2013年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版
高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的概念与表示课件文北师大版
������+1
=1,
∴
-9考点1
考点2
考点3
由数列的前几项求数列的通项公式 例1根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-1,7,-13,19,…;
1 1 1 1 (2)-1×2 , 2×3,-3×4 , 4×5,…; 2 4 6 8 10 (3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…; 1 9 25 (4)2,2,2,8, 2 ,…;
.
an=
1,������ = 1, 2 × 3������ -2 ,������ ≥ 2
-15考点1
考点2
考点3
解析: (1)由已知Sn=2an+1,得Sn=2(Sn+1-Sn),
即 2Sn+1=3Sn,
������������+1 ������������
= 2,
3 ������ -1 . 2
3
1
.
解析:∵an+1=Sn+1-Sn, ∴Sn+1-Sn=SnSn+1. 又由 a1=-1,得 Sn≠0,
∴������ − ������
������
1
1
1 是等差数列,且公差为-1, ������������ 1 1 而 = =-1, ������1 ������1 1 ∴������ =-1+(n-1)×(-1)=-n, ������ 1 ∴Sn=-������.
人教版高中数学高考一轮复习--数列的概念(课件)
故Sn=2×3n-1.
2×3n-1
.
能力形成点3
由数列的递推关系式求通项公式
表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式,常用an=f(n)(n∈N*)表示.
问题思考
数列的通项公式an=3n+5与函数y=3x+5有何区分与联系?
数列的通项公式an=3n+5是特殊的函数,其定义域为N*,而函数y=3x+5的
定义域是R,an=3n+5的图象是离散的点,且在y=3x+5的图象上.
6.数列的递推公式
得到正确的选项.
对点训练 1
2 4 6
(1)数列 0, , , ,…的一个通项公式为( C )
3 5 7
-1
-1
2(-1)
A.an=
B.an=
C.an=
+2
2+1
2-1
2
D.an=
2+1
(方法一:直接法)由第2,3,4项的分母可知,通项公式的分母为奇数1,3,5,7,…,
故a1的分母为1,an的分母为2n-1.
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
由数列的前几项求数列的通项公式
例 1 根据下面各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式:
(1)-1,7,-13,19,…;
1
1
1
1
(2),
,,
,…;
1×2 2×3 3×4 4×5
2 4 6 8 10
(3)3 , 15 , 35 , 63 , 99,…;
1 9 25
1 4 9 16 25
2
察,即2 , 2 , 2 , 2 , 2 ,…,从而可得该数列的一个通项公式 an= 2 .
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第1课时数列的基本概念
探究 2 an 与 Sn 的关系式 an=Sn-Sn-1 的条件是 n≥2,求 an 时切勿漏掉 n=1 即 a1=S1 的情况.一般地, 当 a1=S1 适合 an=Sn-Sn-1 时,an=Sn-Sn-1;当 a1=S1
不适合 an=Sn-Sn-1 时,an=SS1n-Sn-1
n=1 n≥2
可 得 分 子 的 通 项 公 式 为 bn = 2n + 1 , 对 于 分 母 2,5,10,17,…联想到数列 1,4,9,16,…
第六章 第1课时
高考调研
高三数学(新课标版·理)
即数列{n2},可得分母的通项公式为 cn=n2+1, ∴可得它的一个通项公式为 an=2nn2++11.
【答案】
第六章 第1课时
高考调研
高三数学(新课标版·理)
第六章 第1课时
高考调研
高三数学(新课标版·理)
题型一 归纳通项公式
例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公 式:
(1)-1,7,-13,19,… (2)0.8,0.88,0.888,… (3)1,0,13,0,15,0,17,0,… (4)32,1,170,197,…
第六章 第1课时
高考调研
高三数学(新课标版·理)
题型三 递推数列的通项
例 3 (1)(2008·四川)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n +1,则通项 an=________.
(2)a1=1,aan+n1=n+1,则通项 an=________. (3)a1=1,an+1=3an+2,则通项 an=________. (4)an>0,an+2 2= 2Sn,则通项 an=________.
第六章 第1课时
高考调研
2013届高三数学一轮复习课件数列的概念
5
3
2 3
2
5
数列,周期为3,于是a2011=a670×3+1=a1= .
3 5
(2)由题意可知an+1+an-1=an,an+an+2=an+1,两式相加即可得到an+2=-an-1.
∴an+3=-an可得到an+6=an;即是以6为周期的数列,且a1+a2+a3+a4+a5+a6=0,
(2)已知数列{an}的通项公式为an= ,则{an}为 (
n! 10
n
)
(A)递增数列.
(B)递减数列.
(D)从某项后为递增数列.
n
2
(C)从某项后为递减数列.
【解析】(1)由已知得,an= 或13时an最大.
n 156
= 1 5 6 ;由函数的知识即可知n=12
1 n n
(2)an+1=an× ,从第11项开始递增.
【解析】(1)an=1+ + +…+ n.由此a1=1,a2= 2,a3= 3. -ln -ln -ln
1
1
1
3 2
11 6
2
3
n
又an+1-an=ln n-ln(n+1)+
=ln(1- n )+ 1 1 . 1 n 1 n
1
1
构造函数h(x)=ln(1-x)+x,x∈(0,1).
数列; 4.数列的通项an与前n项和Sn之间的关系: 数列{an}中,Sn=a1+a2+a3+…+an;
S 1 ( n 1), an= S S ( n 2 ). n 1 n
高考数学总复习核心突破第6章数列6.1数列的概念课件
3.数列的分类
(1)根据项数分:项数有限的数列称为有穷数列,项数无限的数列称为
无穷数列. (2)根据项的变化分:如果 an=f(n)递增,则数列{an}为递增数列;如果
an=f(n)递减,则数列{an}为递减数列;如果 an=f(n)恒定不变,则数列{an}为 常数数列.
如:数列 1,2,3,…,n,…是递增数列;
则这个数列的前 3 项是 ( )
A.2,3,5 B.1,3,7
C.2,3,2 D.2,3,7
【答案】 C
3.数列-1,������,-������,������ ,…的一个通项公式为 (
������ ������ ������������
A.an=������������������
B.an=(−������������������)������
(2)an=
【解】
(−(2������������)+)∵���������������������,���a���,���n���=���==(���−������������������������������+−���)���,���������������������,���������������,,∈������������=������=∈���+���������������������������+−���,.������������,∈���������∈���+������+,
5.an 与 Sn 的关系(n∈N +)
数列前 n 项之和记为 Sn,即 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an.
由于 Sn-1=a1+a2+a3+…+an-1(n≥2,n∈N +),
【走向高考】高考数学总复习 6-1数列的概念与简单表示课件 北师大版
3.数列的分类
分类原则 类型
满足条件
有穷数列 项数
无穷数列
项数有___限__ 项数无 ___限__
项与项间 的大小关系
其他 标准
递增数列
an+1_>___an
递减数列
an+1_<___an
其中 n∈N+
常数列
an+1=an
从第 2 项起,有些项大于它的前 摆动数列
一项,有些项小于它的前一项
因而有 an=3n4+2. (2)注意到 6=2×3,10=2×5,15=3×5,规律还不明显,再 把各项同乘以 2,即1×2 2,2×2 3,3×2 4,4×2 5,5×2 6,…,因而 有 an=nn2+1.
(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…易看出第 2,3,4 项的分子 分别比分母少 3,因此把第 1 项变为-2-2 3,
[点评] 数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是:
an=
S1 Sn-Sn-1
n=1 n≥2 .
此公式经常使用,应引起重视.当 n=1 时,a1 若适合 Sn-
Sn-1,则 n=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1
若不适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.
[解析] (1)由条件得 a1=0,a2=0+1=1=12, a3=1+(2×2-1)=4=22,a4=4+(2×3-1)=9=32,归纳 通项公式为 an=(n-1)2. (2)由条件得 a1=3,a2=3a1=32,a3=3a2=33,a4=3a3=34, 归纳通项公式为 an=3n.
由数列的前几项探索数列的通项公式 [例 1] 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公 式: (1)45,12,141,27,…; (2)1,3,6,10,15,…;
高考一轮复习数学学案(新人教B版)第六章6-1数列的概念
数列的概念考试要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.知识梳理1.数列的有关概念概念含义数列按照____________排列的一列数数列的项数列中的____________通项公式如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用a n=f(n)来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式递推公式如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系数列{a n}的前n项和一般地,给定数列{a n},称S n=______________为数列{a n}的前n项和2.数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数______无穷数列项数______项与项间的大小关系递增数列a n+1a n其中n∈N+递减数列a n+1a n常数列a n+1=a n摆动数列从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系数列{a n }可以看成定义域为正整数集的子集的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式. 常用结论1.已知数列{a n }的前n 项和S n ,则a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2.2.在数列{a n }中,若a n 最大,则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n -1,a n ≥a n +1(n ≥2,n ∈N +);若a n 最小,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n -1,a n ≤a n +1(n ≥2,n ∈N +). 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列的项与项数是同一个概念.( ) (2)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列.( ) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.( ) (4)若数列用图象表示,则从图象上看是一群孤立的点.( ) 教材改编题1.(多选)已知数列{a n }的通项公式为a n =9+12n ,则在下列各数中,是{a n }的项的是( ) A .21 B .33 C .152 D .1532.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n 2+n ,则a 2的值是( ) A .2 B .4 C .5 D .63.在数列1,1,2,3,5,8,13,21,x ,55,…中,x =________.题型一 由a n 与S n 的关系求通项公式例1 (1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,S n +1=2S n -1,则a 10等于( ) A .128 B .256 C .512 D .1 024(2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S n =2n +2-3,则a n =________.听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 S n 与a n 的关系问题的求解思路(1)利用a n =S n -S n -1(n ≥2)转化为只含S n ,S n -1的关系式,再求解. (2)利用S n -S n -1=a n (n ≥2)转化为只含a n ,a n -1的关系式,再求解. 跟踪训练1 (1)已知正项数列{a n }中,a 1+a 2+…+a n =n (n +1)2,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =n B .a n =n 2 C .a n =n2D .a n =n 22(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=-1,a n +1=S n S n +1,则S n =__________. 题型二 由数列的递推关系求通项公式 命题点1 累加法例2 设[x ]表示不超过x 的最大整数,如[-]=-4,[]=3.已知数列{a n }满足:a 1=1,a n +1=a n +n +1(n ∈N +),则⎣⎡⎦⎤1a 1+1a 2+1a3+…+1a 2 023等于( ) A .1 B .2 C .3 D .4听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 累乘法例3 在数列{a n }中,a 1=1,a n =n -1n a n -1(n ≥2,n ∈N +),则数列{a n }的通项公式为________.听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)形如a n +1-a n =f (n )的数列,利用累加法.(2)形如a n +1a n =f (n )的数列,利用a n =a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n -1(n ≥2)即可求数列{a n }的通项公式.跟踪训练2 (1)在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=a n +ln ⎝⎛⎭⎫1+1n ,则a n 等于( ) A .2+ln n B .2+(n -1)ln n C .2+n ln nD .1+n +ln n(2)已知数列a 1,a 2a 1,…,a na n -1,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log 2a n =________.题型三 数列的性质 命题点1 数列的单调性例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ,且∀n ∈N +,a n +1>a n ,S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n =________.听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 数列的周期性例5 若数列{a n }满足a 1=2,a n +1=1+a n1-a n ,则a 2 024的值为( )A .2B .-3C .-12 D.13听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 数列的最值例6 已知数列{a n }的通项公式为a n =12n -15,其最大项和最小项的值分别为( )A .1,-17B .0,-17 C.17,-17 D .1,-111听课记录:______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)解决数列的单调性问题的方法用作差比较法,根据a n +1-a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列还是常数列. (2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.跟踪训练3 (1)观察数列1,ln 2,sin 3,4,ln 5,sin 6,7,ln 8,sin 9,…,则该数列的第11项是( )A .1 111B .11C .ln 11D .sin 11 (2)已知数列{a n }的通项a n =2n -192n -21,n ∈N +,则数列{a n }前20项中的最大项与最小项分别为________.。
高考数学一轮复习第六章数列6-1数列的概念与表示课件文新人教版
-12知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
2.已知数列{an}为2,0,2,0,…,则下列各式不可以作为数列{an}的
通项公式的是(
)
π
B.an=2sin 2
+1
A.an=1+(-1)
C.an=1-cos nπ
D.an=
1
由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得 −
1
+1
=1,即
1
+1
1
− =-1,则
1
1
1
1
Sn=-.
为等
差数列,首项为 =-1,公差为 d=-1,
1
故
1 =-n,即
-
关闭
解析
答案
-16知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
.
关闭
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+2n)-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1.
当n=1时,a1=S1=3,也适合上式.
综上,an=2n+1.
2n+1
关闭
解析
答案
-15知识梳理
双基自测
1
2
3
4
5
5.设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=
高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 6-4 数列的综合问题与数列的应用但因为测试新人教B 版1.(文)(2011·德州模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,且4a 1、2a 2、a 3成等差数列,则S 4=( )A .7B .8C .15D .16[答案] C[解析] ∵4a 1,2a 2,a 3成等差数列, ∴4a 2=4a 1+a 3,∵{a n }是等比数列,a 1=1, ∴4q =4+q 2,解之得,q =2, ∴S 4=1× 24-1 2-1=15.(理)(2011·丹东模拟)已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,其公比q≠1,且b i >0(i =1,2,…,n),若a 1=b 1,a 11=b 11,则( )A .a 6>b 6B .a 6=b 6C .a 6<b 6D .a 6>b 6或a 6<b 6[答案] A[解析] 由条件知,a 6=a 1+a 112=b 1+b 112>b 1b 11=b 6.2.(2011·淄博模拟)已知{a n }是递增数列,且对任意n ∈N *都有a n =n 2+λn 恒成立,则实数λ的取值范围是( )A .(-72,+∞)B .(0,+∞)C .[-2,+∞)D .(-3,+∞)[答案] C[解析] a n =n 2+λn =(n +λ2)2-λ24,∵对任意n ∈N *,a n +1>a n , ∴-λ2≤1,∴λ≥-2,故选C.3.(文)(2011·福建质检)在各项均为正数的等比数列{a n }中,a 3a 5=4,则数列{log 2a n }的前7项和等于( )A .7B .8C .27D .28[答案] A[解析] 在各项均为正数的等比数列{a n }中,由a 3a 5=4,得a 24=4,a 4=2. 设b n =log 2a n ,则数列{b n }是等差数列,且b 4=log 2a 4=1. 所以{b n }的前7项和S 7=7 b 1+b 72=7b 4=7.(理)设函数f(x)=x m +ax 的导函数f ′(x)=2x +1,则数列{1f n }(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n +1B.n +2n +1C.n n -1D.n +1n[答案] A[解析] f ′(x)=mx m -1+a =2x +1,∴a =1,m =2,∴f(x)=x(x +1),1f n =1n n +1 =1n -1n +1,∴S n =⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1=n n +1.4.(文)(2011·山西运城教学检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,过点P(n ,S n )和Q(n +1,S n +1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n -2,则a 2+a 4+a 5+a 9的值等于( )A .52B .40C .26D .20[答案] B[解析] 由题意得S n +1-S nn +1 -n =3n -2,∴S n +1-S n =3n -2,即a n +1=3n -2,∴a n =3n -5,因此数列{a n }是等差数列,a 5=10,而a 2+a 4+a 5+a 9=2(a 3+a 7)=4a 5=40,故选B.(理)两个正数a 、b 的等差中项是72,一个等比中项是23,且a<b ,则双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率e 等于( )A.34 B.152 C.54 D.53[答案] D[解析] ∵a +b =7,a·b =12,b>a>0, ∴a =3,b =4.∴e =c a =a 2+b 2a =53.5.(2011·江西新余四中期末)在△ABC 中,sinA cosA =2cosC +cosA2sinC -sinA 是角A 、B 、C 成等差数列的( )A .充分非必要条件B .充要条件C .必要非充分条件D .既不充分也不必要条件[答案] A[来源:学#科#网] [解析]sinA cosA =2cosC +cosA2sinC -sinA⇒2sinAsinC -sin 2A =2cosAcosC +cos 2A ⇒2cos(A +C)+1=0⇒cosB =12⇒B =π3⇒A +C =2B ⇒A 、B 、C 成等差数列.但当A 、B 、C 成等差数列时,sinA cosA =2cosC +cosA 2sinC -sinA 不一定成立,如A =π2、B =π3、C =π6.故是充分非必要条件.故选A. 6.(文)(2011·哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学联考)已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,若S 21=S 4000,O 为坐标原点,点P(1,a n ),点Q(2011,a 2011),则OP →·OQ →=( )A .2011B .-2011C .0D .1[答案] A[解析] 由S 21=S 4000得到S n 关于n =21+40002=2010.5对称,故S n 的最大(或最小)值=S 2010=S 2011,故a 2011=0,OP →·OQ →=2011+a n ·a 2011=2011+a n ×0=2011,故选A.(理)(2011·北京西城期末)已知各项均不为零的数列{a n },定义向量c n =(a n ,a n +1),b n =(n ,n +1),n ∈N *.则下列命题中为真命题的是( )A .若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立,则数列{a n }是等差数列B .若对于任意n ∈N *总有c n ∥b n 成立,则数列{a n }是等比数列C .若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立,则数列{a n }是等差数列D .若对于任意n ∈N *总有c n ⊥b n 成立,则数列{a n }是等比数列 [答案] A[解析] 若对任意n ∈N *,有c n ∥b n ,则a n n =a n +1n +1=a n +2n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,即2a n +1=a n +a n +2,所以数列{a n }为等差数列.7.(文)(2010·浙江杭州)如图,是一个算法的程序框图,该算法输出的结果是( )A.12B.23 C.34 D.45[答案] C[解析] 循环过程为i =1<4→i =2,m =1,n =11×2;i =2<4→i =3,m =2,n =11×2+12×3;i =3<4→i =4,m =3,n =11×2+12×3+13×4;i =4<4不成立,输出n 的值. 故n =11×2+12×3+13×4=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+⎝⎛⎭⎫13-14=1-14=34. (理)(2010·北京延庆县模考)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k 的值是( )A .4B .5C .6D .7[答案] D[解析] 由程序框图可知,S =1+2+22+…+2k =2k +1-1,由S<100得,2k +1<101,∵26=64,27=128,∴k +1=7,∴k =6,结合语句k =k +1在S =S +2k 后面知,当k =6时,S =127,k 的值再增加1后输出k 值为7.[点评] 这是最容易出错的地方,解这类题时,既要考虑等比数列求和,在k 取何值时,恰满足S≥100,又要顾及S 与k 的赋值语句的先后顺序.8.(文)(2011·临沂模拟)数列{a n }、{b n }都是等差数列,a 1=5,b 1=7,且a 20+b 20=60,则{a n +b n }的前20项和为( )A .700B .710C .720D .730[答案] C[解析] ∵{a n }与{b n }均为等差数列, ∴{a n +b n }为等差数列,首项a 1+b 1=12, 又a 20+b 20=60,∴前20项和为S 20=20× 12+60 2=720.(理)(2010·湖北质检)若数列{a n }满足1a n +1-1a n =d(n ∈N *,d 为常数),则称数列{a n }为调和数列.已知数列{1x n}为调和数列,且x 1+x 2+…+x 20=200,则x 5+x 16=________.[答案] 20[解析] 由题意,若{a n }为调和数列,则{1a n }为等差数列,∵{1x n}为调和数列,∴数列{x n }为等差数列,由等差数列的性质可知,x 5+x 16=x 1+x 20=x 2+x 19=…=x 10+x 11=20010=20.故填20.9.(文)(2011·潍坊模拟)已知等比数列中,a 1=3,a 4=81,若数列{b n }满足b n =log 3a n ,则数列{1b n b n +1}的前n 项和S n =________.[答案]n n +1[解析] ∵a 4=a 1q 3,∴81=3q 3,∴q =3, ∴a n =3n ,∴b n =log 3a n =n , 令c n =1b n b n +1,则c n =1n n +1 =1n -1n +1, ∴{c n }的前n 项和S n =c 1+c 2+…+c n =(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n +1)=nn +1.(理)(2011·杭州二检)已知{a n }是公差不为0的等差数列,{b n }是等比数列,其中a 1=2,b 1=1,a 2=b 2,2a 4=b 3,且存在常数α、β,使得a n =log αb n +β对每一个正整数n 都成立,则αβ=________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧ 2+d =q 2 2+3d =q 2,解得⎩⎪⎨⎪⎧q =2d =0(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q =4d =2,所以a n =2n ,b n =4n -1.若a n =log αb n +β对每一个正整数n 都成立,则满足2n =log α4n -1+β,即2n =(n -1)log α4+β,因此只有当α=2,β=2时上式恒成立,所以αβ=4. 10.(文)(2011·江苏镇江市质检)已知1,x 1,x 2,7成等差数列,1,y 1,y 2,8成等比数列,点M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则线段MN 的中垂线方程是________.[答案] x +y -7=0[解析] 由条件得x 1=3,x 2=5,y 1=2,y 2=4,∴MN 的中点(4,3),k MN =1,∴MN 的中垂线方程为y -3=-(x -4),即x +y -7=0. (理)(2010·哈尔滨模拟)已知双曲线a n -1y 2-a n x 2=a n -1a n (n≥2,n ∈N *)的焦点在y 轴上,一条渐近线方程是y =2x ,其中数列{a n }是以4为首项的正项数列,则数列{a n }的通项公式是________.[答案] a n =2n +1[解析] 双曲线方程为y 2a n -x 2a n -1=1,∵焦点在y 轴上,又渐近线方程为y =2x ,∴a na n -1=2,又a 1=4,∴a n =4×2n -1=2n +1.11.在圆x 2+y 2=10x 内,过点(5,3)有n 条长度成等差数列的弦,最短弦长为数列{a n }的首项a 1,最长弦长为a n ,若公差d ∈(13,23],那么n 的取值集合为( )A .{4,5,6}B .{6,7,8,9}C .{3,4,5}D .{3,4,5,6}[答案] A[解析] ∵圆x 2+y 2=10x ,∴(x -5)2+y 2=5,圆心为(5,0),半径为5.故最长弦长a n =10,最短弦长a 1=8,∴10=8+(n -1)d ,∴d =2n -1, ∵d ∈(13,23],∴13<2n -1≤23,∴4≤n<7,又∵n ∈N *,∴n 的取值为4,5,6,故选A.12.(文)(2011·安徽百校论坛联考)已知a>0,b>0,A 为a ,b 的等差中项,正数G 为a ,b 的等比中项,则ab 与AG 的大小关系是( )A .ab =AGB .ab≥AGC .ab≤AGD .不能确定 [答案] C[解析] 由条件知,a +b =2A ,ab =G 2,∴A =a +b 2≥ab =G>0,∴AG≥G 2,即AG≥ab ,故选C.[点评] 在知识交汇点处命题是常见命题方式,不等式与数列交汇的题目要特别注意等差(等比)数列的公式及性质的运用.(理)已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q≠1,设P =12(log 0.5a 5+log 0.5a 7),Q =log 0.5a 3+a 92,P 与Q 的大小关系是( ) A .P≥Q B .P<Q C .P≤Q D .P>Q [答案] D[解析] P =log 0.5a 5a 7=log 0.5a 3a 9,Q =log 0.5a 3+a 92,∵q≠1,∴a 3≠a 9,∴a 3+a 92>a 3a 9又∵y =log 0.5x 在(0,+∞)上递减, ∴log 0.5a 3+a 92<log 0.5a 3a 9,即Q<P.故选D.13.(文)(2011·南昌一模)小王每月除去所有日常开支,大约结余a 元.小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来,每月初存入银行a 元,存期1年(存12次),到期取出本和息.假设一年期零存整取的月利率为r ,每期存款按单利计息.那么,小王存款到期利息为_____元.[答案] 78ar[解析] 依题意得,小王存款到期利息为12ar +11ar +10ar +…+3ar +2ar +ar =12 12+1 2ar =78ar 元.(理)(2011·湖北荆门调研)秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n },已知a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人.[答案] 255[解析] ∵a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),∴n 为奇数时,a n +2=a n ,n 为偶数时,a n +2-a n =2,即数列{a n }的奇数项为常数列,偶数项构成以2为首项,2为公差的等差数列.故这30天入院治疗流感人数共有15+(15×2+15×142×2)=255人.14.(文)(2011·江苏,13)设1=a 1≤a 2≤…≤a 7,其中a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列,则q 的最小值是_____.[答案]33[解析] ∵a 1,a 3,a 5,a 7成公比为q 的等比数列,且a 1=1, ∴a 3=q ,a 5=q 2,a 7=q 3,∵a 2,a 4,a 6成公差为1的等差数列, ∴a 4=a 2+1,a 6=a 2+2, ∵a 2≥1,q =a 3≥a 2≥1,∴q 2=a 5≥a 4=a 2+1≥2,q 3=a 7≥a 6=a 2+2≥3, ∵q≥1,∴q≥2且q≥33,∴q≥33, ∴q 的最小值为33.(理)(2011·福州市期末、河北冀州期末)已知实数a 、b 、c 、d 成等比数列,且函数y =ln(x +2)-x 当x =b 时取到极大值c ,则ad 等于________.[答案] -1[分析] 利用导数可求b 、c ,由a 、b 、c 、d 成等比数列可得ad =bc.[解析] y′=1x +2-1,令y′=0得x =-1,当-2<x<-1时,y′>0,当x>-1时,y′<0,∴b =-1,c =ln(-1+2)-(-1)=1,∴ad =bc =-1.15.(2011·蚌埠质检)已知数列{a n }满足,a 1=1,a 2=2,a n +2=a n +a n +12,n ∈N *.(1)令b n =a n +1-a n ,证明:{b n }是等比数列; (2)求{a n }的通项公式.[解析] (1)b 1=a 2-a 1=1,当n≥2时, b n =a n +1-a n =a n -1+a n 2-a n =-12(a n -a n -1)=-12b n -1, 所以{b n }是以1为首项,-12为公比的等比数列.(2)由(1)知b n =a n +1-a n =⎝⎛⎭⎫-12n -1, 当n≥2时,a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n -1) =1+1+⎝⎛⎭⎫-12+…+⎝⎛⎭⎫-12n -2=1+1-⎝⎛⎭⎫-12n -11-⎝⎛⎭⎫-12 =1+23⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫-12n -2=53-23⎝⎛⎭⎫-12n -1, 当n =1时,53-23⎝⎛⎭⎫-121-1=1=a 1. 所以a n =53-23⎝⎛⎭⎫-12n -1(n ∈N *). 16.(文)(2011·焦作模拟)已知函数f(x)=a x 的图象过点(1,12),且点(n -1,a nn 2)(n ∈N +)在函数f(x)=a x 的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =a n +1-12a n ,若数列{b n }的前n 项和为S n ,求证:S n <5.[解析] (1)∵函数f(x)=a x 的图象过点(1,12),∴a =12,f(x)=(12)x .又点(n -1,a n n 2)(n ∈N +)在函数f(x)=a x的图象上,从而a n n 2=12n -1,即a n =n 22n -1.(2)由b n =n +1 22n -n 22n =2n +12n 得,S n =32+522+…+2n +12n ,则12S n =322+523+…+2n -12n +2n +12n +1, 两式相减得:12S n =32+2(122+123+…+12n )-2n +12n +1,∴S n =5-2n +52n ,∴S n <5.(理)(2011·山东文,20)等比数列{a n }中,a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.n (2)若数列{b n }满足:b n =a n +(-1)n lna n ,求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [解析] (1)依次验证知a 1=2,a 2=6,a 3=18时符合题意,∴a n =2·3n -1(2)∵b n =a n +(-1)n lna n =2·3n -1+(-1)n ln(2·3n -1)=2·3n -1+(-1)n (ln2-ln3)+(-1)n nln3∴S 2n =b 1+b 2+…+b 2n =2(1+3+…+32n -1)+[-1+1-1+…+(-1)2n ](ln2-ln3)+[-1+2-3+…+(-1)2n ·2n]ln3=2×1-32n 1-3+nln3=32n +nln3-1.1.(2011·湖南六校联考)已知{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 5=19,S 5=55,则过点P(3,a 3),Q(4,a 4)的直线的斜率是( )A .4 B.14 C .-4 D .-14[答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a 1+4d =195a 1+5×42d =55,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=3d =4,∴k PQ =4. 2.在直角坐标系中,O 是坐标原点,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是第一象限的两个点,若1,x 1,x 2,4依次成等差数列,而1,y 1,y 2,8依次成等比数列,则△OP 1P 2的面积是( )A .1B .2C .3D .4[答案] A[解析] 由条件知x 1=2,x 2=3,y 1=2,y 2=4,∴S =12×4×3-12×2×2-12(2+4)×1=1.3.数列{a n }是公差d≠0的等差数列,数列{b n }是等比数列,若a 1=b 1,a 3=b 3,a 7=b 5,则b 11等于( )A .a 63B .a 36C .a 31D .a 13[答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1,公比为q ,则⎩⎪⎨⎪⎧a 1+2d =a 1q 2a 1+6d =a 1q4,得d =a 14(q 4-q 2). ∴a 1+a 12(q 4-q 2)=a 1q 2,∵q≠1,∴q 2=2,d =a 12,于是b 11=a 1q 10=32a 1.设32a 1=a 1+(n -1)·a 12,则n =63,∴b 11=a 63.4.(2011·黄冈月考)在数列{a n }中,a 1=1,a n a n -1=a n -1+(-1)n (n≥2,n ∈N *),则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38[答案] C[解析] ∵a 1=1,a n a n -1=a n -1+(-1)n , ∴a 2a 1=a 1+1,∴a 2=2,; ∵a 3a 2=a 2-1,∴a 3=12;∵a 4a 3=a 3+1,∴a 4=3;∵a 5a 4=a 4-1,∴a 5=23,∴a 3a 5=34.5.等差数列{a n }的公差d≠0,且a 1、a 4、a 8成等比数列,则a 1+a 4+a 8a 2+a 5+a 9=________.[答案]3740[分析] 此类问题一般依据条件和等差(比)数列的通项(或前n 项和)公式列方程求解.解方程时,注意等比数列的首项和公比都不能为0.[解析] ∵a 1、a 4、a 8成等比数列,∴a 24=a 1·a 8, 又{a n }成等差数列,公差d ,∴(a 1+3d)2=a 1(a 1+7d),∴a 1=9d≠0, ∴原式=9d +12d +16d 10d +13d +17d =37d 40d =3740.6.(2011·上饶市四校联考)设等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n ,若S n +1,S n ,S n+2成等差数列,则q 的值为________. [答案] -2[解析] 若q =1,则由2S n =S n +1+S n +2⇒2na 1=(n +1)a 1+(n +2)a 1⇒2n =2n +3矛盾, ∴q≠1,由2S n =S n +1+S n +2可得2a 11-q n 1-q=a 11-q n +11-q +a 11-q n +21-q⇒q n +2+q n +1-2q n =0⇒q 2+q -2=0(∵q≠1),解得q =-2.7.(2011·天津市二十区县联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和,向量a =(a n -1,-2),b =(4,S n )满足a ⊥b ,则S 5S 3=________.[答案]317[解析] ∵a =(a n -1,-2),b =(4,S n )满足a ⊥b , ∴a·b =0,∴4a n -4-2S n =0,即S n =2a n -2, ∴S n -1=2a n -1-2(n≥2). 两式相减得a n =2a n -1,∴a na n -1=2. 由S n =2a n -2(n ∈N *),得a 1=2.∴{a n }是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n =2n .∴S5S3=2 1-251-22 1-231-2=317.8.(2011·苏州检测)正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为A n;由自然数的立方构成下列数组:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数与前一个数的差为B n,则A n +B n=________.[答案]2n3[解析]由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得A n=[ n-1 2+1]+[ n-1 2+2n-1]2(2n-1)=[(n-1)2+n](2n-1),而Bn=n3-(n-1)3,所以A n+B n=2n3.。
高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 6-3 等比数列但因为测试 新人教B 版1.(2011·北京朝阳一模)已知{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项的和,若a 1=3,a 2a 4=144,则S 5的值是( )A.692B .69C .93D .189[答案] C[解析] 由a 2a 4=a 23=144得a 3=12(a 3=-12舍去),又a 1=3,各项均为正数,则q =2. 所以S 5=a 11-q 51-q =3× 1-32 1-2=93.2.(2011·潍坊一中期末、湖南湘西联考)各项都是正数的等比数列{a n }的公比q≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )A.1-52B.5+12C.5-12D.5+12或5-12[答案] B[解析] ∵a 2,12a 3,a 1成等差数列,∴a 3=a 2+a 1,∵{a n }是公比为q 的等比数列,∴a 1q 2=a 1q +a 1, ∴q 2-q -1=0,∵q>0,∴q =5-12. ∴a 3+a 4a 4+a 5=1q=5+12.3.(文)(2011·青岛一模)在等比数列{a n }中,若a 2=9,a 5=243,则数列{a n }的前4项和为( )A .81B .120C .168D .192[答案] B[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ,根据题意及等比数列的性质可知:a 5a 2=27=q 3,所以q =3,所以a 1=a 2q =3,所以S 4=3 1-341-3=120.(理)(2011·吉林长春模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列,S n 是{a n }的前n 项和,且9S 3=S 6,则数列{1a n}的前5项和为( )A.8532B.3116C.158D.852[答案] B[解析] ∵9S 3=S 6,∴8(a 1+a 2+a 3)=a 4+a 5+a 6, ∴8=q 3,∴q =2, ∴a n =2n -1,∴1a n =(12)n -1,∴{1a n }的前5项和为1-1251-12=3116,故选B. 4.(2011·江西抚州市高三模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 1、S 3、S 2成等差数列,则{a n }的公比等于( )A.1B.12C.-12D.1+52[答案] C[解析] 2S 3=S 1+S 2,即2(a 1+a 1q +a 1q 2)=a 1+a 1+a 1q , 得q =-12,故选C.5.(文)(2011·哈尔滨九中模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -1,则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n +1-13B.2n +1-23C.22n -13D.22n -23[答案] C[解析] 当n =1时,a 1=S 1=1, 当n≥2时,a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1.∴a n =2n -1(n ∈N *),则数列{a n }的奇数项的前n 项和为1-22n 1-22=22n -13,故选C.(理)(2011·泉州市质检)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1+a 2+a 3+a 4=1,a 5+a 6+a 7+a 8=2,S n =15,则项数n 为( )A .12B .14C .15D .16[答案] D [解析]a 5+a 6+a 7+a 8a 1+a 2+a 3+a 4=q 4=2,由a 1+a 2+a 3+a 4=1.得a 1(1+q +q 2+q 3)=1, 即a 1·1-q 41-q =1,∴a 1=q -1,又S n =15,即a 11-q n 1-q =15,∴q n =16,又∵q 4=2,∴n =16.故选D.6.(2011·安徽皖南八校联考)设{a n }是公比为q 的等比数列,令b n =a n +1(n =1,2,…),若数列{b n }有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82}中,则q 等于( )A .-43B .-32C .-23或- 32D .-34或-43[答案] C[解析] 集合{-53,-23,19,37,82}中的各元素减去1得到集合{-54,-24,18,36,81},其中-24,36,-54,81或81,-54,36,-24成等比数列,∴q =-32或-23.7.已知f(x)是一次函数,若f(3)=5,且f(1)、f(2)、f(5)成等比数列,则f(1)+f(2)+…+f(100)的值是________.[答案] 10000[解析] 设f(x)=kx +b ,f(3)=3k +b =5,由f(1)、f(2)、f(5)成等比数列得(2k +b)2=(k +b)·(5k +b),可得k =2,b =-1.∴f (n)=2n -1,则f(1)+f(2)+…+f(100)=100×1+100×992×2=10000.8.(文)(2010·安徽皖西四校联考)在公差不为零的等差数列{a n }中,a 1、a 3、a 7依次成等比数列,前7项和为35,则数列{a n }的通项a n =________.[答案] n +1[解析] 设等差数列首项a 1,公差d ,则∵a 1、a 3、a 7成等比,∴a 23=a 1a 7,∴(a 1+2d)2=a 1(a 1+6d),∴a 1=2d ,又S 7=7a 1+7×62d =35d =35,∴d =1,∴a 1=2,∴a n =n +1.(理)(2010·浙江金华)如果一个n 位的非零整数a 1a 2…a n 的各个数位上的数字a 1,a 2,…,a n 或适当调整次序后能组成一个等比数列,则称这个非零整数a 1a 2…a n 为n 位“等比数”.如124,913,333等都是三位“等比数”.那么三位“等比数”共有________个.(用数字作答)[答案] 27[解析] 适当调整次序后能组成一个三位“等比数”的非零整数可分为以下几类:(1)111,222,…,999;(2)124,248,139.其中第(1)类“等比数”有9个;第(2)类“等比数”有3×6=18个;因此,满足条件的三位“等比数”共有27个.9.(2011·锦州模拟)在等比数列{a n }中,若公比q>1,且a 2a 8=6,a 4+a 6=5,则a 5a 7=________.[答案] 23[解析] ∵a 2a 8=6,∴a 4a 6=6,又∵a 4+a 6=5,且q>1,∴a 4=2,a 6=3, ∴a 5a 7=a 4a 6=23. 10.(文)(2011·大纲全国文,17)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 2=6,6a 1+a 3=30,求a n 和S n .[解析] 设{a n }的公比为q ,由已知有:⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q =66a 1+a 1q 2=30.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=3q =2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=2q =3(1)当a 1=3,q =2时,a n =a 1·q n -1=3×2n -1S n =a 11-q n 1-q =3× 1-2n 1-2=3×(2n -1)(2)当a 1=2,q =3时,a n =a 1·q n -1=2×3n -1S n =a 11-q n 1-q =2× 1-3n 1-3=3n -1.综上,a n =3×2n -1,S n =3×(2n -1)或a n =2×3n -1,S n =3n -1.(理)(2011·山东临沂一模)已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且a 1+a 2=2(1a 1+1a 2),a 3+a 4=32(1a 3+1a 4).(1)求{a n }的通项公式;(2)设b n =a 2n +log 2a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ,则a n =a 1q n -1,由已知得a 1+a 1q =2(1a 1+1a 1q ),a 1q 2+a 1q 3=32(1a 1q 2+1a 1q3).化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21q q +1 =2 q +1 ,a 21q 5q +1 =32 q +1 ,即⎩⎪⎨⎪⎧a 21q =2,a 21q 5=32.又∵a 1>0,q>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.∴a n =2n -1.(2)由(1)知b n =a 2n +log 2a n =4n -1+(n -1), ∴T n =(1+4+42+…+4n -1)+(1+2+3+…+n -1)=4n -14-1+n n -1 2=4n -13+n n -1 2.11.(文)(2011·辽宁六校模考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3 B.S 5S 3 C.a n +1a n D.S n +1S n[答案] D[解析] 数列{a n }为等比数列,由8a 2+a 5=0,知8a 2+a 2q 3=0,因为a 2≠0,所以q =-2,a 5a 3=q 2=4;S 5S 3=1-q 51-q 3=113;a n +1a n =q =-2;S n +1S n =1-q n +11-q n,其值与n 有关,故选D. (理)(2011·浙江温州质检)一个直角三角形的三内角的正弦成等比数列,其最小角的正弦值为( )A.5-12 B.12 C.5-14D.5+14[答案] A[解析] 设三内角A<B<C , ∵sinA 、sinB 、sinC 成等比数列, ∴a 、b 、c 成等比数列,∴b 2=ac , ∴c 2-a 2=ac ,∴⎝⎛⎭⎫a c 2+ac -1=0.∵a c >0,∴ac =5-12=sinA ,故选A. [点评] 在△ABC 中,由正弦定理a =2RsinA 、b =2RsinB 可知,a<b ⇔A<B ⇔sinA<sinB. 12.(文)(2011·辽宁沈阳二中检测,辽宁丹东四校联考)已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *).由对数的运算法则,得出a n +1与a n的关系,判断数列的类型,再结合a 2+a 4+a 6=9得出a 5+a 7+a 9的值.[解析] 由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)得,a n +1=3a n ,∵a n >0,∴数列{a n }是公比等于3的等比数列,∴a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)×33=35, ∴log 13(a 5+a 7+a 9)=-log 335=-5.(理)已知等比数列{a n }的公比q>0,其前n 项的和为S n ,则S 4a 5与S 5a 4的大小关系是( ) A .S 4a 5<S 5a 4 B .S 4a 5>S 5a 4 C .S 4a 5=S 5a 4 D .不确定[答案] A[解析] (1)当q =1时,S 4a 5-S 5a 4=4a 21-5a 21=-a 21<0.(2)当q≠1且q>0时,S 4a 5-S 5a 4=a 211-q (q 4-q 8-q 3+q 8)=a 21q 31-q (q -1)=-a 21q 3<0.[点评] 作差,依据前n 项和与通项公式化简后判断符号是解决这类问题的基本方法,应注意对公比分类讨论,请再做下题:已知等比数列{a n }中,a 1>0,q>0,前n 项和为S n ,试比较S 3a 3与S 5a 5的大小.[解析] 当q =1时,S 3a 3=3,S 5a 5=5,所以S 3a 3<S 5a 5;当q>0且q≠1时,S 3a 3-S 5a 5=a 11-q 3a 1q 21-q -a 11-q 5a 1q 41-q=q 21-q 3-1-q 5q 41-q=-q -1q 4<0,所以有S 3a 3<S 5a 5.综上可知有S 3a 3<S 5a 5.13.(文)(2011·长春模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ,b n =a 3na 2n +1,且{b n }的前n 项和为T n ,若对一切正整数n 都有S n >T n ,则数列{a n }的公比q 的取值范围是( )A .0<q<1B .q>1C .q> 2D .1<q< 2[答案] B[解析] 由于{a n }是等比数列,公比为q ,所以b n =a 3na 2n +1=1q 2a n ,于是b 1+b 2+…+b n =1q 2(a 1+a 2+…+a n ),即T n =1q 2·S n .又S n >T n ,且T n >0,所以q 2=S nT n >1.因为a n >0对任意n ∈N *都成立,所以q>0,因此公比q 的取值范围是q>1.(理)(2011·榆林模拟)在等比数列{a n }中,a n >0(n ∈N +),公比q ∈(0,1),且a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,又a 3与a 5的等比中项为2,b n =log 2a n ,数列{b n }的前n 项和为S n ,则当S 11+S 22+…+S nn最大时,n 的值等于( ) A .8 B .9 C .8或9 D .17[答案] C[解析] ∵a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8=25,∴a 23+2a 3a 5+a 25=25,又a n >0,∴a 3+a 5=5, 又q ∈(0,1),∴a 3>a 5, ∵a 3a 5=4,∴a 3=4,a 5=1,∴q =12,a 1=16,a n =16×(12)n -1=25-n ,b n =log 2a n =5-n ,b n +1-b n =-1,∴{b n }是以b 1=4为首项,-1为公差的等差数列, ∴S n =n 9-n 2,∴S n n =9-n2, ∴当n≤8时,S n n >0;当n =9时,S n n =0;当n>9时,S nn <0,∴当n =8或9时,S 11+S 22+…+S nn最大.14.(2011·新课标全国文,17)已知等比数列{a n }中,a 1=13,公比q =13.(1)S n 为{a n }的前n 项和,证明:S n =1-a n2; (2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ,求数列{b n }的通项公式. [解析] (1)因为a n =13×⎝⎛⎭⎫13n -1=13n ,S n =13⎝⎛⎭⎫1-13n 1-13=1-13n 2,所以S n =1-a n2.(2)b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n =-(1+2+…+n) =-n n +1 2.所以{b n }的通项公式为b n =-n n +12.15.(文)(2011·山东淄博一模)设{a n }是公比大于1的等比数列,S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3=7,且a 1+3,3a 2,a 3+4构成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)令b n =lna 3n +1,n =1,2,…,求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)设数列{a n }的公比为q(q>1), 由已知,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=7,a 1+3 +a 3+4 2=3a 2,即⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+a 3=7,a 1-6a 2+a 3=-7,⎩⎪⎨⎪⎧a 11+q +q 2=7,a 11-6q +q 2=-7, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1,q =2.故数列{a n }的通项为a n =2n -1(2)由(1)得a 3n +1=23n ,∴b n =lna 3n +1=ln23n =3nln2, 又b n +1-b n =3ln2,∴{b n }是以b 1=3ln2为首项,以3ln2为公差的等差数列. ∴T n =b 1+b 2+…+b n =n b 1+b n 2=n 3ln2+3nln2 2=3n n +1 l n22即T n =3n n +12ln2. (理)(2011·安庆模拟)已知数列{a n }中,a 1=12,点(n,2a n +1-a n )在直线y =x 上,其中n =1,2,3….(1)令b n =a n +1-a n -1,求证数列{b n }是等比数列; (2)求数列{a n }的通项.[解析] (1)由已知得2a n +1=a n +n ,又a 1=12,∴a 2=34,b 1=a 2-a 1-1=34-12-1=-34,又∵b n =a n +1-a n -1,∴b n +1=a n +2-a n +1-1, ∴b n +1b n =a n +2-a n +1-1a n +1-a n -1=a n +1+n +1 2-a n +n2-1a n +1-a n -1=a n +1-a n -12a n +1-a n -1=12. ∴{b n }是以-34为首项,以12为公比的等比数列.(2)由(1)知,b n =-34×(12)n -1=-3×(12)n +1∴a n +1-a n =1-3×(12)n +1,∴a 2-a 1=1-3×(12)2a 3-a 2=1-3×(12)3……a n -a n -1=1-3×(12)n各式相加得a n =n -1-3×[(12)2+(12)3+…+(12)n ]+12=n -12-3×14×[1-12n -1]1-12=32n +n -2.1.(2010·常德市检测)已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足S n =2n -1(n ∈N *),则数列{a 2n }的前n 项的和为( )A .4n -1 B.13(4n -1) C.43(4n -1) D .(2n -1)2[答案] B[解析] n≥2时,a n =S n -S n -1=(2n -1)-(2n -1-1)=2n -1,又a 1=S 1=21-1=1也满足,∴a n =2n -1(n ∈N *).设b n =a 2n ,则b n =(2n -1)2=4n -1, ∴数列{b n }是首项b 1=1,公比为4的等比数列,故{b n }的前n 项和T n =1× 4n -1 4-1=13(4n -1).2.(2010·宁波市模拟)等比数列的首项为1,项数是偶数,所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170,则这个等比数列的项数为( )A .4B .6C .8D .10[答案] C[解析] 由题意知,85q =170,∴q =2, ∴85+170=1×2n -12-1,∴n =8.3.(2011·山东济南模拟)已知各项不为0的等差数列{a n },满足2a 3-a 27+2a 11=0,数列{b n }是等比数列,且b 7=a 7,则b 6b 8等于( )A .2B .4C .8D .16[答案] D[解析] 由题意可知,a 27=2(a 3+a 11)=4a 7.∵a 7≠0,∴a 7=4,∴b 6b 8=b 27=a 27=16.4.已知a 、b 、c 成等比数列,如果a 、x 、b 和b 、y 、c 都成等差数列,则a x +c y =________.[答案] 2[解析] 由条件知x =a +b 2,y =b +c 2,c =bq ,a =bq ,∴a x +c y =2a a +b +2c b +c =2b q b q+b +2bqb +bq=21+q +2q 1+q=2. 5.已知{a n }是首项为a 1、公比q(q≠1)为正数的等比数列,其前n 项和为S n ,且有5S 2=4S 4,设b n =q +S n .(1)求q 的值;(2)数列{b n }能否是等比数列?若是,求出a 1的值;若不是,请说明理由.[解析] (1)由题意知5S 2=4S 4,S 2=a 11-q 21-q ,S 4=a 11-q 41-q, ∴5(1-q 2)=4(1-q 4),又q>0,∴q =12. (2)∵S n =a 11-q n 1-q=2a 1-a 1⎝⎛⎭⎫12n -1, 于是b n =q +S n =12+2a 1-a 1⎝⎛⎭⎫12n -1, 若{b n }是等比数列,则12+2a 1=0, ∴a 1=-14.此时,b n =⎝⎛⎭⎫12n +1. ∵b n +1b n =⎝⎛⎭⎫12n +2⎝⎛⎭⎫12n +1=12,∴数列{b n }是等比数列. 所以存在实数a 1=-14,使数列{b n }为等比数列. 6.(2010·福建龙岩一模)已知数列{a n }和{b n },数列{a n }的前n 项和记为S n .若点(n ,S n )在函数y =-x 2+4x 的图象上,点(n ,b n )在函数y =2x 的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由已知得S n =-n 2+4n ,当n≥2时,a n =S n -S n -1=-2n +5,又当n =1时,a 1=S 1=3,符合上式.∴a n =-2n +5.(2)由已知得b n =2n ,a n b n =(-2n +5)2n .T n =3×21+1×22+(-1)×23+…+(-2n +5)×2n ,2T n =3×22+1×23+…+(-2n +7)×2n +(-2n +5)×2n +1, 两式相减可得T n =-6+(23+24+…+2n +1)+(-2n +5)×2n +1=231-2n-11-2+(-2n+5)×2n+1-6=(7-2n)×2n+1-14.。
新教材高考数学一轮复习第六章6-1数列的概念课件新人教版
【教材回扣】 1.数列的有关概念
概念 数列 数列的项 数列的通项
通项公式
前n项和
含义
按照_确__定__的_顺__序___排列的一列数
数列中的_每__一_个__数_
数列{an}的第n项an
数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系能用一个式子_a_n_=__f(_n)_表
B.an=3+
−1 2
n+1
D.an=3+sin22n2+1π
答案:ACD
解析:A中,当n为奇数时,an=3−21=1,当n为偶数时,an=3+21=2,A正确; B中,当n为奇数时,an=3+21=2,B不正确;C中,当n为奇数时,an=3−21=1, 当n为偶数时,an=3+21=2,C正确;D中,当n为奇数时,an=3−21=1,当n为偶 数时,an=3+21=3,D正确;故选ACD.
3.数列的分类 分类标准 项数
项与项间的 大小关系
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列
常数列
满足条件
项数_有__限__
项数_无__限__
an+1>an an+1<an an+1=an
其中n∈N*
4.an与Sn的关系 若则a数n=列ቊ{Sann}−_的_S_1S_前n_,−n1项n,=和n 为1≥ S2n.,
答案:10 解析:由题意知an=n2+2n=120,解得n=-12(舍去),或n=10.
3.已知数列{an}的前n项和公式为Sn=-2n2,则an=________.
答案:-4n+2 解析:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n2-[-2(n-1)2]=-4n+2, 当n=1时,a1=S1=-2,适合上式, 所以{an}的通项公式是an=-4n+2.
高考数学总复习 3.1数列的概念课件 文 新人教版B版
高考展望
2009海南、宁夏, 理7; 2009广东,21; 2009安徽,理21; 数列综合问 2009湖南,21; 题 2009北京,理20; 2009重庆,21; 2009江西,理22; 2009陕西,理22.
2008全国Ⅰ ,理22; 2008辽宁, 理21; 2008北京, 理20; 2008湖北, 理21.
化,得到的数列普遍Hale Waihona Puke 递推关系,再通过代数方法由递推关系
求出通项公式.
• • • • • •
5.数列的分类: (1)按项数划分: 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列. (2)按项的大小划分: 递增数列;递减数列;常数数列;摆动数列.
• 1.数列的概念应注意几点: • (1)数列中的数是按一定的次序排列的,如果组成的数相同而排 列次序不同,则就是不同的数列;(2)同一数列中可以出现多个 相同的数;(3)数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集 ({1,2,3,…,n})的函数.
• 2.数列{an}的前n项和Sn与an之间的关系:
• an= 若a1合适an(n≥2),则an
• 不用分段形式表示,切不可不求a1而直接求an. • 3.一个数列的通项公式通常不是唯一的.
• 一、选择题 • 1.在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于
近三年来,高考在 对数列、函数、不 等式的综合问题的 考查力度明显加大 了;特别是以数列 为背景的不等式证 明问题几乎年年考 查,每卷都在考查 ,应引起高度重视.
• 最新考纲解读 • 理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是 给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几 项.理解an与Sn之间的关系. • 高考考查命题趋势 • 本节在高考中一般不单独命题,但用归纳法写出一个数列的通 项公式应引起重视,高考对递推数列仅要求根据递推关系写出 前几项,应控制难度.在2009年高考中有四套题考查此知识, 如2009全国Ⅱ,19.估计在2011年中仍可能考查.
2013年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版
2018年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版1.(2018·沈阳六校模考、广东深圳一检)设数列{(-1)n}的前n 项和为Sn ,则对任意正整数n ,Sn =() A.--1]2 B.--1+12C.-+12D.--12[答案]D[解读] 因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以Sn =错误!=错误!,选D.[点评] 直接检验,S1=-1,排除B ,C ;S3=-1,排除A ,故选D.2.(文)(2018·许昌月考)已知数列{an}的通项公式是an =2n3n +1,那么这个数列是()A .递增数列B .递减数列C .摆动数列D .常数列[答案]A[解读]an =23-2an +3,∵n ∈N*,∴an 随n 的增大而增大,故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y =-1x 的单调性,也可以直接验证an +1-an>0.(理)已知数列{an}的通项公式是an =n2+kn +2,若对任意n ∈N*,都有an +1>an 成立,则实数k 的取值范围是()A .k>0B .k>-1C .k>-2D .k>-3 [答案]D[解读] 由an +1>an 知道数列是一个递增数列,又因为通项公式an =n2+kn +2,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N*,所以-k 2<32,即得k>-3,故选D.3.(文)(2018·惠州二模,天津南开中学月考)已知整数按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……则第60个数对是()A .(5,5)B .(5,6)C .(5,7)D .(5,8) [答案]C[解读] 根据题中规律知,(1,1)为第1项,(1,2)为第2项,(1,3)为第4项,…,(1,11)为第56项,因此第60项为(5,7).(理)将数列{3n -1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是()A .34950B .35000C .35010D .35050 [答案]A[解读] 由“第n 组有n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,公差为1的等差数列,前99组数的个数共有+2=4950个,故第100组中的第1个数是34950,选A.4.(2018·太原模拟)已知正数数列{an}对任意p ,q ∈N*,都有ap +q =ap ·aq ,若a2=4,则a9=()A .256B .512C .1024D .502 [答案]B[解读] 依题意得a2=a1·a1=4,a1=2(a1=-2舍去),a4=a2·a2=16,a8=a4·a4=16×16=256,a9=a1·a8=2×256=512,故选B.5.(2018·三亚联考)已知数列{an}的通项公式为an =log3n n +1(n ∈N*),设其前n 项和为Sn ,则使Sn<-4成立的最小自然数n 等于()A .83B .82C .81D .80[答案]C[解读] ∵an =log3nn +1=log3n -log3(n +1),∵Sn =log31-log32+log32-log33+…+log3n -log3(n +1)=-log3(n +1)<-4,解得n>34-1=80.6.(文)在数列{an}中,已知an +1+an -1=2an(n ∈N +,n ≥2),若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →,满足OC →=a1005OA →+a1006OB →,三点A 、B 、C 共线,且直线不过O 点,则S2018等于()A .1005B .1006C .2018D .2018[答案]A[解读] 由条件知{an}成等差数列, ∵A 、B 、C 共线,∴a1005+a1006=1, ∴S2018=错误!=1005(a1005+a1006)=1005.(理)(2018·太原模考)设数列{an}满足a1+2a2=3,且对任意的n ∈N*,点列{Pn(n ,an)}恒满足PnPn +1=(1,2),则数列{an}的前n 项和Sn 为()A .n(n -43)B .n(n -34)C .n(n -23)D .n(n -12)[答案]A[解读] 设Pn +1(n +1,an +1),则PnPn +1=(1,an +1-an)=(1,2),即an +1-an =2,所以数列{an}是以2为公差的等差数列.又a1+2a2=3,所以a1=-13,所以Sn =n(n -43),选A.7.(2018·合肥三检)已知数列{an}中,a1=12,an +1=1-1an (n ≥2),则a16=________.[答案]12[解读] 由题可知a2=1-1a1=-1,a3=1-1a2=2,a4=1-1a3=12,∴此数列是以3为周期的周期数列, ∴a16=a 3×5+1=a1=12.8.(文)(2018·吉林部分中学质量检测)已知数列{an}的前n 项和Sn =2n -3,则数列{an}的通项公式为________.[答案]an =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =12n -1,n≥2[解读] 当n ≥2时,an =Sn -Sn -1=2n -1,当n =1时,a1=S1=-1,所以an =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =12n -1,n≥2.(理)(2018·湖南湘西联考)设关于x 的不等式x2-x<2nx(n ∈N*)的解集中整数的个数为an ,则数列{an}的前n 项和Sn =________.[答案]n2+n(n ∈N*)[解读] 由x2-x<2nx(n ∈N*)得0<x<2n +1,则an =2n ,所以Sn =n2+n.9.(文)(2018·河东区模拟)设数列{an}的前n 项和为Sn ,对于所有n ∈N*,Sn =错误!,且a4=54,则a1=______.[答案]2[解读]a4=S4-S3=40a1-13a1=27a1=54, ∴a1=2.(理)(2018·山东济宁模拟)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2018项之和S2018等于________.[答案]2008[解读] 由题意an +1+an -1=an(n ≥2),an +an +2=an +1,两式相加得an +2=-an -1,∴an +3=-an ,∴an +6=an ,即{an}是以6为周期的数列.∵2018=335×6+1,a1+a2+a3+a4+a5+a6=0, ∴a1+a2+…+a2018=335×0+a1=2008.10.(文)已知数列{an}的各项均为正数,Sn 为其前n 项和,对于任意的n ∈N*满足关系式2Sn =3an -3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}的通项公式是bn =1log3an·log3an+1,前n 项和为Tn ,求证:对于任意的正数n ,总有Tn<1.[解读](1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2Sn =3an -32Sn -1=3an -1-3(n ≥2).故2(Sn -Sn -1)=3an -3an -1,故an =3an -1(n ≥2). 故数列{an}为等比数列,且公比q =3.又当n =1时,2a1=3a1-3,∴a1=3.∴an =3n. (2)证明:bn =错误!=错误!-错误!. ∴Tn =b1+b2+…+bn=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12+⎝ ⎛⎭⎪⎫12-13+…+⎝ ⎛⎭⎪⎫1n -1n +1 =1-1n +1<1.(理)(2018·邯郸模拟)已知数列{an}满足前n 项和Sn =n2+1,数列{bn}满足bn =2an +1,且前n 项和为Tn ,设cn =T2n +1-Tn.(1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性.[解读](1)Sn=n2+1,∴an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1(n≥2),当n=1时,a1=S1=2,∵bn=2an+1,∴b1=2a1+1=23,n≥2时,bn=错误!=错误!,∴bn=错误!.(2)由题设知,Tn=b1+b2+…+bn,T2n+1=b1+b2+…+b2n+1,∴cn=T2n+1-Tn=bn+1+bn+2+…+b2n+1,∴cn+1-cn=(bn+2+bn+3+…+b2n+3)-(bn+1+bn+2+…+b2n+1)=b2n+2+b2n+3-bn+1=12n+2+12n+3-1n+1<12n+2+12n+2-1n+1=0,∴cn+1<cn,即数列{an}为递减数列.11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)()A.4nB.4n+1D.4n+8C.4n-3[答案]D [解读] 第(1),(2),(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5-3=12;4×6-2×4=16;5×7-3×5=20,代入选项验证可得答案为D. (理)(2018·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是()B.28A.27D.30C.29[答案]B [分析] 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可.[解读] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 12.(2018·赣州市摸底、大连模拟)设a1,a2,…,a50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a1+a2+…+a50=9,且(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a50+1)2=107,则a1,a2,…,a50中数字1的个数为()B.15A.24D.11C.14[答案]A[解读]错误!⇒a21+a22+…+a250=39.故a1,a2,…,a50中有11个零,设有x 个1,y 个-1,则⎩⎪⎨⎪⎧x +y =39x -y =9⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =24,y =15.故选A.13.(文)(2018·辽宁大连模拟)数列{an}中,a1=2,且an +1=an +2n(n ∈N*),则a2018=()A .22018-1B .22018C .22018+2D .22018-1[答案]B[解读] 由条件知an +1-an =2n ,a1=2,∴an =(an -an -1)+(an -1-an -2)+…+(a2-a1)+a1=2n -1+2n -2+…+22+2+2=-1-2-1+2=2n ,∴a2018=22018.(理)(2018·大同市模拟)已知定义在R 上的函数f(x),g(x)满足错误!=ax ,且 f ′(x)g(x)<f(x)g ′(x),错误!+错误!=52,若有穷数列{错误!}(n ∈N*)的前n 项和等于错误!,则n 等于()A .4B .5C .6D .7[答案]B[解读]f ′(x)g(x)<f(x)g ′(x)⇒错误!<0⇒[错误!]′<0⇒0<a<1,错误!+错误!=错误!⇒a +a -1=错误!⇒2a2-5a +2=0⇒a =12或a =2(舍去),∴错误!=(错误!)n ,∴{错误!}(n ∈N*)是以错误!为首项,错误!为公比的等比数列.∴错误!=错误!,∴(12)n =132,∴n =5.故选B.14.(文)已知f(x)=sin πx2,an =f(n)+f ′(n),数列{an}的前n 项和为Sn ,则S2018=________.[答案]1[解读]f ′(x)=π2cos πx 2,an =sin n π2+π2cos n π2,∴a1=1,a2=-π2,a3=-1,a4=π2,且{an}的周期为4,又2018=503×4+1且a1+a2+a3+a4=0,∴S2018=503×0+a1=1.(理)(2018·山西忻州市联考)数列{an}中,a1=35,an +1-an=2n -1(n ∈N*),则ann的最小值是________.[答案]10[解读] 由an +1-an =2n -1可知,当n ≥2时,an =(an -an -1)+(an -1-an -2)+(an -2-an -3)+…+(a2-a1)+a1=[2(n -1)-1]+[2(n -2)-1]+[2(n -3)-1]+…+(2×1-1)+35=2[1+2+3+…+(n -1)]-(n -1)+35=n2-2n+36.∴an n =n2-2n +36n =n +36n-2≥2×n·36n-2=10,当且仅当n =6时,取等号.15.(文)(2018·吉林市质检)已知数列{an}的前n 项和为Sn ,a1=1,且3an +1+2Sn =3(n 为正整数).(1)求出数列{an}的通项公式;(2)若对任意正整数n ,k ≤Sn 恒成立,求实数k 的最大值.[解读](1)∵3an +1+2Sn =3① ∴当n ≥2时,3an +2Sn -1=3②由①-②得,3an +1-3an +2an =0.∴an +1an =13(n ≥2).又∵a1=1,3a2+2a1=3,解得a2=13.∴数列{an}是首项为1,公比q =13的等比数列.∴an =a1qn -1=⎝ ⎛⎭⎪⎫13n -1(n 为正整数)(2)由(1)知,∴Sn =32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n由题意可知,对于任意的正整数n ,恒有k ≤32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ,∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1-⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 单调递增,当n =1时,数列取最小项为23,∴必有k ≤1,即实数k 的最大值为1.(理)(2018·福建厦门一模)已知二次函数f(x)=ax2+bx 的图象过点(-4n,0),且f ′(0)=2n ,n ∈N*.(1)求f(x)的解读式;(2)若数列{an}满足1an +1=f ′(1an),且a1=4,求数列{an}的通项公式;(3)记bn =anan +1,数列{bn}的前n 项和Tn ,求证:43≤Tn<2.[解读](1)由题意及f ′(x)=2ax +b 得⎩⎪⎨⎪⎧b =2n ,16n2a -4nb =0,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =2n ,即f(x)=12x2+2nx(n ∈N*).(2)由条件得1an +1=1an +2n ,∴1an +1-1an=2n ,累加得1an -14=2+4+6+…+2(n -1)=[2+--2=n2-n ,∴1an =(n -12)2,所以an =错误!=错误!(n ∈N*).(3)bn =anan +1=错误!=2(12n -1-12n +1),则Tn =b1+b2+…+bn=a1a2+a2a3+…+anan +1=2[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)]=2(1-12n +1)<2.∵2n +1≥3,故2(1-12n +1)≥43,∴43≤Tn<2.1.数列{an}的前n 项和Sn =n2+2n +1,则{an}的通项公式为()A .an =2n -1B .an =2n +1C .an =⎩⎪⎨⎪⎧4n =12n -1 n≥2D .an =⎩⎪⎨⎪⎧4n =12n +1 n≥2[答案]D[解读]a1=S1=4,n ≥2时,an =Sn -Sn -1=2n +1,∴an =⎩⎪⎨⎪⎧4n =12n +1 n≥2.2.如果f(a +b)=f(a )·f(b)(a ,b ∈R)且f(1)=2,则错误!+错误!+错误!+…+错误!等于()A .2009B .2018C .2018D .2018[答案]D[解读] 令a =n ,b =1,f(n +1)=f(n )·f(1),∴错误!=f(1)=2,∴错误!+…+错误!=2×1006=2018.3.(2018·石狮石光华侨联合中学模拟)已知数列{an}中,a1=1,且1an +1=1an+3(n ∈N*),则a10=()A .28B .33C.133D.128[答案]D[解读] ∵1an +1-1an =3,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是首项为1a1=1,公差为3的等差数列,∴1an=1+3(n -1)=3n -2,∴an =13n -2,∴a10=128.4.由1开始的奇数列,按下列方法分组:(1),(3,5),(7,9,11),…,第n 组有n 个数,则第n 组的首项为()A .n2-nB .n2-n +1C .n2+nD .n2+n +1[答案]B[解读] 前n -1组共有1+2+…+(n -1)=--1+2=错误!个奇数,故第n 组的首项为2×错误!+1=n2-n +1.[点评] 可直接验证,第2组的首项为3,将n =2代入可知A 、C 、D 都不对,故选B.5.已知数列{an}满足a1=0,an +1=an +2n ,那么a2018的值是()A .2008×2009B .2009×2018C .2018×2018D .2018×2018[答案]C[解读] 解法1:a1=0,a2=2,a3=6,a4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形为:a1=0×1a2=1×2a3=2×3a4=3×4猜想a2018=2018×2018,故选C.解法2:an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…a3-a2=2×2,a2-a1=2×1.∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=2[(n-1)+(n-2)+…+1].=2--1+2=n(n-1).∴a2018=2018×2018.6.如图所示的程序框图,如果输入值为2018,则输出值为________.[答案] -4[解读] 此程序框图计算数列{an}的第n 项,并输出,其中a1=1,a2=5,an +2=an +1-an 依次计算可得数列的项为:1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,故该数列周期为6,又2018=335×6,∴a2018=a6=-4.7.(2018·浙江文,17)若数列{n(n +4)(23)n}中的最大项是第k 项,则k =________.[答案]4[解读] 由题意可列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ak≥ak+1ak≥ak-1即错误!化简可得⎩⎪⎨⎪⎧k2≥10k2-2k -9≤0解之得10≤k ≤1+10又∵k ∈Z ,∴k =4.。
高考数学总复习 6-1 数列的概念课件 新人教B版
(3)形如 an+1=an+f(n)的条件求通项公式,可用累加 法.
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)+a1 (4)形如 an=an-1f(n)的数列求通项可用累乘法:an= aan-n 1·aann- -21…·aa21·a1.
二、注意数列的两个性质 (1)单调性——若 an+1>an,则{an}为递增数列;若 an +1<an,则{an}为递减数列. (2)周期性——若 an+k=an(n∈N*,k 为非零常数), 则{an}为周期数列,k 为{an}的一个周期.
1,2,4,8,16,32,64,……
∴an=2n-1-1. 答案:(1)an=sinn-2 1π
(2)an=2n-1-1
由递推关系式求通项
[例 2] 数列{an}中,an+1=1+an3an,a1=2,则 a4=(
)பைடு நூலகம்
16
2
8
8
A. 5
B.19
C.5
D.7
分析:给出递推关系式和首项,可依次代入求出 a4;如
写出下列数列的一个通项公式: (1)0,1,0,-1,0,1,0,-1,…通项公式:________. (2)0,1,3,7,15,31,63,…通项公式:________.
解析:(1)由 y=sinx(或 y=cosx),当 x 取π2的整数倍
时的值的规律知,an=sinn-21π.
(2) 注 意 到 各 数 值 的 特 点 , 都 加 上 1 后 为
3.已知{an}的前 n 项和 Sn 求 an 时,应注意分类讨 论.an=Sn-Sn-1 是在 n≥2 条件下求出的,应检验 a1 是 否适合.如果适合,则合写在一块,如果不适合,则分 段表示.
2013年高考数学复习要点梳理教学案6.1数列的概念(新课标人教版,教师版)
2013年高考数学一轮复习精品教学案6.1 数列的概念【考纲解读】1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 【考点预测】高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为:1.数列是历年来高考重点内容之一, 在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,一般考查一个大题一个小题,难度中低高都有,在解答题中,经常与不等式、函数等知识相结合,在考查数列知识的同时,又考查转化思想和分类讨论等思想,以及分析问题、解决问题的能力.2.2013年的高考将会继续保持稳定,坚持考查数列与其他知识的结合,或在选择题、填空题中继续搞创新,命题形式会更加灵活.【要点梳理】1.按照一定次序排列起来的一列数叫做数列,数列中的每个数叫做这个数列的项.2.数列{}n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示,则()n a f n =叫做数列的通项公式,注意:并非每个数列都有通项公式,也并非都是唯一的.3.数列的常用表示方法有:解析法、列表法、图象法.4.数列分类:(1)数列按项数来分,分为有穷数列与无穷数列;(2)按项的增减规律分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列.考点一 数列的通项公式n a 与前n 项和n S 的关系例1.(2012年高考全国卷文科6)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,,则n S =( )(A )12-n (B )1)23(-n (C )1)32(-n (D )121-n【答案】B 【解析】因为n n n S S a -=++11,所以由12+=n n a S 得,)(21n n n S S S -=+,整理得123+=n n S S ,所以231=+nn S S ,所以数列}{n S 是以111==a S 为首项,公比23=q 的等比数列,所以1)23(-=n n S ,选B.【名师点睛】本小题主要考查数列中,已知通项公式na 与前n 项和nS 的关系,熟练基本知识是解决本类问题的关键.【变式训练】1.(2010年高考上海卷文科21)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈(1)证明:{}1n a -是等比数列;(2)求数列{}n S 的通项公式,并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n.考点二 已知递推关系,求通项例2.(2008年高考四川卷文科16)设数列{}n a 中,112,1n n a a a n +==++,则通项n a =___________.2. 已知数列{}n a 中,11a =,121n n a a +=+,求数列{}n a 的通项公式.【解析】由121n n a a +=+得: 112(1)n n a a ++=+,所以1121n n a a ++=+,【易错专区】问题:忽略1n =与2n ≥时的讨论例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且223n S n n =++,求数列{}n a 的通项公式.1.(2010年高考陕西卷理科9)对于数列{a n },“a n+1>∣a n ∣(n=1,2…)”是“{a n }为递增数列”的( )(A) 必要不充分条件 (B) 充分不必要条件(C) 必要条件 (D) 既不充分也不必要条件2.(山东省青岛市2012届高三上学期期末文科)设同时满足条件:①122++≥+n n n b b b ;②n b M ≤(N n +∈,M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:(1)1n n aS a a =--(a 为常数,且0a ≠,1a ≠). 求数列{}n a 的通项公式.【解析】(Ⅰ)因为11(1)1aS a a =--所以1a a =3.(山东省淄博市2012年3月高三第一次模拟)已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(Ⅰ)证明:数列12nna-⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列;(Ⅱ)求数列{ an-1}的前n项和Sn.1. (2010年高考安徽卷文科5)设数列{}na的前n项和2nS n=,则8a的值为( )(A)15 (B) 16 (C) 49 (D)64 【答案】A【解析】887644915a S S=-=-=.2. (2011年高考四川卷文科9)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1, an+1 =3Sn(n ≥1),则a6=( )(A)3 ×44 (B)3 × 44+1(C) 44 (D)44+13. (2012年高考广东卷文科19)设数列{}na前n项和为nS,数列{}nS的前n项和为nT,满足22n nT S n=-,*n∈N.(1)求1a的值;(2)求数列{}na的通项公式.4. (2012年高考浙江卷文科19)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=22n n+,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.(1)求an,bn;(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.。
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2013年高考数学总复习 6-1 数列的概念但因为测试 新人教B版1.(2011·沈阳六校模考、广东深圳一检)设数列{(-1)n }的前n 项和为S n ,则对任意正整数n ,S n =( )A.n [ -1 n -1]2B.-1 n -1+12C.-1 n +12D.-1 n -12[答案] D[解析] 因为数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列,所以S n =-1--1 n × -11--1=-1 n -12,选D.[点评] 直接检验,S 1=-1,排除B ,C ;S 3=-1,排除A ,故选D.2.(文)(2011·许昌月考)已知数列{a n }的通项公式是a n =2n3n +1,那么这个数列是( )A .递增数列B .递减数列C .摆动数列D .常数列[答案] A[解析] a n =23-2a n +3,∵n ∈N *,∴a n 随n 的增大而增大,故选A.[点评] 上面解答过程利用了反比例函数y =-1x 的单调性,也可以直接验证a n +1-a n >0.(理)已知数列{a n }的通项公式是a n =n 2+kn +2,若对任意n ∈N *,都有a n +1>a n 成立,则实数k 的取值范围是( )A .k >0B .k >-1C .k >-2D .k >-3 [答案] D[解析] 由a n +1>a n 知道数列是一个递增数列,又因为通项公式a n =n 2+kn +2,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以-k 2<32,即得k >-3,故选D.3.(文)(2011·惠州二模,天津南开中学月考)已知整数按如下规律排成一列:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),……则第60个数对是( )A .(5,5)B .(5,6)C .(5,7)D .(5,8)[答案] C[解析] 根据题中规律知,(1,1)为第1项,(1,2)为第2项,(1,3)为第4项,…,(1,11)为第56项,因此第60项为(5,7).(理)将数列{3n -1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下:(1),(3,9),(27,81,243),…,则第100组中的第一个数是( )A .34950B .35000C .35010D .35050 [答案] A[解析] 由“第n 组有n 个数”的规则分组中,各组数的个数构成一个以1为首项,公差为1的等差数列,前99组数的个数共有1+99 992=4950个,故第100组中的第1个数是34950,选A.4.(2011·太原模拟)已知正数数列{a n }对任意p ,q ∈N *,都有a p +q =a p ·a q ,若a 2=4,则a 9=( )A .256B .512C .1024D .502[答案] B[解析] 依题意得a 2=a 1·a 1=4,a 1=2(a 1=-2舍去),a 4=a 2·a 2=16,a 8=a 4·a 4=16×16=256,a 9=a 1·a 8=2×256=512,故选B.5.(2011·三亚联考)已知数列{a n }的通项公式为a n =log 3nn +1(n ∈N *),设其前n 项和为S n ,则使S n <-4成立的最小自然数n 等于( )A .83B .82C .81D .80[答案] C[解析] ∵a n =log 3n n +1=log 3n -log 3(n +1),∵S n =log 31-log 32+lo g 32-log 33+…+log 3n -log 3(n +1)=-log 3(n +1)<-4,解得n >34-1=80.6.(文)在数列{a n }中,已知a n +1+a n -1=2a n (n ∈N +,n ≥2),若平面上的三个不共线的向量OA →、OB →、OC →,满足OC →=a 1005OA →+a 1006OB →,三点A 、B 、C 共线,且直线不过O 点,则S 2010等于( )A .1005B .1006C .2010D .2011[答案] A[解析] 由条件知{a n }成等差数列, ∵A 、B 、C 共线,∴a 1005+a 1006=1,∴S 2010=2010 a 1+a 20102=1005(a 1005+a 1006)=1005.(理)(2011·太原模考)设数列{a n }满足a 1+2a 2=3,且对任意的n ∈N *,点列{P n (n ,a n )}恒满足P n P n +1=(1,2),则数列{a n }的前n 项和S n 为( )A .n (n - 43)B .n (n -34)C .n (n - 23)D .n (n -12)[答案] A[解析] 设P n +1(n +1,a n +1),则P n P n +1=(1,a n +1-a n )=(1,2),即a n +1-a n =2,所以数列{a n }是以2为公差的等差数列.又a 1+2a 2=3,所以a 1=-13,所以S n =n (n -43),选A.7.(2011·合肥三检)已知数列{a n }中,a 1=12,a n +1=1-1a n (n ≥2),则a 16=________.[答案] 12[解析] 由题可知a 2=1-1a 1=-1,a 3=1-1a 2=2,a 4=1-1a 3=12,∴此数列是以3为周期的周期数列,∴a 16=a 3×5+1=a 1=12.8.(文)(2011·吉林部分中学质量检测)已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为________.[答案] a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =12n -1,n ≥2[解析] 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n -1,当n =1时,a 1=S 1=-1,所以a n =⎩⎪⎨⎪⎧-1,n =12n -1,n ≥2.(理)(2011·湖南湘西联考)设关于x 的不等式x 2-x <2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ,则数列{a n }的前n 项和S n =________.[答案] n 2+n (n ∈N *)[解析] 由x 2-x <2nx (n ∈N *)得0<x <2n +1,则a n =2n ,所以S n =n 2+n .9.(文)(2010·河东区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,对于所有n ∈N *,S n =a 13n -12,且a 4=54,则a 1=______.[答案] 2[解析] a 4=S 4-S 3=40a 1-13a 1=27a 1=54, ∴a 1=2.(理)(2010·山东济宁模拟)已知数列2008,2009,1,-2008,-2009,…这个数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前2011项之和S 2011等于________.[答案] 2008[解析] 由题意a n +1+a n -1=a n (n ≥2),a n +a n +2=a n +1,两式相加得a n +2=-a n -1, ∴a n +3=-a n ,∴a n +6=a n , 即{a n }是以6为周期的数列.∵2011=335×6+1,a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6=0, ∴a 1+a 2+…+a 2011=335×0+a 1=2008.10.(文)已知数列{a n }的各项均为正数,S n 为其前n 项和,对于任意的n ∈N *满足关系式2S n =3a n -3.(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数列{b n }的通项公式是b n =1log 3a n ·log 3a n +1,前n 项和为T n ,求证:对于任意的正数n ,总有T n <1.[解析] (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n =3a n -32S n -1=3a n -1-3(n ≥2).故2(S n -S n -1)=3a n -3a n -1,故a n =3a n -1(n ≥2). 故数列{a n }为等比数列,且公比q =3. 又当n =1时,2a 1=3a 1-3,∴a 1=3.∴a n =3n . (2)证明:b n =1n n +1 =1n -1n +1.∴T n =b 1+b 2+…+b n=⎝⎛⎭⎫1-12+⎝⎛⎭⎫12-13+…+⎝⎛⎭⎫1n -1n +1 =1-1n +1<1.(理)(2011·邯郸模拟)已知数列{a n }满足前n 项和S n =n 2+1,数列{b n }满足b n =2a n +1,且前n 项和为T n ,设c n =T 2n +1-T n .(1)求数列{b n }的通项公式; (2)判断数列{c n }的增减性.[解析] (1)S n =n 2+1,∴a n =S n -S n -1=(n 2+1)-[(n -1)2+1]=2n -1(n ≥2), 当n =1时,a 1=S 1=2,∵b n =2a n +1,∴b 1=2a 1+1=23,n ≥2时,b n =22n -1 +1=1n,∴b n=⎩⎨⎧23n =1 1n n ≥2.(2)由题设知,T n =b 1+b 2+…+b n ,T 2n +1=b 1+b 2+…+b 2n +1, ∴c n =T 2n +1-T n =b n +1+b n +2+…+b 2n +1,∴c n +1-c n =(b n +2+b n +3+…+b 2n +3)-(b n +1+b n +2+…+b 2n +1)=b 2n +2+b 2n +3-b n +1=12n +2+12n +3-1n +1<12n +2+12n +2-1n +1=0, ∴c n +1<c n ,即数列{a n }为递减数列.11.(文)下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第n 个图案中需用黑色瓷砖的块数为(用含n 的代数式表示)()A .4nB .4n +1C .4n -3D .4n +8[答案] D[解析] 第(1),(2),(3)个图案黑色瓷砖数依次为3×5-3=12;4×6-2×4=16;5×7-3×5=20,代入选项验证可得答案为D.(理)(2011·福州一模)把1,3,6,10,15,21这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如图所示).则第七个三角形数是( )A .27B .28C .29D .30[答案] B[分析] 观察三角形数的增长规律,可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号,所以根据这个规律计算即可.[解析] 根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28. 12.(2011·赣州市摸底、大连模拟)设a 1,a 2,…,a 50是从-1,0,1这三个整数中取值的数列,若a 1+a 2+…+a 50=9,且(a 1+1)2+(a 2+1)2+…+(a 50+1)2=107,则a 1,a 2,…,a 50中数字1的个数为( )A .24B .15C .14D .11[答案] A[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 2+…+a 50=9a 1+1 2+a 2+1 2+…+a 50+1 2=107⇒a 21+a 22+…+a 250=39.故a 1,a 2,…,a 50中有11个零, 设有x 个1,y 个-1,则⎩⎪⎨⎪⎧ x +y =39x -y =9⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =24,y =15.故选A. 13.(文)(2011·辽宁大连模拟)数列{a n }中,a 1=2,且a n +1=a n +2n (n ∈N *),则a 2010=( ) A .22010-1 B .22010 C .22010+2 D .22011-1 [答案] B[解析] 由条件知a n +1-a n =2n ,a 1=2,∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 2-a 1)+a 1=2n-1+2n-2+…+22+2+2=2× 2n -1-12-1+2=2n ,∴a 2010=22010.(理)(2011·大同市模拟)已知定义在R 上的函数f (x ),g (x )满足f x g x =a x ,且f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x ),f 1g 1+f -1 g -1 =52,若有穷数列{f n g n }(n ∈N *)的前n 项和等于3132,则n 等于( ) A .4 B .5 C .6 D .7 [答案] B[解析] f ′(x )g (x )<f (x )g ′(x )⇒f ′ xg x -f x g ′ x [g x ]2<0⇒[f x g x ]′<0⇒0<a <1, f 1g 1+f -1 g -1 =52⇒a +a -1=52⇒2a 2-5a +2=0 ⇒a =12或a =2(舍去),∴f n g n =(12)n , ∴{f n g n }(n ∈N *)是以12为首项,12为公比的等比数列. ∴12[1-12n ]1-12=3132,∴(12)n =132,∴n =5.故选B. 14.(文)已知f (x )=sin πx 2,a n =f (n )+f ′(n ),数列{a n }的前n 项和为S n ,则S 2013=________.[答案] 1[解析] f ′(x )=π2cos πx 2,a n =sin n π2+π2cos n π2,∴a 1=1,a 2=-π2,a 3=-1,a 4=π2,且{a n }的周期为4,又2013=503×4+1且a 1+a 2+a 3+a 4=0,∴S 2013=503×0+a 1=1.(理)(2011·山西忻州市联考)数列{a n }中,a 1=35,a n +1-a n =2n -1(n ∈N *),则a nn 的最小值是________.[答案] 10[解析] 由a n +1-a n =2n -1可知,当n ≥2时,a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…+(a 2-a 1)+a 1=[2(n -1)-1]+[2(n -2)-1]+[2(n -3)-1]+…+(2×1-1)+35=2[1+2+3+…+(n -1)]-(n -1)+35=n 2-2n +36.∴a n n =n 2-2n +36n =n +36n-2≥2×n ·36n-2=10, 当且仅当n =6时,取等号.15.(文)(2010·吉林市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=1,且3a n +1+2S n =3(n 为正整数).(1)求出数列{a n }的通项公式;(2)若对任意正整数n ,k ≤S n 恒成立,求实数k 的最大值.[解析] (1)∵3a n +1+2S n =3① ∴当n ≥2时,3a n +2S n -1=3② 由①-②得,3a n +1-3a n +2a n =0. ∴a n +1a n =13(n ≥2). 又∵a 1=1,3a 2+2a 1=3,解得a 2=13.∴数列{a n }是首项为1,公比q =13的等比数列.∴a n =a 1q n -1=⎝⎛⎭⎫13n -1(n 为正整数) (2)由(1)知,∴S n =32⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫13n 由题意可知,对于任意的正整数n ,恒有 k ≤32⎣⎡⎦⎤1-⎝⎛⎭⎫13n , ∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1-⎝⎛⎭⎫13n 单调递增,当n =1时,数列取最小项为23,∴必有k ≤1,即实数k 的最大值为1.(理)(2011·福建厦门一模)已知二次函数f (x )=ax 2+bx 的图象过点(-4n,0),且f ′(0)=2n ,n ∈N *.(1)求f (x )的解析式;(2)若数列{a n }满足1a n +1=f ′(1a n ),且a 1=4,求数列{a n }的通项公式;(3)记b n =a n a n +1,数列{b n }的前n 项和T n ,求证:43≤T n <2.[解析] (1)由题意及f ′(x )=2ax +b 得⎩⎪⎨⎪⎧b =2n ,16n 2a -4nb =0,解之得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =2n ,即f (x )=12x 2+2nx (n ∈N *).(2)由条件得1a n +1=1a n +2n ,∴1a n +1-1a n =2n ,累加得1a n -14=2+4+6+…+2(n -1)=[2+2 n -1 ]× n -1 2=n 2-n ,∴1a n =(n -12)2,所以a n =1n -122=42n -12(n ∈N *). (3)b n =a n a n +1=42n -1 2n +1=2(12n -1-12n +1),则T n =b 1+b 2+…+b n =a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n +1=2[(1-13)+(13-15)+…+(12n -1-12n +1)]=2(1-12n +1)<2. ∵2n +1≥3,故2(1-12n +1)≥43,∴43≤T n <2.1.数列{a n }的前n 项和S n =n 2+2n +1,则{a n }的通项公式为( ) A .a n =2n -1B .a n =2n +1C .a n =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n -1 n ≥2D .a n =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n +1 n ≥2[答案] D[解析] a 1=S 1=4,n ≥2时,a n =S n -S n -1=2n +1,∴a n =⎩⎪⎨⎪⎧4 n =12n +1 n ≥2.2.如果f (a +b )=f (a )·f (b )(a ,b ∈R)且f (1)=2,则f 2f 1+f 4f 3+f 6f 5+…+f 2012 f 2011 等于( )A .2009B .2010C .2011D .2012[答案] D[解析] 令a =n ,b =1,f (n +1)=f (n )·f (1), ∴f n +1f n =f (1)=2, ∴f 2f 1+…+f 2012 f 2011=2×1006=2012. 3.(2010·石狮石光华侨联合中学模拟)已知数列{a n }中,a 1=1,且1a n +1=1a n+3(n ∈N *),则a 10=( )A .28B .33 C.133 D.128[答案] D[解析] ∵1a n +1-1a n=3,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1=1,公差为3的等差数列,∴1a n =1+3(n-1)=3n -2,∴a n =13n -2,∴a 10=128.4.由1开始的奇数列,按下列方法分组:(1),(3,5),(7,9,11),…,第n 组有n 个数,则第n 组的首项为( )A .n 2-nB .n 2-n +1C .n 2+nD .n 2+n +1 [答案] B[解析] 前n -1组共有1+2+…+(n -1)=n -1 n -1+1 2=n n -12个奇数,故第n 组的首项为2×n n -12+1=n 2-n +1.[点评] 可直接验证,第2组的首项为3,将n =2代入可知A 、C 、D 都不对,故选B.5.已知数列{a n }满足a 1=0,a n +1=a n +2n ,那么a 2011的值是( ) A .2008×2009 B .2009×2010 C .2010×2011 D .2011×2012 [答案] C[解析] 解法1:a 1=0,a 2=2,a 3=6,a 4=12,考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式,可变形为:a 1=0×1 a 2=1×2 a 3=2×3 a 4=3×4 猜想a 2011=2010×2011,故选C. 解法2:a n -a n -1=2(n -1), a n -1-a n -2=2(n -2), …a 3-a 2=2×2, a 2-a 1=2×1.∴a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1 =2[(n -1)+(n -2)+…+1].=2n -1 n -1+1 2=n (n -1). ∴a 2011=2010×2011.6.如图所示的程序框图,如果输入值为2010,则输出值为________.[答案] -4[解析] 此程序框图计算数列{a n }的第n 项,并输出,其中a 1=1,a 2=5,a n +2=a n +1-a n 依次计算可得数列的项为:1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,故该数列周期为6,又2010=335×6,∴a 2010=a 6=-4.7.(2011·浙江文,17)若数列{n (n +4)(23)n }中的最大项是第k 项,则k =________. [答案] 4[解析] 由题意可列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥a k +1a k ≥a k -1 即⎩⎨⎧ k k +4 23k ≥ k +1 k +5 23k +1k k +4 23k≥ k -1 k +3 23k -1 化简可得⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥10k 2-2k -9≤0解之得10≤k ≤1+10 又∵k ∈Z ,∴k =4.。