第一章-1.1.2(二)

1.1.2 余弦定理(二)[学习目标] 1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题.知识点一 正弦定理及其变形 1.a sin A ＝b sin B ＝csin C＝2R . 2.a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . 知识点二 余弦定理及其推论1.a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .2.cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2⇔C 为直角，c 2>a 2＋b 2⇔C 为钝角；c 2<a 2＋b 2⇔C 为锐角. 知识点三 正弦、余弦定理解决的问题思考 以下问题不能用余弦定理求解的是 .(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角； (2)已知两角和一边，求其他角和边；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角； (4)已知一个三角形的三条边，解三角形. 答案 (2)题型一 利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，其中a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，则△ABC 的形状为( ) A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形 答案 A解析 方法一 在△ABC 中，由已知得1＋cos B 2＝12＋a2c， ∴cos B ＝a c ＝a 2＋c 2－b22ac，化简得c 2＝a 2＋b 2. 故△ABC 为直角三角形.方法二 原式化为cos B ＝a c ＝sin Asin C ，∴cos B sin C ＝sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， ∴sin B cos C ＝0，∵B ∈(0，π)，sin B ≠0，∴cos C ＝0， 又∵C ∈(0，π)，∴C ＝90°， 即△ABC 为直角三角形.反思与感悟 一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.跟踪训练1 在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( ) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 答案 B解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，代入得12＝a 2＋c 2－ac 2ac，∴a 2＋c 2－2ac ＝0， 即(a －c )2＝0，∴a ＝c .又∵B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形.题型二 正弦、余弦定理的综合应用例2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3，求： (1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值.解 (1)由BA →·BC →＝2得，ca cos B ＝2， 又cos B ＝13.所以ca ＝6.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B . 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13.解⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13得a ＝2，c ＝3或a ＝3，c ＝2.因为a >c ，所以a ＝3，c ＝2. (2)在△ABC 中，B ∈(0，π)， sin B ＝1－cos 2B ＝1－(13)2＝223.由正弦定理得，sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b >c ，所以C 为锐角， 因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－(429)2＝79.于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327.反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息. (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用. 跟踪训练2 在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值.解 (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理， 得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2 sin A 及正弦定理得，c ＝2a . 由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3. 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式例3 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin (A －B )sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos Ac .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin (A －B )sin C ，故等式成立.反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化. 跟踪训练3 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2 A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b .解 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ，即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ，∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.忽略三角形中任意两边之和大于第三边例4 已知钝角三角形的三边BC ＝a ＝k ，AC ＝b ＝k ＋2，AB ＝c ＝k ＋4，求k 的取值范围. 错解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0.∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① ∵k 为三角形的一边长，∴k >0，② 由①②知0<k <6.错因分析 忽略隐含条件k ＋k ＋2>k ＋4，即k >2. 正解 ∵c >b >a ，且△ABC 为钝角三角形， ∴C 为钝角.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝k 2－4k －122k (k ＋2)<0，∴k 2－4k －12<0，解得－2<k <6，① 由两边之和大于第三边得k ＋(k ＋2)>k ＋4， ∴k >2，② 由①②可知2<k <6.误区警示 在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.跟踪训练4 若△ABC 为钝角三角形，三边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( ) A.(1，5)B.(13，5)C.(5，13)D.(1，5)∪(13，5)答案 D解析 (1)若x >3，则x 对角的余弦值22＋32－x 22×2×3<0且2＋3>x ，解得13<x <5.(2)若x <3，则3对角的余弦值22＋x 2－322×2×x <0且x ＋2>3，解得1<x < 5.故x 的取值范围是(1，5)∪(13，5).1.在△ABC 中，b cos A ＝a cos B ，则△ABC 是( ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形答案 B解析 由题b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac ，整理得a 2＝b 2，∴a ＝b .2.在△ABC 中，sin 2A －sin 2C －sin 2B ＝sin C sin B ，则A 等于( ) A.60° B.45° C.120° D.30° 答案 C解析 由正弦定理得a 2－c 2－b 2＝bc ， 结合余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又A ∈(0，π)，∴A ＝120°.3.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为( )A.85B.58C.53D.35 答案 D解析 由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2·AB ·AC ·cos A 得72＝52＋AC 2－2·5·AC ·(－12)，∴AC ＝3或－8(舍).∴sin B sin C ＝AC AB ＝35.4.已知锐角三角形的边长分别为1,3，a ，则a 的范围是( ) A.(8,10) B.(22，10) C.(22，10) D.(10，8)答案 B解析 只需让3和a 所对的边均为锐角即可.故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22·1·3>012＋a 2－322·1·a>01＋3>a 1＋a >3，解得22<a <10.5.在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .答案 1解析 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴a 2＋1＋a ＝3，即a 2＋a －2＝0， 解得a ＝1或a ＝－2(舍).6.已知△ABC 的三边长分别为2,3,4，则此三角形是 三角形. 答案 钝角解析 4所对的角的余弦为22＋32－422×2×3＝－14<0，故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形.1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系或边之间的关系.若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系.2.解决综合问题时应考虑以下两点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理.(2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简的习惯.一、选择题1.在△ABC 中，有下列结论①若a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形； ②若a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°； ③若a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形； ④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 结合余弦定理可知：①中A 为钝角，正确；②中A ＝120°；③中C 为锐角，但另两个角未必是锐角；④中A 、B 、C 分别为30°、60°、90°，∴a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1，故正确的结论为①.2.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C解析 b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋b 2－c 2＋a 2＋c 2－b 22a＝a ＝2.3.如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 答案 D解析 设顶角为α，底边长为a ，周长为5a ，故腰长为2a ，由余弦定理可得cos α＝(2a )2＋(2a )2－a 22(2a )(2a )＝78. 4.已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于( )A.10B.9C.8D.5 答案 D解析 由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0 ∴cos A ＝±15，∵A 为锐角，∴cos A ＝15，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴49＝b 2＋36－2·b ·6×15，∴b ＝5或b ＝－135(舍).5.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( ) A.(0，π3]B.[π3，π) C.(0，π6]D.[π6，π) 答案 A解析 由余弦定理cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12，∵B ∈(0，π)，∴B ∈(0，π3].6.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.8－4 3 B.1 C.43 D.23 答案 C解析 ∵C ＝60°，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°＝a 2＋b 2－ab . 又(a ＋b )2－c 2＝4，∴c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4， 故－ab ＝2ab －4，∴ab ＝43.7.在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于( ) A.21 B.106 C.69D.154答案 B解析 设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a2.在△ABM 中，AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM ·cos ∠AMB ， 即72＝14a 2＋42－2×a2×4·cos ∠AMB ，①在△ACM 中，AC 2＝AM 2＋MC 2－2AM ·MC ·cos ∠AMC ， 即62＝42＋14a 2＋2×4×a2·cos ∠AMB ，②①＋②，得72＋62＝42＋42＋12a 2，解得a ＝106.8.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →等于( )A.－212B.－83C.－75D.－27答案 B解析 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ，解得BC ＝7，又cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝AB 2＋BD 2－AD 22AB ·BD ，解得AD ＝133， 又AD →，BC →的夹角大小为∠ADB ， cos ∠ADB ＝BD 2＋AD 2－AB 22BD ·AD＝(73)2＋(133)2－222×73×133＝－891，所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos ∠ADB ＝－83. 二、填空题9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值是 .答案 34解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得a ＝c ，b ＝32c ， 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34. 10.△ABC 为钝角三角形，a ＝3，b ＝4，c ＝x ，则x 的取值范围是 .答案 (1，7)∪(5,7)解析 ①若x >4，则x 所对的角为钝角，∴32＋42－x 22·3·4<0且x <3＋4＝7，∴5<x <7. ②若x <4，则4对的角为钝角，∴32＋x 2－422·3·x<0且3＋x >4，∴1<x <7. ∴x 的取值范围是(1，7)∪(5,7).11.在△ABC 中，C ＝3B ，则c b的范围是 . 答案 (1,3)解析 由正弦定理可得c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B＝sin (B ＋2B )sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.∵A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，∴0°<B <45°， ∴22<cos B <1，∴1<4cos 2B －1<3，∴1<c b<3. 三、解答题12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac 且cos B ＝34. (1)求1tan A ＋1tan C的值； (2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34，B ＝(0，π2)，得 sin B ＝ 1－(34)2＝74， 由b 2＝ac 及正弦定理得sin 2B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin (A ＋C )sin 2B ＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477. (2)由BA →·BC →＝32得ca ·cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2， 由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac ·cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，求证：cos C cos B ＝b －c cos A c －b cos A证明 左边＝a 2＋b 2－c 22ab a 2＋c 2－b 22ac＝c (a 2＋b 2－c 2)b (a 2＋c 2－b 2)，右边＝b －c ·b 2＋c 2－a 22bc c －b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c (a 2＋b 2－c 2)b (a 2＋c 2－b 2)＝左边， 得证.。