立体几何填空题2

a
A
B
_____________。 【答案】
15 a 5
【解析】 试题分析：∵AC⊥平面 BCD，BC、BD 平面 BCD，∴AC⊥BC，BD⊥AC， ∵BD⊥DC，AC∩CD=D，∴BD⊥平面 ACD， ∵AD 平面 ACD，∴BD⊥AD，∴△ABD 是直角三角形， ∵AC=a，∠ABC=30°，∴AB=2AC=2a，BC= 3 a， ∵△DBC 是等腰直角三角形， ∴ BD CD ∴ S BCD
个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为 ， ，则 tan( ) 的值是 【答案】 【解析】 试题分析： 如图， 右侧为该球过 SA 和球心的截面， 由于三角形 ABC 为正三角形， ∴D 为 BC 中点，且 AD BC ， SD BC ， MD BC ，故 SDA ，MDA ， ．
底面 ABC ， PA PC AB BC 2 2 ，几何体的 V 考点：1.三视图；2.棱锥的体积；
1 1 8 4 2 2 3 2 3
11． 已知三角形 PAD 所在平面与矩形 ABCD 所在平面互相垂直，PA PD AB 2 ，
APD 90 ，若点 P 、A、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于
考点：三棱锥体积 15．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有 一内接正四棱锥 S ABCD ， 该四棱锥的体积为
4 2 ， 则该半球的体积为 3
．
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【答案】
4 2 ． 3
【解析】 试题分析：设所给半球的半径为 R ，则棱锥的高 h R ，底面正方形中有
1 BD 3 ， 2
因此球的表面积 S 4R 2 12 ，故答案为 C.
考点：球的表面积公式. 12．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱 的外接球的体积 。
【答案】
256 3
【解析】 试题分析：从侧视图可以可以看出，正三棱柱的底面边长为 6，高为 4，从俯视图可以 算出底面截球所得截面为三角形的外接圆，利用正弦定理，求出其直径
显然 f ( n) 在 2, 上为减函数，且 f (1) 0, f ( 2) 取值范围是 , ，故⑤正确；所以选③④⑤.
1 3

考点：命题的判定. 2．如图，正三棱锥 P－ABC 的所有棱长都为 4．点 D，E，F 分别在棱 PA，PB，PC 上， 满足 PD＝PF＝1，PE＝2，则三棱锥 P–DEF 的体积是 ．
2
误； 在 ABC 中， 若A B， 则a b， 由正弦定理 a : b sin A : sin B ,得 sin A sin B , 故 ③ 正 确 ； 在 正 三 棱 锥 S ABC 内 任 取 一 点 P ， 使 得 VP A B C
1 V 2
S
， AB C
则
1 hS A B C, P 在与底面 ABC 平行的中截面上，则中截面将正三棱锥的体积分 2 7 成 1: 7 的 两 部 分 ， 所 以 所 求 概 率 是 ，即④正确；⑤若对于任意的 8 hP A B C
2 圆的半径，由勾股定理知， r 3 ，则球的表面积公式 S 4 r 4 3 12
考点：本题考查球的表面积公式，棱锥的体积公式 点评：解决本题的关键是找到球的半径 7 ． 在 三 棱 锥
A BCD
中
,
AC
底
面
B
,C D
B,
D
D,
C
0 ,则 点C 到 平 距 离C 是 B , D D 3 面 ABD C 0 的 A
6 ，则球 O 的表面积为 6
．
【答案】12π 【解析】 试题分析：由题可知，△ABC 是直角三角形，并且三个点均在圆周上，所以取斜边中点 AC 的 中 点 E ， 连 接 OE ， OE 即 为 此 棱 锥 的 高 ， 由 棱 锥 的 体 积 公 式 知 ，
6 1 1 3 ，得出 h ，连接 BE，△OBE 为直角三角形，OB 就是 2 2 1 h ， 6 3 2 2
2 3 a 12 【答案】
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【解析】
DM BM 2 a 2 ， DM 2 +BM 2 BD 2 ，即 DM BM ,
试题分析：取 AC 中点 M ，则
因 为 D M
, A , C所 以 D M 面
A B C 体 积 为 , C 三 棱 锥 D A B的
1 1 2 1 2 3 DM S ABC a a2 a. 3 3 2 2 12
2
7 1 VS ABC 的概率是 ； 8 2
⑤若对于任意的 n N , n a 4 n 3 a 0 恒成立，则实数 a 的取值范围是
1 , . 3
以上命题中正确的是__________（填写所有正确命题的序号）. 【答案】③④⑤ 【解析】 D(aX b) [ D( X )]2 ,所以将一组数据中的每个数都变为原来的 2 倍，则 方差也变为原来的 4 倍； 故①错误；命题“ x R, x x 1 0 ”的否定是“ x R, x 2 x 1 0 ” ，故②错
【答案】 48 【解析】 试题分析：根据题中所给的图可以得知，该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的， 且圆柱的底面和球的半径是相等的，圆柱的高已经在图中写出，所以记住公式即可. 考点：几何体的表面积. 4．一个空间几何体的三视图所示，则该几何体的体积等于
【答案】384 【解析】 试题分析：根据所给的几何体的三视图，可以判断该几何体 应该是直四棱柱，对应的量如图所示，故体积
1 3
15 2 1 3 15 a d a 2 a ，∴ d a． 4 3 4 5
考点：考查了点到平面的距离 点评：点到平面的距离可以用等体积法求，也可以过点 C 作 CE⊥AD 于点 E，证明 CE 是 点 C 到平面 ABD 的距离 8．若三棱锥 C 的三条侧棱 ， ， C 两两互相垂直且长都相等，其外接球 半径为 2 ，则三棱锥的表面积为 ． 【答案】 8 【解析】
n N , n2 a 4 n 3 a 0 恒成立，则
即a (n 1)a n2 4n 3 0 ，
4n n 2 3 4n n 2 3 (n 2) 2 1 ， 令 f ( n) ， n 1 n 1 n 1
1 1 ，即 f ( n) max ，即实数 a 的 3 3
4 3 8 3 ， 从而三棱锥的表面积为 8 . 3 3 考点：1.球的组合体；2. 空间想象能力及运算求解能力
8 3 3
试题分析： 由三棱锥的外接球半径为 2， 可知 PA
9．正四面体 CD 的外接球半径为 2 ，过棱 作该球的截面，则截面面积的最小值 为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由题意，面积最小的截面是以 AB 为直径，可求得 AB
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P D A B F E C
2 【答案】 6
【解析】
1 1 1 2 1 2 2 43 试题分析： VP DEF VD PEF VA PEF VA PBC 4 4 4 4 32 12 6 考点：等体积法求三棱锥体积 3．图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积（接触面积忽略 不计）等于 .


ì ï m- 1= -1 ，解得 m = 0, n = 0 ，故 m + n = 0 . AC = - 2 AB ,故知 í ï î m - 2n - 3 = - 3
考点：空间向量共线的条件，根据空间向量共线来判断多点共线. 6．已知 ABC 的三个顶点在以 O 为球心的球面上，且 AB 2 2 ，BC=1，AC=3，三棱 锥 O-ABC 的体积为
2 6 BC a， 2 2
1 3 BD CD a 2 ， 2 4
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∵ AD
AB 2 BD 2
10 a， 2
∴ S ABD
1 15 2 AD BD a ， 2 4
设 C 到平面 ABD 距离为 d， 由 VC ABD VA BCD ，可得
1 V =? (4 8) 鬃 8 8 = 384 . 2
考点：根据几何体的三视图求几何体的体积.
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5．若 A(m 1, n 1,3) ， B(2m, n, m 2n) ， C (m 3, n 3,9) (m, n R) 三点共线， 则 m n = 【答案】0 【解析】 试题分析： AB = (m - 1,1, m - 2n - 3) ， AC = (2, - 2,6) ，两个向量平行的条件，可知
2 4 2 3 ，则 R 2 2 ，于是所求半 AB BC CD DA 2R ，所以其体积 R 3 3 3
2 4 2 球的体积为 V R 3 ． 3 3 考点：球的内接几何体． 16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥，已知同底的两个 正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为 a ，球的半径为 R ， 设两
8 3
4 6 ，进而截面面 3
积的最小值为 (
2 6 2 8 . ) 3 3
考点：球的内接几何体问题 10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
【答案】
8 3
【解析】 试题分析：根据三视图还原几何体直观图为三棱锥 P ABC ，其特点是：侧面 PAC
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立体几何填空题 2
1．已知命题： ①将一组数据中的每个数都变为原来的 2 倍，则方差也变为原来的 2 倍； ②命题“ x R, x2 x 1 0 ”的否定是“ x R, x2 x 1 0 ” ； ③在 ABC 中，若 A B，则sin A sin B ； ④在正三棱锥 S ABC 内任取一点 P，使得 VP ABC
4 3 R． 3a
SM 2 R ， 设 SM 平面 ABC P ， 则点 P 为三角形 ABC 的重心， 且点 P 在 AD 上，
AB a
， ∴
AD
3 a 2
，
PA
3 a 3
，
PD
【答案】 12 . 【解析】
APD 900 ， 试题分析： 如图， 设球心为 O ， 由于 PA PD AB 2 ， 得 AD 2 2 ，
在矩形 ABCD ， 可得对角线 BD 半径 R
22 2 2

2
2 3 ，因为 P, A, B, C , D 都在同一球面上， 球的
2 ，则 2
1 【答案】 12
【解析】 试 题 分 析 ：
1 AC 1 AC 1 1 2 1 2 1 VB AEF VA BEF SBEF EF BB1 1 3 2 3 2 2 3 2 2 2 12
考点：等体积法求体积 14．将边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD a ，则三棱锥 D ABC 的体 积为 ．
2r
6 4 3r , s i n 600
2 3 ，再利用勾股定理求出外接球的半径，
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2 R2 22 (2 3) 16,R 4 ，则V
4 4 256 R 3 43 = 3 3 3
考点：1.三视图；2.球； 13．正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF 三棱锥 B—AEF 的体积为是_______． C1 E D1 C D A F A1 B B1