高等数学竞赛题库.不定积分与定积分
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高等数学竞赛 不定积分
不定积分的概念与性质
1、设)10(tan 2cos )(sin 2
2
<<+='x x x x f ，求)(x f 2、设x x f +='1)(ln ，求)(x f
3、已知]1)([)(-'=-'x f x x f ，试求函数)(x f 利用基本积分法求不定积分 一、利用凑微分法求不定积分 1、 求下列不定分; (1)
⎰+dx x x x cos sin 12cos （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+x x dx
22cos 2sin （4）⎰+-dx x x x x 5)sin (cos cos sin
2、求下列不定积分 （1）
⎰+++dx e x x e x x x x )13()(22 （2）⎰+dx x x x )1(ln )ln (2
3
（3）
dx x x ⎰
+2
11
arctan
（4）
⎰+-dx xe x x
x x )
cos 1(cos sin cos sin 2 （5）⎰++dx x x x x x )ln 1(ln 2ln 2 二、利用第二换元积分法求不定积分
1、三角代换求下列积分 （1）
⎰-+2
2
1)1(x
x
xdx
（2）
⎰
+2
323)
1(x dx x （3）
dx x x ⎰
-2
29 （4）⎰-+211x dx
2、倒代换（即令t
x 1
=）求下列积分 （1）
)0(2
2
2>+⎰a x a x dx （2）⎰
+)
2(7x x dx
3、指数代换（令,t a x
=则t
dt a dx ⋅=
ln 1） （1）⎰++x
x x dx
4
212 （2）⎰+++6
3
2
1x x x e
e e dx
4、利用分部积分法求不定积分
（1）⎰+dx e x x
22)1( （2）⎰
++xdx x x 2cos )52(3
（3）⎰xdx x arccos 2
（4）⎰
dx x x 2
3)(ln （5）⎰
xdx e x
cos
5、建立下列不定积分的递推公式 （1）⎰+=
dx a x I n n )(122 （2）⎰=xdx I n
n tan
有理函数的积分 1、求下列不定积分 （1）
⎰+++dx x x x 3
42
2 （2）⎰-2)1(x x dx （3）⎰++)1)(21(2x x dx 2、求下列不定积分
（1）⎰+)2(10x x dx （2）⎰+-dx x x n n 112 （3）⎰-+dx x x 100
3)
1(1
2 （4）⎰
+x
x dx
x 3811
简单无理函数积分 1、
dx x
x ⎰
+3
1 2、dx x x x x ⎰
+++1
)1(
三角有理式积分 1、⎰+dx x sin 1 2、⎰
dx x
3sin 1 3、⎰+dx x x
sin 1sin
4、
⎰++dx x x x cos 1sin 5、⎰xdx x x 3cos 2cos 4sin 6、⎰xdx x 6
5cos sin
含有反三角函数的不定积分
1、⎰+xdx x x arctan 122
2、⎰-dx x x
32)
1(arccos 抽象函数的不定积分
1、⎰⎭
⎬⎫⎩⎨⎧'''-'dx x f x f x f x f x f 32)]([)()()()( 2、dx x f x x f ⎰')(ln )
(ln 分段函数的不定积分
例如：设⎪⎩
⎪
⎨⎧>≤≤+<=1,2;10,1;0,
1)(x x x x x x f 求⎰dx x f )(.
高等数学竞赛 定积分
比较定积分大小 1、 比较定积分
⎰
2
1ln xdx 和⎰2
1
2)(ln dx x 的大小
2、 比较定积分⎰+1
)1ln(dx x 和⎰
+1
01arctan dx x
x
的大小
利用积分估值定理解题
一、估值问题 1、试估计定积分
⎰
+4
542)sin 1(ππ
dx x 的值
2、试估计定积分⎰
33
3arctan xdx x 的值
二、不等式证明
1、证明不等式：e dx e
x ≤≤⎰1
2
1
2、证明不等式：⎰
-≤
+≤1
1
43
8
12dx x 三、求极限
1、
⎰
+∞
>-2
1021lim
dx x x n
n 2、dx e
e x x x n n ⎰+∞>-101lim 关于积分上限函数及牛顿-莱布尼兹公式问题
1、求下列导数： （1）⎰
+=
3
2
4
1)(x x t
dt x F ；
（2）由方程
⎰⎰
=+y x t dt t
t dt e 0
2
2
1sin 确定的隐函数)(x f y =的导数
dx
dy 2、设)(x f 在),0[+∞上连续且满足
⎰
+=)
1(0
2)(x x x dt t f ，求)2(f
3、设)(x f 为关于x 的连续函数，且满足方程
⎰⎰
+++=118
162
9
8)()(x x
C x x dt t f t dt t f ，求
)(x f 及常数C .
4、求下列极限：
（1）x
x t
x e
x tdt te 6
2
sin lim
⎰>- （2）2
50
20)cos 1(lim x
dt t x
x ⎰
-+
>-
5、设)(x f 是连续函数，且⎰+=1
)(2)(dt t f x x f ，求)(x f .
6、已知8)()
(8
='⎰
dx x f x f 且0)0(=f ，求⎰2
)(dx x f 及)(x f
定积分的计算
一、分段函数的定积分