2019届北京市海淀区高三上学期八模模拟测试(二)数学理试卷(PDF版)

D. ，为虚数单位，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
3.等比数列 中，若
，且
成等差数列，则其前 5 项和为（ ）
A. 30 B. 32 C. 62 D. 64 【答案】C 4.如图给出的是 2000 年至 2016 年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（ ）
A. 2000 年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关
求得 的范围，可得函数 增区间，
求得 的范围，可得 函数 的减区间；（2）由(1) 可知，
，不等式
化为
，令
，则
，
，利用导数研 究函数 的单调性，
证明当
时，不等式不成立，当
试题解析：(1)定义域为
时，可证明 ，
，适量题意，即
.
，
当 或 时，
恒成立，
当
时，由
得
或
，
于是结合函数定义域的分析可得：
当 时，函数 在定义域
，判断直线 是否过定点？
并说明理由.
【答案】（1）
；（2）定点
（1）利用点斜式设直线直线 的方程,与抛物线联立方程组,结合韦达定理与弦长公式求 ,再根据
解得 .（2）先设直线 方程
, 与抛物线联立方程组,结合韦达定理化简
，得
或
,代入 方程可得直线 过定点
试题解析：（1）拋物线的焦点
，∴直线 的方程为:
果. 试题解析：
（Ⅰ）∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，
∴
，
．又
，
∴ ， ， 两两垂直．
以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得，
，
，
，
，
，
，
∴
，
．
∴
，∴
．
（Ⅱ）由已知得
是平面 的法向量，
设平面 的法向量为
，
∵
，
，
∴
，即
，令 ，得
，
设平面 则
与平面
所成锐二面角的大小为， ．
； 与平面
所成锐二角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ．
试题分析：（Ⅰ）由题意可知 ， ， 两两垂直，以点 为坐标原点， ， ， 分别为 轴，建立
空 间 直 角 坐 标系 ， 由 已 知得
，
，
即证得
（Ⅱ）由已知得
是平面 的法向量，设平面 的法向量为
，
计算得
令 ，得
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为，则
北京市海淀八模 2019 届高三理科数学模拟测试卷（二）
第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
1.已知集合
，
，则下图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A.
B.
C.
【答案】B
2.已知复数在复平面内对应点是
，
，则球面面积
为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
12.数学上称函数
（ ， ， ）为线性函数.对于非线性可导函数 ，在点 附近一点 的函
数值 ，可以用如下方法求其近似代替值：
.利用这一方法，
的近似代替
值（ ）
A. 大于
B. 小于
C. 等于
D. 与 的大小关系无法确定
【答案】A
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.
注：（1）产品的“性价比”=
；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性.
页
6第
【答案】
20.已知过抛物线
的焦点 ，斜率为 的直线交抛物线于
两点，且
.
（1）求该抛物线 的方程；
Leabharlann Baidu
（2）已知抛物线上一点 ，过点 作抛物线的两条弦 和 ，且
.
联立方程组
，消元得:
，
页
7第
∴
.
∴
解得 . ∴抛物线 的方程为： （2）由（1）可得点 设直线 的方程为：
. ，可得直线 的斜率不为 0，
，
联立
，得
，
则
①.
设
，则
.
∵
即
，得：
，
∴
，即
或
，
代人①式检验均满足 ，
∴直线 的方程为：
或
.
∴直线过定点
（定点 不满足题意，故舍去）.
点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该
17.在 中，内角 、 、 的对边分别为， ，.若
的面积为 ，且
，
.
（1）求角 的大小；
（2）若
，求角 的大小.
【答案】（1） ； （2） .
（1）在
中，由余弦定理，得
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）由正弦定理得，
，
，，
，
，
，
.
18.在如图所示的多面体中， 平面 ， 是 的中点.
页
，
，
，
4第
，，
，
（1）求证： （2）求平面
13.设 满足约束条件
，则
的最小值为__________．
【答案】-5
页
3第
14.已知向量 满足 ，
，
【答案】-1
，则向量 在向量上的投影为__________．
15.已知双曲线
的右焦点为 ，左顶点为 .以 为圆心， 为半径的圆交的右支于 、
两点， 【答案】
的一个内角为 60°，则 的离心率为__________．
且 X1 的数字期望 EX1=6，求 a，b 的值； （II）为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本， 数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 63 4 6 3 4 7 5 3 4 85 3 8 343447567 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2 的数学期望.
问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求
定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显
现.
21.已知函数
.
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在两个极值点 且满足
，求的取值范围.
页
8第
【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1）求出 ，分五种情况讨论的范围，分别令
， ，
即
.
（2）由（1）不妨设
，
，
.
当 时，
，
面积的最大值为 .
23.若
，且
.
（1）求
的最小值；
页
10 第
（2）是否存在 ，使得
的值为 ？并说明理由.
【答案】（1） ； （2）不存在 ，使得
的值为 .
（1）
，
，
，，当且仅当 时等号，
，
.
，
，当且仅当 时取等号；
（2）
，
，，
， 不存在 ，使得
的值为 .
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5:00-6:00 之间送货上门.已知小李下班到家的时间为下 午 5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在 10 分钟之内到 家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（ ）
16.已知数列 满足 ，
， 表示不超过 的最大整数（如
项和为 ）. ①若数列 是公差为 1 的等差数列，则 __________； ②若数列 是公比为 的等比数列，则 __________．
，记
，数列 的前
【答案】 (1). 6 (2).
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
的图象关于原点对称”（ ）
10.已知椭圆
的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交椭圆 、 两点，若
的
最大值为 5，则 b 的值为（ ）
A. 1 B.
C.
D. 2
【答案】C
11.已知过球面上三点 、 、 的截面到球心距离等于球半径的一半，且
通过计算 即得结
∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
页
5第
19. （本小题满分13分） 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准 B， 已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4 元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准 （I）已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示：
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的坐标方程为
（1）求曲线 的极坐标方程；
（2）在曲线 上取两点 、 于原点 构成
，且满足
，若直线与曲线 相切.
，求面积
的最大值.
【答案】（1）
； （2） .
（1）由题意可知将直线的直角坐标方程为
，
曲线 是圆心为 ，半径为的圆，直线与曲线 相切，可得：
；
可知曲线 的方程为 曲线 的极坐标方程为
，
由(1)可知，
，
不等式
页
化为
； ，
9第
令
，所以
，
令
，
，
当
时，
，
， ，所以
，不合题意；
当
时，
，
，
所以 在 上是减函数，所以
，适量题意，即
.
综上，若
，此时正数的取值范围是 .
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（ ， 为参数），以坐标原点 为极点，
B. 2010 年以来我国实际利用外资规模逐年增大
C. 2008 年以来我国实际利用外资同比增速最大
D. 2010 年以来我国实际利用外资同比增速最大
【答案】C
5.如图，在长方体
中，
，
的距离相等的点 （ ）
页
1第
，点 在侧面
上，满足到直线 和
A. 不存在 B. 恰有 1 个 C. 恰有 2 个 D. 有无数个 【答案】D 6.数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松 竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的 分别为 8、2，则输出的 （ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
8.将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，再向右平移 个单位长度，得
到函数
的图象，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数 的一条对称轴是
B. 函数 的一个对称中心是
页
2第
C. 函数 的一条对称轴是
D. 函数 的一个对称中心是
【答案】C
9.设函数
， ，“
是偶函数”是“
上是增函数；
当
时，函数 定义域为
，此时有
，
于是 在
上是增函数，在
上是减函数，在
上是增函数，
当 时，函数 定义域为
，
于是 在
上为减函数，在
上为增函数，
当
时，函数 定义域为
，此时有
，
于是 在
上是增函数，在
上是减函数，在
上是减函数，在
上是增函数，
当 时，函数 定义域为
，
于是 在
上是增函数，在
上是增函数.
(2)由(1)知 存在两个极值点时，的取值范围是
页
11 第