理论力学C9-点的合成运动

va
解： 在本题中应选取滑块A作为研究的 动点，把动参考系固定在摇杆O1B上。 点A的绝对运动是以点O为圆心的 圆周运动，相对运动是沿O1B方向的直 线运动，而牵连运动则是摇杆绕O 1 轴 的摆动。
O
ve

O1

vr
A
ve va sin r sin ve O1 A 1 r 2 (l 2 r 2 )
将上式对时间t求一阶导数，并注意到 i ' j ' k ' 0 可得 ，
va ve vr vo ' x ' i ' y ' j ' z ' k '
aa a e a r
动点M相对动系的相对速度为
vr x ' i ' y ' j ' z ' k '
动点M相对动系的相对加速度为
k' i'
o
j'
根据牵连速度定义可知： e vo ' v
由速度合成定理得
ar x ' i ' y ' j ' z ' k '
§9–2
三种速度、加速度
一、动点相对于定参考系的速度、加速度和轨迹，称 为动点的绝对速度va、绝对加速度aa和绝对轨迹。 二、动点相对于动参考系的速度、加速度和轨迹，称 为动点的相对速度vr、相对加速度ar和相对轨迹 。 三、由于动参考系的运动是刚体的运动而不是一个点 的运动，所以除非动参考系作平动，否则其上各点的 运动都不完全相同。因为动参考系与动点直接相关的 是动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)，因此 定义： 在动参考系上与动点相重合的那一点(牵连点)的 速度和加速度称为动点的牵连速度(用v e 表示)和牵连 加速度(用ae表示) 。
(2) 应用速度合成定理时,可利用速度平行四边形中的 几何关系解出未知数。也可以采用投影法：即等式左 右两边同时对某一轴进行投影，投影的结果相等。
例 1、下图为曲柄滑道连杆机构。曲柄长 OA=a，以匀角速度 绕 O 轴转动，其端点用铰链和滑道中的滑块 A 相连，来带动 连杆作往复运动。求当曲柄与连杆轴线成角时连杆的速度。
A
M
vr B
ve sin va
ve u va sin sin

u
O
r
ve
va
例6 求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设 OA=a, AC＝b。 vC 解：取套筒A为动点，动系与 OC固连，分析A点速度，有 OC C
va ve vr
ve
v
(3) 动参考系相对于定参考系的运动，称为牵连运动。
定参考系
牵连运动
动参考系
动点
一点、二系、三运动
注意：
1、动点的相对运动、绝对运动是指一个点的运动， 它可以是直线运动或者是曲线运动。
2、牵连运动是指动参考系的运动，也就是与动参 考系相固结的物体的运动，因此是指一个刚体 的运动，它可能是平动、转动或其它运动。
解：取滑块A为动点，动系 与滑道BCD固连。
求得曲柄OA转动的角速度为
va
vr
B A

O1
n 4 rad/s 30 va ve vr
ve
O
n
D
R
C
va OA 125.6 cm/s ve vr va 125.6 cm/s vBCD ve 125.6 cm/s
vr
q
q
e
va
A
ve

ve tan q va e va ve ctg q OA e OA
C
O
例5 水平直杆AB在半径为r的固定圆环上以匀速u竖直下落，如图。 试求套在该直杆和圆环交点处的小环M的速度。 解：以小环M为动点，定系取在地面上，动系取在AB杆上， 动点的速度合成矢量图如图。 由图可得：
2 2
ve 2 l r
ae 2 l 2 r 2 2
重点要弄清楚牵 连点的概念
§9-3 点的速度合成定理
z x z
绝对运动轨迹
P

y
相对运动轨迹
O x
P1 P， P1 y 动系上与动点重合 t 瞬时 的点的绝对轨迹 t+t 瞬时
z x z P， P1 y
P y r r 1
x'
相对运动－沿凸轮轮廓曲线运动。 牵连运动－水平平动。
3. 速度分析。 牵连速度ve ：ve= v0，方向水平向右。 相对速度vr ：大小未知，方向沿凸 B
轮圆周的切线 。
绝对速度va：大小未知，方向沿杆AB向上。
vr
y'
va
A
ve
v0
应用速度合成定理
R O n
x'
va ve vr
ve va sin q v sin q
ve v sin q OC OA a ab vC OC OC v sin q a
va
O
q
vr
A
B
例7 AB杆以速度v1向上作平动，CD杆斜向上以速度v2作平动， 两条杆的夹角为a，求套在两杆上的小环M的速度大小。 解: 取M为动点，AB为动坐标系，相对速度、牵连速度如图。
va ve tan v0 tan30 0.577v0
此瞬时杆AB的速度方向向上。
讨论：
若取凸轮 上与顶点重合 点A1为动点， 动系固连顶杆 AB，则相对运 动轨迹是什么 曲线？
例3 刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的角速度为，通过滑块 A带动摇杆O1B摆动。已知OA=r，OO1=l，求当OA水平时O1B的角 速度1。 B
arτ
h : aa cos60 ae cos30 arn
ae
30°
A

r ’ r P1

=r ’ + r 1
x
O
r r¢ r1 lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
va ve vr
即：动点在某一瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连 速度与相对速度的矢量和。这就是点的速度合成定理。
处理具体问题时应注意： (1) 选取动点、动参考系和定参考系。 动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。 动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单直观。 在有的机构中，一个构件上总有一个点被另一个构件 所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点 的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮 廓线或者约束动点的轨道。
v2
其中
ve1 vr1 ve2 vr 2
将等式两边同时向y轴投影：
y
ve1
va
D
v1
v1 v2 cos a vr 2 sin a vr 2 (v1 v2 cos a ) / sin a
则动点M的绝对速度为：
ve2
A α C
2 2
vr2
M vr1 B
v2
例 如图杆长l，绕O轴以角速 度 转动，圆盘半径为r， v e2 绕 o ¢ 轴以角速度 ¢ 转动。 求圆盘边缘 M 1 和 M 2 点的牵 M 2 连速度和加速度。 解：定系取在地面上，动系 取在杆上，则
ae 2 ve1
¢
ae1
M1
o
o¢
ve1 (l r ) ae1 (l r ) 2
解：
（1） 、取 A 为动点，连杆 为动参考系，地面 为固定参考系。
（2） 、分析运动如图所示
y o
va ve


vr
图6 — 7
A

y¢
x o¢
x¢
绝对运动：动点A绕O点作圆周运动；
相对运动：动系T型槽沿竖直方向作平移运动；
牵连运动：某瞬时，与A点重合的、位于T型槽上的点沿水平方向 作平移运动。
第九章
点的合成运动
§9–1
点的合成运动的概念
一、问题的提出：
右上图：M 为雨点
y y¢
M
v
M 的运动轨迹：垂直向下 ——地面的观测者 o¢ 倾斜向后 o ——车上的观测者
a
x¢
x
右下图：M 为轮缘上的一点
M 的运动轨迹：旋轮线 ——地面的观测者 圆 ——车上的观测者
（3） 、根据速度合成定理求未知量
ve vr va
v
大小 方向
a
v
e
v
r
a
与圆周相切
未知 水平向右
va ve
y o
未知 竖直向上

vr
图6 — 7
根据几何关系即可求出e ve va sin a sin
x¢
例2: 凸轮顶杆机构中半径为R
(a)
k' i'
o
证明 设动点M在动系o’x’y’z’中 沿相对轨迹AB运动，而动系 o’x’y’z’又相对定系oxyz作平 i' j' k ' 动，如图所示，单位矢量 、 、 均为常矢量。 动点M相对动系的相对矢径为
j'
rr x ' i ' y ' j ' z ' k '
的半圆形凸轮以等速度
B
v 0 沿水平轨道向右运动，
带动顶杆AB沿铅垂方向
y'
运动，如图所示，试求
A
v0