18版高中数学第二章解析几何初步2.2圆的一般方程学案北师大版必修2

2．2 圆的一般方程

学习目标 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.3.初步体会圆的方程的实际应用．

知识点圆的一般方程

思考1 方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？

思考2 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？

梳理圆的一般方程

类型一圆的一般方程的概念

例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径．

反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法

(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆．

(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．

应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．

跟踪训练1 (1)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为____________，半径为____________．

(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．

类型二求圆的一般方程

例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．

(1)求△ABC的外接圆的方程；

(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．

引申探究

若本例中将点“C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？

反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时应注意

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.

跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程．

类型三圆的方程的实际应用

例3 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．(精确到0.01 m)

反思与感悟在解决圆在实际生活中的应用问题时，借助坐标系，利用方程求解可取得简便、精确的效果．应用解析法的关键是建系，合理适当的建系对问题的解决会有很大帮助．

跟踪训练3 如图所示，一座圆拱桥，当水面在图示位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为多少？

1．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )

A．8πB．4π

C．2πD．π

2．若点M (3,0)是圆x 2＋y 2

－8x －4y ＋10＝0内一点，则过点M (3,0)的最长的弦所在的直线方程是( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x －y －3＝0 C ．2x －y －6＝0

D ．2x ＋y －6＝0

3．方程x 2

＋y 2

－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤2 B ．m ＜12

C ．m ＜2

D ．m ≤12

4．方程x 2

＋y 2

＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．－2,4,4 B ．－2，－4,4 C ．2，－4,4

D ．2，－4，－4

5．已知圆心为C 的圆经过点A (1,0)，B (2,1)，且圆心C 在y 轴上，求此圆的一般方程．

1．判断二元二次方程表示圆要“两看”：

一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆．此时判断D 2

＋E 2

－4F 是否大于0或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数． 2．待定系数法求圆的方程

如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法分别求出常数D 、E 、F .

答案精析

问题导学 知识点

思考1 对方程x 2

＋y 2

－2x ＋4y ＋1＝0配方，得(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆，

对方程x 2

＋y 2

－2x ＋4y ＋6＝0配方，得(x －1)2

＋(y ＋2)2

＝－1，不表示任何图形． 思考2 对方程x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0配方并移项，得 (x ＋D

2)2

＋(y ＋E

2

)2

＝

D 2＋

E 2－4F

4

.

①当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示的是以(－D 2，－E 2)为圆心，12

D 2＋

E 2

－4F 为半径的圆；

②当D 2

＋E 2

－4F ＝0时，方程只有一个实数解x ＝－D 2，y ＝－E 2，它表示一个点(－D 2，－E

2)；

③当D 2

＋E 2

－4F ＜0时，方程无实数解，它不表示任何图形． 题型探究

例1 解 由表示圆的条件， 得(2m )2

＋(－2)2

－4(m 2

＋5m )>0，

解得m <15，即实数m 的取值范围为(－∞，1

5)．

圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m . 跟踪训练1 (1)(－2，－4) 5 (2)9π

解析 (1)由圆的一般方程的形式知，a ＋2＝a 2

，得a ＝2或－1. 当a ＝2时，该方程可化为x 2＋y 2

＋x ＋2y ＋52＝0，

∵D 2＋E 2－4F ＝12＋22

－4×52＜0，

∴a ＝2不符合题意．

当a ＝－1时，方程可化为x 2

＋y 2

＋4x ＋8y －5＝0， 即(x ＋2)2

＋(y ＋4)2

＝25，

∴圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.

(2)圆x 2

＋y 2＋kx ＋2y －4＝0的圆心坐标为(－k

2，－1)，

由圆的性质知，直线x －y ＋1＝0经过圆心， ∴－k

2

＋1＋1＝0，得k ＝4，