教学设计任务书-多面体与旋转体
第二章多面体与旋转体 棱柱(一
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体棱柱（一）教案教学目标1．掌握棱柱的概念、性质，分类及表示方法；2．培养学生的观察能力，抽象概括能力；3．通过棱柱的教学逐渐培养学生的辩证唯物主义观点．教学重点和难点棱柱的概念及性质．教具长方体、六棱柱、五棱柱、底面是梯形的四棱柱模型、橡皮．教学设计过程上一章我们研究了点、线、面间的位置关系，本章我们将研究几何体、多面体和旋转体．本节课我们先研究多面体中的棱柱．（板书：§1．棱柱）请同学们打开自己的文具盒．观察一下铅笔盒、六棱铅笔、橡皮，是否注意到它们在形状上都有什么共同的特点？为了便于学生观察，教师把做好的模型摆在讲台上让学生仔细观察后，再把它们的直观图画在黑板上，比例适当，并请同学们注意教师的画法．（要求教师做好示范）定义有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱．（板书：一、定义：……）二、各部分的名称（板书）1．两个平行的面叫做棱柱的底面．2．其余各面叫做棱柱的侧面．3．侧面与底面的交线叫做底面的边．4．侧面的交线叫做棱柱的侧棱．5．侧面与底面的公共点叫做棱柱的顶点．6．侧棱与底面的边叫做棱柱的棱．7．不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线．8．两底面间的距离叫做棱柱的高．三、重要截面截面用一个平面去截棱柱，与各面的交线组成一个封闭的图形．1．平行于底面的截面．2．垂直于侧棱的截面叫直截面．3．过不相邻的两条侧棱组成的平面叫对角面．底面：ABCDE，A1B1C1D1E1或AC，A1D1侧面：ABB1A1，BCC1B1，……或AB1，BC1，底面的边：AB，A1B1，BC1，……侧棱：AA1，BB1，……顶点：A，B，A1，B1，……对角线：BE，……高：OO1平行于底面的截面：A2B2C2D2E2或A2C2直截面：A′B′C′D′E′，或A′C′对角面：ACC1A1或AC1．（教师把五棱柱标上字母．结合图形说明定义及各部分的表示方法）练习：1．在图3中，请同学们指出棱柱的底面、侧面、侧棱、对角线，并画出它们的高．2．在图3中，AB1是棱柱的对角线吗？3．在图3中，（直棱柱）侧棱AA′为什么是棱柱的高？（强调侧棱与底面的关系）4．画出几个棱柱中的一个与底面平行的截面、直截面、对角面．问题：仔细观察一下，这几个空间图形，它们都是棱柱，它们之间有什么区别？能否根据它们之间的某个区别来分类？四、分类1．按线面的位置关系分：侧棱与底面斜交的棱柱叫斜棱柱．侧棱与底面直交的棱柱叫直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．2．按侧棱数分：侧棱数为3，4，5，可以把棱柱分为三棱柱，四棱柱，五棱柱……练习：下面一些物体属于哪一类棱柱？（1）课桌的腿．（2）教室里用的簸箕加一个盖，并指出它的底面与侧面．（说明：此练习说明底面不一定在上、下，而是根据两个平面平行的特征来决定的）（3）铅笔盒为长方体属于哪一类？并指出它的侧面与底面．（说明：此练习说明四棱柱比较特殊，一般情况下可把底面与侧面进行更换）（4）画两个三棱柱：①三条侧棱全能看见．②三条侧棱不全看见．五、性质根据定义及侧面、侧棱与底面的关系来观察、总结棱柱的性质．（学生讨论、证明）1．侧棱都相等，侧面是平行四边形．2．两底面和平行于底面的截面是全等的多边形．3．对角面是平行四边形．问题：直棱柱，正棱柱具有什么性质呢？由学生讨论、证明得到：直棱柱性质：（1）侧棱都相等，侧面是矩形．（2）底面与平行于底面的截面是全等的多边形．（3）对角面是矩形．（4）侧棱长是棱柱的高．正棱柱既有一般棱柱及直棱柱的性质，还有如下性质：（1）底面与平行于底面的截面是全等的正多边形．（2）侧面是全等的矩形．例斜棱柱ABC-A′B′C′中，A′在底面ABC的射影O是底面三角形ABC的中心，求证：BCC′B′是矩形．分析：因为斜棱柱具有性质：侧面是平行四边形，所以只需证BCC′只有一组邻边互相垂直即可．证明：连AO．因为O是△ABC的中心，所以AO⊥BC．又因为A′O⊥平面ABC，且AO是AA′在平面ABC上的射影．所以AA′⊥BC．（三垂线定理）因为BB′∥AA′，所以BB′⊥BC．因为BCC′B′是平行四边形，（性质）所以BCC′B′是矩形．注：此例说明：斜棱柱可以有一个侧面是矩形．小结：1．棱柱的定义是在抓住了它的两个特点而总结出的．2．它的性质及分类是根据它的侧棱与底面的关系及底面、侧面的形状进行的．作业：1．p．53第1，2，3题．2．在第三题中加上：对角面及平行底面的截面的形状是怎样的？侧棱与上下底面的位置关系如何？。
认识多面体和旋转体
课题: 6.1.1 认识多面体和旋转
【教学目标】
了解多面体和旋转体的基本概念,认识多面体的面、棱、顶点、对角线及旋转体的轴和母线；通过学习认识空间几何体的结构特征，提高学生的归纳总结能力，培养学生由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法。
【教学重点】
多面体和旋转体的有关概念
【教学难点】
多面体和旋转体的基本概念，初步形成空间想象力
【教学方法】
观察演示探究
【教学过程】
教学
环节教学内容师生活动二次修改
导入
PPT展示：在现实生活中，我们周围存在着很多
形状各异的几何体，让学生观察它们的结构特点
圆形的方形的，多面的，旋转的都有
教师展示图形，并
分析这些图形的结构特
点，学生认真观察，并
回答老师提出的问题：
这些图形各有什么特
点？
估计学生认识到：方的，
圆的，有尖的等多面体
教师分析所展示图形并
板书多面体。
第二章多面体与旋转体球的表面积
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球的表面积教案教学目标1．使学生理解球的表面积公式的推导方法，并能熟记公式内容；2．在引理的论证过程中，进一步要求学生树立转化的思想（把空间问题转化为平面问题）；3．通过寻求如何研究球表面积的方法，培养学生应用无限分割和极限思想的意识，进而在实施推导公式的过程中，对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育．教学重点和难点本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式，而如何推导球的表面积公式是本节的难点．教学设计过程一、新课引入师：（手持模型）今天，我们要研究的课题就是如何求得球的表面积．下面，请同学们各抒己见．（板书课题）生甲：（脱口而出）可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果．（同学们立即反驳，此办法不可能实现）生甲：（申辩）如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算．生乙：削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平．另外，条形表面也有一定的弯曲度．生甲：那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了．生丙：（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小．用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一族圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一族圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了．生丁：我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决．……师：同学们的想法都很好．要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形．大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想．若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形．问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广议，完善求解方法．（课堂内鸦雀无声）（需引导一下）二、新课师：回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生：是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的．师：当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长．当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试．我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？生丙：我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就越来越接近球的表面积了．师：只能用球的内接圆柱去研究吗？生：圆台也可以．师：下面，我们以圆台为例，证明一个预备定理．目的是求出球内接圆台的侧面积公式．（板书引理）引理球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球心到母线的距离为P，那么圆台的侧面积为2πPh．下一步，求半球面的面积．用n-1个平行于半球大圆面的平面将半球分为n个部分，使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都是p，而它们的高分别为h1，h2，h3，…，hn．如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R．当p变为R时，侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积．例2 口答下面问题，并说明理由．（1）球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？（2）球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？（3）球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？（4）球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍？生：设球半径为R．（1）因球半径扩大n倍，S球面=4π（nR）2=n2×4πR2，即球面积扩大n2倍．四、小结在本节课内，我们讲了（1）球表面积等于它的大圆面积的4倍．（2）“以直代曲”的研究方法．（3）无限分割和逐次逼近的数学方法．五、作业1．课本p．92．6，2．课本p．92．7，3．课本p．92．8，4．两底面半径为r1和r2（r1＜r2）的圆台中有一个内切球，求这个球的表面积．（4πr1r2）5．（思考题）球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球面的面积．（3πa2）（提示：把PA，PB，PC看成正方体内相交于一点的三条棱．因P，A，B，C在球面上，则此正方体内接于球．正方体的对角线恰为球的直径）课堂教学设计说明这堂课的知识量不算很大，主要任务就是完成球表面积公式的推导．作为生活常识，学生们大部分都已经知道了公式的内容．那么采用什么办法去吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使这堂课上得比较生动活泼呢？这是我在准备教案前首先想到的问题．其次，要想求出球的表面积，还需先证明一个引理．一部分学生在预习中可能会产生这样的疑问：为什么非要找一个球的内接圆台，而不是内接圆柱，内接圆锥？为什么此内接圆台还必须知道球心到母线的距离P，而不是底面圆的半径r？我为了处理好这两个大问题，就设计了一个教学过程的粗线条：先准备让学生自由讨论，（我借机，听取学生的想法，同时找一个没有预习课本，而又出现的是常见错误想法的同学，先汇报思考结果）再讲评总结的方式，一步步地引出学生们自行产生的无限分割和极限思想．由于学生更熟悉圆柱的结构，用圆柱的侧面积去逼近球表面的想法会很自然地产生．我在肯定此想法的基础上，引导学生去用圆台的侧面积逼近球的表面积的想法就容易了．对于球来说，它的基本元素是球半径，球面上任意一点到球心的距离都一样．所以，要找的球表面的相似体也要抓住这一性质．课堂习题的配备，主要想让学生了解到：要求球表面积只要抓住球半径即可．无论所给具体题目的条件如何变化，始终从公式出发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围绕能求出球半径的目的而思考．。
人教课标版高中数学必修2《多面体与旋转体概念、棱柱》教学设计
1．1 空间几何体的结构1．1．1 多面体与旋转体概念、棱柱一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，了解多面体与旋转体的概念、了解棱柱的定义．能够描述现实生活中简单物体的结构，学会建立几何模型研究空间图形，培养数学建模的思想．（二）学习目标1．了解多面体的顶点，棱，表面，对角面的定义．2．结合定义，会判断一个几何体是否为棱柱．3．知道直棱柱，正棱柱，平行六面体的定义．（三）学习重点1．准确理解棱柱的定义．2．棱柱的分类．3．棱柱的表示方法．（四）学习难点1．判断某个几何体是否为棱柱．2．正确区分棱柱的体对角线和面对角线，棱柱的侧面和底面，棱柱的高和侧棱．3．对旋转体的直观理解．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第2，3页，观察课本P2图1．1-1的物体，这些图片中的物体具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？填空：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱．棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面（简称底），其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等．2．预习自测（1）下列几何体是棱柱的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【答案】D．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】由棱柱的定义可知，棱柱中，有两个面互相平行，则可以排除②⑤，又棱柱中，有两个互相平行的底面，其余各面都是四边形，则可以排除④⑥．【思路点拨】由棱柱定义来判断（2）三棱柱共有（）个顶点A．4B．5C．6D．7【答案】C．【知识点】棱柱的结构特征【解题过程】n棱柱的顶点个数为2n个，故选C．【思路点拨】熟悉棱柱的定义．（3）四棱柱有（）个表面A．5B．6 C．7D．8【答案】B．【知识点】四棱柱的定义【解题过程】四棱柱有上下两个底面和四个侧面，故选B．【思路点拨】棱柱有多少个表面，可以先找两个底面，再数其侧面个数即可．(二)课堂设计1．知识回顾2．问题探究探究一归纳提炼出多面体与旋转体，棱柱的定义★●活动①归纳提炼概念请同学们观察课本P2图1．1-1的物体，学生观察思考，发现上图中的物体大体可分为两大类．其中(2),(5),(7),(9),(13),(14),(15),(16)具有相同的特点:组成几何体的每个面都是平面图形,并且都是平面多边形；(1),(3),(4),(6),(8),(10),(11),(12)具有相同的特点:组成它们的面不全是平面图形．想一想,我们应该给上述两大类几何体取个什么名称才好呢？学生各抒己见，然后老师归纳总结．第一类：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……我们后面即将学习的棱柱、棱锥、棱台均是多面体．思考：一个多面体最少有个面答案：4第二类：由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．圆柱、圆锥、圆台、球均是旋转体．【设计意图】从生活实例到数学问题，从特殊到一般，体会概念的提炼、抽象过程．●活动②深入挖掘概念与其他多面体相比，图片中的多面体（5）、（7）、（9）具有什么样的共同特征？让学生积极思考，积极发言，为引出棱柱的概念做准备．教师总结：共同特点：有两个面平行，其余的面都是平行四边形．像这样的几何体我们称为棱柱．师生共同完成棱柱的定义：两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱;侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．表示法：用表示底面各顶点的字母表示棱柱．分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……【设计意图】通过对多面体内涵与外延的理解，引出本节课重点：棱柱的定义．探究二通过点、面、线等要素对棱柱进行直观分析●活动①认识棱柱的顶点，底面，侧面，侧棱，对角线等结合棱柱的定义，请学生看下图后回答问题．让学生分别指出这些几何图形是几棱柱，它们有几个顶点，有几个表面，它有几条侧棱，有几个对角面，有几条体对角线，有几条面对角线．教师阐述棱柱的表示方法：用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如上图，四棱柱、五棱柱、六棱柱可分别表示为、、；【设计意图】通过直观图形，加深对棱柱概念的理解．●活动②对概念的反面理解思考：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？教师变更棱柱的定义，让学生判断正误，进一步加深对棱柱定义的理解答：不一定是棱柱．可举反例．如下图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱．【设计意图】从反面加深对棱柱的认识．探究三棱柱的其他探讨★●活动①棱柱的另一种分类方式按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．侧棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱．直棱柱的每个侧面都是矩形．侧棱和底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱．请学生思考回答，下图中有几个直棱柱？答案：有两个直棱柱．老师补充两个概念，为以后的教学做铺垫．平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．【设计意图】对直棱柱和正棱柱有直观印象，为后面的学习做铺垫．●活动②巩固基础，检查反馈例1 以下那种几何体属于多面体？（）A．球B．圆柱C．圆锥D．四面体【知识点】多面体与旋转体的定义．【数学思想】【解题过程】选项A，B，C均为旋转体，故答案为D．【思路点拨】直接套用定义．【答案】D．例2 下列说法中正确的是（）A．棱柱的两个互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱中所有的棱长都相等C．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形D．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】棱柱的侧面也可能互相平行，比如正方体，故A错误．棱柱的棱长未必全部相等，比如一般的长方体，故B错误．棱柱的底面可以是任意多边形，故C错误．棱柱的上下底面一定互相平行，故D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．同类训练在棱柱中（）A．只有两个面平行B．所有的棱都平行C．所有的面都是平行四边形D．两底面平行，且各侧棱也互相平行【知识点】棱柱的定义．【数学思想】【解题过程】四棱柱的相对表面可以互相平行，故A错误．棱柱的侧棱和底面的边可以相交，故B错误．棱柱的底面可以是三角形，故C错误．由棱柱的定义可知D正确．【思路点拨】正确理解棱柱的定义．【答案】D．【设计意图】巩固棱柱的概念．●活动③强化提升、灵活应用例3 如下图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，过BC和AD分别作一个平面交底面A1B1C1D1于EF，PQ，则长方体被分成的三个几何体中，棱柱的个数是______．【知识点】棱柱的直观认识．【数学思想】空间想象． 【解题过程】由棱柱的定义可得有3个．分别为：三棱柱DQ D AP A 11-，三棱柱CF C BE B 11-，四棱柱DCFQ ABEP -【思路点拨】逐一分析． 【答案】3个．3．课堂总结知识梳理（1）由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．按围成多面体的面数，多面体分为：四面体、五面体、六面体、……（2）由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴．（3）两个平面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体称为棱柱．在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点．（4）按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……（5）按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱和直棱柱．（6）底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．（7）底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱．重难点归纳：棱柱定义的三个核心要素（1）两个平面互相平行．（2）其余各面都是四边形．（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列说法错误的是（ ）A ．多面体至少有四个面B ．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形C ．长方体、正方体都是棱柱D ．三棱柱的侧面为三角形【知识点】多面体和棱柱的概念．【数学思想】 【解题过程】多面体中四面体的面最少，有四个，故A 正确．由棱柱定义知道B ，C 正确．棱柱的侧面均为平行四边形，故D 错误．【思路点拨】准确理解棱柱定义．【答案】D ． 2．已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，E={棱柱}，F={直平行六面体}，则（ ）A ．E F D CB A ⊆⊆⊆⊆⊆B ． E D F BC A ⊆⊆⊆⊆⊆ C ．E FD B A C ⊆⊆⊆⊆⊆D ．它们之间不都存在包含关系【知识点】特殊棱柱的关系．【数学思想】【解题过程】根据它们的定义分析即可．【思路点拨】仔细区分各种特殊棱柱．【答案】B ． 3．一个多边形沿不平行于矩形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）．A ．棱锥B ．棱柱C ．平面D ．长方体【知识点】棱柱定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】首先排除A ，C注意到题目说“不平行于矩形所在平面”，排除D．选择B【思路点拨】正确理解题目讲述的运动过程．【答案】B．4．右图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（）A．B．C．D．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想【解题过程】三角形旋转产生圆锥，直角梯形旋转产生圆柱，选择A．【思路点拨】熟悉简单平面图形旋转后产生的几何体．【答案】A．5．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（）条A．20 B．15 C．12 D．10【知识点】棱柱对角线的定义．【数学思想】枚举．【解题过程】正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D．【思路点拨】正确理解对角线的含义．【答案】D．6．如下图所示，一个圆环绕着同一个平面内过圆心的直线旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．【知识点】旋转体的定义．【数学思想】运动变化的思想 【解题过程】圆在转动过程中产生球，圆环转动过程中产生一个大球和一个小球，故本题形成的几何体为一个中间空心的球体．【思路点拨】想象出圆转动产生球的过程． 【答案】一个大球内部挖去一个同球心且半径较小的球．能力型 师生共研7．如下图，正方形ABCD 中，E ，F 分别为CD ，BC 的中点，沿AE ，AF ，EF 将其折成一个多面体，则此多面体共有 条棱．【知识点】多面体展开图．【数学思想】【解题过程】此多面体由四个面构成，故为四面体，它有六条棱．【思路点拨】想象出该多面体的形状． 【答案】6．8．在下图所示的三棱柱ABC －111C B A 中，请连接三条线，把它分成三部分，使每一部分都是一个四面体．【知识点】四面体的概念．【数学思想】【解题过程】如下图，连接A 1B ，BC 1，A 1C ，则三棱柱ABC －A 1B 1C 1被分成三部分，形成三个三棱锥，分别是A 1－ABC ，A 1－BB 1C 1，A 1－BCC 1．【思路点拨】不断尝试构造符合题意的分割方式．【答案】如图．探究型多维突破9．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到下面的平面图形，则标“△”的面的方位是（）A．南B．北C．西D．下【知识点】柱体展开图．【数学思想】运动变化．【解题过程】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．故选B．【思路点拨】发挥空间想象能力将正方体还原．【答案】B．10．已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个长方体的对角线长是________【知识点】长方体对角线长度公式．【数学思想】方程思想．【解题过程】设该长方体的长宽高分别为z,，由已知可得：yx,2=xy ；3=yz ；6=xz ，解得3,1,2===z y x对角线6222=++=z y x d ．【思路点拨】设未知数，用它们表示已知条件． 【答案】6．自助餐1．棱柱至少有（ ）个表面．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【知识点】棱柱定义．【数学思想】【解题过程】三棱柱表面最少，有五个表面．【思路点拨】考察极端情形．【答案】C ． 2．给出下列命题，其中正确的个数为（ ）．（1）直线绕定直线旋转形成柱面；（2）曲线平移一定形成曲面；（3）直角三角形绕它的一条边旋转形成一个圆锥；（4）半圆绕定直线旋转形成球．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【知识点】旋转体定义．【数学思想】 【解题过程】（1）可能形成锥面；（2）可能形成平面；（3）绕斜边旋转形成两个圆锥；（4）半圆未必绕直径旋转；故全部错误．【思路点拨】尽量寻找反例． 【答案】A ．3．正方体有 个对角面．【知识点】正方体的性质．【数学思想】枚举法【解题过程】逐一考察知正方体有六个对角面． 【思路点拨】枚举时制定一个分类标准，做到不重不漏．对于棱柱，不相邻的两条侧棱确定的面叫做对角面．正方体是特殊棱柱．【答案】6．4．下列判断正确的是________ （填序号）．（1）直平行六面体是长方体；（2）正四棱柱是长方体；（3）各个侧面都是矩形的四棱柱是长方体；（4）底面是矩形的四棱柱是长方体．【知识点】特殊柱体的定义．【数学思想】【解题过程】（1）底面可能是菱形；（2）正确；（3）底面可能是三角形；（4）可能是斜四棱柱，故只有（2）正确．【思路点拨】弄清各种特殊棱柱的定义．【答案】（2）．5．下图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出实物模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．【知识点】柱体展开图．【数学思想】分类讨论【解题过程】爬行路线如下图(1)—(6)所示：分别展开，算出直线距离．可知AB 间的最短距离为A 、B 两点间的线段的长51222=+．【思路点拨】平面内，两点间线段最短． 【答案】5．6．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，求每条侧棱的长度．【知识点】棱柱的顶点和侧棱定义．【数学思想】 【解题过程】n 棱柱有2n 个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm ．【思路点拨】设未知数，列方程求解． 【答案】12 cm ．。
最新认识多面体与旋转体教案
二、探索新知
探究1：多面体的相关概念
新知1：由若干个平面围成的几何体几何体叫做多面体.围成每个多面体的多边形叫做多面体的面，如面ABCD ； 两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ；棱和棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A .连结不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，
具体如下图所示：
生回答问题，教师总结。
面 顶
点
棱
A B 'C 'D 'A 'C B
目，
探究2：旋转体的相关概念
生回答问题，教师
总结。
新知2：
由一条平面曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面叫
旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定
直线叫旋转体的轴.这条曲线叫做旋转体的母线。
如下图
的旋转体:
目，。
立体几何教案 第二章 多面体与旋转体 球的直观图画法和球的表面积 教案_1
立体几何教案第二章多面体与旋转体球的直观图画法和球的表面积教案教学目标1．掌握球的正等测画法；2．熟记球的表面积公式；3．激发学生研讨公式的兴趣和掌握推导方法，从而培养学生的空间想象能力，逻辑思维能力和转化能力．教学重点和难点重点：球的表面积及表面积公式的推导．难点：球表面积公式的推导．教学设计过程一、复习提问师：圆的直观图用什么方法画出的．生：（思考片刻，要求学生答出）一般不用斜二测，而用正等测画．师：用正等测画圆的直观图规则是什么？生：（要求思考1分钟后回答）1．在已知图形⊙O中，互相垂直的轴Ox，Oy画直观图时，把它们画成对应的轴O＇x＇，O＇y＇，使∠x＇Oy＇=120°（或60°）．2．已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x＇轴或y＇轴的线段．3．平行于x轴或y轴的线段、长度不变．二、讲新课1．球的直观图的画法：师：我们学习了圆的直观图的画法，球和圆有何不同．生：球是立体图形，圆是平面图形．师：那么球的直观图是否和圆的直观图画法类似．生：（学生思考后，举手回答）应有三个坐标轴．师：你怎么考虑的．生：因为圆是平面图形，两条相交直线确定平面，球是立体图体，只有三条互相垂直的直线才能确定空间．师：以上同学回答得很好，球是立体图形，它需要在三维空间中完成．讲解课本p．84例2，画半径为R 的球的直观图．画法：（略）2．球的表面积．师：圆的面积是多少？生：（异口同声回答）S=πR2师：圆的面积S=πR2，是怎样得来的，你知道吗？生：书上告诉的．（全班学生大笑）师：对了，这个结论是书上直接给出的．因为我们所学的知识还无法来解决它的推导过程，待今后继续深造来解决．师：我们今天来学习球的面积公式．同学们要特别注意知识的形成过程．师：（让学生目测实心半球）是半球面积大，还是底面的大圆面积大？（培养学生的观察能力和估算能力）（全班学生积极发言，充分调动了回答问题的积极性，这个问题较易回答）师：（同学们再目测一下）看看上面的面积是大圆面积的几倍（估算一下），是6倍吗？（部分学生回答不可能）师：是4倍吗？（教室里肃静，仍有一部分学生回答说：可能性不大）师：是2倍吗？生：差不多！师：上面的面积正好是下面底面大圆的2倍．为什么是2倍呢？正是我们今天解决的问题．师：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，都是利用它的展开图求出的，由于球面不能展开成平面图形，所以球的表面积公式无法用展开图求出，为了求得球的表面积公式，我们先来证明一个预备定理：定理球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个截面）的高为h，球心到母线的距离为p，那么圆台的侧面积为2πph．已知：球面O的内接圆台的高O1O＇=h，球心O到母线AD的距离OE=p求证：S圆台侧=2πph．师：同学们考虑上式是比例式，在平面几何中怎样证明比例呢？生：利用相似形或平行线分线段成比例定理．师：这个题用什么方法证好呢？生：相似三角形．师：证哪两个三角形相似？生：（学生沉思，教师提示）只要证明△ADD＇∽△OEE＇即可，（如图2）师：（大家观测）上面回答对吗？生：（部分学生回答）对的．师：哪位同学起来回答为什么？生：（一位中等成绩的学生回答说）师：这两个三角形相似是很容易证明的．（课本中“注意”二字，这个结果对于球的内接圆柱、圆锥同样成立．应引起教师的注意，要求学生练习）师：下面证明定理：球面面积等于它的大圆面积的4倍．即：S球面=4πR2（在投影片上画出课本图2－48，并且画得大些）师：将半球面上的半大圆ANB分成2n等分，用过各分点平行于半球大圆面的平面将半球分为多少部分，是2n部分吗？生：（个别学生答，是2n部分，即注意力不集中的学生）不是．师：那么是几部分呢？生：是n部分．师：这n部分是什么图形呢？生：（一少部分回答说n个圆台）n-1个圆台，一个圆锥．师：我们作这些圆台的高，分别为h1，h2，h3，…，hn．球心到它们母线的距离是否相等．生：（部分学生认为不相等，教师准备作好引导的作用）相等的．师：设这个距离为p，由预备定理可得这些圆台圆锥的侧面积的和是多少？生：（全班学生思考，教师提示）S＝2πph1＋2πph2＋…＋2πphn＝2πp（h1+h2＋…＋hn）师：同学们认真分析，h1＋h2＋h3＋…＋hn和应是多少．生：ON，即球的半径R．师：所以S=2πp·R．师：如果分点无限增加，侧面积怎样变化．生：（这时教师需提示）侧面积无限地接近半球面．（教师对无限地应解释，学生第一次接触这个名词）师：分点无限增加，p与R有什么关系．生：p无限地接近R．师：此时侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积，即S球面=4πR2．例已知：圆柱的底面直径与高都等于球的直径．求证：（1）球的表面积等于圆柱的侧面积．师：圆柱的侧面积是什么？生：底面周长乘以高，即S=c·h．师：在本题中底面周长是什么？生：c=2πR．师：高是什么．生：h=2R．师：所以圆柱侧面积为S=4πR2．（这样问题（1）得证，证明过程要求学生下去练习完成）师：圆柱的全面积是侧面积加两个底面积．那全面积是多少呢？练习：1．球的大圆面积扩大到原来的4倍，那么球的表面积扩大到原来的[ ]2．三个球半径之比是1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的[ ]作业：p．92.6，7．家庭作业：1．阅读课文．（巩固知识的形成过程加深理解记忆）2．对于课文把半球的半大圆ANB分成2n等分．如果对球半径n等分行不行．课堂教学设计说明1．本节课完成了两个内容，一是球的直观图画法，二是球表面积公式及其推导．教案整体构思是要突出教师为主导，学生为主体，学生参与整个教学过程，克服学生上课走神的现象．常此以往，能调动学生学习积极性和主动性．2．重视知识的形成过程，培养学生逻辑推理能力和大胆猜想能力，因为发现问题要比解决问题更重要．数学这门学科不能仅仅作为工具去教学．不能把知识的结论抛给学生，使学生记住结论会演算两道题就行了．而是要培养学生在提高思考能力上下功夫．教学上要力戒“奉送真理，灌注真理”的做法。
9.4 多面体与旋转体-教学设计
9.4.6 多面体与旋转体的体积(一)【教学目标】1．理解祖暅原理，掌握柱体的体积公式．2．会用柱体的体积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】柱体的体积公式．【教学难点】用柱体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物操作，让学生理解祖暅原理，在此基础上由长方体的体积公式推导一般棱柱、圆柱的体积公式，然后讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．环节教学内容师生互动设计意图导入在生产实际中，经常遇到体积的计算问题，如兴修水利、修建道路需要计算土方，修建粮仓、水池需要计算建材数量和容积．因此有必要研究几何体的体积计算．(1) 上左图是一个圆柱形的器皿，底面半径为3cm，高度为8 cm，那么怎样计算它的容积呢？(2) 上右图是一个长方体的游泳池，长是50 m，宽是21 m，深是2 m，那么这个游泳池能容纳多少立方水？几何体占空间部分的大小叫做它的体积．师：生活中经常遇到关于物体体积的问题，这些问题与各种几何体的体积有关．这一节我们就来研究几何体的体积问题．由实际问题引发思考，让学生意识到数学来源于生活．新课1. 长方体体积公式初中学过的计算长方体的体积公式为V长方体＝abc 或V长方体＝Sh．如图，体积公式V＝Sh是否对其他两个几何体也成立？2．进行数学实验，引入祖暅原理取一摞面积相等的课本堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状．复习初中知识，然后探究一般棱柱的体积公式．师：底面积相等、高也相等的棱柱、圆柱，它们的体积是否一样？师：推斜以后体积变化了吗？通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．引发学生学习积极性，由2829309.4.6多面体与旋转体的体积(二)【教学目标】1．理解并掌握锥体的体积公式，掌握球的体积公式．2．会用体积公式解决相关问题，培养学生应用公式运算的能力．3．通过教学，培养学生的数学应用意识．【教学重点】掌握锥体的体积公式．【教学难点】运用锥体和球体的体积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用讲练结合法．教师引导学生探究三棱锥与同底等高的三棱柱体积之间的关系，得到椎体体积公式，教材直接给出球体的体积公式，讲练结合，使学生熟练应用公式解决实际问题．3132339.4.1棱柱【教学目标】1．理解并掌握棱柱的有关概念及性质，会计算长方体的对角线长度．2．通过大量的实物及模型，让学生认识空间几何体的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】棱柱的有关概念及性质，长方体对角线的计算公式．【教学难点】棱柱的分类与性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．纵观本节内容，由多面体到棱柱，然后到直棱柱、正棱柱，再到平行六面体和长方体，一直贯穿由一般到特殊的分类思想．教授时，教师结合学生身边的实际物体以及图片，让学生直观理解各个概念及其分类，并设计问题引导学生自己总结出它们的一般性质．最后学习重要的平行六面体和长方体时，推导出它们的两个定理．通过练习，让学生掌握这个重要定理．环节教学内容师生互动设计意图导入什么样的几何体叫做多面体？学生结合图片以及实际生活经验讨论问题．演示实物与图片，提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．新课1．多面体由若干个多边形围成的封闭的空间图形，叫做多面体；围成多面体的各个多边形叫多面体的面，两个相邻面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连接不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．一个多面体至少有四个面，多面体依照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等．练习一请你判断下面的多面体分别是几面体？2. 棱柱和它的性质（1）棱柱的定义问题：什么样的多面体叫做棱柱？它们有什么共同特征？一个多面体，如果有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线都互相平行，这样的多面体叫做学生小组合作，对照模型说一说多面体的面、棱、顶点、对角线各是什么．教师引导，学生口答．完成练习一．学生根据呈现的图片以及实物，总结出棱柱的特点，得出棱柱的定义．巩固多面体的相关概念．34新课棱柱．两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)；其余各面叫做棱柱的侧面；两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段或它的长度，叫做棱柱的高．（2）棱柱的表示用棱柱两底面的字母表示，如棱柱ABC-A'B'C'．（3）棱柱的分类侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别叫三棱柱、四棱柱、五棱柱……（4）棱柱的性质观察下列几何体，回答下列问题：（1）两个底面多边形间的关系是什么？（2）上下底面对应边间的关系是什么？（3）侧面是什么平面图形？（4）侧棱之间的关系是什么？棱柱的性质：（1）棱柱的每一侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的每一个侧面都是矩形，正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．（2）两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形．（3）过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形．3.平行六面体和长方体底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体．底面是矩形的直平行六面体叫做长方体．学生对照课件，指出棱柱各部分的名称．教师呈现各种实物，结合直观图，体会各种棱柱之间的区别．按照不同的标准，对多面体进行分类．教师呈现多个棱柱，提出四个问题，学生进行讨论回答，逐步总结出一般棱柱的性质．对于直棱柱和正棱柱的性质，采用教师提问，学生回答的形式，总结出来．通过课件演示，让学生总结出性质（2）（3）．教师采用呈现直观图，让学生对四种棱柱进行类比，观察各个棱柱的特点．找出相同点和不同点．学生自己总结棱柱的共性，由具体到抽象，加深对定义的理解．从棱柱到长方体，正方体，让学生体会由一般到特殊的思想．35369.4.2棱锥【教学目标】1．掌握棱锥的有关概念及性质，并能运用定理解决相应的问题．2．通过实物及模型，让学生认识棱锥的结构特征，提高学生分类讨论、归纳总结的能力．3．通过教学，渗透由具体到抽象，由一般到特殊的思想方法．【教学重点】理解棱锥的概念及性质．【教学难点】理解棱锥的性质．【教学方法】这节课主要采用实物展示与讲练结合法．教师结合学生身边的实物及图片，让学生直观理解棱锥的概念及其分类，总结出棱锥的一般性质．最后由一般到特殊，学习正棱锥的相关知识．37389.4.5 球【教学目标】1．理解球的旋转生成过程，掌握球的定义、性质以及表面积公式．2．能够运用球的表面积公式解决相关问题，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力．3．通过教学，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题的数学思想．【教学重点】球的定义、性质以及球的表面积公式．【教学难点】球面距离的理解．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，体会球体动态生成的过程．类比圆的知识，理解球的定义及其性质．然后结合地球仪上的经线和纬线，理解大圆与小圆的知识．识记球的表面积公式，并能应用公式解决相应的问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题下面的物体呈什么形状？教师呈现有关球的图片．学生结合图片以及实际生活经验，举出更多关于球的例子．由丰富的图片和实物出发，激发学生兴趣．新课1．球的概念与性质半圆以它的直径为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体，叫做球体，简称球．球的各个元素（如图所示）：（1）球心；（2）球的半径；（3）球的直径；球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O．球面可以看作空间中与定点（球心）距离等于定长（半径）的点的全体构成的集合（轨迹），同样，球体也可以看作空间中与定点距离等于或小于定长的点的全体构成的集合．师：球是由什么图形旋转而来的？生：圆，半圆．教师结合直观图讲解球的各个元素．师：仿照初中圆的定义，你能给出球面的另一种定义吗？强调注意球体与球面的联系与区别．理解定义，体会旋转体动态形成的过程．由具体的实物到抽象的直观图，培养学生的空间想象能力．O直径半径球心39新课用一个平面去截一个球，截面是圆面：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球的半径r，有下面的关系：d＝R2－r2．球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．知识拓展：过南北极的半大圆是经线，平行于赤道的小圆是纬线．球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离．例1 我国首都北京靠近北纬40︒纬线上，求北纬40︒纬线的长度．（地球半径约为6 370 km）解：如图，设A是北纬40︒圈上的一点，AK 是它的半径，所以OK⊥AK．设 c 是北纬40︒的纬线长，因为∠AOB=∠OAK=40︒，所以c＝2π·AK＝2π·OA cos∠OAK结合图形，引导学生作出辅助线，利用勾股定理得到结论．教师可借助地球仪，帮助学生理解概念．师：假如你要乘坐从济南直飞广州的飞机，设想一下，它应该沿着怎样的航线飞行呢?航程大约是多少呢?(1)济南和广州间的距离是一条线段的长吗?(2)经过球面上的这两点有多少条弧呢?(3)这无数条弧中，长度最短的是哪条?教师分析，从立体图形中抽象到平面图形，引导学生用初中所学知识解决问题．学生在教师的引导下，逐步完成证明过程．看懂球的截面直观图要求学生有较高的空间想象能力，教师可以利用模型帮助学生理解．借助这个例题，教师再次强调将立体几何问题转化为平面几何问题的思路．αOO'dRrPOAKB40 °40419.4.4 圆柱、圆锥（一）【教学目标】1．理解并掌握圆柱、圆锥的有关概念及性质，掌握圆柱、圆锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】圆柱、圆锥的定义以及性质，圆柱、圆锥的侧面积公式．【教学难点】圆柱、圆锥侧面积公式的运用．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．首先采用实物展示，用旋转的观点定义圆柱、圆锥，在教师问题的引导下推导其性质．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】4243449.4.4圆柱、圆锥（二）【教学目标】1．掌握正等测画法，能够画出圆柱、圆锥的直观图．2．通过画直观图的过程，体会由具体到抽象、由立体到平面的转换过程，培养学生的空间想象能力．3．培养学生作图、识图和运用图形语言交流的能力，培养学生严谨规范的作图习惯．【教学重点】正等测画法．【教学难点】理解正等测画法．【教学方法】这节课主要采用讲练结合法．通过立体图形的照片入手，体会立体与平面之间的关系．从画水平放置的圆的直观图入手，总结出正等测画法的具体规则．类比棱柱、棱锥直观图的画法，掌握圆柱和圆锥的直观图画法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入呈现实物，设置问题情境：怎样作出圆柱、圆锥的直观图？教师呈现图片．学生对比图片与实物，体会立体形与直观图的关系．新课例1 画水平放置的圆的直观图．画法：(1)在圆上取一对相互垂直的直径AB，CD，分别以它们所在的直线为x轴，y轴．画对应的x'轴和y'轴，使∠x'O'y'＝120°．(2)将圆O的直径AB分为n等份，过分点画平行于y轴的弦CD，EF，…．在x'轴上以O'为中点画线段A'B'，使A'B'= AB，将A'B'也分为n等份，以各分点为中点画y'轴的平行线段C'D'，E'F'，…，使C'D'= CD，E'F' = EF，…．(3)用平滑的曲线顺次连接A'，D'，F'，B'，E'，C'…，A'就得到圆的直观图，它是一个椭圆．总结一般步骤：(1)在已知图形中取相互垂直的轴Ox，Oy，把它们画成对应的O'x'轴和O'y'轴，∠x'O'y'＝120°（或60°），它们确定的平面表示水平平面；(2)已知图形上平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于xˊ轴或yˊ轴的线段；(3) 平行于x轴或y轴的线段长度不变．教师边演示，边讲解．学生和教师同步完成直观图．教师引导学生总结出正等测画法的步骤．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．让学生体会“化曲为直”的解决问题的方法．让学生总结画法的步骤，加深对正等测画法的理解．45新课练习一画一个水平放置的半径等于4 cm圆的直观图．例2 画底面圆半径为0.8 cm，高为2.5 cm的圆锥的直观图．画法：(1)画轴：取x 轴、y 轴、z 轴，使它们两两相交成120°；(2)画底面：以O为中心，按x轴、y轴画半径等于0.8 cm的圆的直观图，然后在z轴上，取线段OS=2.5 cm．(3)成图：画圆锥的两条母线SA，SB与底面椭圆相切．再加以整理就得到所画的圆锥直观图．练习二已知一个圆柱的底面半径为 2 cm，高为6 cm，画出它的的直观图．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．类比棱柱，棱锥直观图的画法，学生完成例2．教师强调应注意的问题．师生总结作旋转体直观图的一般步骤．学生仿照例题进行练习，教师巡视指导．小结1. 正等测画法的一般步骤．2. 旋转体直观图的画法．师生共同总结．作业1. 画一个水平放置的半径等于2 cm圆的直观图．2. 已知一个圆锥的底面半径为 3 cm，高为4 cm，画出它的直观图．469.4.3直棱柱和正棱锥的侧面积【教学目标】1．理解并掌握直棱柱和正棱锥的侧面积公式，并能运用公式解决相应的问题．2．通过教学，培养学生运用公式计算的能力．3．理解侧面积公式的推导过程及其主要思想，渗透把立体几何问题转化为平面几何问题解决的思想方法．【教学重点】用公式求直棱柱和正棱锥的侧面积．【教学难点】用直棱柱和正棱锥的侧面积公式解决实际问题．【教学方法】这节课采用实物操作与讲练结合法．学生根据纸制模型的侧面展开图，自己推导侧面积公式，体会把立体问题转化为平面问题解决的思想方法．在理解公式的基础上，运用公式解决实际问题．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入问题：某工厂有一个排风管，管身为中空的正五棱柱，尺寸如图所示．计算出制作管身所需的平板下料面积．（不考虑排风管的壁厚）解所求排风管一个侧面的面积为10×30＝300（cm2）．那么制作管身所需的平板下料面积为5×300＝1 500（cm2）．教师设置实际场景，学生运用初中知识解决问题．教师给出侧面展开图，引出课题．根据实际生活的问题，设置情境，引发学生积极思考．提出新的解决方案，引发新的思考．新1．直棱柱的侧面积把直棱柱的侧面沿一条侧棱剪开后展在一个平面上，展开图的面积就是棱柱的侧面积．直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长C，宽等于直棱柱的高h，因此直棱柱的侧面积是S直棱柱侧＝Ch．练习一一个正三棱柱的底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，则其侧面积为．师：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的侧面积？学生用课前准备的纸制棱柱模型沿侧棱展开．学生自己推导直棱柱侧面积公式．通过动手操作，提高学生学习的兴趣，更容易理解记忆侧面积公式．巩固知识．ch47第九章立体几何48数学基础模块下册49。
多面体和旋转体
第二章多面体和旋转体一多面体§2.1 棱柱一、素质教育目标（一）知识教学点1、棱柱的概念及性质。
2、平等六面体，长方体的概念及长方体的性质。
3、直棱柱直观图的画法4、棱柱侧面积的计算（二）能力训练点1、在学习棱住概念和性质过程中，努力提高学生的观察、抽象和概括能力。
2、通过直棱柱直观图的画法的教学，进一步提高学生的作图和识图能力。
3、通过直棱柱侧面积公式的教学，进一步增强学生把空间形转化为平面图形的意识，使学生进一步掌握化归的数学思想和方法，以提高学生分析问题、解决问题的能力。
（三）德育渗透点1、棱柱概念的形成，是从特殊到一般、具体到抽象的过程；通过教学使学生初步认识辩证唯物主义认识论的观点。
2、通过四面体、平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体之间相互关系的教学，使学生树立普遍联系的唯物主义观点。
3、通过运用侧面积公式计算生产实践中具体零件的面积，使学生懂得数学对工、农业生产的意义，激励学生努力学好数学，将来为祖国的“四化”建设做出更大的贡献。
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1、教学重点：理解棱柱的概念，掌握棱柱的性质及直棱柱侧面积公式，能利用性质及侧面积公式解决有关问题。
2、教学难点：直棱柱直观图的画法3、教学疑点：直棱柱的判断，注意引导学生严格按定义三、课时安排本课题建议安排3课时四、教与学过程设计第一课时节棱柱的概念及性质（一）引入将画有图2-1、图2-2、图2-3的小黑板挂出师：今天这一节课我们学习棱柱的概念和性质（给出课题），以上三个图形所表示的模型均为棱柱，下面我们一起来研究它们的共同特点。
（二）棱柱及有关概念的定义师：大家注意到图2-1到图2-3所表示的几何本均由一些面围成，而面与面之间有交线，因此可以从“面”和“线”两个角度去找它们的特点，先观察图2-1。
（1）首先看面：从面和面的关系及面的开头引导学生讨论，得出结论；有两个面互相平行，其余各面为四边形。
（2）再看线：从线与线之间的引导学生得出结论：每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
第二章多面体与旋转体 锥体的体积
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体锥体的体积教案教学目标1．使学生掌握锥体的体积公式及其初步应用；2．通过三棱锥体积公式的探求，教学生学习观察、类比、归纳、猜想等合理推理方法，培养学生分析、综合、抽象、概括等逻辑推理能力；3．通过三棱锥体积公式的探求，培养学生独立思考、刻苦钻研、孜孜以求的毅力及勇于探索创新的精神等良好的个性品质．教学重点和难点三棱锥体积公式及其探求．教学设计过程师：前几节课我们先后学习了祖暅原理和柱体的体积公式，在开始讲本章知识不久，我们还学习了锥体平行于底面的截面的性质．现在请同学们分别回忆一下上述三个知识内容，谁来回答锥体平行于底面的截面的性质是什么？生1：如果棱锥（或圆锥）被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥（或圆锥）的高和原棱锥（或圆锥）高的平方比．师：很好！下面谁来回答祖暅原理是如何叙述的？生2：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．师：回答正确．请同学们一起回答：柱体的体积公式是怎么表示的？生：柱体的体积等于它的底面积乘以高，即V柱体=Sh．师：当这个柱体是圆柱时，其体积还有别的表达形式吗？生3：V圆柱=πr2h，其中r是底面半径，h是圆柱的高．师：不错．谁能说说底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路吗？生4：我们构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，把它与所给柱体的下底面放在同一个平面α上．由于它们上、下底面平行，且等高，故它们的上底面必在与α平行的同一个平面β内．现在用平行于α的任意平面去截它们时，由于所得的截面都与它们的底面分别平行，因此截面积都等于S．由祖暅原理知，它们的体积相等，而V长方体=Sh，所以V柱体=Sh．师：很好！生4利用祖暅原理获得了等底面积等高的柱体与长方体（两个柱体）等体积，那么等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？（师边问边板书“等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系”一语）生：相等．师：你们怎么知道它们的体积是相等的？生：猜想的．（也有的说是估计的）师：猜想也好，估计也罢，都是有风险的，尽管如此，但它常常是“发现”的先导．能证实你们的猜想吗？生5：用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个圆锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S1，S2，截面和顶点的距离是h1，体积分别生6：条件有两个：一个是两个锥体的底面积相等，另一个是这两个锥体的高相等．结论是体积相等．（由学生提出问题、分析问题并解决问题，这是对学生最高层次的要求．当学生达不到这个层次时，可由老师提出问题，学生分析问题和解决问题．老师提出问题后要给学生观察、比较、分析、归纳、猜想、发现的时间．著名数学教育家波利亚曾指出：只要数学的学习过程稍能反映出数学发明的过程，那么就应当让猜想、合情推理占有适当的位置．猜想后还要严格地证明，合情推理与逻辑推理并重，既教证明又教猜想，这才是解决问题的完整过程．）师：上述定理只是回答了具有等底面积等高的两个锥体的体积之间的相等关系，但这个体积如何求出，能否像柱体那样有一个体积公式仍然是一个谜．然而它却给我们求锥体体积一个有益的启示：只须找到一个“简单”的锥体作为代表，如果这个代表的体积求出来了，那么，由上述定理即可获得其它锥体的体积了．请同学们思考用怎样的“简单”锥体作代表来研究呢？师：先割后补与先补后割是处理几何问题时常用的方法，即我们常说的割补法．类比地，能否将这一思维方式迁移到探求三棱锥的体积上来呢？生：（几乎异口同声地）能！师：那么是采用先割后补，还是先补后割呢？邻近的同学可以相互讨论一下．（学生之间小声讨论，选择这两种方法的学生都有）师：我们请一位同学说说自己选择的方法及其理由，谁来说？生9想好了吗？生9：我认为先补后割比较好，至于先割后补，我觉得不行．师：能说说否定先割后补的理由吗？生9：……（似有难色）师：谁能试着割一下？生10：对一个三棱锥进行分割，实际上是用一个平面去截它．无论怎么截，得到的要么仍是三棱锥，要么是比三棱锥更为复杂的几何体．所以对三棱锥再分割是不合适的．师：其他同学以为如何？生：生10的解释是对的．师：既然如此，我们可否定先割后补，而肯定先补后割，刚才生9就是这个意见，现在也是大家的意见了．那么，补成怎样的几何体较合适呢？生：补成三棱柱．师：谁能具体说说？生11：把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成一个三棱柱ABC －A＇B＇C＇．师：请你在黑板上具体补出来．生11：（上黑板补画图形如图5）师：生11完成了补形的任务，下面该进行什么工作了？生：分割．师：如何分割？生：分割成三个三棱锥．师：请生12上来具体分割一下．（生12上黑板分割三棱柱ABC－A＇B＇C＇得三棱锥1，2，3．如图6）师：很好！生12的图形画得很规范．现在请同学们预测一下分割而得的三个三棱锥之间有何关系？生：体积相等．师：能简要地说明你们预测的依据吗？生13：我没有证明，但我想它们的体积应该相等，这是因为刚才回忆求三角形面积时，将三角形补成一个平行四边形（平面图形）后再分割成的两个三角形等面积．类比地，我们将三棱锥补成一个三棱柱（空间图形）后再分割成三个三棱锥当然应该体积相等．师：生13由平面图形的处理结果类比地预测空间图形的相应结果不无道理．同学们的预测实际上也是我们的希望．而怎样使我们的希望、预测变为现实，还需要严格证明，那么怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？（引导学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高）生14：（生14叙述，师板书）在三棱锥1，2中，S△ABA＇=S△B＇A＇B，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V1=V2．又在三棱锥2，3中，S△BCB＇=S△B＇C＇C，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V2=V3，所以V1=V2=V3．生15：在证得V1=V2后，再证明V1=V3也很方便．（生15叙述，师板书）因为在三棱锥1，3中，S△ABC=S△A＇B＇C＇，高也相等（都等于三棱锥的高）．所以V1=V3．（由课本第103页练习题1改编）如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积；（2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几；（3）B到平面AB＇C的距离？（若没时间，可留做课后思考，要求用两种方法求解）（请生18解答（1），（2），生19解答（3），其余同学在座位上完成，师巡视）（生18板演（1），（2））师：非常好．生19的方法一是常规方法，而方法二则巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．事实上三棱锥（即四面体）的每一个顶点都可作为棱锥的顶点，和它相对的面都可作为相应的底面，这是三棱锥（四面体）特有的性质．在一定的条件下，它为我们求解顶点到底面的距离提供了捷径，应当引起我们的注意．今天这节课我们主要学习了锥体的体积公式，下面请同学们就知识和思维能力两个方面作一下小结．（请学生自行小结，师生共同补充完善）1．知识方面：通过本节课学习，我们利用割补法获得了三棱锥的体积公式，进而获得了一般锥体的体积公式，并初步体会了其应用；2．思维能力方面：又一次体会了联想、类比、猜测、证明等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面的重要作用．作业：略．课堂教学设计说明1．关于教学目标的制定在课堂教学中实施和推进素质教育，正愈来愈被广大教师所重视．由于学生的素质是多方面的，这就决定了课堂教学的目标应该是多元化的．（1）锥体的体积是多面体和旋转体这一章的重点内容之一，在体积问题中有着重要的地位，将锥体的体积公式及其初步应用作为本节课的教学目标之一是完全合适的．（2）学生思维方法的好与差，推理能力的强与弱，在一定程度上反映了学生素质的高与低．因此，如何通过课堂教学，教学生学习合情推理的方法，培养学生逻辑推理能力，是我们制定教学目标时必须认真思考的．（3）未来社会不仅要求人们具有丰富的文化科学知识，而且还需要人们具有顽强的毅力及创新的意识．教学目标3正是据此而制定的．2．关于教学重点和难点的确定本节课的核心内容是锥体的体积，而锥体体积公式的探求需要教师逐步唤醒学生割补思想的记忆，努力使学生自行发现知识，掌握知识，发展学生的创造性思维，这对教师和学生都是较高的要求．因而锥体的体积公式及其探求既是教学的重点，又是教学的难点．3．关于教学过程的设计本节课按如下五个方面展开：（1）复习三个问题——①锥体平行于底面的截面的性质；②祖暅原理；③柱体的体积公式及其探求思路；（2）等底面积等高的两个锥体的体积之间的关系；（3）三棱锥的体积公式的探求；（4）一般锥体的体积公式，圆锥的体积公式；（5）锥体体积公式的简单应用．有目的地做好旧知识的复习，为顺利地进行新课的讲授奠定了基础．（1）中的三个复习题主要是为推导“等底面积等高的两个锥体的体积相等”这一定理而准备的．提问时应注意必要的顺利．这里，祖暅原理在问题③的回答中要应用，因而放在③前面提问．而由问题③的“探求思路”的回答中，利用祖暅原理获得了“等底面积等高的柱体和长方体等体积”的结论，很自然地让人产生“等底面积等高的锥体体积之间有何关系”的联想．这样，旧课的复习很自然地过渡到了新课的讲授．因此，把问题③放在最后复习比把问题①放在最后复习要好得多．“等底面积等高的锥体的体积相等”这一结论是推导三棱锥体积公式的重要工具．由复习题③中“探求思路”的回忆，引导学生先猜后证，让学生自己发现知识，自行“制造”推导三棱锥体积公式的“工具”，这是发挥学生主体作用的重要体现．三棱锥体积公式的探求是本节课的核心内容，如果像教材中那样，直接将三棱锥补成一个三棱柱，然后将其分割成三个三棱锥，再求体积，那么，虽然教师备课可以少用许多时间，然而，学生对“怎样想到利用割补法”，“为什么要先补后割”往往疑惑不解．这里，在（3）中插入两个几何图形面积公式的探求思路的回忆，旨在唤醒学生割补思想的记忆，启发学生的思维．通过联想类比，学生感悟探求三棱锥体积也用割补法已水到渠成．尔后，围绕“先割后补”还是“先补后割”的问题，引导学生自己动手一试，相互讨论，比较优劣，从而肯定“先补后割”，并对“如何补，怎样割”，鼓励学生自己操作．最后，让学生自己推导公式，这是对学习主体的尊重，这样做旨在为学生扫清这一知识形成过程中的思维障碍，使整个思维过程和知识形成过程构成一个完美的统一体．显然，这种教学氛围的营造，使学生在旧知识的温故中，发现了打开新知识宝库大门的钥匙，在探索知识奥秘的征途上，创造性的迈开了自己坚实的一步．学生表现出了极强的思维积极性和探索毅力，创新意识，创造能力和创造精神得到了培养．由三棱锥体积公式的探求到一般锥体体积公式的获得，再到圆锥体积公式的表达，这是特殊—一般—特殊的思维过程．经常有意识的进行这样的训练，学生的思维方法、思维能力必将得到极大的提高．。
高中立体几何教案 第二章 多面体与旋转体
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球教案内蒙巴盟奋斗中学傅裕东教学目标1．掌握球的定义．2．掌握球的性质，并能熟练应用；3．通过球的教学，培养学生分析问题解决问题的能力．教学重点和难点重点：球的截面性质．难点：球面距离的计算．教学设计过程一、复习提问师：圆柱是怎样定义的．生：以矩形的一边为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．师：是矩形的边为旋转轴吗？生：是师：同学们请读p．21定义，然后教师强调指出，是以矩形的一边所在的直线为轴．师：同学们再考虑：圆锥、圆台是怎样定义的．教师要强调边所在的直线为轴．二、讲课题师：以上同学们清楚了圆柱、圆锥、圆台的形成过程．那么球是怎样形成的呢？是否也可以通过某一个几何体旋转而形成呢？学生经过思考不难发现，半圆以它的直径所在的直线为轴旋转所成的曲面围成的几何体．（待学生回答后）教师展示教具，（从而得出球面的旋转定义）（板书）半圆以它直径所在的直线为轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体（简称球），（接着教师画出下图并介绍球的有关概念：球心、球半径、直径、球的表示，特别要强调球面与球二者的区别）师：球面与球的区别是什么？生：球是包括球面在内的一个几何体，球面是一个面．师：在平面几何里，从点集的观点看圆是怎么定义的，我们是否也可用类似的方法定义球面．生：在同一平面内，一动点到一定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为圆心，定长为半径的圆．师：在空间到定点的距离等于定长的点的集合，是以定点为球心的球面．球的性质：师：通过上面的讨论我们不难看出：球面两种定义和圆有联系．比如说：从点集的观点看圆与球面的定义，这个定义就其内容来说，都是指到定点的距离等于定长的点的集合，它们的不同之处只在于定义适用的范围，圆的定义是对平面而言，而球的定义则是对空间而言的，因此可以说，球面的概念是圆的概念在空间的推广，既然如此我们不禁要问，它们之间会不会有某些相似的性质，我们能否从圆的某些性质去推测并证明球的某些性质．（显而易见，上面的引入和启发为学生对球性质的进一步探讨在思维方法上做好了必要的准备，学生已形成了一定的“定势”思维，教师要牢牢把握住既定的思维轨道去探索）师：我们知道圆的割线在圆内的部分是一条线段，球被平面所截其截面是什么？生：是圆面．师：为什么是圆面，教师出示教具演示，并指出教材不做证明要求．（请有兴趣的同学下去完成证明）（下面的证明仅供教师参考）证明：设球的半径是R，下面分两种情况研究．（1）设平面α与球面相交，如果点O∈α（如上图2），设A是球面和平面α的交线上的任意一点，因为A在球面上，所以AO=R．所以A在平面α内以O为圆心，R为半径的圆上．反过来，如果B是这个圆上的任意一点．因为OB=R，所以点B在球面上．点B在球面上，又在平面α内，就是说点B在平面α和球面的交线上．因此，平面α和球O的截面是一个圆面．（2）如果点Oα（如图3），自点O作OK⊥α，垂足为K，设A是平面α和球面交线上的任意一点，连结AK．因为OK⊥α，所B在球O的球面上．点B在平面α内，又在球O的球面上，那么点B就在它们的交线上．因此平面α截球O的截面是一个圆面了．师：球的截面在球中的地位类似于弦在圆中的地位，截面是圆面．（学生明确了球的截面是圆面之后，下面的问题便迎刃而解）师：在圆中，圆心与弦的中点连线与弦有什么位置关系？生：垂直．师：那么在球中，球心与截面圆心的连线与截面有什么位置关系．（教师画出示意图）生：垂直于截面圆．（教师板书球的性质（1））（并展示实物或模型演示给学生，不作证明）师：球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，那么不难看出，球半径R，球心与截面圆的距离d，及截面圆半径r 之间有什么关系？师板书球的性质（2）］师：在圆中，弦心距的变化与弦长有什么关系．生：当d=0时弦最长，随着弦心距的增大，弦在减小，当d=R时弦长为0，这时直线与圆相切．师：在球中，球心到截面的距离d与截面圆的大小有什么关系？生：（可类比圆的弦变化思考）当d=0时，截面过球心，这时R=r，截面圆最大，如图4．师：这个圆叫做大圆．生：当d增大时截面圆越来越小．师：当0＜d＜R时截面是小圆，如图5．当d=R时，截面圆缩为一个点，这时称截面与球相切，如图6．师：在地球仪中，纬线和径线是怎样规定的．生：平行于赤道的小圆线是纬线，过南北极的半大圆是经线．师：（下面对经度和纬度结合图形要讲清楚，这两个概念也是很难理解的）如图7，纬度——P点的纬度，也是或∠POA的度数，即：某地的纬度就是经过该点的球半径和赤道平面所成的角度．如图8，经度——P点的经度，也是或∠AOB的度数，即：某地点的径度就是经过这点的径线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数．球面上两点间的距离．（用地球仪边演示边发问）师：如果我们把地球看成一个球，我们会遇到这样的问题，由A到B的球面上应如何走行程最短？我们知道平面上两点间最短的距离是连接这两点的线段的长度，而地球的表面是曲面，球面上A，B两点间的最短路程显然不是线段AB的长度，那么它又是什么呢？（这时教师把事先做好的连接A，B两段铁丝作成的圆弧由地球仪表面（见图9）搬在电教片上，并画图10．）指出这相当于在平面上连接A，B的劣弧中，怎样的劣弧的长度最短？就图而言？哪一段弧较短？（要求学生答），这两段弧在本质上有什么区别？生：所在圆半径不同．师：可以看出，半径较大的劣弧反而短．这就启示我们，在球面由A到B的路程要尽量沿着所在圆半径较大的劣弧走．在连接A，B的劣弧中最大圆的半径存在吗？生：（学生相互议论，研究发现）最大圆半径存在．师：它等于多少？生：就是经过这两点的大圆半径R．师：由以上讨论：最后我们知道，在球面上，两点间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧长度，把这个弧长叫做两点间的球面距离．（板书）例1（把例题抄在投影片上）我国首都北京靠近北纬40°，求北纬40°纬线的长度约为多少千米（地球半径约6370km）．师：怎样能把这个问题平面化呢？生：做地球的截面大圆．师：是截面大圆吗？任一个截面大圆能完成该题的要求吗？生：（部分学生说能，另一部分说不能，经过讨论争执，最后统一了意见）是经过南北极的大圆截面．师：（画图）请同学回答哪个角等于40°．生：∠AOB=40°师：请找出经过A点纬线圈的半径．生：半径是AK．师：过A点纬线圈的周长是多少？生：C=2π·AK．师：用半径R和40°表示AK的长．生：AK=Rcos40°师：故求出了北纬40°纬线的长度约为C＝2π·Rocs40°=3.066×104km练习：（1）课本p．87 1．（2）下列命题：a．球的任意两个大圆的交点连线是球的直径．b．球面上任意两点的球面距离，是过这两点的大圆弧长．c．球面上任意两点的球面距离，是连接这两点的线段长．d．用不过球心的平面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面．正确的是[ ]A．a，b B．b，cC．a，d D．d作业：课本p．91．1．2．课堂教学设计说明本教案体现由浅入深、循序渐进的教学原则，充分体现了启发式、和类比思想的教学方法，培养学生独立思考、发现问题和解决问题的能力．。
教学设计1：11.1.5 旋转体
11.1.5旋转体教学目标核心素养1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义．(重点)2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．(重点)3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征识别和区分几何体．(难点)4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面解决问题．(难点)1.通过圆柱、圆锥、圆台、球的定义及结构特征的学习，培养直观想象的数学核心素养.2.借助旋转体的轴截面的学习，提升数学运算的数学核心素养.教学知识梳理1．圆柱的结构特征定义以矩形的一边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆柱的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边2.圆锥的结构特征定义以直角三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆锥的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边定义以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体图示及相关概念轴：旋转轴叫做圆台的轴高：在轴上的边(或它的长度)底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面侧面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边4.轴截面在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．5．旋转体的侧面积与全面积(1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转体的表面积(或全面积)．(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式几何体侧面展开图表面积公式圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆锥S圆锥＝πr(r＋l)，r为底面半径，l为侧面母线长圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径，r为下底面半径，l为侧面母线长球面及球的定义球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球．球面也可以看成：空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合图示及相关概念球心：形成球面的半圆的圆心半径：连接球面上一点和球心的线段直径：连接球面上两点且通过球心的线段大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆7.球的表面积S＝4πR2.思考：等边三角形绕其一边的中线所在直线旋转半周形成的面所围成的几何体是什么几何体？[提示]圆锥．教学小测1．已知两个球的半径之比为1∶2，则这两个球的表面积之比为() A．1∶2B．1∶4C．1∶6D．1∶8【答案】B【解析】S1S2＝4πR214πR22＝⎝⎛⎭⎪⎫R1R22＝⎝⎛⎭⎪⎫122＝14.2．圆锥的母线长为10，底面半径为6，则其高等于()A．6B．8C．10D．不确定【答案】B【解析】由圆锥的轴截面可知，圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形，所以其高为102－62＝8.3．矩形的边长分别为1和2，分别以这两边所在直线为轴旋转，所形成几何体的侧面积之比为()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶3【答案】B【解析】以边长为1的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S1＝2π×2×1＝4π，以边长为2的边所在直线为轴旋转形成的几何体的侧面积S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，选B.4．有下列说法：①球的半径是球面上任意一点与球心的连线；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确说法的序号是________．【答案】①【解析】利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．教学案例类型1旋转体的结构特征【例1】判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．[解](1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．规律方法旋转体的判断问题的解题策略1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键．2．判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．跟踪训练1．下列命题中正确的是()A．直角三角形绕一条边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线【答案】C【解析】A错误，应为直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥；若绕其斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体．B错误，没有说明这两个平行截面与底面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则是错误的．D错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线．故选C.类型2简单组合体的结构特征【例2】一直角梯形ABCD如图所示，分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的大致形状．[思路探究]平面图形旋转⇒旋转体的概念及结构特征．[解]以AB为轴旋转可得到一个圆台；以BC为轴旋转可得到一个圆柱和圆锥的组合体；以CD为轴旋转可得到一个圆台，下底挖去一个小圆锥，上底增加一个较大的圆锥；以AD为轴旋转可得一个圆柱，上面挖去一个圆锥，如图所示．规律方法旋转体的形状判断技巧1．判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．2．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．跟踪训练2．描述下列几何体的结构特征．[解]图①所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图②所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；图③所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.类型3旋转体中的计算1．圆柱、圆锥、圆台平行于底面的截面是什么样的图形？[提示]圆面．2．圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是什么样的图形？[提示]分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形．3．经过圆台的任意两条母线作截面，截面是什么图形？[提示]因为圆台可以看成是圆锥被平行于底面的平面所截得到的几何体，所以任意两条母线长度均相等，且延长后相交，故经过这两条母线的截面是以这两条母线为腰的等腰梯形．4．球的截面是什么？[提示]球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆．【例3】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求圆台的高．[思路探究]作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．[解]圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得O1A＝2 cm，OB＝5 cm.又由题意知，腰长为12 cm，所以高AM＝122－(5－2)2＝315(cm)．母题探究1．将圆台还原为圆锥后，求圆锥的母线长．[解]如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得l－12l＝25，解得l＝20 cm.即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.2．如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的底面半径．[解]设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，则由三角形相似，得R－rR＝342－22，即1－r2＝12，解得r＝1.即圆柱的底面半径为1.规律方法与圆锥有关的截面问题的解决策略求解有关圆锥的基本量的问题时，一般先画出圆锥的轴截面，得到一等腰三角形，进而可得到直角三角形，将问题转化为有关直角三角形的问题进行求解．通常在求圆锥的高、母线长、底面圆的半径长等问题时，都是通过取其轴截面，化归求解．巧妙之处就是将空间问题转化为平面问题来解决．课堂小结1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．球面、球体的区别和联系区别联系球面球的表面是球面，球面是旋转形成的曲面球面是球体的表面球体球体是几何体，包括球面及所围的空间部分4．处理组合体问题常采用分割思想．5．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．当堂检测1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱．()(2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台．()(3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．()【解析】(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行．【答案】(1)√(2)×(3)×2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是() A．圆柱B．圆锥C．圆台D．两个圆锥【答案】D【解析】连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．3．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高． 【答案】②③④【解析】圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．4．一个圆锥的母线长为20 cm ，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.【答案】103【解析】如图是圆锥的轴截面， 则SA ＝20 cm ，∠ASO ＝30°， ∴AO ＝10 cm ，SO ＝10 3 cm.5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径．[解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得 ⎩⎨⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2. 所以此圆柱的底面半径为Q2.。
第二章多面体与旋转体情棱柱、棱锥、棱台复习
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体:棱柱、棱锥、棱台复习课教案教学目标1．理解棱柱（斜棱柱、直棱柱、正棱柱、平行六面体等）、棱锥（一般棱锥、正棱锥）、棱台（一般棱台、正棱台）的有关概念；2．理解并掌握棱柱、棱锥的一般性质，掌握正棱柱、正棱锥、正棱台（尤其是正方体、正四面体）的性质；3．能够运用直线与平面的有关知识分析、论证多面体中的线面关系，并能熟练的进行有关棱柱、棱锥、棱台中侧棱、高、斜高、侧棱与底面、侧棱与侧棱、侧面与底面所成角的有关计算；4．掌握棱柱、棱锥、棱台的侧面积与全面积的计算；5．会解决棱柱、棱锥、棱台的对角面和平行于底面的截面等有关问题，能熟练的解决其各种截面中直角三角形的有关计算，能有意识地将立体几何的计算问题转化为平面几何图形中的有关计算．教学重点和难点重点是能够熟练的将直线与平面的有关知识运用于棱柱、棱锥、棱台几何体中．难点是将立体几何的有关计算转化为平面几何图形中的有关计算．教学设计过程一、复习提问（用投影仪出示下列命题）例1 回答下列命题中条件是结论的什么条件（要求用充分非必要、必要非充分、充要条件作答）（1）有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱．（2）底面是正多边形的棱锥是正棱锥．（3）底面是正多边形的棱台是正棱台．（4）有两个面平行且是相似的多边形，其余各个面都是等腰梯形的几何体是棱台．（该例题重点是检查学生对所学过的这三种几何体基本概念的理解与认识．故需找四名程度较差的学生作答）讲评．（1）必要非充分条件．因这两个侧面可以是相对的两个侧面．（2）必要非充分条件．因正棱锥的侧面是全等的等腰三角形．（3）必要非充分条件．因正棱台的侧面是全等的等腰梯形．（4）必要非充分条件，因棱台的各条侧棱相交于一点．例2 集合A=｛斜棱柱｝，B=｛直棱柱｝，C=｛正棱柱｝，D=｛长方体｝．下面命题中正确的是[ ]B．A∪C=｛棱柱｝C．C∩D=｛正棱柱｝D．B D（该例题重点是检查学生对所涉及到的这几个集合与集合中元素的理解与认识，所以在分析问题时只要用韦恩图把这几个集合间的关系清楚地表示出来即可找到正确的答案C，如图1）师：下面我们按照上述两种方法分别计算这个棱柱的侧面积．解法一：如图3，作A1H⊥平面ABC于H．师：正三棱锥有什么特征．生：顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心．（即内心、外心、重心、垂心）师：由此我们得知：这个正棱锥的高为顶点到底面射影的连线，故解决问题的关键是设出该棱锥的底面中心．解：如图．设点O为顶点在底面上的射影．因该棱锥为正三棱锥，所以O为底面正三角形的中心．连接SO、CO并延长CO交AB于D，连接SD，则CD⊥AB于D，SD⊥AB于D．（三垂线定理）所以∠SDC是侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，即∠SDO=60°．因为△ABC是正三角形，且AB=a．讲评：一个三棱锥只要知道两个独立的条件，即两个独立的量（如此例中底面边长及侧面与底面所成的二面角60°），就可以求出其它的各个量，计算中充分利用正棱锥的性质、通过高、侧棱、侧棱在底面上的射影所组成的直角三角形、以及高、斜高及斜高在底面上的射影所组成的直角三角形、沟通了正棱锥的高、侧棱、斜高、底面的边长之间的关系，从而也沟通了立体图形向平面图形转化的桥梁，体现了化归与转化的基本思想．例5 正三棱台A1B1C1－ABC的侧面与底面成45°角，求侧棱与底面所成角的正切值．课堂教学设计说明学习完棱柱、棱锥、棱台这几种几何体之后，由于涉及到的基本概念、基础知识较多．它包括了柱、锥、台的性质，同时也包含了第一章学过的所有知识．因此学生们在学习中感到很困难，产生了恐惧心理．为了帮助学生克服困难、克服心理上的压力．本节课从“化归与转化”的思想出发，有机地把所学习过的知识联系起来，循序渐进地将立体几何图形的问题转化为平面几何图形的问题，把多面体中的面面问题转化为线面问题，进一步转化线线问题；将棱台的问题转化为棱锥的问题．从而达到对“化归与转化”这一数学思想的认识与升华．因此本节复习课中将有意识地注意“转化”思想的体现．。
第二章多面体与旋转体 棱锥、圆锥的体积-推荐下载
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体棱锥、圆锥的体积教案教学目标1．使学生掌握棱锥、圆锥的体积公式及初步运用进行锥体体积运算；2．使学生进一步树立联系转化的数学思想，进一步提高逻辑推理和图形变换的能力；3．通过本节课教学使学生思维品质（如思维的深刻性、灵活性）受到锻炼．教学重点和难点棱锥、圆锥体积公式推导为重点，以联系转化为主线推导棱锥、圆锥体积公式的过程为难点．教学设计过程师：今天我们研究的课题是棱锥、圆锥的体积．已知：锥体的底面积为S，高为h．求：V锥体=？（板书课题）这些锥体可以是三棱锥、四棱锥、五棱锥……还可以是圆锥．（教师一边说一边出示小黑板——图1）师：对于这个课题我们要解决二个问题：1．底面积是S，高是h的锥体体积公式是什么？2．如何推导这个公式？怎么推导锥体体积公式呢？（学生思考片刻后，教师继续引导）师：能不能用体积单位去量？（引导学生从几何体体积度量方法入手考虑问题）生：（摇头示意不成）师：还有什么方法？生：能不能利用祖暅原理？师：是一种方案，如果想用祖暅原理就需要用我们已经知道了体积公式的几何体来比，用哪种几何体呢？生：柱体．师：这些柱体可以是三棱柱、四棱柱、五棱柱……，还可以是圆柱．（出示第二块小黑板——图2）师：为了用祖暅原理，我们选这些柱体底面积为S，高为h，于是这两类几何体都可以夹在两个平行平面间，满足祖暅原理第一条，然后用平行于这两个平行平面的平面去截这些几何体，分别得到截面，这时锥体的截面积与柱体的截面积相等吗？生：不相等．师：为什么？生：柱体的截面与柱体底面全等，所以柱体的截面积为S，而锥体的截面与柱体的底面相似，所以锥体截面积不等于S．师：说得很好，这说明没有满足祖暅原理的第二个条件，因此利用祖暅原理也不可能了，怎么办？（学生感到困惑，教师引导鼓励学生思考）师：我们不妨调整一下思路，刚才只说了这些锥体的截面积不等于S，这些截面之间又有什么关系？生：这些锥体截面积相等．师：能证明吗？（学生口述，教师板书）又因为这些锥体的底面积，高、顶点到截面距离分别相等．所以这些锥体的截面积相等．师：由我们得到的这些锥体的条件，可以得出什么结论？生：这些锥体体积相等．师：根据什么得出这个结论？生：根据祖暅原理．师：谁能概括一下我们得到这个命题．生：夹在两个平行平面间，底面积相等的锥体体积相等．师：很好，但可以再简练些．能夹在两个平行平面间说明这些几何体高相等，最后概括为（板书）定理1 等底面积等高的两个锥体体积相等．师：虽然祖暅原理不能帮我们直接得到锥体体积公式，但它帮我们得到了一个很好的定理．根据这个定理，我们的研究对象还用这么多吗？生：不用．研究锥体中的一个就可以了．师：研究哪一个比较好呢？（学生议论纷纷，说法不一）生：有的同学说三棱锥，有的同学说圆锥．我们选择的标准应该是简单、方便研究的几何体，圆锥涉及曲面问题，研究比较复杂，所以选棱锥中最简单的三棱锥做研究对象．（取下小黑板，微机显示一个三棱锥图形——图3）师：现在锥体体积公式的推导归结为三棱锥体积公式的推导．研究三棱锥体积，还得与柱体体积有联系，选三棱柱．（微机显示—图4）（完成第一次转化，使研究系统简化）师：对于底面积S，高为h的三棱柱ABC－A＇B＇C＇，三棱锥P－ABC，它们的体积会有什么关系？（学生考虑，教师引导）二个几何体的体积哪一个大？（学生活跃起来，抢着说出答案）生：三棱柱体积大．师：能从数学角度论证一下吗？（学生沉默片刻，部分同学举手）生：在三棱柱中，连结A＇B，A＇C．（微机显示—图5）三棱锥A＇－ABC，底面△ABC，面积为S，高为h，根据定理1，它的体积与三棱锥P－ABC体积相等，说明三棱锥P－ABC体积是三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积一部分，所以三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积比三棱锥P－ABC体积大．师：论证得很好，那么三棱柱体积比三棱锥体积大多少呢？（学生很感兴趣，议论纷纷，互相争论）生：三棱柱体积大约是三棱锥体积3倍左右．师：能说说理由吗？（学生思考片刻回答）生：在三棱柱中，连结B＇C，三棱锥C－A＇B＇C＇底面△A＇B＇C面积为S，高为h，它的体积与三棱锥A＇－ABC体积相等．师：这说明三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P－ABC体积2倍．这时三棱柱被分割成了三部分，其中三棱锥A＇－ABC与三棱锥C－A＇B＇C＇体积相等．（微机显示—图6，△ABC，△A＇B＇C＇红色画面闪动，点A＇，C＇白色亮点闪动）现在关键是三棱柱被分割为三部后中间部分图形体积，这是个什么图形？（教师指示图6（2））生：也是三棱锥．师：这个三棱锥以哪个点为顶点，哪个面为底面？生：A＇为顶点，△B＇BC为底面，也可以看成B＇为顶点，△A＇BC为底面，或者看成C为顶点，△A＇B＇B为底面．师：那么这个三棱锥体积是多少呢？（学生议论纷纷，思维活跃）我们希望……生：相等．师：是的，我们希望这个三棱锥体积与另外二个三棱锥体积相等，那么，它们体积相等吗？（学生积极思考，教师适当提示）师：想证两个三棱锥体积相等，需要哪些条件？生：等底面积，等高．师：能找到这二个条件吗？（学生观察，思考）师：不能只看局部，要注意局部与整体相结合．（微机显示—图7）生：三棱锥A－A＇BC与三棱锥B＇－A＇BC底面积相等．师：这时高如何？（学生感到有困难）师：这时想证两个三棱锥高相等有困难，能不能换个角度．生：先找高相等，A＇为顶点，三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C有共同的高，而在三棱柱ABC－A＇B＇C＇中，四边形B＇C＇CB为平行四边形，B＇C将B＇C＇CB分成面积相等的二个三角形，所以△B＇BC与△B＇C＇C面积相等．（微机显示—前图6，△＇B＇BC，△B＇C＇C绿色画面闪动，A＇白色亮点闪动）由定理1，可知三棱锥A＇－B＇BC与三棱锥A＇－B＇C＇C体积相等．师：很好，由此可知三棱柱分割成的三个三棱锥体积相等，也就是说三棱柱ABC－A＇B＇C＇体积为三棱锥P＇－ABC体积3倍．由于三棱柱的底面积为S，高为h，三棱锥底面积也为S，高为h．推导公式的过程是以联系，转化为主线，这是一种通用的数学思想．3．转化特点（1）由研究所有锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，使研究简化，这是通过逻辑推理实现的．（2）三棱锥体积公式的导出，又是利用三棱柱与三棱锥二种图形间内在联系（三棱锥可以补成三棱柱，三棱柱可以分割成三棱锥）进行转化的．下面我们利用已经导出的锥体体积公式进行体积计算．（显示投影软片）练习：1．已知：等边圆锥S－O，底面半径r．生：因为是等边圆锥，所以轴截面为等边三角形，又因为圆锥底面在正方体ABCD－A1B1C1D1中．因为E，F，G分别AB，BC，BB1中点，所以EF=FG=GE，BE=BG=BF．所以在三棱锥B－EFG中，顶点B在底面射影为底面正△EFG的中心O．所以BO为三棱锥B－EFG的高．（此时学生中有人议论，教师不打断回答问题学生的思路）连结GO延长交于EF于P，因为正方体棱长为a，师：利用棱锥体积公式进行体积计算时，首先要正确使用公式，其次要注意运算途径的简捷、合理．在今后的学习中我们还要进一步加强对锥体体积公式的灵活运用．作业课本p．103 习题十三1，3，4．课堂教学设计说明这节课是锥体体积教学的第一节课，教学重点是锥体体积公式的推导，在锥体体积公式推导过程中，学生在教师启发下，进行一定量的思维活动，力争体现教师的主导作用和学生的主体地位．在公式推导过程中，教师的每一次提问，都应该促使学生积极思考，学生的每一次思考不一定都有正确答案，但这个思考过程是非常重要的，学生在思考过程中可以猜想，可以估算，甚至可以大胆猜想，并设法论证自己的猜想．正是由于学生的参与，学生的思维品质得到了锻炼和提高，而老师的作用是创设思维情景，促进学生思维活动．锥体体积公式推导的过程教学，也是向学生渗透联系，转化等数学思想的机会，这节课体现了两次重要的转化，一次是利用祖暅原理将锥体体积公式的推导转化为三棱锥体积公式的推导，简化了研究系统；一次是利用割补变换建立了三棱锥与三棱柱之间的体积关系，第一次转化是通过逻辑推理实现的，第二次转化是通过图形变换实现的，这也是这里区别于其他地方转化的特点．本节课突出公式形成的过程，是为了使学生在参与公式的推导过程中能在数学内容、数学方法和思维教育等方面吸收更多的营养．本节课尝试使用计算机辅助教学，在体现三棱锥与三棱柱两种几何体之间的体积关系时使用，使三棱锥与三棱柱之间割补变换显得直观、有动感，弥补在黑板上画图动感差，费时间的不足，也有利于学生对两种几何体之间关系的深刻认识，起到了良好的辅助作用，在教学中使用现代化教学手段是很有必要的，但应注意适时、适量．。
多面体与旋转体球的表面积教学目标
生丙：我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积，只要用越来越 多的平行平面把球分割，那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就 越来越接近球的表面积了．
师：只能用球的内接圆柱去研究吗？ 生：圆台也可以． 师：下面，我们以圆台为例，证明一个预备定理．目的是求出球内接圆台 的侧面积公式． （板书引理） 引理 球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球 心到母线的距离为P，那么圆台的侧面积为2πPh．
（同学们立即反驳，此办法不可能实现）
生甲：（申辩）如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表 面就会被削下来，然后展开，再进行计算．
生乙：削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平．另外，条形表面 也有一定的弯曲度．
生甲：那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也 就接近平面图形了．
例2 口答下面问题，并说明理由． （1）球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？ （2）球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？ （3）球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？
（4）球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍？
生：设球半径为 R． （1）因球半径扩大 n 倍，S 球面=4π（nR）2=n2×4πR2，即球面积扩大 n2倍．
生：做圆台的轴截面，此截面正好是球的大圆所在平面． 证明：过圆台的轴的平面截圆台和球分别得轴截面ABCD和球的大圆⊙O， 这时ABCD是⊙O的内接等腰梯形． 作OE⊥AD，垂足E是AD的中点，OE=P． 再作DG⊥AB，EF⊥O1O2，垂足分别是G，F，那么DG=h．
设圆台上、下底面半径为r1，r2，母线长为l，则
教学重点和难点
本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式，而如何推导球的表面积公 式是本节的难点．
教学设计新部编版任务书-多面体与旋转体
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校教学设计课程名称：数学课题：多面体和旋转体主讲教师：日期：多面体和旋转体多多多了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了多多多多了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了特征：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了1了了了了了了了了了了了了了2了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了教学任务书（参考）学生工作页（参考）任务名称：认识多面体与旋转体课时：1 日期：_________教师：班级：17级小组组长：小组成员：了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了特征：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的多多了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了:多多多了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了多多多多了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了1了了了了了了了了了了了了了了了了(1)(2)(3)了1了了了了了了6了了了了5了了了了9了2了了了了了了8了了了了6了了了了12了3了了了了了了10了了了了7了了了了152了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了了。
数学『教学课题』 身边的数学——多面体、旋转体
数学『教学课题』身边的数学——多面体、旋转体『教学课题』数学是一门基础学科，是为自然科学服务的。
因此，本人将多面体和旋转体的面积和体积的计算应用到产品的成本核算中。
具体思路如下：说明：呈现个案——引用“多面体、旋转体”工艺品，激发学习兴趣，使学生明确有关多面体、旋转体的概念，掌握表面积、体积计算方法。
然后提出产品原材料成本核算的个案，师生共同解决。
探究知识——通过对个案分析，归纳出产品成本的组成及产品定价步骤。
应用迁移——通过学生调查市场、设计制作、学生展示、师生评价及归纳小结等步骤，提高学生的综合能力。
『教学目标』知识目标：使学生明确有关多面体、旋转体的概念；掌握柱体、锥体、球体的表面积和体积计算；掌握制作简单多面体、旋转体的成本计算。
能力目标：培养学生理论联系实际能力、动手能力和统筹规划能力。
情感目标：培养学生的协作意识，以及用数学的眼光观察、分析周围客观事物的意识。
『教学方法』大脑风暴法、项目教学法、粘帖板法。
『教学重点』锥体、柱体、球体的表面积和体积计算及其应用。
『教学难点』表面积和体积计算的实际应用。
『教学工具』棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球、仿真三潭印月、仿真东方明珠（自制教具）及多面体的工艺品。
『教学时数』四课时『课前准备』（1）将学生分成五个小组，并确定各组组长。
（2）各组在预算内购买材料，并准备硬纸板、剪刀、双面胶、刻度尺等工。
（3）学生自己到企业和市场调查相关材料的规格、成本及其它成本。
（4）教师准备：多媒体课件及教学工具、材料等。
『教学内容和过程』教学环节教学内容和师生双边活动教学设计意图个案呈现新课引入一、引入新课（1分钟）［教师］数学离我们的生活并不遥远，我们的身边就有数学如：许多工艺品就是由多面体和旋转体构造成的。
［教师］展示工艺品，并进行分析二、知识回顾（6分钟）［展示］棱柱、圆柱、棱锥、圆锥、球体模型。
［师生］共同回顾知识，得出名称图形表面积体积棱柱S=ch+S底V=sh圆柱S=2πrh+S底=ch+S底V=sh= πr^2h棱锥S=21ch’V=31sh圆锥S=21ch’+S底=πrh’+S底V=31sh=31πr^2h球体S=4πr^2V=34πr^3创设情境，激发学习兴趣，点出课题并复习有关知识个案呈现个案实践三、个案的提出和解决（45分钟）［教师］讲述蛋卷冰淇淋的故事——小发明、大财富。
认识多面体与旋转体教案
二、探索新知
探究1：多面体的相关概念
新知1：由若干个平面围成的几何体几何体叫做多面体。
围成每个多面体的多边形叫做多面体的面,如面ABCD ； 两个面的公共边叫多面体的棱，如棱AB ;棱和棱的公共点叫多面体的顶点，如顶点A 。
连结不在同一平面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线,
具体如下图所示：
教师提问,学生回答问题，教师总结。
在探究中学习知识，符合现代教学理念.
面
顶
点
棱
探究2:旋转体的相关概念
教师给出题
目，学生分组回答。
教师提问，学
生回答问题,教师
总结。
掌握定义，培养学合
作意识。
在探究中学习知
识,符合现代教学理
念。
新知2：
由一条平面曲线绕一条定直线旋转所形成的曲面叫
旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定
直线叫旋转体的轴.这条曲线叫做旋转体的母线。
如下图
的旋转体：
教师给出题
目，学生分组回答。
在探究中学习知
识,符合现代教学理
念.。
第二章多面体与旋转体 棱柱(二)
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体棱柱（二）教案教学目标1．使学生掌握四棱柱的概念及类属关系；2．通过对长方体性质的研究，培养学生的空间想象能力；3．通过由长方形性质推导长方体性质的类比方法对学生进行辩证唯物主义的思想教育．教学重点和难点长方体的性质．教具四棱柱、平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体等模型．教学设计过程一、复习1．棱柱的定义．2．棱柱的性质．3．什么叫四棱柱．二、新课师：由复习3知：底面是四边形的棱柱叫四棱柱．（板书：1．四棱柱）师：四棱柱有6个面，各个面的形状不同，构成不同的四棱柱，请大家观察模型总结出：（板书上面图表，从两个不同的角度带领学生分析各面的形状对四棱柱分类）师：由此得到问题：1．平行六面体的各个面是什么样的四边形？直平行六面体、长方体、正方体呢？学生甲：平行六面体的六个面都是平行四边形．生乙：直平行六面体的一组相对的面是平行四边形，其余四个面是矩形．生丙：长方体的六个面都是矩形；正方体的六个面都是正方形．2．长方体是直四棱柱，直四棱柱是长方体吗？生：不一定．因为直四棱柱的底不一定是矩形．3．正方体是正四棱柱，正四棱柱是正方体吗？生：不一定．因为正四棱柱的底是正方形，而侧面不一定是正方形．（通过这组练习，使学生搞清不同的四棱柱间的区间与联系）师：在平面几何中长方形有什么性质呢？生：若长方形的长为a，宽为b，则对角线长为l2=a2+b2．另一生：若对角线与过同一个顶点的两条边的夹角分别为α，β，则有cos2α+cos2β=1．师：谁能证明？（通过学生回忆，讨论后，找一学生到前面板演）生：证明：如图1：师：引申：若以D点为坐标原点，DA方向为x轴的正方向，DC方向为y轴的正方向DD1方向为z轴的正方向，在确定长度单位后就建立了空间直角坐标系，则长方体的长、宽高即为B1点在坐标轴上的射影，α，β，γ即为OB1与x，y，z轴的夹角，即有关系式：小结：本节课的内容：1．特殊四棱柱及它们之间的关系，用集合表示为：2．长方体的性质，长方体的对角线长的平方，等于长方体三棱的平方和，利用这一性质可使求空间两点间的距离问题转化为求长方体的对角线长的问题，使运算简单多了．作业：p．58第4、5题．思考题：（1）在例1中若沿对角线AC折起成直二面角后是否可构成一长方体，求BD 的距离？若能构成长方体，是怎样的长方体？（2）在例1中沿任一条直线l折成直二面角后如何构成一长方体，求BD的距离？课堂教学设计说明本节课由于是第二章多面体与旋转体的第一节，所以在教学中分两节进行．第一节是紧扣教学大纲和教材，从辩证唯物主义的观点出发，培养学生的观察能力、空间想象能力．抽象的概括出棱柱的定义、性质和分类，所以这节课中用的教具较多，意在多观察、多想．老师适当点拨、高度的概括出定义、性质并有意的引导出棱柱的两种分类的方法．第二节是在上一节的内容基础之上进一步培养学生的观察能力和空间想象能力．通过对四棱柱的研究进一步的展现“转化”这一思想方法的应用．通过学习，使学生学会研究多面体的方法和步骤，学会如何对多面体进行分类．。
多面体旋转体精编版
多面体和旋转体一. 教学内容：1. 主要内容：多面体和旋转体2. 考点分析：多面体和旋转体每年必考，不仅有直接求多面体和旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求几何体中某些元素或元素间的关系问题，近年来即使是考查空间线面位置关系的问题，也常以几何体为依托，该部分内容不仅在选择题、填空题中考，也在解答题中出现。
解答题在高考中一直保持中档题的水平，近几年高考立体几何试题多采用一题多问的形式，降低了起点，分散了难点，既有证明，也有计算，一般要求学生先证后算，证明严谨、清楚，计算准确。
【典型例题】例1. 三棱锥，，，，求这个P ABC PA a AB AC a PAB PBC BAC -===∠=∠=∠=︒260 三棱锥的体积。
分析：由题设∠=∠=︒PAB PAC 60∴∠P ABC O BAC 在平面上的射影必在的平分线上又，，可知是正三角形∠=︒=BAC AB AC BC 60∆A 考查方向：考查三棱锥体积的常用求法。
分析一：作在底面上的射影，求和的面积P O PO ∆AB C分析二：注意到且PA AB PAB =∠=︒1260知PA PB ⊥同理，把作为底，则为高PB PC PBC PA ⊥ 分析三：割法、补法解法一：（用公式法解）如图，作底面三角形顶角A 的平分线AD ，交BC 于D ，过P 点作底面的垂线，垂足为O ，由分析知射影O 必在AD 上，易知△ABC 是正三角形，AB=2a ，∴=S a ABC ∆32PC过作，垂足为，连，则P PE AB E OE OE AB ⊥⊥在中，，Rt PAE PAE PA a ∆∠=︒=60∴===⋅︒=PE a AE a OE AE tg a 3223036，， 在中，Rt POE PO PE OE a ∆=-=2263∴=⋅=-V S PO a P ABC ABC 13233∆解法二：（利用等积转换法解）在△PAB 中PA a AB a PAB ==∠=︒，，260∴=+-⋅⋅︒=PB a a a a a 2222222603()()cos∴⊥⊥=∆P A BPA PB PA PC PB PC P 是直角三角形，，同理可证，又 ∴⊥PA PBC 平面在中，，∆PBC PB PC a BC a ===32∴=S a P B C ∆22∴==⋅=--V V S PA a P ABC A PBC PBC 13233∆解法三：（用分割求积法解） 由解法二知，，是中点，连结PB PC a D BC PD ==3∴⊥⊥=B C PD BC AD PD AD D ，，∴⊥BC PAD 平面∴=+==⋅⋅=----V V V V S BD a P ABC B PAD C PAD B PAD PAD 223233∆解法四：（用补形求积法解）延长AP 到Q ，使PQ=a ，连结QB 、QC ，可得一个棱长为2a 的正四面体∴==⋅=--V V a a P A B C Q A B C 121221222333() 例2. 如图，已知直三棱柱，用一平面去截它，得截面，且，ABC A B C B C AA h -=11122221∆A BB h CC h C S 2223==，，若的面积为，求证：∆AB介于截面与下底面之间的几何体体积。
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教学设计
课程名称：数学
课题：多面体和旋转体
主讲教师：日期：
多面体和旋转体
多面体：
这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体叫做多面体。
围成多面体的每个多边形叫做这个多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的交点叫做多面体的顶点；连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
旋转体：
这些几何体，可以看成是有一条平面曲线绕一条定直线旋转一周所围成的，我们把这样的几何体叫做旋转体。
把这条定直线叫做旋转体的轴。
这条曲线叫旋转体的母线。
旋转体也可以看作是有一封闭的平面图形（包括其内部）绕一条定直线旋转一周所围成的几何体。
导入观察下列空间几何体模型，
特征：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的
特征：可以看成是有一条平面曲线绕一条定直线旋转一周所围成的
新
课
讨
论
判断下列立体图形哪些是多面体，哪些是旋转体
多面体：三棱柱，棱锥，棱柱，正方体，长方体
旋转体：圆柱，圆锥，球
知识小结
1、多面体定义：
旋转体定义：
2、多面体，旋转体画法。
练
习
巩
固
多面体：三棱柱，棱锥，棱柱，正方体，长方体旋转体：圆柱，圆锥，球结果要求：
黑板上做题，然后根据做题的正确度给每个小组进行加分
教学任务书（参考）
学生工作页（参考）
任务名称：认识多面体与旋转体课时：1 日期：_________ 教师：班级：17级小组组长：
小组成员：
任务一：小组讨论
观察下列空间几何体模型，分组讨论结构特征
特征：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的
特征：可以看成是有一条平面曲线绕一条定直线旋转一周所围成的
任务二：概括多面体旋转体定义:
多面体：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体叫做多面体。
围成多面体的每个多边形叫做这个多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的交点叫做多面体的顶点；连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。
旋转体：这些几何体，可以看成是有一条平面曲线绕一条定直线旋转一周所围成的，我们把这样的几何体叫做旋转体。
把这条定直线叫做旋转体的轴。
这条曲线叫旋转体的母线。
旋转体也可以看作是有一封闭的平面图形（包括其内部）绕一条定直线旋转一周所围成的几何体。
巩固练习：学生抢答
1、说出多面体的顶点数、面数和棱数
(1) (2) (3)
（1）：顶点数：6，面数：5，棱数：9
（2）：顶点数：8，面数：6，棱数：12
（3）：顶点数：10，面数：7，棱数：15
2、判断下列立体图形哪些是多面体，哪些是旋转体
知识小结
1.多面体：这些几何体都是由若干个平面多边形围成的，我们把这样的几何体叫做多面体。
围成多面体的每个多边形叫做这个多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的交点叫做多面体的顶点；连接不在同一面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线。