5.6一次函数与二元一次方程
八年级数学上册 5.6 二元一次方程与一次函数课时练 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中八年级上
二元一次方程与一次函数【教材训练】 5分钟(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.(2)一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.(1)方程组的解是相应的两个一次函数图象的交点坐标.(2)两个一次函数图象的交点坐标是相应的方程组的解.(1)代入消元法.(2)加减消元法.(3)图象法:要强调的是由于作图的不准确性,由图象法求得的解是近似解.(填“近似”或“准确”)先设出函数表达式,再根据所给条件确定表达式中未知的系数,从而得到函数表达式的方法.5.判断训练(打“√”或“×”)(1)二元一次方程与一次函数可以相互转化. (√)(2)都是函数y=7-2x相应的二元一次方程的解. (×)(3)点(1,1),(5,-1),(2,)都在二元一次方程x+2y=3相应一次函数的图象上.(√)(4)在一次函数y=x-3的图象上任取一点,它的坐标适合方程3x+2y=6. (×)(5)方程组的解是一次函数y=-x+3和y=2x+1图象的交点坐标.(×)【课堂达标】 20分钟训练点一:二元一次方程与一次函数1.(3分)二元一次方程的图象如图所示,则这个二元一次方程为( )A.x-3y=3B.x+3y=3C.3x-y=1D.3x+y=1【解析】选A.设直线关系式为y=kx+b,直线过点(3,0),(0,-1).代入y=kx+b,得解得即y=x-1,得到x-3y=3.所以答案A正确.2.(3分)无论m取何实数,直线y=x+3m与y=-x+1的交点不可能在第________象限.【解析】因为一次函数y=-x+1的图象经过一、二、四象限,所以,交点不会在第三象限. 答案:三3.(8分)若二元一次方程kx-y=-b的两组解为和求对应的一次函数的表达式.【解析】将x=2,y=0;x=1,y=-1分别代入kx-y=-b,得解得所以x-y=2,所以y=x-2.训练点二:用二元一次方程组确定一次函数表达式1.(4分)如果是方程组的解,则一次函数y=mx+n的表达式为( )A.y=-x+2B.y=x-2C.y=-x-2D.y=x+2【解析】代入得解得所以表达式为y=x+2.2.(3分)如图,直线AB对应的函数表达式是( )A.y=-x+3B.y=x+3C.y=-x+3D.y=x+3【解析】选A.设直线AB的表达式为y=kx+b,将(0,3),(2,0)代入上式,得解得所以y=-x+3.3.(4分)已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A(1,1),B(2,-1),求这个函数的表达式.【解析】根据题意得解得所以函数的表达式是y=-2x+3.4.(5分)一辆警车在高速公路的A处加满油,以每小时60km的速度匀速行驶.已知警车一次加满油后,油箱内的余油量y(L)与行驶时间x(h)的函数关系的图象是如图所示的直线l上的一部分.求直线l的函数表达式.【解析】设直线l的表达式是y=kx+b(k≠0),由题意得解得所以y=-6x+60.【课后作业】 30分钟一、选择题(每小题4分,共12分)1.如图,以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是( )A. B.C. D.【解析】l1经过(2,3),(0,-1),解得函数表达式为y=2x-1;直线l2经过(2,3),(-1,0),其函数表达式为y=x+1;因此以两条直线l1,l2的交点坐标为解的方程组是,故选C.2.下面四条直线,其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是( )【解析】选C.二元一次方程x-2y=2变形得y=x-1,而一次函数y=x-1的图象经过(0,-1),(2,0)两个点.有无穷多组解,则2k+b2的值为( )【解析】选B.由题意知一次函数y=kx+b,y=(3k-1)x+2的一次项系数和常数项相同,即k=3k-1,且b=2,则k=,故2k+b2=2×+22=5.二、填空题(每小题4分,共12分)4.(2012·某某中考)如图,已知函数y=x-2和y=-2x+1的图象交于点P,根据图象可得方程组的解是________.【解析】因两函数图象的交点坐标是(1,-1),故是方程组的解.答案:的解的情况为________,则一次函数y=2-2x,y=5-2x的图象的位置关系是________.【解析】因方程组无解,所以,一次函数y=2-2x与y=5-2x的图象无交点,是两条平行直线.答案:无解平行的过程中,错把b看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为又已知直线y=kx+b过点(3,1),则b的正确值应该是________.【解析】把代入y=kx+6,得2=-k+6,解得k=4,把(3,1)代入y=4x+b,得1=4×3+b,即b=-11.答案:-11三、解答题(共26分)7.(8分)如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值.(2)不解关于x,y的方程组请直接写出它的解.(3)直线l3:y=nx+m是否也经过点P?请说明理由.【解析】(1)因为(1,b)在直线y=x+1上,所以当x=1时,b=1+1=2.(2)方程组的解是(3)直线y=nx+m也经过点P.理由如下:因为当x=1时,y=mx+n=m+n=2,(1,2)满足函数y=nx+m的关系式,则直线经过点P.8.(8分)(2012·某某中考)甲、乙两地相距300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地.如图,线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系,折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系.根据图象,解答下列问题:(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h.(2)求线段DE对应的函数关系式.(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车.【解析】(1)2.5-2=0.5(h).(2)设DE:y=kx+b.因为点D(2.5,80)和E(4.5,300)在DE上,所以解得≤x≤4.5).(3)设OA:y=mx,则300=5m,m=60,y=60x,根据题意,得解得3.9-1=2.9(h).所以轿车从甲地出发后经过2.9h追上货车.9.(10分)(能力拔高题)小颖和小亮上山游玩,小颖乘坐缆车,小亮步行,两人相约在山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍,小颖在小亮出发后50min才乘上缆车,缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走的路程为ym.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.(1)小亮行走的总路程是______m,他途中休息了______min.(2)①当50≤x≤80时,求y与x的函数表达式;②当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是多少?【解析】(1)3600 20(2)①当50≤x≤80时,设y与x的函数表达式为y=kx+b.根据题意,当x=50时,y=1950;当x=80时,y=3600.所以解得所以y与x的函数表达式为y=55x-800.②缆车到山顶的路线长为3600÷2=1800(m),缆车到达终点所需时间为1800÷180=10(min).小颖到达缆车终点时,小亮行走的时间为10+50=60(min).把x=60代入y=55x-800,得y=55×60-800=2500.所以当小颖到达缆车终点时,小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100(m).。
二元一次方程与一次函数
x 2 x y 5 则方程组 的解为 y 3 . 2 x y 1
,
x 2 x 2 y 2 2、若二元一次方程组 的解为 y 2 2 x y 2
则函数 坐标为 （2，2） .
1 y 2x 2 y x 1 与 2
5.6 二元一次方程与一次函数
实验中 学
王春梅
x+y=5这是什么？
方程x+y=5可以转化为
y=5-x
思考：是不是任意的二元一次方程
都能进行这样的转换呢？
归纳:
任意一个二元一次方程都可以转化 成y=kx+b的形式,所以每个二元一次 方程都对应一个一次函数.
(1)方程X+Y=5的解有 多少个？
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它
3) 方法归纳 用图象法解二元一次方程组 优点:方法简便,形象直观;体现了数形结合思想. 不足:一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代 数方法,进行细致计算.
x y 2 1、方程组 x y 5 x y 3 2、方程组 2 x 2 y 6
有
0
个解；
交点坐标(2,3)是方程组
｛2X-Y=1。 的解
X+Y=5；
• 在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和 • y = x - 2 的图象怎样 的位置关系？
l1 : y x 1 l2 : y x 2
x y 1, x y 2.
师:通过以上结论,你能分析研究出二元一次方程与一次 函数图象的关系吗? 生:二元一次方程的解就是一次函数图象的点的
有
个解；
两条直线互相平行，有
二元一次方程与一次函数关系
y y
1 的解为 3
y 7 .
2、已知
x
y
2 是方程组
4
7x 2x
3y 2的解，
y 8
那么一次函数
y
7x
3
2 3
和 y82x的
图象交点坐标为 （2 ，4）.
总结 升华
1) 二元一次方程与一次函数的关系是： 二元一次方程的解就是对应的一次函数图象的 点的坐标;一次函数图象上的点的坐标就是对应 的二元一次方程的解.
2)二元一次方程组与对应的一次函数图象的两 条直线的关系是：
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标；两 条直线的交点坐标是对应的方程组的解；
完
数无形时少直觉 形无数时难入微
做一做：
在同一直角坐标 系中画出 y=-x+5 与y=2x-1的图像 并标出交点坐标.
｛ x+y=5 2x-y=1
解得：
x y
2 3
｛ y=-x+5 x+y=5
y=2x-1 2x-y=1
y
5 yx5
4
3
A2,3
2
1
-5 -4 -3 -2 -1 O
-1
1 2 3 4 5x
一次函数Y=-X-2 +5和Y=2X-1的 图y象的2x交1点坐-3标(2,3)就是相 应方程组的解-4
x 1
x+y=5
的解有
y
6
x 1
y
4
x 3
y
2
……….
二、探究新知： 1、二元一次方程与一次函数的关系：
一次函数与二元一次方程
一次函数与二元一次方程我们知道一次函数的解析式就是一个二元一次方程，而任何一个二元一次方程都可以化为一次函数解析式的形式，如：y ＝2x ＋3是一次函数解析式，也是一个二元一次方程；而2x －y ＝－3是二元一次方程，不是函数解析式，但可以将其化为y ＝2x ＋3，即为一次函数解析式。
因此一次函数与二元一次方程是既有区别又有联系。
区别在于：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数则有两个变量；(2)二元一次方程用一个等式表示两个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表示两个变量之间的关系，又可以用列表或图象来表示两个变量之间的关系.联系在于：(1)在直角坐标系中分别描出以二元一次方程的解为坐标的点，这些点都在相应的一次函数的图象上.(2)在一次函数图象上任取一点，它的坐标都适合相应的二元一次方程.由于二元一次方程可以转化为一次函数，在直角坐标系中可以画出函数的图象，所以将方程组中的两个方程都化为一次函数，再在同一直角坐标系中画两个一次函数图象，它们的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.这种将二元一次方程组转化为一次函数，通过画函数图像确定交点坐标，从而解出方程组的方法，我们称为二元一次方程组的图象解法。
用此方法解二元一次方程组一般有下列几个步骤：(1)将相应的二元一次方程改写成一次函数的解析式；(2)在同一直角坐标系内作出这两个一次函数的图象；(3)观察图象的交点坐标，即得二元一次方程组的解.我们可以总结为“画直线、找交点、确定解”。
例 用作图象的方法解二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 解：①由3x ＋2y ＝5，得y ＝－2523+x ，由x ＋y ＝1，得y ＝－x ＋1.②在同一直角坐标系内作出一次函数y ＝－2523+x 的图象L 1和y ＝－x ＋1的图象L 2， ③如图1，观察图象，得L 1、L 2的交点为(3，－2)，即二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+.1,523y x y x 的解是⎩⎨⎧-==.2,3y xL 2 图1评注：(1)第一步变形时，要保证移向第一步变形时，要保证移项变号；(2)作图必须非常准确，因为图形的偏差会导致我们获得方程组解的偏差，甚至导致错解。
2017-2018学年北师大版八年级数学上册教师用书(pdf版)：5.6二元一次方程与一次函数
{
{
ｘ＝２
ｙ ＝ －ｘ ＋１
的解是
ｙ ＝ －１
.
探求二元一次方程组与一次函数的对应 ʌ 例 ２ɔ 已知一次函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ 与 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ 的 图 像 如 图 所 示ꎬ 且 方 程 组 关系
{
７
ｙ ＝ ａｘ ＋ ２ ｘ＝２ 的解为 ꎬ 点 Ｂ 的坐标 ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ ｙ＝１ 为(０ꎬ － １) ꎬ你能确定这两个一次函
( 第 １ 题)
一. 选择题
Ａ 组㊀ 夯实基础
１. 下面四条直线ꎬ其中直线上每个点的坐标都是二元一 次方程 ｘ － ２ｙ ＝ ２ 的解的是 ( ㊀ Ｃ㊀ )
２. 小亮用作图像的方法解二元一次方程组时ꎬ 在同一直 如图所示ꎬ他解的这个方程组是 ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ａ. Ｂ. １ ＝ － ｙ ｘ １ ｙ ＝ －ｘ ２ ｙ ＝ ３ｘ － ８ ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ２ Ｃ. ( ㊀ Ｄ㊀ )
ʑ ４ｋ －６ ＝ ０ꎬ即 ｋ ＝ ３ ꎻ ２
三. 解答题
若这一交点坐标适合方程 ａｘ ＋ ｙ ＝ ６ꎬ则 ａ ＝ ㊀ －２３㊀ .
( 第 ２ 题) ( －２ꎬ４) ㊀ .
二. 填空题
３. 如图ꎬ已知函数 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ 和 ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ 的图像交于点 Ｍ ꎬ 则根 据 图 像 可 知ꎬ 关 于 ｘꎬ ｙ 的 二 元 一 次 方 程 组 ｙ ＝ ａｘ ＋ ｂ ｘ ＝ －２ 的解为㊀ ㊀ . ｙ＝３ ｙ ＝ ｃｘ ＋ ｄ ４ｘ ＋ｙ ＝ ７ ｘ＝２ ４. 二元一次方程组 的解是 ꎬ则一次函数 ｙ ｘ ＋ｙ ＝ １ ｙ ＝ －１ ＝ １ － ｘ 和 ｙ ＝ ７ － ４ｘ 的图像的交点为㊀ ( ２ꎬ－１) ㊀ .
二元一次方程与一次函数
自主学习
达标4：
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
综合建模
1.请概括本节所学知识，尝试画出本 节所学知识的结构图。
2.通过本节课的学习，你有哪些疑问？
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
数
二元一次方程 （无数个解） 二元一次方程组 唯一解
形
一次函数（一条直 线） （无数个点） 两条直线 一个交点
自主学习
达标2： 1、已知一次函数 y =2x-1 与 y =3x+4图象如图所示，则方程组 的解为（ ）。 的解为 2、方程组
，则直线y=-x+15和y=x-7的 交点坐标是（ ）。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
例题：直线l1：y=x+2和直线l2：y=2x-2的图象如图所示，则直线l1与l2 的交点坐标是 ．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
小结2： （1）求二元一次方程组的解可以转化 为求两条直线的交点的横纵坐标． （2）求两条直线的交点坐标可以转化 为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解．
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
活动一：二元一次方程和一次函数的关系
1．方程x+y=5的解有 无数个
个；
是这个方程的解吗？ 2．画出一次函数 y=-x+5的图像。
八年级 数学
第五章 二元一次方程组 二元一次方程与一次函数
自主学习
3.（0，5），（5，0），（2，3） 在一次函数y＝的图像上吗？ 4.在一次函数y=的图像上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？
5.6一次函数与二元一次方程课件
活动二
二元一次方程组 2x － y － 3=0
y 4 3 2 1
y=2x－3
1 3 y= x － 2 2
1
x － 2y－3 = 0
的解是 x=1
y=－1
Байду номын сангаас
-4 -3 -2 -1 o -1 -2 -3 -4
.
2
3 4
x
P(1, －1)
一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点， 那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解． 时2分37秒
美丽的校园，我们爱你！
2014年11月29日星期六9 时2分37秒
2014年11月29日星期六9 时2分37秒
创设情境
十七世纪法国数学家迪卡儿有一次生病卧床， 他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着丝左右爬行。迪卡儿 看到蜘蛛的“表演”猛的灵机一动。他想：可以把 蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能 不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？ 在蜘蛛爬行的启示下，迪卡儿创建了直角坐标系， 在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立联系。 迪卡儿坐标系起到了桥梁和纽带的作用。从而我们 可以把图形化成方程来研究，也可以用图像来研究 方程。 2014年11月29日星期六9
变函数——画图像——找交点——写结论．
2014年11月29日星期六9 时2分37秒
x＋y＝12， x＝ 8 ， 1．若二元一次方程组 的解为 2x＋y＝20 y＝4, 则一次函数y＝－x＋12与y＝－2x＋20的图像
的交点坐标为
(8,4) .
2014年11月29日星期六9 时2分37秒
1 3 2．一次函数y＝2x＋3和y＝ x－ 的图像 2 2
交于点A(－3，－3)，则方程组 1 x－y－ 3 ＝0 2 2
5.6 二元一次方程与一次函数
—1——2—5.6 二元一次方程与一次函数学习目标：1.初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2.掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系. 一、复述回顾：（二人小组完成）1.一次函数的定义是什么？2.二元一次方程的定义是什么？3.任写一个二元一次方程并把它化为用x 的代数式表示y 的形式，你发现什么结论？二、设问导读：阅读课本P 123-124完成下列问题：1. ①方程x+y=5的解有____个？写出其中的几个解来:⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ⎩⎨⎧ ②在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，③一次函数y=5－x 的图像④以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x 的图像相同吗？ 一般地，以________________为坐标的点组成的图象与________________的图象相同，是___________. 2. 完成做一做.在上面直角坐标系内作出一次y=2x －1的图像，它函数y=5－x 的图像的交点坐标是_______，而⎩⎨⎧ 是方程组⎩⎨⎧=-=+125y x y x的解，说明____________.一般地，从图象的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于____________________ _____；解一个二元一次方程组，相当于___________________________________. 3. 完成想一想.在同一直角坐标系内，一次函数1+=x y 和2-=x y 的图象的位置关系是________，而方程组⎩⎨⎧=--=-21y x y x 的解的情况为________________.有什么规律？ 三、自学检测：1.填空题： ①方程组⎩⎨⎧=+=+5222y x y x 的解为___________，则一次函数y =2－2x 与y =5－2x 的图象的交点为_________________.②一次函数y=3x+5和y=2x+4的图象的交点坐标为_____________， 则方程组⎩⎨⎧+=+=4253x y x y 的解是___________.四、巩固训练：1.填空题： ①将二元一次方程3x-y=5化为一次函数的形式为___________________________. ②如果⎩⎨⎧-==23y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+53121ny mx ny mx 的解，则一次函数y=mx+n 的解析式为__________. ③一次函数y=5x+3和y=5x+4的位置关系是_____，则方程组⎩⎨⎧+=+=4535x y x y 的解是_____. ④无论m 取何实数，直线y=x+3m 与y=－x+1的交点不可能在第_______象限.2.两直线l 1：y=2x －3与l 2：y=6－x 在同一坐标系中的图象如图所示：(1)写出方程组⎩⎨⎧=+=-632y x y x 的解. (2)根据图象指出：x 为何值时，y 1＞y 2；x 为何值时，y 1＜y 2.(3)求这两条直线与x 轴所围成的△ABC 的面积.五、拓展延伸：1.①方程组⎩⎨⎧=+=+52y x y x ，⎩⎨⎧=-=-6223y x y x 有解吗？有几个？②一次函数y=2–x ，y=5-x 的图像之间有何关系？根据以上问题你能得出什么结论？2.已知直线l 1:y=k 1x+b 1和直线l 2:y=k 2x+b 2 （1）当________时，l 1与l 2相交于一点. （2）当___________时，l 1∥l 2，此时方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解的情况是_____.（3）当_______时，l 1与l 2重合，此时方程组⎩⎨⎧+=+=2211b x k y b x k y 的解的情况是___. 六、我的收获（反思静悟、体验成功）八年级数学（上）导学案班级 姓名 学号。
《二元一次方程与一次函数》教学设计
5.6二元一次方程与一次函数教学设计深圳市龙岗中学姚颖妍一、教材分析《二元一次方程与一次函数》是北师大版教科书八年级（上）第五章第六节内容。
该节内容是二元一次方程（组）与一次函数及其图像的综合应用．通过探索“方程”与“函数图像”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图像解法，使学生初步建立了“数”（二元一次方程）与“形”（一次函数的图像（直线））之间的对应关系，进一步培养了学生数形结合的意识和能力。
本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图像中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。
二、学情分析在八年级上册第四章第3节学生已经学习了如何根据已知条件准确画出一次函数的图象，初步掌握了一次函数及其图象的基础知识，已经具备了函数的初步思想，对于数形结合的数学思想也有所接触。
同时，在本章中的第二节“求解二元一次方程组”中学生已经能够正确解方程（组），能够认识和接受函数解析式与二元一次方程之间的互相转换。
在过去已有经验基础上能够加深对“数”和“形”间的相互转化的认识，有小组合作学习经验。
三、教学目标1、知识目标：（1）初步理解二元一次方程和一次函数的关系。
（2）掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系。
（3）掌握二元一次方程组的图象解法。
2、能力目标：（1）教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法。
（2）通过自主探究，进一步发展学生数形结合的意识和能力。
3、情感态度和价值观目标;（1）让学生积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程。
（2）在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力。
四、教学重难点1、教学重点：（1）二元一次方程和一次函数的关系。
二元一次方程与一次函数课件
想一想
在同一直角坐标系内，一次函数y=x+1和y=x-2的图
象有怎样的位置关系？
方程组 ቊ − = −1 ，
解的情况如何？
− =2
你发现了什么？
1.对于两不重合的直线
当l1平行于l2时，k1=k2；反之也成立.
2.对于方程组
，当
方程组无解；反之也成立.
2
为 （2,2）.
3. 如图，已知数 y=ax+b和y=kx 的图象交于点 P，则
根据图象可得,关于x,y的二元一次方程组 ቊ = + ，
=
= −4 ，
的解是 ቊ = −2 .
3.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解?这些解
是什么?
y
y 2x 1
1
1
O
x
1
3
8
分0.05元的价格按上网时间计费，那么上网多久两种计费方式所
收费用相等?
解：用一次函数表示方式A，B的收费费用y与时间x的关系，
方式A：y=0.1x, 方式B: y=0.05x+20.
当方式A和B的所收费用相同时 ，0.1x=0.05x+20,
解得x=400.
故上网400分，两种计费方式所收费用相等.
且c1≠c2时，
随堂练习
1.一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
=2，
+ =5，
则方程组 ቊ
的解为 ቊ = 3 .
2 − = 1
2.若二元一次方程组ቊ − 2 = −2 ，
的解为ቊ = 2，
= 2，
2 − = 2
1
北师大版八年级数学上册_典中点《二元一次方程与一次函数》综合练
《5.6 二元一次方程与一次函数》综合练练点1 二元一次方程与一次函数的关系1.【2021·南昌育才学校月考】直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解的直线是（）A.B.C.D.2.二元一次方程2x+y=3的解有_____个，以这些解为坐标的点，都在一次函数____的图象上.3.如图是一次函数y=ax-b的图象，则关于x的方程ax-1=b的解为x=_____.练点2 二元一次方程组与一次函数的关系4.【教材P124随堂练习T1变式】若直线y=3x+6与y=2x+4的交点坐标为（a，b），则,.x ay b=⎧⎨=⎩是下列哪个方程组的解（）A.3624y xy x-=⎧⎨+=-⎩B.3624y xy x-=⎧⎨-=⎩C.3624x yx y-=⎧⎨-=⎩D.3624x yx y-=-⎧⎨-=-⎩5.如图，已知一次函数y=x+1和y=ax+3（a≠0）的图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组1,3x yax y-=-⎧⎨-=-⎩的解是（）A.12xy=⎧⎨=⎩B.21xy=⎧⎨=⎩C.12xy=⎧⎨=-⎩D.21xy=-⎧⎨=⎩6.【中考·贵阳】若直线y=-x+a与直线y=x+b的交点坐标为（2，8），则a-b的值为（）A.2B.4C.6D.87.【2020·陕西】在平面直角坐标系中，O为坐标原点.若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A，B，则△AOB的面积为（）A.2B.3C.4D.6发散点1 利用图象法解二元一次方程组8.【教材P124习题T3拓展】如图，已知直线1l：y=3x+1与y轴交于点A，且和直线2l：y=mx+n交于点P（-2，a），根据以上信息解答下列问题：（1）求a的值；（2）不解关于x，y的方程组31,,y xy mx n=+⎧⎨=+⎩请你直接写出它的解；（3）若直线12,l l 表示的两个一次函数的值都大于0时恰好x >3，求直线2l 的函数表达式.发散点2 利用直线的交点坐标求自变量的范围9.【2020·滨州】如图，在平面直角坐标系中，直线y =-12x -1与直线y =-2x +2相交于点P ，并分别与x 轴相交于点A ，B .（1）求交点P 的坐标；（2）求△PAB 的面积；（3）请把图象中直线y =-2x +2在直线y =-12x -1上方的部分描黑加粗，并写出此时自变量x 的取值范围.参考答案1.答案：C2.答案：无数；y=-2x+33.答案：44.答案：D5.答案：A6.答案：B解析：a=y+x，-b=x-y，两式相加，得a-b=2x=4.7.答案：B解析：解方程（组）得到A（-3，0），B（-1，2），根据三角形的面积公式即可得到结论.8.答案：见解析解析：（1）因为点P（-2，a）在直线y=3x+1上，所以a=3×（-2）+1=-5.（2）它的解为2,5. xy=-⎧⎨=-⎩（3）因为直线12,l l表示的两个一次函数的值都大于0时恰好x>3，所以直线2l过点B（3，0）.又因为直线2l过点P（-2，-5），所以30, 25,m nm n+=⎧⎨-+=-⎩解得1,3. mn=⎧⎨=-⎩所以直线2l的函数表达式为y=x-3 9.答案：见解析解析：由11,222y xy x⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩解得2,2.xy=⎧⎨=-⎩所以P（2，-2）.（2）在y=-12x-1与y=-2x+2中，分别令y=0，则1102x--=，-2x+2=0，分别解得x=-2，x=1.所以A（-2，0），B（1，0）. 所以AB=3.所以11·32 3.22PAB pS AB y==⨯⨯=（3）如图所示.自变量x的取值范围是x<2.。
《5.6二元一次方程与一次函数》课堂教学专家点评
《5.6二元一次方程与一次函数》课堂教学专家点评
马秀才老师在这节课的教学过程中，突出了学生的主体地位，教学目标准确、具体、可操作性强。
引入恰当新颖过、渡自然、内容环节紧凑。
留给学生充分的参与和交流时间与空间。
在完成每一个教学目标过程中大致可以分为“提出问题—探究问题—问题解决”三个阶段。
如在解决二元一次方程与一次函数关系时，设置五个问题让学生自主、合作、探究、交流，最后达成共识。
在解决问题过程中，不仅让学生学会了有条理地表述自己的观点想法，还使学生接纳、赞赏、互助并不断对自己和别人的观点进行诊断与反思，最后作出正确的判定。
马老师这一节课在课堂教学中呈现出许多的亮点值得老师们学习和借鉴。
1、通过小故事引起学生学习兴趣，鼓励学生积极参与，从而很自然地引入新课。
2、学生课堂表现积极，交流和谐，互补融洽。
3、老师能真正放手给学生而学生能自主探究，相互合作，坦率交流。
这样老师把自主地，有效地课堂还给了学生。
4、这节课还交给学生“数形结合”“转化”等数学思想。
总之，数学教学是数学活动的教学，而不是数学结果的教学，是师生之间，学生之间，学生之间相互交往、积极互动、共同发展的过程，是“沟通”“合作”的过程，是平等“对话”的过程。
在这样“宽松”“和谐”的环境中，不仅能培养学生自主学习，而且能使学生养成探究习惯，形成创新的能力。
点评专家：
工作单位：
职务：数学教研组长。
一次函数和二元一次方程
寻找一次函数和二元一次方程的关系
一次函数和二元一次方程经常出现在初中数学中，它们之间有着
密切的关系。
了解这种关系可以让我们更加深入地理解它们的本质，
并在解决实际问题时更加得心应手。
一次函数又称为一次多项式函数，它的形式为f(x) = kx + b。
其中，k表示该函数的斜率，b表示该函数的截距。
一次函数是图像为直
线的函数。
二元一次方程是形如ax + by = c(其中a，b，c为常数，且a，b
不全为零)的方程，也可以写成y = (-a/b)x + c/b的形式，这个方程
的图像为一条直线。
那么，一次函数和二元一次方程到底有什么关系呢？其实，只需
要稍微推导一下，我们就可以发现它们之间的联系：
f(x) = kx + b
y = kx + b
ax + by = c
y = (-a/b)x + c/b
我们可以发现，一次函数的斜率就是二元一次方程中-x系数的倒数，截距则是常数项除以-x系数的倒数；同样，二元一次方程中的斜
率就是一次函数的斜率的相反数，截距则是常数项除以斜率的相反数。
了解了一次函数和二元一次方程之间的关系，我们在解决实际问
题时就可以更加得心应手。
比如，如果我们要求通过点(x1, y1)和(x2, y2)的直线方程，那么我们可以根据两点式求出方程的斜率和截距，进
而得出一次函数的表达式；同样，如果我们知道了一次函数的表达式，那么我们也可以根据相应的公式推导出对应的二元一次方程。
总之，了解一次函数和二元一次方程之间的关系对于我们理解和
应用它们是至关重要的。
一次函数与二元一次方程组
巩固练习
1、根据下列图象，你能说出它表示哪个方 程组的解？这个解是什么？
y
y=2x-1
方程组
2x–y= –1 3x+y=4
1
o
x
1
x=1 y=1
y=-3x+4
2:用图象法解方程组： 2x+y=4
2x-3y=12
① ② y=2/3 - 4 o y x
解：由①得: y 2 x 4
在同一坐标系中作出它们 的图象：（如图所示）
(1,-1)
从图中可知两直线的交点坐标为(1,-1)
显然：两个一次函数图象的交点 坐标就是它们所对应的二元一次 方程组的解。
0
-2
x
y=-2x+1
归纳总结:
一次函数与二元一次方程组
从数的角度看：
求二元一次方程组的解 x为何值时，两个函数的值相等
从形的角度看：
求二元一次方程组的解 是确定两条直线交点的坐标
问题：1、通话多少分 钟两种卡花费一样？ 通话100分钟 2、通话多少分钟便民卡 优惠？ 通话时间大 于100分钟 3、通话多少分钟如意卡 优惠？ 通话时间小 于100分钟 （元） y 50 40 30 20 10
y=0.5x
如意卡 便民卡
y=30+0.2x
o
20 40 60 80 100 120
x（分）
x-y=2
2x+y=1 x-y=2 对应的两一次函数是怎样的？ 2x+y=1 y=x-2, y=-2x+1
y=x-2 1
1/ 2
x=1 y=-1
(3)在同一直角坐标系中画出 y=x-2和y=-2x+1的图象。 y
二元一次方程和一次函数的区别
二元一次方程和一次函数的区别二元一次方程和一次函数的区别一、二元一次方程和一次函数的定义1. 二元一次方程二元一次方程是指形式为Ax + By = C的方程，其中A、B、C是已知数，x和y是未知数，且A和B不全为零。
2. 一次函数一次函数是指形式为y = kx + b的函数，其中k和b是已知数，x 和y分别表示自变量和因变量。
二、二元一次方程和一次函数的关系1. 形式上的相似从形式上看，二元一次方程和一次函数都含有未知数x和y，并且都是以一次幂的方式出现，所以在外表上二者有相似之处。
2. 直观上的区别二元一次方程更强调两个未知数之间的关系，通常用来描述平面直角坐标系中的直线关系；而一次函数更侧重于自变量和因变量之间的函数关系，以直线图像呈现。
三、深入探讨二元一次方程和一次函数的区别1. 解的不同二元一次方程求解的目的是求出使方程成立的未知数的值，即确定直线在坐标系中的位置；而一次函数求解的目的是得出自变量和因变量的关系，从而描绘出整个函数的图像和特性。
2. 表达方式不同二元一次方程是用等式的形式来表达，描述了两个变量之间的线性关系；一次函数是用函数的显式表达式来描述自变量和因变量之间的函数规律，通常以图像的形式展现。
3. 应用领域不同二元一次方程主要用于解决平面几何中的交点问题、物理问题中的速度、加速度等关系问题；一次函数则广泛应用于经济学、物理学、工程学等领域，用来描述实际问题中的线性关系。
四、总结与回顾二元一次方程和一次函数在形式上有相似之处，但在实际应用和解释上有着明显的区别。
通过学习和理解二者的差别，我们能更清晰地应用于实际问题，并且能更深入地理解数学和函数的内涵。
个人观点对于学习者来说，理解二元一次方程和一次函数的区别有助于拓展数学思维，更好地理解函数的本质和意义。
在教学中，也应该注重强调二者之间的联系和区别，帮助学生建立正确的数学观念。
以上就是关于二元一次方程和一次函数的深度和广度兼具的描述和解释，希望能帮助您更好地理解这两个重要的数学概念。
5.6 二元一次方程与 一次函数
在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组 的解是___________．
（2，2）
3．如图，两条直线的交点坐标可以看作哪个方程组的解？
解：
3-1
2
-3
x
y
0
如图，一次函数y=ax+b与y=cx+d的图象交于点P，则方程组 的解是多少？
都在
·
·
y=-x+5
探究五 在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，点的坐标适合方程x+y=5吗？
都适合
探究六 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=-x+5的图象相同吗？
相同
在一次函数 y=5-x的图象上
方程x+y=5 的解
从形到数
从数到形
讨论 一次函数与二元一次方程有什么关系？
解：此方程组的解是
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-3
-4
-5
2
O
-2
1
4
-6
x
y
P
y=ax+b
y=cx+d
解：把(1,a)代入y=2x得a=2,把点（1,2）代入y=-x+b得2=-1+b，解得b=3,因为直线y=2x与y=-x+3的交点为（1,2）,所以方程组 的解为 .
二元一次方程与一次函数
二元一次方程的解与一次函数图象的关系
二元一次方程组与对应两条相交直线的关系
二元一次方程组与对应两条平行线的关系
北师大版数学八年级上册教学设计：5.6二元一次方程与一次函数
-作业的批改和反馈将作为学生知识掌握情况的重要依据，我会及时给予学生反馈，帮助他们发现并改正错误。
2.培养学生的团队协作意识，提高学生的沟通能力。
通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生团队协作意识，提高学生在解决问题过程中的沟通能力。
3.培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的数学应用能力。
教学过程中，强调数学知识在实际生活中的应用，使学生认识到数学学习的实用价值，提高学生的数学应用能力。
4.团队合作题：
-分组进行一次小组讨论，每组选择一个较复杂的实际问题，共同探讨解决方案，并在课堂上进行分享。
作业布置的目的是为了让学生在课后能够自主复习和深化理解，同时也是为了培养学生的独立思考和团队协作能力。在布置作业时，我会强调以下几点：
-作业完成过程中，要求学生保持良好的学习习惯，书写工整，步骤清晰。
（三）学生小组讨论
在这一环节，我将组织学生进行小组讨论。首先，将学生分成若干小组，每组选定一个组长，确保每个小组成员都能积极参与讨论。
然后，给出几个实际问题，让学生运用二元一次方程和一次函数进行分析和求解。例如：“某商店进行打折活动，原价为100元，打八折后的价格为80元。请问打几折时，价格最低？”
在此基础上，教师应关注学生个体差异，针对不同学生的学习需求，提供有针对性的指导，激发学生的学习兴趣，帮助他们克服学习中的困难，从而提高学生的数学素养和应用能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：二元一次方程的解法及其与一次函数的关系。
学生需要掌握代入法、消元法等解二元一次方程的方法，并理解一次函数图像与二元一次方程解的关系。
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也就是说 ： 二元一次方程与一次函数可以相互转化.
x+y=1 就像班内同学换换位一样。
y=x+1
探究学习一： 把二元一次方程-x+y=1写成一次函数 x+1 y=____________ 的形式
1、你能找出方程 -x+y=1 的几组解吗?
2、画出一次函数 y=x+1的图像
3.以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来， 你发现它们在直线 y=x+1上吗? 4、在一次函数y=x+1的图像上点的坐标 都是二元一次方程 -x+y=1的解吗？
5.以方程 -x+y=1 的解为坐标的所有点组成的图象 与一次函数 y=-=x+1 的图象相同吗？
相同
再看一例:
把二元一次方程x+y=5写成一次函数 -x+5 y=____________ 的形式 1、你能找出方程 x+y=5的几组解吗? 2、画出一次函数y=-x+5的图像
3、把以这几组解为坐标的点在坐标系上描出来， 你发现了什么?
4、在一次函数y=x+5的图像上点的坐标 都是二元一次方程 x+y=5的解吗？
2、在坐标系中画出y=-x+5的图像。
有 何 发 现？
-4
y
X+y=5的解
X=3
Y=2
y=-x+5 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3
（1，4）
（2，3） (3，2） （4，1）
直线上的点 (3，2）
4
5
x
回答问题：
1.方程x +y = 5的解有多少个?
无数个 都是
x = 0, x = 5, x = 2, 是这个方程的解吗？ y = 5; y = 0; y = 3
2.方程 x + y = 5可以化为y=-x+5吗？ 可以
3.点(0,5), (5,0), (2,3) 在一次函数y= -x+5上吗？ 4.在一次函数y=-x+5的图象上任取一点， 它的坐标适合方程x+y=5吗？ 5.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象 与一次函数y=-x+5的图象相同吗？ 相同 都在 适合
归纳总结一:
二元一次方程的解 与对应的一次函数图像上的点何关系？ 二元一次方程 的解 对应的一次函数 的图像上的点坐标
（数值）
（图形）
一句话: 二元一次方程 = 一次函数
探究学习二：
解二元一次方程组
-x+y=1 x+y=1
x= 0
解得
y= 1
1、-x+y=1 对应的一次函数为 y=x+1 2、x+y=1对应的一次函数是
北师大版八年级上第五章第六节
5.6 二元一次方程 与一次函数
-x+y=1
是什么？
是二元一次方程 吗？
是一次函数吗？
√
√
这是怎么回事？
-x+y=1 是什么了
是二元一次方程
也是一次函数
y=x+1
x+y=1
亲，知道为什么吗？
请看：
方程 -x+y=1可以转化为
函数 y=x+1
函数y=x+1可以转化为
方程 -x+y=1
二元一次方程 和一次函数的 图象的关系 以二元一次方程的解 为坐标的点都在对应 的函数图象上. 一次函数图象上的点 的坐标都适合对应的 二元一次方程.
二元一次方程 = 一次函数 （数） （形）
课堂小结：
方程组和 对应的两 条直线的 关系 方程组的解是对应的两 条直线的 交点坐标. 两条线的交点坐标是对 应的方程组的 解.
回答问题：
1.方程 -x + y = 1的解有多少个? 无数个
都是
x = 0, x = 1, x = 2, y = 1 ; y = 2 ; y=3
2.方程 -x + y = 1可以化为 y=x+1吗？ 可以
3.点(0,1), (1,2), (2,3) 在一次函数y= x+1上吗？ 4.在一次函数 y=x+1 的图象上任取一点， 它的坐标适合方程 -x+y=1 吗？ 都在 适合
1.在一坐标系中画出y=x+1的图像。
y
方程 -x+y=1的解 就是： 直线y=x+1上的点 的横坐标和纵坐标 不信， 你看啊。
（-1，0）
-5 -4 -3 -2
7 6 5 4 3
2 1 （0，1） 1 2
有 y=x+1 何 （4，5） 发 （3，4） 现 （2，3） ？ （1，2）
3 4 5x
-1 0 -1
4、在同一坐标系中画出y=-x+5和y=2x-1的图像。 y
y=-x+5 5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 y=2x-1 x+y=5 2x －y=1
P(2,3)
的解
X=2
x
Y=3
x+y=5
y=-x+5和y=2x-1交点坐标是方程组 2x －y=1
的解
1.一次函数与二元一次方程可以相互转化， 从形式到内容它们都是统一的。 2.二元一次方程组的解
1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5
y=3
2.交点坐标(2,3)与方程组
｛
x+y =5；
的解有什么关系？
2x-y=1 。
y
y=-x+5
5 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 0 -1 1 2
再看一遍：
y=2x-1 P(2,3) x+y=5
2x－y=1
的解 X=2
3
4
5
x
Y=3
x-2y=-2 例1:用图象法解二元一次方程组 1 2x-y=2 y = x 1 解 由（1）得
与以这两个方程所对应的一次函数图象的
交点坐标相对应。
一句话：
=
二元一次方程组的解 两 一次函数图像交点坐标
归纳总结二:
每个二元一次方程组都对应两个一次函数， 于是也对应两条直线 从数的角度看：
二元一次方程组的解
x是自变量的值，y是函数值
从形的角度看：
二元一次方程组的解 是两条直线交点的坐标
一句话： 二元一次方程组的解 （数值）
y=-x+1
3、在同一坐标系中画出y=-x+1和y=x+1的图像。 y
7
y=-x+1
6 5 4 3 2 1 -1 0 -1
y=x+1
自变量为何值时， 这两个一次函数的 值相等 ？函数值是 什么？
-5 -4 -3 -2
(0,1)
1 2 3 4 5x
x+y=1 -x+y=1
y=-x+1 y=x+1
(0,1)
2
由此可得
进而作出
x=0 y=1
y =
x=-2 y=0
1 x 1 的图象 2
y 5 4 3 2
y=2x-2 P(2,2)
2 3 4 x
1
-4 -3 -2 -1 O 1 -1 -2 -3 -4 -5
由此可得
由（2）得 y=2x-2 x=0 x=1 y=-2 y=0
进而作出Y=2X-2的图象
1 y= x 1 2
所以方程组的解为:
x=2
y=2
练习：利用图象法解方程组：
解：由①得: y = x 1
由②得: y = 2 x 1 作出图象： 观察图象得：交点(0, 1) x=0 ∴方程组的解为 y=-1
O x
x-y=-1 2x+y=1
①
②
y
y=x+1
y=-2x+4
你能说一说用图像解
二元一次方程组的一般步骤吗？ 1.化为一次函数， 2.作图象，
3.找交点， 4.下结论
亲们，感觉都会了吗？练习开始---
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3), x = 2 x y = 5 则方程组 的解为 2 x y = 1 y = .3
x 2 y = 2 x = 2 2、若二元一次方程组 2 x y = 2 的解为 y = 2
二元一次方程组的解（数） = 两 一次函数图像交点坐标（形）
的解
考 考 你
2
l2
1 1
-1
0
1
2
3
4
Hale Waihona Puke x3．如图，两条直线的交点坐标 可以看作哪个方程组的解？
y
答案：
l2
3 y = x3 2
考 考 你
1 ３ y x =1, 3 l y = 1 x 1 3 3 y x = 3. -3 0 2 -１
1
2
x
课堂小结：
则函数
1 y = x 1 与 2
y = 2 x 2 的图象的交点
坐标为（2，2） .
3、根据图象，你能说出它表示哪个方程组 的解？这个解是什么？
y
y=2x-1
1
o
x
1
y=-3x+4
4.根据下列图象，你能说出哪些方程组的解？ 这些解是什么？
1．对应的二元一次方程组是( D )
考 2x y 1 = 0 考 x y2 = 0 A． B． y 1 = 0 3x 2 y 1 = 0 3x 2 你 y
2 x y 1 = 0 C． 3x 2 y 5 = 0
3