空间向量的数乘运算(公开课课件).ppt
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3.1.2 空间向量的数乘运算 课件(共25张ppt) (1)
探究点2 共面向量
共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面 向量.
b c a
d
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意 三个向量既可能共面，也可能不共面.
那么什么情况下三个向量共面呢？
空间向量共面定理：
空间一点P位于平面ABC内的充间任一点O,有
O D A H B G F
C
E
D
2.下列说法正确的是（ D ）
A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线
C
1.向量共线共面的充要条件.
2.方向向量的定义.
3.证明四点共面的方法.
3.1.2 空间向量的数乘运算(第二课时)
武威中学：
1.空间向量共线的条件及应用.(重点、难点) 2.空间向量共面的条件及应用.(重点、难点) 3.向量的共线、共面与直线的位置关系．
上一节课,我们把平面向量的加减和数乘运算扩展 到了空间.
b a
P B
a
A
l
O
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意 直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定. 由此可判断空间任意三点是否共线.
③
o
③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意
平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.
P与A,B,C共面
例1. 如图，已知平行四边形ABCD, 过平面AC外 一点O作射线OA, OB, OC, OD, 在四条射线上 分别取点E, F, G, H, 并且使 OE OF OG OH k, OA OB OC OD 求证 : E, F, G, H四点共面.
空间向量及其数乘运算学习课件PPT
空间向量
具有大小和方向的量
加法 加法:三角形法则或平行四边形法则 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法 减法:三角形法则 减法:三角形法则 数乘 数乘:ka,k为正数,负数,零 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律
ab ba
加法交换律 加法结合律
ab ba
加法结合律 (a b) c a (b c) 数乘分配律
已知非零向量 a 的直线,那么对任一点O, 点P在直线 l 上的充要条件是存在实数t, 满足等式OP=OA+t a 其中向量叫做直线的 方向向量. P
a
推论:如果 l 为经过已知点A且平行
若P为A,B中点, 则
1 OP OA OB 2
O
B A
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
9
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
13
新疆奎屯市第一高级中学 特级教师王新敞
1 DM （ a b) c 2 1 AG （ a b c) 3 B
M
A
D G
C
新疆奎屯市第一方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各 式中的x,y.
A E B C D
(a b) c a (b c)
3
k (a b) k a＋k b 数乘分配律 k (a b) k a＋k b
( 人教A版)2-1：3.1.1-3.1.2空间向量的数乘运算课件 (共35张PPT)
A．a＋b－c
B．－a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c 解析：C→D＝C→B＋B→A＋A→D＝C→B－A→B＋A→D＝－a＋b＋c.
答案：C
3．已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有O→M＝xO→A＋13O→B＋13O→C，
则 x 的值为( )
A．1
B．0
C．3
D.13
(2)A→B1＋B→1C1＋C→1D1＝A→D1. (3)设 M 是线段 AC1 的中点，则12A→D＋12A→B－12A→1A＝12A→D＋12A→B＋12A→A1＝ 12(A→D＋A→B＋AA1)＝12A→C1.
(1)如何化简向量表达式？ ①化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简； ②在化简过程中，遇到减法时，可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法 则进行运算，加减法之间可以相互转化； ③化简中常用的化简形式为A→B＋B→C＝A→C，A→B－A→C＝C→B等．
4.理解共线向量定理及推论． 线向量的应用.
5.理解共面向量定理及推论.
01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究 03 课后 巩固提升
课时作业
[自主梳理]
一、空间向量及其加减运算
1.空间向量
1定义：在空间，把具有 方向 和 大小的量
叫作空间向量.
空 2长度：向量的 大小 叫作向量的长度或 模 .
①(A→B＋B→C)＋C→C1；②(A→A1＋A→1D1)＋D→1C1；
③(A→B＋B→B1)＋B→1C1；④(A→A1＋A→1B1)＋B→1C1.
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
解析：根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符
空间向量及其数乘运算 PPT
C
A
B
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
u u u ru u u 求u r 满u 足u u u 下r列各u u u 式r的x的值。
( 1 ) A B 1 A 1 D 1 C 1 C x A C
u u u ru u u u ru u u u r 解 : ( 1 ) A B 1 A 1 D 1 C 1 C
D1
C1
A1
B1
uuur uuuur uuuur
uuAurB1 B1C1 C1C
AC
D
C
x 1.
A
B
u u u u ru u u u r u u u u r ( 2 ) 2 A D 1 B D 1 x A C 1
u u u u r u u u u r
(2 ) u u 2 u u A rD u 1 u u u rB D u 1 u u u r
B A
O
1.下列说明正确的是： A.在平面内共线的向量在空间不一定共线 B.在空间共线的向量在平面内不一定共线 C.在平面内共线的向量在空间一定不共线 D.在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是： A.平面内的任意两个向量都共线 B.空间的任意三个向量都不共面 C.空间的任意两个向量都共面 D.空间的任意三个向量都共面
x 1
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D
B
C
练习4
在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各 式中的x,y.
A B
E C
D (2)AEAA' xAByAD u u u r u u u u r u u u r A EA A' A E
uAuA uur' 1(uAuB uruAuD ur) 2
空间向量的数乘运算 课件
求证：四点E、F、G、H共面；
点评：根据共面向量定理，只要满足
下列条件四点共面。
EG x EH y EF
O
D
A
H
C
B
G
E
F
三.共面向量:
3.“四点共面”的充要条件：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件
是存在有序实数对x,y使
AP x AB y AC
或对空间任一点O,有
OP OA x AB y AC
a
是共线向量
二、空间向量共线及其充要条件
1.共线向量 :
空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫 做共线向量或平行向量.
a
平行于
b
记作
a
//
b
.
规定:
o与任一向量
a
是共线向量
a
2.空间向量共线
定理：
空间任意两个向量
// b 的充要条件是存在实数 ，使 a
a
、b（ b
b
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1)AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
A O
a
点评：根据共面向量定理，只要满足
下列条件四点共面。
EG x EH y EF
O
D
A
H
C
B
G
E
F
三.共面向量:
3.“四点共面”的充要条件：
空间一点P位于平面ABC内的充要条件
是存在有序实数对x,y使
AP x AB y AC
或对空间任一点O,有
OP OA x AB y AC
a
是共线向量
二、空间向量共线及其充要条件
1.共线向量 :
空间两个向量方向相同或相反，则这两个向量叫 做共线向量或平行向量.
a
平行于
b
记作
a
//
b
.
规定:
o与任一向量
a
是共线向量
a
2.空间向量共线
定理：
空间任意两个向量
// b 的充要条件是存在实数 ，使 a
a
、b（ b
b
空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1)AB BC
D1
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
则点 P 在直线 l 上 唯一实数 t R, 使 OP OA t AB ③
注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
A O
a
向量的数乘运算ppt课件
A.A,B,C 三点共线
B.A,B,D 三点共线
C.A,C,D 三点共线
D.B,C,D 三点共线
→
→
→
→
→
)
→
→
解析:因为+=a+4b,即+=,所以=,即存在λ=1 使
→
→
→
→
=λ,所以,共线.
又因为两向量有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线.
故选 B.
①λ<0,λa与a的方向一定相反;
②λ>0,λa与a的方向一定相同;
③λ≠0时,λa与a是共线向量;
④λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2
B.3
C.4
D.5
)
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;
对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,
的过程,达成数学抽象、直观想象、
逻辑推理及数学运算的核心素养
2.通过向量共线定理的学习与应
用,培养逻辑推理与数学运算的核
心素养
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知导学·素养启迪
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记
作λa.它的长度和方向规定如下:
答案:(2)①②③
探究点二
向量的线性运算
[例2] 化简下列各式:
(1)3(6a+b)-9(a+b);
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
B.A,B,D 三点共线
C.A,C,D 三点共线
D.B,C,D 三点共线
→
→
→
→
→
)
→
→
解析:因为+=a+4b,即+=,所以=,即存在λ=1 使
→
→
→
→
=λ,所以,共线.
又因为两向量有公共点 B,所以 A,B,D 三点共线.
故选 B.
①λ<0,λa与a的方向一定相反;
②λ>0,λa与a的方向一定相同;
③λ≠0时,λa与a是共线向量;
④λμ>0时,λa与μa的方向一定相同;
⑤λμ<0时,λa与μa的方向一定相反.
A.2
B.3
C.4
D.5
)
解析:根据实数λ与向量a的积λa的方向规定,易知①②③都是正确的;
对于④,由λμ>0可得λ,μ同为正或同为负,所以λa和μa都与a同向,
的过程,达成数学抽象、直观想象、
逻辑推理及数学运算的核心素养
2.通过向量共线定理的学习与应
用,培养逻辑推理与数学运算的核
心素养
新知导学·素养启迪
课堂探究·素养培育
新知导学·素养启迪
1.向量的数乘运算
(1)定义:规定实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记
作λa.它的长度和方向规定如下:
答案:(2)①②③
探究点二
向量的线性运算
[例2] 化简下列各式:
(1)3(6a+b)-9(a+b);
解:(1)原式=18a+3b-9a-3b=9a.
空间向量的数乘运算 课件
能否推广到空间向量中呢？
共线 向 量定理: 对空间任意两个向量 a， ，b
a // b (b的充0要) 条件是存在唯一实数λ，
使 a b(b 0).
a // b(b 0)
a b (b 0)
a b (b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
由此可判断空间任意三点共线。.
OP OA t AB
进一步，OP还可表示为： OP _1_-_t _OA __t__OB
因为 AB OBOA,
所以 OP OA t(OB OA)
aP
B A
O
(1 t)OA tOB 特别的，当t= 1 时，则有
2
OP 1 (OA OB) P点为A,B 的中点 2
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
满足
AP ta
A
对空间任意一点O,
AP OP OA,
l
所以
OP
OA
ta
即
OP OA ta
①
aP
B
O
若在l上取 AB a 则有
OP OA t AB
②
①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
例1. 已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外 的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、 B、C一定共面？
(1)OB OC 3OP OA (2)OP 4OA OB OC
解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只
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(A)平面内的任意两个向量都共线
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
（3）零向量与任一向量共线:
即0 // a,
3.空间共线向量定理：
对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b(b 0)
有且只有一个实数 使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2. 这个定理有什么作用？ 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线
4.判定空间向量共线或者三点共线
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的 充 要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使c＝x a＋y b
作用：判定3个向量共面
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一
点O，确定在下列条件下，判断向量MA,MB,MC是否共
面：
(1)OM 1 OA 1 OB 1 OC; 333
如果 为l经过已知点A且平行已知非零向量 的l直线,那么对
任一点O,点P在直线 上的a充要条件是存在实数t,满足等式
其中O向P 量 OA叫做ta直线 的方向a 向量.
l
P
a
方法：
若 OP OA t AB
B
(或 AP t AB)
A
则A、B、P三点共线。
O
若若OPP为 xAO,BA中点yO,B(x y 1)，
则则A、OBP、P1三O点A共 O线B。 2
例2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且 不共面， M , N分别是AC, BF的中点，判断向量 CE与向量MN 是否共线？
C
D
M
B
E
N
A
F
目标一：相关概念
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任 意三个向量就不一定共面的了。
(2)OM 2OA OB OC.
目标三：空间四点共面的证明 已知空间中有4点分别是A,B,C,D,则证明此4点共面的方
法有哪些？
（1）AB与CD平行 (2)AB=xAC+yAD,x,y为实数。 (3)空间中任意一点O,使得： OA=xOB+yOC+zOD(其中x&BCD,从平面AC外一 点O引向量 OE kOA ,OF kOB ,
• 一.教学目标 • 1.掌握3点共线的空间向量证明法 • 2.掌握向量共面及四点共面的证明方法
目标一：空间向量的数乘运算
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为空
间向量的数乘
2、空间向量的数乘的性质
（1）当 0 时， a 与a 同向 （2）当 0 时， a 与a 反向
（3）当 0 时， a 0
当a 0, 有 0或a 0
a
3a
3a
(4) | a | | | | a |
3、空间向量的数乘的运算律:
（1）数乘分配律1：(a b) a b （2）数乘分配律2： ( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
例1.设O是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为OC的中点，
3—1—2
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
目标二：空间向量共面的证明 1.空间共面向量基本定理：
OG kOC ,OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D
(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：C
试用向量 OA, OB , OD表示向量 AE。
目标二、空间中的共线向量
1、定义： 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，
则这些向量叫做 共线向量（或平行向量）
2、空间中共线向量的性质
（1） 向量 a与向量 a 共线
若a // b, 则b // a,
（2）非零共线向量的传递性：
若b 0, a // b, b // c, 则a // c.
(B)空间的任意三个向量都不共面
(C)空间的任意两个向量都共面
(D)空间的任意三个向量都共面
（3）零向量与任一向量共线:
即0 // a,
3.空间共线向量定理：
对空间任意两个向量 a,b(b 0), a // b(b 0)
有且只有一个实数 使 a b
思考1：为什么要强调 b 0 ?
思考2. 这个定理有什么作用？ 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线
4.判定空间向量共线或者三点共线
如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b 共面的 充 要条件是，存在唯一的一对实数 x，y，使c＝x a＋y b
作用：判定3个向量共面
例1、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一
点O，确定在下列条件下，判断向量MA,MB,MC是否共
面：
(1)OM 1 OA 1 OB 1 OC; 333
如果 为l经过已知点A且平行已知非零向量 的l直线,那么对
任一点O,点P在直线 上的a充要条件是存在实数t,满足等式
其中O向P 量 OA叫做ta直线 的方向a 向量.
l
P
a
方法：
若 OP OA t AB
B
(或 AP t AB)
A
则A、B、P三点共线。
O
若若OPP为 xAO,BA中点yO,B(x y 1)，
则则A、OBP、P1三O点A共 O线B。 2
例2.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且 不共面， M , N分别是AC, BF的中点，判断向量 CE与向量MN 是否共线？
C
D
M
B
E
N
A
F
目标一：相关概念
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任 意三个向量就不一定共面的了。
(2)OM 2OA OB OC.
目标三：空间四点共面的证明 已知空间中有4点分别是A,B,C,D,则证明此4点共面的方
法有哪些？
（1）AB与CD平行 (2)AB=xAC+yAD,x,y为实数。 (3)空间中任意一点O,使得： OA=xOB+yOC+zOD(其中x&BCD,从平面AC外一 点O引向量 OE kOA ,OF kOB ,
• 一.教学目标 • 1.掌握3点共线的空间向量证明法 • 2.掌握向量共面及四点共面的证明方法
目标一：空间向量的数乘运算
1、定义：
实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然是一个向量，称为空
间向量的数乘
2、空间向量的数乘的性质
（1）当 0 时， a 与a 同向 （2）当 0 时， a 与a 反向
（3）当 0 时， a 0
当a 0, 有 0或a 0
a
3a
3a
(4) | a | | | | a |
3、空间向量的数乘的运算律:
（1）数乘分配律1：(a b) a b （2）数乘分配律2： ( )a a a
（3）数乘结合律： (a) ()a
例1.设O是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为OC的中点，
3—1—2
复习：
1、如果向量e1和e2是一平面内的两个不平 行的向量，那么，该平面内的任一向量a与 e1, e2有什么关系?
2、平面向量基本定理
如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向
量，那么，该平面内的任一向量a，存在惟一
的一对实数a1，a2，使 a＝ a1 e1 ＋a2 e2
目标二：空间向量共面的证明 1.空间共面向量基本定理：
OG kOC ,OH kOD , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC.
课外补充练习:
1.下列说明正确的是： D
(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线
(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线
2.下列说法正确的是：C
试用向量 OA, OB , OD表示向量 AE。
目标二、空间中的共线向量
1、定义： 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合，
则这些向量叫做 共线向量（或平行向量）
2、空间中共线向量的性质
（1） 向量 a与向量 a 共线
若a // b, 则b // a,
（2）非零共线向量的传递性：
若b 0, a // b, b // c, 则a // c.