全国高中数学竞赛二试模拟训练题(33)

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高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)

高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0，所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==，则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(31)

加试模拟训练题（31）1、设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B1、C1三点．证明：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．2.设实数x1，x2，…，x1997满足条件3、在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？加试模拟训练题（31）1、设△ABC是等边三角形，P是其内部一点，线段AP、BP、CP依次交三边BC、CA、AB于A1、B 1、C 1三点．证明：A 1B 1·B 1C 1·C 1A 1≥A 1B ·B 1C ·C 1A ．【题说】第三十七届(1996年)IMO 预选题．【证】由余弦定理A 1B 12＝A 1C 2＋B 1C 2－A 1C · B 1C≥2A 1C ·B 1C －A 1C ·B 1C＝A 1C ·B 1C同理，B 1C 12≥B 1A ·C 1A ，C 1A 12≥C 1B ·A 1B ．由塞瓦定理得A 1C A 1B ·B 1A B 1C ·C 1BC 1A＝1所以 A 1B 1·B 1C 1·C 1A 1 ≥A 1C ·B 1C ·B 1A ·C 1A ·C 1B ·A 1B＝A 1B ·B 1C ·C 1A ·A 1C A 1B ·B 1A B 1C ·C1B C 1A＝A 1B ·B 1C ·C 1A2.设实数x 1，x 2，…，x 1997满足条件【题说】1997年中国数学奥林匹克题1．即 3x－y＋a＝－954 (1′)x＋y＝1996 (2′)相加得 4x＋a＝1042．从而a＝1042－4x为整数且a≡2(mod 4)．因最大值189548．3、在黑板上写下从1到1988的所有自然数．对这些数依次反复施行运算A和B：先是A后是B，接着再是A，然后再是B，如此继续下去．运算A是从每个写在黑板上的数减去同一个自然数(对不同次的运算A，减数可以不相同)．运算B是抹去黑板上写着的两个数，然后写下它们的和数．运算A和B如此顺次施行，直至某次运算B后，黑板上只留下一个数，并且它是非负的，问这个数是多少？【题说】第十四届(1988年)全俄数学奥林匹克十年级题3．【解】施行运算A和B各一次后，黑板上的数就少了一个．所以运算A和B各施行1987次后，黑板上就留下一个数．设施行第k次运算A时，减数为自然数d k，k＝1，2，…，1987．经第k次的运算A后，写在黑板上的数的和少了(1989－k)d k；而经运算B后，这个和数是不变的．所以运算A和B各施行1987次后，黑板上写的数是x＝(1＋2＋…＋1988)－1988d1－1987d2－…－2d1987＝1988(1－d1)＋1987(1－d2)＋…＋(1989－k)(1－d k)＋…＋2(1－d1987)＋1显然(1989－k)(1－d k)≤0，并且若对某个k，有d k≥2，则(1989－k)(d k－1)≥2故 x≤(1989－k)(1－d k)＋1≤－1与题设矛盾．因此，对一切k＝1，2，…，1987，d k＝1．所以x＝1，即黑板上最后留下的数是1．。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(4).pdf

加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 2、设是满足的正实数，试证： 3、有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

加试模拟训练题（4） 1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK·KN＝PK·KQ，即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′)·(PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2 . ① 不难证明 AP=AM，从而有AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故 MC′2-PB′2=AB′2-AC′2=(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2. ② 由②即得①，命题得证. 2、设是满足的正实数，试证：证明：令由均值不等式可知：所以另证：令则而故 3、有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识．证明在这会中有四人，他们没一人认识四人中的其他人．【证】将十个人表示为十个点，视对应的人相识或不相识而用红或蓝线段连结每对点．已知所得的图中没有红色三角形，要证明图中有4个点，每两点之间的连线为蓝色．第一种情况：至少有4条红线由A点引出．设AB、AC、AD、AE为红线．由已知B、C、D、E中没有两点是用红线连结的，故B、C、D、E即为所求．第二种情况：至多有3条红线由A点引出．即A至少与6个点用蓝线相连，设为B、C、D、E、F、G．若B用红线连接C、D、E、F、G中3个点，不妨设为C、D、E，则A、C．D、E即为所求．若B至多与C、D、E、F、G中2点用红线相连，则B至少与其中3点用蓝线相连，不妨设BC、BD、BE为蓝线．C、D、E中至少一对用蓝线相连，例如CD是蓝线，则A、B、C、D即为所求． 4、试求不大于100，且使成立的自然数的和。

全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc

全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。

高中数学竞赛模拟试题含详解

高中数学竞赛模拟试题一、选择题：1.设a 、b 、c 为实数，0,024<++>+-c b a c b a ，则下列四个结论中正确的是（ D ）（A ）ac b ≤2（B ）ac b >2（C ）ac b >2且0>a （D ）ac b >2且0<a提示：若0=a ,则0≠b ,则02=>ac b .若0≠a ,则对于二次函数c bx ax x f +-=2)(,由0)1(,0)2(<->f f 可得结论.2.在△ABC 中，若a BC AB A ===∠,2,450，则2=a 是△ABC 只有一解的（ A ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分又不必要条件3.已知向量)1,sin 42cos 3(),1sin 22cos ,(-+-=-+=x x b x x m a ,定义函数b a x f ⋅=)(.若对任意的]2,0[π∈x ，不等式0)(>x f 恒成立，则m 的取值范围是（ A ）（A ）),81(+∞（B ）)81,0[（C ）)2,81(（D ）),2(+∞4.设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ D ）（A ）36arcsin （B ）33arccos 2+π（C ）2arctan2-π（D ）22cotarc -π5.把数列}12{+n 依次按一项、二项、三项、四项循环分为（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27，），（29，31，33），（35，37，39，41），…，在第100个括号内各数之和为（ A ）（A ）1992 （B ）1990 （C ）1873 （D ）18916.设n i n x i ,,2,1},,,2,1{ =∈，满足2)1(1+=∑=n n x ni i ，!21n x x x n =⋅⋅⋅ ，使1x ，2x ，…，n x 一定是n ,,2,1 的一个排列的最大数n 是（ C ）（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）9二、填空题：7. 若实数x 、y 满足条件122=-y x ，则x y x 212+的取值范围是___________________. 【答案】)2,2(-.提示:令ααtan ,sec ==y x .8. 对于给定的正整数4≥n ，等式423nm C C =成立，则所有的m 一定形如_____________.（用n 的组合数表示）【答案】21-=n C m (4≥n ).提示:由423n m C C =得222)13()12(+-=-n n m ,从而21-=n C m (4≥n ).9. 一个盒中有9个正品和3个废品，每次取一个产品，取出后不在放回，在取得正品前已取出的废品数ξ的数学期望ξE =_________________.【答案】3.0 提示: ξ取值为0,1,2,3，且有43)0(11219===C C P ξ，4492)1(2121913===C C C P ξ，22092)2(3121923===C C C P ξ，22012)3(4121933===C C C P ξ. 3.022013220924491430=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE . 10. 设点F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，抛物线C 以F 1为顶点、以F 2为焦点。

全国高中数学联赛模拟试题(三)

全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(30).pdf

加试模拟训练题（30） 1、设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CDDE＝EF＝FABCD＝EFA＝60G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝DHE∠120o 试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HECF． 2. 设求证 3、设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断． 4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数. 加试模拟训练题（30） 1、设ABCDEF是凸六边形，满足AB＝BC＝CDDE＝EF＝FABCD＝EFA＝60G和H是这六边形内部的两点，使得∠AGB＝DHE∠120o 试证：AG＋GB＋GH＋DH＋HECF．【题说】第三十六届(1995年)国际数学奥林匹克题 5．【证】连BD，AE．由于BC＝CDBCD＝60BD＝BC＝ABAE＝ED 连 BE，则 A、D关于 BE对称．设 G、H关于 BE的对称点分别为G'、H'．则△BG'D与△BGA关于BE对称，所以∠BG'D＝BGA＝120G'在正三角形BCD的外接圆上．熟知 CG'＝DG'＋G'B＝AG＋GB HF＝AH'＋H'E＝DH＋HE AG＋GB＋GH＋DH＋HE＝CG'＋G'H'＋H'FCF 2. 设求证证明设数列的通项公式为 . 则由得. 故 . 所以数列为单调递增数列,又 . 所以即 . 3、设有两个完全相同的齿轮A、B，B被平放在一个水平面上，A放在B上面并使两者完全重合(从而两者在水平面上的投影完全重合)，然后任意去掉四对重合的齿．如果两齿轮各有14个齿，试问：能否将齿轮A绕两齿轮的公共轴旋转一个适当的位置，使得两齿轮在水平面上的投影合为一个完整齿轮的投影？如果两齿轮各原有13个齿，又是怎样呢？请证明你的论断．【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题5．【解】将每个断齿赋值“0”，好齿赋值“1”．对A齿轮的每个位置，作两轮对应位置齿值的乘积之和，初始位置除外的13个位置总和为10×9＝90＜13×7，故必有一个位置的和≤6．此时必定任二断齿不相重合．当齿数为13时，将A、B重合时各对齿依顺时针记为0，1，…，12．锯掉0，1，5，11四对齿．0，1，5，11两两之差恰取遍1，2，…，12(mod 13)．故对A的任一位置总有两个断齿重合，始终得不到完整的投影． 4．求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数. （第26届IMO预选题）【解】根据题目要求，n是10个连续整数积的倍数，因而必然能被2，3，…，10整数.由于8=23，9=32，10=2×5，故其标准分解式中，至少含有23·32·5·7的因式，因此，若设则由而故最多还有一个为使n最小，自然宜取由 ,考虑144的可能分解，并比较相应n的大小，可知合乎要求的（最小）故所求的。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥nk n K k k k a 11213、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

加试模拟训练题（2）1、设(1,2,3,4)i x i =为正实数，满足11212312341,5,14,30,x x x x x x x x x x ≤+≤++≤+++≤ 求1234111234U x x x x =+++的最大值．解：令112123123412341,5,14,30,y x y x x y x x x y x x x x =-⎧⎪=+-⎪⎨=++-⎪⎪=+++-⎩则 0(1,2,3,4)i y i ≤=，112123234341,4,9,16,x y x y y x y y x y y =+⎧⎪=-++⎪⎨=-++⎪⎪=-++⎩于是 ()()()()112223411114916234U y y y y y y y =++-+++-+++-++ 12341111102612410.y y y y =++++≤当 1121231234123410,50,140,300,y x y x x y x x x y x x x x =-=⎧⎪=+-=⎪⎨=++-=⎪⎪=+++-=⎩即12341,4,9,16x x x x ====时，max 10.U=2、设ΛΛ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证:对任何正整数n,均有∑∑==≥n k n K k k k a 1121证明: 设a a a b b b n n ,,,,,,2121ΛΛ是的从小到大的有序排列,即b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n ≥≥≥,,2,121Λ 又因为n 222111132>>>>Λ所以由排序不等式得: n a a a n 22212+++Λ (乱序)n b b b n22212+++≥Λ (倒序)n 1211+++≥Λ即 ∑∑==≥n k n k k k k a 1121 成立. 3、一个俱乐部中有3n ＋1个人，每两个人可以玩网球、象棋或乒乓球，如果每个人都有n 个人与他打网球，n 个人与他下棋，n 个人与他打乒乓球，证明俱乐部中有3个人，他们之间玩的游戏是三种俱全．【证】将人看作平面上的点，得到一个有3n ＋1个点的图(假定任意三点都不在一直线上)，当两个人玩网球或象棋或乒乓球时，我们就在相应的两点之间连一条红线或黄线或蓝线，需要证明的是，一定存在一个三条边的颜色互不相同的三角形．自一点引出的3n 条线段中，如果某两条线段的颜色不同，就称它们构成一个“异色角”．考虑异色角的个数．由于自每一点引出n 条红线，角形中有3个异色角．这个三角形的三条边颜色互不相同，即相应的三个人之间玩的游戏是三种俱全．4．证明：若正整数b a ,满足b b a a +=+2232，则b a -和122++b a 都是完全平方数。

高中数学竞赛培优教程二试参考答案

高中数学竞赛培优教程二试参考答案1、33．若x2﹣6x+k是完全平方式，则k的值是（）[单选题] *A．±9B．9(正确答案)C．±12D．122、26．已知（x﹣a）（x+2）的计算结果为x2﹣3x﹣10，则a的值为（）[单选题] *A．5(正确答案)B．﹣5C．1D．﹣13、设函数在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）上可导，且（x）＞0 则（）[单选题] *A、f（0）＜0B、f（0）＜1C、f（1）＞f（0）D、f（1）＜f（0）(正确答案)4、24.不等式x-3>5的解集为（）[单选题] *A. x > 1B. x > 2(正确答案)C. x > 3D. x > 45、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x26、若a＝－3 ?2，b＝－3?2，c＝(－)?2，d＝(－)?，则( ) [单选题] *A. a＜d＜c＜bB. b＜a＜d＜cC. a＜d＜c＜bD. a＜b＜d＜c(正确答案)7、设M=(x﹣3)(x﹣7)，N=(x﹣2)(x﹣8)，则M与N的关系为( ) [单选题] *A. M＜NB. M＞N(正确答案)C. M=ND. 不能确定8、在0°~360°范围中，与-120°终边相同的角是（）[单选题] *240°(正确答案)600°-120°230°9、2.当m=-2时，代数式-2m-5的值是多少（）[单选题] *A.-7B.7C.-1(正确答案)D.110、4．在﹣，，0，﹣1，4，π，2，﹣3，﹣6这些数中，有理数有m个，自然数有n 个，分数有k个，则m﹣n﹣k的值为（）[单选题] *A．3(正确答案)B．2C．1D．411、21、在中,为上一点,,且,则（）. [单选题] *A. 24B. 36C. 72(正确答案)D. 9612、1．在0，，3，2π，﹣23%，2021这六个数中，非正数有（）个．[单选题] * A．2(正确答案)B．3C．4D．013、下列各式计算正确的是( ) [单选题] *A. (x3)3＝x?B. a?·a?＝a2?C. [(－x)3]3＝(－x)?(正确答案)D. －(a2)?＝a1?14、12．下列说法正确的是（）[单选题] *A．一个数前面加上“–”号这个数就是负数B．非负数就是正数C．0既不是正数，也不是负数(正确答案)D．正数和负数统称为有理数15、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}16、7．一条东西走向的道路上，小明向西走米，记作“米”，如果他向东走了米，则可记作（）[单选题] *A-2米B-7米C-3米D+7米(正确答案)17、已知二次函数f（x）=2x2-x+2，那么f（-2）的值为（）。

全国高中生数学数学竞赛二试模拟训练题(38).pdf

加试模拟训练题（38） 1、一条直线l与⊙O不相交，E是l上一点，OE⊥l，M是l上任意异于E的点，从M作圆的两条切线分别切圆于A和B，点C是MA上的点，使得EC⊥MA，D是MB上的点，使得ED⊥MB，直线CD交OE于F，求证：F的位置不依赖于M的位置． 2、设函数f：R→R适合条件： f(x3＋y3＝x＋yf(x)2－fx)f(y)＋f(y))2) x、y∈R．试证：对一切x∈R，都有f(1996x)＝1996fx) 3、某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同． 4、设满足（1）T的任两个数之和不等于401；（2）。

证明T中奇数的个数是4的倍数，且T中所有数字的平方和为一定数。

加试模拟训练题（38） 1、一条直线l与⊙O不相交，E是l上一点，OE⊥l，M是l上任意异于E的点，从M作圆的两条切线分别切圆于A和B，点C是MA上的点，使得EC⊥MA，D是MB上的点，使得ED⊥MB，直线CD交OE于F，求证：F的位置不依赖于M的位置．【题说】第三十五届(1994年)IMO预选题．本题由塞浦路斯提供．【证】设EM＝x，OE＝a，圆半径为R，连结OM．设OM交AB于J，OE交AB于H，则易知OJ⊥AB．从而∠AJM＝∠OEM＝90o，J、M、E、H四点共圆．OH×OE＝OJ×OM＝OA2，即OH＝＝－＝E在AB上的射影为G．由于E、A、B都在以OM为直径的圆上，对这个圆的内接三角形MAB，E点的西摩松线CD通过G点．连EB．由E、G、B、D共圆，∠EGD＝∠EBD．由E、B、O、M共圆，∠EBD＝∠EOM＝90o－∠GHE．所以∠FGH＝90o－∠EGD＝∠GHE．从而F是直角三角形EGH斜边的中点．EF＝为定值，故F为定点，它的位置与M的位置无关. 2、设函数f：R→R适合条件： f(x3＋y3＝x＋yf(x)2－fx)f(y)＋f(y))2) (1) x、y∈R．试证：对一切x∈R，都有f(1996x)＝1996fx) 【题说】1996年中国数学奥林匹克(第十一届数学冬令营)题3．【证】在(1)中令x＝y＝0f(0)＝0 在(1)中令y＝0f(x3)＝xf(x))2，x∈R (2) 因此，当x≥0时，f(x)≥0；x≤0时，f(x)≤0．令S＝{a|a0，f(ax)＝afx)，x∈R} 由(2)及S定义，有再证：若a、b∈s，则a＋bS．利用(1)～(3)，有＝a＋bf(x)，x∈R 因为1∈S，故1＋1＝2S，由此推知，任何正整数n∈S，特别地n＝1996S．从而f(1996x)＝1996fx)，x∈R 3、某地区网球俱乐部的20名成员举行14场单打比赛，每人至少上场一次．求证：必有6场比赛，其12个参赛者各不相同．【题说】第十八届(1989年)美国数学奥林匹克题2．【证】作一个图G：20个顶点A1，…A20，表示20个选手，14条边表示14场比赛，顶点Ai的次数(由它出发的边数)为di(i＝12，…，20)．则从顶点Ai抹去(di－1 条边，所余子图G′中至少还有6条边，而各顶点度皆≤1．这表明至少有6场比赛的参赛者各不相同． 4、设满足（1）T的任两个数之和不等于401；（2）。

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案

高中数学竞赛模拟测试练习试题及参考答案一、选择题（本题满分30分，每小题5分）已知关于x 的方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根，则实数a 的取值范围（A ）（A ）（B ）（C ）（D ）解．利用数形结合，容易得出实数a 的取值范围a 1故选A 2．当直线所围成的图形的面积是(D)(A) (B)4 (C)9 (D)16解：直线方程可变为（x-1）cos +（y-1）sin =4于是求出点A （1，1）到直线的距离d=,所以当直线=+所围成的图形是以点A 为圆心，以4为半径的圆，从而所围成的图形的面积是16.故选D 3.数列{a n }中，相邻两项a n ,a n+1是方程x 2+3nx+b n =0的两根，已知a 10=－17.则b 51的值等于(B) （A ）5800（B ）5840（C ）5860（D ）6000解:∵a n +a n+1=－3n ，∴a n+2－a n =(a n+2+a n+1)－(a n+1+a n )=－3(n+1)－(－3n)=－3∴a 1,a 3,…,a 2n+1和a 2,a 4,…,a n 都是公差为－3的等差数列，∴{}1≥a a {}11-≤≥a a a 或{}11>-<a a a 或{}10<<a a ≥,取遍全体实数时ϑ)4sin(24sin cos πϑϑϑ++=+y x ππππϑϑ4sin cos 422=+ϑϑ,时R ∈ϑϑϑsin cos y x +4)4sin(2πϑ+πa 52=a 10+21(－3)=－80a 51=a 11+20(－3)∵a 10+a 11=－30∴a 11=－13∴a 51=－73，b 51=a 51·a 52=5840故选B4.已知a 、b 、c 、d 是四个不同的有理数，且，，则的值等于(D)（A ）2（B ）1（C ）0（D ）解：由题意：， ∴a 、b 是方程的两根，∴，∴∴=.故选D5.设函数f(x)=,如果f()=，那么的值等于(C)（A ）3（B ）7（C ）（D ）解：取x=,有f()= 而当=时有x=所以故选C6、已知p,p+14,p+q 都是质数，并且p 有唯一的值和它对应，则q 只能取(A) A40B44C74D86解：q 只能取40。

全国高中数学联赛第二试试题

全国高中数学联赛第二试试题一、选择题1、试找出最大的正整数N ，使得无论怎样将正整数1至400填入20×20方格表的各个格中，都能在同一行或同一列中找到两个数，它们的差不小于N 。

2、设非负整数数列a 1,a 2,…,a 2007满足：a i +a j ≤a i+j ≤a i +a j +1，对一切i,j ≥1,i+j ≤2007成立。

证明：存在实数x ，使对一切1≤n ≤2007，有a n =[nx].3、以ΔABC 的三边向外作正方形ABED ，BCGF 和CAIH ，直线DI ，EF ，GH 交成ΔLMK ，其中K=DI ∩EF ，M=DI ∩GH ，L=EF ∩HG 。

求证：ΔKLM 中KM 上的中线LN ⊥BC 。

以下是答案一、选择题1、解 N=209。

先证明N ≤209，用正中的竖直直线将方格表分成两个20×10的方格表，将1至200逐行按递增顺序填入左表中，再在右表中按同样的原则填入201至400，这样一来，在每一行中所填之数的最大差不超过210-1=209，在每一列中所填之数的最大差都不超过191-1=190，所以N ≤209。

再证N 不能小于209。

考察子集M 1={1，2，…，91}和M 2={300，301，…，400}，将凡是填有M 1中的数的行和列都染为红色；将凡是填有M 2中的数的行和列都染为蓝色，只要证明红色的行和列的数目不小于20，而蓝色的行和列的数目不小于21。

那么，就有某一行或某一列既被染为红色，又被染为蓝色，从而其中必有两个数的差不小于300-91=209。

设有i 行和j 列被染为红色，于是，M 1中的元素全部位于这些行与这些列的相交处，所以ij ≥91,从而i+j ≥2ij ≥291≥19.同理，被染为蓝色的行数与列数之和.201012''2''>≥≥+j i j i2、证明先证对任意m,n ∈N +,1≤m,n ≤2007，有ma n a m n 1+<，即ma n <na m +n. ① （1）当m=n=1时a 1<a 1+1，结论成立；（2）设m,n 都小于k 时，命题成立，ⅰ）当m=k,n<k 时，设m=nq+r ，则a m ≥a nq +a r ≥q an +a r ，所以na m ≥nqa n +na r ，所以na m +n ≥nqa n +na r +n=ma n -ra n +na r +n>ma n ；ⅱ）当n=k, m<k 时，设n=mq+r, 0≤r<m ，则a n ≤a qm +a r +1≤a (q-1)m +a r +a m +2≤…≤q am +a r +q ，由归纳假设ra m +r ≥ma r ,所以ma n ≤mqa m +ma r +mq<mqam+ra m +r+mq=na m +n ，所以当m,n 至少有一个为k 时结论成立，而m=n=k 时，结论也成立，所以由数学归纳法，①得证。

精品解析：2023年全国新高考数学仿真模拟卷(二)数学试题(原卷版)

（1）求氢能源环保电动步道的长；
（2）若___________；求花卉种植区域总面积．
从① ，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）
如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点．
（1）证明：平面．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合，，则（）
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，、，复数，则（）
A． B． C． D．
3. 如图是一学校期末考试中某班物理成绩的频率分布直方图，数据的分组依次为、、、、、，若成绩不低于70分的人数比成绩低于70分的人数多4人，则该班的学生人数为（）
A. 45B. 50C. 55D. 60
4. “ ”是“函数是奇函数”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知数列中，，且（），则（）．
A． B． C． D．
6. 将的图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，再将所得图像向左平移个单位长度得到的图像，则（）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(50)

加试模拟训练题（50）)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆2. 设m 和n 是正整数,a 1,a 2,…,a m 是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a i +a j ≤n,1≤i ≤j ≤m,就有某个k,1≤k ≤m,使得a i +a j =a k ,求证：3.在木板上写有若干个0,1和2．现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字来代替(代替0和1的是2,代替1和2的是0,代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法,最后在木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关．4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x,y）．加试模拟训练题（50）)(.1都相切的圆的延长线以及边、边上的旁切圆是与边的注：边上的旁切圆半径；的外接圆半径等于上，求证：在线段边上的高，是的外心和内心，分别为、如图，BC AC AB BC ABC BC ABC OD I BC AD ABC I O ∆∆∆2cos 2sin 22cos 2sin 2sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin 2sin )(21sin 21,12cos 2cos 2sin 42sin 2sin 2sin 2sin sin 2)2()1(2sin 2sin 2sin 22cos 2sin 2sin sin 2cos 2sin 2sin 212sin 21212121sin sin 2sin //,C B C B C B C B C B A R A C B C B A R r a c b A bc r a c b r S A bc r BC ABC C B A A C B C B A C B C B A C C B BK AB BA BI BKB BI AB S S IK AI A BAK CACB AKB A CAK CBK B IBC ABI C B R B c OKAD IK AI AD OK BC OK R O OK K O ABC AI b CA a BC c AB a a a ABC a KBI ABI ++--+⋅=-+⋅=∴-+=⇒-+==∆=∴==⋅=⋅=+⋅⋅⋅⋅==∴∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠∠=∠=∠=⋅==∴∴⊥∆===∆∆∆则：上的旁切圆半径为的边又设可得：、由又，，的半径，记为是圆则点，于的外接圆的延长线交设，，证明：如图，记边上旁切圆的半径的外接圆半径等于即BC ABC R C B A R C B C B C B A R ∆∴=⋅=+⋅=2sin 2sin 22sin 42sin 2sin 22sin sin sin sin2.设m和n是正整数,a1,a2,…,a m是集合{1,2,…,n}中的不同元素,每当a i+a j≤n,1≤i≤j≤m,就有某个k,1≤k≤m,使得a i+a j=a k,求证：【题说】第三十五届（1994年）国际数学奥林匹克题1．本题由法国提供．【证】不妨设a1＞a2＞…＞a m,若存在某个i,l≤i≤m,使a i+a m+1-i≤n．则a i＜a i+a m＜a i+a m-1＜…＜a i+a m+1-i≤n由已知,得i元集这不可能,于是对1≤i≤m,恒有a i+a m+1-i≥n+1．从而2（a1+a2+…+a m）=（a1+a m）+（a2+a m-1）+…+（a m+a1）≥m（n+1）3.在木板上写有若干个0,1和2．现在可以擦掉两个不同的数字,并用另一个数字来代替(代替0和1的是2,代替1和2的是0,代替0和2的是1)．证明：如果由于这种做法,最后在木板上只留下一个数字,那么与它们操作的次序无关．【题说】第九届(1975年)全苏数学奥林匹克八年级题6,十年级题5．【证】假设0的个数是p,1的个数是q,2的个数是r．在每次操作后,p、q和r分别增加或减少1,即p、q、r改变一次奇偶性．当木板上只留下一个数字时,p、q、r三个数中,一个为1,另两个为0．由此可见,p、q、r三数中,必有一个的奇偶性与另外两个奇偶性不同；与它对应的数字最后留在木板上．4.求满足等式2x2y2+y2=26x2+1201的一切正整数数组（x,y）．【题说】1995年日本数学奥林匹克预选赛题8．【解】由条件得（2x2+1）（y2－13）=1188=22×33×11从而2x2+1与y2－13均为22×32×11的因数．又2x2+1是奇数,故2x2+1为33×11=297的因数．由下表可知,所求的正整数解为（4,7）和（7,5）．。

全国高中数学竞赛二试模拟训练题(33)

加试模拟训练题（33）1、△A1A2A3是一个非等腰三角形,它的边分别为a1、a2、a3,其中a i是A i的对边(i＝1,2,3),M i 是边a i的中点．△A1A2A3的内切圆⊙I切边a i于T i点,S i是T i关于∠A i角平分线的对称点,求证:M1S1、M2S2、M3S3三线共点．2、函数f定义在整数集上,且满足求 f(84)．3、设G 是一个有k 条边的连通图．求证:可以将G 的边标号为1,2,…,k,使得在每一个属于两条或更多条边的顶点,过该顶点各条边的标号数的最大公因子是1．4．设a 、b 、c 、d 为奇数,bc ad d c b a =<<<<并且,0,证明:如果a +d =2k ,b+c=2m,k,m 为整数,那么a =1.加试模拟训练题（33）1、△A 1A 2A 3是一个非等腰三角形,它的边分别为a 1、a2、a 3,其中a i 是A i 的对边(i ＝1,2,3),M i 是边a i 的中点．△A 1A 2A 3的内切圆⊙I 切边a i 于T i点,S i 是T i 关于∠A i 角平分线的对称点,求证:M 1S 1、M 2S 2、M 3S 3三线共点．【题说】第二十三届(1982年)国际数学奥林匹克题2．【证】因为T 1、S 1、T 2、T 3关于A 1I 对称,所以T 1T 2︿＝T 3T 1︿；因为T 2、S 2、T 3、T 1关于A 2I 对称,所以 T 1T 2︿＝T 3T 2︿,故有T 3T 1︿＝T 3T 2︿,于是T 3I ⊥S 1S 2,S 1S 2∥A 2A 1同理 S 2S 3∥A 3A 2,S 3S 1∥A 1A 3又M 1M 2∥A 2A 1,M 2M 3∥A 3A 2,M 3M 1∥A 1A 3,于是△M 1M 2M 3和△S 1S 2S 3的对应边两两平行,故这两三角形或全等或位似．△S 1S 2S 3内接于△A 1A 2A 3的内切圆,而△M 1M 2M 3内接于九点圆．由于△A 1A 2A 3不是正三角形,故内切圆与九点圆不重合,所以△S 1S 2S 3和△M 1M 2M 3位似,M 1S 1、M 2S 2、M 3S 3共点． 2、函数f 定义在整数集上,且满足求 f(84)．【题说】第二届(1984年)美国数学邀请赛题7．【解】由f 的性质,f(999)＝f[f(1004)]＝f(1001)＝998,f(998)＝f[f(1003)]＝f(1000)＝997f(997)＝f[f(1002)]＝f(999)＝998,f(996)＝f[f(1001)]＝f(998)＝997f(995)＝f[f(1000)]＝f(997)＝998,因此我们推想,对n ＜1000,有对n ＝999至995,(1)已经证得．假设对大于m 且小于1000的n,(1)成立．当m 是偶数时,m ＋5是奇数,此时有f(m)＝f[f(m ＋5)]＝f(998)＝997当m 是奇数时,m ＋5是偶数,此时有f(m)＝f[f(m ＋5)]＝f(997)＝998因此,对于m ＜1000,(1)式成立．特别地,f(84)＝997．3、设G 是一个有k 条边的连通图．求证:可以将G 的边标号为1,2,…,k,使得在每一个属于两条或更多条边的顶点,过该顶点各条边的标号数的最大公因子是1．【题说】第三十二届(1991年)国际数学奥林匹克题4．本题由美国提供．【证】由G 的连通性可知G 中的每一个顶点至少属于一条边．任取一顶点V 0从V 0出发沿G 中的边行走,每条边至多能通过一次,但每个顶点可通过多次．设通过t 1条边后不可能再继续前进．通过的顶点依次记为V 0,V 1,V 2,…,V i ,…,V j ,…,V t1(注意不同的0≤i,j ≤t 1,V i 、V j 可能为同一顶点),通过的边依次标号为1,2,…,t 1．显然1≤t 1≤k 且除顶点V 0,其余任一顶点,如果从它出发有两条或更多条边被标了号,则这些标号数必有两个相邻的自然数．如果t 1＝k,则所有的边均已被标号．如果1≤t 1＜k,那么V 0,V 1,…,V t1中必有一点从该顶点有尚未标过号的边(否则G 不连通)．从这一顶点出发按上述规则沿未标过号的边行走,并从t 1＋1开始依次标号,直到不可能继续前进．设又标了t 2条边,则1≤t 2≤k －t 1．由于总共有k 条边,于是易知用这种方法可将G 的所有边标号为1,2,…,k ．任取G 的一顶点V,设从V 出发至少有两条边．如果V ＝V 0,由于从V 出发的一条边标号为1,从而过该点各边的标号数的最大公因子为1；如果V ≠V 0,由以上标数的方法可知,过V 必有两条边的标号数是相邻的两个自然数,从而过该点各条边的标号数的最大公因子也是1．4．设a 、b 、c 、d 为奇数,bc ad d c b a =<<<<并且,0,证明:如果a +d =2k ,b+c=2m,k,m 为整数,那么a =1. （第25届IMO 试题）【证明】首先易证:.22m k >从而ad d a d a c b a d m k 4)()(,(22+-=+->->于是因为 22)(4)(c b bc c b +=+->.再由,222,2,22a b a b b c a d bc ad k m m k -=⋅-⋅-=-==可得因而))(()2(2a b a b a b m k m -+=⋅-- ①显然,a b a b -+,为偶数,a b m k --2为奇数,并且a b a b -+和只能一个为4n 型偶数,一个为4n+2型偶数（否则它们的差应为4的倍数,然而它们的差等于2a 不是4 的倍数）,因此,如果设f e a b m k ⋅=--2,其中e,f 为奇数,那么由①式及a b a b -+,的特性就有（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21f a b e a b m 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=+-.2,21e a b f a b m 由f a b a b a b ef m k 222≤-<-≤-=- 得e=1,从而.2a b f m k --=于是（Ⅰ）或（Ⅱ）分别变为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+--)2(2,21a b a b a b m k m 或⎪⎩⎪⎨⎧=--=+--12),2(2m m k a b a b a b 解之,得1122-+-=⋅m m k a .因a 为奇数,故只能a =1.。

2020全国高中联赛二试

2020全国高中数学联赛二试
一、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=BC ，I 为内心，M 为BI 的中点，P 为边AC 上的一点，满足AP=3PC ，PI 延长线上一点H 满足MH ⊥PH ，Q 为△ABC 的外接圆上劣弧AB 的中点，证明：BH ⊥QH
二、给定整数n ≥3，设1232122,,...,,,,...,n n a a a a b b b 是4n 个非负实数，满足
122122......0n n a a a b b b ++=+++>，
且对任意1,2,...,2i n =，有21i i i i a a b b ++≥+，（这里211222211,,n n n a a a a b b +++===），
求122...n a a a +++的最小值。

三、设12121,2,2,3,4,...n n n a a a a a n −−===+=证明：对整数5,n n a ≥必有一个模4余1的素因子
四、给定凸20边形P ，用P 的17条在内部不相交的对角线将P 分割成18个三角形，所得图形成为P 的一个三角形剖分图。

对P 的任意一个三角剖分图T ，P 的20条边以及添加的17条对角线均称为T 的边，T 的任意10条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配。

当T 取遍P 的所有三角剖分图时，求T 的完美匹配个数的最大值。

B MSC。