18版高中数学第一章数列3.1等比数列二学案北师大版必修5

3.1 等比数列(二) 学习目标 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法．

知识点一 等比数列通项公式的推广

思考1 我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . 等比数列也有类似变形吗？

思考2 我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？

梳理 公比为q 的等比数列{a n }中，a n ＝a 1q

n －1＝a 1q ·q n .{a n }的单调性由a 1，q 共同确定如下： 当⎩⎪⎨

⎪

⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＜0，0＜q ＜1时，{a n }是递增数列； 当⎩⎪⎨⎪

⎧ a 1＜0，q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＞0，0＜q ＜1时，{a n }是递减数列；

q ＜0时，{a n }是摆动数列，

q ＝1时，{a n }是常数列．

知识点二 由等比数列衍生的等比数列

思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是

(1){3a n }是等比数列；

(2){3＋a n }是等比数列；

(3){1a n

}是等比数列； (4){a 2n }是等比数列．

梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…，若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…是等比数列．

(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列{1a n }，{a n ·b n }，{b n a n

}，{|a n |}仍是等比数列． 知识点三 等比数列的性质

思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，n ∈N ＋)是否成立？

梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N ＋)．若

m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2

k (m ，n ，k ∈N ＋)．

类型一 等比数列的判断方法

例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n －5a n －85，n ∈N ＋，证明：{a n －1}是等比数列． 反思与感悟 判断一个数列是等比数列的基本方法：

(1)定义法：a n ＋1a n

＝q (常数)； (2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(a n ≠0，n ∈N ＋)；

要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如a 2

2≠a 1a 3.

跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝14

(a n ＋1)(n ∈N ＋)． (1)求a 1，a 2；

(2)求证：数列{a n }是等比数列．

类型二 等比数列的性质

命题角度1 序号的数字特征

例2 已知{a n }为等比数列．

(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；

(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．

反思与感悟 抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题． 跟踪训练2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 3a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________. 命题角度2 整体思想

例3 已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．－9

反思与感悟 利用等比数列性质，挖掘出条件与解题目标之间的联系，进而进行整体代换，是简化计算的常用技巧．

跟踪训练3 设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 012和a 2 013是方程4x 2

－8x ＋3＝0的两根，则a 2 014＋a 2 015＝________.

1．在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，则公比q 为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

2．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1·a 10＝27，则log 3a 2＋log 3a 9等于( )

A ．9

B ．6

C ．3

D ．2

3．在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为________．

4．已知a n ＝2n ＋3n

，判断数列{a n }是不是等比数列？

1．等比数列的判断或证明

(1)利用定义：a n ＋1

a n

＝q (与n 无关的常数)．

(2)利用等比中项：a 2

n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋)．

2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明．

3．巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1 在等比数列中，由通项公式a n ＝

a 1q n －1

，得a n a m ＝a 1q n －1

a 1q m －1＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N ＋)． 思考2 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 则a n ＝a 1q

n －1＝a 1q ·q n ，其形式类似于指数型函数，但q 可以为负值．由于a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，所以{a n }的单调性由a 1，q ，q －1的正负共同决定． 知识点二

思考 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确． 知识点三

思考 ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8

，

∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25，

∴a 25＝a 1a 9成立．

同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立．

题型探究

例1 证明 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－5a 1－85， 解得a 1＝－14，

∵当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－5a n ＋5a n －1，

∴6a n ＝5a n －1＋1，a n －1＝56

(a n －1－1)， ∴{a n －1}是首项为－15，公比为56

的等比数列． 跟踪训练1 (1)解 由S 1＝14(a 1＋1)，得a 1＝14

(a 1＋1)， 所以a 1＝13

. 又S 2＝14

(a 2＋1)， 即a 1＋a 2＝14

(a 2＋1)， 解得a 2＝－19.