2016年秋八年级数学上册 15.4 角平分线的作法(第1课时)课件
15.4 角的平分线(课件)沪科版数学八年级上册
感悟新知
知2－练
例 2 如图15.4-5，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心， BC长为半径作弧，交AC于点D(点D与点C不重合)， 连接BD，再分别以点C，D为圆心，大于 12CD的长为半径作弧，两弧相交于点E， 作射线BE交AC于点F. 若∠A＝40 °， 则∠DBE的度数为( ) A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－讲
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2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类 似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
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作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交 直线l于点M，N；
∠BDE＝∠CDF， 在△BDE和△CDF中，ቐ∠DEB＝∠DFC，
BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF.(AAS)∴ DE＝DF. 又∵ BF⊥AC，CE⊥AB，∴ AD平分∠BAC.
知4－练
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知4－练
方法点拨：等线段证角平分线法： 要证某线是角的平分线，只需从要证的线上的某一点 向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可. 这样把证 角平分线的问题转化为证垂线段相等的问题，体现了转化 思想的应用.
知3－练
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知3－练
3-1. [期末·滁州] 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90 °，AD 平分∠BAC交BC于点D，若DB∶DC＝3∶2，S△ADC＝ 16，AB＝12，则CD的长为( A ) A. 4 B. 3 C. 8 D. 6
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知4－讲
知识点 4 角平分线性质定理的逆定理(角平分线的判定)
15.4 第1课时 角的平分线的画法
15.4 第1课时 角的平分线的画法知识点 1 角的平分线的画法1．如图15－4－1所示，已知∠AOB ，求作射线OC ，使OC 平分∠AOB ，作法的合理顺序是________(将①②③重新排列)．①作射线OC ；②以点O 为圆心，任意长为半径画弧与OA ，OB 分别交于点D ，E ； ③分别以点D ，E 为圆心，大于12DE 长为半径在∠AOB 的内部画弧交于点C .图15－4－12．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图15－4－2，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是( )图15－4－2A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．角平分线上的点到角两边的距离相等3．如图15－4－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以点A 为圆心，任意长为半径画弧与AB ，AC 分别交于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径在∠CAB的内部画弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则∠ADB ＝________°.图15－4－3知识点 2 过已知点作已知直线的垂线4．如图15－4－4，请你在下列各图中，过点P 画出射线AB 或线段AB 的垂线．图15－4－45．如图15－4－5，作∠α的补角，然后再画补角的平分线．(不写作法，保留作图痕迹)图15－4－56．教材练习第1题变式题已知：线段a ，如图15－4－6.求作：△ABC ，使∠C ＝90°，AC ＝12a ，AB ＝a .(不写作法，保留作图痕迹)图15－4－67．(1)如图15－4－7所示，已知△ABC ，∠C ＝90°，按下列语句作图(尺规作图，保留作图痕迹)：①作∠B 的平分线，与AC 相交于点D ； ②在AB 边上取一点E ，使BE ＝BC ； ③连接ED .(2)根据所作图形写出一组相等的线段和一组相等的锐角(不包括BE ＝BC ，∠EBD ＝∠CBD )．图15－4－7教师详解详析1．②③①2．A3．120[解析] 由题意可得AD平分∠CAB.∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°.∴∠CAD＝∠BAD＝30°.∴∠ADB＝180°－30°－30°＝120°.4．解：如图：5．解：如图，∠AOC为∠α的补角，OP为所要求作的∠AOC的平分线．6．解：如图所示，△ABC即为所求．7．解：(1)如图所示．(2)相等的线段为DE＝CD，相等的锐角为∠BDE＝∠BDC.。
角平分线课件PPT
生活中有趣角平分线现象
建筑设计中的应用
在建筑设计中，角平分线常被用来确保建筑物的对称性和平衡感。例如，古希腊的帕特 农神庙就运用了角平分线的原理来设计其立面和柱子。
自然界的角平分线
在自然界中，角平分线的现象也很常见。例如，当阳光照射在树叶上时，树叶的脉络就 会呈现出角平分线的形状，这是因为树叶在生长过程中会自然地沿着角平分线的方向扩
例题2
已知在△ABC中，∠C=90° ，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF。求证：CF=EB 。
解析
过点D作DM⊥AC于M。 根据角平分线的性质，可 得DE=DM。在Rt△FCD 和Rt△EBD中，DF=BD， DE=DM。 ∴Rt△FCD≌Rt△EBD（HL ）。∴CF=EB。
的两边分别与OA、OB相交于点C、D。求证： PC=PD。
输入 标题
解析
根据角平分线的性质和直角三角形的性质，可以证明 △OPC和△OPD全等，从而得出PC=PD。具体证明过 程略。
例题1
例题2
根据角平分线的性质和勾股定理，可以求出点D到AB 的距离。具体求解过程略。
解析
在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若 BC=32，且BD:CD=9:7，求点D到AB的距离。
04
角平分线在几何变换中应用
旋转对称性质及应用
旋转对称性质
角平分线将一个角分为两个相等的小角，且两个小角关于角平分线对称。当图形 绕角平分线旋转一定角度时，两个小角能够重合，具有旋转对称性。
应用
利用旋转对称性质，可以解决与角平分线相关的角度计算、线段长度等问题。例 如，通过旋转对称性质可以证明两个三角形全等或相似。
建筑设计中角平分线应用
沪科版八年级数学上册(课件)：15.4角的平分线(第1课时
新课引入 复习提问
1、角平分线的概念
一条射线 把一个角 分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线.
A
1
C
o
2
B
新课引入 复习提问
从直线外一点到这条直线的垂线段 的长度， 叫做点到直线的距离.
P
线段的长度
A
O
B
新课讲解
尺规作图：
已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线.
A C
作法：1、以_点__O_为圆心， E _适__当___长为半径作圆弧，
与角的两边分别交于C、
D两点；
2、分别以_C_、__D_为圆心， B D
O
超_过__C__D_一__半__的长为半径
作弧，两条圆弧交于
∠AOB内一点__E__；
3、作射线_O_E___； _O__E__就是所求作的射线.
新课讲解
想一想：
为什么OC是角平分线
呢？
已知：OM=ON，MC=NC.
求证：OC平分∠AOB.
A
Ｍ 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ
OM=ON，
MC=NC，
OC=OC，
∴ △OMC≌ △ONC（SSS）
∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
Ｂ
Ｎ
Ｏ
新课讲解
折一 角平分线的性质 折A
A
D PC
O B
O EB
将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),
然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠 形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的 距离,这两个距离相等.
沪科8年级数学上册第15章4 角的平分线
知3－练
例 3 如图15.4-7，∠AOB＝30°，OE平分∠AOB，EF∥ OB，EC⊥OB于点C. 若EC＝ 6，则OF的长是( ) A. 6 B. 9 C. 3 D. 12
知3－练
解题秘方：作垂线，紧扣角平分线的性质和含 30°角的直角三角形的性质求解.
A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°
知2－练
解题秘方：根据作图可知BD＝BC，BF⊥CD，再结 合等腰三角形的性质求角度即可.
解：∵ AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ACB＝∠ABC＝12×(180°－40°)＝70°. 由作图可知BD＝BC，BF⊥CD， ∴∠DBE＝∠EBC，∠BCD＝∠BDC＝70°， ∴∠DBC＝40°，∴∠DBE＝∠EBC＝2 0°. 答案：A
(1)尺规作图：作△ABC的角平分线 CD，与AB交于点D；(不要求写 作法，保留作图痕迹) 解：如图，线段CD即为所求.
(2)求∠ACB和∠ADC的度数. 解：∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°－60°－40°＝80°. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ADC＝180°－60°－40°＝80°.
知2－讲
2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 如图15.4 - 4 . 求作：直线AB，使AB⊥l于点B.
过直线外一点作已知直线的垂线，其作法类 似于线段垂直平分线的尺规作图法.
知2－讲
作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交 直线l于点M，N；
知4－练
4-1. [期末·淮南] 如图，∠ABC的平分线与△ABC的外角 ∠ACM的平分线相交于点D，连接AD. 求证：AD是 △ABC的外角∠CAN的平分线.
沪科版八上数学第1课时 角的平分线的作法
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于
点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于
1 2DE的ຫໍສະໝຸດ 为半径作弧，两弧交于点F;
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
运用新知
1.用尺规动手作出∠AOB的平分线OC，以及OB 的垂直平分线MN，并保留作图痕迹.
∴∠CDA=90°, ∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE, ∴∠ABC=∠FCE.
在△ABC与△FCE中，
FEC ACB, EC CB, ABC FCE.
∴△ABC≌△FCE(ASA).
课后作业
1.从教材习题中选取完成练习； 2.完成练习册本课时的习题.
B
B
D
D
A
C
A
C（B）
A
C
发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
尺规作图 下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图） 作法： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB 于点M,N，如图（1）.
（2）分别以点M,N为圆心，以大于
1 2
MN长为半径（
为什么？）在角的内部画弧交于点P，如图（2）.
（3）作射线OP,则OP为所要求作的∠AOB的角平分
线，如图（3）.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB上一点C（如图）. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：作平角∠ACB的平分线CF. 直线CF就是所求作的垂线.
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线 已知：直线AB和AB外一点C
1角的平分线第1课时课件沪科版八年级上册数学
Ｏ
公路 S
铁路
三、概念剖析
（一）角平分线的概念
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. A
C 1
O
2
B
三、概念剖析
（二）角平分线与垂线的做法
尺规作图： 已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
A E
P
∵P在∠AOB的平分线上，且PE⊥OA，PF⊥OB，
O
FB
∴PE=PF=3.
∴P到OB的距离为3cm.
【当堂检测】
3.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC8,BD=5,则点D到AB的距离
是3 .
C
解：∵AD是∠CAB的平分线，
D
DC⊥AC,DE⊥AB，
∴DC=DE 又∵BC=8,BD=5，
C E
A
21
D
B
五、课堂总结
角平分线的性质与尺规作图 1.角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 角平分线的作法：尺规作图
（1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF. ×
A E
P
解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF.
O
FB
【当堂检测】
2.判断正误，并说明理由：
（2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则
PE=PF. ×
A E
解：错误，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，无法得到PE=PF. O
A
P·
②分别以A，B 为圆心 以大于 1 AB的长为半径画弧，
沪科版八年级数学上册15.4角的平分线课件
BE与∠C的平分线CF相交于点P。 A
求证：AP平分∠BAC。
证明：过点P分别作PM
BC于M，PNAC于N，
Q
F
E
PN
PQAB于Q。
∵ BE是B的平分线，点P在BEB上（已知）M C
PQ＝PM
（角平分线上的点到角两边的距离相等）
同理：PN＝PM
PN＝PQ（等量代换）
AP平分BAC
（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上）
如图，OP是∠AOB的平分线，
P是OP上的任一点，过点P分别作
PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。你
能猜想PC，PD长度间有什么关系吗？
证明你的猜想。
B
D
P
O
C
A
B
猜想：PC＝PD
D
证明：
P
∵ OP平分∠AOB（已知） O
C
A
∴∠AOP＝∠BOP（角平分线定义）
∵ PC⊥OA，PD⊥OB（已知）
A、等腰三角形
B、等腰直角三角形
C、非等腰三角形 D、等边三角形
1、如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP
与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作
PE⊥AB于点E。若PE＝2，则两平行线AD
与BC间的距离为＿＿4 ＿。
A
D
A
E P
B
C
BD
C
2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，若BC
＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且
1、通过折纸可以作一个角的角平分 线，也可以用＿量＿角＿器＿＿来画一个角 的平分线。
2、角是＿轴＿对ห้องสมุดไป่ตู้称＿＿图形，角＿平＿分＿线＿ 所在的直线是它的对称轴。
人教版八年级数学上册 《角的平分线的性质》全等三角形PPT(第1课时)
1 2
BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就
找不到角的平分线． 2．若分别以B、D为圆心，大于
1 2
的BD长为半径画两弧，两弧的交点可能
在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部
的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制
【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得 DC=DE, AD+DE=AD+DC=AC.
第十五页，共二十三页。
同学乙的画法是正确的．
同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而
不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法
不符合要求．
第九页，共二十三页。
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
探究二：角的平分线的性质 活动2 问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？
角平分线上的点到角的两边的距离相等．
探究三：用角的平分线的性质解决简单问题
活动1 例1 (3)如图, △ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，
CD＝2cm，则点D到AB的距离为 2 cm．
【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD 平分∠ABC，可得DC=DE=2.
E
练习：如图, △ABC中，∠C＝90°，BD平分 ∠ABC，DE⊥7 AB，垂足为点E，AC=7cm， 则AD+DE= cm.
折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和 OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）
第八页，共二十三页。
知识回顾 问题探究 课堂小结 随堂检测
沪科版数学八年级上册第1课时 角的平分线的作法课件牛老师
B
B
D
D
A
C
A
C（B）
A
C
状元成才路 发现：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
尺规作图
状元成才路
下面介绍用尺规作图的方法作出∠AOB的平分线（如图）
作法：
（1）以O为圆心，任意长为半径画弧分别交OA，OB
于点M,N，如图（1）.
状元成才路
状元成才路
（2）分别以点M,N为圆心，以大于
►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。 ►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们 不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管 你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎 样去爱自己。
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们： 和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。 对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春 风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
（2）求证：△ABC≌△FCE.
状元成才路
（1）作图如图所示.
状元成才路
（2）证明：ACB=90°,
∵CD⊥AB,
∴∠CDA=90°, ∵∠ABC+∠FCB=∠FCB+∠FCE, ∴∠ABC=∠FCE.
状元成才路
状元成才路
状元成才路
在△ABC与△FCE中，
状元成才路
八年级数学上册 15.4 角平分线的尺规作图(第1课时)教
角的平分线第1课时 角平分线的尺规作图1．理解和掌握用尺规作已知角的平分线，以及过一点作已知直线的垂线；(重点)2．应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；(难点)3．在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神．一、情境导入温故知新什么是角平分线？问题：怎样作∠AOB 的平分线呢？①折纸法；②度量法．如果用尺规作图，该怎么做呢？二、合作探究探究点一：角平分线的尺规作图请在图中作出线段AD ，使其平分∠BAC 且长度等于m .要求：用尺规作图，并写出已知、求作，保留作图痕迹，不写作法和结论．已知：求作：解析：首先以A 为圆心，任意长为半径作弧，交射线AB 、AC 于E 、F ，然后以E 、F 为圆心，大于12EF 长为半径作弧，交于点M ，那么AM 就是∠BAC 的角平分线，只需在射线AM 上截取AD ＝m 即可． 解：已知：线段m ，∠BAC ；求作：线段AD ，使得∠BAD ＝∠CAD ，AD ＝m .如图所示．方法总结：此题主要考查的是角平分线的作法，难度不大．作一个角的平分线是基本的作图．尺规作图时，应该遵循作图必需的正确步骤．探究点二：过一点作已知直线的垂线如图，分别过点P 作线段MN 的垂线．解析：利用过直线外一点作已知直线的垂线的方法分别作各条线段所在的直线的垂线即可．解：如图，(1)延长NM ，过点P 作NM 所在直线的垂线；(2)延长NM ，过点P 作NM 所在直线的垂线；(3)延长MN ，过点P 作MN 所在直线的垂线；(4)延长NM ，过点P 作NM 所在直线的垂线．方法总结：过一点作线段的垂线，就是作线段所在直线的垂线．探究点三：尺规作图的综合应用如图，已知直线l 及其两侧两点A 、B .(1)在直线l 上求一点O ，使到A 、B 两点距离之和最短；(2)在直线l 上求一点P ，使PA ＝PB ；(3)在直线l 上求一点Q ，使l 平分∠AQB .解析：(1)根据两点之间线段最短，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，则O 为所求点；(2)根据线段垂直平分线的性质连接AB ，再作出线段AB 的垂直平分线即可；(3)作B 关于直线l 的对称点B ′，连接AB ′交直线l 与点Q ，连接BQ ，由三角形全等的判定定理得出△BDQ ≌△B ′DQ ，再由全等三角形的性质可得出∠BQD ＝∠B ′QD ，即直线l 平分∠AQB .解：(1)如图①，连接AB ，线段AB 交直线l 于点O ，∵点A 、O 、B 在一条直线上，∴O 点即为所求点；(2)如图②，连接AB ，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长度为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点，连接CD 与直线l 相交于P 点，连接BD 、AD 、BP 、AP 、BC 、AC ，∵BD ＝AD ＝BC ＝AC ，即C 、D 两点都在AB的垂直平分线上，∴CD是线段AB的垂直平分线，∵P是CD上的点，∴PA＝PB；(3)如图③，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l与点Q，连接BQ，∵B与B′两点关于直线l对称，∴BD＝B′D，DQ＝DQ，∠BDQ＝∠B′DQ，∴△BDQ≌△B′DQ，∴∠BQD＝∠B′QD，即直线l平分∠AQB.方法总结：本题考查的是两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质及角平分线的性质，熟知各题的知识点是解答此题的关键．三、板书设计角平分线的尺规作图错误!本节课的知识点有角平分线的尺规作图，过直线上的点作已知直线的垂线．教学时采用了体验探究的方式，为学生提供了亲自操作的机会，引导学生运用已有经验、知识、方法去探索这两个基本作图，进而通过教师的引导加工上升为理性认识，从而获得新知，使学生的学习变为一个再创造的过程，同时让学生学到获取知识的思想和方法．。