -1)+a 1=(2+3+4+…+n )+2=n 2+n +22.【答案】n 2+n +221.若将“a n +1=a n +n +1”改为“a n +1=nn +1a n ”,如何求解? 解:∵a n +1=nn +1a n ,∴a n +1a n =n n +1. ∴a n =a n a n -1·a n -1a n -2·a n -2a n -3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1, =n -1n ·n -2n -1·n -3n -2·…·12·2=2n. 2.若将“a n +1=a n +n +1”改为“a n +1=2a n +3”,如何求解?解:设递推公式a n +1=2a n +3可以转化为a n +1-t =2(a n -t ),即a n +1=2a n -t ,解得t =-3.故a n +1+3=2(a n +3).令b n =a n +3,则b 1=a 1+3=5,且b n +1b n =a n +1+3a n +3=2.所以{b n }是以5为首项,2为公比的等比数列.所以b n =5×2n -1,故a n =5×2n -1-3.3.若将“a n +1=a n +n +1”改为“a n +1=2a na n +2”,如何求解? 解:∵a n +1=2a na n +2,a 1=2,∴a n ≠0, ∴1a n +1=1a n +12,即1a n +1-1a n =12, 又a 1=2,则1a 1=12,∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项,12为公差的等差数列.∴1a n =1a 1+(n -1)×12=n 2.∴a n =2n. 4.若将本例条件换为“a 1=1,a n +1+a n =2n ”,如何求解? 解:∵a n +1+a n =2n ,∴a n +2+a n +1=2n +2,故a n +2-a n =2. 即数列{a n }是奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列.当n 为偶数时,a 2=1,故a n =a 2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫n2-1=n -1.当n 为奇数时,∵a n +1+a n =2n ,a n +1=n (n +1为偶数),故a n =n .综上所述,a n =⎩⎪⎨⎪⎧n ,n 为奇数,n -1,n 为偶数,n ≥1,n ∈N *.【例5】 (1)(2017·云南一模)在数列{a n }中,a 1=12,a 2=13,a n a n +2=1,则a 2 016+a 2 017=( )A.56 B.73 C.72D .5(2)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +4.①若k =-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值; ②对于n ∈N *,都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围.【解析】 (1)因为a 1=12,a 2=13,a n a n +2=1,所以a 3=2,a 4=3,a 5=12,a 6=13,即数列{a n }是周期数列,周期为4,则a 2 016+a 2 017=a 4+a 1=3+12=72,故选C.(2)解:①由n 2-5n +4<0, 解得1<n <4.因为n ∈N *,所以n =2,3.所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n =n 2-5n +4=⎝ ⎛⎭⎪⎫n -522-94,由二次函数性质,得当n =2或n =3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2. ②由a n +1>a n 知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,即得k >-3.所以实数k 的取值范围为(-3,+∞). 【答案】 (1)C(1)(2017·安徽皖江名校联考)已知数列{a n }的首项为2,且数列{a n }满足a n +1=a n -1a n +1,数列{a n }的前n 项的和为S n ,则S 2 016为( )A .504B .588C .-588D .-504(2)已知数列{a n }满足a 1=33,a n +1-a n =2n ,则a n n的最小值为________. 解析:(1)∵a 1=2,a n +1=a n -1a n +1,∴a 2=13,a 3=-12,a 4=-3,a 5=2,……,∴数列{a n }的周期为4,且a 1+a 2+a 3+a 4=-76,∵2 016÷4=504,∴S 2 016=504×⎝ ⎛⎭⎪⎫-76=-588,故选C.(2)a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2[1+2+…+(n -1)]+33=33+n2-n ,所以a n n=33n+n -1.构造函数f (x )=33x +x -1(x >0),求导得到f ′(x )=-33x2+1.令f ′(x )>0,解得x >33;令f ′(x )<0,解得0<x <33.所以f (n )=33n+n -1在(33,+∞)上是递增的,在(0,33)上是递减的,因为n ∈N *,所以当n =5或6时,f (n )可能取得最小值.又因为a 55=535,a 66=636=212,所以a n n 的最小值为a 66=212.答案:(1)C (2)2121.数列是一种特殊的函数,在利用函数观点研究数列时,一定要注意自变量的取值,如数列a n =f (n )和函数y =f (x )的单调性是不同的.2.由S n 求a n 时,a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1n =,S n -S n -1n ,注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含a n 与S n的关系的数列题均可考虑上述公式.3.已知递推关系求通项:对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路:(1)算出前几项,再归纳、猜想;(2)“a n +1=pa n +q ”这种形式通常转化为a n +1+λ=p (a n +λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列;(3)利用累加、累乘法或迭代法可求数列的通项公式.。

2018届高考数学文大一轮复习检测:第五章 数列 课时作业31 含答案 精品

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课时作业31 数列的概念与简单表示法一、选择题1.数列23,-45,67,-89,…的第10项是( )A .-1617B .-1819C .-2021D .-2223解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n =(-1)n +1·2n2n +1,故a 10=-2021.答案:C2.若数列{a n }的通项公式是a n =(-1)n(3n -2),则a 1+a 2+…+a 10等于( ) A .15 B .12 C .-12D .-15解析:由题意知,a 1+a 2+…+a 10=-1+4-7+10-…+(-1)10×(3×10-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9×(3×9-2)+(-1)10×(3×10-2)]=3×5=15.答案:A3.若S n 为数列{a n }的前n 项和,且S n =nn +1,则1a 5等于( ) A.56 B.65 C.130D .30解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=nn +1-n -1n =1nn +,所以1a 5=5×6=30.答案:D4.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-2λn (n ∈N *),则“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:若数列{a n }为递增数列,则有a n +1-a n >0,即2n +1>2λ对任意的n ∈N *都成立,于是有3>2λ,λ<32.由λ<1可推得λ<32,但反过来,由λ<32不能得到λ<1,因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件,故选A.答案:A5.(2017·衡水中学一调)已知前n 项和为S n 的正项数列{a n }满足lg a n +1=12(lg a n +lg a n+2),且a 3=4,S 2=3,则( ) A .2S n =a n +1 B .S n =2a n +1 C .2S n =a n -1D .S n =2a n -1解析:依题意,a 2n +1=a n a n +2,故数列{a n }为等比数列.由a 3=4,S 2=3,解得a 1=1,q =2,故a n =2n -1.S n =1-2n1-2=2n-1=2a n -1,故选D.答案:D6.(2017·郑州一中一联)在数列{a n }中,若对任意的n ∈N *均有a n +a n +1+a n +2为定值,且a 7=2,a 9=3,a 98=4,则数列{a n }的前100项的和S 100=( )A .132B .299C .68D .99解析:因为在数列{a n }中,若对任意的n ∈N *均有a n +a n +1+a n +2为定值,所以对任意的n ∈N *均有a n +a n +1+a n +2=a n +1+a n +2+a n +3,即a n +3=a n ,所以数列{a n }是以3为周期的周期数列.又因为a 7=2,a 9=3,a 98=4,所以a 1+a 2+a 3=2+3+4=9,所以S 100=33×(a 1+a 2+a 3)+a 100=33×9+2=299.答案:B 二、填空题7.数列{a n }中,已知a 1=1,a 2=2,a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),则a 7=________. 解析:由已知a n +1=a n +a n +2,a 1=1,a 2=2.能够计算出a 3=1,a 4=-1,a 5=-2,a 6=-1,a 7=1.答案:18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n =________.解析:当n =1时,S 1=a 1=2a 1-1,得a 1=1,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -n -2a n -1+(n -1),即a n =2a n -1+1,∴a n +1=2(a n -1+1),∴数列{a n +1}是首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n -1=2n ,∴a n =2n-1.答案:2n-19.若数列{a n }满足a 1=-1,n (a n +1-a n )=2-a n +1(n ∈N *),则数列{a n }的通项公式是a n=________.解析:∵n (a n +1-a n )=2-a n +1,∴(n +1)a n +1-na n =2,∴数列{na n }是首项为-1,公差为2的等差数列,∴na n =2n -3,∴a n =2-3n.答案:2-3n三、解答题10.已知数列{a n }中,a 1=1,前n 项和S n =n +23a n .(1)求a 2,a 3.(2)求{a n }的通项公式.解:(1)由S 2=43a 2得3(a 1+a 2)=4a 2,解得a 2=3a 1=3.由S 3=53a 3得3(a 1+a 2+a 3)=5a 3,解得a 3=32(a 1+a 2)=6.(2)由题设知a 1=1. 当n ≥2时,有a n =S n -S n -1=n +23a n -n +13a n -1,整理得a n =n +1n -1a n -1.于是a 1=1, a 2=31a 1, a 3=42a 2,……a n -1=nn -2a n -2,a n =n +1n -1a n -1.将以上n 个等式两端分别相乘, 整理得a n =n n +2.显然,当n =1时也满足上式. 综上可知,{a n }的通项公式a n =n n +2.11.(2017·安徽合肥质检)在数列{a n }中,a 1=12,a n +1=n +12na n ,n ∈N *.(1)求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为等比数列;(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解:(1)证明:由a n +1=n +12n a n 知a n +1n +1=12·a n n .所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为12,公比为12的等比数列,所以a n n =⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,所以a n =n2n .所以S n =121+222+…+n2n ①则12S n =122+223+…+n2n +1,② ①-②,得12S n =12+122+123+…+12n -n 2n +1=1-n +22n +1,所以S n =2-n +22n .1.(2017·重庆高考适应性测试)在数列{a n }中,若a 1=2,且对任意正整数m ,k ,总有a m +k =a m +a k ,则{a n }的前n 项和S n =( )A .n (3n -1) B.n n +2C .n (n +1)D.n n +2解析:依题意得a n +1=a n +a 1,即有a n +1-a n =a 1=2,所以数列{a n }是以2为首项,2为公差的等差数列,a n =2+2(n -1)=2n ,S n =n+2n2=n (n +1),选C. 答案:C2.(2017·江西师大附中、鹰潭一中联考)定义:在数列{a n }中,若满足a n +2a n +1-a n +1a n=d (n ∈N *,d 为常数),称{a n }为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{a n }中,a 1=a 2=1,a 3=3,则a 2 015a 2 013=( ) A .4×2 0152-1 B .4×2 0142-1 C .4×2 0132-1 D .4×2 0132解析:由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1a n 是首项为1,公差为2的等差数列,则a n +1a n =2n -1,所以a n =a n a n -1×a n -1a n -2×a 2a 1=(2n -3)·(2n -5)×…×1.所以a 2 015a 2 013=----=4 027×4 025=(4 026+1)(4 026-1) =4 0262-1=4×2 0132-1. 答案:C3.(2017·贵阳监测)已知数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n1-a n(n ∈N *),则该数列的前2 015项的乘积a 1·a 2·a 3·…·a 2 015=________. 解析:由题意可得,a 2=1+a 11-a 1=-3,a 3=1+a 21-a 2=-12,a 4=1+a 31-a 3=13,a 5=1+a 41-a 4=2=a 1,∴数列{a n }是以4为周期的数列,而2 015=4×503+3,a 1a 2a 3a 4=1,∴前2 015项的乘积为1503·a 1a 2a 3=3. 答案:34.在数列{a n }中,a 1=1,a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *).(1)求证:数列{a 2n }与{a 2n -1}(n ∈N *)都是等比数列;(2)若数列{a n }的前2n 项和为T 2n ,令b n =(3-T 2n )·n ·(n +1),求数列{b n }的最大项.解:(1)证明:因为a n a n +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ,a n +1a n +2=⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1,所以a n +2a n =12.又a 1=1,a 2=12,所以数列a 1,a 3,…,a 2n -1,…,是以1为首项,12为公比的等比数列;数列a 2,a 4,…,a 2n ,…,是以12为首项,12为公比的等比数列.(2)由(1)可得T 2n =(a 1+a 3+…+a 2n -1)+(a 2+a 4+…+a 2n )=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1-12=3-3⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 所以b n =3n (n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n,b n +1=3(n +1)(n +2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1,所以b n +1-b n =3(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n +22-n=3(n +1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1(2-n ),所以b 1<b 2=b 3>b 4>…>b n >…, 所以(b n )max =b 2=b 3=92.。

2018高考数学文理一轮复习检测:第五章 数列 第2讲 含答案 精品

2018高考数学文理一轮复习检测:第五章 数列 第2讲 含答案 精品

第五章 第二讲A 组基础巩固一、选择题1.(2016·东北师大附中)在等差数列{a n }中,a 2=5,a 7=3,在该数列中的任何相邻两项之间插入一个数,使之仍为等差数列,则这个新等差数列的公差为导学号 30071504( C )A .-25B .-45C .-15D .-35[解析] {a n }的公差d =3-57-2=-25,∴新等差数列的公差d ′=(-25)×12=-15,故选C .2.(2017·广东省揭阳市普宁市华侨中学高三上学期期末数学试题)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中,甲所得为导学号 30071505( B )A.54钱 B .43钱 C.32钱 D .53钱[解析] 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d ,由题意求得a =-6d ,结合a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5a =5求得a =1,则答案可求.解:依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a -2d ,a -d ,a ,a +d ,a +2d , 则由题意可知,a -2d +a -d =a +a +d +a +2d , 即a =-6d ,又a -2d +a -d +a +a +d +a +2d =5a =5,∴a =1, 则a -2d =a -2×(-a 6)=43a =43.故选B .3.(2017·内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)已知数列{a n }满足a n +1=a n +1(n ∈N +),且a 2+a 4+a 6=18,则log 3(a 5+a 7+a 9)的值为导学号 30071506( B )A .-3B .3C .2D .-2[解析] 数列{a n }是以1为公差的等差数列,可得a 5+a 7+a 9=a 2+a 4+a 6 +9d =27,由此求得log 3(a 5+a 7+a 9)的值.解:∵数列{a n }满足a n +1=a n +1(n ∈N +), ∴数列{a n }是以1为公差的等差数列. 又∵a 2+a 4+a 6=18,∴a 5+a 7+a 9=a 2+a 4+a 6 +9d =27, ∴log 3(a 5+a 7+a 9)=log 327=3,故选B .4.(2016·马鞍山模拟)等差数列{a n }前n 项和为S n ,且S 55-S 22=3,则数列{a n }的公差为导学号 30071507( B )A .1B .2C .3D .4[解析] 设等差数列{a n }的公差为d , ∵S 55-S 22=3, ∴5a 1+5×42d 5-2a 1+2×12d2=3,化简可得2d -12d =3,解得d =2,故选B .5.(2016·辽宁沈阳质检)设等差数列{a n }满足a 2=7,a 4=3,S n 是数列{a n }的前n 项和,则使得S n >0成立的最大的自然数n 是导学号 30071508( A )A .9B .10C .11D .12 [解析] 由题可得{a n }的公差d =3-74-2=-2,a 1=9,所以a n =-2n +11,可见{a n }是递减数列,且a 5>0>a 6,a 5+a 6=0.则S 9=9a 5>0,S 10=10(a 5+a 6)=0,S 11=11a 6<0,故选A .另解:S n =(a 1+a n )n2>0⇔a 1+a n >0⇔20-2n >0⇔n <10.6.(2016·江西南昌模拟)已知在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和.若a 2a 3=13,则S 4S 5等于导学号 30071509( A )A.815B .40121 C.1625 D .57[解析] 由题意,得S 4S 5=4(a 1+a 4)25(a 1+a 5)2=2(a 2+a 3)5a 3=815.故选A .7.(2016·西安五校联考)设数列{a n }是等差数列,且a 2=-6,a 8=6,S n 是数列{a n }的前n 项和,则导学号 30071510( B )A .S 4<S 5B .S 4=S 5C .S 6<S 5D .S 6>S 5[解析] ∵a 2=-6,a 8=6,∴a 5=0, ∴S 4=S 5,故选B .8.(2015·北京)设{a n }是等差数列.下列结论中正确的是导学号 30071511( C ) A .若a 1+a 2>0,则a 2+a 3>0 B .若a 1+a 3<0,则a 1+a 2<0 C .若0<a 1<a 2,则a 2>a 1a 3D .若a 1<0,则(a 2-a 1)(a 2-a 3)>0 [解析] 若{a n }是递减的等差数列,则选项A 、B 都不一定正确.若{a n }为公差为0的等差数列,则选项D 不正确.对于C 选项,由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列,由等差中项的性质得a 2=a 1+a 32,由基本不等式得a 1+a 32>a 1a 3,所以C 正确.二、填空题9.(教材改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n =2n -10(n ∈N *),则|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=130.导学号 30071512[解析] 由a n =2n -10(n ∈N *),知{a n }是以-8为首项,2为公差的等差数列.令a n =2n -10≥0,得n ≥5,所以当n ≤5时,a n ≤0,当n >5时,a n >0,所以|a 1|+|a 2|+…+|a 15|=-(a 1+a 2+a 3+a 4)+(a 5+a 6+…+a 15)=S 15-2(a 1+a 2+a 3+a 4)=90+40=130.10.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前n 项和为S n ,当且仅当n =8时S n 取得最大值,则d 的取值范围为(-1,-78).导学号 30071513[解析] 由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d <0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d <0,7+7d >0,7+8d <0,解得-1<d <-78.11.(2017·重庆市西北狼教育联盟高三上学期12月月考数学试题)《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驽马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马,问几何日相逢.”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3 000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”试确定离开长安后的第24天,两马相逢.导学号 30071514[解析] 利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出.解:由题意知,良马每日行的距离成等差数列, 记为{a n },其中a 1=193,d =13; 驽马每日行的距离成等差数列, 记为{b n },其中b 1=97,d =-0.5;设第m 天相逢,则a 1+a 2+…+a m +b 1+b 2+…+b m =193m +m (m -1)2×13+97m +m (m -1)2×(-0.5)=290m +m (m -1)2×12.5≥2×3 000,化为5m 2+227m -1 200≥0, 解得m ≥75 529-2272,取m =24.故答案为:24. 三、解答题12.(2016·长春调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,其中a 1=3,S 5-S 2=27.导学号 30071515(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若S n,22(a n +1+1),S n +2成等比数列,求正整数n 的值. [解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d , 则S 5-S 2=3a 1+9d =27,又a 1=3,则d =2,故a n =2n +1. (2)由(1)可得S n =n 2+2n , 又S n ·S n +2=8(a n +1+1)2, 即n (n +2)2(n +4)=8(2n +4)2, 化简得n 2+4n -32=0,解得n =4或n =-8(舍),所以n 的值为4.13.(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n +1=nb n .导学号 30071516 (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.[解析] (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }是首项为2,公差为3的等差数列, 通项公式为a n =3n -1.(2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n ,得b n +1=b n 3,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.B 组能力提升1.(2017·河南省平顶山市郏县一中、叶县二中等五校期中联考数学试题)在各项均不为零的等差数列{a n }中,若a n +1-a 2n +a n -1=0(n ≥2),则S 2n -1-4n =导学号 30071517( A )A .-2B .0C .1D .2[解析] 由等差数列的性质可得a n +1+a n -1=2a n ,结合已知,可求出a n ,又因为s 2n -1=(2n -1)a n ,故本题可解.解:设公差为d ,则a n +1=a n +d ,a n -1=a n -d ,由a n +1-a 2n +a n -1=0(n ≥2)可得2a n -a 2n =0,解得a n =2(零解舍去),故S 2n -1-4n =2×(2n -1)-4n =-2, 故选A .2.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使S n >0的n 的最大值为导学号 30071518( B )A .11B .19C .20D .21[解析] ∵a 11a 10<-1,且S n 有最大值,∴a 10>0,a 11<0,且a 10+a 11<0, ∴S 19=19(a 1+a 19)2=19·a 10>0,S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0, 故使得S n >0的n 的最大值为19.3.(2016·安徽合肥六中第二次月考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 25a 23=5,S 45a 33=25,则S 65a 43=导学号 30071519( C ) A .125 B .85 C .45D .35[解析] 根据等差数列前n 项和的性质可得S 2n -1=(2n -1)a n ,则由S 25a 23=5,S 45a 33=25,可得a 13a 23=15,a 23a 33=59,根据合比定理可得a 33a 43=5+49+4=913,所以S 65a 43=65×a 33a 43=65×913=45,故选C .4.(2016·浙江模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =-n 2+(10+k )n +(k -1),则实数k =1,a n =-2n +12_,S n 的最大值为30.导学号 30071520[解析] ∵S n =-n 2+(10+k )n +(k -1)为等差数列的前n 项和,∴k -1=0,即k =1, 则S n =-n 2+11n ,对称轴方程为n =112.∵n ∈N *,∴当n =5或6时,S n 有最大值为30, a 1=S 1=10,a 2=S 2-S 1=18-10=8, ∴d =a 2-a 1=-2,则a n =-2n +12.5.(2016·咸阳模拟)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a 3·a 4=117,a 2+a 5=22.导学号 30071521(1)求通项a n ; (2)求S n 的最小值;(3)若数列{b n }是等差数列,且b n =S n n +c ,求非零常数c .[解析] (1)因为数列{a n }为等差数列, 所以a 3+a 4=a 2+a 5=22. 又a 3·a 4=117,所以a 3,a 4是方程x 2-22x +117=0的两实根, 又公差d >0,所以a 3<a 4, 所以a 3=9,a 4=13.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+2d =9,a 1+3d =13, 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =4.所以通项a n =4n -3. (2)由(1)知a 1=1,d =4,所以S n =na 1+n (n -1)2×d =2n 2-n =2(n -14)2-18.所以当n =1时,S n 最小, 最小值为S 1=a 1=1.(3)由(2)知S n =2n 2-n ,所以b n =S nn +c =2n 2-n n +c,所以b 1=11+c ,b 2=62+c ,b 3=153+c .因为数列{b n }是等差数列, 所以2b 2=b 1+b 3, 即62+c ×2=11+c +153+c, 所以2c 2+c =0,所以c =-12或c =0(舍去),故c =-12.。

2018高考数学文理一轮复习检测:第五章 数列 第3讲 含答案 精品

2018高考数学文理一轮复习检测:第五章 数列 第3讲 含答案 精品

第五章 第三讲A 组基础巩固一、选择题1.(2016·湖北武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数,a 1+2a 2=3,a 23=4a 2a 6,则a 4=导学号 30071540( C )A .38B .245C .316D .916[解析] 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2a 1q =3,(a 1 q 2)2=4a 1q ·(a 1q 5),q >0,解得⎩⎨⎧a 1=32,q =12,所以a 4=a 1q 3=32×(12)3=316.故选C . 2.设S n 是等比数列{a n }的前n 项和,a 3=32,S 3=92,则公比q =导学号 30071541( C )A .12B .-12C .1或-12D .1或12[解析] 当q =1时,a 1=a 2=a 3=32,S 3=a 1+a 2+a 3=92,符合题意;当q ≠1时,由题可得⎩⎨⎧a 3=a 1q 2=32,S 3=a 1(1-q 3)1-q=92,解得q =-12.故q =1或q =-12.3.(2017·辽宁省铁岭市协作体高三上学期第三次联考数学试题)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上题的已知条件,可求得该女子第3天所织布的尺数为导学号 30071542( A )A .2031B .35C .815D .23[解析] 设这女子每天分别织布a n 尺,则数列{a n }是等比数列,公比q =2.利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出.解:设这女子每天分别织布a n尺,则数列{a n}是等比数列,公比q=2.则a1(25-1)2-1=5,解得a1=531.∴a3=531×22=2031.故选A.4.(2017·上海外国语大学附中期中数学试题)已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=导学号30071543 (C)A.n(2n-1) B.(n+1)2C.n2D.(n-1)2[解析]先根据a5·a2n-5=22n,求得数列{a n}的通项公式,再利用对数的性质求得答案.解:∵a5·a2n-5=22n=a2n,a n>0,∴a n=2n,∴log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1a3…a2n-1)=log221+3+…+(2n-1)=log22n2=n2.故选C.5.(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的导学号30071544(D)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件[解析]当a1<0,q>1时,{a n}是递减数列;当{a n}为递增数列时,a1<0,0<q<1或a1>0,q>1因此,“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.6.(2016·衡水模拟)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n等于导学号30071545(B)A.80 B.30C.26 D.16[解析]由等比数列性质得,S n,S2n-S n,S3n-S2n,S4n-S3n成等比数列,则(S2n-S n)2=S n·(S3n-S2n),所以(S2n-2)2=2×(14-S2n).又S2n>0,得S2n=6,又(S3n-S2n)2=(S2n-S n)(S4n-S3n),所以(14-6)2=(6-2)(S4n-14).解得S4n=30.7.(2017·上海外国语大学附中期中数学试题)等比数列前n 项和为S n ,有人算得S 1=27,S 2=63,S 3=109,S 4=175,后来发现有一个数算错了,错误的是导学号 30071546( C )A .S 1B .S 2C .S 3D .S 4[解析] 由已知可得:a 1=27,a 1+a 2=a 1(1+q )=63,a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)=109,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q +q 2+q 3)=175,不妨假设第一个与第二个等式成立,解得a 1=27,q =43,经过验证即可判断出结论. 解:由已知可得:a 1=27,a 1+a 2=a 1(1+q )=63,a 1+a 2+a 3=a 1(1+q +q 2)=109,a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q +q 2+q 3)=175,不妨假设第一个与第二个等式成立,解得a 1=27,q =43,经过验证第四个等式成立,第三个等式不成立,因此:算错的这个数是S 3,故选C .8.(2016·河南模拟)已知等比数列{a n }的首项为32,公比为-12,其前n 项和为S n ,则S n的最大值为导学号 30071547( D )A .34B .23C .43D .32[解析] ∵等比数列{a n }的首项为32,公比为-12,∴S n =32[1-(-12)n ]1-(-12)=1-(-12)n ,当n 取偶数时,S n =1-(12)n <1;当n 取奇数时,S n =1+(12)n ≤1+12=32.∴S n 的最大值为32,故选D .二、填空题9.(2017·湖南省衡阳市八中高三第三次(10月)月考数学试题)《九章算术》中“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题:“今有恒厚若千尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿几何?”题意是:有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙,大老鼠第一天进―尺,以后毎天加倍;小老鼠第一天也进―尺,以后每天减半,如果墙足够厚,S n 为前n 天两只老鼠打洞之和,则S n =2n -12-1+1尺.导学号 30071548[解析] 由题意知:大老鼠每天打洞的距离是以1为首项,以2为公比的等比数列,前n 天打洞之和为1-2n1-2=2n -1,同理,小老鼠每天打洞的距离为1-(12)n1-12=2-12n -1,所以S n =2n-1+2-12n -1=2n -12n -1+1,因此,本题正确答案是2n -12n -1+1.[点拨] 解答函数应用题的一般步骤为:①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;③求模:求解数学模型,得出数学结论;④还原:将数学问题还原为实际问题的意义,求最值常用基本不等式或导数.10.(2017·吉林质检)已知在等比数列{a n }中,a 5a 11=6,a 6+a 10=7,则a 7a 96或导学号 30071549[解析] 因为{a n }是等比数列,所以a 5a 11=a 6a 10=6,又a 6+a 10=7,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 6=1a 10=6或⎩⎪⎨⎪⎧a 6=6a 10=1,设{a n }的公比为q ,则q 4=6或16,q 2=6或66,所以a 7a 9=1q 2=66或6.11.等比数列的首项是-1,前n 项和为S n ,如果S 10S 5=3132,则S 4的值是-58.导学号 30071550 [解析] 由已知得S 10S 5=1-q 101-q 5=1+q 5=3132,故q 5=-132,解得q =-12,S 4=(-1)×(1-116)1+12=-58.三、解答题12.(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n } 是公差为3的等差数列,数列{b n }满足b 1=1,b 2=13,a n b n+1+b n +1=nb n .导学号 30071551 (1)求{a n }的通项公式; (2)求{b n }的前n 项和.[解析] (1)由已知,a 1b 2+b 2=b 1,b 1=1,b 2=13,得a 1=2.所以数列{a n }的首项为2,公差为3的等差数列, 通项公式为a n =3n -1.(2)由(1)和a n b n +1+b n +1=nb n ,得b n +1=b n 3,因此数列{b n }是首项为1,公比为13的等比数列.记{b n }的前n 项和为S n ,则S n =1-(13)n1-13=32-12×3n -1.13.(2016·天津)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1-1a 2=2a 3,S 6=63.导学号 30071552(1)求{a n }的通项公式;(2)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前2n 项和. [解析] (1)设数列{a n }的公比为q .由已知,有1a 1-1a 1q =1a 1q 2,解得q =2,或q =-1.又由S 6=a 1·1-q 61-q =63,知q ≠-1,所以a 1·1-261-2=63,得a 1=1.所以a n =2n -1.(2)由题意,得b n =12(log 2a n +log 2a n +1)=12(log 22n -1+log 22n )=n -12,即{b n }是首项为12,公差为1的等差数列.设数列{(-1)n b 2n }的前n 项和为T n ,则T 2n =(-b 21+b 22)+(-b 23+b 24)+…+(-b 22n -1+b 22n )=b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n =2n (b 1+b 2n )2=2n 2.B 组能力提升1.(2017·内蒙古集宁一中高三上学期期中数学试题)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,则S na n=导学号 30071553( D )A .4n -1B .4n -1C .2n -1D .2n -1[解析] 利用等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,求出q =12,a 1=2,可得a n 、S n ,即可得出结论.【解答】解:∵等比数列{a n }的前n 项和S n ,且a 1+a 3=52,a 2+a 4=54,∴两式相除可得公比q =12,∴a 1=2,∴a n =2·(12)n -1=12n -2,S n =2(1-12n )1-12=4(1-12n ),∴S na n=2n -1,故选D . 2.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n +a n =2n (n ∈N *),则下列数列中一定为等比数列的是导学号 30071554( C )A .{a n }B .{a n -1}C .{a n -2}D .{S n }[解析] 由S n +a n =2n (n ∈N *)①可得S n -1+a n -1=2(n -1)(n ≥2,n ∈N *),所以a n -2=12(a n-1-2)(n ≥2,n ∈N *),且a 1=1,a 1-2=-1≠0,所以{a n -2}一定是等比数列,故选C . 3.(2016·山西第二次四校联考)已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 9+a 10a 7+a 8=导学号 30071555( C )A .1+ 2B .1- 2C .3+2 2D .3-2 2[解析] ∵a 1,12a 3,2a 2成等差数列,∴12a 3×2=a 1+2a 2,即a 1q 2=a 1+2a 1q ,∴q 2=1+2q ,解得q =1+2或q =1-2(舍),∴a 9+a 10a 7+a 8=a 1q 8(1+q )a 1q 6(1+q )=q 2=(1+2)2=3+22.4.(2016·全国卷Ⅰ)设等比数列{a n }满足a 1+a 3=10,a 2+a 4=5,则a 1a 2…a n 的最大值为64.导学号 30071556[解析] 设{a n }的公比为q ,由a 1+a 3=10,a 2+a 4=5得a 1=8,q =12,则a 2=4,a 3=2,a 4=1,a 5=12,所以a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4=64.5.(2016·金华模拟)设数列{a n }的前n 项和S n 满足6S n +1=9a n (n ∈N *).导学号 30071557 (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足b n =1a n ,求数列{b n }前n 项和T n .[解析] (1)当n =1时,由6a 1+1=9a 1,得a 1=13.当n ≥2时,由6S n +1=9a n ,得6S n -1+1=9a n -1, 两式相减得6(S n -S n -1)=9(a n -a n -1), 即6a n =9(a n -a n -1),∴a n =3a n -1,∴数列{a n }是首项为13,公比为3的等比数列,其通项公式为a n =13×3n -1=3n -2.(2)∵b n =1a n =(13)n -2,∴{b n }是首项为3,公比为13的等比数列,∴T n =b 1+b 2+…+b n =3[1-(13)n ]1-13=92[1-(13)n ].。

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第五章数列课时作业32含答案

2018届高考数学(文)大一轮复习检测:第五章数列课时作业32含答案

课时作业32 等差数列一、选择题1.在等差数列{a n}中,若a2=4,a4=2,则a6=( )A.-1 B.0C.1 D.6解析:因为数列是等差数列,a2=4,2a4=a2+a6=4,所以a6=0,故选B。

答案:B2.设S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1=1,公差d=2,S n+2-S n=36,则n=( )A.5 B.6C.7 D.8解析:∵a n=1+(n-1)×2=2n-1,∴S n+2-S n=36⇒a n+2+a n+1=36⇒2n+3+2n+1=36⇒n=8,故选D。

答案:D3.等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1 008=错误!,则S2 015的值是()A。

错误!B。

错误!C.2 015 D.2 016解析:∵数列{a n}是等差数列,且a1 008=错误!,∴S2 015=错误!=2 015×2a1 0082=2 015a1 008=2 0152,故选A。

答案:A4.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m等于()A.3 B.4C.5 D.6解析:∵数列{a n}为等差数列,且前n项和为S n,∴数列错误!也为等差数列.∴错误!+错误!=错误!,即错误!+错误!=0.因此m=5.答案:C5.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列,且b n=a n+1-a n(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于( )A.0 B.3C.8 D.11解析:设{b n}的公差为d,∵b10-b3=7d=12-(-2)=14,∴d=2。

∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6。

∴b1+b2+…+b7=7b1+错误!d=7×(-6)+21×2=0。

又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3=0。

∴a8=3。

故选B.答案:B6.已知数列{a n}满足a n+1=a n-错误!,且a1=5,设{a n}的前n项和为S n,则使得S n取得最大值的序号n的值为( )A.7 B.8C.7或8 D.8或9解析:由题意可知数列{a n}是首项为5,公差为-错误!的等差数列,所以a n=5-57(n-1)=错误!,该数列前7项是正数项,第8项是0,从第9项开始是负数项,所以S n取得最大值时,n=7或8.故选C.答案:C。

2018高考数学(文理通用版)一轮复习检测第五章 数列 第4讲 Word版含答案

2018高考数学(文理通用版)一轮复习检测第五章 数列 第4讲 Word版含答案

第五章第四讲组基础巩固一、选择题.(·邯郸一中月考)数列,,,,…,(-)+,…的前项和的值等于( ).+-.-+-.+-.-+-[解析]该数列的通项公式为=(-)+,则=[+++…+(-)]+(++…+)=+-..数列{(-)(-)}的前项和等于( ).-..-.[解析]=-+-++…-(×-)+(×-)-(×-)=-+++…+=,故选..(·曲清模拟)+++…+的值为( )..--(+) .-+[解析]∵===(-),∴+++…+=(-+-+-+…+-)=(--)=-(+),故选..已知数列{}满足+=+,且=,则该数列的前项的和等于( )....[解析]因为=,又+=+,所以=,从而=,=,即得=(\\((),=-(∈*(,=(∈*())故数列的前项的和等于=×(+)=,故选..(·日照模拟)已知数列{}的前项和=-,则{}的前项和=( ).-.-+(\\(-(≤≤(-+(>()).(\\(-(≤≤(-(>())[解析]由=-可得,当≥时,=--=--(-)+(-)=-.当=时,=-=,也满足上式,所以=-,∈*∴≤时,<;>时,>,∴=(\\(-(≤≤(,-+(>(.))故选..(·辽宁省鞍山市第一中学期中数学试题)数列{}的通项公式为=,则数列{}的前项和=( )....[解析]由题意得,数列{}的通项公式为===(-),所以数列{}的前项和=[(-)+(-)+(-)+…+(-)]=(-)=,故选.[点拨]本题主要考查了数列的求和问题,其中解答中涉及到数列的通项公式及通项公式的裂项、数列的裂项求和等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解答中把数列的通项公式化简为===(-)是解答的关键,属于基础题..已知等差数列{}的前项和满足=,=,则数列{}的前项和为( ).-.-.-.-[解析]设等差数列{}的公差为,则=+,因为=,=,所以(\\(+=+=())),解得(\\(=()=())),所以=+,=,设数列{}的前项和为,则=+++…++,=+++…++,两式相减得=+(++…+)-=+(-)-,所以=-..(·河北省衡水中学高三月摸底联考(全国卷)数学试题)已知数列{}中,=,+=+(∈*), 为其前项和,则的值为( )....[解析]∵+=+⇒++=(+),∴{+}是首项为,公比为的等比数列,∴+=⇒=-,∴=-=+--,∴=-=,故选.二、填空题.(·江苏省苏州市高三上学期期中数学试题)已知等比数列{}的各项均为正数,且满足:=,则数列{}的前项之和为[解析]由已知结合等比数列的性质求得,再由对数的运算性质得答案.解:∵>,且=,∴==,=.。

2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练第五章数列天天练23含答案

2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练第五章数列天天练23含答案

天天练23数列求和一、选择题1.(2017·长沙二模)已知数列{a n}的通项公式是a n=(-1)n·(3n -2),则a1+a2+…+a10等于( )A.15 B.12 C.-12 D.-152.(2017·南昌三模)若数列{a n}的通项公式为a n=2n+1,令b n=错误!,则数列{b n}的前n项和为()A.错误!B。

错误!-错误!C。

错误!D。

错误!-错误!3.(2017·广东中山华侨中学3月模拟,4)已知等比数列{a n}中,a2·a8=4a5,等差数列{b n}中,b4+b6=a5,则数列{b n}的前9项和S9等于()A.9 B.18 C.36 D.724.已知数列{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以S n表示{a n}的前n项和,则使得S n取得最大值的n是() A.21 B.20 C.19 D.185.(2017·太原一模)各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2,S3n=14,则S4n=( )A.80 B.30 C.26 D.166.已知数列2 015,2 016,1,-2 015,-2 016,…,这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2 016项和S2 016等于()A.2 008 B.2 010 C.1 D.07.在等比数列{a n}中,若对n∈N*,都有a1+a2+…+a n=2n -1,则a错误!+a错误!+…+a错误!=( )A.(2n-1)2 B.错误!(2n-1)2C.4n-1 D。

13(4n-1)8.(2017·太原三模)已知等比数列{a n}的各项均为不等于1的正数,数列{b n}满足b n=lg a n,b3=18,b6=12,则数列{b n}的前n项和的最大值为()A.126 B.130 C.132 D.134二、填空题9.数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数列错误!的前10项和为________.10.(2016·北京卷)已知{a n}为等差数列,S n为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________。

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-4含解析

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-4含解析

课时规范训练A组基础演练1.若数列{a n}的通项公式为a n=2n+2n-1,则数列{a n}的前n项和S n为() A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2解析:选 C.S n=(2+22+23+…+2n)+(1+3+5+…+(2n-1))=2(1-2n) 1-2+n(1+2n-1)2=2n+1-2+n2.2.在数列{a n}中,a n+1-a n=2,S n为{a n}的前n项和.若S10=50,则数列{a n+a n+1}的前10项和为()A.100 B.110C.120 D.130解析:选C.{a n+a n+1}的前10项和为(a1+a2)+(a2+a3)+…+(a10+a11)=2(a1+a2+…+a10)+a11-a1=2S10+10×2=120.故选C.3.数列{a n}=1n(n+1),其前n项之和为910,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为() A.-10 B.-9 C.10 D.9 解析:选B.数列的前n项和为1 1×2+12×3+…+1n(n+1)=1-1n+1=nn+1=910,∴n=9,∴直线方程为10x+y+9=0.令x=0,得y=-9,∴直线在y轴上的截距为-9.4.等比数列{a n}中,a4=2,a7=5,则数列{lg a n}的前10项和等于()A.2 B.lg 50C.5 D.10解析:选C.由题意可知a4a7=a5a6=a3a8=a2a9=a1a10=10,即a1a2…a9a10=105,∴数列{lg a n}的前10项和等于lg a1+lg a2+…+lg a9+lg a10=lg a1a2…a10=lg 105=5.故选C.5.已知数列{a n }:12,13+23,14+24+34,…,110+210+310+…+910,…,若b n =1a n a n +1,那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.n n +1B.4n n +1C.3n n +1D.5n n +1 解析:选B.a n =1+2+3+…+n n +1=n 2, ∴b n =1a n a n +1=4n (n +1)=4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1, ∴S n =4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =4⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1n +1=4n n +1. 6.3·2-1+4·2-2+5·2-3+…+(n +2)·2-n =________.解析:设S =3×12+4×122+5×123+…+(n +2)×12n ,则12S =3×122+4×123+5×124+…+(n +2)×12n +1. 两式相减得12S =3×12+⎝ ⎛⎭⎪⎫122+123+…+12n -n +22n +1. ∴S =3+⎝ ⎛⎭⎪⎫12+122+…+12n -1-n +22n =3+12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -11-12-n +22n =4-n +42n .答案:4-n +42n7.对于数列{a n },定义数列{a n +1-a n }为数列{a n }的“差数列”,若a 1=2,{a n }的“差数列”的通项为2n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________.解析:∵a n +1-a n =2n ,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n -1+2n -2+…+22+2+2=2-2n1-2+2=2n -2+2=2n . ∴S n =2-2n +11-2=2n +1-2. 答案:2n +1-28.数列{a n }满足:a 1=43,且a n +1=4(n +1)a n 3a n +n (n ∈N *),则1a 1+2a 2+3a 3+…+2 019a 2 019=________.解析:由题意可知n +1a n +1=34+14·n a n ⇒n +1a n +1-1=14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n -1,又1a 1-1=-14,所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n -1是以-14为首项,14为公比的等比数列,所以n a n -1=-14n , 所以n a n =1-14n ,所以1a 1+2a 2+3a 3+…+n a n =n -14⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n 1-14=n -13+13·14n ,可知1a 1+2a 2+3a 3+…+2 019a 2 019=2 019-13+13×142 019=6 0563+13×42 019. 答案:6 0563+13×42 0199.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且S n =a n (a n +1)2(n ∈N *). (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)设b n =12S n,T n =b 1+b 2+…+b n ,求T n . 解:(1)证明:∵S n =a n (a n +1)2,n ∈N *, ∴当n =1时,a 1=S 1=a 1(a 1+1)2(a n >0),∴a 1=1. 当n ≥2时,由⎩⎨⎧2S n =a 2n +a n ,2S n -1=a 2n -1+a n -1得2a n =a 2n +a n -a 2n -1-a n -1. 即(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0,∵a n +a n -1>0,∴a n -a n -1=1(n ≥2).所以数列{a n }是以1为首项,以1为公差的等差数列.(2)由(1)可得a n =n ,S n =n (n +1)2, b n =12S n =1n (n +1)=1n -1n +1. ∴T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =1-12+12-13+…+1n -1n +1=1-1n +1=n n +1. 10.已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=6,S 5=15.(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a n 2a n,求数列{b n }的前n 项和T n . 解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,首项为a 1,∵S 3=6,S 5=15,∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1+12×3×(3-1)d =6,5a 1+12×5×(5-1)d =15,即⎩⎨⎧ a 1+d =2,a 1+2d =3, 解得⎩⎨⎧a 1=1,d =1.∴{a n }的通项公式为a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×1=n .(2)由(1)得b n =a n 2a n =n 2n , ∴T n =12+222+323+…+n -12n -1+n 2n ,① ①式两边同乘12,得 12T n =122+223+324+…+n -12n +n 2n +1,② ①-②得12T n =12+122+123+…+12n -n 2n +1=12⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n 1-12-n 2n +1=1-12n -n 2n +1, ∴T n =2-12n -1-n 2n . B 组 能力突破1.数列a 1+2,…,a k +2k ,…,a 10+20共有十项,且其和为240,则a 1+…+a k +…+a 10的值为( )A .31B .120C .130D .185解析:选 C.a 1+…+a k +…+a 10=240-(2+…+2k +…+20)=240-(2+20)×102=240-110=130. 2.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了( )A .192里B .96里C .48里D .24里解析:选B.由题意,知每天所走路程形成以a 1为首项,公比为12的等比数列,则a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1261-12=378,解得a 1=192,则a 2=96,即第二天走了96里.故选B.3.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S 16等于( )A .5B .6C .7D .16解析:选C.根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S 16=2×0+7=7.故选C.4.数列{a n }的通项为a n =(-1)n (2n +1)sin n π2+1,前n 项和为S n ,则S 100=________.解析:由a n =(-1)n (2n +1)sin n π2+1可得所有的偶数项为1,奇数项有以下规律:⎩⎨⎧ a 1=-2,a 5=-10,a 9=-18,…⎩⎨⎧ a 3=8,a 7=16,a 11=24,…所以a 1+a 5+…+a 97=25×(-2)+25×242×(-8)=-2 450, a 3+a 7+…+a 99=25×8+25×242×8=2 600,a 2+a 4+…+a 100=50×1=50所以S 100=-2 450+2 600+50=200.答案:2005.若A n 和B n 分别表示数列{a n }和{b n }的前n 项的和,对任意正整数n ,a n =2(n +1),3A n -B n =4n .(1)求数列{b n }的通项公式;(2)记c n =2A n +B n,求{c n }的前n 项和S n . 解:(1)由于a n =2(n +1),∴{a n }为等差数列,且a 1=4.∴A n =n (a 1+a n )2=n (4+2n +2)2=n 2+3n , ∴B n =3A n -4n =3(n 2+3n )-4n =3n 2+5n ,当n =1时,b 1=B 1=8,当n ≥2时,b n =B n -B n -1=3n 2+5n -[3(n -1)2+5(n -1)]=6n +2.由于b 1=8适合上式,∴b n =6n +2.(2)由(1)知c n =2A n +B n =24n 2+8n=14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2,∴S n =14⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫11-13+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-14+⎝ ⎛⎭⎪⎫13-15+⎝ ⎛⎭⎪⎫14-16 ⎦⎥⎤+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1-1n +1+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +2 =14⎝ ⎛⎭⎪⎫1+12-1n +1-1n +2 =38-14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n +1+1n +2.。

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-3含解析

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-3含解析

课时规范训练A 组 基础演练1.已知数列{a n },则“a n ,a n +1,a n +2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n +1=a n a n +2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A.显然,n ∈N *,a n ,a n +1,a n +2成等比数列,则a 2n +1=a n a n +2,反之,不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,….2.设{}a n 是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( ) A .2 B .-2 C.12D .-12解析:选D.因为等差数列{}a n 的前n 项和为S n =na 1+n (n -1)2d ,所以S 1,S 2,S 4分别为a 1,2a 1-1,4a 1-6.因为S 1,S 2,S 4成等比数列,所以(2a 1-1)2=a 1·(4a 1-6).解得a 1=-12. 3.在等比数列{a n }中,若a 4,a 8是方程x 2-3x +2=0的两根,则a 6的值是( ) A .±2 B .- 2 C. 2D .±2解析:选C.因为a 4,a 8是方程的两根,则⎩⎨⎧a 4+a 8=3>0a 4a 8=2>0,∴a 4>0,a 8>0,又a 26=a 4a 8=2,∴a 6= 2.4.已知等比数列{a n }的公比q =2,且2a 4,a 6,48成等差数列,则{a n }的前8项和为( ) A .127 B .255 C .511D .1 023解析:选B.∵2a 6=2a 4+48,即a 6=a 4+24 ∴25a 1=23a 1+24,从而a 1=1.于是S 8=1×(1-28)1-2=28-1=255.5.设数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 为其前n 项和,已知a 2a 4=1,S 3=7,则S 5=( ) A.152 B.314 C.334D.172解析:选B.设此数列的公比为q (q >0), 由已知a 2a 4=1,得a 23=1,∴a 3=1,由S 3=7,知a 3+a 3q +a 3q 2=7,即6q 2-q -1=0,解得q =12,从而a 1=4, 所以S 5=4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1251-12=314. 6.等比数列{a n }中,S n 表示前n 项和,a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1,则公比q 为________.解析:由a 3=2S 2+1,a 4=2S 3+1得a 4-a 3=2(S 3-S 2)=2a 3,∴a 4=3a 3,∴q =a 4a 3=3.答案:37.设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n +2成等差数列,则q 的值为________.解析:由已知条件得2S n =S n +1+S n +2, 即2S n =2S n +2a n +1+a n +2,即a n +2a n +1=q =-2.答案:-28.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比不为1.若a 1=1,则对任意的n ∈N *,都有a n +2+a n +1-2a n =0,则S 5=________.解析:由题意知a 3+a 2-2a 1=0,设公比为q ,则a 1(q 2+q -2)=0. 由q 2+q -2=0解得q =-2或q =1(舍去), ∴S 5=a 1(1-q 5)1-q=1-(-2)53=11.答案:119.设数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)求a 1+a 3+…+a 2n +1. 解:(1)∵S 1=a 1=1,且数列{S n }是以2为公比的等比数列, ∴S n =2n -1,又当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -2(2-1)=2n -2. 当n =1时,a 1=1,不适合上式. ∴a n =⎩⎨⎧1,n =1,2n -2,n ≥2.(2)a 3,a 5,…,a 2n +1是以2为首项,4为公比的等比数列, ∴a 3+a 5+…+a 2n +1=2(1-4n )1-4=2(4n -1)3.∴a 1+a 3+a 5+…+a 2n +1=2(4n -1)3+1=22n +1+13.10.已知成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5. (1)求数列{b n }的通项公式;(2)数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是等比数列.解:(1)设成等差数列的三个正数分别为a -d ,a ,a +d . 依题意,得a -d +a +a +d =15,解得a =5. 所以{b n }中的b 3,b 4,b 5依次为7-d,10,18+d . 依题意,有(7-d )(18+d )=100, 解得d =2或d =-13(舍去), ∴b 3=5,公比q =2,因此b 1=54, 故b n =54·2n -1=5·2n -3.(2)证明:由(1)知b 1=54,公比q =2,∴S n =54(1-2n )1-2=5·2n -2-54,则S n +54=5·2n -2,因此S 1+54=52,S n +54S n -1+54=5·2n -25·2n -3=2(n ≥2).∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n +54是以52为首项,公比为2的等比数列.B 组 能力突破1.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和,若存在m ∈N *,满足S 2m S m =9,a 2m a m=5m +1m -1,则数列{a n }的公比为( ) A .-2 B .2 C .-3D .3解析:选B.设公比为q ,若q =1,则S 2mS m=2, 与题中条件矛盾,故q ≠1.∵S 2m S m=a 1(1-q 2m )1-q a 1(1-q m )1-q=q m +1=9,∴q m=8. ∴a 2m a m=a 1q 2m -1a 1q m -1=q m=8=5m +1m -1,∴m =3,∴q 3=8,∴q =2.2.等比数列{a n }中,|a 1|=1,a 5=-8a 2.a 5>a 2,则a n 等于( ) A .(-2)n -1 B .-(-2)n -1 C .(-2)nD .-(-2)n解析:选A.∵|a 1|=1,∴a 1=1或a 1=-1. ∵a 5=-8a 2=a 2·q 3,∴q 3=-8,∴q =-2. 又a 5>a 2,即a 2q 3>a 2,∴a 2<0. 而a 2=a 1q =a 1·(-2)<0,∴a 1=1. 故a n =a 1·(-2)n -1=(-2)n -1.3.数列{a n }中,已知对任意n ∈N *,a 1+a 2+a 3+…+a n =3n -1,则a 21+a 22+a 33+…+a 2n 等于( ) A .(3n -1)2 B.12(9n -1) C .9n -1D.14(3n -1)解析:选B.∵a 1+a 2+…+a n =3n -1,n ∈N *, n ≥2时,a 1+a 2+…+a n -1=3n -1-1, ∴当n ≥2时,a n =3n -3n -1=2·3n -1, 又n =1时,a 1=2适合上式,∴a n =2·3n -1, 故数列{a 2n }是首项为4,公比为9的等比数列.因此a 21+a 22+…+a 2n=4(1-9n)1-9=12(9n-1). 4.已知等比数列{a n }满足a 1+a 2+a 3=-8,a 4+a 5+a 6=1,则a 11-q =__________.解析:∵a 4+a 5+a 6a 1+a 2+a 3=q 3=-18,∴q =-12,把q =-12代入a 1+a 2+a 3=-8, 解得a 1=-323,∴a 11-q =-649.答案:-6495.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2), ∴a n +1+2a n =3a n +6a n -1=3(a n +2a n -1)(n ≥2).又a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15,∴a n +2a n -1≠0(n ≥2), ∴a n +1+2a n a n +2a n -1=3(n ≥2), ∴数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得a n +1+2a n =15×3n -1=5×3n ,则a n +1=-2a n +5×3n ,∴a n +1-3n +1=-2(a n -3n ).又∵a1-3=2,∴a n-3n≠0,∴{a n-3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列.∴a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).。

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-2含解析

2018年大一轮数学(文)高考复习课时规范训练:《第五章 数列》5-2含解析

课时规范训练A 组 基础演练1.在等差数列{}a n 中,a 2=3,a 3+a 4=9,则a 1a 6的值为( )A .14B .18C .21D .27解析:选A.依题意得⎩⎨⎧ a 1+d =3,2a 1+5d =9,由此解得d =1,a 1=2,a 6=a 1+5d =7,a 1a 6=14.2.已知等差数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a 101=0,则有( )A .a 1+a 101>0B .a 2+a 100<0C .a 3+a 99=0D .a 51=51解析:选C.由题意,得a 1+a 2+a 3+…+a 101=a 1+a 1012×101=0.所以a 1+a 101=a 2+a 100=a 3+a 99=0.3.等差数列{a n }中,a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为() A .1 B .2C .3D .4解析:选B.法一:设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得⎩⎨⎧ 2a 1+4d =10,a 1+3d=7.解得⎩⎨⎧ a 1=1,d =2.∴d =2.法二:∵在等差数列{a n }中,a 1+a 5=2a 3=10,∴a 3=5.又a 4=7,∴公差d =7-5=2.4.记S n 为等差数列{a n }前n 项和,若S 33-S 22=1,则其公差d =() A.12 B .2C .3D .4解析:选B.由S 33-S 22=1,得a 1+a 2+a 33-a 1+a 22=1,即a 1+d -⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1+d 2=1,∴d =2. 5.已知等差数列{a n }中,a 2=6,a 5=15,若b n =a 2n ,则数列{b n }的前5项和等于( )A .30B .45C .90D .186解析:选C.因为⎩⎨⎧a 2=a 1+d =6a 5=a 1+4d =15, 所以a 1=3,d =3,b n =a 2n =a 1+(2n -1)d =6n ,S 5=5(b 1+b 5)2=5(6+6×5)2=90,因此选C 项. 6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 3+a 8=13,S 7=35,则a 7=________. 解析:设数列{a n }的公差为d ,则由已知得(a 1+2d )+(a 1+7d )=13 ①,S 7=7(a 1+a 1+6d )2=35 ②. 联立①②,解方程组得a 1=2,d =1,∴a 7=a 1+6d =8. 答案:87.若2,a ,b ,c,9成等差数列,则c -a =________.解析:由题意得该等差数列的公差d =9-25-1=74, 所以c -a =2d =72.答案:728.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =________时,{a n }的前n 项和最大.解析:根据题意知a 7+a 8+a 9=3a 8>0,即a 8>0.又a 8+a 9=a 7+a 10<0,∴a 9<0,∴当n =8时,{a n }的前n 项和最大.答案:89.已知等差数列{a n }中,a 2=8,前10项和S 10=185.求数列{a n }的通项公式a n .解:设数列{a n }的公差为d ,因为a 2=8,S 10=185,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1+d =810a 1+10×92d =185,解得⎩⎨⎧a 1=5d =3, 所以a n =5+(n -1)×3=3n +2,即a n =3n +2.10.已知数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且满足2S n =a 2n +n -4(n ∈N *).(1)求证:数列{a n }为等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:当n =1时,有2a 1=a 21+1-4,即a 21-2a 1-3=0,解得a 1=3(a 1=-1舍去).当n ≥2时,有2S n -1=a 2n -1+n -5,又2S n =a 2n +n -4,两式相减得2a n =a 2n -a 2n -1+1,即a 2n -2a n +1=a 2n -1,也即(a n -1)2=a 2n -1,因此a n -1=a n -1或a n -1=-a n -1.若a n -1=-a n -1,则a n +a n -1=1.而a 1=3,所以a 2=-2,这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾,所以a n -1=a n -1,即a n -a n -1=1,因此数列{a n }为首项为3,公差为1的等差数列.(2)由(1)知a 1=3,d =1,所以数列{a n }的通项公式为a n =3+(n -1)×1=n +2,即a n =n +2.B 组 能力突破1.在等差数列{a n }中,a 1>0,a 10·a 11<0,若此数列的前10项和S 10=36,前18项和S 18=12,则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A .24B .48C .60D .84解析:选C.由a 1>0,a 10·a 11<0可知d <0,a 10>0,a 11<0, ∴T 18=a 1+…+a 10-a 11-…-a 18=S 10-(S 18-S 10)=60,故选C.2.已知数列{a n },若点(n ,a n )(n ∈N *)在直线y -2=k (x -5)上,则数列{a n }的前9项和S 9等于( )A .18B .20C .22D .24解析:选A.∵点(n ,a n )在直线y -2=k (x -5)上,∴a n -2=k (n -5),∴a n =kn -5k +2,∴a n +1-a n =[k (n +1)-5k +2]-(kn -5k +2)=k ,∴{a n }是等差数列.当n =5时,a 5=2,∴S 9=9(a 1+a 9)2=9×2a 52=18. 3.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2-S n =36,则n =( )A .5B .6C .7D .8解析:选D.法一:S n =na 1+n (n -1)2d =n +n (n -1)=n 2,则S n +2=(n +2)2,由S n+2-S n =36,得(n +2)2-n 2=4n +4=36,所以n =8.法二:S n +2-S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8,所以选D.4.设等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,若对任意正整数n 都有S n T n=2n -34n -3,则a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4的值为________. 解析:因为{a n },{b n }为等差数列,所以a 9b 5+b 7+a 3b 8+b 4=a 92b 6+a 32b 6=a 9+a 32b 6=a 6b 6.因为S 11T 11=a 1+a 11b 1+b 11=2a 62b 6=2×11-34×11-3=1941, 所以a 6b 6=1941. 答案:19415.在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(1)求d ,a n ;(2)若d <0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |.解:(1)由题意得,a 1·5a 3=(2a 2+2)2,由a 1=10,{a n }为公差为d 的等差数列得,d 2-3d -4=0,解得d =-1或d =4.所以a n =-n +11(n ∈N *)或a n =4n +6(n ∈N *).(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0,由(1)得d =-1,a n =-n +11,所以当n ≤11时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=S n =a 1+a 2+…+a n =-12n 2+212n ;当n ≥12时,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a 11-(a 12+a 13+…+a n )=2(a 1+a 2+…+a 11)-(a 1+a 2+…+a 11+a 12+a 13+…+a n )=-S n +2S 11=12n 2-212n +110.综上所述,|a 1|+|a 2|+|a 3|+…+|a n |=⎩⎪⎨⎪⎧ -12n 2+212n ,n ≤11,12n 2-212n +110,n ≥12.。

【精品】2018届高三数学(文)教师用书:第五章-数列(含答案)

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第五章⎪⎪⎪数 列第一节数列的概念与简单表示法1.数列的有关概念n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n≥2.4.数列的分类[小题体验]1.已知数列{a n }的前4项为1,3,7,15,则数列{a n }的一个通项公式为________. 答案:a n =2n-1(n ∈N *)2.已知数列{a n }中,a 1=1,a n +1=a n2a n +3,则a 5等于________.答案:11613.(教材习题改编)已知函数f(x)=x -1x ,设a n =f(n)(n ∈N *),则{a n }是________数列(填“递增”或“递减”).答案:递增1.数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关.2.易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号.3.在利用数列的前n 项和求通项时,往往容易忽略先求出a 1,而是直接把数列的通项公式写成a n=S n -S n -1的形式,但它只适用于n≥2的情形.[小题纠偏]1.已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n =n 2+1,则数列{a n }的通项公式是________.答案:a n =⎩⎪⎨⎪⎧2,n =1,2n -1,n≥22.数列{a n }的通项公式为a n =-n 2+9n ,则该数列第________项最大. 答案:4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点——自主练透 [题组练透]1.已知n ∈N *,给出4个表达式:①a n =⎩⎪⎨⎪⎧0,n 为奇数,1,n 为偶数,②a n =1+-n2,③a n =1+cos nπ2,④a n =⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin nπ2.其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是( )A .①②③B .①②④C .②③④D .①③④解析:选A 检验知①②③都是所给数列的通项公式. 2.根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2)(易错题)-11×2,12×3,-13×4,14×5,…; (3)a ,b ,a ,b ,a ,b ,…(其中a ,b 为实数); (4)9,99,999,9 999,….解:(1)各数都是偶数,且最小为4,所以它的一个通项公式a n =2(n +1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n =(-1)n×1+,n ∈N *.(3)这是一个摆动数列,奇数项是a ,偶数项是b ,所以此数列的一个通项公式a n =⎩⎪⎨⎪⎧a ,n 为奇数,b ,n 为偶数.(4)这个数列的前4项可以写成10-1,100-1,1 000-1,10 000-1,所以它的一个通项公式a n =10n-1,n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征,并对此进行归纳、联想,具体如下:①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等.(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n +1来调整.如“题组练透”第2(2)题.考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n 重点保分型考点——师生共研已知下面数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式. (1)S n =2n 2-3n ; (2)S n =3n +b .解:(1)a 1=S 1=2-3=-1,当n≥2时,a n =S n -S n -1=(2n 2-3n)-[2(n -1)2-3(n -1)]=4n -5, 由于a 1也适合此等式,∴a n =4n -5. (2)a 1=S 1=3+b ,当n≥2时,a n =S n -S n -1=(3n+b)-(3n -1+b)=2·3n -1.当b =-1时,a 1适合此等式. 当b≠-1时,a 1不适合此等式. ∴当b =-1时,a n =2·3n -1;当b≠-1时,a n =⎩⎪⎨⎪⎧3+b ,n =1,2·3n -1,n≥2.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1=S 1求出a 1;(2)用n -1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n =S n -S n -1(n≥2)便可求出当n≥2时a n 的表达式;(3)对n =1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分n =1与n≥2两段来写.[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n =(-1)n +1·n,求a 5+a 6及a n ;(2)若S n =3n+2n +1,求a n .解:(1)a 5+a 6=S 6-S 4=(-6)-(-4)=-2, 当n =1时,a 1=S 1=1; 当n≥2时, a n =S n -S n -1=(-1)n +1·n-(-1)n·(n-1)=(-1)n +1·[n+(n -1)] =(-1)n +1·(2n-1),又a 1也适合此式, 所以a n =(-1)n +1·(2n-1).(2)因为当n =1时,a 1=S 1=6;a n =S n -S n -1=(3n+2n +1)-[3n -1+2(n -1)+1]=2·3n -1+2,由于a 1不适合此式,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧6,n =1,2·3n -1+2,n≥2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式题点多变型考点——多角探明 [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接.常见的命题角度有:(1)形如a n +1=a n f(n),求a n ; (2)形如a n +1=a n +f(n),求a n ;(3)形如a n +1=Aa n +B(A≠0且A≠1),求a n . [题点全练]角度一:形如a n +1=a n f(n),求a n1.在数列{a n }中,a 1=1,a n =n -1n a n -1(n≥2),求数列{a n }的通项公式.解:∵a n =n -1na n -1(n≥2),∴a n -1=n -2n -1a n -2,a n -2=n -3n -2a n -3,…,a 2=12a 1.以上(n -1)个式子相乘得 a n =a 1·12·23·…·n -1n =a 1n =1n.当n =1时,a 1=1,上式也成立.∴a n =1n (n ∈N *).角度二:形如a n +1=a n +f(n),求a n2.设数列{a n }满足a 1=1,且a n +1-a n =n +1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式. 解:由题意有a 2-a 1=2,a 3-a 2=3,…,a n -a n -1=n(n≥2). 以上各式相加,得a n -a 1=2+3+…+n =-+2=n 2+n -22.又∵a 1=1,∴a n =n 2+n2(n≥2).∵当n =1时也满足此式,∴a n =n 2+n 2(n ∈N *).角度三:形如a n +1=Aa n +B(A≠0且A≠1),求a n3.已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=3a n +2,求数列{a n }的通项公式. 解:∵a n +1=3a n +2,∴a n +1+1=3(a n +1), ∴a n +1+1a n +1=3,∴数列{a n +1}为等比数列,公比q =3, 又a 1+1=2,∴a n +1=2·3n -1,∴a n =2·3n -1-1(n ∈N *).[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件,求数列{a n }的通项公式. (1)a 1=1,a n +1=a n +2n; (2)a 1=12,a n =n -1n +1a n -1(n≥2).解:(1)由题意知a n +1-a n =2n,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1 =2n -1+2n -2+…+2+1=1-2n1-2=2n-1.(2)因为a n =n -1n +1a n -1(n≥2),所以当n≥2时,a n a n -1=n -1n +1,所以a n a n -1=n -1n +1,a n -1a n -2=n -2n ,…,a 3a 2=24,a 2a 1=13, 以上n -1个式子相乘得a n a n -1·a n -1a n -2·…·a 3a 2·a 2a 1=n -1n +1·n -2n ·…·24·13,即a n a 1=1n +1×1n×2×1,所以a n =1+.当n =1时,a 1=11×2=12,也与已知a 1=12相符,所以数列{a n }的通项公式为a n =1+.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式a n =( )A .n 2n +1B .n 2n -1C .n 2n -3D .n 2n +3解析:选B 由已知得,数列可写成11,23,35,…,故通项为n2n -1.2.已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2-2n +2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -3B .a n =2n +3C .a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n -3,n≥2D .a n =⎩⎪⎨⎪⎧1,n =1,2n +3,n≥2解析:选C 当n =1时,a 1=S 1=1,当n≥2时,a n =S n -S n -1=2n -3,由于n =1时a 1的值不适合n≥2的解析式,故通项公式为选项C .3.若a 1=12,a n =4a n -1+1(n≥2),当a n >100时,n 的最小值为( )A .3B .4C .5D .6解析:选C 由a 1=12,a n =4a n -1+1(n≥2)得,a 2=4a 1+1=4×12+1=3,a 3=4a 2+1=4×3+1=13,a 4=4a 3+1=4×13+1=53,a 5=4a 4+1=4×53+1=213>100.4.(2016·肇庆三模)已知数列{a n }满足a 1=1,a n -a n -1=n(n≥2),则数列{a n }的通项公式a n =________.解析:由a n -a n -1=n 得a 2-a 1=2, a 3-a 2=3,a 4-a 3=4,…,a n -a n -1=n , 上面(n -1)个式子相加得a n =1+2+3+…+n =12n(n +1).又n =1时也满足此式, 所以a n =12n(n +1).答案:12n(n +1)5.(2017·南昌模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n +S n -1=2n -1(n≥2),且S 2=3,则a 1+a 3的值为________.解析:∵S n +S n -1=2n -1(n≥2),令n =2, 得S 2+S 1=3,由S 2=3得a 1=S 1=0, 令n =3,得S 3+S 2=5,所以S 3=2,则a 3=S 3-S 2=-1,所以a 1+a 3=0+(-1)=-1. 答案:-1二保高考,全练题型做到高考达标1.数列0,1,0,-1,0,1,0,-1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A .-n+12B .cos nπ2C .cos n +12πD .cos n +22π解析:选D 令n =1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确.2.(2017·福建福州八中质检)已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=a 2n -2a n +1(n ∈N *),则a 2 017=( ) A .1 B .0 C .2 017D .-2 017解析:选A ∵a 1=1,∴a 2=(a 1-1)2=0,a 3=(a 2-1)2=1,a 4=(a 3-1)2=0,…,可知数列{a n }是以2为周期的数列,∴a 2 017=a 1=1.3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =2(a n -1),则a n =( ) A .2n B .2n -1 C .2nD .2n-1解析:选C 当n =1时,a 1=S 1=2(a 1-1),可得a 1=2,当n≥2时,a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1,∴a n =2a n -1,∴数列{a n }为等比数列,公比为2,首项为2,所以a n =2n.4.设曲线f(x)=xn +1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,则x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017=( )A .2 0162 017B .12 017C .2 0172 018D .12 018解析:选D 由f(x)=x n +1得f′(x)=(n +1)x n,切线方程为y -1=(n +1)(x -1),令y =0得x n=n n +1,故x 1·x 2·x 3·x 4·…·x 2 017=12×23×…×2 0172 018=12 018. 5.(2017·衡水中学检测)若数列{a n }满足:a 1=19,a n +1=a n -3(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和数值最大时,n 的值为( )A .6B .7C .8D .9解析:选B ∵a 1=19,a n +1-a n =-3,∴数列{a n }是以19为首项,-3为公差的等差数列, ∴a n =19+(n -1)×(-3)=22-3n . 设{a n }的前k 项和数值最大,则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0,a k +1≤0k ∈N *,∴⎩⎪⎨⎪⎧22-3k≥0,22-+,∴193≤k≤223, ∵k ∈N *,∴k =7.∴满足条件的n 的值为7.6.在数列-1,0,19,18,…,n -2n 2,…中,0.08是它的第____________项.解析:令n -2n 2=0.08,得2n 2-25n +50=0,即(2n -5)(n -10)=0. 解得n =10或n =52(舍去).答案:107.已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a 2n -1-1(n>1),则a 2 017=________,|a n +a n +1|=________(n>1). 解析:由a 1=1,a n =a 2n -1-1(n>1),得 a 2=a 21-1=12-1=0,a 3=a 22-1=02-1=-1, a 4=a 23-1=(-1)2-1=0,a 5=a 24-1=02-1=-1, 由此可猜想当n>1,n 为奇数时a n =-1,n 为偶数时a n =0, ∴a 2 017=-1,|a n +a n +1|=1. 答案:-1 18.在一个数列中,如果∀n ∈N *,都有a n a n +1a n +2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积.已知数列{a n }是等积数列,且a 1=1,a 2=2,公积为8,则a 1+a 2+a 3+…+a 12=________.解析:依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1=1,a 2=2,a 3=4,因此a 1+a 2+a 3+…+a 12=4(a 1+a 2+a 3)=4×(1+2+4)=28.答案:289.已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和,且满足S n =12a 2n +12a n (n ∈N *).(1)求a 1,a 2,a 3,a 4的值; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)由S n =12a 2n +12a n (n ∈N *),可得a 1=12a 21+12a 1,解得a 1=1;S 2=a 1+a 2=12a 22+12a 2,解得a 2=2;同理,a 3=3,a 4=4. (2)S n =12a 2n +12a n ,①当n≥2时,S n -1=12a 2n -1+12a n -1,②①-②得(a n -a n -1-1)(a n +a n -1)=0. 由于a n +a n -1≠0, 所以a n -a n -1=1, 又由(1)知a 1=1,故数列{a n }是首项为1,公差为1的等差数列,故a n =n . 10.已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +4.(1)若k =-5,则数列中有多少项是负数?n 为何值时,a n 有最小值?并求出最小值; (2)对于n ∈N *,都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围. 解:(1)由n 2-5n +4<0, 解得1<n<4.因为n ∈N *,所以n =2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3.因为a n =n 2-5n +4=⎝ ⎛⎭⎪⎫n -522-94,由二次函数性质,得当n =2或n =3时,a n 有最小值,其最小值为a 2=a 3=-2.(2)由a n +1>a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,即得k>-3.所以实数k 的取值范围为(-3,+∞). 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.已知数列{a n }的通项公式为a n =(-1)n·2n+1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析:由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1+2+3+…+9+3=9×102+3=48项,而a 48=(-1)48×96+1=97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案:972.(2017·甘肃诊断性考试)已知数列{a n }满足a 1=8999,a n +1=10a n +1.(1)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +19是等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)数列{b n }满足b n =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +19,T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n +1的前n 项和,求证:T n <12. 证明:(1)由a n +1=10a n +1,得a n +1+19=10a n +109=10⎝⎛⎭⎪⎫a n +19,即a n +1+19a n +19=10.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +19是等比数列,其中首项为a 1+19=100,公比为10,所以a n +19=100×10n -1=10n +1,即a n =10n +1-19.(2)由(1)知b n =lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n +19=lg 10n +1=n +1,即1b n b n +1=1++=1n +1-1n +2. 所以T n =12-13+13-14+…+1n +1-1n +2=12-1n +2<12.第二节等差数列及其前n 项和1.等差数列的有关概念(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示.(2)等差中项:数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A =a +b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项.2.等差数列的有关公式(1)通项公式:a n =a 1+(n -1)d . (2)前n 项和公式:S n =na 1+-2d =1+a n2. 3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广:a n =a m +(n -m)d(n ,m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n(k ,l ,m ,n ∈N *),则a k +a l =a m +a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k,m ∈N *)是公差为md 的等差数列.[小题体验]1.在等差数列{a n }中,若a 3+a 4+a 5+a 6+a 7=25,则a 2+a 8=________. 答案:102.(教材习题改编)已知等差数列{a n },a 5=-20,a 20=-35,则a n =________ 答案:-15-n3.(教材习题改编)已知等差数列5,427,347,…,则前n 项和S n =________.答案:114(75n -5n 2)1.要注意概念中的“从第2项起”.如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列.2.求等差数列的前n 项和S n 的最值时,需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件.[小题纠偏]1.首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是( ) A .(-3,+∞)B .⎝⎛⎭⎪⎫-∞,-83C .⎝ ⎛⎭⎪⎫-3,-83D .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-3,-83答案:D2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=2,S 3=12,则a 6等于________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,则S 3=3a 1+3d ,所以12=3×2+3d ,解得d =2,所以a 6=a 1+5d =2+5×2=12.答案:12考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1.(2016·郑州二检)已知{a n }为等差数列,公差为1,且a 5是a 3与a 11的等比中项,S n 是{a n }的前n 项和,则S 12的值为______.解析:由题意得,a 25=a 3a 11,即(a 1+4)2=(a 1+2)(a 1+10),a 1=-1,∴S 12=12×(-1)+12×112×1=54.答案:542.(2017·西安质检)公差不为零的等差数列{a n }中,a 7=2a 5,则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 7=2a 5,∴a 1+6d =2(a 1+4d),则a 1=-2d ,∴a n =a 1+(n -1)d =(n -3)d ,而4a 5=4(a 1+4d)=4(-2d +4d)=8d =a 11,故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等.答案:113.(2016·江苏高考)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3,S 5=10,则a 9的值是________.解析:设等差数列{a n }的公差为d ,由S 5=10,知S 5=5a 1+5×42d =10,得a 1+2d =2,即a 1=2-2d .所以a 2=a 1+d =2-d ,代入a 1+a 22=-3,化简得d 2-6d +9=0,所以d =3,a 1=-4.故a 9=a 1+8d =-4+24=20.答案:204.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 12=-8,S 9=-9,则S 16=________. 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1, 公差为d ,由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 12=a 1+11d =-8,S 9=9a 1+9×82d =-9,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3,d =-1.∴S 16=16×3+16×152×(-1)=-72.答案:-72 [谨记通法]等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a 1,d ,n ,a n ,S n 五个量,可“知三求二”.解决这些问题一般设基本量a 1,d ,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想.(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n =1+a n2结合使用,体现整体代入的思想.考点二 等差数列的判断与证明重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n +2S n ·S n -1=0(n≥2),a 1=12.(1)求证:⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列;(2)求a n 的表达式.解:(1)证明:∵a n =S n -S n -1(n≥2), 又a n =-2S n ·S n -1,∴S n -1-S n =2S n ·S n -1,S n ≠0,n≥2. 因此1S n -1S n -1=2(n≥2).故由等差数列的定义知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1=1a 1=2为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知1S n =1S 1+(n -1)d =2+(n -1)×2=2n ,即S n =12n.由于当n≥2时,有a n =-2S n ·S n -1=-1-,又∵a 1=12,不适合上式.∴a n=⎩⎪⎨⎪⎧12,n =1,-1-,n≥2.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法[即时应用]已知数列{a n }满足a 1=1,a n =a n -12a n -1+1(n ∈N *,n≥2),数列{b n }满足关系式b n =1a n (n ∈N *).(1)求证:数列{b n }为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)证明:∵b n =1a n ,且a n =a n -12a n -1+1,∴b n +1=1a n +1=1a n 2a n +1=2+1a n,∴b n +1-b n =2+1a n -1a n =2.又b 1=1a 1=1,∴数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)由(1)知数列{b n }的通项公式为 b n =1+(n -1)×2=2n -1,又b n =1a n ,∴a n =1b n =12n -1.∴数列{a n }的通项公式为a n =12n -1.考点三 等差数列的性质及最值重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 11=22,则a 3+a 7+a 8=( ) A .18 B .12 C .9D .6 解析:选D 由题意得S 11=a 1+a 112=1+2=22,即a 1+5d =2,所以a 3+a 7+a 8=a 1+2d +a 1+6d +a 1+7d =3(a 1+5d)=6.2.(2017·合肥质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 8=1,S 16=0,当S n 取最大值时n 的值为( )A .7B .8C .9D .10解析:选B 法一:由⎩⎪⎨⎪⎧a 8=a 1+7d =1,S 16=16a 1+16×152d =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=15,d =-2,则S n =-n 2+16n =-(n -8)2+64,则当n =8时,S n 取得最大值.法二:因为{a n }是等差数列,所以S 16=8(a 1+a 16)=8(a 8+a 9)=0,则a 9=-a 8=-1,即数列{a n }的前8项是正数,从第9项开始是负数,所以(S n )max =S 8,选项B 正确.[由题悟法] 1.等差数列的性质(1)项的性质:在等差数列{a n }中,a m -a n =(m -n)d ⇔a m -a nm -n =d(m≠n),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差.(2)和的性质:在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n =n(a 1+a 2n )=…=n(a n +a n +1); ②S 2n -1=(2n -1)a n .2.求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法:利用等差数列前n 项和的函数表达式S n =an 2+bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.(2)邻项变号法:①当a 1>0,d<0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0,a m +1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ;②当a 1<0,d>0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0,a m +1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 6a 5=911,则S 11S 9=( )A .1B .-1C .2D .12解析:选AS 11S 9=1+a 112a 1+a 92=11a 69a 5=119×911=1.2.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知前6项和为36,最后6项的和为180,S n =324(n >6),则数列{a n }的项数为________.解:由题意知a 1+a 2+…+a 6=36,① a n +a n -1+a n -2+…+a n -5=180,②①+②得(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a 6+a n -5)=6(a 1+a n )=216,∴a 1+a n =36, 又S n =1+a n2=324,∴18n =324,∴n =18. 答案:183.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 10=16,S 100-S 90=24,则S 100=________.解析:依题意,S 10,S 20-S 10,S 30-S 20,…,S 100-S 90依次成等差数列,设该等差数列的公差为d .又S 10=16,S 100-S 90=24,因此S 100-S 90=24=16+(10-1)d =16+9d ,解得d =89,因此S 100=10S 10+10×92d =10×16+10×92×89=200.答案:200一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2017·桂林调研)等差数列{a n }中,a 4+a 8=10,a 10=6,则公差d =( ) A .14 B .12 C .2D .-12解析:选A 由a 4+a 8=2a 6=10,得a 6=5,所以4d =a 10-a 6=1,解得d =14,故选A .2.等差数列{a n }的前n 项之和为S n ,若a 5=6,则S 9为( )A .45B .54C .63D .27解析:选B 法一:∵S 9=1+a 92=9a 5=9×6=54.故选B . 法二:由a 5=6,得a 1+4d =6,∴S 9=9a 1+9×82d =9(a 1+4d)=9×6=54,故选B .3.(2017·陕西质量监测)已知数列{a n }满足a 1=15,且3a n +1=3a n -2.若a k ·a k +1<0,则正整数k =( )A .21B .22C .23D .24解析:选C 3a n +1=3a n -2⇒a n +1=a n -23⇒{a n }是等差数列,则a n =473-23n .∵a k +1·a k <0,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473-23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453-23k <0,∴452<k<472,又∵k ∈N *,∴k =23.4.(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列,S n 为其前n 项和.若a 1=6,a 3+a 5=0,则S 6=________. 解析:∵a 3+a 5=2a 4,∴a 4=0. ∵a 1=6,a 4=a 1+3d ,∴d =-2. ∴S 6=6a 1+-2d =6.答案:65.等差数列{a n }中,已知a 5>0,a 4+a 7<0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.解析:∵⎩⎪⎨⎪⎧a 4+a 7=a 5+a 6<0,a 5>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0,a 6<0,∴S n 的最大值为S 5. 答案:S 5二保高考,全练题型做到高考达标1.(2017·太原一模)在单调递增的等差数列{a n }中,若a 3=1,a 2a 4=34,则a 1=( )A .-1B .0C .14D .12解析:选B 由题知,a 2+a 4=2a 3=2, 又∵a 2a 4=34,数列{a n }单调递增,∴a 2=12,a 4=32.∴公差d =a 4-a 22=12.∴a 1=a 2-d =0.2.数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+3n(n ∈N *),若p -q =5,则a p -a q =( ) A .10B .15C .-5D .20解析:选D 当n≥2时,a n =S n -S n -1=2n 2+3n -[2(n -1)2+3(n -1)]=4n +1, 当n =1时,a 1=S 1=5,符合上式, ∴a n =4n +1,a p -a q =4(p -q)=20.3.(2017·河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 6=( )A .114B .32C .72D .1解析:选A 设{a n }的公差为d ,由题意得,S n =na 1+-2d =d 2n 2+⎝⎛⎭⎪⎫a 1-d 2n ,又{a n }和{S n}都是等差数列,且公差相同,∴⎩⎪⎨⎪⎧d = d2,a 1-d 2=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧d =12,a 1=14,a 6=a 1+5d =14+52=114.4.(2017·沈阳教学质量监测)设等差数列{a n }满足a 2=7,a 4=3,S n 是数列{a n }的前n 项和,则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( )A .9B .10C .11D .12解析:选A 由题可得{a n }的公差d =3-74-2=-2,a 1=9,所以a n =-2n +11,则{a n }是递减数列,且a 5>0>a 6,a 5+a 6=0,于是S 9=2a 52·9>0,S 10=a 5+a 62·10=0,S 11=2a 62·11<0,故选A .5.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”.已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( )A .b n =n -1B .b n =2n -1C .b n =n +1D .b n =2n +1解析:选B 设等差数列{b n }的公差为d(d≠0),S n S 2n =k ,因为b 1=1,则n +12n(n -1)d =k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n +12-,即2+(n -1)d =4k +2k(2n -1)d ,整理得(4k -1)dn +(2k -1)(2-d)=0. 因为对任意的正整数n 上式均成立, 所以(4k -1)d =0,(2k -1)(2-d)=0, 解得d =2,k =14.所以数列{b n }的通项公式为b n =2n -1.6.在等差数列{a n }中,公差d =12,前100项的和S 100=45,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=________.解析:因为S 100=1002(a 1+a 100)=45,所以a 1+a 100=910,a 1+a 99=a 1+a 100-d =25,则a 1+a 3+a 5+…+a 99=502(a 1+a 99)=502×25=10.答案:107.在等差数列{a n }中,a 1=7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n =8 时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________.解析:由题意,当且仅当n =8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d<0,a 8>0,a 9<0,即⎩⎪⎨⎪⎧d<0,7+7d>0,7+8d<0,解得-1<d<-78.答案:⎝⎛⎭⎪⎫-1,-78 8.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,则正整数m 的值为________. 解析:因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ,S m -1=-2,S m =0,S m +1=3,所以a m =S m -S m -1=2,a m +1=S m +1-S m =3,数列的公差d =1,a m +a m +1=S m +1-S m -1=5, 即2a 1+2m -1=5, 所以a 1=3-m . 由S m =(3-m)m +-2×1=0,解得正整数m 的值为5. 答案:59.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k =110. (1)求a 及k 的值;(2)设数列{b n }的通项b n =S nn ,证明:数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .解:(1)设该等差数列为{a n },则a 1=a ,a 2=4,a 3=3a , 由已知有a +3a =8,得a 1=a =2,公差d =4-2=2, 所以S k =ka 1+-2·d=2k +-2×2=k 2+k .由S k =110,得k 2+k -110=0,解得k =10或k =-11(舍去),故a =2,k =10. (2)证明:由(1)得S n =+2=n(n +1),则b n =S nn=n +1,故b n +1-b n =(n +2)-(n +1)=1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n =+n +2=+2.10.(2017·南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n =a 2n +2a n -3,且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,当n≥5时,a n >0.(1)求证:当n≥5时,{a n }成等差数列; (2)求{a n }的前n 项和S n .解:(1)证明:由4S n =a 2n +2a n -3,4S n +1=a 2n +1+2a n +1-3, 得4a n +1=a 2n +1-a 2n +2a n +1-2a n , 即(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0. 当n≥5时,a n >0,所以a n +1-a n =2, 所以当n≥5时,{a n }成等差数列.(2)由4a 1=a 21+2a 1-3,得a 1=3或a 1=-1, 又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列, 所以由(1)得a n +1+a n =0(n≤5),q =-1, 而a 5>0,所以a 1>0,从而a 1=3,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧-n -1,1≤n≤4,2n -7,n≥5,所以S n =⎩⎪⎨⎪⎧32[1--n ],1≤n≤4,n 2-6n +8,n≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.(2016·安庆二模)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列,S n 为其前n 项和,且a n =S 2n -1(n ∈N *).若不等式λa n ≤n +8n对任意n ∈N *恒成立,则实数λ的最大值为________.解析:a n =S 2n -1⇒a n =-1+a 2n -12=-n⇒a 2n =(2n -1)a n ⇒a n =2n -1,n∈N *.λa n ≤n +8n就是λ≤+-n⇒λ≤2n-8n +15,f(n)=2n -8n+15在n≥1时单调递增,其最小值为f(1)=9,所以λ≤9,故实数λ的最大值为9.答案:92.已知数列{a n }满足,a n +1+a n =4n -3(n ∈N *). (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值; (2)当a 1=2时,求数列{a n }的前n 项和S n . 解:(1)法一:∵数列{a n }是等差数列, ∴a n =a 1+(n -1)d ,a n +1=a 1+nd . 由a n +1+a n =4n -3,得(a 1+nd)+[a 1+(n -1)d]=4n -3, ∴2dn +(2a 1-d)=4n -3, 即2d =4,2a 1-d =-3, 解得d =2,a 1=-12.法二:在等差数列{a n }中,由a n +1+a n =4n -3, 得a n +2+a n +1=4(n +1)-3=4n +1, ∴2d =a n +2-a n =(a n +2+a n +1)-(a n +1+a n ) =4n +1-(4n -3)=4, ∴d =2.又∵a 1+a 2=2a 1+d =2a 1+2=4×1-3=1, ∴a 1=-12.(2)由题意,①当n 为奇数时, S n =a 1+a 2+a 3+…+a n=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a n -1+a n ) =2+4[2+4+…+(n -1)]-3×n -12=2n 2-3n +52.②当n 为偶数时,S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a n -1+a n ) =1+9+…+(4n -7) =2n 2-3n 2.第三节等比数列及其前n 项和1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n +1a n=q .(2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即:G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2=ab .2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1qn -1.(2)前n 项和公式:S n =⎩⎪⎨⎪⎧na 1,q =1,a 1-q n 1-q =a 1-a n q1-q ,q≠1.3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m ·qn -m(n ,m ∈N *).(2)若m +n =p +q =2k(m ,n ,p ,q ,k ∈N *), 则a m ·a n =a p ·a q =a 2k ;(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列;(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n +k ,a n +2k ,a n +3k ,…为等比数列,公比为q k.[小题体验]1.(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1,a 2,a 3,a 4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,….此数列是( )A .公比为q 的等比数列B .公比为q 2的等比数列 C .公比为q 3的等比数列 D .不一定是等比数列 答案:B2.等比数列{a n }中,a 3=12,a 4=18,则a 6=________.解析:法一:由a 3=12,a 4=18,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2=12,a 1q 3=18,解得a 1=163,q =32,∴a 6=a 1q 5=163×⎝ ⎛⎭⎪⎫325=812.法二:由等比数列性质知,a 23=a 2a 4, ∴a 2=a 23a 4=12218=8,又a 24=a 2a 6,∴a 6=a 24a 2=1828=812.答案:8123.(教材习题改编)在等比数列{a n }中,已知a 1=-1,a 4=64,则公比q =________,S 4=________. 答案:-4 511.特别注意q =1时,S n =na 1这一特殊情况.2.由a n +1=qa n ,q≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3.在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q =1与q≠1分类讨论,防止因忽略q =1这一特殊情形而导致解题失误.4.S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 未必成等比数列(例如:当公比q =-1且n 为偶数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n不成等比数列;当q≠-1或q =-1且n 为奇数时,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 成等比数列),但等式(S 2n -S n )2=S n ·(S 3n -S 2n )总成立.[小题纠偏]1.在等比数列{a n }中,a 3=2,a 7=8,则a 5等于( ) A .5B .±5C .4D .±4解析:选C a 25=a 3a 7=2×8=16,∴a 5=±4,又∵a 5=a 3q 2>0,∴a 5=4. 2.设数列{a n }是等比数列,前n 项和为S n ,若S 3=3a 3,则公比q =________. 答案:-12或1考点一 等比数列的基本运算重点保分型考点——师生共研 [典例引领]1.(2017·武汉调研)若等比数列{a n }的各项均为正数,a 1+2a 2=3,a 23=4a 2a 6,则a 4=( ) A .38 B .245C .316D .916解析:选C 由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2a 1q =3,1q 22=4a 1q·a 1q 5,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=32,q =12,所以a 4=a 1q 3=32×⎝ ⎛⎭⎪⎫123=316.2.(2015·全国卷Ⅰ)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n =________.解析:∵a 1=2,a n +1=2a n ,∴数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列. 又∵S n =126,∴-2n1-2=126,∴n =6.答案:6 [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想 等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论,当q =1时,{a n }的前n 项和S n =na 1;当q≠1时,{a n }的前n 项和S n =a 1-qn1-q=a 1-a n q1-q[即时应用]1.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 3=a 2+10a 1,a 5=9,则a 1=( ) A .13 B .-13C .19D .-19解析:选C 设等比数列{a n }的公比为q , ∵S 3=a 2+10a 1,a 5=9,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q +a 1q 2=a 1q +10a 1,a 1q 4=9,解得⎩⎪⎨⎪⎧q 2=9,a 1=19.2.(2017·洛阳统考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+8a 4=0,则S 4S 3=( )A .-53B .157C .56D .1514解析:选C 在等比数列{a n }中,因为a 1+8a 4=0,所以q =-12,所以S 4S 3=a 1-q 41-q a 1-q 31-q =1-⎝ ⎛⎭⎪⎫-1241-⎝ ⎛⎭⎪⎫-123=151698=56. 3.(2015·安徽高考)已知数列{}a n 是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{}a n 的前n 项和等于________.解析:设等比数列的公比为q ,则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1q 3=9,a 21·q 3=8,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,q =12.又{}a n 为递增数列,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2,∴S n =1-2n1-2=2n-1.答案:2n-1考点二 等比数列的判定与证明重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·全国丙卷)已知数列{a n }的前n 项和S n =1+λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式; (2)若S 5=3132,求λ.解:(1)证明:由题意得a 1=S 1=1+λa 1, 故λ≠1,a 1=11-λ,故a 1≠0. 由S n =1+λa n ,S n +1=1+λa n +1得a n +1=λa n +1-λa n , 即a n +1(λ-1)=λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n +1a n =λλ-1.因此{a n }是首项为11-λ,公比为λλ-1的等比数列,于是a n =11-λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-1n -1.(2)由(1)得S n =1-⎝⎛⎭⎪⎫λλ-1n .由S 5=3132得1-⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=3132,即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ-15=132. 解得λ=-1. [由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法,常用于证明;后两种方法常用于选择题、填空题中的判定.(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可. [即时应用]设数列{}a n 的前n 项和为S n ,n ∈N *.已知a 1=1,a 2=32,a 3=54,且当n≥2时,4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1.(1)求a 4的值;(2)证明:⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 为等比数列.解:(1)当n =2时,4S 4+5S 2=8S 3+S 1,即4⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+a 4+5⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32=8⎝ ⎛⎭⎪⎫1+32+54+1,解得a 4=78.(2)证明:由4S n +2+5S n =8S n +1+S n -1(n≥2), 得4S n +2-4S n +1+S n -S n -1=4S n +1-4S n (n≥2), 即4a n +2+a n =4a n +1(n≥2). ∵4a 3+a 1=4×54+1=6=4a 2,∴4a n +2+a n =4a n +1, ∴a n +2-12a n +1a n +1-12a n=4a n +2-2a n +14a n +1-2a n=4a n +1-a n -2a n +14a n +1-2a n=2a n +1-a nn +1-a n=12, ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n +1-12a n 是以a 2-12a 1=1为首项,12为公比的等比数列.考点三 等比数列的性质重点保分型考点——师生共研[典例引领]1.(2017·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6-a 27+a 8=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 2b 8b 11=( )A .1B .2C .4D .8解析:选D 由等差数列的性质,得a 6+a 8=2a 7.由a 6-a 27+a 8=0,可得a 7=2,所以b 7=a 7=2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11=b 2b 7b 12=b 37=23=8.2.若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 2=5,则S 8S 4=________.解析:设数列{a n }的公比为q , 由已知得S 4S 2=1+a 3+a 4a 1+a 2=5,即1+q 2=5, 所以q 2=4,S 8S 4=1+a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=1+q 4=1+16=17. 答案:17 [由题悟法]等比数列的性质可以分为3类1.等比数列{a n }的各项均为正数,且a 5a 6+a 4a 7=18,则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10=( ) A .5 B .9 C .log 345D .10解析:选D 由等比数列的性质知a 5a 6=a 4a 7,又a 5a 6+a 4a 7=18,所以a 5a 6=9,则原式=log 3(a 1a 2…a 10)=log 3(a 5a 6)5=10.2.(2017·长春调研)在正项等比数列{a n }中,已知a 1a 2a 3=4,a 4a 5a 6=12,a n -1a n a n +1=324,则n =________.解析:设数列{a n }的公比为q ,由a 1a 2a 3=4=a 31q 3与a 4a 5a 6=12=a 31q 12,可得q 9=3,a n -1a n a n +1=a 31q3n-3=324,因此q 3n -6=81=34=q 36,所以3n -6=36,即n =14.答案:14一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ) A .a 1,a 3,a 9成等比数列 B .a 2,a 3,a 6成等比数列 C .a 2,a 4,a 8成等比数列D .a 3,a 6,a 9成等比数列解析:选D 由等比数列的性质得,a 3·a 9=a 26≠0,因此a 3,a 6,a 9一定成等比数列,选D . 2.在正项等比数列{a n }中,a 1=1,前n 项和为S n ,且-a 3,a 2,a 4成等差数列,则S 7的值为( ) A .125B .126C .127D .128解析:选C 设{a n }的公比为q ,则2a 2=a 4-a 3,又a 1=1,∴2q =q 3-q 2,解得q =2或q =-1,∵a n >0,∴q>0,∴q =2,∴S 7=1-271-2=127.3.(2016·石家庄质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2a n -4(n ∈N *),则a n =( ) A .2n +1B .2nC .2n -1D .2n -2解析:选A 依题意,a n +1=S n +1-S n =2a n +1-4-(2a n -4),则a n +1=2a n ,令n =1,则S 1=2a 1-4,即a 1=4,∴数列{a n }是以4为首项,2为公比的等比数列,∴a n =4×2n -1=2n +1,故选A .4.在等比数列{a n }中,若a 1·a 5=16,a 4=8,则a 6=________. 解析:由题意得,a 2·a 4=a 1·a 5=16, ∴a 2=2,∴q 2=a 4a 2=4,∴a 6=a 4q 2=32.答案:325.在等比数列{a n }中,a n >0,a 5-a 1=15,a 4-a 2=6,则a 3=________. 解析:∵a 5-a 1=15,a 4-a 2=6.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 4-a 1=15,a 1q 3-a 1q =6(q≠1)两式相除得2+2-2-=156,即2q 2-5q +2=0,∴q =2或q =12,当q =2时,a 1=1;当q =12时,a 1=-16(舍去).∴a 3=1×22=4. 答案:4二保高考,全练题型做到高考达标1.已知数列{a n }为等比数列,若a 4+a 6=10,则a 7(a 1+2a 3)+a 3a 9的值为( ) A .10 B .20 C .100D .200解析:选C a 7(a 1+2a 3)+a 3a 9=a 7a 1+2a 7a 3+a 3a 9=a 24+2a 4a 6+a 26=(a 4+a 6)2=102=100. 2.设等比数列{a n }中,前n 项和为S n ,已知S 3=8,S 6=7,则a 7+a 8+a 9等于( )。

2018届高考数学(文)第一轮总复习全程训练第五章数列天天练20Word版含答案

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天天练20 数列的概念及等差数列一、选择题1.(2017·泉州二模)设数列{a n }满足a n +1=4a n +34(n ∈N *)且a 1=1,则a 17=( )A .13B .14C .15D .162.已知数列{a n }的通项公式是a n =3n -16,则数列{a n }的前n 项和S n 取得最小值时,n 的值为( )A .3B .4C .5D .63.数列{a n }满足a n +a n +1=12(n ∈N *),a 2=2,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21=( )A .5 B.72 C.92 D.132 4.(2017·安徽皖江名校联考,3)已知数列{a n }的首项为2,且数列{a n }满足a n +1=a n -1a n +1,数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2016为( )A .504B .588C .-588D .-5045.已知函数y =f (x ),x ∈R ,数列{a n }的通项公式是a n =f (n ),n ∈N *,那么“函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件6.已知数列{}a n 是等差数列,若a 3+a 11=24,a 4=3,则{}a n 的公差是( )A .1B .3C .5D .67.等差数列1+x,2x +2,5x +1,…的第四项等于( ) A .10 B .6 C. 8 D .128.已知数列{a n }为等差数列且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)的值为( )A. 3 B.±3C.-33D.- 3二、填空题9.(2017·福建厦门海沧实验中学等联考,14)若数列{a n}满足a1·a2·a3·…·a n=n2+3n+2,则数列{a n}的通项公式为__________.10.若2、a、b、c、9成等差数列,则c-a=________.11.(2017·江门一模)数列-1,1,-2,2,-3,3,…的一个通项公式为__________.三、解答题12.已知数列{a n}满足(a n+1-1)(a n-1)=3(a n-a n+1),a1=2,令b n=1a n-1.(1)证明:数列{b n}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.1.A 由a n +1=4a n +34,得a n +1-a n =34.通解 a 17=a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 17-a 16)=1+34×16=13.优解 数列{a n }是以1为首项,34为公差的等差数列,所以a 17=1+(17-1)×34=13.2.C 根据题意,得⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0,a n +1≥0,即⎩⎪⎨⎪⎧3n -16≤0,3(n +1)-16≥0.解得133≤n ≤163.∵n ∈N *,∴n =5,∴数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 5,故选C.3.B ∵a n +a n +1=12,a 2=2,∴a n =⎩⎨⎧-32,n 为奇数,2,n 为偶数.∴S 21=11×⎝ ⎛⎭⎪⎫-32+10×2=72.故选B.4.C ∵a 1=2,a n +1=a n -1a n +1,∴a 2=13,a 3=-12,a 4=-3,a 5=2,……,∴数列{a n }的周期为4,且a 1+a 2+a 3+a 4=-76,∵2016÷4=504,∴S 2016=504×⎝ ⎛⎭⎪⎫-76=-588,故选C.5.A 由题意,函数y =f (x ),x ∈R ,数列{a n }的通项公式是a n=f (n ),n ∈N *.若“函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增”,则“数列{a n }是递增数列”一定成立;若“数列{a n }是递增数列”,则“函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增”不一定成立,例如函数在[1,2]上先减后增,且在1处的函数值小.综上,“函数y =f (x )在[1,+∞)上单调递增”是“数列{a n }是递增数列”的充分不必要条件,故选A.6.B 设等差数列的公差为d ,∵a 3+a 11=24,a 4=3,∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1+12d =24,a 1+3d =3, 解得a 1=-6,d =3,故选B.7.C (1+x )+(5x +1)=2(2x +2),解得x =1,所以这个数列为2,4,6,8,…,选C.8.D 由等差数列的性质,得a 1+a 7+a 13=3a 7=4π,∴a 7=43π,∴tan(a 2+a 12)=tan(2a 7)=tan 8π3=tan 2π3=- 3.故选D.9.a n =⎩⎨⎧6,n =1n +2n ,n ≥2,n ∈N*解析:a 1·a 2·a 3·…·a n =(n +1)(n +2), 当n =1时,a 1=6; 当n ≥2时,⎩⎨⎧a 1·a 2·a 3·…·a n -1·a n =(n +1)(n +2),a 1·a 2·a 3·…·a n -1=n (n +1),故当n ≥2时,a n =n +2n , 所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧6,n =1,n +2n ,n ≥2,n ∈N *.10.72解析:设等差数列2,a ,b ,c,9的公差为d ,则9-2=4d ,所以d =74,c -a =2d =2×74=72.11.a n=⎩⎨⎧-n +12,n =2k -1,k ∈N *n2,n =2k ,k ∈N*解析:由数列的奇数项与偶数项的特点,得a n =⎩⎪⎨⎪⎧-n +12,n =2k -1,k ∈N *n 2,n =2k ,k ∈N*12.解析:(1)证明:(a n +1-1)(a n -1)=3[(a n -1)-(a n +1-1)],∴1a n +1-1-1a n -1=13,即b n +1-b n =13,∴{b n }是等差数列. (2)∵b 1=1,∴b n =13n +23, a n -1=3n +2,∴a n =n +5n +2.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)第一次模拟数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2},N={x },若M ∪N={0,1,2,3},则x 的值为( )A .3B .2C .1D .02.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为( )A .球B .圆柱C .圆台D .圆锥3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于3的概率为()A.B.C.D.4.某程序框图如图所示,若输入x的值为1,则输出y的值是()A.2 B.3 C.4 D.55.已知向量=(1,2),=(x,4),若∥,则实数x的值为()A.8 B.2 C.﹣2 D.﹣86.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.为了了解教师的教学情况,该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,207.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直8.不等式(x+1)(x﹣2)≤0的解集为()A.{x|﹣1≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2或x≤﹣1}D.{x|x>2或x <﹣1}9.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=10 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=1010.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A、B两点间的距离为()A.km B.km C.1.5km D.2km二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.11.计算:log21+log24=.12.已知1,x,9成等比数列,则实数x=.13.已知点(x,y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则z=x+y的最大值是.14.已知a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,则a的值为•15.如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,E、F分别是AB、CD的中点,现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C(如图2),则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为.三、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知,<θ<π.(1)求tanθ;(2)求的值.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了100位职员的早餐日平均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数;(2)已知该公司有1000名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元?18.已知等比数列{a n}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求a1及a n;(2)设b n=a n+n,求数列{b n}的前5项和S5.19.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)=6,f(1)=5(1)求函数f(x)解析式(2)求函数f(x)在x∈[﹣2,2]的最大值和最小值.20.已知圆C:x2+y2+2x﹣3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE 的面积最大.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2},N={x},若M∪N={0,1,2,3},则x的值为()A.3 B.2 C.1 D.0【考点】并集及其运算.【分析】根据M及M与N的并集,求出x的值,确定出N即可.【解答】解:∵集合M={0,1,2},N={x},且M∪N={0,1,2,3},∴x=3,故选:A.2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为()A.球B.圆柱C.圆台D.圆锥【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知该几何体为圆锥.【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆锥.故选D.3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于3的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】由题意,要使此数大于3,只要在区间(3,5]上取即可,利用区间长度的比求.【解答】解:要使此数大于3,只要在区间(3,5]上取即可,由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为;故选B.4.某程序框图如图所示,若输入x的值为1,则输出y的值是()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出正确的答案.【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;输入x=1,y=1﹣1+3=3,输出y的值为3.故选:B.5.已知向量=(1,2),=(x,4),若∥,则实数x的值为()A.8 B.2 C.﹣2 D.﹣8【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可.【解答】解:∵∥,∴4﹣2x=0,得x=2,故选:B6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.为了了解教师的教学情况,该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系即可等到结论.【解答】解:∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别,高二:,高三:45﹣15﹣10=20.故选:D7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,即可得出结论.【解答】解:∵正方体的对面平行,∴直线BD与A1C1异面,连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,∴直线BD与A1C1垂直,∴直线BD与A1C1异面且垂直,故选:D.8.不等式(x+1)(x﹣2)≤0的解集为()A.{x|﹣1≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2或x≤﹣1}D.{x|x>2或x <﹣1}【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根,即可写出不等式的解集.【解答】解:不等式(x+1)(x﹣2)≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2,所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}.故选:A.9.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=10 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=10【考点】圆的标准方程.【分析】求出圆心坐标和半径,因为圆的直径为线段PQ,所以圆心为P,Q的中点,应用中点坐标公式求出,半径为线段PQ长度的一半,求出线段PQ的长度,除2即可得到半径,再代入圆的标准方程即可.【解答】解:∵圆的直径为线段PQ,∴圆心坐标为(2,1)半径r===∴圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.故选:C.10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A、B两点间的距离为()A.km B.km C.1.5km D.2km【考点】解三角形的实际应用.【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值.【解答】解:根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC,∴AB===(km).故选:A.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.11.计算:log21+log24=2.【考点】对数的运算性质.【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可.【解答】解:log21+log24=0+log222=2.故答案为:2.12.已知1,x,9成等比数列,则实数x=±3.【考点】等比数列.【分析】由等比数列的性质得x2=9,由此能求出实数x.【解答】解:∵1,x,9成等比数列,∴x2=9,解得x=±3.故答案为:±3.13.已知点(x,y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则z=x+y的最大值是5.【考点】简单线性规划.【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可.【解答】解:由已知,目标函数变形为y=﹣x+z,当此直线经过图中点(3,2)时,在y轴的截距最大,使得z最大,所以z的最大值为3+2=5;故答案为:5.14.已知a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,则a的值为4•【考点】函数的零点.【分析】根据函数零点的定义,得f(a)=0,从而求出a的值.【解答】解:a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,∴f(a)=2﹣log2a=0,∴log2a=2,解得a=4.故答案为:4.15.如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,E、F分别是AB、CD的中点,现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C(如图2),则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°.【考点】直线与平面所成的角.【分析】由题意,AE⊥平面EFBC,∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角,即可得出结论.【解答】解:由题意,AE⊥平面EFBC,∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角,∵AE=EF,∴∠AFE=45°.故答案为45°.三、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知,<θ<π.(1)求tanθ;(2)求的值.【考点】三角函数的化简求值.【分析】(1)由,<θ<π结合同角平方关系可求cosθ,利用同角基本关系可求(2)结合(1)可知tanθ的值,故考虑把所求的式子化为含“切”的形式,从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ,然后把已知tanθ的值代入可求.【解答】解:(1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=.又<θ<π,∴cosθ=∴.(2)=.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了100位职员的早餐日平均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数;(2)已知该公司有1000名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元?【考点】频率分布直方图.【分析】(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1,求出a的值,频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数;(2)求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元.【解答】解:(1)据题意得:(0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05)×2=1,解得a=0.15,众数为:;(2)该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有:×2=200,18.已知等比数列{a n}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求a1及a n;(2)设b n=a n+n,求数列{b n}的前5项和S5.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质,解方程可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得b n=2n﹣1+n,再由数列的求和方法:分组求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:(1)由已知得a2=2a1,a3+1=4a1+1,a4=8a1,又a2,a3+1,a4成等差数列,可得:2(a3+1)=a2+a4,所以2(4a1+1)=2a1+8a1,解得a1=1,故a n=a1q n﹣1=2n﹣1;(2)因为b n=2n﹣1+n,所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=(1+2+...+16)+(1+2+ (5)=+=31+15=46.19.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)=6,f(1)=5(1)求函数f(x)解析式(2)求函数f(x)在x∈[﹣2,2]的最大值和最小值.【考点】二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值.【分析】(1)利用已知条件列出方程组求解即可.(2)利用二次函数的对称轴以及开口方向,通过二次函数的性质求解函数的最值即可.【解答】解:(1)∵;(2)∵f(x)=x2﹣2x+6=(x﹣1)2+5,x∈[﹣2,2],开口向上,对称轴为:x=1,∴x=1时,f(x)的最小值为5,x=﹣2时,f(x)的最大值为14.20.已知圆C:x2+y2+2x﹣3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE 的面积最大.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)把圆C的方程化为标准方程,写出圆心和半径;(2)设出直线l的方程,与圆C的方程组成方程组,消去y得关于x的一元二次方程,由根与系数的关系求出的值;(3)解法一:设出直线m的方程,由圆心C到直线m的距离,写出△CDE的面积,利用基本不等式求出最大值,从而求出对应直线方程;解法二:利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大,再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程.【解答】解:(1)圆C:x2+y2+2x﹣3=0,配方得(x+1)2+y2=4,则圆心C的坐标为(﹣1,0),圆的半径长为2;(2)设直线l的方程为y=kx,联立方程组,消去y得(1+k2)x2+2x﹣3=0,则有:;所以为定值;(3)解法一:设直线m的方程为y=kx+b,则圆心C到直线m的距离,所以,≤,当且仅当,即时,△CDE的面积最大,从而,解之得b=3或b=﹣1,故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.解法二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,所以≤2,当且仅当CD⊥CE时,△CDE的面积最大,此时;设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离,由,得,由,得b=3或b=﹣1,故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.2017年5月5日。

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课时作业33 等比数列一、选择题1.已知等比数列{a n }中,a 4=4,则a 2·a 6等于( ) A .4 B .8 C .16D .32解析:易知a 2·a 6=a 24=16. 答案:C2.在等比数列{a n }中,若a 4=2,a 5=5,则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A .6 B .5 C .4D .3解析:因为a 4=2,a 5=5,所以a 4·a 5=10,所以lg a 1+lg a 2+…+lg a 7+lg a 8=lg(a 1a 2·…·a 8)=lg(a 1a 8)4=lg(a 4a 5)4=4lg10=4.答案:C3.已知等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:设等比数列的公比为q .由a 1<a 4得a 1<a 1q 3,因为a 1>0,所以q 3>1,即q >1,故a 3<a 5成立;由a 3<a 5得a 1q 2<a 1q 4,因为a 1>0,所以q 2>1,即q <-1或q >1,所以“a 1<a 4”是“a 3<a 5”的充分不必要条件.答案:A4.已知正数组成的等比数列{a n },若a 1·a 20=100,那么a 7+a 14的最小值为( ) A .20 B .25 C .50D .不存在解析:(a 7+a 14)2=a 27+a 214+2a 7·a 14≥4a 7a 14=4a 1a 21=400,∴a 7+a 14≥20. 答案:A5.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n =a ·2n -1+16,则a 的值为( ) A .-13B.13 C .-12D.12解析:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=a ·2n -1-a ·2n -2=a ·2n -2,当n =1时,a 1=S 1=a +16,∴a +16=a 2,∴a =-13.答案:A6.(2017·太原一模)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =2,S 3n =14,则S 4n =( )A .80B .30C .26D .16解析:由等比数列的性质可知,S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n 仍为等比数列,故2,S 2n-2,14-S 2n 成等比数列,则有(S 2n -2)2=2(14-S 2n ),∴S 2n =6或S 2n =-4,由于{a n }的各项均为正数,故S 2n =6,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,S 4n -S 3n ,即2,4,8,16为等比数列,∴S 4n -S 3n =16,∴S 4n =30,故选B.答案:B 二、填空题7.(必修⑤P54习题2.4A 组第8题改编)在3与192中间插入两个数,使它们同这两个数成等比数列,则这两个数为________.解析:设该数列的公比为q ,由题意知, 192=3×q 3,q 3=64,所以q =4.所以插入的两个数分别为3×4=12,12×4=48. 答案:12,488.等比数列{a n }满足a n >0,n ∈N *,且a 3·a 2n -3=22n(n ≥2),则当n ≥1时,log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=________.解析:由等比数列的性质,得a 3·a 2n -3=a 2n =22n,从而得a n =2n,∴log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2n -1=log 2[(a 1a 2n -1)·(a 2a 2n -2)·…·(a n -1a n +1)a n ]=log 22n (2n -1)=n (2n -1)=2n 2-n .答案:2n 2-n9.在各项均为正数的等比数列{a n }中,已知a 2a 4=16,a 6=32,记b n =a n +a n +1,则数列{b n }的前5项和S 5为________.解析:设数列{a n }的公比为q ,由a 23=a 2a 4=16得,a 3=4,即a 1q 2=4,又a 6=a 1q 5=32,解得a 1=1,q =2,所以a n =a 1qn -1=2n -1,b n =a n +a n +1=2n -1+2n =3·2n -1,所以数列{b n }是首项为3,公比为2的等比数列,所以S 5=-251-2=93.答案:93 三、解答题10.(2016·新课标全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1,a 2n -(2a n +1-1)a n-2a n +1=0.(Ⅰ)求a 2,a 3; (Ⅱ)求{a n }的通项公式.解:(Ⅰ)由题意可得a 2=12,a 3=14.(Ⅱ)由a 2n -(2a n +1-1)a n -2a n +1=0得2a n +1(a n +1)=a n (a n +1).因为{a n }的各项都为正数,所以a n +1a n =12.故{a n }是首项为1,公比为12的等比数列,因此a n =12n -1. 11.(2016·天津卷)已知{a n }是等比数列,前n 项和为S n (n ∈N *),且1a 1-1a 2=2a 3,S 6=63.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)若对任意的n ∈N *,b n 是log 2a n 和log 2a n +1的等差中项,求数列{(-1)n b 2n }的前2n 项和.解:(Ⅰ)设数列{a n }的公比为q .由已知,有1a 1-1a 1q =2a 1q2,解得q =2,或q =-1.又由S 6=a 1·1-q 61-q =63,知q ≠-1,所以a 1·1-261-2=63,得a 1=1,所以a n =2n -1.(Ⅱ)由题意,得b n =12(log 2a n +log 2a n +1)=12(log 22n -1+log 22n)=n -12,即{b n }是首项为12,公差为1的等差数列. 设数列{(-1)n b 2n }的前n 项和为T n ,则T 2n =(-b 21+b 22)+(-b 23+b 24)+…+(-b 22n -1+b 22n )=b 1+b 2+b 3+b 4+…+b 2n -1+b 2n =2n b 1+b 2n2=2n 2.1.数列{a n }满足:a n +1=λa n -1(n ∈N *,λ∈R 且λ≠0),若数列{a n -1}是等比数列,则λ的值等于( )A .1B .-1 C.12D .2解析:由a n +1=λa n -1,得a n +1-1=λa n -2=λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n -2λ.由于数列{a n -1}是等比数列,所以2λ=1,得λ=2.答案:D2.(2017·福建模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1,前n 项积为T n ,且a 2a 4=a 3,则使得T n >1的n 的最小值为( )A .4B .5C .6D .7解析:∵{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4=a 3,∴a 23=a 3,∴a 3=1. 又∵q >1,∴a 1<a 2<1,a n >1(n >3),∴T n >T n -1(n ≥4,n ∈N *),T 1<1,T 2=a 1·a 2<1,T 3=a 1·a 2·a 3=a 1a 2=T 2<1,T 4=a 1a 2a 3a 4=a 1<1,T 5=a 1·a 2·a 3·a 4·a 5=a 53=1,T 6=T 5·a 6=a 6>1,故n 的最小值为6,故选C.答案:C3.设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,a n +a n +1=12n (n =1,2,3,…),则S 2n +3=________.解析:由题意,得S 2n +3=a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2n +2+a 2n +3)=1+14+116+…+14n +1=43⎝ ⎛⎭⎪⎫1-14n +2. 答案:43⎝⎛⎭⎪⎫1-14n +24.(2017·湖北武汉武昌调研)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n +12n =(-1)n a n (n ∈N *),则数列{S n }前9项和为________.解析:因为S n +12n =(-1)na n ,所以S n -1+12n -1=(-1)n -1a n -1(n ≥2).两式相减得S n -S n -1+12n -12n -1=(-1)na n -(-1)n -1a n -1,即a n -12n =(-1)n a n +(-1)na n -1(n ≥2),当n 为偶数时,a n -12n =a n +a n -1,即a n -1=-12n ,此时n -1为奇数,所以若n 为奇数, 则a n =-12n +1;当n 为奇数时,a n -12n =-a n -a n -1,即2a n -12n =-a n -1,所以a n -1=12n -1,此时n -1为偶数,所以若n 为偶数,则a n =12n .所以数列{a n }的通项公式为 a n=⎩⎪⎨⎪⎧-12n +1,n 为奇数,12n,n 为偶数.所以数列{S n }的前9项和为S 1+S 2+S 3+…+S 9=9a 1+8a 2+7a 3+6a 4+…+3a 7+2a 8+a 9=(9a 1+8a 2)+(7a 3+6a 4)+…+(3a 7+2a 8)+a 9=-122-124-126-128-1210=-122×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1451-14=-3411 024. 答案:-3411 0245.已知数列{a n }满足a 1=5,a 2=5,a n +1=a n +6a n -1(n ≥2). (1)求证:{a n +1+2a n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项公式;(3)设3nb n =n (3n-a n ),求|b 1|+|b 2|+…+|b n |.解:(1)证明:∵a n +1=a n +6a n -1(n ≥2).∴a n +1+2a n =3a n +6a n -1=3(a n +2a n -1)(n ≥2). ∵a 1=5,a 2=5,∴a 2+2a 1=15, ∴a n +2a n -1≠0(n ≥2), ∴a n +1+2a na n +2a n -1=3(n ≥2).∴数列{a n +1+2a n }是以15为首项,3为公比的等比数列. (2)由(1)得a n +1+2a n =15×3n -1=5×3n .则a n +1=-2a n +5×3n,∴a n +1-3n +1=-2(a n -3n).又∵a 1-3=2,∴a n -3n≠0.∴{a n -3n}是以2为首项,-2为公比的等比数列. ∴a n -3n=2×(-2)n -1,即a n =2×(-2)n -1+3n.(3)由(2)及3nb n =n (3n-a n )可得,3n b n =-n (a n -3n )=-n [2×(-2)n -1]=n (-2)n,∴b n =n ⎝ ⎛⎭⎪⎫-23n ,∴|b n |=n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.设T n =|b 1|+|b 2|+…+|b n |, 则T n =23+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232+…+n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n,①①×23,得23T n =⎝ ⎛⎭⎪⎫232+2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233+…+(n -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1,②①-②,得13T n =23+⎝ ⎛⎭⎪⎫232+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫23n -n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1=2-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1-n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1=2-(n +3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n +1∴T n =6-2(n +3)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n.。

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