华中师范大学微分几何试题答案

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微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12．已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d) 与u －曲线的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ．直线；B ．平面曲线；C ．抛物线；D ．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==，又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯，所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程．解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=，法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------，即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量．解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点．解由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程．解由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+．五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）．证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=，则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8．证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边，故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－，化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面，所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++，故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面．证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线．证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点；当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ，曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ，又曲线是曲率线，所以αdn dr ，所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何习题解答(曲面论一)

第二章曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r r={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r r={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r r=｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r r=}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解ϑr ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr ρ=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

(完整版)微分几何期末考试

6、曲面的第一基本形式 ds 2
du2 dv2 (u 2 v2 C)2
，则 122
__________________________
7、曲面
r
(u, v, u 2
v2
) 在 P(1,1, 2)
处的主方向为________________________________
得分评阅人
二、判断题：（共 5 题，每题 3 分，在括号里填写正确或错误）
1、（10
分）已知曲面
S：
r
r (u,
v)
的高斯曲率和平均曲率分别为
K
和
H，则曲面
S
的三
个基本形式满足：
KI－2HⅡ+Ⅲ＝0 .
第 2 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
C：
r
(t,
sin
t,(t
))
的主法线与
yOz
平面平行，是确定 (t
)
.
2、（8 分）找出双曲面 z axy 上的曲率线.
第 1 页(共 3 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

微分几何习题解答(曲线论)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

(完整word版)《微分几何》考试试卷与参考答案

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （）二、填空题：（每空3分，共33分）1、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为，第二基本形式为，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=，（4分）由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=，因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

华中师范大学微分几何精彩试卷试题问题详解0609.doc

极小曲面上不存在简单闭测地线。
解：k1k20
Kk1k20
由于在测地线上kg0
由高斯-波涅公式有
Kd20。
矛盾
文案大全
标准文档
华中师范大学2005–2006学年第二学期
期末考试试卷（A卷）
课程名称微分几何课程编号42121100任课教师周振荣
题型叙述填空计算证明总分
分值10303030100
得分
得分评阅人
义
WαW (ruu
rvv)
nuu
nvv
n，所以
α
α γ，
0。▌
9．
证明球面
r
(a
c
ous
cvo as ,
uc o sv
上曲线的测地曲率为
as i
u
d
sin u
dv
，其中
是曲线与球面上经线（u-曲线）的夹角。
一、叙述题：（共4题，每题5分，共10分）
1．高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或KR1212/ g
k
2．高斯-波涅公式：Kd
gds
(i) 2 ,其中
i是G的第i个内角的
G
G
i 1
角度，
i是外角的角度．
得分评阅人
二、填空题：（共5空，每空6分，共30分）
3．设有曲线x
etcost, y
etsin t, z
( sin v,cos v,0)，rvv( u cosv,
u sin v,0)，
i
j
k
rv
cosv
sin v
0
( asin v, a cosv, u)，
u sin v
u cosv a

微分几何练习试题库与参考答案解析(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限．232lim[(31)i j k]t t t →+-+= 138i j k -+2．设，，求 0 ．f ()(sin )i j t t t =+ 2g()(1)i j t t t e =++ 0lim(()())t f t g t →⋅= 3．已知，，，则{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰ {}2,1,1a ={}1,1,0b =- .4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-4．已知（为常向量），则．()r t a '= a ()r t = ta c +5．已知，（为常向量），则．()r t ta '= a ()r t = 212t a c + 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和密切平面____.7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .8. 挠率恒等于零的曲线是_____平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线 .10. 曲线在t = 2处有，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .()r r t = 3αβ= 11. 若在点处则为曲面的_ 正常______点.00(,)u v v 0u r r ⨯≠，00(,)u v 12．已知，，，则．()(2)(ln )f t t j t k =++ ()(sin )(cos )g t t i t j =- 0t >40()d f g dt dt ⋅=⎰4cos 62-13．曲线在任意点的切向量为．{}3()2,,t r t t t e ={}22,3,t t e 14．曲线在点的切向量为．{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =0t ={}0,,a a 15．曲线在点的切向量为．{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =0t ={}0,,a b 16．设曲线，当时的切线方程为．2:,,t t C x e y e z t -===1t =2111-=--=-z ee y e e x 17．设曲线，当时的切线方程为.t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos 0t =11-==-z y x 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.20. 在欧拉公式中，是方向(d) 与u －曲线的夹角.2212cos sin n k k k θθ=+θ21. 曲面的三个基本形式、高斯曲率、平均曲率之间的关系是 .,,I II III K H 20H K III -II +I =22．已知，其中，则．{}r(,),,u v u v u v uv =+- 2,sin u t v t ==drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+23．已知，其中，，则{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ= t =ϕ2t =θdr(,)d tϕθ=eg．{}sin cos2cos sin,sin sin2cos cos,cosa at a at aϕθϕθϕθϕθϕ---+24．设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果(,)r r u v=u vr r⨯≠:()r G r G→是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网．u-v-26．平面的第一基本形式为，面积微元为．{}r(,),,0u v u v=22d du v+d d u v27．悬链面第一基本量是．{}r(,)cosh cos,cosh sin,u v u v u v u=22cosh0,coshE uFG u===，28．曲面上坐标曲线，的交角的余弦值z axy=x x=y y=29．正螺面的第一基本形式是．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=2222d()du u b v++30．双曲抛物面的第一基本形式是{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv=+-．2222222222(4)d2(4)d d(4)da b v u a b uv u v a b u v+++-++++31．正螺面的平均曲率为0 ．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=32．方向是渐近方向的充要条件是．(d)d:du v=22()020nk d Ldu Mdudv Ndv=++=或33.方向和共轭的充要条件是(d)d:du v=(δ)δ:δu v=．(,)0()0drδr Lduδu M duδv dvδu Ndvδv=+++=II或34.是主曲率的充要条件是．λ0E LF MF MG Nλλλλ--=--35.是主方向的充要条件是．(d)d:du v=22d d d d00d d d ddv dudv duE uF v L u M vE F GF uG v M u N vL M N-++==++或36. 根据罗德里格斯定理，如果方向是主方向，则(d)(d:d)u v=．n ndn k dr k=-，其中是沿方向(d)的法曲率37．旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S上的曲线在P点的测地曲率的绝对值等于(C)在P点的切平面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．39．之间的关系是．,,g nk k k222g nk k k=+40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0 ．41．正交网时测地线的方程为．ddsdudsdvdsθθθ⎧-⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩42．曲线是曲面的测地线，曲线(C)上任一点在其切平面的正投影曲线是直线.二、单项选择题1．已知，则为（ A ）．{}(),,t t r t e t e -=r (0)'' A. ； B. ； C. ； D. .{}1,0,1{}1,0,1-{}0,1,1{}1,0,1-2．已知，为常数，则为（ C ）．()()r t r t λ'= λ()r tA. ；B. ；C. ；D. .ta λ a λt e a λ e a λ 其中为常向量．a3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角； B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直．4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个； B ．只有一个； C ．只有两个； D ．可能没有.5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．.6. 已知，求为（ D ）．{}r(,),,x y x y xy = (1,2)drA. ；B. ；{}d ,d ,d 2d x y x y +{}d d ,d d ,0x y x y +-C. ； D. .{}d -d ,d +d ,0x y x y {}d ,d ,2d d x y x y +7．圆柱螺线的切线与轴（ C ）.{}cos ,sin ,r t t t =z A. 平行； B. 垂直； C. 有固定夹角；D. 有固定夹角.4π3π8．设平面曲线，s 为自然参数，是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．:()C r r s =αβ ,A. 为单位向量； B. ； C. ； D. .α αα⊥ k αβ=- k βατγ=-+ 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）．:()C r r s =A. ；B. ，为的旋转角； ()()k s s α= ()()k s s ϕ= ϕ()s α C. ；D. .()k s αβ=-⋅()|()|k s rs = 11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件.12．下列论述不正确的是（ D ）．A. 均为单位向量；B. ；C. ；D. .,αβγ,αβ⊥βγ⊥αβA 13．对于空间曲线，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．C A. 充分不必要条件； B.　必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件； D.　充要条件.14．在点的切线与轴关系为（ D ）．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=2π=t z A. 垂直； B. 平行；C. 成的角； D. 成的角.3π4π15．椭球面的参数表示为（ C ）．2222221x y z a b c++=A. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=B. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=C. ；{}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=D. .{}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=16．曲面在点的切平面方程为（ B ）．{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-(3,5,7)M A. ； B. ；2135200x y z +-+=1834410x y z +--=C. ； D. .756180x y z +--=1853160x y z +-+=17．球面的第一基本形式为（ D ）．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =A. ；B. ；2222(d sin d )R u u v +2222(d cosh d )R u u v +C. ； D. .2222(d sinh d )R u u v +2222(d cos d )R u u v +18．正圆柱面的第一基本形式为（ C ）．{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =A. ；B. ；C ；D. .22d d u v +22d d u v -222d d u R v +222d d u R v -19．在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 12()u v v v v =≤≤弧长为（ B ）．A ．；B ．；21cosh cosh v v -21sinh sinh v v -C ．；D ．．12cosh cosh v v -12sinh sinh v v -20．设为正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）． M M A ．；B ．；C ．；D ．．0E =0F =0G =0M =21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ．；B ．；C ．；D ． 3．01223．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．； B ．C ． D ．24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ．直线；B ．平面曲线；C ．抛物线；D ．圆柱螺线．三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数具有固定长度，则. √()r r t = ()()r t r t '⊥2. 向量函数具有固定方向，则. √()r r t = ()()r t r t 'A 3. 向量函数关于t 的旋转速度等于其微商的模. × ()r t ()r t '4. 曲线的曲率、挠率都为常数，则曲线是圆柱螺线. ×ΓΓ5. 若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线. √ΓΓ6. 圆柱面线是渐近线. √ {cos ,sin ,},r R R z θθ=z -7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×　8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程表示曲面上曲线族. ×A(,)B(,)0u v du u v dv +=18. 二阶微分方程总表示曲面上两族曲线. ×22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是，这里是第一基本量. √0F =F 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×22. 球面上的圆一定是测地线. ×23. 球面上经线一定是测地线. √24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √四、计算题1．求旋轮线的一段的弧长．)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=π20≤≤t 解旋轮线的切向量为，则在一{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =-- {}()cos ,sin r t a a t a t '=-π20≤≤t段的弧长为：．220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰2．求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量．t te z t t y t t x ===,cos ,sin 解由题意知，{}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+n t h n，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+在原点，有，(0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==又，，()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯r r r r γ'''⨯='''⨯ 所以有.αβγ=== 3．圆柱螺线为，{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =①求基本向量； ②求曲率k 和挠率.,,αβγτ解 ①，，{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=- {}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯}{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=-②由一般参数的曲率公式及挠率公式3()r r k t r '''⨯=' 2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有，.22a k a b =+22b a b+=τ4．求正螺面的切平面和法线方程．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =解，，切平面方程为{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u v u vb---=-sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为．cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-5．求球面上任一点处的切平面与法线方程．{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=解，，{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=- 312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=---{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=--- 球面上任意点的切平面方程为∴{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即，cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=法线方程为2(cos cos,cos sin,sin)cos(cos cos,cos sin,sin), x a y a z a aϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即．cos cos cos sin sincos cos cos sin sinx a y a z aϕθϕθϕϕθϕθϕ---==6．求圆柱螺线在点处的密切平面.cos,sin,x a t y a t z t===(,0,0)a解(){sin,cos,1},r t a t a t'=-(){cos,sin,0},r t a t a t''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos10cos sin0x a y za t a t=a t a t------或即.sin)(cos)sin0t x t y az a t-+-=(7．求旋转抛物面的第一基本形式．22()z a x y=+解参数表示为，，，{}22(,),,()r x y x y a x y=+{}1,0,2xr ax={}0,1,2yr ay=，，，2214x xE r r a x=⋅=+24x yF r r a xy=⋅=2214y yG r r a y=⋅=+．2222222(d,d)(14)d8d d(14)dx y a x x a xy x y a y y∴=++++I8．求正螺面的第一基本形式．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，．1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+2222(d,d)d()du v u u b v∴=++I9．计算正螺面的第一、第二基本量．{}(,)cos,sin,r u v u v u v bv=解，，{}cos,sin,0ur v v={}sin,cos,vr u v u v b=-，，，{}0,0,0uur={}sin,cos,0uvr v v=-{}cos,sin,0vvr u v u v=--，{}cos sin0sin,cos,sin cosu vi j kr r v v b v b v uu v u v b⨯==--，u vu vr rnr r⨯==⨯，，，1u uE r r=⋅=u vF r r=⋅=22v vG r r u b=⋅=+，，．uuL r n=⋅=uvM r n=⋅=vvN r n=⋅=10．计算抛物面的高斯曲率和平均曲率．22z x y=+解设抛物面的参数表示为，则{}22(,),,r x y x y x y=+，，，，，{}1,0,2xr x={}0,1,2yr y={}0,0,2xxr={}0,0,0xy yxr r=={}002yyr=，，i ，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y ⨯==--||x yx y r r n r r ⨯==⨯，，，214x x E r r x =⋅=+ 4x y F r r xy =⋅=214y y G r r y =⋅=+ ，，，xx L r n =⋅=0xy M r n =⋅=yy N r n =⋅=，222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++．2232222124422(441)GL FM EN x y H EG Fx y -+++=⋅=-++11. 计算正螺面的高斯曲率.{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =解直接计算知，，，，，，1E =0F =22G u a =+0L =M =0N =．222222()LN M a K EG F u a -∴==--+12. 求曲面的渐近线.2z xy =解，则，，，， 2z xy =2z p y x∂==∂2z q xy y ∂==∂220z r x ∂==∂22z s y x y ∂==∂∂222z t x y ∂==∂所以，L =0，，M =N =渐近线微分方程，20dxdy =化简得，(2)0dy ydx xdy +=020dy ydx xdy =+=或渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面上的曲率线.{}cos ,sin ,r u v u v bv =解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,b cos v,u r r n r r bsin v,b cos v,u -⨯===⨯-n d，{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r u cos v,u sin v,0-=--L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:或2222dv dudv du 10u b =00-+dubu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=++=-+和14. 求马鞍面在原点处沿任意方向的法曲率.22{,,}r u v u v =-解，{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v22214,4,14==+==-=+A u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰ ，u vu v r r n r r ⨯==⨯uu L n r == A uv M n r 0,== A vv N n r ==A ， .22=-Ⅱn k ==ⅡⅠ15. 求抛物面在(0,0)点的主曲率.22()z a x y =+解曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，，所以两主曲率分别为 .NN2a k 0002a k -=-12k k 2a ==16. 求曲面在点(1,1)的主方向.22{,,}r u v u v =+解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+ (1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1=0,L M N ===代入主方向方程，得,2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M ===()()0du dv du dv +-=即在点(1,1)主方向.:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=17. 求曲面上的椭圆点，双曲点和抛物点．23(,){,,}r u v u v u v =+解由得 23{,,},r u v u v =+{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v0,02,0,00,0,06,0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点.18. 求曲面上的抛物点的轨迹方程．32(,){,,}r u v v u u v =+解由得 32(,){,,},r u v v u u v =+{}u r =u, 0,21,{}2,v r v , =30,1 {}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00,0,L M N ===令得u =0 或v =020LN M .-=所以抛物点的轨迹方程为或.{}r=v ,,v 30{}0r=,u ,u219.求圆柱螺线自然参数表示.(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =解由得 (){cos ,sin ,},r t a t a t bt = {sin ,cos ,}r a t a t b '=-，()r t '= 弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){r s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解设挠曲线为则主法线曲面为：a a s =(),r=a s v s ,β()+()则,a =a=α' ,b ==-k βατγ'+ a b =k,''- A 2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b k r=a s s =a s s k b ββτ'''A()-()()+()+21．求位于正螺面上的圆柱螺线（=cos ,sin ,x u v y u v z av ===00cos ,sin ,x u v y u v z av ===0u 常数）的测地曲率．解因为正螺面的第一基本形式为，螺旋线是正螺面的v -曲线，由2222d ()d u u a v =++Ι0u u =得．由正交网的坐标曲线的测地曲率得．2πθ=d 0d s θ=0220g u k u a==+五、证明题1. 设曲线：证明：(s),r r = 2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅ ⑴⑵l 证明 ⑴由伏雷内公式，得 =k =-,αβγτβ 或两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅ k =-.ταγ∴⋅ ⑵ r=r==k ,ααβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴ 2. 设曲线：证明：(s),r r = 3()()r ,r ,r =k k -k.ττ 证明由伏雷内公式，得r==k αβ 或2()r =k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k+k ατβττγ 232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯ A 3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ A 33432=-k k+k k +k τττ 3()=k k -k ττ 3. 曲线Γ:是一般螺线，证明也是一般螺线（R 是曲线Γ的曲率半径）．()r r s =1:r R ds αβΓ=-⎰ 证明 1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得11ds R R ds αααβ=+- 1R R R αββ=+- R α= ，由于Γ是一般螺线，所以也是一般螺线. 1αα∴A ，Γ4. 证明曲线是常数）是一般螺线．(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，, r r a ϕ''''⨯= 32()()r r r a b t ϕ'''''''=- ,,或322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r bt a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, . k a bτ∴=-5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，分别是曲线(C)在点P 的曲率、法n g k,k ,k 曲率与测地曲率，证明．222n g k =k +k 证明测地曲率 (是主法向量与法向量()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯ (,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±θβ 的夹角)n法曲率cos n k k n k βθ=⋅=或222k =k +k .∴6. 证明曲线的切向量与曲线的位置向量成定角．{}cos ,sin ,0t t r e t e t =证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，则有：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+夹角为.cos r r r r θ'⋅===' 4π由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若和对一切线性相关，则曲线是直线．r ' r ''t 证明若和对一切线性相关，则存在不同时为0的使r ' r ''t (),()f t g t ，()()()()0f t r t g t r t '''+=则 ,()()0,t r t r t '''∀⨯=又，故有.于是该曲线是直线．3()r r k t r '''⨯='t ∀()0k t =8．证明圆柱螺线的主法线和z 轴垂直相交．bt z t a y t a x ===,sin ,cos 证明由题意有，{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--由知.()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯{}cos ,sin ,0t t β=-- 另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直．z {}0,0,1a = 0a β⋅= a β⊥z 9．证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点．t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===证明由题意可得，则任意点的法平面为{}()sin 2,cos 2,sin r t a t a t a t '=-将点（0,0,0）代入上述0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 方程有左边右边，)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0故结论成立．10．证明曲线为平面曲线，并求出它所在的平面方程.222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-证明，，{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+- {}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=- {}00,0r ,'''= (,,)0r r r ,''''''=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面0τ=， {}(0)32,0r ,'=- {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为， 12132004102x y z -=-－－－化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程，定点的向径为，则()r r s =0R 0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+ 由于线性无关，∴ (1())()0s s k λαλβ--= ,αβ 100k λλ⎧-⎨⎩ 或或∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明取定点为坐标原点，曲线的方程为，()r r t =则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以 , 即((),(),())0o r t r t r t '''-= ((),(),())0r t r t r t '''=所以平行于固定平面，所以是平面曲线.()r r t = ()r r t =13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量，证明曲线是直线或平面曲线.e证明根据已知条件，得，0.............e α⋅=①①两边求导，得，由伏雷内公式得，0e α⋅= 0k e β⋅= ⅰ)，则曲线是直线；0k =ⅱ) 又有①可知 ‖0e β⋅= γ e因是常向量，所以是常向量，eγ 于是所以，所以曲线为平面曲线.||||0,τγ==0τ=14. 设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，,ΓΓ证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 , γγ±１２＝21ds ds γγ±A A１２＝由伏雷内公式得进而211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴± =12αα=±15. 证明挠曲线（）的主法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明设挠曲线为，则挠率，()r r s =0τ≠其主法线曲面的方程是：取，则()()r s t s ρβ=+ (),()a r s b s β==(),()k a s b s αβατγ''===-A＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面. 16. 证明挠曲线（）的副法线曲面是不可展曲面.0τ≠证明设挠曲线为，则挠率，()r r s =其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取，则(),()a r s b s γ== (),()a s b s αγτβ''===-A所以, ，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面. (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明设曲线则曲线的主法线曲面为r r(s), ＝r r s +v s β=()(),s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-)()v r =s β ,沿曲线（v ＝0）n=γ，所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面沿每一条直母线只有一个切平面.{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=证明为直纹面{cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u ,(0,(),()0ϕθϕθ'=）所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明.19. 给出曲面上一条曲率线，设上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求ΓΓ证是一平面曲线.Γ证明　设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，则θ0cos γθA 0ｎ＝两边求微商，得　0γγA AA A ｎ＋ｎ＝由于曲线是曲率线，所以，进而，由伏雷内公式得ΓαAA ｎ0γA A ｎ＝0τβ A －ｎ＝⑴时，是一平面曲线 0τ＝Γ⑵，即，，n 0β A ＝n β⊥n kcos =0k θ=又因为是曲率线，所以即是常向量，所以是平面曲线. Γ0n dn k dr =-= nΓ20．求证正螺面上的坐标曲线（即曲线族曲线族）互相垂直．u -v -证明设正螺面的参数表示是，则{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v b =-，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k *n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s（）221in cos k θθ=222s +ksin所以＝常数.*n n12k k k k+=+22. 如果曲面上非直线的测地线均为平面曲线，则必是曲率线.ΓΓ证明因为曲线是非直线的测地线，所以沿此曲线有Γ,β=±n从而又因为曲线是平面曲线，所以(),κατγ=±-+n0,τ=进一步.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.nκα=±23. 证明在曲面上曲线族x=常数，y =常数构成共轭网.()()z f x f y=+证明曲面的向量表示为x=常数,y=常数是两族坐标曲线.{}(,),,()(),r x y x y f x f y=+,.{1,0,}xr f'={0,1,}yr g'={0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yyr f r r g''''===因为,所以坐标曲线构成共轭网，xyM r==即曲线族x=常数, y=常数构成共轭网.24．证明马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=证明参数表示为，则{}(,),,r x y x y xy=，，，，，{}1,0,xr y={}0,1,yr x={}0,0,0xxr={}0,0,1xyr={}0,0,0yyr=，，{},,1x yr r y x⨯=--||x yx yr rnr r⨯==⨯，，xxL r n=⋅=xyM r n=⋅=yyN r n=⋅=，222221100011LN Mx y x y∴-=⨯-=-<++++故马鞍面上所有点都是双曲点．z xy=25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面(d,d)(d,d)u vu vIII的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．证明设球面的参数表示为，则{}(,)cos cos,cos sin,sinr u v R v u R v u R v=，，{}cos sin,cos cos,0ur R v u R v u=-{}sin cos,sin sin,cosvr R v u R v u R v=--，，{}cos cos,cos sin,0uur R v u R v u=--{}sin sin,sin cos,0uv vur r R v u R v u==-，{}cos cos,cos sin,sinvvr R v u R v u R v=---，，，22cosu uE r r R v=⋅=u vF r r=⋅=2v vG r r R=⋅=，，，2cosL R v==-0M==N R==-，故球面是全脐的．1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-26．证明平面是全脐的．dA证明设平面的参数表示为，则{}(,),,0r x y x y =，，，，，{}1,0,0x r = {}0,1,0y r = {}0,0,0xx r = {}0,0,0xy r = {}0,0,0yy r = ，，，1x x E r r =⋅= 0x y F r r =⋅= 1y y G r r =⋅=，，0xx L r n =⋅= 0xyM r n =⋅= 0yy N r n =⋅= ，故平面是全脐的．(,,)0(,,)L M N E F G ∴=27．证明曲面的所有点为抛物点．3x y z +=证明曲面的参数表示为，则{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，， {}2/3131,0,()x r x y -=+ {}2/3130,1,()y r x y -=+ ，，，{}5/3230,0,()xx r x y -=-+ {}5/3290,0,()xy r x y -=-+ {}5/3290,0,()yy r x y -=-+ ，，{}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+ ||x y x y r r n r r ⨯=⨯ ，，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅ {}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅ ，{}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=曲面的所有点为抛物点．∴3x y z +=28．求证正螺面是极小曲面．{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =证明，，{}cos ,sin ,0u r v v = {}sin ,cos ,v r u v u v a =-，，，{}0,0,0uu r = {}sin ,cos ,0uv r v v =- {}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a ⨯==--||u vu v r r n r r ⨯==⨯，，，1u u E r r =⋅= 0u v F r r =⋅=22v v G r r a u =⋅=+，，0uu L r n =⋅= uv M r n =⋅=0vv N r n =⋅= 故正螺面是极小曲面．21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-29. 圆柱面上的纬线是测地线．{cos ,sin ,}r a u a u v =证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u = ，{0,0,1}v r =，纬线是u -线，此时2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-，0θπ=或，所以，纬线是测地线．0.g k ∴=30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明，， 1202k k H +== 12k k ∴=-21220K k k k ∴=⋅=-≤当时，，极小曲面的点都是平点；0K =120k k ==∴当时，极小曲面的点都是双曲点．0K <31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线.证明 (1) 因为曲线是测地线，所以曲线又是渐近线，所以，0=g k ，0=n k ，而所以k=0，故所给曲线是直线. 222=+n g k k k ，(2)证法1因曲线是测地线，所以沿此曲线有所以β A n ，βA dn ，又曲线是曲率线，所以αA A dn dr ，所以所以故所给曲线是平面曲线.(k )ατγα-+A ，0τ=，证法2因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα A A 而，所以从而，γαβ=⨯ ,n γα=±⨯ ()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+= 又，所以，故所给曲线是平面曲线.γτβ=- 0τ=。

微分几何试卷试题答案及评分参考(B卷)

，，，，
…………………………………………………………3分
，， …6分
，，…………………………………6分
…………………………………………………8分
…………………………………………………10分
33、因为，所以是正交网。………………………………………2分
圆柱螺线是 -曲线，由刘维尔定理有。………………5分
因为曲线是曲率线，所以是主方向，由罗德里格定理即，其中是主曲率。所以。……………………………………………8分
综合以上两个式子得，由此得。………10分
35、设曲面上曲线：，是弧长参数，是与 -曲线的夹角．则
。
另一方面，由链式法则有。比较这两式得
，，………………………………4分
16、
17、
18、
19、
20、
21、
22、大圆
23、
24、三内角之和小于等于
25、
以下分数是累计分
四、简单计算题（每小题4分，共20分）
26、 ……………………………1分
………………………………………………2分
弧长为 ……………………………………4分
27、 …………………………………………1分
…………………………………………………………2分
上面最后一个等式是因为。所以我们有，即．……………………………………………………6分
将与的表达式代入刘维尔公式得
。
所以有
。…………………10分
20XX年湖北省高等教育自学考试
微分几何试卷试题答案及评分参考（B卷）
（课程代号： 2014 ）
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）

微分几何测试题集锦(含答案)

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

华中师大《微分几何》练习题库及答案

《微分几何》练习题库及答案一、单项选择题第一章1．已知(1,0,1)=--a ，(1,2,1)=-b ，则这两个向量的内积⋅a b 为（）．（内积；易；2分钟）A 2B 1-C 0D 12．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（）．（直线方程；易；2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yx C 11+==+z y x D ⎩⎨⎧==1z yx3．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ，则混合积为（）．（混合积；较易；2分钟）A 2B 1-C 1D 2-4.已知()(,,)ttt e t e -=r ，则(0)''r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ (１，０，１) Ｂ (-１，０，１) Ｃ (０，１，１) Ｄ (１，０，-１)5．已知()()t t λ'=r r ，λ为常数，则()t r 为（）．（导数；易；2分钟）Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa上述a 为常向量．6.已知(,)(,,)x y x y xy =r ，求d (1,2)r 为（）．（微分；较易；2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章7．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)Ａ平行Ｂ垂直Ｃ有固定夹角4π Ｄ有固定夹角3π 8．设有平面曲线:()C s =r r ，s 为自然参数，α,β是曲线的基本向量．下列叙述错误的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ α为单位向量Ｂ ⊥ααＣ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 9．直线的曲率为（）．（曲率；易；2分钟）Ａ –１Ｂ０Ｃ１Ｄ２10．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不正确的是（）．（伏雷内公式；较易；2分钟）Ａ ()()s s κ=αＢ ()()s s κϕ= ，ϕ为()s α的旋转角Ｃ()s κ=-⋅αβＤ ()|()|s s κ=r 11．对于平面曲线，“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) Ａ充分不必要条件Ｂ必要不充分条件Ｃ既不充分也不必要条件Ｄ充要条件 12．下列论述不正确的是（）．（基本向量；易；2分钟）Ａ α,β,γ均为单位向量Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ13．对于空间曲线Ｃ，“曲率为零”是“曲线是直线”的（）．（曲率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 14．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（）．（挠率；易；2分钟) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 既不充分也不必要条件 D 充要条件 15．2sin4),cos 1(),sin (ta z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（）．（切线方程、夹角；较易；2分钟）Ａ垂直Ｂ平行Ｃ成3π的角Ｄ成4π的角第三章16．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ= B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ= C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=17．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =18．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u vb u vc u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =19．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u vu v = B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v = C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =20．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数表示的是（）．（参数表示；易；2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a ub u u = B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-21．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（）．（切平面方程；易；2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=22．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 2222(d sin d )R u u v +B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +23．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一基本形式为（）．（第一基本形式；中；2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v - 24．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（）．（弧长；中；2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -25．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（）．（坐标网、曲线网；易；2分钟）A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 26．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A d (d )=n r WB d (d )u =n r WC d (d )u v =n r WD d (d )=-n r W 27．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r WB (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r W WC (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r W WD (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W 28．以下正确的是（）．（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r W B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r W W C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r W W D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r W W 29．高斯曲率为常数的的曲面叫（）．（高斯曲率；易；2分钟） A 极小曲面 B 球面 C 常高斯曲率曲面 D 平面第四章 30．,___________ijji i jgg =∑．（第一基本形式；易；2分钟） A 1 B 2 C 0 D -131．______j kjl jgδ=∑．（第一基本形式；易；2分钟） A kj g B kl g C ki g D ij g32．________kij Γ=．（克氏符号；较易；2分钟） A 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ B1()2jl ij kl il j il i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑ C 1()2jl ijkl il j il ig g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ 33．曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于_____．（测地曲率、测地曲率的几何意义、梅尼埃定理；易；2分钟）A 0B 1C 2D 334．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理、测地曲率；中；4分钟）ABCD35．如果测地线同时为渐进线，则它必为_____．（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟） A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线36．在伪球面(1)K ≡-上，任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不能确定 37.若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是______。

微分几何习题解答(曲线论)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

华中师范大学常微分习题 8(7)

习题 8—21.证明：线性方程零解的渐近稳定性等价于它的全局渐近稳定性证只需证y x a axdy)(= ①的零的解渐近稳定⇒①的零解全局渐近稳定。

事实上，只需证：若0>∃δ ，当δ<0y 且0),(,0,0→+∞→y x x y x 有时则对一切,10n R y ∈有0),(0,0→y x x y ).10(+→x 同为0),,(0)(00→Φ=y y x x y x δ<0y 10+→x 所以 ,0)(sup )(sup )(01010→Φ<=Φ<=Φ--y x s y x x y y δδδ当 ,10+→x 故对任何解 ),(0,0y x x y 有0)()()(),(00000→Φ≤Φ≤Φ=y x y x y x y x x y +∞→x 故得让.)(,.2稳定的充要条件的零解为稳定式或渐近试求出方程与七都是标量设x a dtaxx += 解方程满足初值条件 0)10(x x = 的解为 ds s a s to e x t x )(0)(= (1)当时+∞<ds s a s to)(, ds s a at m l t )(:0⎰+→ 存在,故当 [)+∞∈,0t ds s a t )(0⎰ 是有界的,设它的界为M,即当.)(0M ds s a t ≤⎰ 于是对0∈>∀,取m e -∑=δ,则当δ<0x 时,[)+∞∈,0t ,有 ∑<≤+m e x x 0)( 所方议程的零解是稳定的.反之,若方程的零解是稳定的,容易推出 .)(0∞++⎰+∞dt a(2)当-∞=+⎰+∞dt a )(0时,0:)(0=+∞→⎰ds s a te t m l .同而当[)+∞∈,0t 时,dss a te )(0⎰是有界的,即存在 ,0>M [)+∞∈,0t 时,有M e dss a t<⎰)(0于是对0>∑∀,取M∑=δ.则当δ<0X 时, [)+∞∈,0t 就有 ∑<+)(x ,且 0:)(00=+∞→⎰dss a t ex t m l所以方程的零解的是稳定的.反之,若方程的零解是渐近稳定的,容易推出-∞=+⎰+∞dt a )(0.3.对于极坐标下的方程.Q=1, ⎪⎩⎪⎨⎧=012v S v v 的 00≥>v v 当当试做出原点附近的排图,并研究平均衡点 0=v 的稳定性质.解 0=v 是方程的一个奇点,它的特解族 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+tQ k v )(1)(π K=1, 2,…是以πk 1为半径以(0,0)为圆心的同心圆族,逆时针运行.在π1=v 内部,无穷多个同心圆轨道中.相邻两个同心圆之间的环域出发的轨道亦绕(0,0)逆时针旋转且ππ)12(121-<<k v k 时,0<dt d π , ππk v k 21)12(1<<- 时, 0>dtd π.时ππk v k 21)12(1<<+,0>dtdv.其中n k ←，由每个环域的轨线之向径)(t v 是严格单调函数，所以除)2.1(1==k k v π外，已无别拼闭轨。

微分几何习题解答(曲线论)

第一章曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0），所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

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华中师范大学 2004 –2005 学年第二学期期末考试试卷（A 卷）答案课程名称微分几何课程编号任课教师周振荣10分）1．曲线的伏雷内公式为2．设曲面的参数表示为(,)r r u v =，则||u v r r ⨯3．曲面的高斯方程为 mijk mk ij mj ik R L L L L =-4．曲面的科达齐方程为()ij l l ikik lj ij lk kjlL L L L u u ∂∂-=Γ-Γ∂∂∑ 5．第二类克氏符号lijΓ=1()2jl ijkl il j i i l g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑ 二、计算题：（共3题， 70分）1．圆柱螺线的参数表示为(cos ,sin ,)r t t t =。

计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。

（35分）解：(0){1,0,0},(0){0,1,1},(0){1,0,0}r r r '''===-，所以切线：100011X Y Z ---==，即100X Y Z -=⎧⎨-=⎩ 法平面：(1)0(0)1(0)10X Y Z -⋅+-⋅+-⋅=，即0Y Z+=密切平面：101101X YZ-=-，即0Y Z -+=(){cos ,sin ,0},(){sin ,cos ,0}r t t t r t t t '''''=--=-。

||2,{s i n ,c o s ,1},||2r r r t t r r ''''''=⨯=-⨯=， 2．计算抛物面22z x y =+的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。

（35分）解：22{,,}r x y x y =+，{1,0,2},{0,1,2}x y r x r y ==，所以有xx L r n ==，0xy M r n ==，yy N r n ==在脐点有III λ=，由此得0x y ==，即唯一的脐点是原点。

三、证明题：（共1题， 10分）若曲面的两族渐近线交于一定角，则主曲率之比为常数。

证明：取渐进网为曲纹坐标网，则v 曲线与u 曲线的夹角为常数θ，且v 曲线方向的法曲率为零。

根据欧拉公式有2212cossin 0k k θθ+=四、应用题：（共1题， 10分）用高斯-波涅定理证明极小曲面上不存在简单闭测地线。

解：120k k +=由于在测地线上0g k = 由高斯-波涅公式有20Kd σσπ=≤⎰⎰。

矛盾华中师范大学 2005 –2006 学年第二学期期末考试试卷（A 卷）课程名称微分几何课程编号任课教师周振荣1．高斯定理：高斯曲率是内蕴量，或1212/K R g =-2．高斯-波涅公式：1d d ()2,kg i i GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰其中i α是G ∂的第i 个内角的角度，i πα-是外角的角度．二、填空题：（共5空，每空6分，共30分）3．设有曲线ttte z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t=时的切线方程为11-==-z y x 。

4．设曲面的参数表示为(,)u v =r r ，则||u v ⨯r r5．曲线tte z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量为(0,)22=α，主法向量为6,)=β、副法向量为=γ。

三、计算题：（共2题，每题15分，共30分）6．圆柱螺线的参数表示为(cos ,sin ,)a t a t bt =r 。

计算它的曲率和挠率。

解 (sin ,cos ,)a t a t b '=-r ，(cos ,sin ,0)a t a t ''=--r ，(sin ,cos ,0)a t a t '''=-r ，||'=r 2(sin ,cos ,)ab t ab t a '⨯=-r r ，||'⨯r r所以有22a a bκ+=，22b a b τ+=．▌ 7．计算正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 的高斯曲率、平均曲率。

解 (cos ,sin ,0)u v v =r ，(sin ,cos ,)v u v u v a =-r ，(0,0,0)uu =r ，(sin ,cos ,0)uv v v =-r ，(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ，cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v vv a v a v u u v u v a⨯==--ij kr r ，||u v u v ⨯==⨯r r n r r ，1u u E =⋅=r r ，0u v F =⋅=r r ，22v v G a u =⋅=+r r ， 0uu L =⋅=r n，uv M =⋅=r n ，0vv N =⋅=r n ，222222()LN M a K EG F a u -==--+，四、证明题：（共2题，每题15分，共30分）8．求证（1）如果测地线是渐近线，则它必定是直线。

（2）如果测地线是曲率线，则它必定是平面曲线。

证明（1）由222n gκκκ=+，如果曲线是测地线（0g κ=）且是渐近线（0n κ=），则0κ=，所以曲线是直线。

（2）由伏雷内公式有κτ=-+βαγ。

由于曲线是测地线，有=±βn 。

综合这两个等式有κτ±=-+n αγ。

因为曲线是曲率线，所以α是Weingarten 变换W 的特征向量，即λ=ααW ，其中λ是主曲率。

再由Weingarten 变换的定义()u v u v u v u v =+=--=-αr r n n n W W ，所以λκτ±=-+ααγ，0τ=。

▌9．证明球面(cos cos ,cos sin ,sin )a u v a u v a u =r 上曲线的测地曲率为d d sin d d g vu s sθκ=-，其中θ是曲线与球面上经线（u -曲线）的夹角。

证明因为经线是u -曲线，所以θ是曲线与u -曲线的夹角。

直接计算得2E a =，0F =，22cos G a u =。

因为d cos sin d ||||u v u v s θθθθ=+=+r r rr r ，另一方面，由链式法则有d d d d d d u vu vs s s=+r r r 。

比较这两式得sin θ=，cos θ=。

代入刘维尔公式得华中师范大学 2006 –2007 学年第二学期期末考试试卷（A 卷）答案课程名称微分几何课程编号任课教师郭驼英、周振荣15分）1．什么叫内蕴量？请举两个内蕴量的例子。

答由第一基本形式决定的量叫内蕴量。

如高斯曲率、曲面区域的面积。

2．请叙述曲面的基本定理．答给定两个二次型,d d i j ij i jI g u u =∑和,d d i j ij i jII L u u =∑，其中0I >。

如果ij g 与ij L 满足高斯、科达齐方程，则存在曲面:(,)S u v =rr ，使得第一基本形式是I ，第二基本形式是II ；如果忽略空间的位置差别，这样的曲面是唯一的。

3．第二基本形式d d II =-⋅r n 吗？为什么？答 d d II=-⋅r n 。

这是因为d 0⋅=r n ，两边微分得2d d d 0⋅+⋅=r n r n 。

再由第二基本形式的定义即得。

二、填空题：（共4空，每空5分，共20分）4．设有曲线ttte z t e y t e x ===,sin ,cos ，则当0t=时的切线方程为11-==-z y x 。

5．设曲面:(,)S u v =r r 的第一基本形式为222d sinh d I u u v =+，则其上的曲线u v =从1v v =到2v v =的弧长为12|sinh sinh |v v -。

（这里sinh 2t te e t --=）6．设曲面:(,)S u v =r r 在某点处的第一基本量为1,0E G F ===，第二基本量为,0,L a M N b ===，则曲面在该点沿方向()(1:2)d =的法曲率为45na bk +=。

7．设曲面:(,)S u v =r r 在某点处的第二基本量为1,0,1L M N ===-，则曲面在该点的渐近方向为()(1:1)d =±。

三、计算题：（共3题，每题15分，共45分）8．求曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 的曲率和挠率，其中cosh 2t t e e t -+=，sinh 2t te e t --=。

解由一般参数的曲率公式3()t κ'''⨯='r rr 和挠率公式2(,,)()t τ''''''='''⨯r r r r r 以及有||cosh t '=r ， 22||cosh t '''⨯=r r ，2(,,)a ''''''=r r r ，▌9．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解设抛物面的参数表示为22(,)(,,)x y x y x y =+r ，则(1,0,2)x x =r ，(0,1,2)y y =r ，(0,0,2)xx =r ，(0,0,0)xy yx ==r r ，(002)yy =，，r ，102(2,2,1)012x y x x y y⨯==--i j kr r ，||x y x y ⨯==⨯r r n r r ，214x x E x =⋅=+r r ， 4x y F xy =⋅=r r ， 214y y G y =⋅=+r r ，xx L =⋅=r n ， 0xy M =⋅=r n ，yy N =⋅=r n ，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 2232222124422(441)GL FM EN x y H EG F x y -+++=⋅=-++． 10．求位于正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===的测地曲率。

解因为0F=，所以是正交网。

圆柱螺线是v -曲线，由刘维尔定理有v g k =。

直接计算得221,E G u a ==+，所以0220v g u k u a =+。