高等数学竞赛题库.不定积分与定积分

高等数学竞赛 不定积分

不定积分的概念与性质

1、设)10(tan 2cos )(sin 2

2

<<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f

3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)

⎰+dx x x x cos sin 12cos （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+x x dx

22cos 2sin （4）⎰+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin

2、求下列不定积分 （1）

⎰+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）⎰+dx x x x )1(ln )ln (2

3

（3）

dx x x ⎰

+2

11

arctan

（4）

⎰+-dx xe x x

x x )

cos 1(cos sin cos sin 2 （5）⎰++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分

1、三角代换求下列积分 （1）

⎰-+2

2

1)1(x

x

xdx

（2）

⎰

+2

323)

1(x dx x （3）

dx x x ⎰

-2

29 （4）⎰-+211x dx

2、倒代换（即令t

x 1

=）求下列积分 （1）

)0(2

2

2>+⎰a x a x dx （2）⎰

+)

2(7x x dx

3、指数代换（令,t a x

=则t

dt a dx ⋅=

ln 1） （1）⎰++x

x x dx

4

212 （2）⎰+++6

3

2

1x x x e

e e dx

4、利用分部积分法求不定积分

（1）⎰+dx e x x

22)1( （2）⎰

++xdx x x 2cos )52(3

（3）⎰xdx x arccos 2

（4）⎰

dx x x 2

3)(ln （5）⎰

xdx e x

cos

5、建立下列不定积分的递推公式 （1）⎰+=

dx a x I n n )(122 （2）⎰=xdx I n

n tan

有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）

⎰+++dx x x x 3

42

2 （2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx 2、求下列不定积分

（1）⎰+)2(10x x dx （2）⎰+-dx x x n n 112 （3）⎰-+dx x x 100

3)

1(1

2 （4）⎰

+x

x dx

x 3811

简单无理函数积分 1、

dx x

x ⎰

+3

1 2、dx x x x x ⎰

+++1

)1(

三角有理式积分 1、⎰+dx x sin 1 2、⎰

dx x

3sin 1 3、⎰+dx x x

sin 1sin

4、

⎰++dx x x x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 6

5cos sin

含有反三角函数的不定积分

1、⎰+xdx x x arctan 122

2、⎰-dx x x

32)

1(arccos 抽象函数的不定积分

1、⎰⎭

⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ⎰')(ln )

(ln 分段函数的不定积分

例如：设⎪⎩

⎪

⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,

1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.

高等数学竞赛 定积分

比较定积分大小 1、 比较定积分

⎰

2

1ln xdx 和⎰2

1

2)(ln dx x 的大小

2、 比较定积分⎰+1

)1ln(dx x 和⎰

+1

01arctan dx x

x

的大小

利用积分估值定理解题

一、估值问题 1、试估计定积分

⎰

+4

542)sin 1(ππ

dx x 的值

2、试估计定积分⎰

33

3arctan xdx x 的值

二、不等式证明

1、证明不等式：e dx e

x ≤≤⎰1

2

1

2、证明不等式：⎰

-≤

+≤1

1

43

8

12dx x 三、求极限

1、

⎰

+∞

>-2

1021lim

dx x x n

n 2、dx e

e x x x n n ⎰+∞>-101lim 关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题

1、求下列导数： （1）⎰

+=

3

2

4

1)(x x t

dt x F ；

（2）由方程

⎰⎰

=+y x t dt t

t dt e 0

2

2

1sin 确定的隐函数)(x f y =的导数

dx

dy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足

⎰

+=)

1(0

2)(x x x dt t f ，求)2(f

3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程

⎰⎰

+++=118

162

9

8)()(x x

C x x dt t f t dt t f ，求

)(x f 及常数C .

4、求下列极限：

（1）x

x t

x e

x tdt te 6

2

sin lim

⎰>- （2）2

50

20)cos 1(lim x

dt t x

x ⎰

-+

>-

5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1

)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .

6、已知8)()

(8

='⎰

dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2

)(dx x f 及)(x f

定积分的计算

一、分段函数的定积分