非周期信号的频域分析2

t
44

0


F ( ) A
2 0 2


1 F(1)
22
1 A
2
4
0
4




5. 互易对称特性
若f (t) F F ( j)
f (t)
A
则F ( jt) F 2πf ()
F(j) A
0
t
2
2
F(jt)/2
A
t
4π 2π 2π 4π
例 试求图示延时矩形脉冲信号f1(t)的频
谱函数F1(j)。
f1 (t )
A

f (t)
A
0
T
t
0
t
2
2
解： 无延时且宽度为 的矩形脉冲信号f(t) 如图，
其对应的频谱函数为
F( j) = A Sa( )
2
因为 f1(t) = f (t T ) 故，由延时特性可得
F1 ( j) = F ( j)e jT
= A Sa( )ejT
2
4. 展缩特性
若f (t) F F ( j)
则f (at) F 1 F ( j )
aa
证明:
F[
f
(at)]
=


f (at)ejt dt
令 x = at，则 dx = adt ，代入上式可得
F[ f (at)] =
1 a

证明：
F[ f1(t) f2 (t)] = [ f1( ) f2 (t )d ]ejt dt = f1( )[ f2 (t )ejt dt]d
= f1( )F2 ( j)ej d = F1 ( j) F2 ( j)
=


f (t)e j(0 )t dt
= F[ j( 0 )]
6. 频移特性（调制定理）
F[ f
(t) cos 0t]
=
1 2
F[
f
(t)e j0t
]
1 2
F[ f
(t )e j0t
]
=
1 2
F[ j(

0
)]

1 2
F[ j(

0
)]
信号f(t)与余弦信号cos0 t相乘后，其频谱是将 原来信号频谱向左右搬移0，幅度减半。
傅立叶变换的基本性质
1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性 4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性 8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
1. 线性特性
若f1 (t) F F1 ( j)； f 2 (t) F F2 ( j)， 则af1 (t) bf 2 (t) F aF1 ( j) bF2 ( j) 其中a和b均为常数。
式中t0为任意实数
证明： F[ f (t t0 )] = f (t t0 )ejt dt
令x = tt0，则dx = dt，代入上式可得
F[
f
(t

t0
)]
=


f (x)ej(t0 x)dx
= F ( j) e jt0
信号在时域中的时移，对应频谱函数在频域 中产生的附加相移，而幅度频谱保持不变。
A
F ( Leabharlann Baidu)
A
/2 0
/2
t
f (t) cos0t
A
/2
/2
t
0

0
F[ f (t) cos(0t)]
A/2

0
0
7. 时域卷积特性
若f1 (t) F F1 ( j)
f 2 (t) F F2 ( j)
则f1 (t) f 2 (t) F F1 ( j) F2 ( j)
j x
f (x)e a dx =
1
F(j)
aa
时域压缩，则频域展宽；展宽时域，则频域压缩。
4. 展缩特性 若f (t) F F( j) 则f (at) F 1 F( j ) aa
f (1 t) 2
2F (2 ) 2 A
t

0

f (t)


t

2
2
f (2t)
A

|F(j)| = |F(j)| ， () = ()
FR ( j) = FR ( j), FI ( j) = FI ( j)
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j)
当f(t)为实偶函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的实偶函数
当f(t)为实奇函数时，有
F(j) = F*(j) ， F(j)是的虚奇函数
3. 时移特性
若f (t) F F ( j) 则f (t t0 ) F F ( j) e jt0
2. 共轭对称特性
若 f (t) F F ( j)
则 f * (t) F F * ( j) f * (t) F F * ( j) F(j)为复数，可以表示为
F ( j) = F ( j) e j() = FR ( j) jFI ( j) 当f(t)为实函数时，有



4π 2π 2π 4π


f () A

0
2
2
6. 频移特性（调制定理）
若
f (t) F F ( j)
则
f (t) e j0t F F[ j( 0 )]
式中0为任意实数
证明：由傅里叶变换定义有
F[ f (t) e j0t ] = f (t)e j0t ejt dt
同理
F[
f
(t) sin 0t] =
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
1 2j
F[
f
(t)e j0t
]
=

j 2
F[
j(

0
)]

j 2
F[ j(

0
)]
例 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解: 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
F
(
j)
=
A


Sa(
)
2
应用频移特性可得
F[ f (t) cos 0t]
=
1 2
F[
j(

0
)]

1 2
F[
j(

0
)]
= A {Sa ( 0 ) Sa ( 0 ) }
2
2
2
例 试求矩形脉冲信号f(t)与余弦信号cos0 t相
乘后信号的频谱函数。
解:
f (t)